Mathematics,Physics and Economics using E-learning Software

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1 Economical Functions Deutsche Version.nb 1 Mathematics,Physics and Economics using E-learning Software Thema: Wirtschaftsfunktionen Adrian Micsa und Udo Stelzer Berechnungen ÖffnenêSchließen Drucken ü Funktionen Öffnen ê Schließen Die Kostenfunktion Die betriebswirtschaftliche Kostenfunktion fasst alle entstehenden Kosten für eine bestimmte Menge x eines Produktes zusammen. Sie enthält in der Regel fixe und variable Kosten. Beispiel: Die Firma ALUSTA GesmbH produziert Stahlbehälter für Schrauben und führt zu diesem Zwecke eine Kostenrechnung. Es wird dazu eine Kostenfunktion verwendet: K@x_D = 0.1 x 3 x x + 5;

2 Economical Functions Deutsche Version.nb 2 Plot@K@xD, 8x, 0, 12<, PlotStyle Red, AxesLabel 8"Menge in Stk", "Kosten in Euro"<D; Kosten in Euro Menge in Stk Wenn das Unternehmen nun zb 12 Stück Stahlbehälter produziert, dann fallen zunächst die Fixkosten an, die unabhängig davon entstehen, ob oder wieviele Autos produziert werden (z.b. Miete für die Produktionshalle). Weiterhin kommen die variablen Kosten dazu, die für jedes produzierte Auto genau einmal entstehen (z.b. pro Auto Kosten für einen Motor). Desto mehr man produziert, des höhere Kosten fallen an. Am Anfang steigen die Kosten nur langsam, da man für geringere Produktionsmengen nur wenigere Arbeiter etc braucht. Jedoch ab einer gewissen Produktionsmenge steigen die Kosten sprunghaft an da man um größere Mengen produzieren zu können mehere Arbeiter (z.b. eine 2. Schicht an Arbeitern) etc einsetzten muss. Preis A) Fixpreis: p@x_d = 5; Die ALUSTA GesmbH verkauft ihre Ware mit einem Preis von 5.00,- Der Preis von 5 ist fix, er ändert sich nicht, egal wie viel man verkauft. B) Variable Preisfunktion: p@x_d = 0.5 x x Das Unternehmen kalkuliert ihre Ware auch mit einer variablen Preisfunktion. Der Preis ist hier nicht fix, er ist veränderbar. a) Erlösfunktion mit Fixpreis

3 Economical Functions Deutsche Version.nb 3 Erl@x_D = p@xd x 5 x Der Erlös für das Unternehmen ergibt sich aus dem Preis (hier 5) mal der Menge (x). Plot@Erl@xD, 8x, 0, 12<, PlotStyle Black, AxesLabel 8"", "Erlös in Euro"<D; Erlös in Euro Diese Grafik ist eine lineare Funktion. An dieser Grafik kann man den Ertrag im Verhältniss zur verkauften Menge ablesen. z.b sollte die ALUSTA GesmbH 12 Stück Stahlbehälter verkaufen, so wird ein Erlös von.00,- erwirtschaftet B) Erlösfunktion mit Preisfunktion Erl@x_D = p@xd x êê Expand x 0.5 x 2 Dies ist eine variable Preisfunktion. k = ;

4 Economical Functions Deutsche Version.nb 4 Plot@p@xD, 8x, 0, <, PlotStyle Orange, AxesLabel 8"", "Preis in Euro"<D; Preis in Euro Plot@Erl@xD, 8x, 0, <, PlotStyle Blue, AxesLabel 8"", "Erlös in Euro"<D; Erlös in Euro Bei der variablen Preisfunktion nimmt der Erlös ab einer bestimmten Menge ab. Nachdem ein Maximalerlös erzielt wurde, nimmt der Erlös ab. Das hängt damit zusammen, dass ab einer bestimmten Produktionsmenge der Erlös die Kosten nicht mehr decken kann und dass fast kein, bis gar kein Erlös erwirtschaftet wird. A) Break Even Point mit Fixpreis Erklärung Break Even Point: Der Break-Even-Point ist der Punkt, an dem der Erlös und die Kosten einer Produktion gleich sind und damit weder Verlust noch Gewinn erwirtschaftet werden. Dieser Punkt wird als Untere Gewinnschwelle bezeichnet. Wird die Gewinnschwelle überschritten, erreicht man die Gewinnzone (man wird einen Gewinn machen), hingegen wird bei

5 Economical Functions Deutsche Version.nb 5 Unterschreitung ein Verlust erzielt. Plot@8K@xD, Erl@xD<, 8x, 0, 12<, PlotStyle 8Red, Black<, AxesLabel 8"", "Kosten und Erlös in Euro"<D; Kosten und Erlös in Euro Rot: Kostenfunktion Schwarz: Erlösfunktion Punkte wo sich die beiden Kurven schneiden sind die Gewinnschwellen. An diesen beiden Punkten wird weder Gewinn, noch Verlust gemacht. Berechnung der Unteren und Oberen Gewinschwelle bei einem fixen Preis: NSolve@G@xD == 0D 88x <, 8x <, 8x.4989<< Bei einem Verkauf von ca 2 Stücken Stahbehältern (Untere Gewinnschwelle) und bei einem Verkauf von ca 11 Stücken Stahlbehältern (Obere Gewinnschwelle) wird kein Gewinn (Der Gewinn ist der Überschuss über die Aufwendungen) erwirtschaftet. Ab einem Verkauf von 3 - Stücken wird ein Gewinn erzielt. Je weiter sich der Kostengraph vom Erlösgraph entfernt, desto mehr Gewinn wird erwirtschaftet. Werden jedoch weniger als 2 Stücke verkauft, so muss man mit einem Verlust rechnen. B)Break Even Point mit variabler Preisfunktion

6 Economical Functions Deutsche Version.nb 6 Plot@8K@xD, Erl@xD<, 8x, 0, 12<, PlotStyle 8Red, Blue<, AxesLabel 8"", "Erlös in Euro"<D; Erlös in Euro Rot: Kostenfunktion Blau: Erlösfunktion Berechnung der Unteren und Oberen Gewinschwelle bei einer variablen Preisfunktion: NSolve@G@xD == 0D 88x <, 8x <, 8x.3366<< Bei der variablen Preisfunktion wird bei einem Verkauf von ca einem Stück (Untere Gewinnschwelle) und bei einem Verkauf von ca Stücken (Obere Gewinnschwelle) kein Gewinn erwirtschaftet. Das hat zur Folge, dass die Gewinnzone breiter ist als bei der fixen Preisfunktion. a) Movie mit fixem Preis Mehr ; Clear@f, x, a, kd; f@x_d = k x ; H enter your f L MDMovie@ Plot@ 8f@xD, K@xD<, 8x, 0, 15<, AxesLabel 8"Menge", "Erlös"<, PlotRange, 1<, PlotLabel "Preis = " <> ToString@NumberForm@k, 85, 3<DD <> "\n"d, 8k, 2, 8, 0.05<D; Null

7 Economical Functions Deutsche Version.nb 7 Erlös 1 Preis = Movie mit variabler Preisfunktion Menge Mehr ; Clear@f, x, a, kd; f@x_d = Erl@xD ; H enter your f L MDMovie@ Plot@ 8K@xD, f@xd<, 8x, 0, 15<, PlotRange, <, PlotLabel "Preis = " <> ToString@NumberForm@k, 85, 3<DD <> "\n"d, 8k, 2, 8, 0.5<D; y Gewinnfunktion: Preis = x Der Gewinn ist der Überschuss über die Aufwendungen. G@x_D = Erl@xD K@xD x x x 3 Dies ist eine Gewinnfunktion die von der ALUSTA GesmbH. verwendet wird

8 Economical Functions Deutsche Version.nb 8 Plot@G@xD, 8x, 0, 12<, PlotStyle Orange, AxesLabel 8"", "Erlös in Euro"<D Erlös in Euro Graphics Berechnung des Maximalgewinnes NSolve@G'@xD == 0D 88x <, 8x << G@ D Der Maximalgewinn befindet sich bei und beträgt 16,72 Euro pro Stück. Drucken Schließen Neu Ausschneiden Schließen

9 Economical Functions Deutsche Version.nb 9 Das Projektteam ÖffnenêSchließen Drucken Udo Stelzer, 17 Klasse 3cJ BHAK Leibnitz/Austria [email protected] Adrian Micsa, 17 Klasse 3cJ BHAK Leibnitz/Austria [email protected] Neues Kapitel Kapitel löschen Schließen Öffnen ê Schließen Drucken Erzeuge deinen eigenen surfing GUIDE für Mathematik! Internet schließen