Analysis 1 August 2010

Transkript

1 Analysis August 200 Michael Kaltenbäck

2

3 Inhaltsverzeichnis Mengen und Abbildungen. Mengen Funktionen Die reellen Zahlen 9 2. Algebraische Struktur der reellen Zahlen Ordnungsstruktur der reellen Zahlen Die natürlichen Zahlen Der Ring der ganzen Zahlen Der KörperQ Archimedisch angeordnete Körper Das Vollständigkeitsaxiom Die komplexen Zahlen Der Grenzwert Metrische Räume Der Grenzwert in metrischen Räumen Folgen reeller und komplexer Zahlen Existenz von Grenzwerten Konvergenz in weiteren metrischen Räumen Konvergenz gegen unendlich Unendliche Reihen Konvergenzkriterien Umordnungen von Reihen und Doppelreihen Die Konstruktion der reellen Zahlen 93 5 Geometrie metrischer Räume ǫ-kugeln, offene und abgeschlossene Mengen Kompaktheit Folgen und Netze Reelle und komplexe Funktionen 7 6. Stetigkeit Der Zwischenwertsatz Gleichmäßige Stetigkeit Unstetigkeitsstellen Monotone Funktionen Gleichmäßige Konvergenz i

4 ii INHALTSVERZEICHNIS 6.7 Reell- und komplexwertige Folgen und Reihen Die Exponentialfunktion Fundamentalsatz der Algebra Weitere wichtige elementare Funktionen Differentialrechnung Begriff der Ableitung Mittelwertsätze Der Taylorsche Lehrsatz Stammfunktion Literaturverzeichnis 9 Index 92

5 Kapitel Mengen und Abbildungen. Mengen Die Objekte der modernen Mathematik sind die Mengen. Obwohl die Logik einen axiomatischen Zugang zur Mengenlehre bietet, wollen wir uns auf den vom Schöpfer der Mengenlehre (Georg CANTOR) geprägten Mengenbegriff stützen:.. Definition. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung zu einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente der Menge. Ist x ein solches Element von M, so schreiben wir x M. Im Falle, dass x nicht zu M gehört, schreiben wir x M. Möglichkeiten Mengen darzustellen sind die aufzählende Schreibweise: und die beschreibende Schreibweise: M={a, b, c, d, e}, oder M={, 2,...} M={x : x ist ungerade ganze Zahl}...2 Definition. Sind A, B Mengen, so sagt man A ist gleich B (A = B), wenn sie die selben Elemente enthalten. Man sagt A ist eine Teilmenge von B (A B), falls jedes Element von A auch ein Element von B ist. In diesem Fall bezeichnet man auch B als Obermenge von A (B A). Will man zum Ausdruck bringen, dass dabei A mit B nicht übereinstimmt, so schreibt man A B. Schreibweisen wie A B, A B, o.ä. sind dann selbsterklärend. Einer bestimmten Menge werden wir oft begegnen, nämlich der leeren Menge, also der Menge, die keine Elemente enthält. Man beachte zum Beispiel, dass die Menge{a, b, c} gleich der Menge{c, a, b, a} ist, und dass z.b. die Menge{, 3, 5,...} mit {x : x ist ungerade natürliche Zahl} übereinstimmt. Hat man zwei oder mehrere Mengen, so kann man diese in verschiedener Weise miteinander verknüpfen.

6 2 KAPITEL. MENGEN UND ABBILDUNGEN..3 Definition. Seien A und B zwei Mengen: Die Menge A B={x : x A oder x B} heißt die Vereinigungsmenge von A und B. Für A B sagt man kurz auch A vereinigt B. Die Menge A B={x : x A und x B} heißt die Schnittmenge von A und B. Man sagt kurz auch A geschnitten B. Die Menge B\ A={x : x B und x A} ist die Differenz von B und A. Man sagt kurz auch B ohne A. Betrachtet man Teilmengen A einer fixen Grundmenge M, so schreiben wir auch A c für M\ A und nennen es das Komplement von A in M, kurz A Komplement. A B :={(x, y) : x A, y B} das kartesische Produkt der Mengen A und B. Das ist also die Menge, deren Elemente die geordneten Paare sind, deren erste Komponente zu A und deren zweite Komponente zu B gehört. Für A A schreibt man auch A 2. Auch Durchschnitt und Vereinigung von mehr als zwei Mengen kann man analog definieren. Ist M i, i I, eine Familie von Mengen, durchindiziert mit der Indexmenge I, so ist M i :={x : x M i für alle i I}, i I M i :={x : es gibt ein i I mit x M i }. i I Das kartesische Produkt endlich vieler Mengen ist analog wie jenes für zwei Mengen erklärt. Zum Beispiel ist Für A A Aschreibt man A 3, u.s.w...4 Beispiel. A B C :={(x, y, z) : x A, y B, z C}. Einfache Beispiele für Durchschnitts- bzw. Vereinigungsbildung wären: {, 2, 3} {, 0, }={},{a, b, 7} {3, 4, x}=, {2, 3, 4, 5} {4, 5, 6, 7}={2, 3, 4, 5, 6, 7},{a, b, c} ={a, b, c}. Ist M 2 ={x Z: es gibt ein y Z, sodass x=2y}, so wärez\ M 2 gerade die Menge der ungeraden ganzen Zahlen. Weiters ist {, 2, 3, 4}\{4, 5, 6, 7}={, 2, 3},{a, b, c}\ ={a, b, c}. Bezeichnet man mit 2N die Menge der geraden natürlichen Zahlen, so ist das kartesische Produkt N 2N die Menge N 2N={(, 2), (, 4),..., (2, 2), (2, 4),..., (3, 2), (3, 4),...}. Anm.: Ist x y, so ist (x, y) (y, x).

7 .. MENGEN 3..5 Definition. Ist M eine Menge, so bezeichnet man mit P(M) die Menge aller Teilmengen von M, P(M)={A : A M}. Diese Menge heißt die Potenzmenge von M. Sie ist also die Menge, deren Elemente alle Teilmengen von M sind...6 Beispiel. Ist M ={, 2, 3}, dann ist die Potenzmenge P(M) gleich P(M)={,{},{2},{3},{, 2},{, 3},{2, 3},{, 2, 3}}. Die Potenzmenge der MengeNist schon viel zu groß um sie noch in irgendeiner aufzählenden Weise anschreiben zu können. Sie enthält ja neben Mengen des Typs {, 2, 3},{4, 6, 7, 8, 004} usw. auch noch unendliche Mengen wie zum Beispiel 2N oder {n N:n 27} und viele mehr...7 Bemerkung. Für das Verknüpfen von Mengen gelten diverse Rechenregeln. Es gilt zum Beispiel das Distributivgesetz für drei Mengen A, B, C: A (B C)=(A B) (A C), (.) A (B C)=(A B) (A C). Um z.b. (.) nachzuweisen beachte man, dass zwei Mengen übereinstimmen, wenn ein beliebiges Element x genau dann in der einen Menge ist, wenn es auch in der anderen Menge ist: Ein x liegt in A (B C) genau dann, wenn x A und x B C. Das ist gleichbedeutend mit: x A, und x liegt zumindest in einer der Mengen B bzw. C. Diese Aussage ist aber äquivalent zu: Zumindest eine der Aussagen - x A und x B - oder - x A und x C - trifft zu. Nun ist das dasselbe, wie: Schließlich gilt das genau dann, wenn x A Boder x A C. x (A B) (A C). Den an einem kleinen Abriss des axiomatischen Zugangs zur Mengenlehre interessierten Leser möchte ich hier an die Vorlesung Lineare Algebra verweisen.

8 4 KAPITEL. MENGEN UND ABBILDUNGEN.2 Funktionen.2. Definition. Seien M und N Mengen. Eine Teilmenge f M N heißt eine Funktion von M nach N, wenn gilt (i) Für alle x Mgibt es ein y N : (x, y) f, (ii) Sind (x, y ) f und (x, y 2 ) f, so folgt y = y 2. Die Bedingung (i) besagt, dass jedem x (mindestens) ein Funktionswert y zugeordnet wird, man sagt auch f ist überall definiert. Die Bedingung (ii) besagt, dass einem x höchstens ein Funktionswert zugeordnet wird. Man sagt auch f sei wohldefiniert. Insgesamt hat man also: Eine Funktion von M nach N ist eine (wie auch immer geartete) Vorschrift, durch die jedem Element x aus der Menge M in eindeutiger Weise ein Element y aus der Menge N zugeordnet wird. Man schreibt y = f (x) und bezeichnet y als den Funktionswert von f an der Stelle x. Anstelle des Namens Funktion gebraucht man auch den Namen Abbildung. Klarerweise stimmen zwei Funktionen f und g von M nach N überein, also f = g, genau dann, wenn f (x)=g(x) für alle x M. Sieht man eine Funktion eher als Abbildungsvorschrift, dann unterscheidet man - obwohl mathematisch das Gleiche - die Funktion als Abbildungsvorschrift und die Funktion als Teilmenge von M N, und man bezeichnet diese Teilmenge von M N auch als Graph graph f von f. Da für eine Funktion der einem Wert zugeordnete Funktionswert ja eindeutig bestimmt ist, schreibt man eine Funktion f von M nach N auch oft an als { M N f : x f (x)..2.2 Definition. Ist M eine Menge, so heißt die Abbildung { M M id M : x x die identische Abbildung auf der Menge M. Daher id M : M M mit id M (x)= x..2.3 Beispiel. Sei M die Menge aller Wörter in einem Wörterbuch.N={, 2,...} sei die Menge der natürlichen Zahlen. Sei nun f jene Funktion auf M, die jedem Wort die Anzahl seiner Buchstaben zuweist. Also z.b. f ( gehen )= Beispiel. Wir haben im Abschnitt über Familien von Mengen M i, i I, gesprochen, ohne genau zu sagen, was das bedeutet. Das ist nämlich die Funktion i M i von der Indexmenge I in die Potenzmenge P(M), wobei M eine hinreichend große Menge ist, die alle Mengen M i enthält, z.b. M= i I M i..2.5 Bemerkung. In manchen Zusammenhängen betrachtet man auch Funktionen, die nicht überall definiert sind. Das sind Teilmengen von f M N, die nur die Eigenschaft (ii) aus Definition.2. haben, d.h. dass es zu jedem Wert x M höchstens einen

9 .2. FUNKTIONEN 5 Funktionswert (d.h. keinen oder genau einen) y N gibt. Man muss dann zusätzlich den Definitionsbereich dom f (vom englischen Wort domain) der Funktion angeben: dom f={x M : es gibt ein y N, sodass (x, y) f}. Der Wertebereich ran f (vom englischen Wort range) einer Funktion f ist die Menge Betrachte zum Beispiel ran f={y N : es gibt ein x M, sodass (x, y) f}. f :={(x, y) N 2 : x=2y}. (.2) Offenbar ist dieses f eine nur auf der Menge der geraden Zahlen definierte Funktion..2.6 Definition. Sei f eine Funktion von M nach N und sei A M. Die Funktion, die jedem x A den Funktionswert f (x) zuweist, heißt Einschränkung von f auf A und wird mit f A bezeichnet. Also f A ={(x, y) f : x A}. Ist umgekehrt g eine Funktion von A nach N und M A, so heißt eine Funktion f : M NFortsetzung von g, falls g= f A..2.7 Definition. Für eine Teilmenge A von M bezeichne f (A)={y N : es gibt ein x A, sodass f (x)=y}, das Bild der Menge A unter der Abbildung f. Klarerweise ist ran f=f (M). Ist y N, und ist x M, sodass y= f (x), so bezeichnet man x als ein Urbild von y. Das vollständige Urbild einer Teilmenge B von N ist die Menge f (B) :={x M: f (x) B}..2.8 Bemerkung. Ist f : M Neine Funktion, und ist B N mit f (M) B, so kann man f auch als Funktion von M nach B betrachten..2.9 Beispiel. Betrachte zum Beispiel die Funktion n 2n von N in N. Natürlich kann man auch n 2n als Funktion vonnin die Menge aller geraden natürlichen Zahlen betrachten. Folgende Begriffsbildung ist auf den ersten Blick nicht allzu kompliziert. Sie spielt aber in der Mathematik eine ganz wichtige Rolle..2.0 Definition. Sei f : M Neine Funktion. f heißt injektiv, wenn gilt f (x )= f (x 2 ) x = x 2, d.h. zu jedem Wert y N gibt es höchstens ein Urbild. Äquivalent dazu ist, dass aus x x 2 folgt, dass f (x ) f (x 2 ). surjektiv, wenn es zu jedem y Nein x M gibt, sodass f (x)=y, oder äquivalent ausgedrückt: für alle y N : f ({y}). D.h. also, dass jedes Element von N wirklich als Funktionswert von f auftritt: ran f = N. Eine Funktion, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, bezeichnet man als bijektiv.

10 6 KAPITEL. MENGEN UND ABBILDUNGEN.2. Bemerkung. Man beachte, dass die Eigenschaft surjektiv, und somit auch bijektiv, zu sein, ganz wesentlich vom betrachteten Bildbereich der Funktion f abhängt. Denn ist etwa f : M N eine beliebige Funktion, und betrachtet man f als Funktion von M nach f (M) und nicht nach N, so ist f : M f (M) immer surjektiv. Vergleiche auch Bemerkung Beispiel. Folgende drei Beispiele zeigen insbesondere, dass keine der beiden Eigenschaften injektiv und surjektiv zu sein, die jeweils andere impliziert. Sei A die Menge aller in Österreich amtlich registrierten Staatsbürger, und sei f jene Funktion, die einer Person aus A ihre Sozialversicherungsnummer zuordnet. Dann ist f : A N keine surjektive (es gibt ja nur endlich viele Österreicher), aber sehr wohl eine injektive Funktion, da zwei verschiedene Personen auch zwei verschiedene Sozialversicherungsnummern haben. Die Funktion g : A N, die jeder Person ihre Körpergröße in Zentimeter (gerundet) zuordnet, ist weder injektiv noch surjektiv. Sei h :N N die Funktion, die einer Zahl (dargestellt im Dezimalsystem) ihre Ziffernsumme zuordnet. Diese Funktion ist nicht injektiv (h() = 2 = h(2)), aber sie ist surjektiv, denn ist n N, so gilt sicherlich h(... } {{ } )=n. n Stellen.2.3 Lemma. Sei f eine Funktion von M nach N. Ist f bijektiv, so ist eine Funktion von N nach M. f ={(y, x) N M : (x, y) f} Beweis. Ist y N, dann existiert ein x M mit y= f (x), da f surjektiv ist. Also ist die Forderung (i) von Definition.2. für f erfüllt. Um auch (ii) nachzuprüfen, sei (y, x ), (y, x 2 ) f. Dann sind (x, y), (x 2, y) f und wegen der Injektivität von f folgt x = x Bemerkung. Man sieht am obigen Beweis, dass die Inverse f einer injektiven Funktion f eine nicht notwendig überall definierte Funktion ist. Ihr Definitionsbereich ist gerade ran f. Ist dagegen f nicht injektiv, so ist f nicht einmal mehr eine nicht überall definierte Funktion. Durch unmittelbares Nachprüfen der Definition sieht man, dass die Zusammensetzung von Funktionen wieder eine Funktion ist..2.5 Definition. Seien f : M N und g : N P Funktionen. Dann bezeichne g f jene Funktion von M nach P, die durch (g f )(x)=g( f (x)), x M, definiert ist. Man bezeichnet g f oft auch als die zusammengesetzte Funktion oder als die Hintereinanderausführung von f und g.

11 .2. FUNKTIONEN Bemerkung. Man kann g f auch als schreiben. {(x, z) : y N, (x, y) f, (y, z) g} (.3) Ist f eine Abbildung von M nach N, so gilt immer f=f id M = id N f. Das Hintereinanderausführen ist assoziativ: Sind f : M N, g : N P und h : P Q Funktionen so gilt (x M) ((h g) f )(x)=(h g)( f (x))=h(g( f (x)))= h((g f )(x))=(h (g f ))(x). Also gilt (h g) f= h (g f ). Als Konsequenz schreiben wir auch h g f dafür..2.7 Bemerkung. Sind f und g nicht mehr überall definiert, so muss man bei der Komposition darauf achten, dass die Definitionsbereiche so zusammenpassen, dass der Bildbereich von f im Definitionsbereich von g enthalten ist..2.8 Satz. Eine Funktion f : M N ist genau dann bijektiv, wenn es eine Funktion g : N M gibt mit g f= id M, f g=id N. In diesem Fall gilt g= f. Ist h : N P ebenfalls bijektiv, so gilt weiters (h f ) = f h. Beweis. Sei zunächst f bijektiv. Offenbar gilt und ( f f )(x)= x, x M, ( f f )(y)=y, y N. Also hat die Funktion g= f alle im Satz geforderten Eigenschaften. Sei nun die Existenz einer Funktion g mit den genannten Eigenschaften vorausgesetzt. Ist y N, so setze x=g(y), dann gilt f (x)= f (g(y))=id N (y)=y. D.h. f ist surjektiv. Ist f (x )= f (x 2 ), so folgt Also ist f auch injektiv. Schließlich: x = g( f (x ))=g( f (x 2 ))= x 2. g=id M g=( f f ) g= f ( f g)= f id N = f. Die Funktion e := f h erfüllt wegen der Assoziativität der Hintereinanderausführung e (h f )= f (h h) f=f id N f=f f= id M, sowie (h f ) e=h ( f f ) h = h id N h = h h = id P. Nach dem ersten Teil des Satzes gilt e=(h f ).

12 8 KAPITEL. MENGEN UND ABBILDUNGEN

13 Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen sind eine Menge, die uns anschaulich schon aus der Schule bekannt ist. Wir wollen im Folgenden die charakteristischen Eigenschaften der reellen Zahlen sammeln, von denen wir dann sehen werden, dass diese die reellen Zahlen (bis auf isomorphe Kopien) eindeutig bestimmen. Dass es die reellen Zahlen (also eine Menge mit den charakteristischen Eigenschaften) unter der Annahme der Gültigkeit der Mengenlehre überhaupt gibt, werden wir auch später sehen. 2. Algebraische Struktur der reellen Zahlen Zuerst wollen wir uns den Operationen + und, also der algebraischen Struktur, zuwenden. Die reellen Zahlen mit diesen Operationen sind ein so genannter Körper: 2.. Definition. Sei K eine nichtleere Menge, und es seien Abbildungen (Verknüpfungen) + : K K K (Addition) und : K K K (Multiplikation) gegeben. Das Tripel K, +, heißt Körper, falls folgende Gesetze gelten. Wir schreiben dabei x+y für+(x, y) und x y für (x, y). (A) Die Addition ist assoziativ: (x+y)+ z= x+(y+z), x, y, z K. (A2) Es existiert ein neutrales Element 0 K bezüglich +: x+0= x, x K. (A3) Jedes Element x K besitzt ein Inverses x K bezüglich +: (A4) Die Addition ist kommutativ: x+( x)=0. x+y=y+ x, x, y K. 9

14 0 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN (M) Die Multiplikation ist assoziativ: (x y) z= x (y z), x, y, z K. (M2) Es existiert ein neutrales Element K\{0} bezüglich : x = x, x K\{0}. (M3) Jedes von 0 verschiedene Element x besitzt ein Inverses bezüglich : x x =. (M4) Die Multiplikation ist kommutativ: x y=y x, x, y K. (D) Es gilt das Distributivgesetz: x (y+z)=(x y)+(x z), x, y, z K Bemerkung. Da K,+ und K\{0}, Gruppen sind, folgt, dass die jeweiligen neutralen Elemente 0 bzw. eindeutig bestimmt sind: Wäre etwa 0 ein weiters neutrales Element bezüglich +, so folgte aus (A2) und (A4), dass 0= 0+0= 0. Dasselbe gilt für die Inversen a und a. Wäre etwa ã ein weiteres additiv Inverses zu a, also a+ã=0, so folgte ã=ã+(a+( a)) = (ã+a) +( a)=0+( a)= a. } {{ }} {{ } =0 =0 Somit ist x x eine - wie aus untenstehenden Rechenregeln folgt - bijektive Funktion von K auf sich selbst und x x eine bijektive Funktion von K\{0} auf sich selbst. Siehe dazu die Lineare Algebra Vorlesung Beispiel. Man betrachte die Menge K ={, }. Die Verknüpfungen + und seien gemäß folgender Verknüpfungstafeln definiert. + Man erkennt unschwer, dass alle Anforderungen an einen Körper, d.h. Axiome (A) (A4), (M) (M4), (D), erfüllt sind, wobei des neutrale 0 Element bezüglich + und des neutrale Element bezüglich ist. Es sei noch bemerkt, dass jeder Körper mindestens zwei Elemente hat, und somit der hier vorgestellte Körper kleinst möglich ist.

15 2.2. ORDNUNGSSTRUKTUR DER REELLEN ZAHLEN Wir werden xy für x y und, falls y 0, für xy oft x y schreiben. Um Klammern zu sparen, wollen wir auch übereinkommen, dass Punkt- vor Strichrechnung kommt (xy+ xz=(xy)+(xz)). Schließlich werden wir für x+( y) bzw. ( x)+y auch x y bzw. x+yschreiben. Aus obigen Gesetzen für einen Körper leitet man in elementarer Weise folgende Rechenregeln her: 2..4 Lemma. Es gelten folgende Rechenregeln: (i) Die Inverse von der Inversen ist die Zahl selbst: ( x)= x, x Kund (x ) = x, x K\{0}. (ii) (x+y)=( x)+( y), x, y K. (iii) x, y 0 x y 0 und (xy) = x y, sowie ( x) = (x ). Insbesondere ( )( )=. (iv) x 0=0, x( y)= xy, ( x)( y)= xy, x(y z)= xy xz. (v) a b c d = ac bd. Beweis. Exemplarisch wollen wir (x + y) = ( x) + ( y) nachweisen: Es gilt wegen dem Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (x+y)+(( x)+( y))=((x+y)+( x))+( y)=((y+ x)+( x))+( y)= (y+(x+( x)))+( y)=((y+0)+( y))=y+( y)=0. Also ist ( x)+( y) eine additiv Inverse von x+y. Wegen Bemerkung 2..2 ist diese additiv Inverse aber eindeutig. Also ( x) + ( y) = (x + y). Schließlich wollen wir noch einige Schreibweisen festlegen: Ist A Teilmenge unseres Körpers K, so sei A={ a : a A}. Also ist A das Bild von A unter der Abbildung. Sind A, B K, so sei A+B={a+b : a A, b B}. Somit ist A+ B das Bild von A B( K K) unter der Abbildung+. Entsprechend seien A, A B, etc. definiert. 2.2 Ordnungsstruktur der reellen Zahlen Eine weitere wichtige Eigenschaft der reellen Zahlen, wie aus der Schule bekannt, ist die, dass man je zwei Zahlen x und y der Größe nach vergleichen kann. Dabei ist bekannterweise x < y genau dann, wenn y x eine positive reelle Zahle ist. Um diesen Sachverhalt mathematisch zu fassen, definieren wir 2.2. Definition. Sei K,+, ein Körper und sei P K. Dann heißt K (streng genommen K, +,, P ) ein angeordneter Körper, wenn gilt

16 2 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN (P) Es gilt K = P {0} ( P), wobei P, P disjunkt sind (ihr Schnitt ist die leere Menge), und beide 0 nicht enthalten. (P2) x, y P x+y P. (P3) x, y P xy P Die Menge P heißt die Menge der positiven Zahlen. Seien x, y K. Wir sagen, dass x kleiner als y ist, in Zeichen x<y, wenn y x P. x größer als y ist, in Zeichen x>y, wenn x y P. x kleiner oder gleich y ist, in Zeichen x y, wenn x<y x=y. x größer oder gleich y ist, in Zeichen x y, wenn x>y x=y Lemma. In einem angeordneten Körper K gelten für beliebige a, b, x, y, z K folgende Regeln: (i) x x (Reflexivität). (ii) (x y y x) x=y (Antisymmetrie). (iii) (x y y z) x z (Transitivität). (iv) x y y x (Totalität). (v) (x y a b) x+a y+b. (vi) x y x y. (vii) (z>0 x y) xz yz und (z<0 x y) xz yz. (viii) x 0 x 2 > 0. Insbesondere: >0. (ix) x>0 x > 0 und x<0 x < 0. (x) 0< x y ( x y y x x y ). (xi) (0< x y 0<a b) xa yb. (xii) x<y x< x+y 2 < y, wobei 2 := +. Beweis. Wir beweisen exemplarisch (ii), (iii), (viii) und (xii): (ii): (x y y x) ist per Definitionem dasselbe, wie y x P {0} x y P {0}. Also y x (P {0}) ( P {0})={0}, und damit x=y. (iii): (x y y z) (y x P {0} z y P {0}). Aus (P2) folgt z x=(z y)+(y x) P {0}, also x z. (viii): Aus x 0 folgt x P P. Ist x P, so folgt wegen (P3), dass x 2 = xx P und damit x 2 > 0. Ist x P, so folgt x P und wieder wegen (P3), dass x 2 = xx= ( x)( x) P. Der Punkt über soll die Disjunktheit der Mengen anzeigen.

17 2.2. ORDNUNGSSTRUKTUR DER REELLEN ZAHLEN 3 (xii): Aus x<y und (v) folgt x+ x< x+y<y+y. Nun ist wegen dem Distributivgesetz x+x= x(+) und y+y=y(+). Da wegen (P2), + P, folgt aus (vii), dass x< x+y 2 < y Bemerkung. Die Eigenschaften (i) (iii) besagen genau, dass eine Halbordnung auf K ist. Eigenschaft (iv) bedeutet dann, dass diese Halbordnung sogar eine Totalordnung ist. Man kann also einen angeordneten Körper als Gerade veranschaulichen, wobei eine Zahl x genau dann links von einer anderen Zahl y liegt, wenn sie kleiner ist: 0 x y K Abbildung 2.: Zahlengerade Definition. Sei K eine Menge und eine Totalordnung darauf. Sind x, y K, so sei max(x, y) das Maximum von x und y. Also max(x, y)= x, falls x y, und max(x, y) = y falls y x. Entsprechend definiert man das Minimum min(x, y) zweier Zahlen. Ist A K, und gibt es ein a 0 A, sodass a a 0 (a 0 a) für alle a A, so nennt man a 0 das Maximum (Minimum) von A, und schreibt a 0 = max A (a 0 = min A). Zum Maximum (Minimum) sagt man auch größtes (kleinstes) Element. Ist A K, so heißt A nach oben beschränkt, falls es ein x K gibt, sodass A x, sodass also a x für alle a A. Jedes x Kmit A x heißt dabei obere Schranke von A. Entsprechend heißt eine Teilmenge A nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke in K hat, wenn also x A für ein x K. Eine nach oben und nach unten beschränkte Teilmenge heißt beschränkt. Sei A Keine nach oben (unten) beschränkte Teilmenge. Hat die Menge{x K : A x} ({x K:x A}) aller oberen (unteren) Schranken von A ein Minimum (Maximum), so heißt dieses Supremum (Infimum) von A und wird mit sup A (inf A) bezeichnet. Die Tatsache, dass eine Menge A Knicht nach oben (nicht unten) beschränkt ist wollen wir mit sup A = + (inf A = ) zum Ausdruck bringen. obere Schranken von M M sup M Abbildung 2.2: Supremum der Menge M

18 4 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Bemerkung. Man sieht leicht, dass jedes Maximum (Minimum) einer Teilmenge auch Supremum (Infimum) dieser Teilmenge ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Es kann auch vorkommen, dass eine beschränkte Teilmenge von K weder ein Supremum, noch ein Infimum hat Bemerkung. Wenn das Supremum einer Teilmenge A existiert, so gilt gemäß der Definition A sup A, und sup A x für alle oberen Schranken x von A. Ist umgekehrt y K mit A y und y x für alle oberen Schranken x von A, so folgt aus A y, dass y eine obere Schranke von A ist, und aus der zweiten Voraussetzung, dass y das Minimum der oberen Schranken von A ist. Also ist y=sup A. Entsprechendes lässt sich für das Infimum sagen Lemma. Ist A B K, so gilt (i){x K : A x} {x K : B x} und{x K : x A} {x K : x B}. (ii) Haben A und B ein Maximum (Minimum), so folgt max A max B (min A min B). (iii) Haben A und B ein Supremum (Infimum), so folgt sup A sup B (inf A inf B). Beweis. (i) t {x K : B x} bedingt b tfür alle b B. Wegen A B gilt auch a tfür alle a A, und daher t {x K : A x}. Die zweite Mengeninklusion beweist man genauso. (ii) Das Maximum von B erfüllt definitionsgemäß max B b für alle b B, und damit insbesondere max B a für alle a A. Wegen max A A folgt insbesondere max B max A. Analog zeigt man min A min B. (iii) Definitionsgemäß haben wir sup A=min{x K : A x} und sup B=min{x K : B x}. Nach (i) ist{x K : B x} {x K:A x} und daher nach (ii) sup A=min{x K : A x} min{x K : B x}=sup B. Ist K ein angeordneter Körper, so gelten für die oben eingeführten Begriffe einfache Rechenregeln: (i) Aus x A x A folgt, dass A K genau dann nach oben (unten) beschränkt ist, wenn A nach unten (oben) beschränkt ist. (ii) min( A)= max A, max( A)= min A, (iii) inf( A)= sup(a), sup( A)= inf(a). Diese Gleichheiten gelten in dem Sinn, dass die linke Seite des Gleichheitszeichen genau dann existiert, wenn die rechte existiert.

19 2.2. ORDNUNGSSTRUKTUR DER REELLEN ZAHLEN Beispiel. Seien a, b K. Dann definiert man die Intervalle und entsprechend (a, b) :={x K : a< x<b}, (a, b] :={x K : a< x b}, [a, b] :={x K : a x b}, [a, b) :={x K : a x<b}. Außerdem setzt man (+, sind hier nur formale Ausdrücke) (, b) :={x K : x<b}, (, b] :={x K : x b}, (a,+ ) :={x K : a< x}, [a,+ ) :={x K : a x}. Ist a<b, so sind die Mengen (a, b), [a, b], (a,+ ) z.b. nach unten beschränkt. Nach oben beschränkt sind dagegen nur die ersten beiden. Die Mengen (a, b), (a, b] haben das Supremum b, aber nur für die Menge (a, b] ist b ein Maximum. Um etwa einzusehen, dass b = sup(a, b) argumentiert man folgendermaßen: Zunächst ist wegen der Definition von Intervallen x b für alle x (a, b), also (a, b) b. Angenommen es gäbe eine obere Schranke y von (a, b) mit y<b. Im Falle y a wäre y a< a+b 2 < b (vgl. Lemma 2.2.2, (xii)), womit aber y keine obere Schranke sein kann, da a+b 2 (a, b). Im Falle a<y wäre a<y< y+b 2 < b, womit wiederum y keine obere Schranke sein kann, da y+b 2 (a, b). Also ist b tatsächlich die kleinste obere Schranke von (a, b), sup(a, b)= b Beispiel. Dem Begriff der rationalen Zahlen vorgreifend seien K die rationalen Zahlen und sei M={x K : x 2 < 2}. Dann hat diese Menge weder Maximum noch Supremum, obwohl sie nach oben beschränkt ist. Siehe dazu Satz Wir wollen noch zwei elementare Funktionen auf einem angeordneten Körper betrachten: Definition. Sei K, +,, P ein angeordneter Körper. Die Signumfunktion sgn sei jene Funktion von K nach K, sodass für x K sgn(x) =, x P 0, x=0, x P. Für x 0 heißt sgn(x) auch das Vorzeichen von x. Die Betragsfunktion. : K K ist definiert durch { x, x P {0} x = x, x P. Sind x, y K, so bezeichnet man x y auch als den Abstand von x und y Lemma. Für x, y K gilt:

20 6 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN (i) x =sgn(x)x. (ii) xy = x y. (iii) x+y x + y (Dreiecksungleichung). (iv) x+y x y (Dreiecksungleichung nach unten). (v) max(x, y)= x+y+ x y 2, min(x, y)= x+y x y 2. Beweis. (i) und (ii) folgen ganz leicht, wenn wir die Fälle x>0, x=0, x<0 unterscheiden. Die Dreiecksungleichung folgt unmittelbar, wenn eine der Zahlen x oder y Null ist. Sonst unterscheiden wir folgende zwei Fälle: sgn(x)=sgn(y) 0 x+y = sgn(x)( x + y ) = x + y sgn(x)= sgn(y) 0 x+y = sgn(x)( x y ) = x y x + y Letztere Ungleichung gilt, da sowohl x y x + y, als auch ( x y )= y x x + y. Um die Dreiecksungleichung nach unten einzusehen, bemerke also x y x+y. Analog folgt x = (x+y)+( y) x+y + y, (2.) y x+y + x, also auch y x x+y. Mit einer ähnlichen Fallunterscheidung beweist man die Aussage (v). 2.3 Die natürlichen Zahlen Von den bisher vorgestellten Objekten (Körper, angeordneter Körper) ist noch nicht bekannt, ob es sie überhaupt gibt. Um solche Objekte zu konstruieren, wenden wir uns zunächst den natürlichen Zahlen zu. Die natürlichen Zahlen sind uns als Objekt des Alltages wohlvertraut, aber ihre Existenz als mathematisches Objekt ist keine Trivialität. Trotzdem wollen wir diese voraussetzen. In der Tat folgt sie aus den Axiomen der Mengenlehre Definition. Die natürlichen Zahlen sind eine Menge N, in der ein Element N ausgezeichnet ist, 2 und auf der eine Funktion (Nachfolgerabbildung) :N N definiert ist, sodass gilt (S) ist injektiv. (S2) Es gibt kein n Nmit n =. (S3) Ist M N, M und m M für alle m M, so ist M=N. 2 Die Bezeichnung hat zumindest zum gegenwärtigen Zeitpunkt nichts mit der gleichlautenden Bezeichnung für das multiplikative neutrale Element in einem Körper zu tun.

21 2.3. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 7 Für n wollen wir auch n+ schreiben Bemerkung. Wir wollen anmerken, dass wir weder die Abbildungen +,, die N N nach N abbilden, noch die Möglichkeit zwei natürliche Zahlen der Größe nach zu ordnen, zur Verfügung haben. Obige Festlegung, dass n = n+ ist nur symbolisch zu verstehen. Ehe wir uns an die Definition von Addition und Multiplikation machen, wollen wir uns die Möglichkeit schaffen, Ausdrücke, wie nx, x n, n k= c(k) für n N zu definieren, wenn z.b. x und c(k) für k N Elemente eines Körpers sind. Alle diese Ausdrücke haben gemein, dass sie Funktionen n φ(n) aufnsind, wobeiφ() bekannt ist, und wobeiφ(n ) bekannt ist, wennφ(n) es ist. Im Falle von n x n ist etwa x = x und x n = x n x. Um einzusehen, warum solche Funktionen eindeutig definiert sind, zeigen wir folgenden Satz: Satz (Rekursionssatz). Sei A eine Menge, a A, g : A A (Rekursionsfunktion). Dann existiert genau eine Abbildungφ :N A mitφ()=a undφ(n )=g(φ(n)). Beweis. Betrachte alle Teilmengen H N Amit den Eigenschaften (i) (, a) H (ii) Ist (n, b) H, so gilt auch (n, g(b)) H. Solche Teilmengen existieren, da z.b.n Adie Eigenschaften (i) und (ii). Sei D der Durchschnitt aller solchen Teilmengen: D := H H erfüllt (i) und (ii) Da (, a) H für alle H, die (i) und (ii) erfüllen, ist auch (, a) D. Ist (n, b) D, so gilt (n, b) H für alle (i) und (ii) erfüllenden H. Nach (ii) folgt (n, g(b)) H für alle solchen H, und somit (n, g(b)) D. Somit hat D auch die Eigenschaften (i) und (ii), und ist damit die kleinste Teilmenge mit diesen Eigenschaften. Wir behaupten, dass D eine Funktion vonnnach A ist, also, dass es zu jedem n N genau ein b A gibt, sodass (n, b) D. Dazu sei 3 M={n N:! b A, (n, b) D}. Nun ist M, da einerseits (, a) D. Gäbe es andererseits ein weiteres c A, c a mit (, c) D, so betrachte D\{(, c)}. Klarerweise hat D\{(, c)} die Eigenschaft (i). Wegen (S 2) bleibt auch die Eigenschaft (ii) erhalten. Ein Widerspruch dazu, dass D kleinstmöglich ist. Ist nun n M, so gibt es genau ein b A mit (n, b) D. Also ist auch (n, g(b)) D. Wäre noch (n, c) D mit c g(b), so kann man wieder D\{(n, c)} betrachten. Weil n, erfüllt D\{(n, c)} Eigenschaft (i). Aus (k, d) D\{(n, c)} D folgt (k, g(d)) D. Ist k n, so folgt wegen (S ) daher auch (k, g(d)) (n, c). Ist n=k, so muss wegen n M die Gleichheit d=b gelten. Es folgt (k, g(d)) = (n, g(b)) (n, c). In jedem Fall gilt also (k, g(d)) 3! steht für: Es gibt genau ein

22 8 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN D\{(n, c)}, und D\{(n, c)} erfüllt auch (ii). In analoger Weise wie oben erhalten wir einen Widerspruch. Man kann also D auffassen als Abbildungφ :N A. Die Eigenschaft (i) bedeutet φ()=a, (ii) besagtφ(n )=g(φ(n)). Wäre φ eine weitere Funktion mit φ()=a und mit φ(n )=g( φ(n)), und betrachtet man φ als Teilmenge D von N A, so erfüllt D Eigenschaften (i), (ii). Weil wir schon wissen, dass D die kleinste solche Menge ist, folgt D D. Da aber beide Funktionen sind, muss D= D bzw.φ= φ Bemerkung. Satz rechtfertigt rekursive Definitionen: Zum Beispiel die Funktion n x n, wobei x in einem Körper K liegt. Dafür nehmen wir A=K, a= x und g : K K, y yx. Nach Satz ist dann x n für alle n N eindeutig definiert. Genauso kann man n nx definieren. Um n n k= c(k) zu definieren, wenn c :N K ist, wenden wir Satz mit A=N K, a=(, c()) und g :N K N K, (n, x) (n, x c(n )) an, und definieren n k= c(k) als die zweite Komponente vonφ(n). Genauso kann man n n k= c(k), n max n k= c(k) und ähnliche Ausdrücke definieren. Für n c(k) schreiben wir auch c() + + c(n). Entsprechend setzen wir k= n c() c(n) := c(k) und k= n max k= c(k)=max(c(),..., c(n)). Als weitere Anwendung des Rekursionssatzes erhalten wir, dass die natürlichen Zahlen im Wesentlichen eindeutig sind Korollar (Eindeutigkeitssatz). Seien N und Ñ Mengen mit ausgezeichneten Elementen N und Ñ und Abbildungen :N N, :Ñ Ñ, sodass für beide die Axiome (S), (S2) und (S3) gelten. Dann gibt es eine eindeutige bijektive Abbildung ϕ :N Ñmitϕ()= und ϕ(n)=ϕ(n ), n N. Beweis. Wendet man den Rekursionssatz an auf A = Ñ, a =, und g =, so folgt, dass genau eine Abbildungϕ :N Ñ existiert mitϕ()= und ϕ(n)=ϕ(n ), n N. Durch Vertauschung der Rollen vonnundñerhält man eine Abbildungψ :Ñ N mitψ( )=undψ(x) =ψ( x), x Ñ. Betrachte die AbbildungΦ=ψ ϕ :N N. Es giltφ()= und Φ(n) = (ψ(ϕ(n))) =ψ( ϕ(n))=(ψ ϕ)(n ). Die identische Abbildung id N hat die selben Eigenschaften, also folgt nach der Eindeutigkeitsaussage des RekursionssatzesΦ=id N. Analog zeigt manϕ ψ=id Ñ, also istϕbijektiv und es giltϕ =ψ.

23 2.3. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 9 Wenn wir uns den Beweis des Rekursionssatzes nochmals anschauen, so haben wir gezeigt, dass D eine Funktion aufnist, es also zu jedem n N genau ein b A gibt mit (n, b) D, indem wir die Menge M aller in diesem Sinne guten n N hernehmen und davon zeigen, dass sie die Voraussetzungen von (S 3) erfüllen. Diese Vorgangsweise kann man auf alle Aussagen A(n) ausdehnen, die für alle natürliche Zahlen n gelten sollen. Das führt zum so genannten: Prinzip der vollständigen Induktion: Für jedes n N sei A(n) eine Aussage über die natürliche Zahl n. Gilt (i) Induktionsanfang: Die Aussage A() ist wahr. (ii) Induktionsschritt: Für jedes n N ist wahr, dass aus der Gültigkeit von A(n) die Gültigkeit von A(n ) folgt. Dann ist die Aussage A(n) für jede natürliche Zahl n richtig. Um das einzusehen, betrachte man die Menge M aller n N, für die A(n) richtig ist. Ist nun A() richtig, so ist M, und aus A(n) A(n ) sehen wir, dass mit m M auch m M. Nach Axiom (S 3) ist M=N. Also ist A(n) für jede natürliche Zahl n richtig. Als Anwendung der Beweismethode der vollständigen Induktion bringen wir die später verwendete Bernoullische Ungleichung Lemma. Ist K, +,, P ein angeordneter Körper, und bezeichnen wir das multiplikative neutrale Element mit K, so folgt für x K, x K, und n N, dass ( K + x) n K + nx. Beweis. Induktionsanfang: Ist n=, so besagt die Bernoullische Ungleichung ( K + x) n = K + x K + x, was offenbar stimmt. Induktionsschritt: Angenommen sie sei nun für n N richtig. Dann folgt wegen K + x 0, dass ( K + x) n = ( K + x) n ( K + x) ( K + nx)( K + x)= K + (n )x+nx 2 K + n x. Eine andere unmittelbare Anwendung des Beweisprinzipes der vollständigen Induktion ist die Verifikation der offensichtlich für Ausdrücke wie n k= c(k) geltenden Rechenregeln. Zum Beispiel das Distributivgesetz a n c(k)= k= n (ac(k)). Induktionsanfang: Ist n=, so gilt a k= c(k)=ac()= k= (ac(k)). Induktionsschritt: Angenommen die Rechenregel gilt für n, so rechnen wir: n n n a c(k)=a( c(k) + c(n ))=a c(k) + ac(n )= k= k= k= k=

24 20 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN n n (ac(k))+ac(n )= (ac(k)). k= Entsprechend zeigt man auch andere Rechenregeln für solche induktiv definierten Ausdrücke. Wir kommen nun zur Diskussion der algebraischen Operationen Addition und Multiplikation, sowie der Ordnungsrelation auf N. Ihre Existenz und ihre Eigenschaften müssen wir nun mit mathematischer Strenge herleiten, d.h. sie alleine aus den Axiomen (S ),(S 2),(S 3) mittels logischer Schlüsse zeigen. Hauptinstrument dabei wird wieder der Rekursionssatz Satz sein Definition. Wir definieren für jedes m N Abbildungen+ m : N N und m :N Nrekursiv: k= + m () := m und+ m (n )=(+ m (n)), m() := m und m (n )=+ m ( m(n)). Weiters definieren wir Relationen<und aufndurch Sind m, n N, so schreibt man n<m: ( t N:+ t (n)=m), n m: (n=m) oder (n<m). + m (n)=: m+n, m(n)=: m n, und spricht von der Addition bzw. Multiplikation aufn Satz. Für jedes m N sind die Abbildungen+ m und m injektiv, wobei+ m (n) m für alle n N. Die Addition im BereichNder natürlichen Zahlen erfüllt die Gesetze Für alle a, b, c Ngilt (a+b)+c=a+(b+c). (Assoziativität) Für alle a, b N gilt a+b=b+a. (Kommutativität) sowie die Kürzungsregel Sind n, m, k N und gilt k+m=k+n, so folgt m=n. Die Multiplikation ist ebenfalls assoziativ, kommutativ und erfüllt die Kürzungsregel. Zusätzlich gilt noch Für jedes a N ist a = a=a. (Existenz des neutralen Elementes) Die Addition hängt mit der Multiplikation zusammen über das Distributivgesetz Für a, b, c N gilt stets (b+c) a=(b a)+ (c a). Die Relation ist eine Totalordnung mit als kleinstes Element, und es gilt m<n m n und m n. Zudem gelten folgende Verträglichkeiten mit den Operationen + und :

25 2.3. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 2 Beweis. Sind a, b, c N und gilt a<b (a b), so folgt a+c<b+c (a+c b+c). Sind a, b, c N und gilt a<b (a b), so folgt a c<b c (a c b c). Es gilt weiters Sind n, m, l N mit n+l<m+l (n+l m+l) oder n l<m l (n l m l), so folgt n<m (n m). Sind n, m N, n<m, so gibt es ein eindeutiges t N, sodass m=n+t. Wir setzen in diesem Falle m n := t. (2.2) Sind m, n, t N, t<n<m, so folgt n t<m t. Sind l, m, n N, n+m<l, so folgt n<l m und Zur Assoziativität von+: l (m+n)=(l m) n. (2.3) Seien k, m N fest gewählt, wir führen Induktion nach n durch. Induktionsanfang: (k+m)+=+ k (m) =+ k (m )=k+(m+). Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung gilt (k + m) + n = k + (m + n). Es folgt (k+m)+(n )=+ k+m (n )=+ k+m (n) = ((k+m)+n) = = (k+(m+n)) =+ k (m+n) =+ k ((m+n) )=k+(m+n ), wobei letztere Gleichheit wegen des schon gezeigten Induktionsanfangs folgt. Zur Kommutativität von+: Wir zeigen m, n N:m+n=n+m mittels Induktion nach m. Induktionsanfang (m=): Wir zeigen n N:+n=n+mittels Induktion nach n. Der Fall n= ist klar, denn +=+. Für den Induktionsschritt n n gehen wir aus von der Induktionsvoraussetzung +n=n+. Daraus folgt n + =n = (n+) = (+n) = +n. Induktionsschritt (m m ): Wir zeigen ( n N:m+n=n+m)= ( n N:m + n=n+m ). Dazu führen wir Induktion nach n durch. Betrachte also zuerst den Fall n=. Nach der bereits bewiesenen Aussage (Induktionsanfang (m = )) l N : +l=l+, gilt m + =+m. Der Induktionsschritt n n hat nun als Induktionsvoraussetzung m + n = n+m und wir erhalten m + n = (m + n) = (n+m ) = (n+m) = (m+n) = = (m+n ) = (n + m) = n + m. An den mit gekennzeichneten Stellen ist die Induktionsvoraussetzung des Induktionsschritts (m m ) benützt worden.

26 22 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Zur Injektivität von+ m und der Tatsache, dass+ m (n) m, für alle n N: Für m= ist+ m (n)=n. Nach (S ) ist+ injektiv und nach (S 2) gilt+ (n). Sei nun m Nund+ m injektiv und erfülle+ m (n) m für alle n N. Es folgt+ m (n)=m + n=m+(n+)=+ m (n ). Also ist+ m die Zusammensetzung der injektiven Abbildungen (n n ) und+ m und somit selbst injektiv. Aus m+=m =+ m (n)=(m+n)+ folgt wegen der Injektivität von+, dass m=m+n=+ m (n) im Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung. Die Kürzungsregeln für+folgt sofort aus der Injektivität von+ k. Es gilt a = a=a, a N: Unmittelbar aus der Definition folgt a = a()=a. Die zweite Gleichheit zeigen wir mittels Induktion nach a: Induktionsanfang (a=): a= ==a. Induktionsschritt (a a ): Wir nehmen also a=a an und schließen Zur Kommutativität von : (a )= (a )=+ ( (a))=+ ( a)=+a=a. Wir zeigen m, n N:m n=n m mittels Induktion nach m. Induktionsanfang (m=): Nach dem letzten Punkt gilt n N: n=n=n. Induktionsschritt (m m ): Wir zeigen ( n N:m n=n m)= ( n N:m n=n m ). Dazu führen wir Induktion nach n durch. Betrachte also zuerst den Fall n=. Wieder nach dem letzten Punkt gilt (m ) =m = m. Der Induktionsschritt n n hat nun als Induktionsvoraussetzung m n=n m und wir erhalten m n = m + (m n)=m + (n m )=(m+)+(n+(n m))= (n+)+(m+(n m)) = (n+)+(m+(m n))= n + (m n ) = n + (n m)=n m. An den mit gekennzeichneten Stellen ist die Induktionsvoraussetzung des Induktionsschritts (m m ) benützt worden. Zum Distributivgesetz: Vollständige Induktion nach a: Induktionsanfang (a = ): Da bezüglich ein neutrales Element ist, folgt Induktionsschritt: (b+c) =b+c=(b )+(c ). (b+c) (a+)=(b+c)+((b+c) a) = (b+c)+((b a)+(c a))= (b+(b a))+(c+(c a))=(b (a+))+ (c (a+)). An der mit gekennzeichneten Stelle ist die Induktionsvoraussetzung eingegangen.

27 2.3. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 23 Zur Assoziativität von : Wir zeigen a (b c)=(a b) c mittels Induktion nach b. Induktionsanfang: a ( c)=a c=(a ) c. Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung gilt also (a b) c = a (b c). Mittels Distributivgesetz folgt (a (b+)) c=((a b)+(a )) c=((a b) c)+((a ) c)= (a (b c))+(a ( c))=a ((b c)+( c))=a ((b+) c). Zur Totalität von und zur Tatsache n, n N: Wir wollen zeigen, dass je zwei n, m N bezüglich vergleichbar sind, was wir mittels Induktion nach m beweisen werden. Für m= zeigt man, leicht mittels Induktion nach n, dass immer n=, oder t N, n=+t, also immer n. Gelte die Vergleichbarkeit von m mit allen n N. Um sie für m zu zeigen, machen wir eine Fallunterscheidung: Ist m=n, so folgt n+=m also n m. Aus n<m folgt m=n+t für ein t N, und daher m = n+(t+), also n<m. Ist n=m+, so folgt m = n. Ist schließlich m<n, n m+, so gilt n=m+t mit t. Aus der schon bewiesenen Vergleichbarkeit mit folgt, dass < t, und somit t = + s, s N. Aus der Assoziativität folgt n=m + s, also m < n. Die Reflexivität von ist klar. m<n ( m n und m n ), folgt unmittelbar aus der Definition und der Tatsache, dass aus m<n, dh. n=m+k mit einem k N, aus m=n der Widerspruch m=m+k=+ m (k) folgt. Zur Transitivität von<und damit : Sei k, l, m N und k l, l m. Ist k=l oder l=m, so sieht man sofort, dass k m. Im Fall k<l, l<m gibt es i, j N mit k+i=l, l+ j=m. Es folgt k+(i+ j)=m und daher k<m. Die Antisymmetrie von folgt, da aus n m und m n im Falle m n wegen dem vorletzten Punkt und wegen der Transitivität von<folgt, dass n<n, was dem vorletzten Punkt widersprucht. Zur Verträglichkeit von<mit+und : Sei n<mund k N. Somit ist n+t=m mit t N, und es gilt m+k=(n+t)+k=n+(t+k)=n+(k+t)=(n+k)+t, sowie m k=(n+t) k=(n k)+(t k). Also folgt n+k<m+k und n k<m k.

28 24 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Die Injektivität von k bzw. - was das selbe ist - die Kürzungsregel für folgt nun aus den gezeigten Eigenschaften von : Seien k, m, n N mit m n. Wegen der Totalität gilt m<noder n<m, was mit der Verträglichkeit von<mit bedingt, dass k m<k n oder k n<k m und somit k m k n. Zum Kürzen in Ungleichungen: Aus n+l<m+l folgt definitionsgemäß m+l=(n+l)+k für ein k N. Gemäß der Kürzungsregel für+folgt m=n+k und somit n<m. Sei nun n l<m l. Wäre m n, so folgte aus dem letzten Punkt der Widerspruch m l n l. Wegen der Totalität muss n<m. Zur Wohldefiniertheit von m n: Sei also n<m. Definitionsgemäß ist m=n+t für ein t N. Ist nun m=n+ s für eine weitere Zahl s N, so folgt aus der Kürzungsregel für+und n+t=n+ s, dass s=t. Also ist die m n := t eindeutig dadurch definiert, dass n+t=m. Zur Verträglichkeit von<mit : Ist t < n < m, so folgt n = t+sund m = n+l für s, l N, und weiters m=t+(l+ s). Somit ist m t=l+ s und n t= s, und daher n t< m t. Zu (2.3): Die Ungleichung m+n<l bedeutet l=(m+n)+k für ein eindeutiges k N. Definitionsgemäß ist daher k=l (m+n). Andererseits gilt wegen m<m+n<l auch l=m+ s, s N. Wegen der Kürzungsregel für+folgt s = n+k, und somit n < s = l m. Außerdem ist k= s n=(l m) n Bemerkung. IstÑeine Kopie vonnwie in Korollar 2.3.5, und werden die Operationen + und, sowie auf Ñ genauso definiert wie auf N, so sieht man leicht, dass die nach Korollar existierende Abbildung ϕ : N Ñ mit den Operationen und verträglich ist: ϕ(n+m)=ϕ(n)+ϕ(m),ϕ(n m)=ϕ(n) ϕ(m), n m ϕ(n) ϕ(m). Folgende Eigenschaft der natürlichen Zahlen werden wir oft verwenden Satz. Ist T N, so hat T ein Minimum. Beweis. Wir nehmen das Gegenteil an. Sei M={n N: m T : n<m}. Es ist nun M, da ja sonst das Minimum von T wäre. Ist n M, und m T, so gilt n<m. Daraus schließen wir n+ m. Wäre n+=m 0 für ein m 0 T, so hätte T das Minimum m 0. Wir nehmen aber an, dass es ein solches nicht gibt.

29 2.3. DIE NATÜRLICHEN ZAHLEN 25 Also gilt immer n+<m, m T, bzw. n+ M. Somit folgt M =N. Ist m T N, so folgt m M und daher der Widerspruch m<m. Diese Eigenschaft der natürlichen Zahlen können wir hernehmen, um folgende Varianten des Prinzips der vollständigen Induktion zu rechtfertigen. Zum Beispiel ist es oft bequemer die folgende Version zu benützen: 2.3. Bemerkung. Sei A(n), n N, eine Aussage über die natürliche Zahl n. Gilt (i) Die Aussage A() ist wahr. (ii) Es gelte für jedes n N, n>: Ist die Aussage A(m) wahr für alle m<n, so ist auch A(n) wahr. Dann ist die Aussage A(n) für alle n N wahr. Denn wäre die Menge der n N, für die A(n) falsch ist, nicht leer, so hätte sie ein Minimum n. Wegen (i) ist aber n>, wegen (ii) ist A(n) wahr, was offensichtlich ein Widerspruch ist. Oft ist eine Aussage auch erst ab einer gewissen Zahl n 0 richtig Bemerkung. Gilt (i) Die Aussage A(n 0 ) ist wahr. (ii) Ist A(n) wahr für ein n n 0, dann ist A(n+) wahr. oder gilt (i) Die Aussage A(n 0 ) ist wahr. (ii) Ist n>n 0 und ist A(m) wahr für alle m mit n 0 m<n, dann ist A(n) wahr. Dann ist die Aussage A(n) für alle n n 0 richtig Bemerkung. Mit fast dem selben Beweis wie in Lemma jedoch mit einer Induktion bei 2 startend zeigt man, dass für x K und x 0sowie n 2sogar ( K + x) n > K + nx. Induktionsanfang: Ist n=2, so gilt wegen x 2 > 0, dass ( K + x) 2 = K + 2x+ x 2 > K + 2x. Induktionsschritt: Angenommen die Ungleichung ist für n N richtig. Dann folgt wegen K + x 0und nx 2 > 0, dass ( K + x) n = ( K + x) n ( K + x) ( K + nx)( K + x)= K + (n )x+nx 2 > K + n x. Klarerweise haben unendliche Teilmengen von N kein Maximum. Aber wie intuitiv klar ist, hat jede endliche Teilmenge einer total geordneten Menge ein Maximum und ein Minimum. Um das exakt nachzuweisen, benötigen wir die genaue Definition von Endlichkeit Definition. Eine nichtleere Menge M heißt endlich, wenn es ein k N und eine bijektive Funktion f :{n N:n k} M gibt. Die Zahl k ist dann die Mächtigkeit von M 4. Man sagt auch, dass M genau k Elemente hat. Die leere Menge nennen wir auch endlich, und ihre Mächtigkeit sei Null Bemerkung. Man zeigt elementar durch vollständige Induktion nach der Mächtigkeit der endlichen Menge M, dass alle ihre Teilmengen auch endlich sind. 4 Damit die Mächtigkeit wohldefiniert ist, muss man noch zeigen, dass es im Fall k k 2 keine bijektive Funktion von{n N:n k } auf{n N:n k 2 } gibt.

30 26 KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN Mit vollständiger Induktion nach der Mächtigkeit einer endlichen Teilmenge beweist man: Lemma. Jede endliche nichtleere Teilmenge M einer total geordneten Menge T, hat ein Minimum und ein Maximum, das wir mit min(m) bzw. mit max(m) bezeichnen. Insbesondere gilt diese Aussage für endliche Teilmengen von angeordneten Körpern und vonn. Beweis. Hat M nur ein Element, d.h. M={m}, so ist klarerweise m das Maximum von M. Angenommen alle M T mit n Elementen haben ein Maximum. Hat nun M T genau n+ Elemente und ist m M, so hat M\{m } genau n Elemente und laut Induktionsvoraussetzung ein Maximum m 2 M\{m }. Da T, eine Totalordnung ist, gilt m m 2 oder m m 2. Im ersten Fall ist dann m 2 das Maximum von M und im zweiten ist m das Maximum von M. Eine immer wieder verwendete Tatsache ist im folgenden Lemma vermerkt Lemma. Sei M N nicht endlich. Dann gibt es eine streng monoton wachsende Bijektion φ von N auf M. Für eine solche gilt immer φ(n) n. Beweis. Sei g : M M definiert durch g(s) = min{m M : m > s}, und sei a=min M. Man beachte, dass g(s) für alle s M definiert ist, da{m M : m> s} voraussetzungsgemäß niemals leer ist. Nach dem Rekursionssatz gibt es eine eindeutige Abbildungφ :N M mitφ()= a=min M und so, dassφ(n+)=g(φ(n))= min{m M : m>φ(n)}. Offensichtlich gilt φ(n + ) > φ(n). Daraus folgt durch vollständige Induktion, dass φ(l) > φ(n), wenn l > n. Also ist φ streng monoton wachsende und somit auch injektiv. Durch vollständige Induktion zeigt man auch leicht, dassφ(n) n für alle n N. Wäre ein m M nicht im Bild vonφ, so ist klarerweise m > min M=φ(). Angenommen m > φ(n). Dann ist m {m M : m > φ(n)} und wegen m φ(n+)=min{m M : m>φ(n)} muss m >φ(n+). Es folgt, dassφ(n)<m für alle n N, was aberφ(m ) m widerspricht. 2.4 Der Ring der ganzen Zahlen Im Bereich der natürlichen Zahlen haben wir zuletzt Operationen+ und definiert. Ist m<n, so haben wir auch n m N definiert. Wir wollen nun aus den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen Z konstruieren, und die Operationen + und auf Z so fortsetzen, dass wir einen Ring Z, +, erhalten. Die Menge Z zu definieren, ist kein Problem: 2.4. Definition. SeienN undn 2 zwei disjunkte Kopien der natürliche Zahlen, und sei 0 ein Element, das in keiner dieser Mengen enthalten ist 5. Wir definieren Z :=N {0} N 2. 5 Man kann z.b. fürn j einfach die MengeN { j} hernehmen, und für 0 das Element (, 3)

31 2.4. DER RING DER GANZEN ZAHLEN 27 Istϕ :N N 2 eine bijektive Abbildung wie in Korollar 2.3.5, so definieren wir eine Abbildung :Z Z ϕ(n), n N n= 0, n=0 ϕ (n), n N 2 Schreiben wir nunnfürn, so können wirzals N {0} N anschreiben. Man erkennt unschwer, dass eine Bijektion ist, die mit sich selber zusammengesetzt die Identität ergibt, also eine Involution ist. Nun definieren wir die Operationen aufzin der Art und Weise, wie wir sie der Anschauung nach erwarten Definition. Für n N setzen wir sgn(n) :=, sgn( n) :=, sgn(0)=0 sowie n := n, n := n und 0 := 0. Weiters sei+ :Z Z Z definiert durch p+q, p, q N ( p + q ), p, q N p q, p, q N, p> q ( q p), p, q N, p< q p+q := ( p q), p, q N, p>q, q p, p, q N, p<q 0, q= p p, q=0 q, p=0 und :Z Z Z durch p q, q, p 0, sgn(q)=sgn(p) p q := ( p q ), q, p 0, sgn(q)= sgn(p) 0, q=0 p= Satz. Z, +, ist ein kommutativer Integritätsring mit Einselement. Es gilt also: Die Addition ist kommutativ und assoziativ, 0 ist ein bzgl.+neutrales Element und p ist das zu p Z bzgl.+inverse Element. Also gelten (A)-(A4). Die Multiplikation ist kommutativ und assoziativ, und ist ein bzgl. neutrales Element. Also gelten (M),(M2),(M4). Es gilt das Distributivgesetz. Aus p 0 q 0folgt pq 0 (Integritätseigenschaft). Beweis. Seien p, q Z. Zunächst folgen p+q=q+ p und p q=q p unmittelbar aus der Definition und eben der Tatsache, dass diese Operationen aufnkommutativ sind. Ebenfalls unmittelbar aus der Definition sieht man, dass p+0= p und p = p. Also ist 0 ein bezüglich + und ein bezüglich neutrales Element. Genauso elementar verifiziert man p+( p)=0 und p q 0, wenn p und q beide 0. Es bleibt die Assoziativität und das Distributivgesetz nachzuprüfen. Das ist in der Tat mühsam und durch zahlreiche Fallunterscheidungen zu bewerkstelligen. Wir wollen daher nur r+ (q+ p)=(r+ q)+ p im exemplarischen Fall r, q N, p N