Lernzettel Nr Definition eines Zufallsversuchs und die Begriffe rund um diesen

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1 - Definitin eines Zufallsversuchs und die Begriffe rund um diesen Begriff Bedeutung / Beispiel / Frmel Stichprbe Zufällige entnahme einer kleinen Menge aus einer grßen Menge (Klasse) Merkmal Ist charakteristisches Kennzeichen eines Merkmalträgers (Zahlen beim Würfel) Merkmalträger Objekt, welches das Merkmal trägt Qualitative Merkmal Ergebnisse, die nicht zählbar sind; (Bei rten Pullvern ist das qual. Merkmal rt) Quantitatives Zählbares Merkmal (Geld im Prtemnnaie) Merkmal Rangmerkmale Srtierbare Merkmale (Namenliste, alphabet. Reihenflge) (=skalierte Merkmale) Grundgesamtheit Menge aller ptentieller Untersuchungsbjekte (70 Äpfel ) Abslute Häufigkeit Anzahl des Auftreffens des Ereignisses X bei n Bebachtungen eines Zufallsversuches Relative Häufigkeit H abs H rel = Grundgesamtheit Häufigkeitsverteilung Beschreibung eines Merkmals in einer Frmel / Diagrammen / Tabellen in eines Merkmals Bezug auf die Häufigkeit Zufallsversuch Versuch, in dem die Ereignisse unabhängig vneinander sind. (zufällig, beliebig ft wiederhlbar, gleiche Anfangszustände) Ergebnis Auftreten eines Merkmals in einem Zufallsversuch Ergebnismenge Menge aller möglichen Ergebnisse :Ω Ereignis Teilmenge der ergebnismenge zu einem Zufallsversuch. (Ergebnis beim Würfeln: 6; Ereignis: 6,3,4,5 gewürfelt; smit ist das Ergebnis nur einmal vrgekmmen) Wahrscheinlichkeit Rechnerisch ermittelter Wert. Gesetz der grßen Zahlen: lim H rel Anza hl der Ergebnisse Laplace-Versuch Alle Ergebnisse bei einem Vrgang mit zufälligem Ergebnis sind gleich wahrscheinlich. Bernulli Versuch Nur zwei mögliche Ergebnisse; Anzahl der möglichen Ergebnisse müssen bekannt sein; Jedem Ergebnis wird eine Wahrscheinlichkeit zugerdnet; Ergebnisse müssen unabhängig vneinander sein (Erflg u. Misserflg) - Abslute / relative Häufigkeit und das Gesetz der grßen Zahlen Bei einem Würfelversuch wurde insgesamt 20 mal gewürfelt. Das Ereignis sah flgendermaßen aus: 1,5,4,3,5,5,2,6,1,2,4,3,5,1,6,1,1,3,2,5. Gebe die abs. Häufigkeit, und die relative Häufigkeit an. Gefallene zahl Anzahl H abs 1 5 5/ / / / / /20 H rel 1

2 Unter dem Gesetz der grßen Zahlen versteht man, dass je mehr Versuche man durchführt, dest mehr nähert sich der Versuch einem festen Wert an, welche die relative Häufigkeit ist. Dies ist nur möglich, wenn ein wirklicher Zufallsversuch vrliegt, als zum Beispiel ein Münzwurf mit einer regulären Münze). Dann flgt: lim Anzahl der Ergebnisse H rel - Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A als Qutient aus günstigen durch mögliche Fälle Die Wahrscheinlichkeit, für ein Ereignis, welches aus mehreren möglichen Fällen zusammengesetzt ist berechnet man als Qutient aller Treffer durch alle denkbaren Ereignisse Bsp.: In einem Versuch hat man einen regulären Würfel. Als gewünschtes Ereignis wählt man nun gerade Zahlen. Das heißt, es gibt als günstige Ereignisse die Zahlen 2, 4 und 6, insgesamt als 3 Stück. Mit dem Würfel lassen sich insgesamt 6 verschiedene Zahlen erreichen. Als Wahrscheinlichkeit, eine gerade günstige Fälle Zahl zu würfeln gilt als: P gerade = = 3 = 1 = 0,5. Die alle möglic hen Fälle 6 2 Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln liegt als bei 0,5. - Laplace-Versuch In einem Laplace-Versuch haben alle Ereignisse die selbe Wahrscheinlichkeit Diese lässt sich berechnen aus 1 Anza hl der Ereignisse Im Urnen-Mdel ist ein Laplace-Versuch gleichzusetzen mit einem Versuch mit Zurücklegen, wbei für jedes Ereignis dieselbe Menge an Kugeln in der Urne befinden muss. Bsp. für einen Laplace Versuch: Regulärer Würfel Münze Gleichviele verschiedenfarbige Kugeln in einer Urne 2

3 P J = 0,6 P M = 0,4 - Mehrstufiger Zufallsversuch, Baumdiagramm, Vierfeldertafel, umgekehrtes Baumdiagramm Beispiel: In einem Klassenraum wird eine Umfrage durchgeführt. Die herumfragende Gruppe vn blöden Studenten, die nichts Besseres zu tun hat, als kmische Umfragen in die Welt zu setzen, ist zu flgendem Ergebnis gekmmen. In der Klasse gibt es 60% Jungen. Außerdem haben 30% der Befragten blaue. Wie wahrscheinlich ist es, dass man auf ein Mädchen trifft, wenn man nur grüne sieht? Junge Mädchen blaue P T bl = 0,3 P J bl = 0,18 P T gr = 0,7 P T bl = 0,3 P T gr = 0,7 grüne blaue grüne P J gr = 0,42 P M bl = 0,12 P M gr = 0,28 Nun erflgt die Erstellung der Vier-Felder-Tafel Merkmal Junge Mädchen Summe Blaue 0,18 0,12 0,3 Grüne 0,42 0,28 0,7 Summe 0,6 0,4 1 3

4 Anhand der umgefrmten Pfadregeln lassen sich die Wahrscheinlichkeiten errechnen. P bl = 0,3 blaue Junge P T J = 0,6 P J bl = 0,18 P T M = 0,4 Mädchen P M bl = 0,12 P gr = 0,7 grüne P T J = 0,6 P T M = 0,4 Junge Mädchen P J gr = 0,42 P M gr = 0,28 Die Frage war ja, wie wahrscheinlich es ist, dass wenn man grüne sieht, es sich um ein Mädchen handelt. Die Antwrt: Es ist zu 40% wahrscheinlich, dass es sich um ein Mädchen handelt. Auffällig ist es bei diesem Experiment, dass es nicht ntwendig war, ein Baumdiagramm usw. zu erstellen, da es sich hier um unabhängige Wahrscheinlichkeiten handelt. Um welche Art vn Wahrscheinlichkeit es sich handelt, kann man anhand der 4-Feldertafel bestimmen: Teilt man hier die Spalte durcheinander und kmmt ein festes Ergebnis heraus, s handelt es sich um unabhängige Wahrscheinlichkeiten. Teilt man hier die Spalte durcheinander und kmmt kein gleicher Wert heraus, s handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Hier: 0,18 / 0,42 = 0, ,12 / 0,28 = 0,42857 als Unabhängigkeit. 4

5 - Kmbinatrik (d.h. Ziehen mit / hne Zurücklegen; in Klassen; gerdnet) Unter Kmbinatrik versteht man das Ausrechnen der Kmbinatinsmöglichkeiten vn Ergebnissen eines Zufallsversuches. K-faches Ziehen mit Zurücklegen; Mit Unterscheiden n k Beispiel: Man greift 3 mal nacheinander in eine Urne, in der 7 nummerierte Kugeln liegen (vn 1 bis 7). Nach jedem Zug legt man die Kugel wieder hinein. 7 3 = 343 Kmbinatinsmöglichkeiten Fakultät beim GTR: K-faches Ziehen hne Zurücklegen; Mit Unterscheiden ZAHL_OPTN_F6_Prb_F1 Zieht man s ft, wie es Elemente gibt, dann n! Zieht man nur k-mal (k<n), dann n k! Beispiel: Man greift 5 mal in eine Urne, in der es 15 durchnummerierte Kugeln gibt. 15! = Kmbinatinsmöglichkeiten 15 5! K-faches Ziehen mit Zurücklegen; Ohne unterscheiden n + k 1 k Beispiel: Man greift 4 mal in eine Urne mit 7 durchnummerierten Kugeln. Nach jedem Ziehen wird zurückgelegt, die aufgenmmene Reihenflge ist egal n über k beim GTR: = K-faches Ziehen hne Zurücklegen; Ohne Unterscheiden n k n! ZAHL_OPTN_F6_Prb_nCr _ZAHL Beispiel: Man hat eine Klasse mit 37 Schülern. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Schüler auf 19 Stühle zu setzten, selbst wenn einige nicht sitzen können? = 37! = 1,76 19! 37 19! 1010 Kmbinatinsmöglichkeiten = viele 5

6 - Bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten treten dann auf, wenn man bereits ein Vrwissen besitzt und nun in Bezug auf ein zweites Merkmal, welches allerdings vm ersten abhängig ist, die Wahrscheinlichkeit bestimmt. Als Beispiel gilt hier: In einem Feriengebiet gibt es Einheimische und Turisten. Zudem gibt es Leute, die einen aufhaben und welche die hne Kpfbedeckung durchs Leben schlendern. Dabei kann man flgenden Sachverhalt feststellen: Im Drf halten sich fünf mal s viele Turisten, wie Einheimische auf. In einer Umfrage knnte man feststellen, dass 60% der Turisten ihren Schädel mit einem schmücken. 4 der Einheimischen hingen sind nicht des 5 Tragens einer traditinsreichen Mütze zugetan. Trifft an nun beim Drfrummel auf einen Verrückten mit Kpfschmuck, mit welche Wahrscheinlichkeit handelt es sich dann um einen Einheimischen? (Sehr interessant für die Drfjugend, wenn sie gerade auf der Suche nach einem neuen Lver ist) Kmmen wir nun wieder zum ernsten Teil. Man erstellt ein Baumdiagramm mit flgenden Werten. P T = 0,833 Turist P T TH = 0,6 P T TH = 0,5 P T TH = 0,4 kein P T TH = 0,333 P T = 0,167 kein Turist P T TH = 0,2 P T TH = 0,8 kein P T TH = 0,0333 P T TH = 0,133 Nun erflgt die Erstellung der Vier-Felder-Tafel Merkmal Kein Summe Turist 0,5 0,333 0,833 Kein Turist 0,0333 0,133 0,167 Summe 0,533 0,466 1 Aus diesen Ergebnissen kann nun das umgekehrte Baumdiagramm gezeichnet werden. Um die Bedingten Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, muss man den Satz vn Bayes anwenden. Dabei wird auf die Pfadregel zurückgegriffen und einfachh umgefrmt, sdass man erhält: P TH T = P TH T P TH 6

7 P TH = 0,533 Turist P TH T = 0,938 P TH T = 0,5 P TH T = 0,062 kein Turist P TH T = 0,0333 P TH = 0,466 kein P TH T = 0,715 P TH T = 0,285 Turist kein Turist P TH T = 0,333 P TH T = 0,133 Hieraus kann man sehen, dass man nur sehr geringe Chancen hat, auf einen Einheimischen zu treffen, wenn man jemanden mit anspricht. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei gerade mal 6%. Wenn einen Einheimischen sucht, sllte man es vielleicht mal bei den hne versuchen, w die Wahrscheinlichkeit bei immerhin 28,5% liegt. - Definitin einer Zufallsgröße, eines Erwartungswertes einer Zufallsgröße, einer Varianz einer Zufallsgröße bzw. einer Standardabweichung einer Zufallsgröße Eine Zufallsgröße rdnet man einem Ergebnis eines Zufallsversuches zu. Jede Zufallsgröße tritt mit einer bestimmten, vrher bekannten Wahrscheinlichkeit auf. Den Erwartungswert bestimmt man durch: E(X)= k i x i p i = μ Der Erwartungswert gibt eine Beurteilung der Datenmengen im Hinblick auf die Vrhersage vn zukünftigen Daten. k Die Varianz lässt sich errechnen durch: V X = i (x i μ) 2 p i Die Varianz stellt eine Beurteilung der Sicherheit dar, mit der das zukünftige Ergebnis in er Nähe des Erwartungswertes liegt. Je kleiner die Varianz, dest größer die Sicherheit! Die Streuung / Standardabweichung lässt sich errechnen durch: σ = V(X) Die Standardabweichung beurteilt, inwiefern die zukünftigen Ergebnisse quantitativ (plus / minus) vm Erwartungswert abweichen 7

8 0,3 Zufallsgröße 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Beispiel: Eine Urne enthält 4 Kugeln, die vn 1 bis 4 durchnummeriert sind. Man zieht nacheinander hne Zurücklegen 2 Kugeln und rdnet jedem Zug die Summe X der gezgenen Zahlen zu. Berechnen Sie E(X), V(X), und σ(x) Es gibt flgende Möglichkeiten: Z1 Z2 X P(x) P(X) /6 1/ /6 1/ /6 2/ / /6 1/ /6 1/6 k 7 E X = i x i p i = 3 x i p i = = 5 7 V X = 3 (x i 5) 2 p i = (3 5) (4 6 5)2 1 + (5 6 5) (6 5) (7 5)2 1 6 = 1,66666 GTR im STAT-MENU: In Liste 1 X eingeben; in Liste 2 die Wahrscheinlichkeiten eingeben, _Calc_bei 1Var XList muss :List1 stehen und bei 1Var Freq muss List 2 stehen_exit_1var (F1) x gibt E(X) an und xσn gibt die Streuung an. Diesen Wert quadrieren für V(X) σ = V(X) = 1, = 1,29099 Aus dem Ergebnis lässt sich ablesen, dass man als nächsten Zug wahrscheinlich eine 5 zieht. Mit Einbeziehung der Streuung ist es jedch wahrscheinlicher, dass man etwa eine 6 der eine 4 zieht in der Summe. Da man allerdings eine relativ grße Varianz hat, ist es zudem unsicher, auf eine bestimmte Zahl zu tippen. Es ist deshalb ratsam, das Spiel nch etwas zu bebachten und nach dem Gesetz der grßen Zahlen dann eine Entscheidung zu treffen. 8

9 MATH - Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsfunktin Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, welche Wahrscheinlichkeiten den unterschiedlichen Zufallsgrößen zugerdnet werden. Dies kann swhl tabellarisch, der auch grafisch erflgen. Bsp.: 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 x P 0,2 0,4 0,1 0,25 0, Die Wahrscheinlichkeitsfunktin beschäftigt sich mit der Summe dieser Wahrscheinlichkeiten. Die Grafik dazu sieht dann wie flgt aus. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, Binmialverteilung Die Binmialverteilung ist die Verteilung des Ausgangs eines Bernulli-Versuches bzw. einer Bernulli-Kette. 9

10 Es handelt sich dabei um eine diskrete Wahrscheinlichkeit, da die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ausgänge de Versuches bekannt seien müssen. Die Verteilung gibt nun an, welche Anzahlen vn Treffen mit welchen Wahrscheinlichkeiten eintreten, wenn die Wiederhlungsrate bekannt ist. Um einen bestimmten Wert zu erhalten muss man flgende Frmel anwenden: P X = k = n k Pk (1 p) n k Dies kann nun für weitere k wert Wiederhlt werden, sdass sic h dann eine kmplette Binmialverteilung ergibt. Bsp.: In einer Nippelfabrik werden Nippel hergestellt. Dabei erfährt man aus regelmäßigen Nippelqualitätstets, das ca. 3% der prduzierten Nippel einen Nippelschaden aufweisen. In einer Nippelstichprbe vn sage und schreibe 50 Nippeln sll nun die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass mehr als 3 Nippel einen Nippelschaden aufweisen. Zunächst legt man die Größen n und p fest. Es gilt: n=50, da 50 Nippel in der Stichprbe sind und p=0,03, da 3% der Nippel defekt sind. Es flgt die Binmialverteilung in grafischer Auswertung 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Um nun eine Antwrt auf die Frage zu stellen, addiert man alle Wahrscheinlichkeitswerte mit k>3. Man erhält einen Wert vn 6,4%. Mit dem GTR ist das Prblem wie flgt zu lösen: STAT_ben auf Liste 1(unterlegt)_OPTN_F1_F5_X,X,Startwert,Endwert, Schrittweite(1),)_EXE_EXIT_EXIT_DIST(evt. vrher F6 zum Scrllen)_F5(BINM)_F1(BPD)_Data:List ; List:List1 ; Numtrail:n ; p: Wahrscheinlichkeit_EXE_EXIT_Oben auf List 2(unterlegt)_OPTN_F1(List)_F1(List)_SHIFT_ANS_EXE Um zu summieren: ben auf List3(unterlegt)_OPTN_F1(List)_F6_F6_F3(Cuml)_F6_F1(List)_2_EXE 10