Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI

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1 Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI Bachelorarbeit Benedikt Soja Institut für Geodäsie und Geophysik Technische Universität Wien 9. Juni 2011

2 Danksagung Ich möchte mich besonders bei meiner Betreuerin, DI Lucia Plank, für Ihre Unterstützung, Ratschläge und Ideen bedanken. Sie war für alle meine Fragen offen, wobei ich gerade durch die Diskussionen mit ihr viel profitieren konnte. Mein weiterer Dank gilt Univ. Prof. DDr. Harald Schuh, der mich motiviert hat, ein Kapitel über die Troposphäre zu inkludieren. Die Arbeit daran war sehr spannend. Last but not least möchte ich meiner Familie für ihre kontinuierliche Unterstützung danken.

3 Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung 3 Abstract 4 1 Grundlagen Very Long Baseline Interferometry Einfluss der Gravitation in der VLBI Theoretische Werte der Laufzeitverzögerung durch Gravitation Methodik Vienna VLBI Software 10 3 Beobachtungsreihen mit großem Gravitationseinfluss Beobachtungen nahe der Sonne 1987 und Beobachtungen nahe des Jupiters Beobachtungen nahe des Saturns Signifikanz der Einflüsse einzelner Himmelskörper Anforderungen an die Genauigkeit Auswertung längerer Datenreihen Periodizität des Gravitationseinflusses Beobachtungen nahe der Sonne vor und nach Einflüsse der Ephemeriden Sonne, Jupiter und Saturn Mars Vergleich der Auswirkungen der verschiedenen Ephemeriden Auswirkungen von Troposphäre und Erdgravitation Grundlagen Simulation Auswertung konkreter Beobachtungsreihen Ausblick 32 Literatur 33

4 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 3 Zusammenfassung In der VLBI (Very Long Baseline Interferometry) ist der Gravitationseinfluss der Himmelskörper unseres Sonnensystems auf die Laufzeit eine wichtige zu modellierende Größe. Anhand von konkreten Beobachtungsdaten war es mithilfe der Vienna VLBI Software (VieVS) möglich, die Auswirkung der Gravitationspotentiale von Sonne, Mond und den Planeten zu berechnen. Es wurden sowohl einzelne Beobachtungskonstellationen, die eine besonders große gravitative Laufzeitverzögerung aufwiesen, als auch Daten über Zeiträume von mehreren Jahren ausgewertet. Dabei konnte gezeigt werden, dass Sonne, Erde und Jupiter die wichtigsten Faktoren darstellen. Für eine Lagegenauigkeit von 1 mm, wie sie in der VLBI2010 erreicht werden soll, ist zusätzlich der Einfluss von Saturn, Venus und Mond zu modellieren. Mit den Genauigkeitsgrenzen des Consensus-Model sind weiters Uranus und Neptun zu berücksichtigen. Seit Mitte 2002 werden keine Beobachtungssessions mit nahe an der Sonne vorbeigehendem Strahlengang mehr geplant. Anhand von Daten von 1998 bis 2003 war dementsprechend ein Rückgang des gravitativen Einflusses der Sonne zu erkennen. Für die Zeit vor Mitte 2002 ist für eine Genauigkeit von 1 mm ein Term höherer Ordnung bei der Berechnung der Laufzeitverzögerung der Sonne zu berücksichtigen. Für die Berechnung des gravitativen Delays sind die Bahndaten der Himmelskörper notwendig. Es konnte gezeigt werden, dass der Unterschied in den Jet Propulsion Laboratory Development Ephemeris JPL DE 421 und JPL DE 405 bei Jupiter und Saturn Auswirkungen im Bereich der Genauigkeitsgrenzen ergibt. Der gravitative Einfluss der Erde wurde mit jenem der Laufzeitverzögerung in der Troposphäre verglichen, wobei sowohl für simulierte als auch für reale Beobachtungen eine hohe Korrelation auszumachen war. Dementsprechend wichtig ist die Berücksichtigung der Erdgravitation bei der Schätzung von Troposphärenparametern.

5 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 4 Abstract For VLBI (Very Long Baseline Interferometry) the gravitational impact of the celestial bodies of our solar system on the time delay is an important parameter for model developments. Supported by the Vienna VLBI Software (VieVS) and by concrete observational data sets it was possible to determine the effects of the gravitational potentials of the Sun, the Moon and the planets. Both individual observational constellations with especially high gravitational delays and data over several years have been analyzed. It could be shown that the Earth, Sun and Jupiter are the most important factors. For a positional accuracy of 1 mm as required for VLBI2010, the impacts of Saturn, Venus and the Moon also have to be modelled. Using the accuracy limits of the consensus model additionally Uranus und Neptune have to be considered. Since mid 2002 no sessions with the path of rays close to the sun are being scheduled anymore. With data from 1998 to 2003 a corresponding decline in the gravitational influence of the sun could be detected. For the time before mid 2002 a term of higher order is necessary when computing delays caused by the sun to ensure an accuracy of 1 mm. For the calculation of the gravitational delay the ephemeris of the celestial bodies are needed. It was shown that the difference of using Jet Propulsion Laboratory Development Ephemeris JPL DE 421 and JPL DE 405 for Jupiter and Saturn results in effects in a similar size as the accuracy limits. Both simulated and real observations showed high correlations between the gravitational influences of the Earth and tropospheric retardation. This demonstrates the importance of considering the Earth gravitation when assessing tropospheric parameters.

6 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 5 1 Grundlagen 1.1 Very Long Baseline Interferometry Bei der Radiointerferometrie auf langen Basen (VLBI - Very Long Baseline Interferometry) wird die Strahlung von Quasaren mit Radioteleskopen aufgezeichnet und mittels Korrelation der Unterschied zwischen den Empfangszeitpunkten zweier Stationen ermittelt. Bei diesen Laufzeitdifferenzen τ (time delay) handelt es sich um die primäre Beobachtungsgröße der VLBI. Rein geometrisch kann der Delay τ mithilfe des Basislinienvektors b, des Einheitsvektors zur Radioquelle K und der Lichtgeschwindigkeit c berechnet werden [Schuh und Plank (2010)]. τ = 1 c K b (1) Abbildung 1: Darstellung des Grundprinzips der VLBI. (c) Plank. Für eine genauere Modellierung müssen verschiedene Einflussgrößen berücksichtigt werden, wie zum Beispiel Erdrotation, Stationsbewegung, Atmosphäre sowie die in der Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie beschriebenen Effekte. Von den relativistischen Einflüssen behandelt diese Arbeit jedoch nur die durch die Gravitation von Himmelskörpern hervorgerufenen Laufzeitdifferenzen. 1.2 Einfluss der Gravitation in der VLBI Die Gravitation gehört zu den vier bekannten fundamentalen Wechselwirkungen (zusammen mit starker, schwacher und elektromagnetischer Wechselwirkung). Nach Newton bewirkt die Gravitationskraft eine gegenseitige Anziehung zweier Massen und kann mathematisch beschrieben werden durch F ( r) = G m1m 2 r 3 r (2)

7 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 6 mit der Gravitationskonstante G und dem Distanzvektor r zwischen den Massen m 1 und m 2 [Bretterbauer und Schuh (2010)]. Ohne Krafteinwirkung bewegen sich Objekte mit konstanter Geschwindigkeit auf Geraden fort (kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten). Mit Albert Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie hat sich die Auffassung der Gravitation grundlegend geändert. Raum und Zeit werden als vierdimensionale Raumzeit gesehen, die durch die Anwesenheit von Masse (beziehungsweise Energie) gekrümmt wird. Die kürzesten Verbindungen ( Geodäten ) sind in diesem Fall keine Geraden mehr. Ohne äußere Krafteinwirkung bewegen sich Objekte daher wegen der Gravitation auf gekrümmten Bahnen. Die Gravitation ist damit keine Kraft im klassischen Sinn sondern wird als geometrische Eigenschaft der Raumzeit aufgefasst. Licht beziehungsweise elektromagnetische Wellen die nahe an einer Masse vorbei gehen, werden daher durch diese abgelenkt. 1 Je größer die Annäherung an die Masse, desto stärker der Effekt. Da die zwei Strahlen, die die zwei VLBI-Teleskope einer Basislinie erreichen, im Allgemeinen nicht gleich nah an einem Himmelskörper vorbeiführen, werden sie unterschiedlich stark gebeugt und müssen daher unterschiedlich lange Wege zurücklegen (siehe Abbildung 2). Dieser Unterschied im Weg entspricht einem Unterschied in der Laufzeit, dem gravitational time delay beziehungsweise nach seinem Entdecker Shapiro-Delay. Diese relativistische beziehungsweise gravitative Laufzeitverzögerung kann durch Radiointerferometrie bestimmt werden und somit indirekt die Ablenkung aufgrund der Gravitation [Soffel (1989), Seite 10]. Abbildung 2: Visualisierung der Raumkrümmung aufgrund von Gravitation und des Einflusses auf elektromagnetische Wellen. Bei VLBI-Messungen ist die gravitative Laufzeitverzögerung T grav eine wichtige Einflussgröße und muss daher modellseitig berücksichtigt werden. Sie kann in erster Näherung berechnet werden durch T grav = 2 GM c 3 ln R 1 + K R 1 R 2 + K R 2 (3) 1 Bereits im 19. Jahrhundert wurde mit der Newtonschen Theorie eine Ablenkung des Lichts aufgrund von Gravitation berechnet. Im Vergleich zur Berechnung nach der Allgemeinen Relativitätstheorie war sie allerdings um einen Faktor von 2 zu gering.

8 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 7 mit der Gravitationskonstante G, der Ruhemasse M des Himmelskörpers, der Lichtgeschwindigkeit c, dem Einheitsvektor K vom Baryzentrum zur Radioquelle und R i, den Vektoren vom Himmelskörper zur ersten beziehungsweise zweiten Station [IERS (2010), Seite 162]. Aufgrund der Bewegung des Himmelskörpers und der Stationen während der Ausbreitung der elektromagnetischen Wellen ist der Zeitpunkt, an dem die Positionen beziehungsweise die Vektoren R i (t) festgelegt werden, sehr wichtig. Die beste Näherung ist, die Vektoren R i zum Zeitpunkt der größten Annäherung des Strahlengangs an den Himmelskörper festzulegen. [Sovers et al. (1998), Seite 1406]. Die zum Zeitpunkt des Empfangs gegebenen Vekoren müssen daher korrigiert werden, wobei eine Iteration ausreichend genaue Ergebnisse innerhalb des Consensus-Models (siehe unten) liefert [IERS (2010), Seite 162]. Der Faktor 2 in Gleichung (3) kommt vom Ausdruck (1 + γ), wobei γ ein parameterized postnewtonian (PPN) Parameter ist, der das Ausmaß der Raumkrümmung angibt. Für die Allgemeine Relativitätstheorie gilt γ = 1. Durch die Auswertung von VLBI-Beobachtungen kann daher deren Gültigkeit überprüft werden, siehe zum Beispiel [Lambert und Le Poncin-Lafitte (2009)]. Gleichung (3) kann laut [Schuh (1987), Seite 21] durch Reihenentwicklung auf die Form T grav = 2 GM c 3 b cos ψ R 1 sin(θ/2) gebracht werden. In dieser Darstellung sind die verschiedenen Abhängigkeiten des gravitativen Delays geometrisch anschaulicher als in (3). θ ist der Winkel zwischen Radioquelle und Himmelskörper ausgehend von Station 1 und ψ der Winkel zwischen der Basislinie und dem Vektor ( ˆR 1 + K), wobei ˆR R 1 = 1 R, siehe Abbildung 3. 1 (4) Abbildung 3: Zusammenhänge zwischen Radioquelle, Himmelskörper und Basislinie (nach [Schuh (1987), Seite 22]). ˆR 1 = R 1 R 1. Da Gleichung (3) nur eine Näherung darstellt, kann es für Beobachtungen, die sehr knapp an einem Himmelskörper vorbeigehen, notwendig sein, einen Term höherer Ordnung zu T grav zu addieren [IERS (2010), Seite 163]: δ T grav = 4 G2 M 2 c 5 b ( ˆR1 + K) ( R 1 + R 1 K) 2 (5)

9 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 8 Der Term (5) ist im Allgemeinen sehr gering und macht nur bei Beobachtungen nahe des massenreichsten Körpers unseres Sonnensystems, der Sonne, Sinn. Die Formeln (3) und (5) stammen aus dem Consensus-Model des International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS), das auf eine Genauigkeit von 1 ps ausgelegt ist. Es basiert auf fünf verschiedenen relativistischen Modellen, die bei einem Workshop im Jahre 1990 vorgestellt wurden. Andere Modelle gehen davon aus, dass noch weitere gravitative Effekte, wie der Einfluss von Quadrupol-Feldern oder der Rotation der Himmelskörper inkludiert werden sollten, um 1 ps zu erreichen [Klioner (1991), Seite 194]. Eine ausführlichere mathematische Behandlung der gravitativen Effekte findet sich zum Beispiel bei [Kopeikin und Schäfer (1999)]. In dieser Arbeit werden ausschließlich die Gleichungen des Consensus-Models zur Berechnung der theoretischen Laufzeitverzögerung verwendet. Welche Himmelskörper für die derzeitigen Genauigkeitsansprüche berücksichtigt werden müssen, wird in Kapitel 4.2 behandelt. Die relativistische Laufzeitverzögerung ist eine zeitliche Größe, sie kann aber durch Multiplikation mit der Lichtgeschwindigkeit ( m/s) auch als Länge interpretiert werden. In dieser Arbeit werden beide Möglichkeiten verwendet. Tabelle 1 listet überblicksmäßig einige wichtige Werte auf. T c T 0,1 ps 30 µm 0,33 ps 0,1 mm 1 ps 0,3 mm 3,3 ps 1 mm 33 ps 1 cm 1 ns 0,3 m 3,3 ns 1 m Tabelle 1: Der gravitative Einfluss als Zeit und Länge. 1.3 Theoretische Werte der Laufzeitverzögerung durch Gravitation Um einen Überblick über die Größenordnungen der relativistischen Einflüsse der verschiedenen Himmelskörper auf die Laufzeit der elektromagnetischen Wellen in der VLBI zu gewinnen, sind in Tabelle 2 simulierte Werte angegeben (Basislinie von km, ψ = 0, kürzeste Entfernung zwischen Himmelskörper und Erde). Der geringste beobachtbare Winkel θ zwischen Radioquelle und Massezentrum des Himmelskörpers tritt auf, wenn der Strahlengang den Rand des Himmelskörpers tangiert (bei der Sonne zum Beispiel bei 0,267 ). θ Sonne Mond Merkur Venus Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Rand 169 ns 1,1 ps 4 ps 33 ps 6,5 ps 1,5 ns 0,5 ns 0,18 ns 0,23 ns 1 45 ns 0,69 ps 0,02 ps 0,4 ps 0,04 ps 11 ps 1,6 ps 0,11 ps 0,08 ps 2 22 ns 0,34 ps 0,01 ps 0,2 ps 0,02 ps 5,5 ps 0,9 ps 0,06 ps 0,04 ps 5 9,1 ns 0,14 ps 0,00 ps 0,1 ps 0,01 ps 2,2 ps 0,3 ps 0,02 ps 0,02 ps Tabelle 2: T grav für eine Basislinie von km, ψ = 0 und verschiedene Winkel θ. Ausgehend von [Klioner (1991), Seite 195], nachvollzogen und erweitert durch eigene Berechnungen. Aus Tabelle 2 beziehungsweise Formel (4) ist zu erkennen, dass bei konstantem Winkel ψ die gravitative Laufzeitverzögerung für kleinere Winkel θ stärker ausfällt. Das heißt, ohne

10 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 9 Berücksichtigung der Orientierung der Basislinie im Vergleich zum Vektor ( ˆR 1 + K), können im Fall der Annäherung eines Himmelskörper an den Strahlengang zwischen Station und Radioquelle größere gravitative Einflüsse beobachtet werden. Abbildung 4 zeigt für die Sonne und die Planeten Jupiter und Saturn diesen Zusammenhang. Abbildung 4: Abhängigkeit zwischen T grav und Winkel θ, für eine Basislinie von km, ψ = 0. Die Sonne hat aufgrund ihrer großen Masse den mit Abstand größten Einfluss auf die Laufzeitverzögerung. Bei Beobachtungen unter 1 zum Zentrum würden sich Effekte von bis zu 15 m ergeben, bei 180 immerhin 12 cm. Für die nächstgrößeren Himmelskörper, Jupiter und Saturn, ergeben sich für θ = 1 3 mm beziehungsweise 0,6 mm. Weitere Himmelskörper, die unter besonderen Umständen (zum Beispiel bei einer längeren Basislinie) eine Laufzeitverzögerung von 1 ps (= 0,3 mm) bewirken können, sind der Mond und die Venus. Die Erde selbst nimmt bei erdgebundenen Beobachtungen eine gesonderte Rolle ein. Der gravitative Einfluss hängt in erster Linie von der Ausrichtung der Basislinie im Vergleich zur Richtung der Radioquelle und dem Abstand der Stationen vom Geozentrum ab. Hier können sich Effekte von knapp über 6 mm ergeben [Klioner (1991), Seite 195]. Laufzeitverzögerungen in einer Größenordnung nahe dem Maximum treten bei der Erde viel häufiger (praktisch täglich) auf als bei allen anderen Himmelskörpern. Die Abhängigkeit von der Ausrichtung der Basislinie kann auch als Abhängigkeit von den Zenitdistanzen der beobachtenden Stationen gesehen werden, wie in Kapitel 6 erläutert wird.

11 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 10 2 Methodik Vienna VLBI Software Am Institut für Geodäsie und Geophysik der TU Wien wird seit 2008 die Vienna VLBI Software (VieVS) entwickelt. VieVS hält sich an die Empfehlungen des Global Geodetic Observing System (GGOS) der International Association of Geodesy (IAG) und ist in Matlab geschrieben. Zu den Vorteilen im Vergleich zu anderen Softwarepaketen (wie zum Beispiel das zuvor verwendete Occam 6.1) zählen unter anderem ein einfach zu bedienendes User-Interface, ausführliche Dokumentation und ein modulartiger Aufbau. VieVS ist dementsprechend leicht zu erweitern und zu modifizieren [Schuh et al. (2010)]. Für die vorliegende Arbeit stand die Version 1c zur Verfügung. Die wichtigsten Grundbausteine in VieVS sind VIE SETUP (Grafisches User Interface, Festlegen der Parameter zur Prozessierung), VIE INIT (Einlesen der Daten), VIE MOD (Berechnen des theoretischen Delays und der partiellen Ableitungen) und VIE LSM (Parameterschätzung mittels Kleinste-Quadrate-Ausgleich), siehe Abbildung 5. Abbildung 5: Aufbau von VieVS. In dieser Arbeit wurde hauptsächlich im Bereich VIE MOD gearbeitet. Der wichtigste Punkt war, mithilfe der vorhandenen Daten die Laufzeitverzögerungen aufgrund des gravitativen Einflusses der Himmelskörper zu berechnen. Dazu wurde das Skript grav delay so angepasst, dass von allen wichtigen Himmelskörpern (Sonne, Mond, alle Planeten) der gravitative Delay nach der Formel (3) und zusätzlich der Term höherer Ordnung (5) für die Sonne berechnet wird. Bisher wurden die Delays der Himmelskörper zu einem gemeinsamen T grav addiert. Für diese Arbeit war es hingegen notwendig, jeden einzelnen Term getrennt betrachten zu können. Dazu wurden die Skripts grav delay und vie mod so geändert, dass die Delays nicht summiert, sondern in einen Vektor geschrieben und schließlich in das epochenübergreifende mat-file graviout gespeichert werden. Für die Berechnung des Winkels θ zwischen Quasar und Himmelskörper wurde ein eigenes Skript erstellt, das stark an grav delay angelehnt ist. Darin wird für jeden einzelnen Himmelskörper θ berechnet und in das gleiche mat-file wie die Werte für die Laufzeitverzögerung geschrieben. Weiters war es notwendig, den genauen Zeitpunkt (im Format Modified Julian Date, MJD) der jeweiligen Beobachtung mit abzuspeichern. Dieses mat-file graviout nahm bei längeren Beobachtungsreihen durchaus Größen von über 200 Megabyte an. Um mit keinen zu großen Performance-Einbußen durch das wiederholte Laden und Schreiben dieses Files kämpfen zu müssen, war es hilfreich, die zu prozessierenden Daten in kleinere Teile zu trennen und erst am Schluss alle zusammenzufügen. Eine weitere Methode, die

12 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 11 zum Prozessieren von großen Datenmengen verwendet wurde, war das Speichern der gesuchten Parameter in globalen Variablen, um diese dann nach dem kompletten Durchlauf in ein mat-file zu schreiben. Neben der Prozessierung von Daten über längere Zeiträume war es in vielen Fällen notwendig, nur die Beobachtungen zu einer einzigen Radioquelle zu analysieren. Normalerweise sind pro Session Daten von mehreren Quellen und Basislinien vorhanden. Deshalb wurde das Skript read ngs, das zum VIE INIT -Block gehört, so adaptiert, dass nur Daten einer einzigen Radioquelle eingelesen werden. Weiters wurden pro Beobachtung die Namen der beteiligten Beobachtungsstationen in ein übergreifendes mat-file stations geschrieben. Damit konnte im Nachhinein herausgefunden werden, welche Basislinie den größten gravitativen Delay aufweist und dementsprechend alle Beobachtungen der anderen Basislinien herausgefiltert werden. Dadurch war es möglich, Plots zu erstellen, die nur Daten einer Basislinie und einer Quelle enthielten. Für das Erstellen der verschiedenen Plots waren Skripts notwendig, die die Daten aus den mat-files herauslesen, sie filtern, skalieren oder weitere Berechnungen mit ihnen durchführen. Grundsätzlich kamen zwei Arten von Plot-Darstellungen zur Verwendung: bei großen Beobachtungsmengen kleine Punkte und für Beobachtungen einer einzigen Basislinie größere Symbole, die durch eine interpolierende Kurve (Piecewise Cubic Hermite Interpolation oder Cubic Spline Interpolation) verbunden werden. Weiters wurden im Lauf dieser Arbeit Skripts für folgende Aufgaben geschrieben: Erstellen einer Liste mit den zu prozessierenden Sessions (in VieVS importierbar), Vergleich der Prozessierungen mit unterschiedlichen VIE MOD-Einstellungen (v.a. Ephemeriden), Transformieren der Ephemeriden vom baryzentrischen System in die Bahnebene, statistische Auswertung sowie Entfernungsberechnungen über längere Zeiträume mithilfe der Ephemeriden.

13 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 12 3 Beobachtungsreihen mit großem Gravitationseinfluss Mit der VLBI-Software VieVS war es möglich, die theoretischen Werte aus Kapitel 1.3, die nur für eine Basislinie von km und einen Winkel ψ = 0 gelten, durch die Modellierung der Laufzeitverzögerungen realer Beobachtungskonstellationen nachzuvollziehen. Dazu war es notwendig, Zeitpunkte ausfindig zu machen, an denen die Position der Quasare und der Himmelskörper unseres Sonnensystems große gravitative Laufzeitverzögerungen ermöglicht. Hilfreich waren dabei Hinweise in verschiedenen Papers. Für aussagekräftige Ergebnisse mussten von diesen Events auch genügend Beobachtungsdaten von einer ausreichend langen Basislinie vorhanden sein. Von den im Folgenden besprochenen Events wurden alle zur Verfügung stehenden Daten ausgewertet. Wie in den Abbildungen ersichtlich, konnten dadurch aber nur bestimmte Abschnitte im Verlauf der Annäherung von Himmelskörpern an den Strahlengang, dargestellt werden. 3.1 Beobachtungen nahe der Sonne 1987 und 1997 Am 9. Februar 1987 konnte die Radioquelle von der Basislinie Wettzell (Deutschland) - Hartebeesthoek (Südafrika), Länge 7832 km, beobachtet werden [Robertson et al. (1991)]. Zur gleichen Zeit war der Winkel θ zwischen Radioquelle und Sonne kleiner als 3. Die verwendeten Daten stammen von einer IRIS-S Session zur Bestimmung der Erdrotationsparameter [IVS (2011)]. Daten von speziellen, auf die Beobachtung gravitativer Effekte ausgerichteten Sessions standen nicht zur Verfügung. Die Plots in Abbildung 6 zeigen den Verlauf und das Ausmaß der relativistischen Laufzeitverzögerung: für den Hauptterm, Gleichung (3), bis 6,8 m und für den Term höherer Ordnung, Gleichung (5), bis 0,14 mm. Abbildung 6: Gravitativer Delay durch die Sonne, Basislinie Wettzell - Hartebeesthoek, 9. Februar Links Hauptterm, rechts Term höherer Ordnung. In Abbildung 7 sind zum einen die zeitliche Winkeländerung und zum anderen die Änderung des Delays abhängig von der Änderung des Winkels dargestellt. Gut erkennbar ist das Prinzip: kleinerer Winkel - größerer Delay. Die größte beobachtete Annäherung an die Sonne war bei θ = 2, 53.

14 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 13 Abbildung 7: Basislinie Wettzell - Hartebeesthoek, 9. Februar 1987, links der Winkel θ im Laufe des Tages, rechts die Abhängigkeit des Delays von θ. Ein Ereignis ähnlichen Ausmaßes war am 2. September 1997 zu beobachten. Hier war die Sonne nahe der Quelle aus der Sicht der Basislinie Algonquin Park (Kanada) - Kokee Park (Hawaii). Der maximale Delay betrug 6,5 m bei einem Winkel von nur 2,15. Verglichen mit dem Event im Jahr 1987 ist hier der Winkel θ zwar kleiner, aber mit 7193 km auch die Basislinie, weshalb insgesamt die Laufzeitverzögerung etwas geringer ausfällt. Die Daten stammen von NEOS-A Erdrotation-Sessions [IVS (2011)], entdeckt bei der Prozessierung vorhandener Daten, auf der Suche nach großen Laufzeitverzögerungen. Am 2. September gab es nur zwei Beobachtungen in dieser Quelle-Basislinien-Konstellation, geplottet sind daher noch eine Beobachtung vom Tag danach sowie je zwei Beobachtungen sieben beziehungsweise acht Tage später (siehe Abbildung 8). In dieser Zeit hat sich der Winkel zwischen Quelle und Sonne auf fast 9 vergrößert. Im Plot der Laufzeitverzögerung ist noch die Variation aufgrund der Orientierung der Basislinie (Winkel ψ), die sich wegen der Erdrotation laufend ändert, zu erkennen. Im Gegensatz zur gleichmäßigen Änderung des Winkels θ ist aus diesem Grund für den Delay über einen so langen Zeitraum wie hier keine Interpolation sinnvoll. Daher wurde zur Veranschaulichung ein approximierendes Polynom zweiten Grades verwendet. Abbildung 8: Basislinie Algonquin Park - Kokee Park, September 1997, links der Winkel θ, rechts der Delay.

15 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI Beobachtungen nahe des Jupiters 2008 Am 19. November 2008 näherte sich der massenreichste Planet unseres Sonnensystems, Jupiter, der Radioquelle bis auf 83 arcsec (=0,023 =1,38 ) [Fomalont et al. (2009), Malkin et al. (2009)]. Von der Basislinie Hobart (Australien) - Tsukuba (Japan), Länge 8088 km, konnten Beobachtungen unter einem Winkel θ von bis zu 0,025 / 1,53 gemacht werden. Es ergaben sich Laufzeitverzögerungen von maximal 9,7 cm. Die Daten stammen von einer der IVS-OHIG Sessions, die normalerweise zur Verbesserung des Southern Terrestrial Reference Frame dienen. Wegen des Jupiter-Durchgangs wurden zusätzliche Beobachtungen eingeplant [IVS (2011)], sodass von der Basislinie Hobart - Tsukuba innerhalb von knapp sieben Stunden 64 Beobachtungen aufgezeichnet wurden. Durch diese Fülle an Daten sind der zeitliche Verlauf des Delays, des Winkels θ und die Änderung von T grav mit θ gut auszumachen (Abbildung 9). Dabei ergeben sich in der Darstellung praktisch keine Unsicherheiten aufgrund von Interpolation im Gegensatz zu den Beobachtungen nahe der Sonne im Abschnitt 3.1. Eine Annäherung des Jupiters bis auf 3,7 am 8. September 2002 wurde bei [Fomalont und Kopeikin (2003)] beschrieben (die VLBI-Daten dieses Events standen für die Erstellung dieser Arbeit nicht zur Verfügung). Abbildung 9: Basislinie Hobart - Tsukuba, 19. November 2008, Beobachtungen nahe des Jupiters, links der Winkel θ, rechts der Delay, unten die Abhängigkeit zwischen θ und dem Delay. 3.3 Beobachtungen nahe des Saturns 2009 Der Winkel zwischen dem Quasar und dem Planeten mit dem potientiell zweitgrößten gravitativen Einfluss auf die Laufzeit, Saturn, schrumpfte am 10. Februar 2009 auf bis zu

16 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI arcsec (=1,33 ) [Fomalont et al. (2009), Malkin et al. (2009)]. Unter den 34 Beobachtungen der Basislinie Hobart (Australien) - Los Alamos (New Mexico, USA), Länge km, war eine mit θ von 1,74 und einem Delay von 2,7 cm zu finden (Abbildung 10). Diese Session (IVS- R&D-2 ) war speziell auf die Bestimmung des gravitativen Einflusses des Saturns ausgelegt [IVS (2011)]. Abbildung 10: Basislinie Hobart - Los Alamos, 10. Februar 2009, Beobachtungen nahe des Saturns, links der Winkel θ, rechts der Delay, unten die Abhängigkeit zwischen θ und dem Delay. Die in diesem Kapitel berechneten Werte des theoretischen Delays stimmen von der Größenordnung her mit den simulierten aus Tabelle 2 überein, wobei die Abweichungen auf die verschiedenen Längen und Orientierungen der Basislinien sowie auf die Winkel θ, die nicht exakt mit denen aus der Tabelle übereinstimmen, zurückzuführen sind.

17 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 16 4 Signifikanz der Einflüsse einzelner Himmelskörper 4.1 Anforderungen an die Genauigkeit Das Consensus-Model von Anfang der 90er-Jahre zielt darauf ab, eine Genauigkeit der theoretischen Laufzeitverzögerung von 1 ps (0,3 mm) zu erreichen. Es ist üblich, alle Terme bis zu 1/10 der zu erreichenden Genauigkeit (d.h. 0,1 ps) zu berücksichtigen. Mit den Gleichungen aus Kapitel 1.2 ist dies möglich die Frage ist, für welche Himmelskörper unseres Sonnensystems der gravitative Einfluss für diese Genauigkeit relevant ist. Eine alternative Genauigkeitsgrenze ergibt sich, wenn die Zielgenauigkeit für den relativistischen Einfluss gleich der zu erreichenden Lagegenauigkeit gesetzt wird. Mit dem kommenden VLBI2010-System soll diese bei 1 mm liegen. Hier ist es daher sinnvoll, alle Terme bis zur Größenordnung 0,1 mm / 0,3 ps einzubeziehen. Diese Grenze würde im Vergleich zu den 0,1 ps aus dem Consensus-Model weniger Terme beinhalten. Da es in der VLBI noch viele Modellierungsunsicherheiten gibt, die weit größere Fehler verursachen (z.b. feuchte Zenit-Delays, Struktur der Radioquellen, Einfluss der Korona für Beobachtungen nahe der Sonne), ist es schwer zu sagen, ob die etwas ungenauere 0,3 ps Grenze einen eindeutigen Unterschied zur 0,1 ps Grenze ergeben würde. Es hängt auch stark von der Anwendung ab für die Bestimmung von γ werden genauere Gravitations-Delay-Modelle notwendig sein als für die übliche Berechnung der Erdrotationsparameter [Heinkelmann und Schuh (2009), Seite 289]. 4.2 Auswertung längerer Datenreihen In diesem Kapitel werden anhand von empirischen Daten Vergleiche angestellt, welche Himmelskörper für die 0,1 ps beziehungsweise die 0,3 ps Grenze relevant sind. Um ein möglichst aussagekräftiges Resultat zu erhalten, wurden Daten eines längeren Zeitraumes prozessiert. Dazu wurde ein Großteil der IVS-R1 und IVS-R4 Sessions ausgewertet. Es handelt sich um Routinebeobachtungen zur Bestimmung der Erdorientierungsparameter, die zweimal in der Woche stattfinden. Es ist jeweils ein globales Netzwerk von acht Stationen beteiligt, das wöchentlich wechselt [IVS (2011)]. Zur Berechnung der Laufzeitverzögerung dienten alle 817 Sessions oder rund 1,5 Millionen Beobachtungen zwischen Anfang 2002 und Ende In Tabelle 3 finden sich die maximalen Werte der verschiedenen gravitativen Terme, wobei Sonne h den in Gleichung (5) beschrieben Term höherer Ordnung darstellt. Kleiner als 30 µm sind somit die Einflüsse durch Merkur und Mars sowie der Term höherer Ordnung bei der Sonne sie können für den Rest dieses Kapitels vernachlässigt werden. Für die restlichen Himmelskörper zeigt Tabelle 4 die absolute Anzahl an Beobachtungen mit einem gravitativen Einfluss größer 1 ps, 0,3 ps und 0,1 ps sowie deren prozentuellen Anteil an der Gesamtanzahl der Beobachtungen. Deutlich über 1 ps liegen die Einflüsse von Erde, Sonne und Jupiter. Diese sollten in keinem Modell fehlen. Der Jupiter-Term wird allerdings in manchen Software-Paketen nicht berücksichtigt. Er liegt zwar nur bei ca. jeder 500. Beobachtung über 1 ps, die VLBI2010-Grenze von 0,3 ps wird jedoch bei etwa jeder 50. Beobachtung überschritten. Außerdem werden durch Exkludieren des Jupiter-Einflusses theoretisch Fehler im cm-bereich möglich. Abbildung 11 zeigt die einzelnen Beobachtungen über die gesamte Zeitreihe in Bezug auf eine Laufzeitverzögerung von 1 ps.

18 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 17 c T grav Erde 6 mm Sonne 4,4 m Sonne h 25 µm Mond 0,4 mm Merkur 9 µm Venus 0,3 mm Mars 10 µm Jupiter 9,8 mm Saturn 0,4 mm Uranus 40 µm Neptun 60 µm Tabelle 3: Maximale Werte für die Laufzeitverzögerungen c T grav bei der Auswertung der IVS-R1 und IVS-R4 Sessions. Erde Sonne Mond Venus Jupiter Saturn Uranus Neptun abs. > 1 ps rel. [%] 87,01 99,70 0,00 0 0,19 0, abs. > 0,3 ps rel. [%] 96,01 99,91 0,02 0,00 1,95 0, abs. > 0,1 ps rel. [%] 98,67 99,97 0,14 0,01 15,95 0,67 0,00 0,00 Tabelle 4: Anzahl der Beobachtungen mit Laufzeitverzögerungen größer 1 ps, 0,3 ps und 0,1 ps und deren Anteil an den Beobachtungen der IVS-R1 und IVS-R4 Sessions zwischen Anfang 2002 und Ende Abbildung 11: Delays für Erde, Sonne, und Jupiter im Vergleich zu 1 ps. IVS-R1 und IVS-R4 Sessions zwischen Anfang 2002 und Ende 2009.

19 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 18 Saturn und Mond bewegen sich auch über der 1 ps Grenze, allerdings viel knapper und seltener. Der maximale Delay der Venus ist unter 1 ps. Diese drei Planeten liegen aber immer noch klar über der 0,3 ps Grenze und sollten daher für Genauigkeiten von 1 mm, wie für VLBI2010 gefordert, berücksichtigt werden. In der entsprechenden Abbildung 12 ist neben der als Referenz dienenden 1 ps Linie auch eine für 0,3 ps eingezeichnet. Abbildung 12: Delays für Saturn, Mond, und Venus im Vergleich zu 1 ps und 0,3 ps. IVS-R1 und IVS-R4 Sessions zwischen Anfang 2002 und Ende Der Einfluss von Neptun und Uranus auf die Laufzeitverzögerung ist jeweils knapp über 0,1 ps. Bei Uranus betrifft dies nur 5 von den ca. 1,5 Millionen Beobachtungen, bei Neptun 33 (Abbildung 13). Diese zwei Terme sind bei gewöhnlichen Erdorientierungsparameter-Sessions also vernachlässbar, für spezielle Beobachtungen in der Nähe dieser Planeten allerdings durchaus sinnvoll.

20 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 19 Abbildung 13: Delays für Neptun und Uranus im Vergleich zu 1 ps und 0,1 ps. IVS-R1 und IVS-R4 Sessions zwischen Anfang 2002 und Ende Bei Beobachtungen sehr nahe dem Jupiter, Saturn oder Neptun kann es zusätzlich sinnvoll sein, die relativistische Laufzeitverzögerung aufgrund der Monde dieser Planeten zu berücksichtigen. Es ist allerdings sehr unwahrscheinlich, dass dies einen spürbaren Einfluss auf geodätische Messungen hat [IERS (2010), Seite 162]. 4.3 Periodizität des Gravitationseinflusses In den Plots in Kapitel 4.2 sind Periodizitäten des gravitativen Einflusses auf die Laufzeit erkennbar, besonders ausgeprägt bei Venus und Jupiter. Diese Schwankungen sind durch den variablen Abstand zwischen der Erde und dem entsprechenden Himmelskörper erklärbar. Wie aus Gleichung 4 (Term 1 R ) zu erkennen, ist die Laufzeitverzögerung indirekt proportional zum 1 Abstand. Mithilfe der Ephemeriden der Himmelskörper wurde die Entfernung zwischen Erde und Venus sowie Erde und Jupiter berechnet und mit den Delays verglichen (Abbildung 14). Abbildung 14: Gravitativer Delay und Abstand zur Erde, links Venus, rechts Jupiter. IVS-R1 und IVS-R4 Sessions zwischen Anfang 2002 und Ende Besonders bei der Venus sieht man sehr gut, dass die fünf Minima des Abstands in diesem Zeitraum zeitlich mit den Maxima der Delays übereinstimmen. Die Periode beträgt rund 585 Tage. Bei der Entfernung Erde-Jupiter ist die Periode mit 398 Tagen viel näher am Erdjahr

21 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 20 als bei der Venus. Dies hängt damit zusammen, dass während der acht Umläufe der Erde um die Sonne zwischen 2002 und 2009 der Jupiter knapp über eine halbe und die Venus dreizehn Revolutionen um die Sonne schafft. Weiters lässt sich erkennen, dass sich beim Jupiter im Gegensatz zur Venus die Minima mit der Zeit ändern: 2002 und 2009 sind sie geringer und ebenso die relativistische Laufzeitverzögerung im Schnitt größer. Die Variation kommt von der Exzentrizität der Jupiterbahn, die mit 0,049 dreimal so groß ist wie jene der Erde und siebenmal so groß wie jene der Venus. Zur Veranschaulichung dieser Zusammenhänge zeigt Abbildung 15 die Bahnen der drei Planeten, zum einen im baryzentrischen System, zum anderen in die ungefähre Bahnebene transformiert mit der Zeit als dritter Achse. Abbildung 15: Bahnen des Jupiters, der Erde und der Venus zwischen Anfang 2002 und Ende Links im baryzentrischen System, rechts in die ungefähre Bahnebene transformiert und mit der Zeit als Z-Achse. 4.4 Beobachtungen nahe der Sonne vor und nach 2002 Seit etwa Mitte des Jahres 2002 werden vom International VLBI Service for Geodesy and Astrometry (IVS) normalerweise nur noch Beobachtungen geplant, bei denen der Winkel θ zwischen Sonne und Radioquelle größer als 14 ist. Der Grund ist, dass Beobachtungen nahe der Sonne durch deren Aktivität beeinträchtigt werden können und daher weniger zuverlässig sind. Das Wegfallen dieser Beobachtungen ist allerdings nachteilig für die Forschung, die sich mit der Auswertung des gravitativen Einflusses beschäftigt, wie zum Beispiel für die Bestimmung des PPN-Parameters γ [Heinkelmann und Schuh (2009), Lambert und Le Poncin-Lafitte (2011)]. In Abbildung 11 ist beim Plot der Sonne zu sehen, dass Anfang 2002 Laufzeitverzögerungen bis zu 4,4 m auftreten knapp darauf und bis Ende 2009 jedoch nur noch welche bis etwa 1,7 m. Um diesen Knick herauszustreichen, wurden Daten zwischen Anfang 1998 und Ende 2003 prozessiert. Es handelt sich um 780 Sessions mit rund 1,87 Millionen Beobachtungen. In Abbildung 16 ist zu sehen, dass seit Mitte 2002 fast keine Beobachtungen mehr mit θ kleiner 14 stattfinden. Während zwischen 1998 und 2002 Laufzeitverzögerungen von über 6,5 m erkennbar sind, beträgt das Maximum zwischen Mitte 2002 und Ende 2003 nur 1,7 m. In diesem Zusammenhang liefert der Term höherer Ordnung auch interessante Ergebnisse: Abbildung 17 zeigt, dass vor Mitte 2002 dieser Term Werte von bis zu 0,12 mm (> 0,3 ps) erreicht, zwischen Mitte 2002 und Ende 2003 aber nur ein Zehntel dieses Wertes (< 0,1 ps). Während für Beobachtungen nach Mitte 2002 der Term höherer Ordnung der Sonne durch die Veränderung der Messbedingungen vernachlässigt werden kann (siehe auch Tabelle 3), macht es durchaus Sinn, ihn in die Prozessierung von VLBI-Daten zu inkludieren, die zeitlich länger zurückliegen.

22 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 21 Abbildung 16: Links der Winkel θ zwischen Sonne und Radioquelle, rechts die resultierende Laufzeitverzögerung. Zeitraum: Anfang 1998 bis Ende Abbildung 17: Gravitativer Einfluss höherer Ordnung der Sonne. Zeitraum: Anfang 1998 bis Ende 2003.

23 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 22 5 Einflüsse der Ephemeriden Wie in Gleichung (3) erkennbar ist, hängt die Modellierung der gravitativen Laufzeitverzögerung stark von den Bahndaten (Ephemeriden) der entsprechenden Himmelskörper ab. Die Ephemeriden werden zum Beispiel vom Jet Propulsion Laboratory (JPL) der NASA berechnet und frei zur Verfügung gestellt. Sie basieren auf Beobachtungen durch verschiedene Messtechniken wie VLBI- und Entfernungsmessungen zu Raumsonden, Radarmessungen oder im Falle des Mondes Lunar Laser Ranging 2. Die Ephemeriden Jet Propulsion Laboratory Development Ephemeris 421 (JPL DE 421) sind 2008 erschienen und beinhalten viele Verbesserungen in der Genauigkeit der Bahndaten gegenüber den weitverbreiteten JPL DE 405 Ephemeriden aus dem Jahr Speziell die Orbits von Erde, Mond und Mars haben große Genauigkeitssteigerungen erfahren [Folkner (2008)]. Sowohl DE 405- als auch DE 421-Ephemeriden sind als Prozessieroption in VieVS verfügbar. Um herauszufinden, wie stark sich die unterschiedlichen Bahndaten auf die gravitative Laufzeitverzögerung auswirken, wurden die entsprechenden VLBI-Beobachtungsdaten sowohl mit den DE 405 als auch mit den DE 421 Ephemeriden ausgewertet und die Differenz gebildet. Größere Unterschiede sind nur bei Beobachtungen mit signifikantem gravitativen Delay erkennbar. Deshalb war es naheliegend, die Events aus Kapitel 3 in dieser Hinsicht zu untersuchen. 5.1 Sonne, Jupiter und Saturn Bei den Beobachtungen nahe der Sonne im Jahr 1987 ergibt sich ein Unterschied in T grav von bis zu 0,5 µm, im Jahr 1997 von bis zu 0,4 µm, trotz einer erheblichen Laufzeitverzögerung von jeweils über 6 m. Die Auswirkung der unterschiedlichen Ephemeriden ist bei Beobachtungen nahe der Sonne also verschwindend klein. Abbildung 18 zeigt für die Annäherung im Jahr 1987 den zeitlichen Verlauf des Unterschieds aufgrund der Ephemeridenänderung. Im Vergleich zur Abbildung 6 aus Kapitel 3.1 ist immerhin erkennbar, dass der Unterschied bei Beobachtungen mit stärkerem gravitativen Delay auch größer ist. 2 Bei LLR werden von einer Bodenstation Laserpulse ausgesandt, die an Retroreflektoren auf dem Mond reflektiert werden. Mit den wenigen zurückkehrenden Photonen wird die Laufzeit und damit die Entfernung zwischen Mond und Erde bestimmt.

24 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 23 Abbildung 18: Differenz der mit DE 405 und 421 Ephemeriden berechneten Delays. Sonne, Dieser Vergleich wurde auch bei den in den Kapiteln 3.2 und 3.3 beschriebenen Jupiter- beziehungsweise Saturn-Events durchgeführt. Bei den Jupiter-nahen Beobachtungen am 19. November 2008 beträgt der Unterschied im gravitativen Delay bis zu 27 µm, wobei die Entfernung zwischen der DE 405- und der DE 421-Position des Jupiters im geozentrischen System 97,33 km beträgt. Der Unterschied im Winkel θ ist maximal 0,018. Beim Saturn-Event am 10. Februar 2009 liegt der Unterschied im Delay bei bis zu 41 µm, im Winkel θ bei maximal 0,028. Abbildung 19 zeigt für beide Planeten die Differenz in den Laufzeitverzögerungen. Der relative Unterschied ( T grav,421 T grav,405 T grav,421 ) liegt beim Jupiter etwa bei und beim Saturn bei fast Die Auswirkung der verbesserten Ephemeriden ist daher beim Saturn größer, passend zum Positionsunterschied: Dieser beträgt beim Saturn 955,53 km im geozentrischen System, also das Zehnfache der Verschiebung beim Jupiter. Abbildung 19: Differenz der mit DE 405 und 421 Ephemeriden berechneten Delays. Links: Jupiter, Rechts: Saturn, 2009.

25 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI Mars Die Genauigkeit der Ephemeriden des Mars hat sich seit den DE 405 aufgrund der Mars Pathfinder-Mission 1997 und Entfernungs- sowie VLBI-Messungen 3 zu aktuellen Mars-Raumsonden stark verbessert, dementsprechend interessant ist die Auswirkung dieser Verbesserung auf den gravitativen Einfluss. Für die Auswertung waren Beobachtungen zu Radioquellen nahe des Mars mit möglichst hohen Laufzeitverzögerungen notwendig. Dazu wurden die Daten der Auswertungen der IVS-R1 und IVS-R4 Sessions (siehe Kapitel 4.2) nach dem maximalen Mars-Delay durchsucht und die Beobachtungen zur Radioquelle am 4. Jänner 2006 ausgewählt. Auf der Basislinie Seshan (China) - Ny-Alesund (Norwegen), Länge 5567 km, ergaben sich an diesem Tag bei einem Winkel θ zwischen Planet und Quelle von bis zu 0,7 gravitative Laufzeitverögerungen von knapp 10 µm (Abbildung 20 links). Da es sich um eine Standard-Session zur Bestimmung der Erdrotationsparameter und keine speziell auf den Mars ausgelegte handelt, sind nicht mehr als vier Beobachtungen vorhanden. Der Unterschied in der Position des Mars war zu diesem Zeitpunkt 1,92 km. Für die Differenz der Delays bezüglich der verschiedenen Ephemeriden ergaben sich maximal 8, m. Relativ zum Delay gesehen, ergibt das einen Faktor von knapp 10 6 (Abbildung 20 rechts). Wie der Plot zeigt, ist die relative Differenz zum Zeitpunkt des maximalen Delays kleiner als davor. Der Einfluss der verbesserten Ephemeriden ist beim Mars jedenfalls sehr klein. Abbildung 20: Mars, 2006: Links der Delay, rechts die relative Differenz aufgrund der verschiedenen Ephemeriden. 5.3 Vergleich der Auswirkungen der verschiedenen Ephemeriden Die Auswertung mit den verschiedenen Ephemeriden hat zu unterschiedlichen Ergebnissen geführt. Bei der Sonne ist von den untersuchten Himmelskörpern trotz des größten Delays ein sehr geringer Unterschied aufgetreten, wobei der relative Unterschied mit knapp 10 7 geringer ist als jener beim Mars (10 6 ) beide sind vernachlässigbar. Im Gegensatz zu Mars und Sonne sind bei den Jupiter- und Saturn-Events die Auswirkungen in der Größenordnung von 0,1 ps. Allgemein kommen eher bei den äußeren Planeten die Ephemeriden-Unterschiede zum Tragen, da dort größere Postitionsunterschiede wahrscheinlich sind. Bei den DE 405 Ephemeriden 3 Die Raumsonden senden Radiosignale aus, die von VLBI-Antennen detektiert werden können. Damit können die Richtungen zu den Sonden bestimmt werden.

26 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 25 konnten die Bahnen der äußeren Planeten ungefähr auf 0,1 mas genau bestimmt werden, beim Jupiter auf 0,01 mas [Standish (1998)]. Auf die jeweilige Entfernung gerechnet wären das beim Saturn über km und beim Jupiter über km. Die DE 421 Ephemeriden erreichen bei Jupiter und Saturn hingegen eine Präzision von einigen zehn Kilometern [Folkner (2008)]. Wie stark sich eine Postitionsänderung auf den gravitativen Delay schlussendlich auswirkt, hängt neben dem Betrag der Postitionsänderung auch von deren Richtung ab. Grundsätzlich hat eine Positionsänderung in Richtung des Strahlengangs der VLBI-Messung weniger Auswirkung als eine Verschiebung orthogonal dazu. Beim Jupiter betrug der Winkel zwischen Verschiebungsrichtung und K-Vektor ungefähr 106, beim Saturn 98. Bei Winkeln näher 0 oder 180 wären die Unterschiede im Delay geringer ausgefallen. Insgesamt sind die Auswirkungen durch die unterschiedlichen Ephemeriden gering und können bei gewöhnlichen Messprogrammen vernachlässigt werden. Es konnte aber gezeigt werden, dass unter speziellen Umständen (Saturn- & Jupiter-Event) der Einfluss der Ephemeriden über der Genauigkeits-Grenze des Consensus-Model liegt. In solchen Fällen sollten, wenn möglich, die DE 421 Ephemeriden zum Einsatz kommen.

27 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 26 6 Auswirkungen von Troposphäre und Erdgravitation 6.1 Grundlagen Nach der Sonne stellt die Erde die wichtigste gravitative Einflussquelle auf die Laufzeit dar. Wie aus Tabelle 4 (Kapitel 4.2) ersichtlich, muss der Großteil aller VLBI-Beobachtungen wegen der Gravitation der Erde korrigiert werden. Manche Planeten wie der Jupiter können zwar größere Maxima erreichen, diese sind jedoch viel seltener. Die Laufzeitverzögerung aufgrund der Erde wird mittels Gleichung (3) berechnet, wobei die Vektoren R i die geozentrischen Koordinaten der Stationen sind. Maximal beträgt c T grav,e etwa 6 mm. Vereinfacht kann Gleichung 3 für die Erde wie folgt angegeben werden [Schuh (1987), Seite 24]: T grav,e = 2 GM E ln 1 + sin(e 1) c sin(e 2 ) E i sind die Elevationswinkel der beiden Radioteleskope. Entsprechend erhält man Gleichung (6) in Abhängigkeit von den Zenitdistanzen Z i indem sin(e i ) durch cos(z i ) ersetzt wird. Wie aus der Formel erkennbar, ist der Betrag von T grav,e umso größer, je größer die Differenz der Zenitdistanzen ist. Maximal also, wenn eine Station im Zenit, die andere horizontal beobachtet. Bei gleichen Zenitdistanzen gibt es in erster Näherung keine Laufzeitverzögerung, da die Strahlen beider Stationen in etwa den gleichen Weg im Gravitationsfeld der Erde zurücklegen. Der gravitative Einfluss auf die Laufzeit ist in dieser Hinsicht eng mit dem der Troposphäre (unterste Schicht der Atmosphäre) verknüpft. Die troposphärische Laufzeitverzögerung für eine Station wird prinzipiell wie folgt berechnet: T trop = T trop,zenit mf(e) (7) Wie in Gleichung (7) ersichtlich, wird die Laufzeitverzögerung für eine Beobachtung mit beliebigem Elevationswinkel durch Multiplikation der Verzögerung in Zenitrichtung (T trop,zenit ) mit einer Projektionsfunktion (Mapping Function) mf(e) berechnet. Der Zenit-Delay wird üblicherweise noch in einen trockenen und einen feuchten Anteil aufgespalten und ist im Allgemeinen abhängig von der Temperatur, dem Druck, der Dichte und der Feuchte der Troposphäre, die Mapping Function hauptsächlich vom Elevationswinkel der Beobachtung. Durch die Mapping Function wird erreicht, dass die troposphärische Laufzeitverzögerung für eine Station bei niedrigen Elevationen stärker ist (längerer Weg durch die Atmosphäre) und minimal im Zenit ist. Für Elevationen über 3 ist folgendes Modell ausreichend genau: mf(e) = 1 + a 1+ b 1+c sin(e) + a b sin(e)+ sin(e)+c Die drei Parameter a, b, c werden für die verschiedenen Projektionsfunktionen unterschiedlich berechnet, für die Vienna Mapping Function (VMF1) etwa aus numerischen Wettermodellen, für die Global Mapping Functions (GMF) aus Kugelfunktionsentwicklung der VMF1 (abhängig vom Tag und Stationskoordinaten) [Böhm et al. (2006)]. Der troposphärische Einfluss auf die Laufzeitdifferenz τ ergibt sich durch unterschiedliche Laufzeitverzögerungen für die einzelnen Stationen einer Basislinie: T trop = T trop,1 T trop,2 (9) (6) (8)

28 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 27 T trop hängt also genauso wie T grav,e stark von der Differenz der Zenitdistanzen der beiden Stationen ab. Bei gleichen Atmosphärebedingungen und gleichen Zenitdistanzen an den beiden Teleskopen gäbe es keinen Einfluss der Troposphäre auf die Laufzeitdifferenz. 6.2 Simulation Da beide vorhin näher besprochenen Einflüsse auf die Laufzeit von der Differenz der Zenitdistanzen abhängen, war es interessant, herauzufinden, wie sehr sie korreliert sind. Dazu wurde eine Beobachtungssituation simuliert, die maximale Zenitdistanzunterschiede ermöglicht: Die Basislinie besteht aus zwei Teleskopen die am Äquator gelegen sind und einen geografischen Längenunterschied von 90 haben. Sie beobachten eine Quelle die auch in der Äquatorebene liegt. Zu Beginn beobachtet die eine Station in Zenitrichtung, die andere horizontal. Nach 6h hat sich die Situation aufgrund der Erdrotation genau umgekehrt. Zu Beginn und am Ende der Messung ist Z 1 Z 2 daher jeweils 90, nach 3h 0 da beide Stationen unter 45 beobachten (siehe Abbildung 21). Abbildung 21: Skizze der simulierten Beobachtungsbedingungen. Für diese Z-Differenzen wurde nach den Modellen der Einfluss auf die Laufzeit ausgerechnet. Dazu wurden einige Vereinfachungen getroffen: die troposphärische Laufzeitverzögerung im Zenit T trop,zenit sowie die Parameter a, b, c der Mapping Function sollten für beide Stationen ident sein. Dies war notwendig, da vorerst keine konkreten Stationen an bestimmten Zeitpunkten betrachtet wurden. Um den gravitativen Einfluss mit jenem der Troposphäre visuell vergleichen zu können, war es weiters erforderlich, beide in einer ähnlichen Größenordnung darzustellen. Dazu wurden beim gravitativen Delay der Faktor 2 GM E gleich 1 sowie bei der Troposphäre c 3 T trop,zenit gleich 1 und a gleich 0 gesetzt. Damit ergeben sich folgende vereinfachte Formeln für die Simulation: T grav,e = ln 1 + cos(z 1) 1 + cos(z 2 ) T trop = 1 cos(z 1 ) 1 cos(z 2 ) (10) (11)

29 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 28 Abbildung 22 zeigt die simulierten Ergebnisse, wobei wie bei allen bisherigen Abbildungen der Absolutbetrag von T geplottet ist. Die Differenz in den Zenitdistanzen geht von -85 bis Zu beachten ist, dass der gravitative Einfluss in Wirklichkeit etwa 1000 mal kleiner ist als jener der Troposphäre. Gut zu erkennen ist jedenfalls, dass der gravitative Anteil etwa linear mit der Differenz der Zenitdistanzen ansteigt, der troposphärische exponentiell. Für geringere Differenzen ist aber auch der troposphärische Einfluss in etwa linear, hat aber eine viel größere Steigung (im Plot ist das Verhältnis der Steigungen aufgrund der Skalierung verfälscht). Als statistisches Maß zum Abschätzen des linearen Zusammenhangs zwischen den Daten dient der Korrelationskoeffizient R (maximale Korrelation bei R =1,0): R( T grav,e, T trop ) = Cov( T grav,e, T trop ) V ar( Tgrav,E ) V ar( T trop ) (12) Für die simulierten Daten bis zu einer Z-Differenz von 85 beträgt R 0,86. Bei kleineren Differenzen ist die Korrelation größer: bei 75 als obere Grenze ist R 0,94 und bei 55 bereits 0,99. Aufgrund dieser hohen Korrelation kann es zum Beispiel bei der Schätzung von Atmosphärenparametern, wie dem feuchten Zenit-Delay, im Fall der Nichtmodellierung des gravitativen Delays der Erde passieren, dass dieser in die geschätzten Parameter miteinfließt. Abbildung 22: Simulierte Laufzeitverzögerung für Erdgravitation und Troposphäre, abhängig von der Differenz der Zenitdistanzen. Skaliert. 6.3 Auswertung konkreter Beobachtungsreihen Um zu sehen, wie weit die Annahmen beim Basislinien-unabhängigen Simulationsmodell von der Realität entfernt sind, wurde ein Vergleich mit konkreten Beobachtungsdaten durchgeführt. Aufgrund der Datenfülle wurden jene Sessions aus Kapitel 3.2 und 3.3 (Jupiter- beziehungsweise Saturn-Event) verwendet. Der Einfluss der Erdgravitation wurde nach dem Consensus-Model, jener der Troposphäre mithilfe der VMF1 berechnet. Um die berechneten Delays mit der Simulation zu vergleichen, mussten sie skaliert werden: Passend erwies sich der Faktor 90 für T grav,e und 0,3 für T trop. Abbildung 23 zeigt links die

30 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 29 Delays für die Basislinie Tsukuba - Kokee Park, rechts jene der Basislinie Badary - Matera. Aus der Darstellung ist zu entnehmen, dass der gravitative Delay recht gut zur Simulation passt, die konkreten Positionen der Stationen verursachen nur eine geringe Abweichung. Abbildung 23: Einfluss der Erdgravitaion und Troposphäre für die Beobachtungen der Basislinie Tsukuba - Kokee Park zur Quelle am 19. November 2008 (links) und für die Beobachtungen der Basislinie Badary - Matera zur Quelle am 10. Februar 2009 (rechts). Bei der Troposphäre sind die Abweichungen viel größer, da hier auch die Daten des Wettermodells mit einfließen. Wie in der Abbildung ersichtlich, steigen die Laufzeitverzögerungen bereits bei geringeren Zenitdistanzunterschieden stärker an als bei der Simulation. Dies ist nachvollziehbar, da aufgrund des unterschiedlichen Zustands der Atmosphäre über den Stationen der Laufzeitunterschied stärker ausfallen muss als bei gleichen Bedingungen, wie in der Simulation angenommen. Damit ist auch die Asymmetrie im Verlauf zu erklären: Angenommen, bei Station 1 ist der Zenit-Delay viel kleiner als bei Station 2, dann wird das Minimum der Laufzeitdifferenz bei Z 1 > Z 2 beziehungsweise Z 1 Z 2 > 0 liegen. Bei gleichen Bedingungen würde das Minimum bei Z 1 = Z 2 liegen. Unterschiedliche Stationshöhen können auch eine Asymmetrie verursachen. Beim Saturn-Event (10. Februar 2009) wurden alle ausreichend langen Basislinien ausgewertet und in einem gemeinsamen Plot dargestellt (Abbildung 24), die Skalierung ist für alle Basislinien gleich. Der Verlauf des gravitativen Einflusses der Erde bei den verschiedenen Basislinien ist sehr ähnlich, weshalb dieser für alle in der gleichen Farbe dargestellt wurde. Bei der Troposphäre zeigen sich größere Unterschiede, weshalb eine Farbkodierung sinnvoll erschien. Aufgrund der Unterschiede im Verlauf des troposphärischen Delays für die verschiedenen Basislinien stellte sich die Frage, wie der Einfluss der Troposphäre mit der Länge und Richtung der Basislinien zusammenhängt. Dazu wurde aus den Stationskoordinaten die Entfernungen berechnet sowie mithilfe der in Matlab erstellten Übersichtskarte (Abbildung 25) die ungefähren Ausrichtungen bestimmt (Tabelle 5).

31 B. Soja: Relativistische Laufzeitverzögerung in der VLBI 30 Abbildung 24: Einfluss der Erdgravitaion und Troposphäre für die Beobachtungen aller Basislinien zur Quelle am 10. Februar Abbildung 25: Weltkarte mit den sechs verwendeten VLBI-Stationen.