Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr

Transkript

1 Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr

2 Markus Otto Rechenmethoden für Studierende der Physik im ersten Jahr

3 Autor Markus Otto Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut) und Institut für Gravitationsphysik der Leibniz Universität Hannover Callinstraße 38, Hannover Wichtiger Hinweis für den Benutzer Der Verlag und der Autor haben alle Sorgfalt walten lassen, um vollständige und akkurate Informationen in diesem Buch zu publizieren. Der Verlag übernimmt weder Garantie noch die juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für die Nutzung dieser Informationen, für deren Wirtschaftlichkeit oder fehlerfreie Funktion für einen bestimmten Zweck. Der Verlag übernimmt keine Gewähr dafür, dass die beschriebenen Verfahren, Programme usw. frei von Schutzrechten Dritter sind. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag hat sich bemüht, sämtliche Rechteinhaber von Abbildungen zu ermitteln. Sollte dem Verlag gegenüber dennoch der Nachweis der Rechtsinhaberschaft geführt werden, wird das branchenübliche Honorar gezahlt. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011 Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Anja Groth Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India Satz: Autorensatz Grafiken: Markus Otto; Zeichnungen: Philip Peterson Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm Titelfotografie: Krzysztof Walkow, Fotolia.com ISBN

4 Vorwort Als ich 2002 anfing, Mathematik und Physik zu studieren, kam es mir und meinen Kommilitonen vor, als befänden wir uns im freien Fall. Der Stoff in den Vorlesungen prasselte regelrecht auf uns ein, schnell stießen unsere Schulkenntnisse an ihre Grenzen. Doch damit nicht genug in Linearer Algebra I, Analysis I und in den Rechenmethoden der Physik I gab es jede Woche einen Hausübungszettel. Das Lösen der Aufgaben gipfelte dann in sehr langen Montagabenden (Dienstag um 11 Uhr war Abgabe) mit Spaghetti-Verköstigung für acht Personen gegen 23 Uhr. Und nicht nur einmal war der Zettel quasi druckfrisch um 11 Uhr fertig zur Abgabe. Irgendwie haben wir es aber doch geschafft wir haben uns durchgebissen. Nun haben die Seiten gewechselt und ich bin mittlerweile derjenige, der die Aufgaben stellt. In diesem Buch habe ich all die eigenen Erfahrungen und begangenen Fehler verarbeitet und außerdem versucht, die Erfahrungen als Tutor und Übungsleiter einfließen zu lassen. Das Anliegen dieses Buches ist es, den besagten freien Fall mit einem Bungee-Seil abzubremsen (deswegen das Cover). Eine Anmerkung gleich vorweg: Das Buch erhebt mitnichten den Anspruch, mathematisch präzise zu sein (wie dies in den Mathematikvorlesungen oft der Fall ist), sondern versteht sich vielmehr als eine Stütze für die ersten zwei Semester, um die dort benötigten Rechentechniken zu verstehen. Ich habe versucht, mich auf das Wesentliche zu beschränken, und verzichte bewusst auf mathematische Beweise. Die wesentlichen Gleichungen und Beziehungen werden entwickelt und anschließend an Beispielen ausführlich (!) ausexerziert. Es gibt genau ein Beispiel im gesamten Buch, in dem die Rechnungen nicht komplett ausgeschrieben und kommentiert werden. Ich selbst neige beim Lesen sehr dazu, lange Rechnungen zu überspringen und nur auf das Ergebnis zu schielen. Bitte nicht! Ich habe mich bemüht, die Rechnungen ausführlich auszuschreiben, so dass ein Mitrechnen jederzeit möglich und vor allem erwünscht ist. Das Buch versteht sich als Brücke zwischen Schule und Universität. Dennoch kommt es nicht ohne gewisse Voraussetzungen aus: Der Begriff des Grenzwerts wird als bekannt vorausgesetzt. Ebenso sollte man schon einmal ein Summenzeichen, lineare Gleichungssysteme, Polynomdivision und Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel) gesehen haben. Für das Wiederauffrischen der Begriffe eignen sich Mühlbach (2005) und Walz et al. (2007). Inhaltlich stellt das vorliegende Buch in Kapitel 1, 2, 4 und 5 die vier fortgeschrittenen Grundrechenarten Vektorrechnung, Matrizenrechnung, Differenzial- und Integralrechnung bereit. Die Indizes in Kapitel 3 nehmen eine gesonderte Position ein: Zwar liefern sie keine neue Mathematik, bereiten erfahrungsgemäß aber

5 vi Vorwort durch die Stenografie arge Schwierigkeiten im Umgang. Kapitel 6 bis 11 verstehen sich als weiterführende Hilfsmittel beim Lösen physikalischer Probleme. Hierzu gehören Bahnkurven, gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen, komplexe Zahlen, Vektoranalysis und Fourier-Analysis. In Kapitel 12 und 13 werden schließlich die bisher entwickelten Werkzeuge auf physikalische Probleme der Mechanik und Elektrodynamik angewendet. Am Ende des Buches stehen zwei Übungsklausuren mit Kurzlösungen nebst Literaturverzeichnis und Schlagwortregister. Dieses Buch wäre niemals ohne die zahllosen fleißigen Hände und Helfer zustande gekommen. Zuallererst möchte ich dem Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik in Hannover für die stetige Unterstützung und die vielen Anregungen und Nachfragen danken ( Was macht das Buch? ). Hierbei sind Prof. Dr. Karsten Danzmann, Dr. Gerhard Heinzel und Dr. Jens Reiche zu nennen. Weiterhin gebührt dem Institut für Theoretische Physik in Hannover Dank für das Vertrauen, das mir als Übungsleiter und Tutor geschenkt wurde. Hierbei sind Prof. Dr. Luis Santos, Prof. Dr. Eric Jeckelmann, PD Dr. Mic ael Flohr, Prof. Dr. Norbert Dragon und Prof. Dr. Holger Frahm zu nennen. Dr. Jochen Zahn danke ich für die stets unkomplizierte Zusammenarbeit und das Bereitstellen einiger Aufgaben und Lösungen. Als Nächstes sind die vielen Leser zu nennen, namentlich: Martin Sommerfeld, Dr. Johanna Bogenstahl, Vitali Müller, Clemens Schäfermeier, Lorenz Groth, Christoph Mahrdt, Oliver Gerberding, Dr. Alexander Seel, Patrick Leunig und Tanja Zarrieß. Ein besonderer Dank geht an Felix Lubbe, der große Teile des Manuskripts kurz vor Ende nochmals gründlich Korrektur gelesen hat ( Kein Problem, ich hab ja gerade Langeweile ). Simon Barke und Dr. Michael Tröbs ist für die Gestaltung des Covers Dank auszusprechen. Furthermore, a special gratitude goes to Philip Peterson for his fabulous drawings! Nicht zuletzt haben Simon Kaiser, David Roszak, Sebastian Schreiber, Jana Kampmann, Jan Perwas und Daniela Paul als Testleser viele hilfreiche Anmerkungen gemacht, die alle umzusetzen Jahre gedauert hätte. Dieses Buch wäre jedoch nie ohne die tolle und äußerst freundliche Zusammenarbeit mit dem Spektrum Verlag zustande gekommen. Meine Ansprechpartner Herr Dr. Andreas Rüdinger sowie Frau Anja Groth standen mir tatkräftig zur Seite und waren stets bei Fragen immer ansprechbar. Frau Regine Zimmerschied danke ich für das ausführliche Korrekturlesen. Zu guter Letzt möchte ich aber meiner Freundin Sabine Paul danken, dass sie mich darin unterstützt hat, dieses Buch zu schreiben und mich vor allem in der langen Korrekturphase immer wieder aufgemuntert hat. Danke! Hannover, den Markus Otto

6 Inhaltsverzeichnis Vorwort... 1 Vektorrechnung Grundlagen der Vektorrechnung Richtung und Betrag Normierung Einfache Rechenoperationen Masse und Schwerpunkt Kanonische Basisdarstellung Geometrie mit Vektoren Statik Skalarprodukt Skalarprodukt und Projektion Folgerungen aus dem Skalarprodukt Skalarprodukt in Komponenten Weitere Rechenregeln Parallel-Senkrecht-Zerlegung Skalarprodukte in der Physik Vektorprodukt Definition des Kreuzprodukts Folgerungen und Rechenregeln Kreuzprodukt in Komponenten Doppelte Produkte Lorentz-Kraft Vektorgleichungen Gerade Ebenengleichung Kreis- und Kugelgleichung Koordinatensysteme Orientierung Orthonormalbasis Koordinatensysteme Lineare Algebra Matrizenrechnung Matrixbegriff Grundlegende Rechengesetze Die Determinante Inverse einer Matrix Weitere Matrixoperationen Lineare Gleichungssysteme Was ist ein lineares Gleichungssystem? v

7 viii Inhaltsverzeichnis Gauß-Algorithmus Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Matrizengleichungen Abbildungen Abbildungsmatrix Spiegelungen Drehungen Allgemeine Drehmatrix Basiswechsel = Drehung des Koordinatensystems Diagonalisierung und Hauptachsentransformation Eigenwertproblem Diagonalisierung Quadriken Hauptachsentransformation Rechnen mit Indizes Einstein sche Summenkonvention Skalarprodukt und das Kronecker-Symbol Skalarprodukt in Indizes Definition des Kronecker-Symbols Rechenregeln für das Kronecker-Symbol Interpretation des Kronecker-Symbols δ ij Der Levi-Civita-Tensor Zyklische und antizyklische Permutationen Das Levi-Civita-Symbol Spatprodukt und Kreuzprodukt in Kurzform Produkte mit Kronecker und Levi-Civita Anwendungen Beweis der bac-cab-formel Matrizenrechnung in Kurzform Tensoren Differenzialrechnung Ableitungen Begriff der Ableitung Ableitungsregeln Kurvendiskussion light Mehrdimensionale Ableitungen Skalare Funktionen mehrerer Veränderlicher Partielle Ableitung und Gradient Lokale Extrema Reihenentwicklung Taylor-Entwicklung in 1-D Hilfreiche Reihen

8 Inhaltsverzeichnis ix e hoch Matrix Allgemeine Taylor-Entwicklung Ableitung vektorwertiger Funktionen Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante Kettenregel Totales Differenzial Integration Grundlegende Integralrechnung Integralbegriff Der Hauptsatz Einfache Integrationsregeln und -tricks Integrationsmethoden Partielle Integration Integration durch Substitution Ableiten nach Parametern Partialbruchzerlegung Mehrfachintegration Flächenintegrale Volumenintegrale Integraltransformationssatz Masse und Schwerpunkt Distributionen Delta-Distribution Der große Bruder: Θ(x) Bahnkurven Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Bewegungen Geradlinig gleichförmige Bewegung Geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung Kreisbewegung Zusammengesetzte Bewegungen Bogenlänge Geschwindigkeit in krummlinigen Koordinaten Gewöhnliche Differenzialgleichungen Grundlagen Was ist eine Differenzialgleichung (DGL)? Klassifikation und Terminologie Eine wichtige DGL: Newton Lösungsansätze Gekoppelte Differenzialgleichungen Komplexe Zahlen

9 x Inhaltsverzeichnis 8.1 Grundlagen i-gitt i-gitt Rechenregeln Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten Trigonometrie mit komplexen Zahlen Euler-Formel Sinus und Kosinus Anwendungen Komplexe Exponentialreihe Harmonischer Oszillator Vektoranalysis WasisteinFeld? Operatoren der Vektoranalysis Gradient, Divergenz und Rotation Laplace Noch mehr Ableiten in Indexschreibweise Krummlinige Koordinaten Bestimmung der Basisvektoren in neuen Koordinaten Tangentialvektoren und Oberflächenintegrale in krummlinigen Koordinaten Integralsätze Satz von Gauß Satz von Stokes, Kurvenintegral Fourier-Analysis Die Idee Fourier-Reihe Fourier-Zerlegung Eigenschaften der Fourier-Reihe Parsevals Theorem Fourier-Transformation Definition und Eigenschaften Spezielle Fourien Fourier-Trafo der Zeit D- und 4-D-Fourier-Transformation DGL-Lösung per Fourier Partielle Differenzialgleichungen Was ist eine partielle Differenzialgleichung? Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung Laplace-Gleichung Kugelsymmetrische Lösung Poisson-Gleichung

10 Inhaltsverzeichnis xi 11.3 Kontinuitätsgleichung Diffusionsgleichung Diffusion und Wärmeausbreitung Formale Lösung der Diffusionsgleichung Diffusion im kugelsymmetrischen Fall Allgemeine Lösung Wellen Die Wellengleichung D-Wellengleichung Kugelsymmetrische Lösung Ebene Wellen sind einfachste Lösung der 3-D-Wellengleichung Einfache Anwendungen in der Mechanik Grundbegriffe Newton Newton sche Axiome Newton sche Bewegungsgleichung Wichtige mechanische Kräfte Konservative Kräfte, Zentralkräfte Energie, Impuls und Arbeit Energiesatz und Potenzial Impuls Arbeit Formale Lösung des 1-D-Energiesatzes Rotationen Drehimpuls und Drehmoment Drehimpulserhaltung Inertialsystem und Scheinkräfte Teilchen im Potenzial Bewegungen im Potenzial Symmetrien und Erhaltungsgrößen Effektives Potenzial Schwingungen Mathematisches Pendel Der harmonische Oszillator Exakte Schwingungsperiode in einem Potenzial Kleine Schwingungen im Potenzial Gekoppelte Schwingungen Schwingungen im mehrdimensionalen Potenzial Rotation eines Körpers Grundbegriffe Trägheitstensor und -moment Stabile Rotation

11 xii Inhaltsverzeichnis 13 Einfache Anwendungen in der Elektrodynamik Bewegung eines geladenen Teilchens Ladung Strom Kontinuitätsgleichung Ladung in E- und B-Feldern Maxwell-Gleichungen Interpretation der Maxwell-Gleichungen Andere Maßsysteme Integrale Maxwell-Gleichungen Kontinuitätsgleichung Elektrostatik Gleichungen der Elektrostatik Lösung durch Ansatz Lösung per Skalarpotenzial Magnetostatik Gleichungen der Magnetostatik Lösung durch Ansatz Lösung per Vektorpotenzial, Satz von Biot-Savart Elektromagnetische Wellen Homogene Wellengleichungen Ebene elektromagnetische Wellen Lösung der allgemeinen Maxwell-Gleichungen A Klausur spielen Literaturverzeichnis Index