und der Ladung q a (t) des Teilchens bei gegebenen Anfangsbedsingungen r a zu berechnen. Grundlage der Berechnungen sind die Bewegungsgleichungen
|
|
- Franka Hauer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 16 KAPITEL B Einteilchenbewegung 1. Einleitung Plasmen verhalten sich außerordentlich komplex. Neben der bekannten verwickelten Dynamik von Gasen hat man bei ihnen eine zusätzliche Verkomplizierung dadurch, daß zu den viskosen Kräften in den Navier-Stokes Gleichungen die elektromagnetischen Kräfte durch die selbstkonsistenten Felder hinzutreten. Man ist daher in praktisch allen Fällen auf Näherungen angewiesen. In den folgenden zwei Kapiteln behandeln wir die wichtigsten Näherungen: die Einteilchennäherung und die Flüssigkeitstheorie, im Kapitel B also die Einteilchennäherung, d.h. die Felder E(r,t) und B(r,t) werden als vorgegeben betrachtet. In ihnen bewegt sich ein geladenes Teilchen der Masse m a und der Ladung q a. Der Teilchensortenindex a steht für Elektronen (e), Ionen (i), Protonen (p), oder andere Teilchen. Die Aufgabe besteht darin, Geschwindigkeit v a (t) und Ort r a (t) des Teilchens bei gegebenen Anfangsbedsingungen r a (0) = r o und v a (0) = v 0 zu berechnen. Grundlage der Berechnungen sind die Bewegungsgleichungen m d dt v a(t) = q a (E(r a (t), t) + v a (t) B(r a (t), t)) (B.1) mit d. dt r a(t) = v a (t). Bewegung in homogenen, konstanten Feldern a) Homogenes, konstantes Magnetfeld Die Bewegungsgleichung wird für E = 0 und B = const m a va (t) = q a v a (t) B Das Koordinatensystem wird so gewählt, daß die z-achse in Richtung B weist: B = Be z (B > 0). Dann ist v a (t) = q ab m v a (t) e z a
2 17 Die Geschwindigkeit wird aufgeteilt in eine Komponente parallel und eine senkrecht zu B: v a (t) = ;v az (t)e z + v a (t) Dann folgt aus der Bewegungsgleichung für v az v az = 0; ;v az =v 0z z a (t) = z 0 +v 0z t Die Bewegung wird vom Magnetfeld nicht beeinflußt. Für die Komponente senkrecht zum Magnetfeld erhält man v a = q ab m a v a e z Zur Abkürzung führt man die Zyklotron- oder Gyrationsfrequenz des Teilchens a im Magnetfeld B ein. ω ca = q a B m a (B.) Nach dieser Definition ist ω ca stets positiv. Das Ladungsvorzeichen wird in einem Faktor ε i = +1 für Ionen und ε e = -1 für Elektronen gepackt, also q a = ε a q a. Damit ergibt sich v a = ε a ω ca v a B (B.3) Indem man Gl. (B.3) nach t ableitet und rechts für erhält man: v a den ursprünglichen Ausdruck einsetzt, v a = ε a ω ca (ε a ω ca v a e z ) e z = ω ca v a Dies ist eine Differentialgleichung von der Form einer Schwingungsgleichung, die mit dem Ansatz v a (t) = a cos ω ca t + b sin ω ca t (B.4)
3 18 gelöst wird. a und b sind Vektoren, die sich aus den Anfangsbedingungen ergeben. Aus Gl. (B.4) erhält man für t=0 v 0 = a, aus der Ableitung von Gl. (B.4) v a (t) = ω ca a sin ω ca t + ω ca b cos ω ca t für t = 0 unter Verwendung von Gl. (B.3) ε a ω ca v 0 e z = ω ca b und damit für v a v a = v 0 cos ω ca t + ε a v 0 e z sin ω ca t (B.5) v a = v 0, wie man durch skalare Multiplikation von v a mit sich selbst erkennt. (Man beachte, daß v 0 e z = v 0 und v 0 (v 0 e z ) = 0 ). v 0 rotiert also mit der Winkelge- schwindigkeit ω ca. Die Bahn r a (t) wird durch Integration von Gl. (B.5) gewonnen. r a (t) = 0 t v a (t)dt = v 0 ω ca sin ω ca t + ε av 0 e z ω ca ( cos ω ca t + 1) r a (t) = r a + ε a v 0 e z ω ca + v 0 v ω sin ω ca t ε 0 e z a ω ca cos ω ca t ca ω ca Für v z = 0 beschreibt das Teilchen eine Kreisbewegung um den Gyrationsmittelpunkt. r ca = v 0 ω ca (B.6) Abb. B.1: Der Umlaufsinn der Bahn von positiv bzw. negativ geladenen Teilchen im homogenen Magnetfeld Das Vorzeichen bewirkt, daß bei positiven Teilchen der Umlaufsinn mit B eine Linksschraube, bei negativen Teilchen, z.b. Elektronen eine Rechtsschraube bildet (Abb. B.1).
4 19 Für die Zyklotronfrequenz von Protonen erhält man ω cp = m eb = 1, As Vs B p 1, kg m T = 0, 958 B 108 T s 1 Um mit Hilfe von Gl. (B.6) einen typischen Gyrationsradius auszurechnen, benötigt man eine charakteristische Geschwindigkeit der Teilchen im Plasma. Als mittlere Geschwindigkeit führt man die thermische Geschwindigkeit der Teilchensorte a ein. v th,a = kt a m a (B.7) Hiermit wird der mittlere Gyrationsradius der Teilchensorte a r th,a = v th,a ω ca (B.8) z.b. für Protonen v th,p = 1, VAs 1, kg kt ev = 1, kt ev m s 1, kt/ev m s r th,p = = 1, kt T 0, B/Ts 1 ev B m Um die obigen Faustformeln auf auf andere Teilchen übertragen zu können, benötigt man lediglich die Abhängigkeit von der Masse: v th,a m a 1/, ω ca m a 1, r th,a m 1/ Die Gesamtlösung für alle Komponenten von v a, und r a heißt dann v a (t) =v 0z e z + v 0 cos ω ca t + ε a v 0 e z sin ω ca t v r a (t) = r 0 + ε 0 e z a ω +v 0z te z + v 0 v ca ω sin ω ca t ε 0 e z a ca ω cos ω ca t ca
5 0 Die gesamte Bewegung ist also die Überlagerung einer Kreisbewegung um das sogenannte Gyrationszentrum, v a,g (t), r a,g (t) und einer gleichförmigen, geradlinigen Bewegung des momentanen Gyrationszentrums (guiding center), V a, R a (t). v a (t) = V a + v a,g (t) mit V a = v 0z e z r a (t) = R a (t)+v a,g (t) mit R a (t) = r 0 + ε a v 0 e z ω ca + V a (t) In vielen Situationen von Plasmen in komplizierterer Umgebung ist es einfacher, statt der detaillierten Bahn eines Teilchens nur die Bewegung des Führungszentrums zu betrachten. Im allgemeinen bewegt sich dieses dann natürlich nicht mehr gleichförmig, geradlinig. Seine Bewegung kann aber häufig noch als Bewegung in einem effektiven Potential beschrieben werden. Man spricht dann von guiding center Näherung (s. Abschnitt B.4). b) E B - Drift Es sei zusätzlich zu dem homogenen und konstanten Magnetfeld ein homogenes, konstantes elektrisches Feld vorhanden mit E B. Die Bewegungsgleichung lautet dann: m a va (t) = q a (E + v a (t) B) Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung, deren homogener Anteil identisch mit der im vorigen Abschnitt behandelten Differentialgleichung ist. Als Ansatz für die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung versucht man, wie üblich, eine Funktion, die sich wie die Inhomogenität verhält, d.h. hier v a,p = u = const. mit u B. Einsetzen in Glchg. (B.9) ergibt 0 = q a (E + u B) Vektorielle Multiplikation mit B erlaubt u zu isolieren: 0 = E B + (u B) B = E B B u
6 1 u E = E B B (B.10) Die Gesamtlösung ist also Gl. (B.10) und die im Abschnitt a) gewonnene Lösung der homogenen Gleichung. v a (t) = u E + a cos ω ca t + b sin ω ca t Die Anfangsbedingungen können wie in Abschnitt a) eingearbeitet werden, z.b. v 0 = u + a Die ganze Bewegung kann also wieder als Überlagerung einer Gyration v a,g (t) und einer Bewegung des Gyrationszentrums aufgefaßt werden. Die Geschwindigkeit des Gyrationszentrums ist auch hier konstant aber senkrecht zu E und B. v a (t) = u E + v a,g (t) v wobei der Gyrationsradius jetzt durch 0 u E ω und die Geschwindigkeit des Führungszen- ca trums durch Gl. (B.10) gegeben sind. u E nennt man die E B Driftgeschwindigkeit. Sie ist die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen. Nach der elektromagnetischen Theorie ist u genau die Geschwindigkeit, mit der ein anderes Koordinatensystem sich gegenüber dem ursprünglichen bewegen muß, damit E zu Null transformiert wird. Man beachte, daß die Driftgeschwindigkeit unabhängig vom Ladungsvorzeichen der Teilchen ist, so daß hier in einem Plasma Elektronen und Ionen in die gleiche Richtung driften. Um die resultierende Form der Bahn zu veranschaulichen, betrachten wir Abb. B., wo die Abb. B.: Zykloidenbahnen von negativen und positiven Teilchen in gekreuzten E- und B-Feldern. Verhältnisse für ein positives Teilchen dargestellt sind. Wir nehmen an, das E-Feld bewirke
7 eine kleine Störung der Bahn, so daß wir in nullter Näherung von der Kreisbahn ausgehen können. Solange v eine Komponente in Richtung E hat, nimmt v zu. Das ist in Abb. B./a in der linken Hälfte der Kreisbahn der Fall. In der anderen Hälfte nimmt v wieder ab. Es erreicht den maximalen Wert im oberen Umkehrpunkt, den minimalen im unteren Umkehrpunkt. D.h. v und damit der Gyrationsradius ist in Abb. B./a in der oberen Hälfte des Kreises im Mittel größer als in der unteren. Setzt man einen oberen Halbkreis mit größerem Radius und einen unteren mit kleinerem Radius zusammen, ergibt sich die seitliche Drift. Bei einem negativ geladenem Teilchen ist sowohl die Kraftrichtung wie die Umlaufrichtung umgekehrt. Die Richtung der Drift ist daher gleich. Wie GL. (B.10) zeigt, ist die Driftgeschwindigkeit von der Teilchenart unabhängig. Die Geometrie der Teilchenbahn hängt von v 0 ab. Z.B. erhält man für den Fall v 0 = u E eine gerade Bahn. Man kann die obige Betrachtung auf andere Kräfte ausdehnen, indem man die elektrostatische Kraft durch diese Kraft, z.b. die Schwerkraft ersetzt. q a E = F a Als Driftgeschwindigkeit erhält man u F = 1 q a F B B Sie hat also für die Schwerkraft bei beiden Ladungsvorzeichen entgegengesetzte Richtung.. Erhaltungssätze a) Energieerhaltung Die folgenden Betrachtungen gelten für zeitlich konstante Felder, die räumlich inhomogen sein dürfen. E = E(r), B = B(r) Dann kann E als Gradient in einem elektrischen Potential dargestellt werden. E(r) = Φ(r)
8 3 Durch skalare Multiplikation der Bewegungsgleichung Gl. (B.1) mit v a (t) erhält man m a v a d dt v a(t) = q a Φ(r a (t)) dr a(t) dt d dt 1 m a v a = q d a dt Φ(r a(t)) und nach Integration mit den Abkürzungen v a (t) =v a (t), v 0 =v 0 1 m av a (t) + q a Φ(r a (t)) = 1 m av 0 + q a Φ(r 0 ) D.h. die Entwicklung der kinetischen Energie ist durch das E-Feld gegeben. das B-Feld trägt nicht zur kinetischen Energie bei, da die Lorentzkraft senkrecht auf v steht und somit keine Arbeit leistet. Insbesondere bleibt für E = 0 die kinetische Energie konstant. Aus dieser Bedingung folgt sofort, daß ein geladenes Teilchen in einem homogenen, konstanten Magnetfeld eine Kreisbewegung vollführt, wenn v z0 = 0. v a ist konstant und die Kraft die hier nur die Lorentzkraft ist, steht immer senkrecht auf v a (t). Dies sind genau die Verhältnisse bei einer Kreisbewegung. Die Gyrationsfrequenz und die Umlaufrichtung folgen dann sofort aus Gleichsetzen von Zentrifugal- und Lorentzkraft. b) Inhomogene Felder mit Symmetrien, Impulserhaltungssätze α) Lagrange - Funktion Die Bewegungsgleichungen (B.1) lassen sich als Lagrange-Gleichungen schreiben, wobei die Lagrange-Funktion gegeben ist durch L(r, v, t) = m v + qv A(r, t) qφ(r, t) (B.11) A ist das Vektorpotential, aus dem sich B ergibt über B(r, t) = A(r, t) Φ das elektrische Potential mit
9 4 E(r, t) = Φ(r, t) A(r, t) t Die Lagrangeschen Gleichungen erleichtern die Betrachtung in unterschiedlichen Koordinaten wie kartesischen, Zylinder-, Kugel-, oder Toruskoordinaten. Für eine beliebige Koordinate u lautet dann die Bewegungsgleichung d L dt u = L u Falls insbesondere L nicht von u abhängt, folgt d L dt u = 0, p u = L u = const (B.1) Abb. B.3: Geometrie des Magnetfeldes im Beispiel p u ist der zur Koordinate u kanonisch konjugierte Impuls. (B.1) besagt also, daß wenn die Lagrange - Funktion von einer Koordinate nicht abhängt, der dazuzgehörige kanonische Impuls erhalten bleibt. β) Translationssymmetrie Es möge ein Magnetfeld vorliegen, das in Ebenen senkrecht zur x-achse verläuft und in einer solchen Ebene und in der Zeit konstant ist, aber von x abhängen darf. E wird zur Vereinfachung gleich 0 gesetzt (Abb. B.3). B(x) wird beschrieben durch ein Vektorpotential A(x) = 0 A y (x) A z (x) mit B = 0 A z/ (x) A y/ (x) Die Lagrangefunktion hat die Form
10 5 L(v x, v y, v z, x) = (m/)(v x + v y +v z ) + q(v y A y (x) + v z A z (x)) Da L y = L z = 0 hat man entlang der Teilchenbahn als Konstante p y = L v y = mv y + qa y (x) p z = L v z = mv z + qa z (x) γ) Rotationssymmetrie Viele Plasmen zeigen Rotationssymmetrie wegen der Rotationssymmetrie der Ströme, die das einschließende Magnetfeld erzeugen. Zur Beschreibung wählt man Zylinderkoordinaten, wobei die z-achse die Symmetrieachse bildet. Das Vektorpotential hat alle drei Komponenten, hängt aber nicht von ϕ ab A(r) = A r (r, z)e r + A ϕ (r, z)e ϕ + A z (r, z)e z und v = r e r + r ϕ e ϕ + z e z Daraus ergibt sich die Lagrangefunktion L r, ϕ, z, r, z = m r + r ϕ + z + q r A r (r, z) + r ϕ A ϕ (r, z)+ z A z (r, z) L Da, ist ϕ = 0 entlang der Teilchenbahn. δ) Magnetische Flußfunktion In einem zylindersymmetrischen Plasma mit p ϕ = L ϕ = mr ϕ +qra ϕ (r, z) = const (B.13) B(r) = B r e r + B ϕ e ϕ + B z e z ϕ B r,ϕ,z = 0
11 6 Abb. B.4: Zur Definition der Flußfunktion kann die Einführung der magnetischen Flußfunktion Ψ(r,z) sinnvoll sein. Diese ist definiert als der Fluß des Magnetfeldes durch eine Kreisscheibe vom Radius r, deren Mittelpunkt bei z auf der z-achse liegt, und die senkrecht auf der z-achse steht (Abb.B.4). Ψ(r, z) = z /=z,;r / r B(r/ ) da / = rota(r/ ) da / Nach dem Satz von Stokes kann man schreiben Ψ(r, z) = r /=r A(r/ ) dr / und mit dr = rdϕe ϕ Ψ(r, z) = 0 π raϕ (r, z)dϕ / Ψ(r, z) = πra ϕ (r, z) Abb. B.5: Zur Definition des magnetischen Momentes eines kreisenden Elektrons Die Konstanz des azimutalen Impulses nach Gl. (B.13) hat dann die Form
12 7 p ϕ = mr ϕ + q Ψ(r, z) = const. π (B.14) Wir werden dieses Ergebnis zur Erklärung der sogenannten Bananenbahnen im axialsymmetrischen Torus (Abschnitt B.4.b) benötigen. 3. Magnetisches Moment Das magnetische Moment eines Kreisstromes I, der eine Fläche A umfaßt, ist µ a = I a A a Für das gyrierende Teilchen setzen wir als Kreisstrom ein q a I a = π/ω ca Das Minuszeichen rührt daher, daß ein gyrierendes Teilchen einen Umlaufsinn zeigt, der in jedem Fall bewirkt, daß das äußere Magnetfeld durch den Strom der Gyrationsbewegung abgeschwächt wird (s. Abschnitt B.1.b). Das magnetische Moment ist daher immer entgegengesetzt zu B ausgerichtet und das Plasma ist diamagnetisch. Mit der Fläche A = πr ca e z der Gyrationsbahn ergibt sich µ = 1 ( ) q a ω ca r ca e z ω ca = q a B m a = 1 q v a ω a ca ω e z ca und mit Gl. (B.) µ = 1 m a v a B e z µ a = 1 m av a B (B.15)
13 8 Abb. B.6: strenggenommen ist die Bahn im inhomogenen Feld nicht geschlossen. mit µ a = -µ a e z b) Die adiabatische Invarianz von µ a Bei einer Erhöhung von B in der Zeit wird sich durch Induktion auch v erhöhen. Es zeigt sich, wie im folgenden nachgewiesen wird, daß sich, wenn nur die Änderung des Magnetfeldes langsam genug erfolgt, v und B im gleichen Maße wachsen, so daß µ a konstant bleibt. µ a bleibt allerdings nicht streng erhalten, sondern nur unter der Vorraussetzung, daß B sich so langsam ändert, daß die Teilchenbahn nur wenig von der Bahn im konstanten Magnetfeld abweicht (Abb. B.6) π ω c B t << B Man sagt, µ a ist eine adiabatische Invariante. Zum Nachweis der adiabatischen Invarianz integriert man die Änderung von m über eine Gyrationsperiode. v m v = 0 τ c d dt m v dt (τ c = π/ω c ) = 0 τ c mv dv dt dt = 0 τ c v q(e(r) + v B)dt = 0 τ c E(r) v dt q a E dr (Die Integration erfolgt über die Teilchenbahn, wobei B als konstant angenommen wird.) Dieses Ergebnis läßt sich sofort interpretieren. Es besagt, daß die Änderung der kinetischen Energie der Gyration gleich der Arbeit des elektrischen Feldes am Teilchen ist. E wird durch die Änderung von B induziert: q a E dr = q a rote da = q a B t da
14 9 Wegen des Umlaufsinns bei der Gyration gilt da a = ε a dae z daher wird q B t da = q B t πr c q B πr πω c = 1 c q Bv ω c = 1 mv B B Abb. B.7: Der Fluß innerhalb einer Teilchenbahn bleibt gleich, wenn sich das umgebende Magnetfeld ändert Insgesamt erhält man also m v m v B B d.h. die relativen Änderungen von µ a = m v B m v und B sind gleich, oder ändert sich über die Teilchenbahn in dieser Näherung nicht. Eine genauere Rechnung zeigt, daß Abb. B.8: Ein Teilchen gyriert in ein höheres Magnetfeld hinein µ a µ a B B
15 30 Die Erhaltung des magnetischen Momentes ist gleichbedeutend mit der Erhaltung des magnetischen Flusses durch die Gyrationsbahn. Φ a = Bπr ca = Bπ v a = Bπ v a q B ω ca m a = πm a q 1 m av B = const. Bei Änderung des Magnetfeldes bleibt also die Anzahl der Feldlinien, die die Gyrationsbahn durchsetzen, gleich. c) Der magnetische Spiegel α) Der Spiegeleffekt Ein Teilchen, das sich in einem homogenen B Feld in ein Gebiet höherer Feldstärke hineinbewegt, erfährt auf seiner Bahn eine zeitliche Änderung des Magnetfeldes. Wenn die Bewegung genügend langsam erfolgt, so daß die im vorigen Abschnitt gemachten Voraussetzungen erfüllt sind, bleibt das magnetische Moment µ des Teilchens auf seiner Bahn erhalten. An dem Energiesatz unter der Verwendung der Definition von µ m v // + m v = m v // + µb = const. erkennt man, daß v // mit wachsendem B abnehmen muß. Die Abnahme wird durch die axiale Komponente der v B Kraft erzeugt. F z = q a v a B r Nehmen wir ein zylindersymmetrisches Plasma an, in dem sich das Teilchen in er- ϕ = 0 ster Näherung auf einer Kreisbahn mit dem momentanen Gyrationsradius r c bewegt (Abb. B.8), so kann man mit Hilfe von divb = 0 B r durch B z ausdrücken. divb = 0 in Zylinderkoordinaten gibt: 1 r r (rb r) + z B z = 0
16 31 B r (r c ) = r 1 r c c rdr B z 0 z = 1 r B z c z F z = q a v 1 a r B z c z = q a 1 mv a ω ca B z z F z = µ a B z z (B.16) Abb. B.9: Magnetische Flasche Die Kraftrichtung ist von der Teilchenart unabhängig, da q a v a unabhängig vom Ladungsvorzeichen ist. Das Teilchen erfährt also eine Beschleunigung, die entgegengesetzt zum Gradienten des Magnetfeldes gerichtet ist, d.h. für genügend großes Magnetfeld wird v // = 0 und kehrt dann sein Vorzeichen um. Das Teilchen wird also reflektiert. Man nennt daher eine Magnetfeldkonfiguration wie in Abb. B.8 einen magnetischen Spiegel. β) Der Verlustkegel Die Gyration der Teilchen um das Magnetfeld ist die Grundlage von Plasmaeinschluß in magnetischen Feldern senkrecht zur Feldrichtung. In einem homogenen Feld können sich die Teilchen parallel zu B frei bewegen, werden also nicht eingeschlossen. Der Spiegeleffekt ermöglicht eine einfache Anordnung (Abb. B.9), die auch einen gewissen axialen Einschluß erlaubt. Man nennt eine Apparatur mit dieser Magnetfeldgeometrie eine Spiegelmaschine oder eine magnetische Flasche. Der axiale Einschluß ist allerdings nicht ideal, z.b. haben Teilchen, die keine senkrechte Geschwindigkeitskomponente besitzen, kein magnetisches Moment und verlassen daher das Magnetfeld ungehindert. Die genaue Grenze zwischen eingeschlossenen und nicht eingeschlossenen Teilchen wird durch folgende Überlegung ermittelt:
17 3 B Wir betrachten ein Teilchen, das im Mittelbereich der magnetischen Flasche, wo ist, z = 0 startet. Die Geschwindigkeit an dieser Stelle, v 0, bilde einen Winkel ϑ mit B 0. Das Teilchen werde reflektiert bei B = B 1, d.h. hier ist v 1// = 0. Aus dem Energiesatz folgt m v 0 = m v 1 m v 0 = v 1 m v v 0 0 Abb. B.10: Teilchen mit Geschwindigkeiten innerhalb des Verlustkegels werden im Spiegel nicht zurückgehalten Die linke Seite ist nach Definition 1/sin ϑ, die rechte Seite kann mit Gl. (B.15) auf das magnetische Moment µ zurückgeführt werden, das für die gesamte Bahn konstant ist. 1 sin ϑ = µb 1 = B 1 µb 0 B 0 sin ϑ = B 0 B 1 D.h. je kleiner ϑ ist, umso größer wird das Magnetfeld, an dem das Teilchen umkehrt, um so tiefer dringt es also in den "Flaschenhals" ein. Es gibt einen Grenzwinkel ϑ *, der durch das maximale Feld der Flasche bestimmt ist. Abb. B.11: Die Van-Allen Gürtel sind magnetische Flaschen im Erdmagnetfeld sin ϑ = B 0 B max
18 33 Alle Teilchen, für die im Innern der Flasche ϑ < ϑ, entweichen aus der Flasche. Der Kegel mit der Öffnung ϑ heißt der Verlustkegel, B 0 /B max das Spiegelverhältnis (Abb. B.10). Abb. B.1: Der von Fermi vorgeschlagene Mechanismus zur Beschleunigung kosmischer Teilchen über den Spiegeleffekt Der Geschwindigkeitsraum wird innerhalb des Verlustkegels entvölkert. Die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion wird anisotrop. Im Rahmen der stoßfreien Theorie ergibt sich für alle anderen Teilchen ein idealer Einschluß. Bei Berücksichtigung von Stößen erhält man sowohl eine Diffusion quer zum Magnetfeld wie ein ständiges Auffüllen des Verlustkegels. Im Rahmen der kinetischen Theorie, die die zeitliche Entwicklung der Verteilungsfunktion beschreibt, ergibt sich ein instabiles Verhalten. In Spiegelmaschinen zur Fusionsforschung haben sich die axialen Verluste als unüberwindliches Hindernis erwiesen. Einen Vorteil bietet z.b. die gegenüber einem Torus einfachere Geometrie. Die van-allen Gürtel sind axialsymmetrische Flaschen im dipolartigen Magnetfeld der Erde (Abb. B.11). Sie enthalten relativ hohe Teilchendichten. Fermi schlug einen Mechanismus vor, mit dem kosmische Teilchen auf die beobachteten hohen Energien beschleunigt werden können: An zwei magnetischen Spiegeln, die aufeinander zulaufen, werden eingeschlossenen Teilchen reflektiert. Bei jeder Reflexion gewinnen sie Energie. Ob der Fermimechanismus wirklich verantwortlich für die Beschleunigung der beobachteten kosmischen Teilchen hoher Energie ist, ist nicht bekannt. 4. Bewegung im inhomogenen Magnetfeld, Driftnäherung Zur Lösung der Bewegungsgleichung im inhomogenen Magnetfeld d dt v a = q a m a v a B(r a (t))
19 34 ist man auf Näherungen angewiesen. Eine weit verbreitete Näherung ist die Driftnäherung. Hier geht man davon aus, daß die Bewegung des Teilchens als Summe einer Gyrationsbewegung r a,g (t) mit r a,g (t) = r ca und einer Bewegung des Gyrationszentrums R a (t) darstellen läßt: r a (t) = R a (t) + r a,g (t) v a (t) = V a (t) + v a,g (t) (B.17) Man berechnet R a (t) und V a (t). Dies ist sinnvoll, solange die typischen räumlichen und zeitlichen Größen der Gyrationsbewegung r ca und T ca = π/ω ca klein sind im Verhältnis zu typischen Größen des Plasmas L und T a. L kann z.b. die charakteristische Länge für die Ortsabhängigkeit von B(r) sein, T a eine charakteristische Zeit für die Änderung von R a. z.b. T a = L. V a r ca << L T ca << T a a) Mittelung der Bewegungsgleichung Mit dem Ansatz Gl. (B.17) wird die Bewegungsgleichung V + v g = q m (V + v g) B(R + r g). Das Magnetfeld wird linearisiert B(R + r g) = B(R) + (r g )B(R) ( r g << L) V + v g = q m (V v g) (B(R + (r g )B(R))) = q m [V B(R) + v g B(R) + V (r g )B(R) + v g (r g )B(R)] (B.18) Nach Gl. (B.5) wird die Gyrationsbahn beschrieben durch r g (t) = v 0 ω sin ω c t ε v 0 e z c ω cos ω c t c Durch Festlegung der x-achse in Richtung v 0, v 0 e x vereinfacht sich die Schreibweise r g (t) = v ω c (e x sin ω c t + εe y cos ω c t)
20 35 Wegen T c <<T darf ω c (ebenso V und R) während einer Gyration als konstant angesehen werden. damit wird v g (t) = r g (t) =v (e x cos ω c t εe y sin ω c t) v g (t) = ω c r g (t) Im zeitlichen Mittel über eine Gyrationsperiode wird r g (t) = v g (t) = v g (t) = 0 D.h. durch Mittelung heben sich aus Gl. (B.18) alle Terme, die linear in r g und v g sind fort: V (t) = q m [V B(R) + v g (r g )B(R) ] Bei der Mittelung des letzten Termes auf der rechten Seite heben sich alle gemischten sin cos - Terme fort, während sin ωt = cos ωt = 1 v ω c (e x cos ω c t εe y sin ω c t) sin ω ct x + ε cos ω ct y B(R) = 1 εv ω c e x y e y x B(R) = 1 εv ω c e z e x x + e y y B(R) = 1 mv q B (e z ) B(R) = ε µ q [ (e z B(R)) e z B(R)] Der zweite Term verschwindet, damit bleibt für den ersten Term µ q B(R) Die Bewegungsgleichung des Führungszentrums lautet damit insgesamt V (t) = 1 m a [q a V a B(R a ) µ a B(R a )] (B.19)
21 36 Das Führungszentrum bewegt sich wie unter dem Einfluß einer effektiven Kraft, wobei der erste Term analog zur Lorentzkraft gebildet wird, der zweite ist der µ B - Term, der uns beim Spiegeleffekt begegnet ist (B.16). b) Energieerhaltungssatz Der Energieerhaltungssatz für das Teilchen lautet streng E a = const = 1 m av a (t) = 1 m a(v a + v ag) = 1 m a V a + V a v ag + v ag Im zeitlichen Mittel ergibt sich daraus E a = m a V a + m a v = m a V a + µ a B(R a ) Das Gyrationszentrum bewegt sich also wie ein freies Teilchen im Potential µ a B(R a ). µ a B(R a ) nennt man daher das effektive Potential des entsprechenden Teilchens. Die dazugehörige Kraft ist µ a B(R a ) (s. Gl. (B.19)). Im Folgenden Abschnitt zeigt sich, daß V a in erster Ordnung von r ca k/l klein ist. d.h. in dieser Näherung ist V a V a// und aus dem Energiesatz läßt sich V a// ermitteln. V a// (R a ) = ± m a (E a µ a B(R a )) c) Driftgeschwindigkeiten Die Geschwindigkeit des Führungszentrums senkrecht zum Magnetfeld nennt man Driftgeschwindigkeit. Man teilt also V a auf in einen Anteil parallel und einen senkrecht zu B. V a (t) = V a// e(r a (t) + V a ) wobei e(r) = B(r) der lokale Einheitsvektor in Richtung der Feldlinie ist. Einsetzen in Gl. B(r) (B.19) führt zu V a// e + V a// e + Va = 1 m a [q a V a B(R a ) µ a B(R a )]
22 37 q a Wegen m V a B = ω ca V a >> 1 V a V a darf Va vernachlässigt werden. Der Term a T a mit V a wird auf die linke Seite geschafft: q a V a B(R a ) = µ a B(R a ) + m a Va// e + V a// e Die Gleichung wird mit B(R a ) vektoriell malgenommen. Die linke Seite ergibt dann q a B (V a B) = q a B V a Auf der rechten Seite wird unter Verwendung der Kettenregel e umgeschrieben: e;= d dt e(r a(t)) = R a (t) e(r a) = (V a )e Also q a B V a = B (µ a B + m a V a// (V a )e) Abschätztung von V a über den ersten Term rechts zeigt, wie oben erwähnt, daß V a ~ r ca /L. Daher ist (V a )e von zweiter Ordnung klein und wird vernachlässigt. V a (R a ) = 1 q a B B µ a B + m a V a// (e )e (B.0) Abb. B.13: Geometrie bei der Zentrifugaldrift Die Inhomogenität von B führt also zu einer Bewegung des Führungszentrums senkrecht zur Magnetfeldrichtung. Die Drift setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, die im folgenden als Gradient-B Drift und Zentrifugaldrift identifiziert werden. α) Gradient-B Drift Der erste Term in GL. (B.0) führt zur Gradient-B Drift
23 38 V a, B = B (µ ab) q a B Diese Formel kann man aus der früher abgeleiteten Formel für die Drift in einem homogenen Magnetfeld unter dem Einfluß einer äußeren Kraft (Gl. B.10) u a = F a B gewinnen, indem q a B man dort F a durch (µ a B) ersetzt. β) Zentrifugaldrift Der zweite Term wird als Zentrifugaldrift identifiziert, d.h. die Drift, die unter dem Einfluß der Zentrifugalkraft entsteht, die ein Teilchen bei der Bewegung entlang einer gekrümmten Feldlinie erfährt. V a,z = m av a// B (e )e q a B Betrachtet man e als Funktion der Bogenlänge s entlang der Feldlinie, so ist nach Definition des totalen Differentials d.h. de = (e )eds (e )e = de ds Setzt man die geometrischen Verhältnisse von Abb. B.13 ein, erhält man de ds = 1 de R x dϕ = 1 R x R x R x = R x R x (R x ist der Vektor, der den Krümmungsradius der Feldlinie repräsentiert). m a V R a// (e )e = m a V x a// R = F a,z x ist also die Zentrifugalkraft. Die Formel für die Zentrifugaldrift kann also aus Gl. (B.10) gewonnen werden, indem man für die äußere Kraft die Zentrifugalkraft einsetzt.
24 39 V a,z = F a,z B q a B Anstatt die Zentrifugalkraft über den Enheitsvektor e in Richtung B auszudrücken, kann man sie auch direkt über B ausdrücken: Abb. B.14: Magnetfeldlinien auf einer Kugelfläche haben mindestens einen Punkt, an dem das Magnetfeld verschwindet. (e )e = 1 B (e )B + B(e ) 1 B also B ((e )e) = 1 B ((e )B) = 1 B ((B )B) B Damit wird die Zentrifugaldrift V a,z = m av a// B ((B )B) 4 q a B 5. Teilcheneinschluß a) Einleitung Abb. B.15: Die Geometrie am Plasmatorus Eine der zentralen Aufgaben der Hochtemperatur-Plasmaphysik ist der möglichst lange Einschluß eines genügend dichten Plasmas. Der einfachste Einschluß ist der Trägheitseinschluß: Auf grund ihrer trägen Masse bleiben Teilchen eine gewisse Zeit zusammen. Aufheizung muß so schnell erfolgen, daß das Plasma während der Aufheizzeit praktisch nicht
25 40 auseinanderfliegt. Man heizt das Plasma mit Laserlicht oder eventuell mit Teilchenstrahlen auf. Plasmen mit Trägheitseinschluß sind im allgemeinen sehr dicht und kurzlebig. Einschluß mit Hilfe von statischen elektrischen Feldern ist grundsätzlich instabil (Satz von Earnshaw). In zeitlich periodischen Feldern wird der Einschluß einzelner Teilchen in der Teilchenphysik erfolgreich praktiziert (s. Paul, Bonn), während Plasmaeinschluß in solchen Feldern praktisch nicht untersucht wird. Der erfolgreichste Einschluß für Plasmen ist heute der magnetische Einschluß. Die einfachste Geometrie wäre die Kugelgeometrie. Da Magnetfeldlinien geschlossen sein müssen, sieht man sofort ein, daß die Kugeloberfläche, auf der Magnetfeldlinien laufen, zwei Punkte hätten, an denen B gleich Null wäre, an denen also das Plasma entweichen könnte. Die einfachste magnetische Einschlußgeometrie ist also der axialsymmetrische Torus. b) Der axialsymmetrische Plasmatorus, Geometrie und Koordinaten Die Torusgeometrie ist in Abb. B.15 skizziert. Ein Torus ist ein Ring mit großem Radius R Abb. B.16: Im rein toroidalen Feld driften die Teilchen unabhängig vom Ladungsvorzeichen nach aussen und kleinem Radius a. R/a heißt das Aspektverhältnis, das also die Schlankheit eines Torus angibt. Die toroidale Koordinate, d.h. die Koordinate, die auf dem großen Umfang läuft, heißt ϕ, die poloidale entlang dem kleinen Umfang ω. Die Symmetrieachse wird als z-achse von Zylinderkoordinaten gewählt. Der Ring liegt in der Ebene z = 0, die wir zuweilen auch die Äquatorebene nennen. Wir schreiben der Eindeutigkeit wegen für ϕ und ω oft auch die Indizes tor und pol. Im axialsymmetrischen Feld sind alle Größen von der toroidalen Koordinate unabhängig, in Zylinderkoordinaten: ϕ B r = ϕ B ϕ = ϕ B z = 0
26 41 c) Plasma im rein toroidalen Feld Abb. B.17: Magnetische Flächen im axialsymmetrischen Torus Ein rein toroidales Feld wird am einfachsten durch einen geraden Stromfaden entlang der z- Achse erzeugt. Das Feld ist dann B = µ 0I πr also inhomogen. Das gleiche Verhalten hat man übrigens wegen des Ampereschen Gesetzes B dr = µ 0I für alle axialsymmetrischen Spulenanorednungen, in denen der Strom außerhalb des für den Einschluß betrachteten torusförmigen Bereiches fließt. Auf Grund der Gradient-B Drift driften positive und negative Teilchen in entgegengesetzte Richtungen parallel (b.z.w. antiparallel) zur z-achse. An dieser Stelle muß die strenge Einteilchenbetrachtung verlassen werden. Die Drift wird nämlich starke elektrische Felder aufbauen, die die Drift in z-richtung beenden. In diesem Zustand hat man gekreuzte E- und B- Felder, in denen Elektronen und Ionen in gleicher Richtung driften. Das Plasma verläßt in r-richtung die magnetische Falle. Abb. B.18: Durch die Verschraubung des Magnetfeldes können Raumladungen abgebaut werden d) Torus mit toroidalem und poloidalem Feld α) Die Felder Man kann den Plasmaverlust, der im rein toroidalen Feld auftritt, verhindern, indem man dem toroidalen Feld ein poloidales überlagert. Das Gesamtfeld ist dann B(r) = B tor (r) + B pol (r)
27 4 mit B tor (r) = B tor (r)e tor B pol wird durch einen toroidalen Strom I im Plasma erzeugt. Die Feldlinien verlaufen schraubenförmig auf ineinandergeschachtelten torusförmigen magnetischen Flächen. Die Feldlinien des poloidalen Anteils des Gesamtfeldes sind in Abb. B.17 skizziert. Die Neigung der Feldlinien gegen die Torusrichtung ist normalerweise klein. Typischerweise umläuft die Feldlinie bei einem Umlauf um den kleinen Umfang den großen Umfang drei mal. Dies ist gleichbedeutend damit, daß B pol << B tor B pol B tor = B = πa 3 πr = 1 a 3 R 1 10 B tor + B pol B pol = B tor 1 + B tor B tor Anschaulich bewirkt die Verschraubung der Feldlinie für den Teilcheneinschluß, daß die durch die Gradient-B Drift entstandenen vertikalen E-Felder in toroidaler Richtung kurzgeschlossen werden, denn dadurch, daß sich die geladenen Teilchen frei entlang dem Magnetfeld bewegen können, ist ein Ladungsaustausch zwischen einem Gebiet, in dem sich an der "oberen" Seite des Torus (d.h. in z-richtung) z.b. positive Ladung angesammelt hat, und einem in toroidaler Richtung versetztem Gebiet mit negativer Raumladung möglich, wenn durch beide Gebiete die gleichen Feldlinien laufen (Abb. B.18). β) Die Flußfunktion Nach Abschnitt B..b.δ war die Flußfunktion Ψ(r,z) als der magnetische Fluß definiert, der durch einen Kreis geht, der in einer Ebene senkrecht zur z-achse verläuft, der einen Radius r besitzt und dessen Mittelpunkt auf der z-achse liegt. Ψ(r, z) = B da
28 43 Auf den oben definierten magnetischen Flächen ist Ψ konstant. Um dies zu zeigen, benötigt man nur das poloidale Feld, da das toroidale Feld nicht zum Fluß beiträgt. Die Feldlinien des Abb. B.19: Die Bewegung des Gyrationszentrums in der Projektion auf die poloidale Ebene für den Fall, daß das Teilchen nicht in einem Spiegel reflektiert wird poloidalen Feldes sind in Abb. B.17 skizziert. Da die Kreise zur Berechnung des magnetischen Flusses auf einer magnetischen Oberfläche alle auf der gleichen poloidalen Feldlinie liegen, enthalten sie die gleiche Anzahl poloidaler Feldlinien und durchsetzt sie der gleiche magnetische Fluß. Man nennt die magnetischen Flächen daher auch Flußflächen. Im Plasma wächst Ψ in der Äquatorebene (bei geeigneter Richtung des toroidalen Stromes) mit wachsendem r bis zur magnetischen Achse, d.h. bis zu der Flußfläche, die zu einem Kreis entartet ist, an. Betrachtet man also den gesamten poloidalen Querschnitt, so wächst Ψ von außen nach innen und hat an der magnetischen Achse ein Maximum. γ) Teilchenbahnen Im folgendem wird die Bahn, die das Gyrationszentrum eines in einem axialsymmetrischen Torus gyrierenden Teilchens mit positiver Ladung (q > 0) qualitativ ermittelt. v und v sind // Komponenten von v senkrecht und parallel zu B, wobei v // positiv oder negativ sein kann, jenachdem, ob v // parallel oder antiparallel zu B ausgerichtet ist. Wegen der Axialsymmetrie des Feldes ist der verallgemeinerte Impuls in toroidaler Richtung p ϕ konstant (s. B..b.δ). p ϕ = mr ϕ + q Ψ(r, z) π Abb. B.0: Die Bahn eines eingefangenen Teilchens ähnelt in der Projektion auf die poloidale Ebene einer Banane In guter Näherung darf die Formeln r ϕ=v ϕ durch v // ersetzt werden. Die Diskussion stützt sich also auf
29 44 i) B(r) = RB(R) r ii) µ = m v B = const iii) v +v // = const iv) p ϕ = mrv // + q π Ψ = const. In Abb. B.19 ist die Projektion der Bahn in eine poloidale Ebene (ϕ = const) skizziert. Ein Teilchen mit q > 0 starte in der Äquatorebene an der Außenseite der Flußfläche. Das Führungszentrum folgt in erster Näherung der magnetischen Feldlinie und damit nimmt r ab. Nach Gl. i) wächst B, nach Gl. ii) wächst v, nach Gl. iii) nimmt v // ab, nach Gl. iv) nimmt Ψ zu, d.h. das Teilchen verbleibt nicht auf der anfänglich besetzten magnetischen Fläche, sondern verschiebt sein Gyrationszentrum auf eine magnetische Fläche mit größerem Ψ, d.h. eine magnetische Fläche, die näher an der magnetischen Achse liegt. Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten: 1. Fall : v 0// ist so groß, daß das Teilchen die Äquatioralebene innerhalb der magnetischen Achse mit v // > 0 erreicht. dann folgt es weiterhin der momentanen Feldlinie und beschreibt eine zur Äquatorebene spiegelsymmetrische Bahn (Abb. B.19)..Fall: Das Teilchen wird vor Erreichen der Äquatorialebene gespiegelt. v // erhält also im Spiegelpunkt ein negatives Vorzeichen, r wächst, nach i) nimmt B ab, nach ii) nimmt v ab und nach iii wächst v //. v // nimmt aber ab, da es immer negativer wird. Das hat zur Folge, daß nach iv) Ψ wächst. Das Teilchen nähert sich weiter der magnetischen Achse, es erreicht die Äquatorialebene außerhalb der magnetischen Achse. Von da an wiederholt sich die Bahn spiegelbildlich zur Äquatorialebene, so daß insgesamt die Form einer Banane entsteht. Man spricht von Bananenbahn (Abb. B.0). Das inhomogene Feld bildet also Spiegel, in denen Teilchen mit genügend kleiner Anfangsgeschwindigkeit parallel zu B eingefangen werden. Bei dem Hin- ind Herlaufen zwischen den
30 45 Spiegeln ist die Bahn nicht gleich, da der Erhaltungssatz des verallgemeinerten Impulses (Gl. iv) gilt, in dem v // vorzeichenbehaftet eingeht. Die Bananenbahn hat einen Einfluß auf die Diffusion der Teilchen im Torus. Diese entsteht durch Stöße von Teilchen untereinander. In einem homogenen Magnetfeld wird das Gyrationszentrum bei einem Stoß im Mittel um den Gyrationsradius versetzt. Bei Vorliegen einer Bananenbahn beträgt die Versetzung eine Strecke, die durch die Dicke der Bananenbahn gegeben ist. Die Diffusion erhöht sich dadurch. Man spricht in diesem Fall von neoklassischer Diffusion.
Lösung für Blatt 7,,Elektrodynamik
Institut für Theoretische Physik, Universität Zürich Lösung für Blatt 7,,Elektrodynamik Prof. Dr. T. Gehrmann Blatt 7 FS 213 Aufgabe 1 Induktion im Magnetfeld Nach dem Faraday schen Induktionsgesetz induziert
MehrVIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme
V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot
MehrO. Sternal, V. Hankele. 4. Magnetismus
4. Magnetismus Magnetfelder N S Rotationsachse Eigenschaften von Magneten und Magnetfeldern Ein Magnet hat Nord- und Südpol Ungleichnamige Pole ziehen sich an, gleichnamige Pole stoßen sich ab. Es gibt
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 13
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Sommersemester 014 Übungen zur Theoretischen Physik Lösungen zu Blatt 13 Aufgabe 51: Massenpunkt auf Kugel (a) Als generalisierte Koordinaten bieten sich Standard-Kugelkoordinaten
Mehr1 Physikalische Grundbegriffe
1 Physikalische Grundbegriffe Um die Voraussetzungen der physikalischen Kenntnisse in den nächsten Kapiteln zu erfüllen, werden hier die dafür notwendigen Grundbegriffe 1 wie das Atom, das Proton, das
Mehr15.Magnetostatik, 16. Induktionsgesetz
Ablenkung von Teilchenstrahlen im Magnetfeld (Zyklotron u.a.): -> im Magnetfeld B werden geladene Teilchen auf einer Kreisbahn abgelenkt, wenn B senkrecht zu Geschwindigkeit v Kräftegleichgewicht: 2 v
Mehr10.1 Ampère sches Gesetz und einfache Stromverteilungen
1 Magnetostatik Solange keine Verwechslungen auftreten, werden wir in diesem und in den folgenden Kapiteln vom magnetischen Feld B an Stelle der magnetischen Induktion bzw. der magnetischen Flußdichte
MehrÜbungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: , Abgabe am )
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: 14.09.11, Abgabe am 1.09.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.
MehrAufgabe 1 ( 5 Punkte) Aufgabe 2 ( 6 Punkte) Aufgabe 3 ( 12 Punkte) Lösung. Lösung. Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur
Elektromagnetische Felder und Wellen: zur Klausur 2015-1 1 Aufgabe 1 ( 5 Punkte) Ein Elektronenstrahl ist entlang der z-achse gerichtet. Bei z = 0 und bei z = L befindet sich jeweils eine Lochblende, welche
MehrProbeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik
Prof. Dr. H. Friedrich Physik-Department T3a Technische Universität München Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Montag, 2.7.29 Hörsaal 1 1:15-11:5 Aufgabe 1 (8 Punkte) Geben Sie möglichst
MehrElektrizitätslehre und Magnetismus
Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 09. 06. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 09. 06.
MehrBewegung im elektromagnetischen Feld
Kapitel 6 Bewegung im elektromagnetischen Feld 6. Hamilton Operator und Schrödinger Gleichung Felder E und B. Aus der Elektrodynamik ist bekannt, dass in einem elektrischen Feld E(r) und einem Magnetfeld
MehrPhysik-Department. Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Musterlösung
Physik-Department Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Musterlösung Daniel Jost 27/08/13 Technische Universität München Aufgaben zur Magnetostatik Aufgabe 1 Bestimmen Sie das Magnetfeld eines unendlichen
MehrÜbung 1 - Musterlösung
Experimentalphysik für Lehramtskandidaten und Meteorologen 8. April 00 Übungsgruppenleiter: Heiko Dumlich Übung - Musterlösung Aufgabe Wir beginnen die Aufgabe mit der Auflistung der benötigten Formeln
MehrPhysik LK 12, 2. Kursarbeit Magnetismus Lösung A: Nach 10 s beträgt ist der Kondensator praktisch voll aufgeladen. Es fehlen noch 4μV.
Physik LK 2, 2. Kursarbeit Magnetismus Lösung 07.2.202 Konstante Wert Konstante Wert Elementarladung e=,602 0 9 C. Masse Elektron m e =9,093 0 3 kg Molmasse Kupfer M Cu =63,55 g mol Dichte Kupfer ρ Cu
MehrFormelsammlung. Lagrange-Gleichungen: q k. Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L. Hamilton-Funktion: p k. Hamiltonsche Gleichungen: q k = H
Formelsammlung Lagrange-Gleichungen: ( ) d L dt q k L q k = 0 mit k = 1,..., n. (1) Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L q k. (2) Hamilton-Funktion: n H(q 1,..., q n, p 1,..., p n, t) = p k
Mehr12. Elektrodynamik. 12. Elektrodynamik
12. Elektrodynamik 12.1 Quellen von Magnetfeldern 12.2 Das Ampere sche Gesetz 12.3 Maxwell sche Verschiebungsstrom 12.4 Magnetische Induktion 12.5 Lenz sche Regel 12.6 Magnetische Kraft 12. Elektrodynamik
Mehr7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie
7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie Ausgearbeitet von Rolf Horn und Bernhard Schmitz 7.1 Einleitung Um die Hamilton schen Bewegungsgleichungen q k = H(q, p) p k ṗ k = H(p, q) q k zu vereinfachen, führten wir
Mehr1 Drift in gekreuzten elektrischen und magnetischen
1 Drift in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern In einem Magnetfeld wirkt auf eine bewegte Ladung die Lorentzkraft. Aufgrund der Lorentzkraft unterscheidet sich die Bewegung parallel und senkrecht
MehrAbiturprüfung Physik, Grundkurs. Aufgabe: Die Helmholtzspule, die Messung des Erdmagnetfeldes sowie seine Wirkung auf geladene Teilchen
Seite 1 von 6 Abiturprüfung 2012 Physik, Grundkurs Aufgabenstellung: Aufgabe: Die Helmholtzspule, die Messung des Erdmagnetfeldes sowie seine Wirkung auf geladene Teilchen Ein homogenes Magnetfeld in einem
MehrElektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur
Elektromagnetische Felder und Wellen: zur Klausur 2014-2 1 Aufgabe 1 ( 7 Punkte) Eine ebene Welle der Form E = (E x, ie x, 0) exp{i(kz + ωt)} trifft aus dem Vakuum bei z = 0 auf ein Medium mit ε = 6 und
MehrX.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum 173 X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum In Abwesenheit von Quellen, ρ el. = 0 j el. = 0, nehmen die Bewegungsgleichungen (X.9) (X.11) für die elektromagnetischen
MehrFelder und Wellen WS 2016/2017
Felder und Wellen WS 216/217 Musterlösung zum 2. Tutorium 1. Aufgabe (**) Berechnen Sie das el. Feld einer in z-richtung unendlich lang ausgedehnten unendlich dünnen Linienladung der Ladungsdichte η pro
Mehr(a) Transformation auf die generalisierten Koordinaten (= Kugelkoordinaten): ẏ = l cos(θ) θ sin(ϕ) + l sin(θ) cos(ϕ) ϕ.
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Theoretische Physik B - Lösungen SS 10 Prof. Dr. Aleander Shnirman Blatt 5 Dr. Boris Narozhny, Dr. Holger Schmidt 11.05.010
MehrEinführung in die Plasmaphysik Vorlesungsskript. K.- D. Harms, A. Stampa. Universität - Gesamthochschule Essen, WS 97/98
Einführung in die Plasmaphysik Vorlesungsskript K.- D. Harms, A. Stampa Universität - Gesamthochschule Essen, WS 97/98 1 KAPITEL A: Einleitung Inhalt Seite 1. Was ist Plasma? 5 a) Erste Näherung 5 b) Quasineutralität
MehrÜbungen zu Experimentalphysik 2
Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler Übungen zu Experimentalphysik 2 SS 13 - Lösungen zu Übungsblatt 4 1 Schiefe Ebene im Magnetfeld In einem vertikalen, homogenen Magnetfeld
MehrFallender Stein auf rotierender Erde
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen
MehrElektromagnetische Felder und Wellen
Elektromagnetische Felder und Wellen Name: Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: Aufgabe 10: Aufgabe 11: Aufgabe 12:
MehrÜbungen: Kraftwirkung in magnetischen Feldern
Übungen: Kraftwirkung in magnetischen Feldern Aufgabe 1: Zwei metallische Leiter werden durch einen runden, beweglichen Kohlestift verbunden. Welche Beobachtung macht ein(e) Schüler(in), wenn der Stromkreis
MehrKlausur 2 Kurs 12Ph3g Physik
2009-11-16 Klausur 2 Kurs 12Ph3g Physik Lösung (Rechnungen teilweise ohne Einheiten, Antworten mit Einheiten) Die auf Seite 3 stehenden Formeln dürfen benutzt werden. Alle anderen Formeln müssen hergeleitet
MehrKoaxialleiter E-Feldstärke, H-Feldstärke
Koaxialleiter E-Feldstärke, H-Feldstärke blog.zahlenpresse.de 4. April 3 R 3 Abbildung : uerschnitt vom Koaxialleiter Für alle Berechnungen in diesem Dokument wird ein Koaxialleiter folgender Konstruktion
MehrTheoretischen Physik II SS 2007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen
Theoretischen Physik II SS 007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen Aufgabe Hohlleiter Gegeben sei ein in z-richtung unendlich langer, gerader Hohlleiter (Innenradius R/3, Außenradius R), der einen Stromfaden
MehrX.3.1 Energiedichte und -stromdichte des elektromagnetischen Feldes
X.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes 169 X.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes Genau wie mechanische Systeme trägt das elektromagnetische Feld Energie ( X.3.1 und Impuls
MehrBeispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte]
Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 9 (Austeilung am: 1.9.11, Abgabe am 8.9.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.
MehrAufgabenblatt zum Seminar 09 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)
Aufgabenblatt zum Seminar 9 PHYS7357 Elektrizitätslehre und Magnetismus Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Othmar Marti, othmar.marti@uni-ulm.de) 7. 6. 9 Aufgaben. Durch eine
MehrElektromagnetische Felder und Wellen. Klausur Frühjahr Aufgabe 1 (3 Punkte) Aufgabe 2 (5 Punkte) k 21. k 11 H 11
Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur Frühjahr 2006 1 Elektromagnetische Felder und Wellen Klausur Frühjahr 2006 Aufgabe 1 (3 Punkte) Eine Leiterschleife mit dem Mittelpunkt r L = 2a e z und Radius
MehrAn welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern?
An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern? Ideale und reale Spannungsquellen Kirchhoffsche Regeln Parallelschaltung und Reihenschaltungen von Widerständen Amperemeter
Mehr11. Vorlesung Wintersemester
11. Vorlesung Wintersemester 1 Ableitungen vektorieller Felder Mit Resultat Skalar: die Divergenz diva = A = A + A y y + A z z (1) Mit Resultat Vektor: die Rotation (engl. curl): ( rota = A Az = y A y
Mehr6.4.8 Induktion von Helmholtzspulen ******
V648 6.4.8 ****** Motivation Das Induktionsgesetz von Faraday wird mit einer ruhenden Leiterschleife im zeitabhängigen B-Feld und mit einer bewegten Leiterschleife im stationären B-Feld untersucht. 2 Experiment
MehrMagnetostatik. Kapitel Problemstellung. 3.2 Langer gerader Draht
Kapitel 3 Magnetostatik 3.1 Problemstellung In der Magnetostatik betrachten wir das Magnetfeld ~ B = ~ r ~ A,dasvoneiner gegebenen zeitunabhängigen Stromverteilung ~j (~r ) produziert wird. Die Feldlinien
Mehr2. Lagrange-Gleichungen
2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen
MehrPolarisierung und Magnetisierung
Übung 2 Abgabe: 10.03. bzw. 14.03.2017 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2017 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Polarisierung und Magnetisierung 1 Mathematische
MehrInduktion. Die in Rot eingezeichnete Größe Lorentzkraft ist die Folge des Stromflusses im Magnetfeld.
Induktion Die elektromagnetische Induktion ist der Umkehrprozess zu dem stromdurchflossenen Leiter, der ein Magnetfeld erzeugt. Bei der Induktion wird in einem Leiter, der sich in einem Magnetfeld bewegt,
Mehr12. Elektrodynamik Quellen von Magnetfeldern 12.2 Das Ampere sche Gesetz 12.3 Magnetische Induktion 12.4 Lenz sche Regel 12.5 Magnetische Kraft
12. Elektrodynamik 12.1 Quellen von Magnetfeldern 12.2 Das Ampere sche Gesetz 12.3 Magnetische Induktion 12.4 Lenz sche Regel 12.5 Magnetische Kraft 12. Elektrodynamik Beobachtungen zeigen: - Kommt ein
MehrÜbungsblatt 05 PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)
Übungsblatt 05 PHYS300 Grundkurs IIIb Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, othmar.marti@physik.uni-ulm.de) 5. 2. 2003 oder 2.. 2004 Aufgaben. In einer Leitung, die parallel zur x-achse
MehrTheoretische Physik I: Weihnachtszettel Michael Czopnik
Theoretische Physik I: Weihnachtszettel 21.12.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Rudolph und der Weihnachtsmann Der Weihnachtsmann (Masse M) und sein Rentier Rudolph (Masse m) sind durch ein Seil mit konstanter
Mehr2. Klausur zur Theoretischen Physik I (Mechanik)
2. Klausur zur Theoretischen Physik I (echanik) 09.07.2004 Aufgabe 1 Physikalisches Pendel 4 Punkte Eine homogene, kreisförmige, dünne Platte mit Radius R und asse ist am Punkt P so aufgehängt, daß sie
MehrI.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9
I. Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I..3 b Arbeit einer Kraft Wird die Wirkung einer Kraft über ein Zeitintervall oder genauer über die Strecke, welche das mechanische System in diesem Zeitintervall
MehrElektrizitätslehre und Magnetismus
Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 12. 06. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 12. 06.
Mehr4.9 Der starre Körper
4.9 Der starre Körper Unter einem starren Körper versteht man ein physikalische Modell von einem Körper der nicht verformbar ist. Es erfolgt eine Idealisierung durch die Annahme, das zwei beliebig Punkte
MehrTheoretische Mechanik
Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 2008 Theoretische Mechanik 9. Übung 9.1 d alembertsches Prinzip: Flaschenzug Wir betrachten
Mehr3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome
Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:
Mehr2.3 Gekrümmte Oberflächen
2.3 Gekrümmte Oberflächen Jede Fläche im R 3 besitzt eine zweidimensionale Parameterdarstellung, so dass die Punkte der Fläche durch r(u, u 2 ) = x(u, u 2 )ê x + y(u, u 2 )ê y + z(u, u 2 )ê z beschrieben
MehrSpezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0
Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Impulserhaltung: Quadrieren ergibt Energieerhaltung: Deshalb muss gelten m v 1 = m ( u 1 + u 2 ) m 2 v 1 2 = m 2 ( u 2 1 + 2 u 1 u 2 + u 2 ) 2 m 2 v2 1 = m 2 ( u 2 1 +
Mehr1 Ableitungen. Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen. a 1 + tx 1. eine Kurve.
1 Ableitungen Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen γ 1 (t) γ(t) = γ n (t) Bild(γ) = {γ(t) t I} heißt auch die Spur der Kurve Beispiel:1)
MehrModerne Theoretische Physik WS 2013/2014
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik WS 23/24 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 2:Lösungen Dr. B. Narozhny Besprechung 8..23. Gauß scher
MehrLösungsvorschlag zu Blatt3 Theoretische Physik III: Elektrodynamik WS 2015/16
Lösungsvorschlag zu Blatt3 Theoretische Physik III: Elektrodynamik WS 215/16 Abgabetermin: keine Abgabe, sondern Wertung als Präsenzübung Prof. Dr. Claudius Gros, Institut für Theoretische Physik, Goethe-Universität
MehrElektromagnetische Felder und Wellen: Klausur
Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur 2015-1 Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: Gesamtpunktzahl: Ergebnis: Bemerkungen: Elektromagnetische
Mehr5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze
5. Raum-Zeit-Symmetrien: Erhaltungssätze Unter Symmetrie versteht man die Invarianz unter einer bestimmten Operation. Ein Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es gegenüber Symmetrieoperationen
MehrBetrachtet man einen starren Körper so stellt man insgesamt sechs Freiheitsgrade der Bewegung
Die Mechanik besteht aus drei Teilgebieten: Kinetik: Bewegungsvorgänge (Translation, Rotation) Statik: Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften Dynamik: Kräfte als Ursache von Bewegungen Die Mechanik
MehrMagnetische Phänomene
Magnetische Phänomene Bekannte magnetische Phänomene: Permanentmagnete; Das Erdmagnetfeld (Magnetkompass!); Elektromagnetismus (Erzeugung magnetischer Kraftwirkungen durch Stromfluss) Alle magnetischen
MehrÜbungsblatt 06. PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti,
Übungsblatt 06 PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de) 24. 1. 2005 31. 1. 2005 1 Aufgaben 1. Berechnen Sie für das Vektorpotential
MehrLösungsvorschlag Theoretische Physik A Neuntes Übungsblatt
Lösungsvorschlag Theoretische Physik A Neuntes Übungsblatt Aufgabe 3 Prof. Dr. Schön und Dr. Eschrig Wintersemester 004/005 Durch Trennung der Veränderlichen und anschließende Integration ergibt sich aus
MehrBlatt 4. Stoß und Streuung - Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 211 Blatt 4. Stoß und Streuung - Lösungsvorschlag Aufgabe 4.1. Stoß Zwei
MehrElektrizitätslehre und Magnetismus
Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 28. 05. 2009 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 28. 05. 2009
MehrPhysik III Übung 1 - Lösungshinweise
Physik III Übung 1 - Lösungshinweise Stefan Reutter WiSe 212 Moritz Kütt Stand: 16.11.212 Franz Fujara Aufgabe 1 [P] ermanentmagnete (Diskussion) Benötigt man, um ein Magnetfeld zu erhalten, immer einen
MehrKlausur zur T1 (Klassische Mechanik)
Klausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 2006/07 Bearbeitungsdauer: 120 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte
MehrGrundlagen der Physik 2 Lösung zu Übungsblatt 6
Grundlagen der Physik Lösung zu Übungsblatt 6 Daniel Weiss 17. Mai 1 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Helholtz-Spulen 1 a) agnetische Feldstärke.............................. 1 b) hoogenes Feld..................................
Mehr2. Vorlesung Wintersemester
2. Vorlesung Wintersemester 1 Mechanik von Punktteilchen Ein Punktteilchen ist eine Abstraktion. In der Natur gibt es zwar Elementarteilchen (Elektronen, Neutrinos, usw.), von denen bisher keine Ausdehnung
Mehr3.7 Gesetz von Biot-Savart und Ampèresches Gesetz [P]
3.7 Gesetz von Biot-Savart und Ampèresches Gesetz [P] B = µ 0 I 4 π ds (r r ) r r 3 a) Beschreiben Sie die im Gesetz von Biot-Savart vorkommenden Größen (rechts vom Integral). b) Zeigen Sie, dass das Biot-Savartsche
MehrE1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6
Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik E1 Mechanik Musterlösung Übungsblatt 6 WS 214 / 215 Prof. Dr. Hermann Gaub Aufgabe 1 Zwei Kugeln der gleichen Masse mit den Geschwindigkeiten
MehrElektromagnetische Felder und Wellen: Klausur
Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur 2012-2 Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: Aufgabe 10: Aufgabe 11: Aufgabe 12: Aufgabe 13: Aufgabe
MehrName: Gruppe: Matrikel-Nummer:
Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Nachklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2008 (1. Oktober
MehrProbeklausur zur T1 (Klassische Mechanik)
Probeklausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 006/07 Bearbeitungsdauer: 10 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 2 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Perle Eine Perle der Masse m gleite reibungsfrei auf einem vertikal stehenden Ring vom Radius
Mehr3. Kreisbewegung. Punkte auf einem Rad Zahnräder, Getriebe Drehkran Turbinen, Hubschrauberrotor
3. Kreisbewegung Ein wichtiger technischer Sonderfall ist die Bewegung auf einer Kreisbahn. Dabei hat der Massenpunkt zu jedem Zeitpunkt den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Beispiele: Punkte auf
MehrWELLEN im VAKUUM. Kapitel 10. B t E = 0 E = B = 0 B. E = 1 c 2 2 E. B = 1 c 2 2 B
Kapitel 0 WELLE im VAKUUM In den Maxwell-Gleichungen erscheint eine Asymmetrie durch Ladungen, die Quellen des E-Feldes sind und durch freie Ströme, die Ursache für das B-Feld sind. Im Vakuum ist ρ und
MehrFerienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen
Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen Montag Daniel Jost Datum 2/8/212 Aufgabe 1: (a) Betrachten Sie eine Ladung, die im Ursprung
Mehr3. Kreisbewegung. Punkte auf einem Rad Zahnräder, Getriebe Drehkran Turbinen, Hubschrauberrotor
3. Kreisbewegung Ein wichtiger technischer Sonderfall ist die Bewegung auf einer Kreisbahn. Dabei hat der Punkt zu jedem Zeitpunkt den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Beispiele: Punkte auf einem
MehrKlassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 12. PD
Mehr2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort
MehrBlatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 011 Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Aufgabe 1.1. Schraubenlinie Die
MehrTheoretische Physik 4 - Blatt 1
Theoretische Physik 4 - Blatt 1 Christopher Bronner, Frank Essenberger FU Berlin 21.Oktober.2006 Inhaltsverzeichnis 1 Compton-Effekt 1 2 Bohrsches Atommodell 2 2.1 Effektives Potential..........................
MehrFeldlinienbilder: nur die halbe Wahrheit! H. Hauptmann, F. Herrmann Abteilung für Didaktik der Physik, Universität, Karlsruhe
Feldlinienbilder: nur die halbe Wahrheit! H. Hauptmann, F. Herrmann Abteilung für Didaktik der Physik, Universität, 76128 Karlsruhe Einleitung Ein Feldlinienbild ist wohl die am häufigsten benutzte Methode
MehrMagnetisches Induktionsgesetz
Magnetisches Induktionsgesetz Michael Faraday entdeckte, dass ein sich zeitlich veränderndes Magnetfeld eine elektrische Spannung in einer Schleife oder Spule aus leitendem Material erzeugt: die Induktionsspannung
MehrKapitel 2. Kinematik des Massenpunktes. 2.1 Einleitung. 2.2 Massenpunkt. 2.3 Ortsvektor
Kapitel 2 Kinematik des Massenpunktes 2.1 Einleitung In diesem Kapitel behandeln wir die Bewegung von einem oder mehreren Körpern im Raum. Wir unterscheiden dabei zwischen Kinematik und Dynamik. Die Kinematik
MehrT1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016
T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016 Jan von Delft http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/t1_theor_mechanik Newtonsche Sätze (Originalformulierung) 1. Jeder Körper verharrt in seinem
MehrTheoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik
Theoretische Physik I: Lösungen Blatt 2 15.10.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Scheinkräfte Nutze Zylinderkoordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Zweimaliges differenzieren ergibt: ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin
Mehr6.4 Oberflächenintegrale 1. und 2. Art
6.4 Oberflächenintegrale. und. Art 6.4. Integration über Flächen im Raum Es gibt verschiedene Möglichkeiten der arstellung von Flächen im Raum:. explizite arstellung als Graph z = f(x, y), was aber eigentlich
Mehr1 Die drei Bewegungsgleichungen
1 Die drei Bewegungsgleichungen Unbeschleunigte Bewegung, a = 0: Hier gibt es nur eine Formel, nämlich die für den Weg, s. (i) s = s 0 + v t s ist der zurückgelegte Weg, s 0 der Ort, an dem sich der Körper
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2011/12 Vorlesung 3 Differenziation und Integration von Vektorfunktionen Der Ortsvektor: Man kann einen Punkt P im Raum eindeutig durch die
MehrÜbungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe:
Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 03 Blatt 7 vom 0.06.3 Abgabe: 7.06.3 Aufgabe 9 3 Punkte Keplers 3. Gesetz Das 3. Keplersche Gesetz für die Planetenbewegung besagt, dass das
MehrWiederholung: Magnetfeld: Ursache eines Magnetfelds: bewegte elektrische Ladungen veränderliches Elektrisches Feld
1 Wiederholung: Magnetfeld: Ursache eines Magnetfelds: bewegte elektrische Ladungen veränderliches Elektrisches Feld N S Magnetfeld um stromdurchflossenen Draht Magnetfeld um stromführenden Draht der zu
Mehr11. Elektrodynamik Magnetische Kraft auf Stromleiter Quellen von Magnetfeldern. 11. Elektrodynamik. Physik für E-Techniker
11. Elektrodynamik 11.5.2 Magnetische Kraft auf Stromleiter 11.5.3 Quellen von Magnetfeldern 11.5.2 Magnetische Kraft auf Stromleiter Wir hatten: Frage: Kraft auf einzelne Punktladung Kraft auf Stromleiter
MehrBlatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus
MehrInhalt. Kapitel 3: Elektrisches Feld
Inhalt Kapitel 3: Ladung Elektrische Feldstärke Elektrischer Fluss Elektrostatische Felder Kapazität Kugel- und Plattenkondensator Energie im elektrostatischen Feld Ladung und Feldstärke Ladung Q = n e,
MehrFerienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz
Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz Stephan Huber 19. August 2009 1 Nachtrag zum Drehmoment 1.1 Magnetischer Dipol Ein magnetischer Dipol erfährt
Mehr