Eine leicht verdiente Million?

Transkript

1 Die Birch und Swinnerton-Dyer Vermutung Donnerstag, , INF 288, HS 1 Stunde der Universität, Universität Heidelberg Gebhard.Boeckle/ Inspiration: /sums/sums-full slides.pdf

2 Mathematische Jahrtausend-Probleme Rückblick: Im Jahr 1900 stellt der deutschen Mathematiker David Hilbert beim zweiten Internationalen Mathematikerkongress in Paris 23 ungelöste Probleme vor, um damit quasi Leitthemen für die Mathematik des kommenden Jahrhunderts vorzugeben.

3 Mathematische Jahrtausend-Probleme Rückblick: Im Jahr 1900 stellt der deutschen Mathematiker David Hilbert beim zweiten Internationalen Mathematikerkongress in Paris 23 ungelöste Probleme vor, um damit quasi Leitthemen für die Mathematik des kommenden Jahrhunderts vorzugeben. Millenium Problems: In der Tradition von Hilbert und auf Vorschlag einer Reihe bedeutender Mathematiker hat das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 sieben herausragende Mathematische Probleme mit einem Preisgeld von $ versehen.

4 Mathematische Jahrtausend-Probleme Rückblick: Im Jahr 1900 stellt der deutschen Mathematiker David Hilbert beim zweiten Internationalen Mathematikerkongress in Paris 23 ungelöste Probleme vor, um damit quasi Leitthemen für die Mathematik des kommenden Jahrhunderts vorzugeben. Millenium Problems: In der Tradition von Hilbert und auf Vorschlag einer Reihe bedeutender Mathematiker hat das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 sieben herausragende Mathematische Probleme mit einem Preisgeld von $ versehen. Das Problem im Bereich der Arithmetischen Geometrie ist die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Dank an William Stein und Benedict Gross!

5 Der Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c v.chr. (circa) Zahlentheoretisches Problem: Finde pythagoreische Tripel, d.h., finde ganze Zahlen a,b,c, so dass a 2 + b 2 = c 2.

6 Die Keilschrifttafel Plimpton 322 Babylon, ca v.chr. Z.B. Zeile 11 c 2 b 2 = = ; a = 45; c = mit a2 + b 2 = c 2

7 Pythagoreische Tripel; a 2 + b 2 = c 2 a b c

8 Pythagoreische Tripel; a 2 + b 2 = c 2 a b c Praktische Anwendung? Gärtnerkonstruktion eines rechten Winkel mit geschlossener Schnur mit 12 gleichabständigen Knoten:

9 Pythagoreische Tripel und Geometrie; a 2 + b 2 = c 2 Ersetze (0, 1) x = a c, y = b c. (x, y) Suche rationale Lösungen (x, y) für ( 1, 0) (0, t) (1, 0) x 2 + y 2 = 1 Ein Bruch r s mit ganzen Zahlen r, s heißt rationale Zahl. Ein Punkt (x, y) heißt rational, wenn x und y rational sind.

10 Pythagoreische Tripel und Geometrie II (0, 1) ( 1, 0) (x, y) (x, y) ist rational genau dann, wenn (0, t) die Steigung t der Geraden durch (1, 0) ( 1, 0) und (x, y) rational ist.

11 Pythagoreische Tripel und Geometrie II (0, 1) ( 1, 0) (x, y) (x, y) ist rational genau dann, wenn (0, t) die Steigung t der Geraden durch (1, 0) ( 1, 0) und (x, y) rational ist. Rückrechnen: x = 1 t2 1+t 2, y = 2t 1+t 2. a = s 2 r 2, b = 2rs, c = s 2 + r 2 und für t = r s und ganze teilerfremde Zahlen r, s.

12 Diophantische Gleichungen Die Suche nach ganzen oder rationalen Lösungen von algebraische Gleichungen ist für viele Mathematiker eine große Herausforderung. Auch schon in der Antike, wie das Buch von Diophant zeigt.

13 Diophantische Gleichungen Die Suche nach ganzen oder rationalen Lösungen von algebraische Gleichungen ist für viele Mathematiker eine große Herausforderung. Auch schon in der Antike, wie das Buch von Diophant zeigt.

14 Diophantische Gleichungen Die Suche nach ganzen oder rationalen Lösungen von algebraische Gleichungen ist für viele Mathematiker eine große Herausforderung. Auch schon in der Antike, wie das Buch von Diophant zeigt. Fermat Vermutung: Es gibt keine rationalen Lösungen x, y > 0 von x n +y n = 1 zu festem n = 3, 4, 5,... Gelöst von Andrew Wiles 1995.

15 Diophantische Gleichungen II Andrew Wiles, 1953

16 Diophantische Gleichungen II Andrew Wiles, 1953 Gerd Faltings, 1954 Faltings bewies 1983 die Mordell-Vermutung: Eine (irreduzible) algebraische Kurve mit ganzen Koeffizienten ist eine rationale Kurve (z.b. x 2 + y 2 = 1, antike ), oder eine elliptische Kurve, (z.b. x 3 + y 3 = 1, s.u.), oder auf ihr liegen nur endlich viele rationale Punkte (z.b. x n + y n = 1 für n 5.)

17 und Kubische Gleichungen f (x) y 2 = x 3 17x y 2 = x 3 4x + 4 x Punkte mit ganzen Koordinaten: (0, 1), (1, 0) ( 2, ±2), (0, ±2), (1, ±1), (2, ±2) (0, 0), ( 4, ±2), ( 1, ±4), (9, ±24) x 3 + y 3 = 1

18 Hintergrund Einfu hrung Das Sekantenverfahren f (x) y 2 = x 3 4x + 4 x P. de Fermat ( ) (6, 14) Gebhard Bo ckle

19 Das Tangentenverfahren f (x) y 2 = x 3 4x + 4 ( 88 49, 554 ) Weitere Punkte: 343 x ( , ) ( , )

20 Der Satz von Mordell Satz (Mordell, 1922) Auf einer elliptischen Kurve (über Q) gibt es stets endlich viele rationale Punkte, aus denen alle rationalen Punkte der Kurve durch wiederholte Anwendung des Sekanten- und Tangentenverfahrens entstehen. Louis Mordell ( )

21 Effektive Lösungsmethoden? y 2 +xy = x 3 +x x Kleinste Lösung P 0 = ( , ).

22 Effektive Lösungsmethoden? y 2 +xy = x 3 +x x Kleinste Lösung P 0 = ( , ). Nächstkleinste unabh. Lösung P 1 = ( a c 2, b c 3 ) (Magma oder SAGE): a= b= c= sind im allgemeinen nicht bekannt. (Hier allerdings doch.)

23 Torsionspunkte (können effektiv berechnet werden) f (x) Ein rationaler Punkt P auf einer elliptischen Kurve heißt Torsionspunkt, wenn die Folge der Punkte P 1, P 2,... die man aus P durch Iteration des Tangentenverfahrens erhält, periodisch wird. x y 2 xy + 2y = x 3 + 2x 2

24 Der Satz von Mazur (1978) Sind a, b rationale Zahlen, so hat die kubische Gleichung y 2 = x 3 + ax + b höchstens 15 rationale Torsionspunkte. Barry Mazur ( 1937)

25 Der Satz von Mazur (1978) Sind a, b rationale Zahlen, so hat die kubische Gleichung y 2 = x 3 + ax + b höchstens 15 rationale Torsionspunkte. Barry Mazur ( 1937) Definition Der Rang einer elliptischen Kurve ist die kleinste Anzahl von rationalen Punkten der Kurve, die zusammen mit den Torsionspunkten alle rationalen Punkte der Kurve erzeugen

26 Eine leichtere Aufgabe Eine Primzahl p ist eine positive ganze Zahl, die genau zwei positive Teiler hat, sich und die Zahl 1. Sei p eine Primzahl. Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... Definition (Lösungen modulo einer Primzahl p) Ein Paar (m,n) ganzer Zahlen heißt Lösung von y 2 = x 3 4x + 4, wenn p ein Teiler der Differenz n 2 (m 3 4m + 4) ist.

27 p = 5 und p = 7 n n m m y 2 = x 3 4x + 4 p = 5 für (m, m) = (3, 3): 3 2 (3 3 y 4 3+4) = 9 19 = 10 2 = x 3 4x + 4 p = 7 Die Lösungen modulo p sind p-periodisch in x- und y-richtung.

28 Lösungszahl modulo p für y 2 = x 3 4x + 4 N(p) := Anzahl der Lösungen modulo p in einem p p-quadrat. n n n m N(2) = 4 m N(3) = 6 N(5) = 8 m n n n N(7) = 9 m N(11) = 12 m N(13) = 13 m

29 Die Hasse-Weil Schranke Satz (Hasse, 1934) Es gilt N(p) p 2 p Helmut Hasse ( ) p N(p) p

30 Die Sato-Tate Vermutung (1963) Satz (L. Clozel, M. Harris, N. Shepherd-Barron, R. Taylor, 2006) Mittelt man über alle Primzahlen p, so erhält man die Verteilung 1 von x = N(p) p 2 p als x 1 1 π 1 x 2 L. Clozel M. Harris R. Taylor Ein Bild von Shepherd-Barron fehlt leider.

31 Bryan Birch und Sir Peter Swinnerton-Dyer Frage (1961): Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Zahlen N(p) und dem Rang einer elliptischen Kurve?

32 EDSAC Electronic Delay Storage Automatic Computer

33 Hintergrund Einfu hrung Rechner 2011 Zum Vergleich: Rechner im Keller des IWR Gebhard Bo ckle

34 Ein Zitat von Birch The subject of this lecture is rather a special one. I want to describe some computations undertaken by myself and Swinnerton-Dyer on EDSAC, by which we have calculated the zeta-functions of certain elliptic curves. As a result of these computations we have found an analogue for an elliptic curve of the Tamagawa number of an algebraic group; and conjectures (due to ourselves, due to Tate, and due to others) have proliferated. [... ] though the associated theory is both abstract and technically complicated, the objects about which I intend to talk are usually simply defined and often machine computable; experimentally we have detected certain relations between different invariants, but we have been unable to approach proofs of these relations, which must lie very deep.

35 Die Vermutung von Birch und Swinnerton Dyer Heuristik: Hat eine elliptische Kurve unendlich viele rationale Punkte, so ist im Durchschnitt N(p) etwas größer als p Die Experimente von BSD suggerieren folgenden Zusammenhang: p x N(p) p 2 p 2 ( ) ( log p p x N(p) + 1 ) C +Rang log(log(x)) p für x. Den Fehler in (*) habe ich eingebaut nicht BSD.

36 Moderne Formulierung der BSD-Vermutung Für s C mit R(s) > 3/2 und mit a p := p N(p) definiere L(E, s) := p (1 a p p s + p 1 2s ) 1. Vermutung (Birch Swinnerton-Dyer) L(E, s) hat eine analytische Fortsetzung auf ganz C (Wiles et al.) Bezeichnet r den Rang von E und L (r) die r-te Ableitung von L, so gilt 1 r! L(r) (E, 1) Ω + E R E = W(E) p c p E Torsion (Q) 2 und L(E, 1) =... = L (r 1) (E, 1) = 0

37 Ein Zitat 1 r! L(r) (E,1) Ω + E R E = W(E) p cp E Torsion (Q) 2 This remarkable conjecture relates the behavior of a function L at a point where it is not at present known to be defined to the order of a group W which is not known to be finite. (J. Tate, 1974) John Torrence Tate Jr. ( 1925)

38 Hintergrund Einfu hrung Gross und Zagier Don Zagier ( 1951) Benedict Gross ( 1950) Satz (Gross, Zagier) Gelten L(E, 1) = 0 und L0 (E, 1) 6= 0, so besitzt E einen rationalen Punkt u ber Q von unendlicher Ordnung, einen Heegnerpunkt. Gebhard Bo ckle

39 Die Vermutung für Ränge 0 und 1 Victor Kolyvagin Satz (Kolyvagin, 1989) Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer gilt für elliptische Kurven über Q vom analytischen Rang höchstens 1. Alle anderen Fälle der Vermutung sind weiterhin offen.

40 The End Ich wünsche ihnen nun viel Erfolg beim Lösen der Vermutung und bedanke mich für Ihre Aufmerksamkeit.