Nullstellen finden und nutzen, um die Graphen von Polynomfunktionen darzustellen

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1 4 Nullstellen finden und nutzen, um die Graphen von Polynomfunktionen darzustellen In diesem Kapitel... Die Faktorisierung quadratischer Gleichungen erforschen Quadratische Gleichungen lösen, die nicht faktorisierbar sind Die Nullstellen von Polynomen erkennen und zählen Lösungen anwenden, um Faktoren zu finden Polynome in der Koordinatenebene darstellen Seit der guten alten Zeit der Algebra verwendet man Variablen für Unbekannte in Gleichungen. Sie sollten sich also mittlerweile daran gewöhnt haben. Wenn Variablen und Konstanten multipliziert werden, hat man ein so genanntes Monom, also»einen Term«bzw. ein Polynom, das nur aus einem Term besteht. Beispiele für Monome sind etwa 3, x 2 oder 4ab 3 c 2. Wenn Sie Monome addieren oder subtrahieren, erhalten Sie Polynome, weil Sie einen oder mehrere Terme schaffen. In der Regel bezieht sich der Ausdruck»Monom«auf ein Polynom mit nur einem Term,»Binom«auf zwei Terme,»Trinom«auf drei Terme, während das Wort»Polynom«für vier oder mehr Terme reserviert ist. Sie können sich ein Polynom auch als den allgemeinen Begriff vorstellen, unter den Monom, Binom und Trinom zusammengefasst werden. Jeder Teil eines Polynoms, der addiert oder subtrahiert wird, ist ein Term. Das Polynom 2x + 3 beispielsweise hat zwei Terme: 2x und 3. Teil der offiziellen Definition eines Polynoms ist es, dass keine Variable im Nenner eines Bruchs stehen darf und dass keine negativen Exponenten und keine Bruchexponenten vorhanden sein dürfen. In diesem Kapitel suchen Sie nach der Lösung bzw. den Lösungen für eine vorgegebene Gleichung die Werte, für die die Gleichung wahr ist. Wenn die vorgegebene Gleichung gleich Null ist, werden diese Lösungen als Nullstellen bezeichnet. An diesen Stellen kreuzt der Graph die x- Achse (auch als x-achsen-schnittpunkt bezeichnet). Wir werden Ihnen zeigen, wie Sie die Nullstellen von Polynomfunktionen finden. Die Bedeutung von Graden und Nullstellen Der Grad eines Polynoms hat eng mit seinen Exponenten zu tun. Er bestimmt, wie Sie mit dem Polynom umgehen, um die Nullstellen zu finden. Um den Grad eines Polynoms zu ermitteln, bestimmen Sie einfach den Grad jedes Terms, indem Sie die Exponenten der Variablen addieren. Die größte dieser Summen ist der Grad des gesamten Polynoms. Betrachten Sie beispielsweise den Ausdruck 3x 4 y 6 2x 4 y 5 xy + 2 : Der Grad des ersten Terms ist 4 + 6, also 10. Der Grad des zweiten Terms ist 4 + 1, also 5. Der Grad des dritten Terms ist 1 + 1, also 2. Der Grad des letzten Terms ist 0, weil er keine Variablen enthält. Aus diesem Grund hat das Polynom den Grad 10. Ein quadratischer Ausdruck ist ein Polynom, dessen höchster Grad 2 ist. Ein Beispiel für ein quadratisches Polynom ist 3x 2 10 x + 5. Der x 2 - Term im Polynom wird als quadratischer Term bezeichnet, weil er den gesamten Ausdruck quadratisch macht. Die Zahl vor dem x 2 wird als führender Koeffizient bezeichnet (im obigen Beispiel ist das 3). Der x-term wird als linearer Term ( 10x) bezeichnet, und die allein stehende Zahl als Konstante (5). Ganz ohne die Analysis ist es fast unmöglich, einfach durch Antragen von Punkten einen perfekt genauen Graphen einer Polynomfunktion zu erhalten. Hier wollen wir die Nullstellen eines Polynoms finden (falls es solche gibt) und sie zumindest als Anhaltspunkt verwenden, um uns eine bessere Vorstellung davon machen zu können, wie der Graph dieses Polynoms aussieht. Sie setzen einfach einen x-wert zwischen den beiden Nullstellen (den x-schnittpunkten) ein, um festzustellen, ob die Funktion zwischen diesen Nullstellen positiv oder negativ ist. Beispielsweise könnten Sie aufgefordert werden, den Graphen der Glei chung y = 3 x 2 10 x + 5 zu zeichnen. Sie wissen jetzt, dass es sich um ein Polynom zweiten Grades handelt, es hat also zwei Nullstellen, und kann deshalb die x-achse bis zu zweimal kreuzen (warum das so ist, erklären wir später). Die Erstellung von Graphen ist ein wichtiges Konzept in den Grundlagen der Analysis, und viele Aufgabenstellungen haben damit zu tun. Abhängig vom Typ der jeweiligen Funktion, deren Graphen Sie zeichnen, gibt es verschiedene Strategien dafür. Bei Polynomen gehen Sie jedoch von den Nullstellen aus! Wenn Sie Glück haben und einen graphischen Taschenrechner besitzen und außerdem einen Lehrer, der Ihnen erlaubt, diesen zu benutzen, können Sie jede beliebige quadratische Gleichung in das Graphikprogramm des Taschenrechners eingeben und den Graphen der Gleichung anzeigen lassen. Der Taschenrechner identifiziert nicht nur die Nullstellen, sondern teilt Ihnen auch die Maximum- und Minimumwerte des Graphen mit, so dass Sie die bestmögliche Darstellung zeichnen können.

2 Wir beginnen dieses Kapitel mit der Lösung quadratischer Gleichungen, weil dafür spezielle Techniken angewendet werden: Faktorisierung, quadratische Ergänzung und die Quadratformel sind ausgezeichnete Methoden, quadratische Gleichungen zu lösen, aber für Polynome höheren Grades funktionieren sie nicht. Anschließend gehen wir über zu Polynomen höheren Grades (z.b. x 3 oder x 5 ), weil die Schritte für ihre Lösung häufig umfangreicher und komplizierter sind. Hinweis: Sie können jede Polynomgleichung lösen (auch quadratische Gleichungen), indem Sie die am Kapitelende beschriebenen Schritte anwenden. Sie ersparen sich jedoch viel Zeit und Mühe, wenn Sie quadratische Gleichungen unter Verwendung der speziell dafür vorgesehenen Techniken lösen. Machen Sie sich keine Gedanken wir werden schrittweise die Lösung aller Polynome betrachten. Einen Polynomausdruck faktorisieren Sie wissen, dass bei der Erstellung von Produkten, d.h. bei der Multiplikation von zwei oder mehreren Termen, jeder dieser Terme als Faktor bezeichnet wird. Faktoren sind Ihnen bereits bei der Einführung der Multiplikation begegnet (erinnern Sie sich an Primzahlenfaktoren und dergleichen?). In der Mathematik bedeutet die Faktorisierung oder Faktorbildung das Aufbrechen eines Polynoms in ein Produkt aus kleineren Polynomen. Wenn Sie diese Faktoren wieder multiplizieren würden, erhielten Sie wieder das ursprüngliche Polynom (eine gute Methode, die eigene Arbeit zu überprüfen). Eine Faktorenmenge der Zahl 24 beispielsweise ist 6 und 4, weil 6 4 = 24. Wenn Sie ein Polynom haben, können Sie es auch in ähnlicher Weise lösen, indem Sie es nämlich in ein Produkt aus zwei Binomen faktorisieren. Bei der Lösung von Polynomgleichungen gibt es mehrere Optionen für die Faktorisierung, zwischen denen Sie wählen können: Bei einem Polynom überprüfen suchen Sie immer zuerst den größten gemeinsamen Teiler (ggt), unabhängig davon, wie viele Terme vorliegen. Der größte gemeinsame Teiler ist der größte Ausdruck, durch den sich alle Terme dividieren lassen. Die Anwendung des größten gemeinsamen Teilers funktioniert wie das Rückgängigmachen der Distributiveigenschaft (siehe Kapitel 1). Wenn es sich bei der Gleichung um ein Trinom handelt sie hat drei Terme, können Sie die EAIL-Methode für die Rückwärtsmultiplikation von Binomen anwenden. Wenn es sich um ein Binom handelt, suchen Sie nach der Differenz der Quadrate, Differenz von Kubikwerten oder Summen von Kubikwerten. Nachdem das Polynom schließlich vollständig faktorisiert ist, können Sie die Null-Produkteigenschaft anwenden, um die Gleichung zu lösen. Die folgenden Abschnitte zeigen diese Methoden im Detail. Wenn für ein Polynom keine Faktorisierung möglich ist, wird es als prim bezeichnet, weil es nur durch 1 und sich selbst zu dividieren ist. Wenn Sie alle Ihnen zur Verfügung stehenden Faktorisierungstricks ausprobiert haben (ggt, Rückwärts-EAIL, Differenz der Quadrate usw.), die quadratische Gleichung sich aber nicht faktorisieren ließ, können Sie entweder das Quadrat ergänzen oder die Quadratformel anwenden, um die Gleichung zu lösen. Was Sie wählen, bleibt Ihnen überlassen. Sie könnten sogar entscheiden, immer entweder die quadratische Ergänzung oder die Quadratformel anzuwenden (und die Faktorisierung ganz wegzulassen), um eine Gleichung zu lösen. Die Faktorisierung kann manchmal schneller sein, deshalb empfehlen wir Ihnen, sie als erstes auszuprobieren. Standardform für einen quadratischen Ausdruck (einfach eine quadratische Gleichung ohne das Gleichheitszeichen) ist der x 2 -Term, gefolgt vom x-term, gefolgt von der Konstanten mit anderen Worten, ax 2 + bx + c. Wenn Sie einen quadratischen Ausdruck erhalten, der sich nicht in Standardform befindet, schreiben Sie ihn in Standardform um, indem Sie die Potenzen in absteigende Reihenfolge bringen. Damit wird die Faktorisierung einfacher (und manchmal ist es einfach notwendig, zu faktorisieren). Später in diesem Abschnitt werden wir Ihnen zeigen, wie Sie eine quadratische Gleichung nach der Faktorisierung lösen, indem Sie nämlich die so genannte Null-Produkteigenschaft anwenden. Weil dies jedoch manchmal auf allen folgenden Techniken basiert, werden wir uns zunächst auf die Faktorisierung von Ausdrücken konzentrieren, ohne Nullstellen zu bestimmen. Sie werden feststellen, dass die meisten Lehrbücher ebenfalls diesen Ansatz verfolgen. Immer der erste Schritt: Die Suche nach einem ggt Egal, wie viele Terme ein Polynom hat, es ist immer wichtig, zuerst den größten gemeinsamen Teiler (ggt) zu suchen. Wenn es einen ggt gibt, wird die Faktorisierung des Polynoms einfacher, weil die Anzahl der Faktoren jedes Terms kleiner ist (weil Sie einen oder mehrere davon ausgeklammert haben!). Dies ist insbesondere dann wichtig, wenn der ggt eine Variable beinhaltet. Wenn Sie vergessen, diesen ggt auszuklammern, vergessen Sie vielleicht auch, eine Lösung zu bestimmen, und das könnte Sie auf mehrere Arten durcheinander bringen! Ohne diese Lösung könnten Sie eine Nullstelle übersehen, und dann erhalten Sie womöglich einen fehlerhaften Graphen für Ihr Polynom. Und dann wäre die gesamte Arbeit umsonst gewesen! Vielleicht nicht umsonst, aber Sie wissen, was wir meinen! Um beispielsweise das Polynom 6x 4 12x 3 + 4x 2 zu faktorisieren, gehen Sie in folgenden Schritten vor: 1. Zerlegen Sie alle Terme in ihre Primfaktoren. Damit wird der Ausdruck zu 3 2 x x x x x x x x x. 2. Suchen Sie nach Faktoren, die in jedem der Terme vorkommen, um den ggt zu bestimmen. In diesem Beispiel sehen Sie in jedem Term eine 2 und zwei x. Nachfolgend zeigen wir diese Komponenten unterstrichen: 3 2 x x x x x x x x x. Der ggt ist hier 2x Klammern Sie den ggt aus jedem Term aus und schreiben Sie ihn vor die Klammern, innerhalb derer der Rest steht. Damit erhalten Sie 2 x x(3 x x 2 3 x + 2). 4. Multiplizieren Sie aus, um jeden Term zu vereinfachen. Damit erhalten Sie 2x 2 (3x 2 6x + 2). 5. Multiplizieren Sie wieder aus, um zu überprüfen, ob der ggt korrekt ist. Wenn Sie die 2x 2 in die Klammer hinein multiplizieren, erhalten Sie 6x 4 12 x 3 + 4x 2. Damit können Sie sicher sagen, dass 2x 2 der ggt ist. Bringen Sie Ordnung hinein: Die EAIL-Methode für Trinome Nachdem Sie ein Polynom auf einen ggt überprüft haben (unabhängig davon, ob es einen hatte oder nicht), versuchen Sie erneut, zu

3 faktorisieren. Möglicherweise stellen Sie fest, dass es einfacher ist, zu faktorisieren, nachdem der ggt ausgeklammert wurde. Das Polynom im letzten Abschnitt hatte zwei Faktoren 2x 2 und 3x 2 6x + 2. Der erste Faktor, 2x 2, ist als solcher unfaktorisierbar, weil es sich um ein Monom handelt. Der zweite Faktor könnte jedoch erneut faktorisiert werden, weil es sich um ein Trinom handelt. Wenn das möglich wäre, hätten Sie zwei weitere Faktoren, die beide Binome sind. Die meisten Lehrer stellen beim Faktorisieren die Raten-und-Probieren-Methode vor. Dabei schreiben Sie zwei Klammern hin, ( )( ), und setzen geratene Werte für die Faktoren ein, um dann zu prüfen, ob es irgendwie funktioniert. Ihr erster geratener Wert für dieses Beispiel wäre vielleicht (3x 2) (x 1), aber wenn Sie ein EAIL dafür ausführen, erhalten Sie 3x 2 5x +2, und Sie müssen erneut raten. Diese Raten-und-Probieren- Methode ist äußerst langwierig und mühselig bestenfalls. Es erweist sich jedoch, dass die hier vorliegende quadratische Gleichung prim ist, Sie könnten also tagelang raten und probieren, es ergäbe sich nie eine Faktorisierung. Wenn Ihr Lehrer Ihnen für die Faktorisierung die Raten-und-Probieren-Methode vorstellt, die für Sie einfach nicht funktionieren will, sind Sie hier genau richtig. Das folgende Verfahren, die so genannte EAIL-Methode für die Faktorisierung (manchmal auch als britische Methode bezeichnet), funktioniert immer für die Faktorisierung von Trinomen und stellt ein sehr praktisches Werkzeug dar, wenn Sie nicht mehr in der Lage sind, zu raten und zu probieren. Wenn die EAIL-Methode fehlschlägt, wissen Sie sicher, dass die vorgegebene quadratische Gleichung prim ist. Die EAIL-Methode zur Faktorisierung verlangt, dass Sie die Schritte für EAIL für Binome durchführen, allerdings rückwärts. Sie wissen, dass Sie beim EAIL die ersten, äußeren, inneren und letzten Terme miteinander multiplizieren. Anschließend fassen Sie ähnliche Terme zusammen, die in der Regel aus der Multiplikation der äußeren und inneren Terme entstehen. Um beispielsweise x 2 + 3x 10 zu faktorisieren, gehen Sie wie folgt vor: 1. Suchen Sie zuerst nach dem ggt. Der Ausdruck x 2 + 3x 10 hat keinen ggt, wenn Sie ihn zerlegen und ihn gemäß den Schritten aus dem letzten Abschnitt betrachten. Das Zerlegen sieht wie folgt aus: x x + 3 x 2 5. Es gibt keine gemeinsamen Faktoren in allen Termen, deshalb gibt es keinen ggt. Das bedeutet, Sie müssen zum nächsten Schritt übergehen. 2. Multiplizieren Sie den quadratischen Term und den konstanten Term. Achten Sie dabei auf die Vorzeichen. In diesem Beispiel ist der quadratische Term 1x 2, und die Konstante ist 10: 1x 2 10 = 10x Schreiben Sie alle Faktoren des Ergebnisses paarweise auf. 1x und 10x 1x und 10x 2x und 5x 2x und 5x 4. Ermitteln Sie aus dieser Liste das Paar, das hilft, den Koeffizienten des linearen Terms zu bilden. Sie brauchen das Paar, dessen Summe +3x ist. In dieser Aufgabe lautet die Lösung 2x und 5x, weil 2x 5x = 10x 2 ist, und 2x + 5x = 3x. 5. Zerlegen Sie den linearen Term in zwei Terme. Verwenden Sie dabei die Zahlen aus Schritt 4 als Koeffizienten. Damit haben Sie jetzt x 2 2x + 5x 10. Sie machen sich das Leben langfristig einfacher, wenn Sie den linearen Term immer so anordnen, dass der kleinste Koeffizient vorne steht. Aus diesem Grund setzen wir die 2x vor die +5x. 1. Gruppieren Sie die vier Terme in Zweiergruppen. Schreiben Sie immer ein Pluszeichen zwischen die beiden Gruppen: (x 2 2x) + (5x 10). 2. Bestimmen Sie den ggt für jede Gruppe und klammern Sie ihn aus. Betrachten Sie die beiden ersten Terme. Was haben sie gemeinsam? Ein x. Wenn Sie das x ausklammern, erhalten Sie x(x 2). Jetzt betrachten Sie die beiden zweiten Terme. Sie haben eine 5 gemeinsam. Wenn Sie die 5 ausklammern, erhalten Sie 5(x 2). Das Polynom ist jetzt x(x 2) + 5(x 2). 3. Bestimmen Sie den ggt der beiden neuen Terme. Sehen Sie das (x 2) in beiden Termen? Wir unterstreichen es: x(x 2) + 5(x 2). Das ist ein ggt, weil er in beiden Termen vorkommt (falls Sie unter Verwendung dieser Methode faktorisieren, sollte der letzte Schritt immer so aussehen). Klammern Sie den ggt aus beiden Termen aus (das ist immer der Ausdruck in den Klammern). Sie erhalten (x 2) ( ). Wenn Sie faktorisieren, bleiben die Terme, die nicht im ggt enthalten sind, in den neuen Klammern zurück. In diesem Fall erhalten Sie (x 2) (x + 5). Das (x + 5) entsteht durch Ausklammern des ggt. Manchmal muss sich in Schritt 6 das Vorzeichen ändern, so dass der ggt korrekt ausgeklammert werden kann. Wenn Sie jedoch nicht mit einem Pluszeichen zwischen den beiden Gruppen beginnen, verlieren Sie womöglich ein Minuszeichen, das Sie für die Faktorisierung noch brauchen. Wenn Sie beispielsweise x 2 13x + 36 faktorisieren, erhalten Sie in Schritt 5 das folgende Polynom: x 2 9x 4x Wenn Sie die Terme gruppieren, erhalten Sie (x 2 9x) + ( 4x + 36). Sie klammern das x in der ersten Gruppe und die 4 in der zweiten Gruppe aus und erhalten x(x 9) + 4( x + 9). Beachten Sie, dass die zweite Gruppe das genaue Gegenteil der ersten ist! Damit Sie in den nächsten Schritt gelangen können, müssen die Gruppen exakt übereinstimmen. Dazu ändern Sie das +4 in der Mitte in 4 und erhalten x(x 9) 4(x 9). Da sie jetzt übereinstimmen, können Sie erneut faktorisieren. Wenn Sie die Schritte aus der obigen Liste nachvollziehen, wird es ganz einfach, Trinome zu faktorisieren. Selbst wenn ein Ausdruck einen anderen führenden Koeffizienten als 1 hat, funktioniert die EAIL-Methode. Schwierig wird es nur dann, wenn in Schritt 2 keine Faktoren entstehen, die sich ergänzen, um den Linearkoeffizienten zu bilden. In diesem Fall ist die Lösung prim. In 2x x + 4 beispielsweise, erhalten Sie 8x 2, wenn Sie den quadratischen Term von 2x 2 und die Konstante 4 multiplizieren. Aber keine Faktoren von 8x 2 addieren sich zu 13x, deshalb ist 2x x + 4 prim. Spezielle Polynomtypen erkennen und faktorisieren Beim Faktorisieren kommt es vor allem darauf an, die Faktoren des ursprünglichen Polynoms zu erkennen, die Sie zum Endergebnis führen. Sie haben in der Algebra viel Zeit damit verbracht, EAIL für Polynome auszuführen, und bei der Faktorisierung wird genau dieser Prozess

4 rückgängig gemacht. Ein bisschen wie Jeopardy! Sie kennen die Antwort und suchen nach der Frage. Nachdem Sie geprüft haben, ob in dem vorgegebenen Polynom ein ggt vorhanden ist, und festgestellt haben, dass es sich um ein Binom handelt, das keine Differenz von Quadraten ist, sollten Sie überlegen, ob es sich um eine Summe oder Differenz von Kubikwerten handeln Es gibt Sonderfälle für die Anwendung von EAIL auf Polynome, die auch bei der Faktorisierung wieder auftauchen. Sie sollten Sie schnell erkennen, so dass Sie bei der Faktorisierung Zeit sparen. Perfekte Quadrate: Wenn Sie EAIL auf ein mit sich selbst multipliziertes Binom anwenden, wird das Produkt als perfektes Quadrat bezeichnet. (a + b) 2 beispielsweise würde ein perfekt quadratisches Trinom ergeben, a 2 + 2ab + b 2. Immer wenn Sie ein Trinom faktorisieren und zwei gleiche Faktoren erhalten, drücken Sie die Lösung als Binom in der zweiten Potenz aus. Differenz von Quadraten: Wenn Sie EAIL auf ein Binom und sein Konjugiertes anwenden, wird das Ergebnis als Differenz der Quadrate bezeichnet. Das Produkt von (a b) (a + b) ist a 2 b 2. Für die Faktorisierung der Differenz von Quadraten sind ebenfalls spezielle Schritte erforderlich, die wir Ihnen in diesem Abschnitt zeigen werden. Zwei weitere Sondertypen der Faktorisierung sind bei der Einführung von EAIL nicht aufgetaucht, weil sie nicht das Produkt von zwei Binomen sind: Summe von Kubikwerten: Ein Faktor ist ein Binom, der andere ist ein Trinom. (a 3 + b 3 ) kann faktorisiert werden zu (a + b) (a 2 ab + b 2 ). Differenz von Kubikwerten: Diese werden fast wie eine Summe von Kubikwerten faktorisiert, außer dass einige Vorzeichen bei den Faktoren unterschiedlich sind. (a 3 b 3 ) = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Egal, welchen Aufgaben Sie gegenüberstehen, Sie sollten immer zuerst auf den ggt prüfen. Alle folgenden Beispiele haben keinen ggt, deshalb überspringen wir dort diesen Schritt. In anderen Abschnitten erfahren Sie, wie Sie mehrfach faktorisieren, wenn das möglich ist. Doppelt sehen mit perfekten Quadraten Weil ein perfekt quadratisches Trinom immer noch ein Trinom ist, folgen Sie den Schritten der Rückwärts-EAIL-Methode für die Faktorisierung (siehe voriger Abschnitt). Sie müssen jedoch ganz am Ende einen zusätzlichen Schritt berücksichtigen, in dem Sie die Lösung als quadriertes Binom ausdrücken. Um beispielsweise das Polynom x 2 16x + 64 zu faktorisieren, gehen Sie wie folgt vor: 1. Multiplizieren Sie den quadratischen Term mit dem konstanten Term. Das Produkt des quadratischen Terms x 2 und der Konstanten 64 ist 64x 2, womit Ihre Arbeit ganz einfach war. 2. Schreiben Sie alle Faktoren des Ergebnisses paarweise auf. Die Faktoren von 64x 2 in Paaren sind: 1x und 64x 1x und 64x 2x und 32x 2x und 32x 4x und 16x 4x und 16x 8x und 8x 8x und 8x 3. Aus dieser Liste bestimmen Sie das Paar, dessen Summe den Koeffizienten des linearen Terms erzeugt. Sie wollen in diesem Fall die Summe 16x erhalten. Die einzige Möglichkeit, das zu schaffen, bieten 8x und 8x. 4. Zerlegen Sie den linearen Term in zwei Terme und verwenden Sie dabei die Terme aus Schritt 3. Damit erhalten Sie x 2 8x 8x Gruppieren Sie die vier Terme in Zweiergruppen. Haben Sie daran gedacht, das Pluszeichen zwischen den beiden Gruppen einzufügen, um (x 2 8x) + ( 8x + 64) zu erhalten? 6. Bestimmen Sie den ggt für jede Gruppe und klammern Sie ihn aus. Der ggt der beiden ersten Terme ist x, der ggt der beiden nächsten Terme ist 8. Durch Ausklammern erhalten Sie x(x 8) 8(x 8). 7. Bestimmen Sie den ggt der beiden neuen Terme. Jetzt ist der ggt gleich (x 8). Durch Ausklammern erhalten Sie (x 8)(x 8). Aha! Das ist das Binom multipliziert mit sich selbst, d.h. Sie haben einen zusätzlichen Schritt. 8. Drücken Sie das resultierende Produkt als quadriertes Binom aus. Dieser Schritt ist einfach: (x 8) 2 Mit Differenzen von Quadraten arbeiten Eine Differenz von Quadraten erkennen Sie sofort, weil es sich jeweils um ein Binom handelt, bei dem jeder Term ein perfektes Quadrat ist, und weil zwischen den beiden Quadraten immer ein Minuszeichen steht. Es wird immer als a 2 b 2 oder (irgendwas) 2 (irgendwas anderes) 2 dargestellt. Wenn Sie eine Differenz von Quadraten vorliegen haben und nachdem Sie in beiden Termen auf den ggt geprüft haben, folgen Sie einem einfachen Verfahren: a 2 b 2 = (a b)(a + b). Beispielsweise können Sie 25y 4 9 wie folgt faktorisieren: 1. Schreiben Sie alle Terme in (irgendwas) 2 um. Dieses Beispiel wird zu (5y 2 ) 2 (3) 2, was deutlich die Differenz der Quadrate zeigt (die»differenz«bezieht sich auf eine Subtraktion). 2. Faktorisieren Sie die Differenz der Quadrate (a) 2 (b) 2 zu (a b)(a + b). Jede Differenz der Quadrate (a) 2 (b) 2 lässt sich immer zu (a b)(a + b) faktorisieren. Dieses Beispiel ergibt also faktorisiert (5y 2 3) (5y 2 + 3). Eine kubische Differenz oder Summe aufspalten

5 könnte. Eine Differenz von Kubikwerten hört sich verdammt nach Differenz von Quadraten an (siehe voriger Abschnitt), aber die Faktorisierung erfolgt auf völlig andere Weise. Eine Differenz von Kubikwerten beginnt immer als Binom mit einem Minuszeichen in der Mitte, wird aber als (irgendwas) 3 (irgendwas) 3 dargestellt. Für die Faktorisierung einer Differenz von Kubikwerten verwenden Sie die Formel (a) 3 (b) 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). Eine Summe von Kubikwerten ist immer ein Binom mit einem Pluszeichen in der Mitte das einzige, wo das passiert: (irgendwas) 3 + (irgendwas anderes) 3. Wenn Sie eine Summe von Kubikwerten a 3 + b 3 erkennen, erhalten Sie die Faktorisierung mit (a + b)(a 2 ab + b 2 ). Um beispielsweise 8x zu faktorisieren, suchen Sie zunächst nach dem ggt. Sie finden keinen, deshalb gehen Sie wie folgt vor: 1. Prüfen Sie, ob es sich bei dem Ausdruck um eine Differenz von Quadraten handelt. Sie sollten diese Möglichkeit in Betracht ziehen, weil der Ausdruck zwei Terme enthält. Sie sollten aber auch schnell erkennen, dass er das nicht ist, weil Sie ein Pluszeichen zwischen den beiden Termen sehen. 2. Stellen Sie fest, ob Sie eine Summe oder eine Differenz von Kubikwerten verwenden müssen. Am Pluszeichen erkennen Sie, dass es sich um eine Summe von Kubikwerten handeln kann, aber wirklich kugelsicher ist das nicht. Sie müssen es probieren. Versuchen Sie, den Ausdruck als Summe von Kubikwerten umzuschreiben. Wenn Sie (2x) 3 + (3) 3 ausprobieren, haben Sie einen Treffer gelandet. 3. Zerlegen Sie die Summe oder Differenz der Kubikwerte unter Verwendung der Abkürzung für die Faktorisierung. Setzen Sie 2x für a und 3 für b ein. Die Formel wird zu [(2x) + (3)] [(2x) 2 (2x) (3) + (3) 2 ]. 4. Vereinfachen Sie die Faktorisierungsformel. Dieses Beispiel vereinfacht sich zu (2x + 3)(4x 2 6x + 9). 5. Überprüfen Sie das faktorisierte Polynom, um festzustellen, ob es sich erneut faktorisieren lässt. Sie sind mit der Faktorisierung erst fertig, wenn Sie fertig sind. Suchen Sie immer nach irgendwelchen»resten«, die möglicherweise noch faktorisiert werden können. Manchmal lässt sich der binomische Term erneut als Differenz von Quadraten faktorisieren. Der Trinom-Faktor dagegen lässt sich nie erneut faktorisieren. Im obigen Beispiel ist der binomische Term 2x + 3 ein Binom ersten Grades (der Exponent der Variablen ist 1), ohne einen ggt, er lässt sich also nicht weiter faktorisieren. Das bedeutet, (2x + 3)(4x 2 6x + 9) ist Ihr endgültiges Ergebnis. Gruppieren, um vier oder mehr Terme zu faktorisieren Wenn ein Polynom vier oder mehr Terme hat, faktorisiert man es am einfachsten mit Hilfe der Gruppierung. Bei dieser Methode betrachten Sie jeweils nur zwei Terme gleichzeitig, um zu prüfen, ob eine der zuvor beschriebenen Techniken anwendbar ist (beispielsweise könnten Sie einen ggt bei zwei Termen feststellen oder ein Trinom als perfektes Quadrat erkennen). In den vorigen Abschnitten, wo wir Ihnen gezeigt haben, wie der lineare Term in einem Trinom in zwei separate Terme zerlegt wird und dann zweimal der ggt ausgeklammert wird, haben wir Ihnen letztlich eine Gruppierungstaktik vorgestellt. Es gibt jedoch sehr viel mehr Möglichkeiten, durch Gruppierung zu faktorisieren, deshalb zeigen wir Ihnen jetzt, wie zu gruppieren ist, wenn das vorgegebene Polynom mit vier (oder mehr) Termen beginnt. Manchmal kann man ein Polynom in Gruppen aus je zwei Termen gruppieren, um in jeder dieser Gruppen einen ggt zu finden. Wenn Sie ein Polynom mit vier oder mehr Termen sehen, sollten Sie diese Methode als erstes ausprobieren. Dies ist die häufigste Gruppierung, die Ihnen in Prüfungen begegnen wird. Beispielsweise können Sie x 3 + x 2 x 1 faktorisieren, indem Sie die Gruppierung anwenden. Gehen Sie einfach wie folgt vor: 1. Teilen Sie das Polynom in Zweiergruppen auf. Sie können es mit (x 3 + x 2 ) + ( x 1) probieren. Tragen Sie ein Pluszeichen zwischen den Gruppen ein, genau wie bei der Faktorisierung von Trinomen. 2. Suchen Sie den ggt für jede Gruppe und klammern Sie ihn aus. Das Quadrat x 2 ist der ggt der ersten Gruppe, 1 ist der ggt der zweiten Gruppe. Durch Ausklammern erhalten Sie x 2 (x + 1) 1(x + 1). 3. Faktorisieren Sie erneut so oft Sie können. Die beiden Terme, die Sie erzeugt haben, haben den ggt (x + 1). Durch Ausklammern erhalten Sie (x + 1)(x 2 1). x 2 1 ist jedoch erneut eine Differenz von Quadraten und kann faktorisiert werden. Letztendlich erhalten Sie nach der Gruppierung die folgenden Faktoren: (x + 1)(x + 1)(x 1) oder (x + 1) 2 (x 1). Wenn die obige Methode nicht funktioniert, müssen Sie das Polynom möglicherweise auf andere Weise gruppieren. Und nach all dem Aufwand kann sich am Ende herausstellen, dass das Polynom prim ist, was jedoch auch gut ist zu wissen. Betrachten Sie beispielsweise das Polynom x 2 4xy + 4y Sie können es in Zweiergruppen gruppieren und würden x(x 4y) + 4(y 2 4) erhalten. Dies lässt sich jedoch nicht weiter sinnvoll faktorisieren. Und jetzt sollten in Ihrem Kopf die Glocken zu läuten beginnen und Sie daran erinnern, sich das Original noch einmal genau anzusehen. Sie sollten versuchen, eine andere Gruppierung vorzunehmen. Wenn Sie in diesem Fall die ersten drei Terme betrachten, werden Sie ein perfektes quadratisches Trinom erkennen, das sich faktorisieren lässt zu (x 2y) Jetzt haben Sie eine Differenz von Quadraten, die sich erneut faktorisieren lässt zu [(x 2y) 4)][(x 2y) + 4]. Die Nullstellen einer faktorisierten Gleichung bestimmen Nach der Faktorisierung kann es vorkommen, dass zwei Faktoren erneut faktorisierbar sind. In diesem Fall sollten Sie weiter faktorisieren. Es kann auch vorkommen, dass Sie nicht mehr faktorisieren können, dann sollten Sie die Gleichung unter Verwendung der Quadratformel lösen. Beispielsweise kann 6x 4 12x 3 + 4x 2 = 0 faktorisiert werden zu 2x 2 (3x 2 6x + 2) = 0. Der erste Term 2x 2 = 0 kann mit Hilfe der Algebra gelöst werden, der zweite Faktor, 3x 2 6x + 2 = 0 ist jedoch unfaktorisierbar und Sie brauchen die Quadratformel (siehe folgenden Abschnitt). Nachdem Sie ein Polynom in seine verschiedenen Bestandteile faktorisiert haben, können Sie jeden Teil gleich Null setzen und unter der Verwendung der Null-Produkt-Eigenschaft nach den Nullstellen auflösen. Die Null-ProduktEigenschaft besagt, dass wenn mehrere

6 Faktoren multipliziert Null ergeben, mindestens einer davon Null sein muss. Ihre Aufgabe ist es, alle Werte von x zu finden, die das Polynom zu Null machen. Das ist sehr viel einfacher, wenn das Polynom faktorisiert wird, weil Sie jeden Faktor gleich Null setzen und nach x auflösen können. x 2 + 3x 10 = 0 ergibt faktorisiert also (x + 5) (x 2). Man kann ganz leicht weitermachen, weil jeder Faktor linear ist (also vom ersten Grad). Der Term x + 5 = 0 erbringt Ihnen eine Lösung (x = 5), und x 2 = 0 ergibt die andere Lösung (x = 2). Beide werden dann zu einem x-achsen-schnittpunkt auf dem Graphen des Polynoms (siehe Abschnitt»Graphen von Polynomen zeichnen«). Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Quadratformel) falls nicht faktorisiert werden kann Wenn Sie aufgefordert werden, eine quadratische Gleichung zu lösen, die Sie scheinbar nicht faktorisieren können (oder die tatsächlich nicht faktorisierbar ist), brauchen Sie eine andere Methode, sie zu lösen. Wenn es nicht möglich ist, zu faktorisieren, bedeutet dies, dass die Gleichung zwar Lösungen hat, diese jedoch durch Anwendung normaler Techniken nicht zu finden sind. Vielleicht sind daran Quadratwurzeln nicht perfekter Quadrate beteiligt. Es können sogar komplexe Zahlen unter Beteiligung von imaginären Zahlen dabei sein (siehe Kapitel 11). Eine solche Lösungsmethode ist die Anwendung der Quadratformel, das ist die Formel, die verwendet wird, um nach der Variablen in einer quadratischen Gleichung in Standardform aufzulösen. Eine weitere Möglichkeit ist es, quadratisch zu ergänzen, das heißt, Sie manipulieren einen Ausdruck so, dass Sie ein perfektes quadratisches Trinom erhalten, das Sie einfach faktorisieren können. Die folgenden Abschnitte stellen diese Methoden im Detail vor. Die Quadratformel anwenden Wenn sich eine quadratische Gleichung einfach nicht faktorisieren lässt, denken Sie einfach an Ihre alte Freundin aus der Algebra zurück, die Quadratformel, mit der Sie garantiert eine Lösung erhalten werden. Für eine quadratische Gleichung in Standardform ax 2 + bx + c = 0 lautet sie Bevor Sie die Formel anwenden, sollten Sie die Gleichung in Standardform bringen (falls sie sich noch nicht in dieser befindet) und die Werte für a, b und c bestimmen. Um beispielsweise x 2 3x +1 = 0 zu lösen, stellen Sie als erstes fest, dass a = 1, b = 3 und c = 1. Sie setzen die Werte a, b und c einfach in die Formel ein, um die Werte für x zu erhalten:. Nach dem ersten Vereinfachen erhalten Sie, und nach weiteren Vereinfachungen kommen Sie zu Ihrem endgültigen Ergebnis, nämlich den beiden x-werten (den x-achsen-schnittpunkten):. Die quadratische Ergänzung Die quadratische Ergänzung ist praktisch, wenn Sie eine nicht faktorisierbare quadratische Gleichung lösen müssen und Kegelschnitte graphisch darstellen wollen, wie in Kapitel 12 genauer erklärt. Hier empfehlen wir Ihnen, die Nullstellen einer quadratischen Gleichung nur dann unter Verwendung dieser Technik zu bestimmen, wenn Sie speziell dazu aufgefordert werden, weil die Faktorisierung einer quadratischen Gleichung und die Anwendung der Quadratformel genauso gut funktionieren (wenn nicht besser). Diese Methoden sind weniger kompliziert als die quadratische Ergänzung (die bisweilen körperliche Schmerzen verursachen kann). Angenommen, Ihr Lehrer sagt, Sie sollen eine quadratische Ergänzung vornehmen. Gehen Sie wie folgt vor, um die Gleichung 2x 2 4x + 5 = 0 durch quadratische Ergänzung zu lösen: 1. Dividieren Sie jeden Term durch den führenden Koeffizienten. Wenn die Gleichung keinen führenden Koeffizienten hat, können Sie mit Schritt 2 weitermachen. Machen Sie sich darauf gefasst, dass Sie es in diesem Schritt mit Brüchen zu tun bekommen. Die Gleichung wird damit zu. 2. Verschieben Sie den Konstantenterm auf die andere Seite der Gleichung, indem Sie die inverse Operation dafür durchführen: Sie subtrahieren von beiden Seiten und erhalten damit. 3. Dividieren Sie den Linearkoeffizienten durch 2, quadrieren Sie die Lösung und addieren Sie diesen Wert auf beiden Seiten. Dividieren Sie 2 durch 2. Das Ergebnis ist 1. Quadrieren Sie die Lösung. Das Ergebnis ist 1. Addieren Sie es auf beiden Seiten: 4. Vereinfachen Sie die Gleichung. Die Gleichung wird zu. 5. Faktorisieren Sie die neu erzeugte quadratische Gleichung. Die neue Gleichung sollte ein perfektes quadratisches Trinom sein. Die Beispiel gleichung wird unter Anwendung von EAIL faktorisiert zu, d.h.. 6. Befreien Sie sich von dem quadratischen Exponenten, indem Sie auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Damit erhalten Sie. 7. Vereinfachen Sie die Wurzeln, falls möglich. In diesem Beispiel gibt es nichts mehr zu vereinfachen, aber der Bruch ist imaginär (siehe Kapitel 11) und der Nenner muss rationalisiert werden (siehe Kapitel 2). Dadurch erhalten Sie. 8. Lösen Sie nach der Variablen auf, indem Sie sie auf einer Seite isolieren. Sie addieren zu beiden Seiten 1 und erhalten damit Hinweis: Möglicherweise werden Sie aufgefordert, Ihre Lösung in einem einzigen Bruch darzustellen. In diesem Fall suchen Sie den gemeinsamen Nenner und erhalten damit. Nicht faktorisierbare Polynome mit einem höheren Grad als 2 auflösen

7 Mittlerweile sind Sie Spezialist beim Auflösen von Polynomgleichungen zweiten Grades (also quadratischen Gleichungen), und Sie besitzen bereits verschiedene Werkzeuge, um diese Art von Aufgaben zu lösen. Möglicherweise haben Sie beim Lösen quadratischer Gleichungen bemerkt, dass es für sie immer zwei Lösungen gibt. Beachten Sie, dass die beiden Lösungen manchmal identisch sind (das passiert etwa bei perfekten quadratischen Trinomen). Selbst wenn Sie eine Lösung doppelt erhalten, zählt sie dennoch als zwei Lösungen (wie oft eine Lösung eine Nullstelle ist, wird als Multiplizität oder Vielfachheit der Lösung bezeichnet). Wenn der Grad des Polynoms größer 2 ist und das Polynom nicht unter Anwendung einer der bereits in diesem Kapitel beschriebenen Techniken faktorisierbar ist, wird es immer schwieriger, die Nullstellen zu finden. Beispielsweise könnten Sie aufgefordert werden, ein kubisches Polynom zu lösen, bei dem es sich nicht um eine Summe oder Differenz von Kubiktermen handelt, oder ein Polynom vierten oder höheren Grades, das nicht durch Gruppierung faktorisiert werden kann. Je höher der Grad ist, desto mehr Nullstellen gibt es, und desto schwieriger sind sie zu finden. Um die Nullstellen zu finden, gibt es viele verschiedene Szenarien, die Ihnen den Weg zur richtigen Lösung weisen könnten. Sie können auch sehr clever raten, wie viele Nullstellen ein Polynom hat, wie viele davon positiv oder negativ sind, oder auch, wie viele reell oder imaginär sind. Alle Nullstellen eines Polynoms zählen Normalerweise bestimmen Sie vor dem Lösen eines Polynoms als erstes seinen Grad, der Ihnen dabei hilft, die Anzahl der zu suchenden Lösungen zu bestimmen. Wenn Sie aufgefordert werden, ein Polynom zu lösen, ist es ganz einfach, seinen Grad zu bestimmen, weil nur jeweils eine Variable in jedem Term steht. Aus diesem Grund ist der höchste Exponent gleichzeitig immer der höchste Term, wenn es um die Lösung geht. Beispielsweise ist f(x) = 2x 4 9x 3 21x x + 48 ein Polynom vierten Grades mit insgesamt bis zu vier (aber nicht mehr) möglichen Lösungen. Die reellen Nullstellen erkennen: Die Vorzeichenregel von Descartes Die Begriffe»Lösungen«,»x-Achsen-Schnittpunkte«und»Nullstellen«können synonym verwendet werden, weil sie alle beschreiben, an welcher Stelle der Graph des Polynoms die x-achse schneidet. Die Nullstellen, die man dort findet, wo der Graph die x-achse schneidet, werden als reelle Nullstellen bezeichnet. Sie sehen sie und können mit ihnen wie mit reellen Zahlen in der reellen Welt umgehen. Und weil sie die x-achse schneiden, können einige Nullstellen negative Nullstellen sein (d.h. sie schneiden den negativen Teil der x-achse), und einige können positive Nullstellen sein (d.h. sie schneiden den positiven Teil der x-achse). Wenn Sie wissen, wie viele Nullstellen Sie insgesamt haben (siehe letzter Abschnitt), können Sie einen wirklich praktischen Satz anwenden, die so genannte Vorzeichenregel von Decartes, um zu zählen, wie viele Nullstellen reelle Zahlen sind (positiv und negativ), und wie viele imaginär sind (siehe Kapitel 11). Sie sehen, derselbe Mann, der einen Großteil der Graphentheorie entwickelt hat, Decartes, hat auch eine Möglichkeit gefunden, festzustellen, wie oft ein Polynom die x-achse kreuzt mit anderen Worten, wie viele Nullstellen es hat. Sie brauchen nur noch zu zählen! Bei der Vorzeichenregel von Decartes betrachten Sie ein in absteigender Reihenfolge dargestelltes Polynom und zählen Sie, wie oft sich das Vorzeichen zwischen den einzelnen Termen ändert. Dieser Wert stellt die maximale Anzahl positiver Nullstellen im Polynom dar. Im Polynom f(x) = 2x 4 9x 3 21x x + 48 beispielsweise sehen Sie zwei Vorzeichenwechsel (vergessen Sie nicht, den ersten Term mitzuzählen!), nämlich vom ersten Term zum zweiten Term und vom dritten Term zum vierten Term. Das bedeutet, diese Gleichung kann bis zu zwei positive Lösungen haben. Die Vorzeichenregel von Descartes besagt auch, dass die Anzahl der positiven Nullstellen gleich den Vorzeichenänderungen von f(x) ist, oder um eine gerade Anzahl kleiner als diese (Sie subtrahieren also so lange 2, bis Sie entweder 1 oder 0 erhalten). Das obige f(x) kann also 2 oder 0 positive Nullstellen haben. Dann fordert die Regel Sie auf, f( x) zu bestimmen und erneut zu zählen. Weil jedoch negative Zahlen in geraden Potenzen positiv sind, und negative Zahlen in ungeraden Potenzen negativ, wirkt sich diese Änderung nur auf Terme mit ungeraden Potenzen aus. Das Ganze ist so, als ob Sie jeden Term eines ungeraden Grades negieren und dann wieder zählen, um die maximale Anzahl negativer Nullstellen zu erhalten. Die Beispielgleichung wird zu f( x) = 2x 4 + 9x 3 21x 2 88x + 48, wo das Vorzeichen zweimal gewechselt wird. Es kann höchstens zwei negative Nullstellen geben. Ähnlich wie bei der Regel für positive Nullstellen ist die Anzahl negativer Nullstellen gleich den Vorzeichenwechseln in f( x) oder um eine gerade Anzahl kleiner. Aus diesem Grund liegen in unserem Beispiel also 2 oder 0 negative Nullstellen vor. Imaginäre Nullstellen zählen: Der Fundamentalsatz der Algebra Imaginäre Nullstellen liegen in einer quadratischen Gleichung dann vor, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung negativ ist. Aus der Algebra II wissen Sie, dass die Diskriminante der Teil der Quadratformel unter dem Wurzelzeichen ist: b 2 4ac. Wenn dieser Wert negativ ist, können Sie die Wurzel nicht ziehen und die Lösungen sind nicht reell. Mit anderen Worten, es gibt keine Lösung und der Graph schneidet die x- Achse nicht. Bei der Anwendung der Quadratformel gibt es immer zwei Lösungen, weil das Zeichen ± bedeutet, dass Sie sowohl addieren als auch subtrahieren, um zwei völlig unterschiedliche Lösungen zu erhalten. Wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen negativ ist, werden die Lösungen als komplexe Konjugierte bezeichnet. Die eine ist a + bi, die andere ist a bi. Diese Zahlen haben einen reellen Anteil (das a) und einen imaginären Anteil (das bi). Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede Polynomfunktion mindestens eine Nullstelle im komplexen Zahlensystem hat. Dieses Konzept kennen Sie aus Algebra II. (Weitere Informationen über imaginäre und komplexe Zahlen finden Sie in Kapitel 11.) Der höchste Grad eines Polynoms gibt die höchste mögliche Anzahl komplexer Nullstellen für das Polynom an. Anhand dieser Tatsache und der Vorzeichenregel von Descartes können Sie herausfinden, wie viele rein imaginäre Nullstellen (kein reeller Anteil, anders als bei den komplexen Zahlen) ein Polynom hat. Ordnen Sie jede mögliche Anzahl positiver reeller Nullstellen jeder möglichen Anzahl negativer Nullstellen zu (siehe voriger Abschnitt); die verbleibende Anzahl an Nullstellen für jede der Situationen stellt die Anzahl der rein imaginären Nullstellen dar. Betrachten wir wieder unser Beispiel f(x) = 2x 4 9x 3 21x x Das Polynom hat den Grad 4 und 2 oder 0 positive Nullstellen und 2 oder 0 negative Nullstellen. Zuordnung der möglichen Situationen: Wenn es 2 positive und 2 negative reelle Nullstellen gibt, ergeben sich 0 rein imaginäre Nullstellen. Wenn es 2 positive und 0 negative reelle Nullstellen gibt, ergeben sich 2 rein imaginäre Nullstellen. Wenn es 0 positive und 2 negative reelle Nullstellen gibt, ergeben sich 2 rein imaginäre Nullstellen.

8 Wenn es 0 positive und 0 negative reelle Nullstellen gibt, ergeben sich 4 rein imaginäre Nullstellen. Diese Information werden wir jetzt in eine Tabelle eintragen, so dass das Ganze übersichtlicher wird: Positive reelle Nullstellen Negative reelle Nullstellen Rein imaginäre Nullstellen Komplexe Zahlen werden in der Form a + bi dargestellt und haben einen reellen und einen imaginären Anteil, deshalb hat jedes Polynom mindestens eine Nullstelle im komplexen Zahlensystem (siehe Kapitel 11). Im komplexen Zahlensystem sind sowohl reelle als auch imaginäre Zahlen enthalten. Reelle Zahlen haben keinen Imaginäranteil, und rein imaginäre Zahlen haben keinen reellen Anteil. Ist beispielsweise x = 7 eine Nullstelle des Polynoms, wird diese Nullstelle als sowohl reell als auch komplex betrachtet, weil sie als x = 7 + 0i dargestellt werden kann (der Imaginäranteil ist 0). Der Fundamentalsatz der Algebra gibt an, wie viele komplexe Nullstellen es gibt (angenommen, es sind 7). Die Vorzeichenregel von Descartes teilt Ihnen mit, wie viele mögliche reelle Nullstellen es gibt, und wie viele davon positiv und wie viele negativ sind (angenommen, es gibt höchstens 2 positive Nullstellen aber nur 1 negative Nullstelle). Angenommen, Sie haben sie alle unter Anwendung der in diesem Abschnitt beschriebenen Techniken gefunden. Das sind x = 1, x = 7 und x = 2. Es wird verwirrend, weil sie alle reell sind, aber auch komplex, weil sie umgeschrieben werden können, wie im obigen Beispiel gezeigt. Sie sehen, die beiden ersten Spalten in der Tabelle bestimmen die rein reellen Nullstellen und klassifizieren sie als positiv oder negativ. Die dritte Spalte bestimmt letztlich die nicht reellen Zahlen: die rein imaginären und die echt komplexen. Reelle Nullstellen raten und prüfen Nachdem Sie den letzten Abschnitt gelesen haben, können Sie genau feststellen, wie viele Nullstellen es gibt (und um welche Art von Nullstellen es sich handelt). Der Satz der rationalen Nullstellen ist eine weitere Methode, wie Sie die Suche nach Nullstellen von Polynomen eingrenzen. Die Vorzeichenregel von Descartes grenzt die reellen Nullstellen nur auf positive und negative ein. Der Satz der rationalen Nullstellen besagt, dass es möglich ist, dass einige reelle Nullstellen rational sind (sie können als Bruch dargestellt werden). Außerdem hilft er Ihnen, eine Liste der möglichen rationalen Nullstellen eines Polynoms zu erstellen. Das Problem? Nicht jede Nullstelle ist rational, weil einige irrational sind. Es ist sogar möglich, dass ein Polynom nur irrationale Nullstellen hat. Aber dieser Satz ist immer die erste Adresse für Ihre Suche nach Nullstellen. Er bietet Ihnen zumindest einen Ansatzpunkt. Außerdem beinhalten die Aufgaben, die Sie bei Ihrem Kenntnisstand gestellt bekommen, sehr wahrscheinlich mindestens eine rationale Nullstelle, die Information in diesem Abschnitt wird also Ihre Chancen verbessern, mehr zu finden! Gehen Sie nach den folgenden allgemeinen Schritten vor, um sicherzustellen, dass Sie jede Nullstelle gefunden haben: 1. Wenden Sie den Satz der rationalen Nullstellen an, um alle möglichen rationalen Nullstellen aufzulisten. 2. Wählen Sie eine Nullstelle aus der Liste aus Schritt 1 aus und wenden Sie die lange oder synthetische Polynomdivision an, um festzustellen, ob es sich tatsächlich um eine Nullstelle handelt. a. Wenn die Nullstelle nicht funktioniert, probieren Sie es mit einer anderen Auswahl. b. Wenn die Nullstelle funktioniert, fahren Sie fort mit Schritt Überprüfen Sie unter Verwendung des reduzierten Polynoms (das Sie in Schritt 2b durch Anwendung der synthetischen Polynomdivision erhalten), ob die dort funktionierende Nullstellen erneut funktioniert. a. Wenn sie funktioniert, wiederholen Sie Schritt 3 noch einmal. b. Wenn sie nicht funktioniert, gehen Sie zurück zu Schritt 2, wählen eine andere Nullstelle aus der Liste aus Schritt 1 aus und wenden wieder die synthetische Polynomdivision an, um eine Überprüfung vornehmen zu können. 4. Listen Sie alle Nullstellen auf, für die Sie festgestellt haben, dass sie funktionieren. Die Zahl der Nullstellen soll dem Grad des Polynoms entsprechen. Hören Sie erst auf, nachdem Sie sie alle gefunden haben. Es ist durchaus möglich, dass einige reell, einige imaginär sind. Mit dem Satz der rationalen Nullstellen mögliche reelle Nullstellen finden Der Satz der rationalen Nullstellen besagt, dass Sie eine Liste aller möglichen rationalen Nullstellen des Polynoms erhalten, indem Sie alle Faktoren des Konstantenterms in einem Polynom durch alle Faktoren des führenden Koeffizienten teilen. Beachten Sie jedoch, dass Sie nur die rationalen finden, und manchmal die Nullstellen eines Polynoms irrational sind. Einige Ihrer Nullstellen könnten auch imaginär sein, aber am besten heben Sie sich diese bis zum Ende Ihrer Suche auf. Betrachten Sie beispielsweise die Gleichung f(x) = 2x 4 9x 3 21x x Der konstante Term ist 48, und er hat die folgenden Faktoren: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48 Der führende Koeffizient ist 2, seine Faktoren sind. ±1 und ±2

9 Die Liste möglicher reeller Nullstellen beinhaltet also folgendes: 9. Dividieren: Womit müssen Sie dies multiplizieren, um x zu 31x 2 zu machen? Der Quotient 31x wird über 21x 2 geschrieben. Glücklicherweise vereinfacht sich das Ganze zu, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48. Nullstellen durch Division von Polynomen überprüfen Die Division von Polynomen verwendet denselben Algorithmus wie die lange Polynomdivision bei reellen Zahlen. Das Polynom, durch das Sie dividieren, ist der Divisor. Das Polynom, das Sie dividieren, ist der Dividend. Die Lösung ist der Quotient, und das übrig gebliebene Polynom ist der Rest. Sie können mögliche Nullstellen nicht nur mit der synthetischen Division aus dem Satz der rationalen Nullstellen testen, sondern auch unter Verwendung der langen Division von Polynomen und dabei hoffen, dass Sie beim Dividieren einen Rest von 0 erhalten. Wenn Sie beispielsweise eine Liste möglicher rationaler Nullstellen haben (wie im letzten Abschnitt), wählen Sie eine aus und gehen davon aus, dass es sich um eine Nullstelle handelt. Ist x = c eine Nullstelle, dann ist x cein Faktor. Wenn Sie also x = 2 als Ihren Tipp für die Nullstelle auswählen, sollte x 2 ein Faktor sein. Wir erklären in diesem Abschnitt, wie Sie die lange Polynomdivision einsetzen, um zu prüfen, ob x 2 wirklich ein Faktor und damit x = 2 eine Nullstelle ist. Eine bestimmte Lösung durch Division von Polynomen zu ermitteln, ist keine alltägliche Arbeit, aber das Konzept einer Funktion oder eines Ausdrucks, die bzw. der der Quotient aus zwei Polynomen ist, ist später wichtig für die Analysis. Wenn Sie ein Polynom durch ein anderes dividieren und einen Rest von 0 erhalten, ist der Divisor ein Faktor, aus dem sich wiederum eine Nullstelle ergibt. Die folgenden Abschnitte stellen zwei Methoden vor, reelle Nullstellen zu überprüfen: lange Division und synthetische Division. In der Sprache der Mathematik besagt der Divisionsalgorithmus folgendes: Wenn f(x) und d(x) Polynome sind, wobei d(x) ungleich 0 ist und der Grad von d(x) nicht größer als der Grad von f(x), gibt es eindeutige Polynome q(x) und r(x), so dass f(x) = d(x) q(x) + r(x). Auf gut Deutsch, Dividend = Divisor Quotient + Rest. Merken Sie sich das, dann können Sie Ihre Ergebnisse immer überprüfen. Lange Polynomdivision Sie können die lange Division verwenden, um festzustellen, ob Ihre möglichen rationalen Nullstellen tatsächlich Nullstellen sind oder nicht. Wir empfehlen Ihnen dies nicht, aber Sie können es natürlich trotzdem machen. Stattdessen schlagen wir Ihnen die synthetische Division vor, die wir später noch besprechen. Ihnen wird aber möglicherweise aufgetragen, eine lange Division vorzunehmen. Möglicherweise werden Sie in den Anweisungen zu einer Aufgabe sogar eigens dazu aufgefordert, den Quotienten unter Verwendung der langen Division zu bestimmen, oder vielleicht beherrschen Sie die synthetische Division nicht und Sie haben gar keine andere Wahl, als die lange Division anzuwenden. In den folgenden Schritten werden wir Ihnen zeigen, wie das geht, wobei wir gleichzeitig versuchen, eine Nullstelle zu finden. Denken Sie an die Eselsbrücke Drei Maulesel springen Bock, wenn Sie mit Hilfe der langen Division Ihre Nullstellen überprüfen. Stellen Sie sicher, dass alle Terme im Polynom in absteigender Reihenfolge aufgelistet sind, und dass jeder Grad dargestellt ist. Mit anderen Worten, wenn x 2 fehlt, schreiben Sie den Platzhalter 0x 2 hin und führen dann die Division aus. Auf diese Weise wird der Divisionsprozess einfacher. Um zwei Polynome zu dividieren, gehen Sie wie folgt vor: 1. Dividieren. Dividieren Sie den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors. Schreiben Sie diesen Quotienten direkt über den Term, den Sie soeben dividiert haben. 2. Multiplizieren. Multiplizieren Sie den Quotiententerm aus Schritt 1 mit dem gesamten Divisor. Schreiben Sie dieses Polynom so unter den Dividenden, dass ähnliche Terme einander zugeordnet sind. 3. Subtrahieren. Subtrahieren Sie die gesamte Zeile, die Sie eben unter den Dividenden geschrieben haben. Sie können auch alle Vorzeichen ändern und addieren, wenn Ihnen das lieber ist. Auf diese Weise vergessen Sie keine Vorzeichen. 4. Den nächsten Term nach unten bringen. Machen Sie genau das: Bringen Sie den nächsten Term aus dem Dividenden nach unten. 5. Wiederholen Sie die Schritte 1 bis 4 so lange, bis das verbleibende Polynom einen Grad hat, der kleiner als der des Dividenden ist. Die folgende Auflistung erklärt, wie Sie 2x 4 9x 3 21x x + 48 durch x 2 dividieren. Die einzelnen Schritte entsprechen dem jeweils nummerierten Schritt in Abbildung 4.1. (Beachten Sie, dass Sie im vorigen Abschnitt über die Vorzeichenregel von Descartes gesehen haben, dass dieses spezielle Beispiel möglicherweise positive Nullstellen hat, deshalb ist es sinnvoll, zu versuchen, hier eine positive Zahl zu finden. Hätte die Vorzeichenregel von Descartes besagt, dass es keine positiven Nullstellen gibt, hätten Sie auf keinen positiven Wert testen müssen!) 1. Dividieren: Womit müssen Sie x im Divisor multiplizieren, um 2x 4 im Dividenden zu erhalten? Der Quotient, 2x 3, wird über den Term 2x 4 geschrieben. 2. Multiplizieren: Multiplizieren Sie diesen Quotienten mit dem Divisor und schreiben Sie das unter den Dividenden. 3. Subtrahieren: Subtrahieren Sie diese Zeile vom Dividenden, (2x 4 9x 3 ) (2x 4 4x 3 ) = 5x 3. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, erzeugt die Subtraktion der ersten Terme immer Nach unten bringen: Bringen Sie die anderen Terme des Dividenden nach unten. 5. Dividieren: Womit müssen Sie x multiplizieren, um 5x 3 zu erhalten? Schreiben Sie die Lösung, 5x 2, über die 21x Multiplizieren: Multiplizieren Sie 5x 2 mit x 2, um 5x x 2 zu erhalten. Schreiben Sie dies unter den Rest und ordnen Sie dabei die Grade einander zu. 7. Subtrahieren: Jetzt haben Sie ( 5x 3 21x 2 ) ( 5x x 2 ) = 31x Nach unten bringen: Die +88x nehmen ihren Platz ein.