Theoretische Informatik II. Vorlesungsnotizen

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1 Theoretische Informatik II Vorlesungsnotizen

2 Inhaltsverzeichnis Einführung 3 Motivation 4 Literatur 6 I. Fixpunkttheorie & Datenflussanalyse 9 1. Verbände, Fixpunkte und die Sätze von Knaster und Tarski & Kleene Datenflussanalyse 20 II. Entscheidbarkeit & Berechenbarkeit Turing-Maschinen & Entscheidbarkeit Berechenbarkeit Unentscheidbarkeit, universelle Turing-Maschine, Halteproblem & Reduktionen Das Postsche Korrespondenzproblem & der Satz von Rice Unentscheidbare Probleme kontextfreier Sprachen 95 III. Komplexitätstheorie Zeit- und Platzkomplexität Eine Landkarte der Komplexitätstheorie L und NL conl & der Satz von Immerman und Szelepcsényi P NP 142 Referenzen 143

3 Einführung Vorwort

4 Motivation endliche Automaten Pushdown-Automaten beschränkte Computer bzw. Programme Berechnungsmächtigkeit Turing-Maschinen Entscheidbarkeit und Berechenbarkeit nicht-entscheidbare nicht-berechenbare Church-Turing-These

5 Datenflussanalyse Verbände und Fixpunkte effizient Komplexitätstheorie

6 Literatur

7 Principles of Program Analysis. Data Flow Analysis Theory and Practice. Übersetzerbau Analyse und Transformation. Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. General Lattice Theory. Lattice Theory. Theoretische Informatik kurzgefasst.

8 Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Formale Grundlagen der Programmierung. Introduction to the Theory of Computation. Complexity Theory. Automata and Computability. Computational Complexity.

9 Teil I. Fixpunkttheorie & Datenflussanalyse

10 1. Verbände, Fixpunkte und die Sätze von Knaster und Tarski & Kleene A) Partielle Ordnungen & Verbände N 1.1 Beispiel: Teilmengen von & Teiler von Definition: Partielle Ordnung partielle Ordnung Reflexivität Transitivität Antisymmetrie gerichtete Graphen

11 1.3 Beispiel: Teiler von 12 Hasse-Diagramm 1.4 Definition: Join und Meet obere Schranke kleinste obere Schranke Join Supremum untere Schranke größte untere Schranke Meet Infimum

12 1.5 Beispiel 1.6 Definition: Verband Verband vollständig 1.7 Beispiel 1.8 Lemma Bottom Top

13 B) Monotone Funktionen & der Satz von Knaster und Tarski 1.9 Definition: Monotone Funktionen und Fixpunkte monoton Fixpunkt Pre-Fixpunkt Post-Fixpunkt 1.10 Beispiel 1.11 Theorem: Knaster und Tarski, 1955 kleinsten größten

14 Beweis: l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l C) Ketten & der Satz von Kleene 1.12 Definition: Kette Kette

15 N aufsteigende Kette N N absteigende Kette N N stationär N endliche Höhe beschränkte Höhe N 1.13 Beispiel N 1.14 Definition: Kettenbedingung aufsteigende Kettenbedingung (ACC)... artinsch absteigende Kettenbedingung (DCC)... noethersch

16 1.15 Lemma 1.16 Definition: Stetigkeit -stetig ( ) { } -stetig ( ) { } 1.17 Theorem: Monotonie impliziert Stetigkeit Beweis: ( ) ( ) ( ) " " ( ) ( ) " "

17 ( ) 1.18 Lemma ( ) N ( ) Beweis: N IA: IV: IS: 1.19 Theorem: Kleene { } N { } N

18 Beweis: { } Zeige: N ( { }) N { } N { } N Zeige: { } N { N N } N IA: IV: IV: ( ) N { } N

19 1.20 Theorem { } N N { } N N Beweis:

20 2. Datenflussanalyse Ziel: statisch Ansatz: A) While-Programme 2.1 Definition: Syntax beschrifteter While-Programme Syntax von beschrifteten While-Programmen l l l l l Z B { } Blöcke Kontrollflussgraphen Blöcke extremalen Blöcken Flussrelation

21 c = [z := 1] ; while [x > 0] do [z := z+y] ; [x := x-1] endwhile skip B) Monotone Frameworks 2.2 Definition: Datenflusssystem Datenflusssystem Kontrollflussgraph vollständiger Verband Anfangswert

22 { } Transferfunktionen monoton 2.3 Bemerkung Gleichungssystem { ( ) ( ) }... Lösung von S { ( ) ( ) } Theorem Bemerkung

23 2.6 Bemerkung 2.7 Beispiel c = [y := 1] ; while [y >0] do [y := 2] ; endwhile ( ( P ({ } )) { }) P ({ }) P ({ }) { } { } { } }{{ } { } }{{ } }{{} { } { }

24 C) Beispiele für Datenflussanalysen Klassifikation von Datenflussanalysen Richtung der Analyse: Approximation der Information Berücksichtigung von Prozeduren main Inlining

25 Berücksichtigung des Kontrollflusses: Instanz Reaching-Definitions Available-Expr. Live-Var. Busy-Expr. Richtung Approx. P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) { } Anfangsw. Transferf.

26 D) Beispiel 1: Reaching-Definitions-Analyse Ziel: Klassifikation: Idee: Anwendungen: Use-Definition-Chains Code-Motion-Optimierungen 2.8 Beispiel ( { }) P ( )

27 { } P ( ) P ( ) { } { } { } [x:=5] ; [y:=1] ; while [x > 1] do [y:=xy] ; [x:=x-1] ; endwhile

28 { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } }{{} { } }{{} { } }{{} { } }{{} { } P ( ) P ( ) P ( ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }

29 { } { } { } { } { } E) Beispiel 2: Available-Expressions-Analyse Ziel: Klassifikation: Idee: Anwendungen: 2.9 Beispiel ( { })

30 P ( ) P ( ) P ( ) { } { }

31 [x:=a+b] ; [y:=ab] ; while [y > a+b] do [a:=a+1] ; [x:=a+b] ; endwhile { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } }{{} { } }{{} { } { } }{{}}{{} { } { } P ( ) P ( ) P ( )

32 { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } Bemerkung P ( ) P ( ) F) Beispiel 3: Live-Variables-Analyse Definition: lebendig Ziel: Klassifikation:

33 Idee: Anwendungen: Register-Allocation Dead-Code-Elimination 2.10 Beispiel ( { }) gegen P ( )

34 P ( ) P ( ) { } [x:=2] ; [y:=4] ; [x:=1] ; if [y>0] then [z:=x] else [z:=yy] ; endif; [x:=z] ;

35 { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } }{{} { } { } }{{} { } { } { } { } { } }{{} P ( ) P ( ) P ( ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }

36 { } { } { } { } G) Beispiel 4: Very-Busy-Expressions-Analyse Definition: very busy Ziel: Klassifikation: Idee:

37 Anwendungen: Hoisting-Expressions: 2.11 Beispiel ( { }) P ( )

38 P ( ) P ( ) { } if [a>b] then [x:=b-a] ; [y:=a-b] else [y:=b-a] ; [x:=a-b] endif { } { } { } { } { } { } { } { }

39 { } }{{} { } }{{} { } }{{} { } }{{} P ( ) P ( ) P ( ) { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } Bemerkung P ( ) P ( )

40 Teil II. Entscheidbarkeit & Berechenbarkeit

41 3. Turing-Maschinen & Entscheidbarkeit A) Entscheidungsprobleme Entscheidungsprobleme I I I I I entscheiden I Entscheidungsproblem zu I I I Gegeben: I Entscheide: I Wort-Probleme Σ L Σ L Wortproblem zu L Gegeben: Σ Entscheide: L I Σ ( }{{} L Σ L ) }{{} I I L L Σ Σ { } L Σ

42

43 B) Turing-Maschinen Alan Turing Church-Turing-These Alonzo Church 3.1 Definition (deterministische) Turing-Maschine, kurz DTM oder nur TM Σ Γ δ Kontrollzuständen Start- oder Initialzustand akzeptiertende Zustand

44 abweisende Zustand Haltezustände Σ Eingabealphabet Γ Bandalphabet Σ Γ Γ (linke) Endmarker Γ Leerzeichen Blank Σ Σ δ δ Γ Γ { } δ Γ { } δ δ N Γ Γ N

45 δ δ Γ Γ δ

46 3.2 Definition Σ Γ δ Konfiguration Γ Γ... ω δ Transitionsrelation δ δ Γ Γ δ Startkonfiguration Eingabe Σ ε akzeptierend abweisend haltend { } Berechnung Σ ε...

47 ... akzeptierend N abweisend haltend... akzeptiert Eingabe Σ L ( ) L ( ) { Σ } { Σ ε } 3.3 Definition L Σ semi-entscheidbar rekursiv aufzählbar (Turing) erkennbar Σ Γ δ L L ( )

48 Zur 1. Frage: 3.4 Theorem Σ Σ Beweis: Σ Σ Behauptung: Σ P ( N ) { N } Σ Σ N Σ }.{{.. } Σ N Σ P ( Σ ) { L L Σ } N P ( N ) P ( Σ ) { }

49 P ( N ) P ( Σ ) P ( N ) P ( Σ ) R Behauptung: Σ Γ δ { }... Γ Σ {... } Σ δ Cantor sche Diagonalverfahren Q

50 N... L ( ) ( ) ( ) L L... L ( ) ( ) L Konklusion: Zur 2. Frage: C) Entscheidbarkeit Semi-Entscheider

51 L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) Σ L ( ) L ( ) 3.5 Definition haltend total Entscheider 3.6 Definition L Σ entscheidbar rekursiv L L ( ) 3.7 Bemerkung totale

52 Σ { } B { } totale Funktion χ L ( ) L ( ) χ ( ) L Σ { } B { } { L ( ) L ( ) Totalitätsproblem Totalitätsproblem Gegeben: Entscheide: Σ Σ

53 Zur 3. Frage: robust D) Varianten von Turing-Maschinen Turing-Maschinen mit beidseitig unendlichem Band 3.8 Definition beidseitig unendlichem Band Theorem L ( ) ( ) L Beweis: 3.10 Korollar 3.11 Bemerkung effizient

54 Mehr-Band-Turing-Maschinen 3.12 Definition N δ Γ Γ { } Theorem: Bandreduktion L ( ) ( ) L Beweis: Γ ( Γ { }) Σ { } Γ l Γ l l { } l l

55 Γ 3.14 Korollar Alphabetsreduktion { } 3.15 Theorem: Alphabetsreduktion Σ Γ δ Γ { } { } { } δ L ( ) Σ L ( ) { }

56 Beweisskizze: Γ Γ E) Nichtdeterminismus L { { } }

57 3.16 Definition δ δ Γ P ( Γ { }) δ δ δ L ( ) { Σ ε } L ( )

58 3.17 Definition Σ Berechnungsbaum ε { } δ 3.18 Theorem L ( ) ( ) L { } { } { }

59 Beweis des Theorems: δ Γ {... } l l {... } {... } {... } {... }

60 ε {... } {... } L ( ) ( ) L

61 L ( ) L ( ) L ( ) 3.19 Korollar 3.20 Bemerkung N N 3.21 Bemerkung

62

63 4. Berechenbarkeit Berechnungsproblemen Berechnungsproblem zu Funktion Gegeben: Berechne: Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ berechenbar µ λ Σ Σ Σ Σ Σ berechenbar Σ

64 4.1 Beispiel Σ Σ Σ Σ Σ while true do skip end while 4.2 Beispiel { } { } effektiv berechenbar effektiv entscheidbar 4.3 Definition Σ Σ (Turing-)berechenbar Σ Γ δ Σ Ausgabeband... Σ Γ Σ Σ

65 read-only δ δ... δ Γ... Γ... { } write-only... Γ δ... δ Γ... { } 4.4 Bemerkung Σ Σ berechenbar N N

66 { } { } { N { } 4.5 Beispiel π N N π π π π π π R 4.6 Theorem Σ Σ Σ Σ Beweis: N N N N...

67 ... N N... N 4.7 Beispiel Diagonalisierung 4.8 Theorem L Σ rekursiv aufzählbar L N Σ L {... } { } N

68 L aufzählt Beweis: L N Σ L Eingabe: Σ for... do end for Σ L L L L L L L ( ) N L L Σ... Σ... N Σ Σ...

69 A for... do for... do if then end if end for end for Gebe aus N... A L { } A L A

70 Eingabe: N for... do for... do if then if then Gebe aus Akzeptiere end if end if end for end for 4.9 Definition L Σ χ L L χ L Σ { } { L χ L L χ L { } Σ { L 4.10 Theorem L χ L L χ L Beweis: L χ L χ L

71 4.11 Korollar L Σ L L ( ) L L L N L χ L L Σ Σ 4.12 Bemerkung: Aufzählbarkeit vs. Abzählbarkeit abzählbar N N Abzählung L Σ Σ Σ N Z Q L Σ Σ Σ { } N { } ε

72 L Σ L (rekursiv) aufzählbar Σ L Σ

73 5. Unentscheidbarkeit, universelle Turing-Maschine, Halteproblem & Reduktionen kodieren universellen Turing- Maschine allgemeine und das spezielle Halteproblem Reduktionen A) Kodierungen von Turing-Maschinen { }

74 5.1 Definition: Kodierung von Turing-Maschinen Σ Γ δ {... } Γ {... } Σ { }... δ δ δ ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) δ δ Π { } { } { } 5.2 Bemerkung

75 5.3 Bemerkung Gödelnummer Gödelisierung Kurt Gödel 5.4 Bemerkung Σ L ( ) L ( ) Σ { } { } { } ({ } { } { } ) δ δ δ { } { } L ( ) 5.5 Definition { } 5.6 Bemerkung { }

76 5.7 Bemerkung Σ { } Σ { } l {... } ( ) ( )... ( l ) { } { } { } { } 5.8 Bemerkung B) Die universelle Turing-Maschine Akzeptanzproblem Gegeben: Entscheide: L ( )

77 L { { } { } L ( )} L simulieren universell 5.9 Theorem: Turing 1936 universelle Turing-Maschine (UTM) L ( ) { L ( )} 5.10 Bemerkung: Einfluss der universellen Turing-Maschine auf die Entwicklung des Computers Interpreter Turing-vollständig Computer John von Neumann von-neumann-architektur

78 Beweisskizze für Theorem 5.9: { } Programmband L ( ) Datenband { } { } Zustandsband ( ) 5.11 Bemerkung

79 C) Das Halteproblem Halteproblem (Allgemeines) Halteproblem Gegeben: Entscheide: { { } } { } 5.12 Theorem: Turing Lemma Beweis: L ( ) 5.14 Proposition Beweis: L ( )

80 Fall 1: hält auf : L ( ) Fall 2: hält nicht auf : L ( ) 5.15 Bemerkung... { } N 5.16 Bemerkung

81 spezielle Halteproblem Spezielles Halteproblem Gegeben: Entscheide: 5.17 Korollar { { } } D) Reduktionen Reduktionen 5.18 Definition Σ Σ (many-one-)reduzierbar Σ Σ Σ

82 (Many-One-)Reduktion 5.19 Lemma Beweis: 5.20 Korollar Beweis: 5.21 Bemerkung χ χ χ

83 5.22 Bemerkung Halten auf leerem Eingabeband ε Gegeben: Entscheide: ε ε { { } ε } ε ε 5.23 Lemma ε Beweis: ε { } { }

84 ε 5.24 Theorem allgemeine Akzeptanzproblem { { } { } L ( )} Selbstakzeptanzproblem spezielle Akzeptanzproblem { { } L ( )} Leeres-Wort-Akzeptanzproblem ε { { } ε L ( )} Beweis: ε ε ε ε

85

86 6. Das Postsche Korrespondenzproblem & der Satz von Rice Postschen Korrespondenzproblems (PCP) Satz von Rice A) Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP) 6.1 Definition Postsche Korrespondenzproblem (PCP Post s correspondence problem) Postsches Korrespondenzproblem Gegeben:... Entscheide:

87 6.2 Beispiel }{{ } }{{ } }{{ } 6.3 Theorem: Post 1946 Modifiziertes Postsches Korrespondenzproblem Gegeben: Entscheide: Lemma

88 Beweis:... Σ Σ... Σ... ` ` ` `... ` {... } {... }...

89 6.5 Proposition Beweis: Σ Γ δ... Σ ε Γ { }... l l l l

90 {}}{ {}}{{}}{{}}{{}}{... }... {{ } }{{}}{{}... }{{} }{{} Γ { } δ δ Γ δ δ Γ Γ

91 ... {.}}.. {... }.{{.. } { } 6.6 Bemerkung N B) Der Satz von Rice Satz von Rice 6.7 Definition Σ Σ Σ L L ( ) L Eigenschaft Σ Σ { } B { } L Σ L trivial L Σ L Σ nicht-trivial

92 L L L L L L L L L ( ) { { } L ( ) } L L ( ) L ( ) ( ) L L L ( ) L 6.8 Beispiel L L ( ) L L ( ) L L ( ) L L ( ) L L Σ

93 L ( ) ( ) L 6.9 Theorem: Rice 1953 Beweis: Σ L L L ( ) L { { } L ( ) } L

94 1. Fall: ( ) L L ( ) L L 2. Fall: ( ) L ( ) L L ( ) L ( ) L ( ( )) L L ( ( )) L monoton L L Σ L L L L nicht-monoton L L L 6.10 Theorem: Rice 1956

95 7. Unentscheidbare Probleme kontextfreier Sprachen L L L ( ) 7.1 Theorem L ( ) ( ) L ( ) ( ) L L L ( ) ( ) L L ( ) ( ) L L ( ) ( ) L Beweis:... { } {... }...

96 L ( ) { {... } }... L ( ) { { } {... } }... L ( ) L ( ) L ( ) L ( )

97 L ( ) ( ) L L ( ) ( ) L L ( ) ( ) L L ( ) ( ) ( ) ( ) L L L L ( ) ( ) { } L... L ( ) L ( ) ( ) ( ) ( ) L L L L ( ) ( ) ( ) L L L ( ) L ( ) L ( ) ( ) L L ( ) }{{} L ( )

98 7.2 Bemerkung L ( ) ( ) L 7.3 Bemerkung L ( ) L ( ) L ( ) L ( ) L ( )

99 Teil III. Komplexitätstheorie

100 8. Zeit- und Platzkomplexität Zeit- Platzverbrauch grundlegenden Komplexitätsklassen robusten Komplexitätsklassen 8.1 Bemerkung A) Zeitkomplexität Zeitverbrauch ( ) ( ) Zeitkomplexitätsklassen 8.2 Definition: Zeitverbrauch Σ Zeitverbrauch { }... N

101 N Zeitkomplexität von { } N N -zeitbeschränkt N N N 8.3 Definition: Grundlegende Zeitkomplexitätsklassen N N ( ) { L ( ) } ( ) { L ( ) } 8.4 Bemerkung ( ) ( ) ( ) ( ) N N ( ) ( ) ( O ( )) ( ) ( ) ( ) 8.5 Bemerkung N N B) Platzkomplexität

102 read-only Arbeitsbänder 8.6 Definition: Platzverbrauch Σ Platzverbrauch von in Konfiguration { } Platzverbrauch von zu Eingabe { } N Platzkomplexität von { } N N -platzbeschränkt N

103 8.7 Definition: Grundlegende Platzkomplexitätsklassen N N ( ) { L ( ) } ( ) { L ( ) } 8.8 Lemma N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8.9 Beispiel L { { } } L ( O ( )) L L

104 L C) Die robusten Komplexitätsklassen 8.10 Definition robusten Komplexitätsklassen ( O ( )) ( O ( )) ( ( O )) N ( ( O )) N ( O ( )) N ( O ( )) N ) ( ( O ) N ) ( ( O ) N ) ( ( O ) N ) ( ( O ) N ( ( L O ))

105 8.11 Bemerkung N ( L L O ( ) ) elementaren N effizient lösbaren 8.12 Lemma N N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Beweis:

106 8.13 Korollar ( ( O )) N N ( )) ( O N D) Komplementklassen L Σ L Σ L 8.14 Definition C Komplementklasse C C { L } L C C C C C

107 8.15 Beispiel { { } } ( ( O )) ( ( )) O { } { } { } { } { { } } ( O ( )) ( O ( )) 8.16 Lemma N N N ( ) ( ) ( ) ( ) Beweis: 8.17 Korollar

108 E) Grundlegende Relationen zwischen den Komplexitätsklassen 8.18 Lemma N N ( ) ( ) ( ) ( ) Beweis: 8.19 Korollar

109 9. Eine Landkarte der Komplexitätstheorie Satz von Savitch ( ) ( ) Satz von Immerman und Szelepcsényi

110 Hierarchie-Resultate für Zeit und Platz

111 10. L und NL A) Probleme in L: Arithmetik Addition Gegeben: l Entscheide: l Multiplikation Gegeben: l Entscheide: l { l ( ) ( ) ( l ) } { l ( ) ( ) ( l ) } 10.1 Lemma

112 B) Das Pfadproblem in NL Pfadexistenz Gegeben: Entscheide: {... } ( ) { }

113 10.2 Lemma Beweis: einfachen while do {... } if then else end if end while return if then return end if return

114 {... } {... } C) Reduktionen und Vollständigkeit -hart -schwer -vollständig

115 10.3 Definition Σ -many-one-reduzierbar Σ Σ Σ Σ Reduktion 10.4 Definition C C-schwer bezüglich -many-one Reduktionen C-hart bezüglich -many-one Reduktionen C C C C-vollständig bezüglich -many-one Reduktionen C C C C C obere Schranke C C untere Schranke C C C C abgeschlossen unter -Many-One- Reduktionen

116 transitive C C 10.5 Bemerkung 10.6 Definition N N N N N N 10.7 Definition Σ Σ logspace-berechenbar Σ Σ O ( ) Σ Σ in Polynomialzeit berechenbar

117 Σ Σ ( O ) 10.8 Definition Σ logspace-(many-one-)reduzierbar Σ Σ logspace-(many-one-)reduzierbar Σ Σ Σ Σ Σ in Polynomialzeit reduzierbar (many-one-)reduzierbar polynomiell reduzierbar Σ 10.9 Bemerkung

118 10.10 Lemma Σ Σ Σ Σ Σ Σ Beweis: Σ Idee: Problem: Lösung: Behauptung: ist höchstens polynomiell groß

119 Γ Γ Γ }{{}}{{}}{{} }{{ } Γ Γ Γ ( ) Γ ( ) Γ ( O ) Behauptung: Für jede Zahl ist die Stelle logspace-berechenbar

120 Beweis der eigentlichen Aussage ( O ) ( ) O O ( ) O ( ) Lemma Σ L Σ L { } { } { } L Σ L L Σ { } Beweis: Lemma

121 10.13 Lemma D) PATH ist NL-vollständig Theorem Beweis: L O ( ) L L ( ) L

122 O ( ) O ( )

123 O ( ) Korollar azyklische... Pfadexistenz in azyklischen Graphen Gegeben: Entscheide: Lemma

124 11. conl & der Satz von Immerman und Szelepcsényi 11.1 Lemma C L C L C L C Beweis: Nicht-Existenz von Pfaden Gegeben: Entscheide: 11.2 Korollar 11.3 Bemerkung

125 A) 2SAT... Literal Klausel... aussagenlogische Formel in konjunktiver Normalform (CNF)... Erfüllbarkeit von aussagenlogischen Formeln in CNF Gegeben: Entscheide: φ φ Erfüllbarkeit von aussagenlogischen Formeln in -CNF Gegeben: Entscheide: φ φ 11.4 Theorem

126 11.5 Lemma { } α β β α α β α α α { } { } 11.6 Beispiel { } { }

127 11.7 Lemma Beweis: φ φ φ φ φ φ ( φ φ ) φ φ φ

128 φ while do for do φ end for for do φ end for end while φ 11.8 Beispiel

129 Beweis: Eingabe: Ausgabe: for do if then return end if end for return 11.9 Lemma Beweis: { }

130 B) Der Satz von Immerman und Szelepcsényi induktive Zählen Theorem: Immerman and Szelepcsényi, 1987 N ( ) ( ) Korollar Theorem

131 Schritt 1: Nicht-Erreichbarkeit unter Verwendung von { } Algorithmus: unreach unreach(g,s,t) for do if then if then return end if if then return end if end if end for if then return

132 else return end if Lemma Beweis: Schritt 2: Induktives Zählen { } induktiv

133

134 11.15 Algorithmus: #reach # reach(g,s) for... do for do for do if then if then return end if if then end if end if end for if then return end if end for end for return Lemma {... } Beweis:

135 Finaler Algorithmus Algorithmus: Algorithmus für nopath(g,s,t) return Lemma Beweis: Bemerkung

136 12. P Das Circuit Value Problem 12.1 Definition Boolescher Schaltkreis (Circuit) N 12.2 Beispiel

137

138 Circuit Value Problem Gegeben:... l Entscheide: l 12.3 Beispiel 12.4 Theorem: Ladner Lemma Beweis: O ( )

139 12.6 Lemma Beweis: δ δ... lokal Konstruktion:

140 { }... { }... { } { }... ( ) δ }{{}}{{} ( ) δ }{{} ( ) δ }{{}

141

142 13. NP

143 Referenzen IEEE Ann. Hist. Comput. Theoretical Computer Science Theoretical Computer Science