Tarnkappen und mathematische Räume

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1 Tarnkappen und mathematische Räume Stefan Müller-Stach stefan/biblio.html

2 Ein Raum

3 Mathematische Räume Die moderne Mathematik bietet einen universellen Baukasten zur Modellierung von Räumen: Topologischer Raum, Metrischer Raum, Banachraum, Hilbertraum, Mannigfaltigkeit, Varietät, Schema, Modulraum, Wahrscheinlichkeitsraum, Vektorraum, Euklidischer Raum, Affiner Raum, Projektiver Raum, Hyperbolischer Raum, etc.

4 Einige Zeitpunkte Griechenland:,,Chora,,,Topos, Euklidische Geometrie Newtonsche Physik Bolyai, Gauß, Lobatschevski 1820: Nicht Euklidische Geometrien Riemann 1854/1867: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen (Habilvortrag) Helmholtz 1868: Über die Thatsachen, die der Geometrie zum Grunde liegen Lie 1893: Transformationsgruppen Poincaré 1895: Analysis Situs (Topologie) Einstein, Minkowski 1905: Relativitätstheorie Weyl 1923:,,Raum, Zeit, Materie Moderne Topologie, Analysis, Algebra, Geometrie...

5 Ein sehr allgemeiner Raumbegriff Definition Raum = Menge X + Struktur. Die Menge X kann endlich oder unendlich sein. Zusatzstruktur: z.b. nah/fern, Bewegung, Abstand (Metrik) oder andere konstituierende Eigenschaften der Objekte in X. Ein Raum besitzt in der Regel eine Dimension.

6 Zeiträume Menge: Zeitintervall, z.b (Teilmenge von R). Struktur: R ist angeordnet (Zeitrichtung), Zeitpunkte können verschoben werden, 1 dimensional.

7 Euklidische Geometrie Menge: R 2 oder R 3, d.h. 2 oder 3 Koordinaten. Struktur: Bewegungsgruppe, globales Maßsystem (Länge, Winkel).

8 Flatland: Edwin Abbott 1884

9 Abstraktion: n dimensionaler Vektorraum Menge: R n, n reelle Koordinaten, n = 1, 2, 3, 4,... beliebig. Struktur: 1) Addition: (1, 4, 2, 3, 2,...) + (4, 6, 2, 4, 7,...) = (5, 10, 4, 7, 9,...) 2) Streckung: 2 (1, 2, 3, 4, 5,...) = (2, 4, 6, 8, 10,...).

10 Penrose Pflasterungen: Bilder aus der 4 ten Dimension

11 Hermann Minkowski: Raum-Zeit Menge: R 4 = R 3 R, drei Raumkoordinaten, eine Zeitkoordinate, aber anderer Abstandsbegriff.

12 Projektiver Raum Projektiver Raum P n = Vektorraum R n +,,unendlich ferner Horizont, in dem sich parallele Geraden treffen:

13 Beispiel X = P 2 (F 2 ) besteht nur aus 7 Punkten und 7 Geraden. Solche endlichen Geometrien werden in der Kodierungstheorie verwendet. Beachten Sie die Inzidenzen!

14 Hyperbolischer Raum: Escher/Indra s pearls

15 Wahrscheinlichkeitsraum Fairer Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, jeweils mit Wahrscheinlichkeit P = 1/6 versehen. Gezinkter Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit, aber P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1.

16 dimensionale Funktionenräume Mathematik Modelle: Banachraum, Hilbertraum. Beispiele: Physik: Quantentheorie Musik: Spektrum eines Tones

17 Mannigfaltigkeit Lokal wie R n mit Dimension n: Konstruktion von Mannigfaltigkeiten durch,,verkleben von affinen Teilen oder durch Angabe von Gleichungen.

18 Bekannte 2D Beispiele: Sphäre und Torus x 2 + y 2 + z 2 = 1

19 Kompaktheit Sphäre und Torus sind kompakt (beschränkt, abgeschlossen), das Hyperboloid aber nicht:

20 Singularitäten: Nicht alle Räume sind Mannigfaltigkeiten. Extrem abstrakte Verallgemeinerungen sind,,gefunden worden.

21 Die Poincarésche Vermutung 1904 Considérons maintenant une varieté fermeé V à trois dimensions... Est-il possible que le groupe fondamental de V se réduise à la substitution identique, et que pourtant V ne soit pas simplement connexe? V kompakt, ohne Rand, dim(v ) = 3, π 1 (V ) = 1 = V = S 3. Eines der sieben Milleniumsprobleme der Clay Foundation (1 Mio Dollar jeweils). Richtig in Dimension 4 (Smale).

22 Orientierung: Möbiusband, Kleinsche Flasche

23 Paradigma Modulräume (=Parameterräume von Räumen) sind wieder Räume. Räume kann man meist deformieren, bis sie singulär werden. Diesen Deformationen werden interessante Invarianten zugeordnet, z.b. Perioden und partielle Differentialgleichungen dx φ(s, t) =, Dφ = 0. (x(x 1)(x s)(x t) γ 3 Das sind aktuelle mathematische Forschungsthemen in Mainz.

24 Tarnkappenraum Dieser (Unter )Raum soll modellieren, wie sich eine Person mit einer Tarnkappe in der Vergangenheit befindet: Heldensicht ohne Held, (x, t) (x, t, x, t δ). = R 4 (Raum x+zeit t), δ=zeitverschiebung.

25 Boysche Fläche in Oberwolfach

26 Literatur: H. Freudenthal (Hg.): Raumtheorie, Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt 1977 D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie, Teubner B. Riemann: Gesammelte Werke H. Weyl: Mathematische Analyse des Raumproblems, Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt 1978