Astrogravimetrische Geoidbestimmung für Ingenieurprojekte

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1 Studienrichtung Vermessungswesen Technische Universität Wien GE 0 WISSENSCHAFTLICHE MITTEILUNGEN Heft 45 Astrogravimetrische Geoidbestimmung für Ingenieurprojekte von Werner Daxinger Veröffentlichung des Instituts fur Theoretische Geodäsie und Geophysik Abteilung Theoretische Geodäsie Geowiss. Mitt. 45, 1996 Wien, im Juli 1996

2 Studienrichtung Vermessungswesen Technische Universität Wien GE 0 WISSENSCHAFTLICHE MITTEILUNGEN Heft 45 Astrogravimetrische Geoidbestimmung für Ingenieurprojekte von Wemer Daxinger Veröffentlichung des Instituts fur Theoretische Geodäsie und Geophysik Abteilung Theoretische Geodäsie Geowiss. Mitt. 45, 1996 Wien, im Juli 1996

3 Herausgeber und Verleger: o. Univ. Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Kurt Bretterbauer Leiter der Abteilung Theoretische Geodäsie des Instituts fur Theoretische Geodäsie und Geophysik der Technischen Universität Wien A-1040 Wien, Gußhausstraße Diese Arbeit wurde an der Technisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Technischen Universität Wien zum Zwecke der Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der technischen Wissenschaften eingereicht. Die Kosten fur den Druck wurden aus der ordentlichen Dotation des Instituts fur Theoretische Geodäsie und Geophysik der Technischen Universität Wien getragen. Referent : o. Univ. Prof. Dipl. -Ing. Dr. techn. Kurt Bretterbauer Koreferent : Univ. Doz. Dipl.-Ing. Dr. techn. Thomas Wunderlich Tag der mündlichen Prüfung: 31. Mai 1996 Druck: HTU-Wirtschaftsbetriebe, 1040 Wien Auflage: 100 Stück

4 Kurifassung In dieser Arbeit wird ein fur den praktisch tätigen Vermessungsingenieur geeignetes Modell zur lokalen Schwerefelduntersuchung vorgestellt. Im Zentrum dieses Modells steht eine Modifikation des astrogravimetrischen Nivellements, die eine Beschränkung auf ein lokales Schwereanomaliefeld und eine beliebige Verteilung der Eingangsdaten (Schwerewerte und Lotabweichungen) erlaubt. Die verwendeten mathematischen und physikalischen Ansätze bei der Datenreduktion werden auf ihre Vollständigkeit hin überprüft und gegebenenfalls erweitert. So zeigt sich u.a., daß das Datum eines Ingenieurnetzes mit dem Datum des Geoides untrennbar verbunden ist. Die gegenseitige Abhängigkeit resultiert aus dem Bezug der astronomischen Koordinaten zu den Achsen des globalen geozentrischen Koordinatensystems. Weiters werden der Einfluß der Konvergenz der Lotlinien, die Auswirkung der atmosphärischen Massen und der Vertikalgradient der Schwereanomalie untersucht und die numerische Integration bei der Berechnung der Attraktionswirkung der topographischen Massen diskutiert. Durch die topographisch-isostatische Reduktion unter Verwendung von Oberflächendichtewerten erhält man ein ruhiges Schwereanomaliefeld mit geringen Amplituden. Dies ermöglicht eine Abwandlung des klassischen astrogravimetrischen Nivellements in der Form, daß die Beschränkung auf eine Mindestausdehnung des Anomaliefeldes zu keiner Verschlechterung der Interpolationsgenauigkeit fuhrt. Um Randeffekte zu vermeiden, müssen sich außerhalb des eigentlich interessierenden Bereiches astrogeodätische Lotabweichungen befinden. Im praktischen Teil der Arbeit erfolgt eine detaillierte Studie des lokalen Schwerefeldes in der Region Prutz in den Tiroler Alpen. Trotz bewegter Topographie wird eine Interpolationsgenauigkeit von ± 1.8 mgal ( ms- 2 ) fur die Schwereanomalien und ± 0.4" fur die Komponenten der Lotabweichung erreicht. Das lokale relative Geoid weist eine Ausdehnung von 20 km x 20 km aufund wird mit einer Genauigkeit von ± 13 mm/10 km aufgelöst. Abstract In this treatise a suitable model for local gravity determination for the purpose of field surveyors is presented. This model is based upon modified astrogravimetric levelling, allowing the use of gravity anomaly data lirnited to a certain area and an arbitrary distribution of the observations used (gravity values and deflections ofthe vertical). The mathematical and physical background of the reduction methods is investigated for completeness and extended if necessary. In this way a close connection of the datum of a

5 geodetic network to the datum of the geoid is revealed. The interdependence results from the astronomic coordinates referring to the axis ofthe global geocentric coordinate system. Furthermore the influence of the convergence of the plumb lines, of the atmospheric masses and the vertical gradient of the gravity anomaly are analyzed; the use of numerical integration for calculating the terrain effect is discussed. Because of the topographic-isostatic reduction and the use of surface density information smooth gravity anomalies with small amplitudes are received. Thereby a modification of the classical astrogravimetric leveling becomes possible, a minimal range ofthe an omalies does not cause worse interpolation results. In order to avoid edge effects the astrogeodetic deflections ofthe vertical have tobe extended beyond the original territory ofinterest. The numerical experiments were carried out in the Tyrolian Alps. Despite of the rough topography an accuracy of ± 1.8 mgal ( ms 2) for the interpolation of gravity anomalies and ± 0.4" for the deflection components is achieved. For the relative geoidal heights a standard error of ± 13 mm/10 km is obtained. Besonders bedanken möchte ich mich bei memem verehrten Lehrer, Herrn Prof Dr. K. Bretterbauer, fur seine Unterstützung und fur die wissenschaftliche Freiheit, die er mir stets gewährt hat. Herrn Doz. Dr. T. Wunderlich danke ich fur die Bereitschaft zur Übernahme des Koreferates und fur seine konstruktive Kritik. Dank gebührt auch meinem Kollegen Dr. R. Weber fur seine wertvollen Anregungen und Hinweise. Für die zur Verfugung gestellten Daten und die regen Diskussionen danke ich Herrn Dr. E. Erker, Herrn Dr. D. Ruess und Herrn Doz. Dr. B. Meurers. Meiner Braut Karin gewidmet

6 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1 2. Gravimetrische Geoidbestimmung Das Randwertproblem der physikalischen Geodäsie Die Integralgleichungfür das Geoid Die gravimetrische Lotabweichung nach Vening Meinesz Planare Approximation Astrogeodätische Geoidbestimmung Das globale geozentrische Koordinatensystem und das nationale 17 geodätische Referenzsystem 3.2 Die astrogeodätische Lotabweichung Auswirkungen der Datumstransformation Das astronomische Nivellement Flächenhafte Anwendung des astronomischen Nivellements Lagerung des relativen Geoides Astrogravimetrische Geoidbestimmung Grundprinz ip des astrogravimetrischen Nivellements nach 29 Molodenskii 4.2 Abwandlung des klassischen Modells Reduktion der Beobachtungen aufdas Geoid Topographische Reduktion Einfluß der Erdkrümmung und Konvergenz der Lotlinien Atmosphärische Schwerekorrektion Isostatische Reduktion Freiluftreduktion Der indirekte Effekt 49

7 Potential und Attraktion von Modellkörpern Potential undattraktion eines Festkörpers Numerische Integration im Nahbereich des Aufpunktes Unmittelbare Aufpunktsumgebung Übergang aufdas Geländemodell DerQuader Die Massenlinie Krummlinig begrenzte Massenkörper Annäherung des Tesseroides durch eine Massenlinie Die lokale Geoidstudie "Prutz in Tirol" Vorhandende Schwerefeld- und Geländeinformation Schweredaten Lotabweichungen Das digitale Dichtemodell Höhenmodelle Topographisch-isostatische Reduktion der Schwerefelddaten Interpolation von Schwereanomalien Der Vertikalgradient der Schwereanomalie Astrogravimetrische Lotabweichungsinterpolation Geoidberechnung Resümee 106 Anhang 108 Literaturverzeichnis 114 Lebenslauf 119

8 1. Einleitung Die Bestimmung der Figur der Erde ist die zentrale Aufgabenstellung der Geodäsie. Die Erdoberfläche ist mathematisch nicht geschlossen darstellbar, sie wird durch eine Anzahl von diskreten Punkten beschrieben. Die Oberfläche der Weltmeere zeigt einen ruhigen Verlauf und fällt näherungsweise mit einer Fläche konstanten Schwerepotentials zusammen. Diese Niveaufläche läßt sich gedanklich unter den Kontinenten fortsetzen und wurde von Gauß als mathematische Figur der Erde vorgeschlagen, Listing nannte sie Geoid. Lotabweichung Abbildung 1.1 Die Höhe eines Punktes über dem Meeresniveau wird traditionell vom Geoid weg gemessen. Daraus resultiert die herausragende Bedeutung des Geoides als Bezugsfläche fur die Höhenbestimmung. Da das Geoid teilweise innerhalb der Erdmassen verläuft, stellt es keine analytische Fläche dar und ist somit als Rechenfläche ungeeignet. Das Geoid läßt sich jedoch durch ein abgeplattetes Rotationsellipsoid approximieren (Abbildung 1.1). Wegen der einfachen Geometrie ist das Ellipsoid zur Beschreibung der gegenseitigen Lagebeziehungen von Punkten der Erdoberfläche hervorragend geeignet. Zur Bestimmung der Position von Punkten auf der Erdoberfläche sind geodätische Beobachtungen erforderlich. Der Großteil der Beobachtungsverfahren ist vom Erdschwerefeld beeinflußt und auf die natürliche Lotrichtung bezogen. Das lokale Schwerefeld kann somit als Bezugssystem der Beobachtungen interpretiert werden. Bevor geodätische Berechnungen auf dem Ellipsoid erfolgen können, müssen die Beobachtungen auf das Ellipsoid bzw. auf die Ellipsoidnormale (Abbildung 1.1) reduziert werden. Für diese Reduktion ist eine detaillierte Kenntnis des lokalen Schwerefeldes notwendig, ohne welcher die Transformation zwischen den Bezugssystemen nicht durchgefuhrt werden kann. Vemachläßigt man die Differenzen 1

9 zwischen dem modellhaften und dem realen Schwerefeld, so treten systematische Fehler auf, deren Beträge die erreichbaren Meßgenauigkeiten vielfach übersteigen. Besondere Bedeutung kommt dem Schwerefeld seit dem Platzgreifen der satellitengestützten Punktbestimmungsverfahren (GPS) in der Vermessungspraxis zu. Die hohe Genauigkeit der daraus abgeleiteten ellipsoidischen Höhenunterschiede kann erst bei bekannter Gestalt des Geoides vollständig genutzt werden. Die Kombination von traditionellen und satellitengestützten Meßverfahren erweist sich in wirtschaftlicher und fehlertheoretischer Hinsicht als optimal. Da GPS-Vektoren einen räumlichen Bezug vermitteln, liegt es nahe, der Auswertung ein gemeinsames, dreidimensionales Lage/Höhen-Modell zugrundezulegen. Eine Vernachlässigung des lokalen Schwerefeldes beeinträchtigt die Ergebnisse der Zusammenfuhrung heterogener Beobachtungsdaten nachhaltig. Die Größenordnung des Schwerefeldeinflusses bei der Reduktion terrestrischer Meßdaten bzw. Berechnung trigonometrischer Höhenunterschiede soll im folgenden veranschaulicht werden (Zeger, 1983). Eine V emachlässigung der Lotabweichung kann als ein operativer Stehachsfehler betrachtet werden und wirkt auf gemessene Richtungen und Zenitdistanzen. Mit dem Azimut der Visur a und den Komponenten der Lotabweichung ~, 17 erhält man fur die Korrektur der gemessenen Richtungen Rm und Zenitdistanzen zm R = 1\n - (~ sin a- rycosa) cot zm, [1.1] z = zm + e =zm + (~cosa + rysina). [1.2] Die Korrektur der Richtungen erreicht ihr Maximum, wenn die Visurebene mit der Ebene der Lotabweichung einen rechten Winkel einschließt. Die Zenitdistanzen werden maximal beeinflußt, wenn die Visurebene mit der Ebene der Lotabweichung zusammenfällt. Somit bleiben Richtungen unbeeinflußt, wenn die Korrektur der Zenitdistanzen maximal ist und umgekehrt, was auch der Anschauung entspricht. Die Streckenreduktion fur Distanzen bis 10 km erfolgt nach (Benz-Rinner, 1966, S 540) : s= [1.3] 2 MI= ss cos z + ~~ (sin 2 z- kg sin z), s auf das Ellipsoid reduzierte Strecke in der Natur gemessene, meteorologisch-instrumentell und auf die Bodenpunkte reduzierte Schrägdistanz 2

10 ellipsoidische Höhe des Standpunktes ellipsoidischer Zielpunkt Höhenunterschied zwischen Stand und R Krümmungsradius Gaußscher Refraktionskoeffizient (0. 13) z auf die Bodenpunkte reduzierte Zenitdistanz Tabelle 1.1 läßt den beträchtlichen Einfluß der Lotabweichung erkennen. Bedenkt man, daß die Lotabweichung im Gebirge durchaus bis zu 30" betragen kann, so ist fur präzise Ingenieurvermessungen eine V emachlässigung sträflich. Modeme Distanzmeßgeräte weisen eine innere Meßgenauigkeit von ± (1 mm +1 ppm) auf; durch die Schwierigkeiten bei der Erfassung der Meteorologie entlang des Meßstrahles erreicht man eine äußere Genauigkeit von etwa ± 2-3 ppm im Gebirge. Um den Fehler der Reduktion auf einige mm zu beschränken, benötigt man die Lotabweichungen genauer als ± 1 ". Für die Reduktion der Strecken auf das Ellipsoid muß das relative Geoid nur näherungsweise gelagert werden. Fehler bis zu einer Größenordung von ± 1 m sind unbedenklich (Tabelle 1.2). Neben dem Schwerefeld beeinflußt auch die Refraktion die Zenitdistanzen wesentlich. Die Schätzung von Refraktionswinkeln gelingt bei höchstem Aufwand auf ± 1" (Wunderlich, 1985, S 176), in der Praxis muß mit einer Größenordnung von ± 2-5" gerechnet werden. Aus dem Fehlergesetz fur GPS-Vektoren ± (5 rnm + 1 ppm) erkennt man die Vorteile beim Einsatz in größeren Netzen. Bedenkt man, daß ein Fehler in der relativen Geoidundulation direkt in die abgeleitete orthometrische Höhe eingeht, so ist die Struktur des Geoides auf± 1-2 cm/10 km zu bestimmen. In dieser Arbeit wird versucht, die Feinstruktur des Geoides durch Kombination sämtlicher, beliebig verteilter Schwerefeldinformation zu erhalten. Als geeignetes Verfahren erweist sich eine modifizierte Form des astrogravimetrischen Nivellements nach Molodenskii. Dabei fallen die Lotabweichungen als Zwischenlösung an, wodurch im gesamten betrachteten Gebiet die Cogeoidlotabweichungen vorliegen. Der Forderung des praktisch tätigen Vermessungsingenieurs, die Geoidundulation und die Lotabweichung an jedem Punkt des Einsatzgebietes zu kennen, kann damit Rechnung getragen werden. 3

11 & ["] z [0] L1H [m] s [m] z [0] L1H [m] s [m] S 5 = 1000 m S 5 = 3000 m s 5 = 5000 m Tabelle 1. 1: Einfluß der Lotabweichung auf die Streckenreduktion und den trigonometrische Höhenunterschied, Hs=1500 m 4

12 mhs [m] ss = 1000 m ss = 3000 m ss = 5000 m z = 75 z = 80 z = 80 z= 85 z= 80 z = Tabelle 1.2 : Einfluß eines Fehlers in der ellipsoidischenhöhe des Standpunktes auf die Streckenreduktion, Hs=1500 m 5

13 2. Gravimetrische Geoidbestimmung 2.1 Das Randwertproblem der physikalischen Geodäsie Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie behandeln die Bestimmung harmonischer Funktionen als reelle Lösung der Laplaceschen Differentialgleichung, o 2 V o 2 V o 2 V.dV = = 0, ax oy az [2.1] wobei diese Funktionen vorgegebene Bedingungen auf einer geschlossenen Fläche zu erfiillen haben. Nach dem Satz von Stokes hat jede im Innenraum einer Niveaufläche mögliche Massenverteilung, welche die Niveaufläche ungeändert läßt, im gesamten Außenraum dieselbe Potentialfunktion. Die Existenz und Eindeutigkeit einer solchen Funktion folgt aus dem Prinzip von Dirichlet (Ledersteger, 1969, 48). Die Potentialtheorie kennt drei Randwertprobleme: Die erste Randwertaufgabe oder das Problem von Dirichlet: Dabei soll aus den auf einer das gesamte Quellgebiet umschließenden Fläche S (somit liegen alle Massen innerhalb von S) vorgegebenen Randwerten eine außerhalb von S harmonische Funktion V bestimmt werden. Die zweite Randwertaufgabe oder das Problem von Carl Neumann : Diese liegt vor, wenn eine außerhalb von S harmonische Funktion V ermittelt werden soll und aufs statt der Werte von V ihre ersten Ableitungen in Richtung der äußeren Normalen ov/on gegeben sind. Beim dritten Randwertproblem ist die außerhalb von S harmonische Funktion V zu bestimmen, wenn aufs der Ausdruck hv +k ov [2.2] on vorgegeben ist. Darin bezeichen h und k bekannte Ortsfunktionen aufs. Das Randwertproblem der physikalischen Geodäsie besteht in der Bestimmung der Figur der Erde aus gravimetrischen Messungen. Es handelt sich dabei ebenfalls um ein Randwertproblem, denn die Schwere wird an der Erdoberfläche gemessen. Der große Unterschied zu den Randwertaufgaben der Potentialtheorie besteht darin, daß die Fläche S unbekannt und gesucht ist. Durch gedankliche und rechnerische Verlagerung der Erdkruste kann das Geoid zum Rand der Erdmassen gemacht werden. Setzt man nun die Schwere in jedem Punkt dieses künstlichen Geoides als bekannt voraus, so kann die unbekannte Form dieses Geoides bestimmt werden. Die Lösung wird möglich, da es sich bei diesem regularisierten Geoid um eine Niveaufläche handelt. Durch Umformungen kann dieses Problem in ein drittes Randwertproblem der Potentialtheo-rie übergefuhrt werden. 6

14 2.2 Die Integralgleicllung für das Geoid Da sich sowohl außerhalb als auch innerhalb des Geoides S Massen befinden, läßt sich das Gravitationspotential der Erde in zwei Teile zerlegen : V; bezeichnet das Potential der innerhalb von S gelegenen Massen, Va das entsprechende Potential der äußeren Massen. V; ist außerhalb von S harmonisch, Va innerhalb. Wendet man nun die dritte Greensehe Identität auf V; fur einen Punkt P 0 aufs an, so erhält man (Moritz, 1965, S 10) v. =-IIJ[v._!_(~)-~ov;Jds [2.3] I,Po 27r s I on I I on ' worin I den Abstand zwischen P 0 und dem Oberflächenelement ds bezeichnet. Für Va ergibt sich ein negatives Vorzeichen, da die äußere Flächennormale in das Innere von S weist: V =-_I JJ [v..! (~) -! ova ] ds. [2.4] a, Po 27r s a on I I on Mit V=(V;+Va) folgt fur die Differenz (v;- Va) (V-V) =(V-2V) =-JJV- 1 [ o(i) ----ds. 1av] [2.5] I a Po a Po 27r s on I I on Das Fliehkraftpotential der Erde ist durch [2.6] Jx 2 +y 2 Abstand von der Rotationsachse der Erde w Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation gegeben. Der Laplaee Ausdruck fur l/j ergibt Die Anwendung der dritten Greensehen Identität auf l/j fur einen Punkt P 0 aufs liefert [2.7] w 2 (2 2) 1 [ o(i) Io(/)J w 2 dv -X +y =--ff (,/) ds--fff-. [2.8] 2 27r s on I I on 7r V I v bezeichnet das von S eingeschlossene Volumen, I ist der Abstand zwischen P 0 und dem Volumselement dv. Das Schwerepotential W ist.definiert durch 7

15 W = V+(}), [2.9] und somit gilt C0 2 ( 2 2) V -V a =w- 2V a -- X + y [2.10] 2 Durch Addition der Gleichungen [2.3], [2.4] und [2.8] folgt die mathematische Formulierung der gravimetrischen Bestimmung der Figur der Erde (Moritz, 1965, S 10), (W-2Va) =-1 ff[w~(~)-~ow]ds+m2(x2+y2)+m2 fffdv. [2. 11] Po 27! s on I I on 7f V I Betrachtet man Gleichung [2.11 ], so erkennt man, daß nur die Fläche S unbekannt ist und alle anderen Eingangsgrößen durch Messungen bestimmt werden können: Das Potential Va der äußeren Massen läßt sich aus Geländemodellen ableiten. Das Schwerepotential W kann bis auf eine additive Konstante durch geometrisches Nivellement verbunden mit Schweremessungen ermittelt werden. I, x, y und v sind durch S und die Meßpunkte festgelegt. Da es sich bei [2.11] um eine nichtlineare Integralgleichung handelt, kann sie nicht direkt gelöst werden, sondern muß zuerst durch das Einfuhren von Näherungswerten linearisiert werden. Das Schwerepotential W der Erde kann durch ein Normalpotential U und die gesuchte Geoidfläche S durch einen Bezugskörper I werden. Mit dem Störpotential T=W- U geht [2.5] über in (in der Praxis ein Niveauellipsoid) angenähert (T-2Va) =-ff 1 [ T-- o(1) --- 1oTJ di. [2. 12] Po 27! I on I I on Wegen der Kleinheit von T kann die Integration ohne Verlust der Genauigkeit über die bekannte Referenzfläche I durchgefuhrt werden. Mit der 'Differentialgleichung der physikalischen Geodäsie', folgt [r r], ot = o _ go + _1 o r [2. 13] on Yo on [2. 14] robezeichnet die Normalschwere am Niveauellipsoid, g 0 ist die Schwere am Geoid. 8

16 Addiert man Beziehung [2.4] und die Identität so erhält man 1 ff-1 oy V d.e = 1 JJ-! oy Va d.e [2. 15] 2;r }; ly0 on a 2;r }; l on r 0 ' [2.16] Setzt man weiters c ova oy Va g =go ' [2.17] on on r 0 so nimmt obige Gleichung folgende Gestalt an : Die Lösung _dieser Integralgleichung in sphärischer Approximation ist durch die Formel von Stokes gegeben: [2.19] Ligc ist die scheinbare Schwereanomalie, R bezeichnet den mittleren Erdradius, '1/ ist die sphärische Distanz zwischen dem Aufpunkt P 0 und dem Oberflächenelement der Einheitskugel da- und S( '1/) bezeichnet die Stokessehe Funktion 1 S('lf)= 6sin '1/ +1-5cOS'If-3COS'Ifln(sin '1/ +sin 2 '1/). [2.20] sin('l/ /2) Mit dem Theorem von Bruns r N e -!! [2.21] l'; 0 rqo folgt die Cogeoidundulation [2.22] 9

17 Die Substitution [2.17] kann physikalisch interpretiert werden : g 0 ist der Schwerewert am Geoid, den man durch Anwendung der Preyschen Reduktion erhält. Subtrahiert man die Anziehung der äußeren Massen -oval on, so erhält man jene Schwere am Geoid, die nach einer Verlagerung der äußeren Massen dort vorherrscht. ava g +-- [2. 17a] 0 on stellt somit die Bouguer-Schwere am Geoid dar, welche die Wirkung der topographischen Massen und die Freiluftreduktion enthält. Gleichung [2.22] kann formal als das Cogeoid der Bouguerschen Reduktion aufgefaßt werden, da Va von T subtrahiert wurde. Der Übergang auf das (natürliche) Geoid erfolgt durch Berücksichtigung des Gravitationspotentiales der äußeren Massen [2.23] In der hier skizzierten Lösung (Moritz, 1965) des Randwertproblems der physikalischen Geodäsie gibt es keinen sekundären indirekten Effekt. Dieser sekundäre indirekte Effekt resultiert nach (Jung, 1956, S 578) aus der Verlagerung der Massen zwischen Geoid und Cogeoid, wenn sich das Cogeoid unter dem Geoid befindet ~~r ~-S Geoid f-7-j sccogeoid Qo Abbildung 2.1 Moritz deutet die Beziehungen [2.22] und [2.23] wie folgt : Der Geoidpunkt P 0 wird durch Va lrqo nicht auf das Cogeoid verlagert, sondern der entsprechende Punkt am Q 0 Niveauellipsoid wird um diesen Abstand in die entgegengesetzte Richtung verschoben 10

18 (Abbildung 2.1). Demgemäß erfolgt die Schwereübertragung von 1: auf J:c mit dem theoretischen Freiluftgradienten -oylon des Bezugskörpers. Streng genommen wird dadurch das Ellipsoid 1: deformiert und in J:c übergefuhrt. Wegen der betragsmäßig geringen Verschiebung V 0 1yQo kann die Integration, die ja nun über J:c erfolgen müßte, ohne Genauigkeitsverlust auf dem Ellipsoid 1: durchgefuhrt werden. Da der indirekte Effekt die Geoidundulationen vielfach übersteigt, ist es naheliegend in [2.16] zusätzliche Massenverschiebungen wie z.b. die isosatische Kompensation einzufuhren. In diesem Fall ist dann jenes von diesen Massen hervorgerufene Potential V;so zu berücksichtigen, indem in [2.17] und [2.23] Va durch (Va- V;so) ersetzt wird. 2.3 Die gravimetrische Lotabweichung nach Vening Meinesz Die Formeln zur Berechnung der gravimetrischen Lotabweichung wurden von Vening Meinesz hergeleitet (Vening Meinesz, 1928). Abbildung 2.2 zeigt den Schnitt einer beliebigen Vertikalebene mit Geoid und Ellipsoid. Die Lotabweichung e ist der Winkel zwischen der Geoidnormalen und der Ellipsoidnormalen in P 0, &~ 0 ihre Komponente in der betrachteten Vertikalebene. Somit gilt (Heiskanen and Moritz, 1967,Sll2) [2.24] das negative Vorzeichen ist eine Übereinkunft. Lotlinie Ellipsoidnormale &c Po &c Po ds -dn Cogeoid ds ---.i j:. gellipsoid Abbildung 2.2 Wendet man [2.24] auf die Nord-Süd bzw. Ost-West Komponente der Lotabweichung an, so erhält man in sphärischer Näherung 11

19 [2.25a] cfnc onc c _ Po _ 1 Po '17Po - - dsa. - Rcosrp aa [2.25b] Da Ne durch das Integral von Stokes gegeben ist, muß diese Formel nach tjj bzw. 2 differenziert werden. Vollständig angeschrieben hat [2.22] folgende Gestalt, R 2". ".,2 N;Jrp,2)= J J L1gc(rp',2')S(If/)cosrp'drp'd2'. [2.22a] 4nr Qo 0 -;r/2 Die gestrichenen Größen beziehen sich auf das laufende Flächenelement, die ungestrichenen auf den Aufpunkt P 0. Das Integral hängt von tjj und 2 nur über S(lf/) ab, daher gibt die Differentiation unter dem Integralzeichen onc R 2ut2 os( ) Po - J J L1gc (rp', 2') lf/ cosrp' drp' da.'. [2.26] orp 4nyQo 0-;r/2 orp Einen entsprechenden Ausdruck erhält man fur oni t32. Die sphärische Distanz lf/ folgt aus coslj/ =sinrpsinrp'+cosrpcosrp'cos(a.'-2). [2.27] Differenzieren von [2.27] nach tjj bzw. 2 liefert 0 - sin lf/ lf/ =cosrp sin rp'- sin rp cosrp' cos(a.'- 2), [2.28a] orp 0 - sin lf/ lf/ =cosrp cosrp' sin(a.'- 2). [2.28b] t32 Führt man das Azimut a ein, so erhält man aus dem sphärischen Dreieck in Abbildung 2.3 folgende Beziehungen: sin lf/ cosa =cosrp sin rp' - sin rp cosrp' cos(a.'- 2), [2.29] sin lf/ sin a =cosrp' sin(a.'- 2). [2.30] Dies in obige Gleichungen eingesetzt ergibt 12

20 01/f 01/f. -= -cosa - =-coscpsma, [2.3la,b] ocp,!ja. und somit!js(i/f) ds(i!f) -~-'-=- cosa,!js(i/f) =- ds(i/f) coscpsina. [2.32a,b] ocp dw!ja. dllf Nordpol Abbildung 2.3 Substituiert man dies in [2.26] und berücksichtigt [2.25], so resultieren daraus die Lotabweichungskomponenten (Heiskanen andmoritz, 1967, S 113) 1 21f " '2 ds( ) 7]~(cp,2)= f f Ligc(cp',A.') 'II sinacoscp'dcp'da.'. [2.33b] o 4ny Qo 0 -;r/ 2 dl/f Dies sind die Formeln von Vening Meinesz, die man auch in den Polarkoordinaten 11f und a ausdrücken kann : [2.34a] [2.34a] 13

21 ds(ifl) = wird die Vening Meinesz-Funktion genannt. Die Beziehungen [2.34] können in der unmittelbaren Aufpunktsumgebung nicht direkt angewandt werden, da die Funktion von Vening Meinesz [2.35] fur 1f => 0 singulär wird. Für die Berechnung des Effektes der innersten Zone müssen die Gradienten 8L1g/8x und 8L1g/8y eingefuhrt werden Planare Approximation Ist die Ausdehnung des Anomaliefeldes gering ( lfl < 1 ), so lassen sich die Beziehungen [2.34] wesentlich vereinfachen und in Funktion ebener Koordinaten darstellen. Mit den ebenen Polarkoordinaten l, a gilt [2.36] [2.37] und die Stokessehe Funktion [2.20] vereinfacht sich bei Beschränkung auf das erste Glied zu S('") = 1 _ 3. 2R [2.38] "' - sin(lf/ I 2) - 1f1 - l Analog dazu erhält man unter Vernachlässigung der in Tabelle 2.1 (R=6379 km) angegebenen Fehler die planare Approximation der Vening Meinesz-Funktion ds(if/) = COS(If/ I 2) = _2. =-2R 2 [2.39] dlf/ 2sin 2 (1f1 I 2)- lf/ 2 - P ' und unter Berücksichtigung von [2.37] folgen die Formeln von Vening Meinesz fur die Ebene 1 JJ L1gc (l,a) dij cosa, [2.40a] 2rcy Qo f l 2 c 1 JJ L1gc(l,a). dij 17?. - 2 sma. [2.40b] o 2rcy Qo f [ Wie aus Tabelle 2.1 hervorgeht, ist der Fehler der Näherungsfunktion vemachläßigbar klein. Der relative Fehler nimmt zwar linear mit der Entfernung zu, der Beitrag entfernter Werte zur Lösung nimmt aber gleichzeitig quadratisch ab. 14

22 '1'0 l [km] ds/dlfl -2/vfl Fehler% Tabelle 2.1 : Fehler der Näherungsfunktion -2/vfl Für die praktische Berechnung der gravimetrischen Lotabweichung werden die Beziehungen [2.40] zu Summen umgeformt und als Funktion rechtwinkeliger ebener Koordinaten dargestellt. Anstelle der Differentiale verwendet man hinreichend kleine Flächenelemente, in denen L1gc als konstant angenommen werden kann. Mit findet man x =lcosa y=lsina [2.41] j:c 1 ~~{ cff X dxdy} [2.42a] ':>P0 - k..k.. L1g(i ( 2 )3/2 ' 2 Jl'Y Qo r= l pl fij X 2 +y [2.42b] Die Variation der ebenen Vening Meinesz Funktion innerhalb dieser Kompartimente wird durch die Integration berücksichtigt und [2.42] geht über in J:C =- 1 ~~ An-~ lln ~ x: + YLJ + Yi-J +ln ~,..--x~- --~-+-Y-; 2 + Y; ] [2.43a] ':>Po 2 ~L:-'-'151) I 2 2 I 2 2 ' 7l'Y Q 0 '- 1 J- 1 -yx 1 + Y; + Y; -yxf-1 + Yi-1 + Y;-J 15

23 1 m n [ ~x 2 1 +y 2 +X 1 ~x 2 +y\+x ] c = "" A"~ In J- ' J- +In J - J. TJ [2.43b] Po 2 L:: L.:: L.J{5 I) o/ Qo -I J- 1 ~xj + Y; + Xj ~xj-j + Yi-J + xj-j Variiert man die Rasterweite der endlichen Flächenelemente in Abhängigkeit des Abstandes vom Aufpunkt, so kann ohne Verlust der Genauigkeit die ebene Vening Meinesz Funktion innerhalb der einzelnen Flächenelemente als konstant angesehen werden: [2.44a] c = - 1 ~~Li c,d.f yij [2.44b] T/po L..d.- ~if Yij (- 2 _ 2 )3/2 2 1o/ Qo =I J=l X. +Y I) I) Darin bezeichnen xif,yif die Schwerpunktskoordinaten und Li_hf den Flächeninhalt des jeweiligen Kompartiments. Die aus [2.44] erhaltenen Komponenten der gravimetrischen Lotabweichung sind auf das ebene Gitternetz bezogen und nicht mehr, wie [2.34], auf Meridian und Parallel. Aus den Gleichungen [2.38] und [2.39] geht hervor, daß Anomalien umgekehrt proportional zum Abstand vom Aufpunkt in die Formel von Stokes eingehen, während ihr Einfluß auf die gravimetrische Lotabweichung mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt. Die Tatsache, daß der Beitrag entfernter Anomalien fur die Berechnung der gravimetrischen Lotabweichung rascher abnimmt als fur die Berechnung der Undulation, ermöglicht die Anwendung auf räumlich sehr begrenzte Datenfelder. (Rice, 1952) hat im Südosten der USA eine umfassende Untersuchung der Genauigkeit gravimetrischer Lotabweichungen bei Berechnung aus beschränkten Einzugsgebieten durchgefuhrt. In dieser Arbeit werden gravimetrische Lotabweichungen aus Kondensationsanomalien berechnet und reduzierten astrogeodätischen Lotabweichungen gegenübergestellt. Dabei zeigt sich, daß in den meisten Fällen ein Einzugsgebiet von km ausreichend ist. Bei einigen wenigen Punkten ist die Wirkung der äußeren Zonen ( km) erheblich, verursacht durch systematische positive oder negative Anomalien (z.b. Golf von Mexiko) in diesen Gebieten. Unter Beschränkung der Schweredaten auf ein Gebiet mit 150 km Ausdehnung erhielt Rice durchschnittliche Differenzen gegenüber den astrogeodätischen Lotabweichungen von weniger als einer Bogensekunde. Die in der Studie auftretenden größeren Differenzen resultieren aus den systematischen Fehlern der astronomischen Längenbestimmung in den verwendeten Stationen. 16

24 3. Astrogeodätische Geoidbestimmung Im vorigen Abschnitt wurden zur Bestimmung der Figur der Erde Schweremessungen, also Beträge des Erdschwerevektors herangezogen. Die Meßmethoden der geodätischen Astronomie gestatten die F estlegung der Richtung des natürlichen Lotes und in weiterer Folge die Berechnung des relativen Geoides. Die geodätische Astronomie liefert durch Beobachtung von Gestirnen die astronomische Breite und Länge bezogen auf das globale geozentrische Koordinatensystem. 3.1 Das globale geozentrische Koordinatensystem und das nationale geodätische Referenzsystem Der Ursprung eines globalen erdfesten terrestrischen Bezugssystems ist der physikalisch definierte Massenschwerpunkt der Erde. Die Z-Achse fällt mit einer zeitunabhängigen mittleren Rotationsachse der Erde zusammen, die durch die Mittellage des Poles in den Jahren 1900 bis 1905 (bis vor kurzem als Convential International Origin (CIO) bezeichnet, nunmehr näherungsweise mit dem Conventional Terrestrial Pole (CTP) ident) definiert ist. Die X-Achse schließt mit der Z-Achse einen rechten Winkel ein und liegt in der Ebene des Nullmeridians der vom Bureau International de l'heure angenommenen Längen. Die.XZ-Ebene ist somit eine Parallelebene der mittleren astronomischen Meridianebene von Greenwich durch das Geozentrum. Die Realisierung dieses Conventional Terrestrial System (CTS) wird als Conventional Terrestrial Reference Frame (CTRF) bezeichnet und ist durch weltweit verteilte Observatorien definiert. Die Y-Achse vervollständigt das System zu einem kartesischen Rechtssystem (Abbildung 3.1). Die astronomische Meridianebene ist jene Ebene durch den Oberflächenpunkt P, welche durch die Lotrichtung und eine Parallele zur Z-Achse aufgespannt wird. Da die Lotrichtung meist windschief zur Z-Achse ist, enthält die astronomische Meridianebene im allgemeinen nicht den Ursprung des Koordinatensystems. Die astronomische Länge A. ist der Winkel, den die Meridianebene durch P mit der mittleren Meridianebene durch Greenwich einschließt. Die astronomische Breite fjj ist definiert als Winkel zwischen der Lotrichtung in P und der Äquatorebene, gemessen in der Meridianebene (Abbildung 3.1). Die Beobachtungsverfahren der geodätischen Astronomie ergeben somit die Lotrichtung in Bezug auf das CTS. Wie bereits in der Einleitung erwähnt, wird das Geoid durch ein Rotationsellipsoid, das mittlere Erdellipsoid, angenähert. Das mittlere Erdellipsoid kann mit einem theoretischen Schwerefeld als Näherung fur das reale Schwerefeld des Erdkörpers ausgestattet werden und wird dann als Niveauellipsoid bezeichnet. Es dient als Bezugsfläche fur geometrische und physikalische Problemstellungen und ist durch vier Konstanten 17

25 a GM J 2 (JJ Äquatorialradius der Erde geozentrische Gravitationskonstante dynamische Abplattung Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation vollständig definiert. Gegenwärtig wird die Größe, die Gestalt und das Schwerefeld der Erde durch das Geodetic Reference System 1980 (GRS80) bestmöglich angenähert. Die numerischen Werte der definierenden Konstanten können bei (Moritz, 1992) nachgelesen werden. Der Ursprung des GRS80 ist der Schwerpunkt der Erde, die kleine Halbachse fällt mit der Z-Achse zusammen und die ellipsoidischen Längen werden vom oben definierten Nullmeridian gezählt. Der International Earth Rotation Service (IERS) empfiehlt, bei einer Realisierung des CTS die Parameter des GRS80 zu verwenden. Eine ausführliche Darstellung der gegenwärtigen Theorien zur Definition von erdrelevanten Koordinatensystemen findet man bei (Moritz andmueller, 1987). z Abbildung 3. 1 Das oben beschriebene globale System unterscheidet sich von den nationalen Referenzsystemem. Jedes Land wählt ein passendes Ellipsoid und lagert es derart in bezug auf den Erdkörper, daß es das Vermessungsgebiet möglichst gut repräsentiert. Somit stellt es auch eine 18

26 gute Näherung fur das Geoid dar. Die Lagerung und Orientierung ist durch die Koordinaten der Festpunkte implizit festgelegt. Durch vorhandene systematische und zufallige Fehler bei der Bestimmung des Fundamentalpunktes und des Ausgangsazimutes sind die X'Y'Z '-Achsen der terrestrischen geodätischen Koordinatensysteme gegenüber den XYZ-Achsen des CTS leicht verschwenkt. Der Maßstab einer nationalen Triangulation wird aus einer Basismessung gewonnen und unterscheidet sich daher ebenfalls von der Längeneinheit des globalen geozentrischen Systems. Die räumliche Lage eines Punktes ist bei vorgegebenen Ellipsoiddimensionen durch die Angabe der ellipsoidischen (auch geodätischen) Breite B, der ellipsoidischen Länge L und der ellipsoidischen Höhe H eindeutig festgelegt. Die Breite B ist definiert als der Winkel zwischen der Ellipsoidnormale und der X'Y'-Ebene, die LängeList der Winkel zwischen X'-Achse und der Projektion der Ellipsoidnormale auf die X'Y'-Ebene und die Höhe H ist der Abstand zwischen einem Raumpunkt und dem Lotfußpunkt am Ellipsoid. Da es sich sowohl beim geozentrischen Koordinatensystem als auch beim nationalen Referenzsystem um dreidimensionale orthonormierte Systeme handelt, können die entsprechenden Koordinaten einander zugeordnet werde. Mit den Drehwinkeln lvx, lvn m 2 um die X', Y' und Z '-Achse erhält man aus der Verknüpfung von drei Einzeldrehungen um die drei mitgefiihrten Achsen, drei Verschiebungen und einem Maßstabsfaktor die räumliche 7 Parametertransformation, auch Helmerttransformation genannt : [:] =[~]+(l+m)[-~z -ajy'] lvx [~'] Z CTS öz lvy -mx 1 Z' y [3.1] Da es sich bei den Verdrehungen der Achsen stets um kleine Winkel handelt, wurde die Rotationsmatrix unter Beschränkung auf Glieder erster Ordnung linearisiert. Die sieben Unbekannten in [3.1] sind im Sinne lokales System => globales System einzufiihren. 3.2 Die astrogeodätische Lotabweichung Projiziert man einen Oberflächenpunkt P entlang der gekrümmten Lotlinie auf das Geoid, so erhält man den Geoidpunkt P 0 (Abbildung 3.2). Der Abstand zwischen P und P 0, gemessen entlang der gekrümmten Lotlinie, ist die orthometrische Höhe h. Da Berechnungen auf dem Ellipsoid durchgefuhrt werden, wird der Geoidpunkt P 0 entlang der geradlinigen Ellipsoidnormalen auf das Ellipsoid projiziert und geht in den Punkt Q 0 über. Diese Doppelprojektion geht aufpizzetti zurück, die Lotabweichung nach Pizzetti & 0 tritt im Geoidpunkt auf (Abb 3.2). Einfacher ist es, den Punkt P direkt von der Geländeoberfläche entlang der Ellipsoidnormalen auf das Ellipsoid zu projizieren. Der so erhaltene Abstand PQ=H ist die im vorigen Abschnitt definierte ellipsoidische Höhe. Diese Projektion ist die Helmertsche 19

27 Projektion, dabei wird der Ellipsoidnormalen die natürliche Lotrichtung im Oberflächenpunkt gegenübergestellt (Ledersteger, 1969, S 7). Die Differenz der beiden Lotabweichungen ist der Betrag der Lotkrümmung 0. Der Unterschied der beiden Projektionen ist gering, der Abstand QQ 0 :HE beträgt höchstens einige Dezimeter. natürliche Lotlinie 1 Ellipsoidnormale GeoidW=Wo Afeeresobe~äche Yo Abbildung 3.2 Nun läßt sich die astrogeodätische Lotabweichung im Sinne der Helmertschen Projektion angeben. Für einen Oberflächenpunkt mit den aus einem geodätischen Punktbestimmungsverfahren (GPS, Triangulierung) bekannten Größen B, L und den astronomisch ermittelten Werten rp, A. erhält man die meridionale und longitudinale Komponente der Lotabweichung aus ~=rp-b, [3.2a] 17 =(A.- L)cosB, [3.2b] [3.2c] Die Anwendung dieser Formeln liefert die Komponenten der Lotabweichung bzw. die Lotabweichung selbst in Bezug auf das verwendete Referenzellipsoid. Sind die Lotabweichungen auf ein beliebiges nationales Referenzellipsoid bezogen, so spricht man von 20

28 relativen Lotabweichungen, auf das mittlere Erdellipsoid bezogen, heißen sie absolute Lotabweichungen. Die Ausdrücke [3.2] gelten nur unter der Voraussetzung, daß die Achsen des nationalen geodätischen Referenzsystems parallel zu jenen des CTS sind. Ansonsten muß der Erdschwerevektor zuvor vom globalen geozentrischen System in das nationale Referenzsystem übergefuhrt und somit auf dessen Achsen bezogen werden. Analytisch kann dies durch die Addition von Korrekturtermen in Funktion der Drehwinkel geschehen (Heck, 1987, S 53), (Torge, 1980), ; = (tp - B) + mx sin L - mr cos L, [3.3a] 17 =( L)cosB- (m x cosl +mr. sinl)sinb +m z cosb. [3.3b] Die Drehwinkel sind im Sinne lokales System => globales System einzufuhren, siehe [3.1]. Eine Vernachlässigung der Zusatzterme in [3.3] fuhrt zu einer systematischen Verschwenkung des Geoides. Die Korrekturen erreichen durchaus die Größenordnung von einigen Zehntel Bogensekunden (siehe Kapitel 7). Die Komponenten der Lotabweichung sind auf Meridian und Parallel bezogen, weiterfuhrende Berechnungen finden aber meist in einer Projektion statt, z.b. in der Gauß-Krüger Projektion (Meridianstreifenabbildung). Die Lotabweichungen müssen dann zufolge der Meridiankonvergenz rauf das Gitternetz bezogen werden : ; X = ; COS r + 17 sin r, [3.4a] 17y =-;siny + 17cosr. [3.4b] Bei 3 breiten Streifen ergibt sich die Meridiankonvergenz in B=48, L1L=l.5 zum Mittelmeridian zu r =1.1 o, der Einfluß auf die Lotabweichung beträgt daher fur ;= 17= 15" rund 0.3" Auswirkungen der Datumstransformation Die im Zuge von Ingenieurprojekten realisierten geodätischen Netze werden stets an em übergeordnetes Koordinatensystem (z.b. Landessystem) angebunden. Die Spannungen dieses Systems sind in der Regel wesentlich größer als die Meßfehler des eingesetzten Instrumentariums. Die freie Ausgleichung gestattet es, die Ergebnisse ohne Beeinträchtigung der inneren Netzgeometrie in das übergeordnete System einzubinden (Killian et. al, 1969). Durch die Wahl der Drehwinkel in [3. 3] ist der Übergang vom geozentrischen System in das nationale geodätische Referenzsystem festgelegt. Daher sollten die Drehwinkel durch die in der freien Ausgleichung verwendeten Datumspunkte gut repräsentiert werden. Um die 21

29 Auswirkung lokaler Inhomogenitäten zu vermeiden, ist die Anwendung emes regionalen Parametersatzes zu empfehlen. K.laffungen in der Größenordnung von einigen dm sind fur die Berechnung der Lotabweichung unbedenklich (z.b. eine K.laffimg von 0.3 m in meridionaler Richtung entspricht etwa 0.01" in der Breite). Die Drehwinkel bestimmen die Orientierung der Achsen des nationalen Referenzsystems in bezugauf das CTS. Werden im Zuge eines Ingenieurprojektes GPS-Messungen durchgefuhrt, so sind die erhaltenen Vektoren und die astronomischen Koordinaten mit denselben Drehwinkeln zu transformieren. Die Zusatzterme in [3.3] beschreiben die Transformation der astronomischen Koordinaten und damit des Schwerevektors. Als Ergebnis liegen dann beobachtete Koordinatendifferenzen im nationalen System vor. Zur Lagerung des frei ausgeglichenen Ingenieurnetzes verbleiben drei Verschiebungen entlang der Koordinatenachsen, die räumliche Orientierung bleibt unverändert. Im Gegensatz dazu entnimmt (Niemeier, 1987, 1992} die in den Beobachtungen enthaltene Datumsinformation und gleicht mit maximalen Rangdefekt (d=7 fur ein Raumnetz) aus. Bei Verwendung terrestrischer Meßdaten gehen die Drehwinkel (da sie die Lotabweichungen beeinflussen) bei der Reduktion auf die Ellipsoidnormale ein. Werden Richtungen, Zenitdistanzen und Strecken gemessen, so verbleiben drei Verschiebungen und eine Drehung (entspricht der Orientierungsunbekannten der Richtungen) als Datumsdefekt, über die im Zuge der Ränderung verfugt wird. Eine Verkippung des Netzes findet nicht statt. Möchte man fur Katasterzwecke eine möglichst gute Anpassung des Netzes an die staatlichen Festpunkte erreichen, so können die Drehwinkel aus den Beobachtungen abgeleitet werden. Mit diesen Drehwinkeln ist dann das vorhandene Geoid zu transformieren und die Berechnung erneut durchzufuhren. Aus obigen Ausfuhrungen erkennt man, daß das Datum des Geoides unmittelbar mit dem Datum des Ingenieurnetzes verknüpft ist, denn die Drehwinkel beinflussen Geoid und Meßgrößen gleichermaßen. 3.3 Das astronomische Nivellement Diese auf Helmert zurückgehende Methode der Geoidbestimmung gestattet Detailuntersuchungen des Geoides in Bezug auf ein beliebiges Referenzellipsoid in allgemeiner Lage. Grundlage ist die Integration von Geoidhöhendifferenzen entlang eines Profiles aus relativen Lotabweichungen. Aus; und 17 [3.4] erhält man die in einer Profilebene liegende Komponente e der Lotabweichung, e = ; cos a + 17 sin a. [3.5] a bezeichnet das Azimut der Profilebene. Für die Erhebung des Geoides über das Ellipsoid wird aber der entsprechende Winkel e 0 im Geoidpunkt benötigt. Diesen erhält man aus der 22

30 Oberflächenlotabweichung durch Berücksichtigung der Lotkrümmung, die in enger Beziehung zur orthometrischen Korrektur des geometrischen Nivellements steht (Ledersteger, 1969, S 172). Die Geoidhöhendifferenz folgt dann aus t1n 12 =N 2 -N 1 =-J eds+ J(6-6 0 ) ds= -J 6 0 ds. [3.6] Eine strenge Berechnung der Lotkrümmung ist nur hypothetisch möglich, da sie vom Verlauf der Schwere entlang der Lotlinie zwischen Oberfläche und Geoid abhängt. Die Lotkrümmung läßt sich nach (Elmiger, 1969, Kap. 2.4, 2.5) in drei Schritten näherungsweise bestimmen : 1. Die oberhalb des Geoides befindlichen topographischen Massen werden rechnerisch entfernt oder verlagert. 2. Nun erfolgt der Übergang vom Oberflächenpunkt auf das Geoid. Dabei ist zu beachten, daß die Lotlinie im massenfreien Raum auch im regularisierten Zustand nicht geradlinig verläuft. Die unbekannte Lotlinienkrümmung der regularisierten Erde wird durch die Krümmung der Lotlinie des Niveauellipsoides ersetzt. Diese Korrektur wird auch als 'normale Änderung der theoretischen Lotrichtung in freier Luft ' bezeichnet und tritt infolge der Rotationssymmetrie der Normalfigur nur in Breite auf 3. Die unter 1) entfernten Massen werden wieder aufgesetzt. Die Lotkrümmung entspricht also in erster Näherung der Differenz zwischen der aus Massen berechneten Lotabweichung im Oberflächenpunkt und jener im entsprechenden Geoidpunkt. Da die Kurve der Geoidlotabweichung im Gebirge bewegt verläuft, sind gut ausgewählte Zwischenpunkte zu interpolieren : Die Extremwerte der Lotabweichung treten bei einem quer zur Streichungsrichtung eines Gebirgszuges verlaufenden Geoidprofil in der unteren Hälfte der Gebirgshänge auf (Helmert, 1884, 4. Kap. 12). Die Oberflächenlotabweichungen sind durch den hochfrequenten Einfluß der Topographie voneinander weitgehend unabhängig und somit fur eine Interpolation ungeeignet. Eine Interpolation der Geoidlotabweichung ist prinzipiell möglich, doch da das Geoid topographische Oberflächenformen widerspiegelt, ist der Verlauf immer noch unruhig. Führt man die bei der näherungsweisen Berechnung der Lotkrümmung angefuhrten Schritte 1) und 2) durch, so erhält man Cogeoidlotabweichungen, auch reduzierte Lotabweichungen genannt. Diese zeigen einen ruhigen Verlauf und eine gegenseitige Abhängigkeit, die sich als Funktion des Ortes darstellen läßt. Die so erhaltenen reduzierten Lotabweichungen sind ident mit jenen aus den Formeln von Vening Meinesz [2.34], wenn die selbe Bezugsfläche verwendet wird (z.b. mittleres Erdellipsoid) und Schwerewerte und Lotabweichungen nach dem gleichen Verfahren reduziert werden. Da die reduzierten Lotlinien Flächennormalen des Cogeoides sind, ergibt das Helmertsche Wegintegral [3. 6] die Erhebung des Cogeoides über das Ellipsoid (bei strenger Interpretation 23

31 nicht ganz korrekt, siehe Kapitel 2.2). Mit dem 3. Schritt der Lotkrümmungsberechnung, bei dem nun anstatt der Attraktion das Potential der äußeren Massen zu bestimmen ist, erfolgt durch Einsetzen in das Theorem von Bruns [2.23] der Übergang vom Cogeoid auf das Geoid Flächenhafte Anwendung des astronomischen Nivellements Die Anwendung von [3.6] aufprofilein verschiedenen Richtungen ermöglicht eine flächenhafte Darstellung des (Co)Geoides. Durch Interpolation läßt sich ein regelmäßiges Raster von Cogeoidlotabweichungen erzeugen. Der Interpolationsalgorithmus muß beliebig verteilte Eingangsdaten zulassen, da Lotabweichungen oft sehr unregelmäßig verteilt und mit unterschiedlicher Datendichte auftreten (siehe Kapitel 7). Eine fur diesen Zweck bestens geeignete Methode ist die multiquadratische Interpolation nach Hardy (siehe Anhang A). Hat man aus den beobachteten und anschließend auf das Cogeoid reduzierten Lotabweichungen ein engmaschiges Raster interpoliert, so kann die Funktionskurve dieser Lotabweichungen zwischen zwei Rasterpunkten durch die Sehne ersetzt werden und man erhält [3.7] Führt man Interpolation und Summation in der Projektion durch, so gilt in diesem Gitterraster [3.8a] [3.8b] RW ist die Rasterweite in x- bzw. y-richtung. Die gitterfönnig angeordneten Profillinien ergeben ein Höhennetz, in dem die aus Beziehung [3.8] erhaltenen Undulationsdifferenzen die Beobachtungen darstellen. Die auf einen willkürlichen Ausgangspunkt bezogenen Cogeoidhöhen der Rasterpunkte stellen die Unbekannten dar. Da mehr als zur eindeutigen Bestimmung notwendige Beobachtungen vorhanden sind, liegt ein Ausgleichungsproblem vor, das z.b. nach vennittelten Beobachtungen gelöst werden kann. Aus den bereits linearen Beobachtungsgleichungen [3.9] folgen die umgeformten Verbesserungsgleichungen [3.10] 24

32 cjnc ist der Zuschlag zu den Näherungen der Geoidhöhen N c. In Matrizenschreibweise hat Gleichung [3.1 0] folgende Gestalt: v=ax-1. [3.11] Nach der Methode der kleinsten Quadrate ergibt sich die Normalgleichungsmatrix zu N=A 1 A. [3.12] Da die Rasterweite konstant ist und die verwendeten Cogeoidlotabweichungen als gleich genau angesehen werden können, tritt in [3.12] keine Gewichtsmatrix auf Die vorhandenen mathematischen Korrelationen der Geoidhöhendifferenzen haben keinen merkbaren Einfluß auf das Resultat (Gurtner, 1978, S 89) und bleiben somit unberücksichtigt. Werden alle Rasterhöhen als Unbekannte eingefuhrt, so ist die Normalgleichungsmatrix mit Rangdefekt d=1 singulär. In diesem Fall bleibt dann eine dem Rangdefizit von A bzw N entsprechende Anzahl von Unbekannten unbestimmt, wenn keine Zusatzverfugungen bezüglich der Lagerung des Netzes getroffen werden. Dies folgt aus der Tatsache, daß die vorhandenen Beobachtungen nur die innere Geometrie des Netzes festlegen, nicht jedoch seine Beziehung zum übergeordneten Koordinatenrahmen. Die gesuchten Unbekannten lassen sich mit Hilfe der erweiterten Matrizenalgebra, z.b. mit der Bjerhammerschen Normalinversen (Mittermayer, 1971), berechnen: [3.13] Q =N(NN)- 1 N(NN)- 1 N. [3.14] Für den eindeutigen Lösungsvektor gilt x 1 x =Minimum. Die zugehörige Korrelationsmatrix Q [3.14] hat minimale Spur und wird stochastische Ringinverse von N genannt. Somit liegt das relative Cogeoid flächenhaft vor und kann durch Anwendung des Theorems von Bruns in das relative Geoid übergefuhrt werden. 3.4 Lagerung des relativen Geoides Das durch astronomisches Flächennivellement erhaltene relative Geoid muß noch in Bezug auf das Referenzellipsoid gelagert werden. Der im obigen Abschnitt beschriebene Rangdefekt ist die unbekannte vertikale Lagerung des gesamten relativen Geoides. Da diese Arbeit die hochauflösende Geoidbestimmung fur Ingenieurprojekte behandelt, ist eine absolute Lagerung nur näherungsweise fur die Reduktion von Beobachtungsgrößen notwendig. Aus Abbildung 3.2 entnimmt man die fundamentale Beziehung H = h+n. [3.15] 25

33 Kennt man in einem Punkt sowohl die ellipsoidische als auch die orthometrische Höhe, so ist die absolute Geoidundulation bekannt und das relative Geoid kann an diesen Punkt angehängt werden. Die orthometrische Höhe h erhält man aus der Potentialdifferenz eines Punktes gegenüber dem Geoid, der sogenannten geopotentiellen Kote (Bretterbauer, 1986). Diese entsteht durch geometrisches Nivellement verbunden mit Schweremessungen. [3. 16] [3.17] g ist der integrale Mittelwert der Schwere entlang der Lotlinie. Die Bestimmung von g ist nur mit hypothetischen Annahmen über den Dichteverlauf in der Erdkruste möglich. Der Einfluß eines Dichtefehlers auf die orthometrische Höhe wächst mit dem Quadrat der Höhe (siehe Tabelle 3.1). Dichtefehler Höhe [m] [gcm 3] Tabelle 3. 1 : Höhenfehler [ mm] infolge Dichtefehler Modeme Methoden gestatten durch die Berücksichtigung heterogener Schwerefelddaten, in denen lokale Dichtestörungen zum Ausdruck kommen, dennoch eine hinreichend genaue Bestimmung von g {Sünkel, 1986). Die ellipsoidische Höhe eines Punktes erhält man heute am einfachsten und genauesten aus GPS-Messungen. Die Ergebnisse einer satellitengestützten Punktbestimmung müssen in das verwendete nationale Koordinatensystem übergefuhrt [3.1] und auf das entsprechende 26

34 Ellipsoid bezogen werden. Gleichung [3.15] liefert dann die Geoidundulation im betrachteten Punkt. Es sei noch darauf hingewiesen, daß die in den einzelnen nationalen Vermessungssystemen verwendeten orthometrischen Höhen unterschiedliche Niveauflächen als Bezug haben. Das Datum dieser nationalen Höhenfestpunktfelder ist jeweils durch die Höhe eines Fundamentalpunktes gegeben und wird durch durch Pegelbeobachtungen an Meeresküsten abgeleitet. Aufgrund systematischer Effekte beziehen sich die an verschiedenen Küsten bestimmten lokalen Mittelwasser nicht auf eine einheitliche Niveaufläche (Abbildung 3. 3). Bedeutend wird dieser Umstand bei länderübergreifenden Ingenieurprojekten, wie z.b. beim EurotunneL Die Abweichung der mittleren Meeresoberfläche vom Geoid beträgt als Folge der Meeresflächentopographie 1-2 m. Die Ozeanographie verfugt über verschiedene Methoden zur Bestimmung der quasi-stationären Meeresflächentopographie aus Altimeterdaten und ozeanegraphischen Daten (Salzgehalt, Temperatur, Strömungen,...). - - (/ Geoid W=Wo Niveaufläche W=~ :nationale ;Grenze Abbildung 3.3 Durch Pegelübergänge wird versucht, das Höhendatum verschiedener Nationen zu vereinheitlichen, in West-Europa ist dieses einheitliche Höhendatum der Normaal Amsterdams Peil (NAP). Nach Lisitzin (Torge, 1991, S 231) liegt der NAP ungefähr 0.5 munter dem Geoid. Durch die Globalisierung wissenschaftlicher Fragestellungen ist ein einheitliches 27

35 Welthöhendatum mit emer Genauigkeit von ± 10 cm notwendig geworden. Zukünftige Altimetermissionen lassen dieses Ziel realistisch erscheinen. Für weitere Ausfuhrungen diesen Problemkreis betreffend muß auf die Literatur verwiesen werden (Brennecke at. al., 1982), (Graten, 1982), (Heck, 1989), (Mather, 1978), (Rizos, 1982), (Waalewijn, 1986). 28

36 4. Astrogravimetrische Geoidbestimmung Die in den vorangegangenen beiden Hauptabschnitten beschriebenen Verfahren zur Bestimmung der Lotabweichung bzw. in weiterer Folge der Geoidundulation berücksichtigen nur homogene Schwerefelddaten. Eine Kombinationsmethode mit Verarbeitung heterogener Daten hat Molodenskii in den Dreißigeijahren dieses Jahrhunderts abgeleitet und als astrogravimetrisches Nivellement bezeichnet. 4.1 Grundprinzip des astrogravimetrischen Nivellements nach Molodenskii Das Grundprinzip des astrogravimetrischen Nivellements besteht in der Berücksichtigung von Schwereanomalien zur Interpolation astrogeodätischer Lotabweichungen. Da sich der Einfluß entfernter Anomaliegebiete auf die gravimetrische Lotabweichung fur Aufpunkte mit geringem gegenseitigen Abstand sehr regelmäßig ändert, kann dieser gut interpoliert werden. Somit verfalschen entfernte vernachläßigte Anomalien die Ergebnisse im Kerngebiet nicht (Molodenskii, 1958, S 84), (Molodenskii et al., 1962, Kap. VI, 2). Zum Unterschied von jener, in der zitierten Literatur dargelegten Ableitung sind die im folgenden angefuhrten Daten als auf das Cogeoid reduziert anzunehmen. Die astrogeodätische Lotabweichung sei fur eine Anzahl von Punkten innerhalb des Kerngebietes a gegeben. Die Umrandung von a entsteht durch das von den äußersten Datenpunkten gebildete Polygon (Abbildung 4.1). Weiters wird die gesamte Erdoberfläche in zwei Teilflächen zerlegt (Abbildung 4.1), und zwar 1. in eine Region I, innerhalb derer die Schwereanomalie flächendeckend bekannt ist, und 2. in eine Region I'~ die den Rest der Erdoberfläche umfaßt. Konsequenterweise sei angemerkt, daß das Kerngebiet a zur Gänze innerhalb von.e liegen muß. Weiters muß vorausgesetzt werden, daß die Lotabweichungen und Schwereanomalien auf das selbe Referenzsystem bezogen sind (siehe [3.3]), sodaß theoretisch gilt : [4. 1a] c c 7la = 7lg' [4. 1b] Der Index a bezeichnet die astrogeodätisch erhaltenen Komponenten, der Index g jene der gravimetrischen Lösung [2.34]. 29

37 Die gravimetrische Lotabweichung in einem Punkt kann in zwei Teilbeträge zerlegt werde, in den Beitrag der Region I (bekannte Anomalie) zur Lösung [2.26] und jenen der Region I' (unbekannte Anomalie) : [4.2a] [4.2b] Dies in [ 4. 1] eingesetzt liefert [4.3a] [4.3b] Die linke Seite von [ 4.3] ist in den Punkten mit gegebener astrogeodätischer Lotabweichung (Stützpunkten) bestimmt und stellt das Restfeld dar. Dieses Restfeld zeigt einen ruhigen Verlauf und ermöglicht die Interpolation fur jeden innerhalb von a gelegenen Punkt, wodurch die linke Seite von [4.3] fur das gesamte Kerngebiet als bekannt angenommen werden kann. Abbildung 4. 1 Wird die Interpolation wieder in der Ebene durchgefuhrt, so lassen sich alle Größen auf das 30

38 ebene Gitternetz beziehen und es liegt eine flächenhafte Cogeoiddarstellung innerhalb von CJ vor. Mit [4.3] geht [3.8] über in [4.4a] [4.4b] Dies ist die fundamentale Gleichung des astrogravimetrischen Nivellements m planarer Approximation. Für die notwendige räumliche Ausdehnung von I gibt (Molodenskii, 1958, S 86) an, daß die Durchmesser von I und von CJ ein Verhältnis von etwa 2 : 1 haben müssen, um eine ausreichende Genauigkeit der Interpolation sicherstellen zu können. Diese Werte hat Molodenskii aus Erfahrungen bei ausgedehnten Kampagnen auf dem Gebiet der Sowjetunion gewonnen und analytisch umgesetzt. Bei diesen Berechnungen wurden hauptsächlich Kondensationsanomalien verwendet und die Restfeldgrößen [4.3] wurden linear interpoliert. 4.2 Abwandlung des klassischen Modells In dieser Arbeit wird der V ersuch unternommen, mit emer Mindestausdehnung des Anomaliefeldes die Genauigkeit der Lotabweichungsinterpolation an die Meßgenauigkeit heranzufiihren. Das in dieser Arbeit verwendete Anomaliegebiet ist nur geringfiigig größer ausgedehnt als das Kerngebiet mit den bekannten astrogeodätischen Lotabweichungen (Abbildung 4.2). Das oben definierte Ziel soll in vier Stufen erreicht werden: 1. Die topographisch-isostatische Reduktion der Meßgrößen erfolgt mit hochauflösenden Geländemodellen. 2. Soweit vorhanden, werden Dichteinformationen berücksichtigt. 3. Die Prädiktion wird mit der multiquadratischen Interpolation nach Hardy durchgefiihrt. 4. Das Kerngebiet wird über das eigentlich interessierende Geoid hinaus erweitert. 31

39 Durch 1) und 2) entsteht ein besonders ruhig verlaufendes Datenfeld, das zur Interpolation bestens geeignet ist. Weiters können die Magnituden der Anomalien als gering angenommen werden. r------o I' 0 0 Geoidbereich 0 Abbildung 4.2 Durch die Anwendung der Harcry-Interpolation (Schritt 3) können beliebig verteilte Daten verarbeitet werden, ohne numerische Instabilitäten befurchten zu müssen. Die unter 4) angefuhrte Maßnahme stellt sicher, daß der Einfluß der nicht berücksichtigten Anomalien abgefangen wird. Wie in Abbildung 4.2 ersichtlich ist, sind in dem außerhalb des Geoides gelegenen Teil des Kerngebietes astrogeodätische Lotabweichungen vorhanden. In diesen Punkten ist die Differenz ( &~ - e;) erwartungsgemäß groß, die aus dem Anomaliefeld berechneten gravimetrischen Lotabweichungen stellen nur eine sehr grobe Näherung dar. Da der Einfluß der Anomalien bei der Berechnung der gravimetrischen Lotabweichung mit dem Quadrat der Distanz abnimmt [2.31], ist bei Annäherung des Aufpunktes an das Zentrum des Kerngebietes eine rasche qualitative Verbesserung der gravimetrischen Lotabweichung zu erwarten. Abbildung 4.3 stellt den Verlauf der Differenzen entlang eines durch das Kerngebiet verlaufenden Profiles dar. Durch eine ausreichende Anzahl von astrogeodätischen Lotabweichungen ist der Verlauf dieser Differenzfunktion gut erfaßt und in weiterer Folge gut interpolierbar. Somit kann erwartet werden, daß die Qualität der astrogravimetrischen Lotabweichungen nicht verschlechtert wird. Der Vorteil dieser Variation liegt darin, daß eine hochgenaue Detailgeoidberechnung trotz Beschränkung auf Daten in der allernächsten Umgebung ermöglicht wird. Die Beurteilung der Ergebnisse erfolgt unter folgenden Gesichtspunkten: 32

40 1. Die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Ergebnisse ist maßgeblich von der Anzahl der Datenpunkte und ihrer Verteilung beinflußt. 2. Die Genauigkeit wird durch die Abweichung der interpolierten Werte von den astrogravimetrischen Lotabweichungen charakterisiert. 3. Eine Kontrolle der astrogeodätischen durch gravimetrischen Lotabweichungen ist nur in Ausnahmefallen möglich, da das Anomalie -Einzugsgebiet in den meisten Aufpunkten fiir eine hochgenaue Berechnung der gravimetrischen Lotabweichung nicht ausreicht Geoidbereich i Distanz Abbildung 4.3 Verhalten der Differenz ( c:: - c:;) bei Annäherung an das Zentrum des Kerngebietes 33

41 5. Reduktion der Beobachtungen aufdas Geoid Wie im Kapitel 2 angedeutet, muß das Geoid zur Lösung der Randwertaufgabe der physikalischen Geodäsie Rand der Massen sein. Die an der Erdoberfläche gemessenen Schwerewerte sind auf das Geoid zu reduzieren, die Schwereanomalie erhält man dann durch Vergleich mit dem Normalfeld. Dieses Normalfeld wird durch das Niveauellipsoid repräsentiert, gegenwärtig ist dies das GRS80. Definierende Konstanten und abgeleitete Parameter können bei (Moritz, 1992), (Chen, 1981) nachgelesen werden. Um die nach den Formeln von Vening Meinesz (Kapitel 2) berechneten gravimetrischen Lotabweichungen mit den astrogeodätischen Geoidlotabweichungen vergleichen zu können, müssen fur alle Beobachtungen dieselben Reduktionen verwendet werden. Grundsätzlich kann zur Geoidbestimmung jede Reduktionsmethode verwendet werden, die Randwerte liefert. Die anzuwendende Methode soll aber folgende Bedingungen erfullen: Die von den topographischen Formen herrührenden hochfrequenten Anteile des lokalen Schwerefeldes müssen von der Reduktion erfaßt werden. Die reduzierten Beobachtungen müssen fur ihre Umgebung repräsentativ und somit gut interpolierbar sein. Die Verlagerung der Massen soll eine möglichst kleine Deformation des Geoides bewirken. Dieser sogenannte indirekte Effekt muß exakt berechnet werden können, da er direkt in die Geoidundulation eingeht. Für die Bestimmung eines hochauflösenden Geoides in bewegtem Gelände kann somit nur die topographisch-isostatische Reduktion eingesetzt werden. Ihr einziger Nachteil besteht darin, daß der indirekte Effekt von der Größenordnung der gesuchten Undulation selbst ist und sehr genau erfaßt werden muß. Das durch die topographisch-isostatische Reduktion entstehende Cogeoid ist wesentlich glatter als das Geoid und kann daher genauer ermittelt werden. Werden die Schwereanomalien zur gravimetrischen Geoidbestimmung verwendet, so müssen weitere Überlegungen die Massenverlagerungen betreffend angestellt werden : Die Formel von Stokes [2.22] liefert das Cogeoid in Bezug auf ein Ellipsoid mit demselben Massenzentrum. Die Verlagerung der außerhalb des Geoides gelegenen Massen bewirkt eine geringe Verschiebung des Schwerpunktes M => M' (Tanni, 1948, S 26). Im Falle der Kontinente werden die Massen durch die topographisch-isostatische Reduktion näher an das Erdzentrum transportiert und das Cogeoid liegt unter dem Geoid. Auf den Weltmeeren bewirkt die Regularisierung eine Verschiebung des Geoides nach außen, also weiter entfernt vom Schwerpunkt, das Cogeoid liegt über dem Geoid (Abbildung 5. 1). Die Massenverlagerungen heben sich in Bezug auf den Schwerpunkt nicht auf, sondern wirken in die gleiche Richtung, da sich die Kontinente auf der einen und die Ozeane auf der anderen 34

42 Hemisphäre befinden (Heiskanen, 1949, S 51). Der Pol der kontinentalen Hemisphäre befindet sich etwa in B = 45 N, L = 30 E. o M 0 M' Abbildung 5.1 Schwerpunktsverschiebung Die aus den topographisch-isostatischen Anomalien erhaltenen Cogeoidundulationen beziehen sich also auf ein Ellipsoid, dessen Zentrum sich im Schwerpunkt des Cogeoides befindet. Durch die gleichgerichtete Verlagerung der äußeren Massen liegt das Massenzentrum des Cogeoides rund 5 m vom Erdzentrum entfernt, die Richtung ist durch die Gerade zwischen Erdzentrum und Pol der kontinentalen Massen festgelegt (Tanni, 1948, S 61.ff). Der an die Cogeoidundulationen anzubringende indirekte Effekt setzt sich somit aus zwei Teileffekten zusammen, dem Einfluß der Massenverlagerung, und der Berücksichtigung der Schwerpunktsverschiebung. Die zweite Korrektur stellt den Übergang des Geoides von dem im Zentrum der regularisierten Erde befindlichen Ellipsoid auf jenes im Schwepunkt der realen Erde gelagerte Ellipsoid sicher. Diese Korrektur bringt auch eine Änderung der gravimetrischen Lotabweichung mit sich. Bezeichnet man die durch die topographisch-isostatischen Massenverlagerungen hervorgerufene Änderung des Gravitationspotentiales mit ~ i, und fuhrt eine Entwicklung nach Kugelfunktionen durch, so treten in dieser Entwicklung als Folge der Verschiebung des Erdschwerpunktes Glieder erster Ordnung auf 35

43 Zum Unterschied von Tanni und Heiskanen vertritt (Vening Meinesz, 1946) die Ansicht, daß die Entfernung der topographischen Massen und die Kompensation keine Verlagerung des Schwerpunktes bewirken. Er erklärt dies aus dem rheologischen Verhalten der inneren Erdschichten. Diese Überlegungen großer Geodäten seien deshalb mitgeteilt, da sie die Reduktion von Meßwerten unter anderen Gesichtspunkten erscheinen lassen und die oben definierten Anforderungen an eine Methode legitimieren. Die bei der Berechnung eines lokalen Geoides geringer Ausdehnung notwendigen Massenumgruppierungen (siehe Kapitel 7) beeinflussen den Erdschwerpunkt praktisch nicht, daher können die gravimetrischen Lotabweichungen direkt den astrogeodätischen Werten gegenübergestellt werden. Für die im folgenden beschriebenen Reduktionen wird das Schwerefeld als stationärer Prozeß angenommen, zeitliche Variationen werden als bereits berücksichtigt aufgefaßt : Es wird vorausgesetzt, daß Schwerewerte wegen Gezeiteneinfluß und Lotabweichungen wegen Polbewegung korrigiert sind. Zur Reduktion der Beobachtungen sind mehrere Schritte durchzufuhren : 1. Verlagerung der außerhalb des Geoides befindlichen Massen 2. Absenken des Punktes in freier Luft auf das Geoid 3. Berechnung des indirekten Effektes und seiner Auswirkung auf die Beobachtung 4. Bestimmung der Gestalt des Cogeoides 5. Übergang vom Cogeoid auf das Geoid durch Restitution der verlagerten Massen 5.1 Topographische Reduktion Bei der topographischen Reduktion werden die über dem Geoid liegenden Massen rechnerisch entfernt (Abbildung 5.2). Für die Berechnung des Attraktionsvektors der topographischen Massen muß das Gelände in Modellkörper diskretisiert werden (Kapitel 6). Die Attraktionswirkung dieser Körper kann bestimmt werden und die Summe der Einzelbeträge ergibt die topographische Korrektur. Da die Massen ins Unendliche verschoben werden, ist diese Korrektur mit negativem Vorzeichen anzubringen. ~x,top = ~x - 0~ x,top [5. 1a] T/y,top = T/y - Of/y,top [5.1b] [5.1c] Eine Reduktion der Schwerefelddaten wegen topographischer Effekte setzt die Dichte dieser Massen als bekannt voraus. Idealerweise liegt ein dreidimensionales Dichtemodell fur die 36

44 Erdkruste vor. In der Praxis ist jedoch meist nur ein Oberflächendichtemodell vorhanden oder es wird ein konstanter Dichtewert von 2670 kgm- 3 verwendet. Dieser Standardwert ist in Gebirgsgegenden eine gute Annäherung fur Granit oder paleazoische Sedimente. Meßfläche Geoid Abbildung 5.2 Die Bestimmung der Massenverteilung im Untergrund ist nach dem Satz von Stokes (Kapitel 2.1) unendlich vieldeutig. Durch gewisse Annahmen und geophysikalische Randbedingungen wird der Lösungsraum eingeschränkt, so kann z.b. eine Sedimentbedeckung durch geneigte Schichten mit tiefenabhängigen Dichten modelliert werden. Der tiefere Grund fur Aussagen über die Dichteverteilung im Untergrund liegt in der Tatsache, daß die verschiedenen petrophysikalischen Parameter gesetzmäßig miteinander verknüpft sind und daher nicht unabhängig variieren können (Steinhauser et al., 1983). Wenn das Modell die tatsächliche Dichteverteilung im Untergrund gut repräsentiert, zeigt das Restfeld einen ruhigen Verlauf Die Varianz der reduzierten Daten sinkt beträchtlich, da der Einfluß der Dichteanomalien in der Kruste hochfrequent ist. Eine weitere zentrale Fragestellung bei der Berechnung der topographischen Korrektur nimmt die notwendige Ausdehnung des Reduktionsgebietes ein. Für die Lösung des Randwertproblems dürfen sich außerhalb des Geoides keine Massen befinden, da sonst die Laplacesche Differentialgleichung nicht erfullt ist. Es wäre demnach eine globale Berechnung durchzufuhren. In dieser Arbeit werden gravimetrische Lotabweichungen aus einem räumlich sehr beschränkten Anomaliegebiet berechnet. Werden die Massen innerhalb eines Reduktionsgebietes entfernt (Abbildung 5.2), so ist nach deren Beseitigung das Potential (V-Vrop) in diesem Bereich harmonisch, wenn Vrop den Effekt eines festen Massenmodells repräsentiert (Ledersteger, 1969, S 734). Die innerhalb dieses Gebietes gelegenen Meßwerte können somit nach dem 37

45 Absenken auf das Geoid in die Formel von Stokes eingefiihrt werden. Weiters muß die Reduktion der Schwerefelddaten und die Restitution mit dem identen, gesamten Massenmodell erfolgen. In lokalen Gebieten ist der Einfluß weit entfernter Massen annähernd konstant, sodaß ein festes Reduktionsgebiet benutzt werden kann. Dieses muß weit über das eigentliche Datengebiet hinausgehen, um Randeffekte zu vermeiden (Forsberg und Tscherning, 1981) Einfluß der Erdkrümmung und Konvergenz der Lotlinien Im Bereich der Meßpunkte liegt meist ein digitales Geländemodell in Form von Gebrauchskoordinaten vor. Die xy-koordinaten entstehen durch eine Abbildung der Ellipsoidoberfläche in die Ebene, die orthometrische Höhe wird normal auf diese Ebene aufgetragen. Das so entstandene und auf ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem bezogene Massenmodell eignet sich aus mathematischen Gesichtspunkten ideal zur Berechnung der topographischen Korrektur (siehe Kapitel 6), das reale Gelände weicht jedoch von dieser künstlichen Topographie ab. h s d Abbildung 5.3 Die Erdkrümmung läßt sich einfach und genau genug durch das Abrücken einer Kugel von der Tangentialebene beschreiben (Abbildung 5. 3 ), [5.2] Die einzelnen Modellkörper sind in Abhängigkeit des Abstandes s vom Aufpunkt um den Betrag d abzusenken. R bezeichnet den mittleren Krümmungsradius des Gebietes und wird 38

46 hinreichend genau durch den Wert 6379 km angenähert. Da in [5.2] s 2 eingeht, nimmt der Betrag mit wachsender Entfernung schnell zu. Die systematische Verschiebung der Massen in Richtung des Lotes beinflußt die Schwerereduktion erheblich. Bezieht man die ebenen Flächenkompartimente stückweise auf eine Kugel mit dem mittleren Krümmungsradius der Erde und baut die Höhen darüber auf, so erhält man eine realistische Annäherung des Geländemodells an die realen Verhältnisse (Abbildung 5.4). Abbildung 5.4 In sphärischer Näherung schneiden sich die Lotlinien im Zentrum dieser Kugel. Die bisher lückenlos aneinandergefugten quaderförmigen Massenkörper weisen nun Zwischenräume auf Der Quader muß also durch einen der Konvergenz der Lotlinien entsprechenden Modellkörper ersetzt werden, der in der Abbildungsebene gleiche Grundfläche aufweist und dessen Querschnitt mit der Höhe zunimmt. Ein Pyramidenstumpf erfullt die genannten Anforderungen, bringt aber auch schwerwiegende Nachteile mit sich : Potential und Attraktion sind fur einen beliebigen Aufpunkt nicht geschlossen darstellbar (Reinhart, 1968, Kap. 2.2) und müssen durch numerische Integration bestimmt werden. Durch die Erweiterung des Modells um die Konvergenz der Lotlinien verläuft die Lotlinie des Aufpunktes nicht mehr parallel zur Achse des Pyramidenstumpfes, weshalb der Aufpunkt vor der Berechnung in das System des Pyramidenstumpfes zu transformieren ist. Die Berechnung der topographischen Korrektur wird durch die Berücksichtigung der Konvergenz der Lotlinien wesentlich aufwendiger. Bevor man dieses sphärische Modell einfuhrt, soll die Notwendigkeit überprüft und die Größenordnung an einem Beispiel abgeschätzt werden: Der angenommene Aufpunkt liegt im Zentrum eines auf die ebenen Gitterkoordinaten bezogenen Höhenmodells von 100 km x 100 km Ausdehnung (Abbildung 5.5). Außerhalb dieses Rasters schließt ein auf geographischen Koordinaten basierender Höhenraster an (der Übergangsraster wird in dieses Modellbeispiel nicht einbezogen). Durch die Angabe der 39

47 geographischen Koordinaten ist dieser Raster auf das Ellipsoid bezogen und enthält somit implizit die Konvergenz der Lotlinien (siehe Kapitel 6). Berücksichtigt man fur den inneren Raster die Erdkrümmung nach [5.2] und vernachläßigt die Konvergenz der Lotlinien, so entsteht an den Rändern ein massenfreier Raum, dessen Querschnitt in der xh-ebene bzw. yh-ebene die Gestalt eines rechtwinkeligen Dreiecks besitzt (Abbildung 5.5). Dieses Massendefizit kann durch vier rechtwinkelige Prismen von je 100 km Ausdehnung approximiert werden. Mit dem halben Zentriwinkel r= s [5.3] R und einer angenommenen Geländehöhe von 3000 m errechnet man fur die Prismen die in Abbildung 5. 5 angefuhrten Maße. Die Attraktionswirkung dieses Prismas kann geschlossen angeschrieben werden und ist im Anhang B ausfuhrlieh dokumentiert. Mit den durch das Beispiel festgelegten Werten errechnet man fur den Prismensaum eine Attraktionswirkung von (1 mgal = ms 2) 5g = mgal [5.4] Der Einfluß liegt weit unter der Meßgenauigkeit und kann unberücksichtigt bleiben. Es reicht somit aus, bei der Berechnung der Attraktion aus einem in Funktion kartesischer Koordinaten vorliegenden Geländemodell nur die Erdkrümmung anzubringen. Die Ursache fur den geringen Effekt liegt darin, daß der Konvergenzwinkel mit dem Abstand vom Aufpunkt linear zunimmt [5.3], während die Attraktion mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt. Falsche Ergebnisse und einen scheinbar großen Einfluß erhält man, wenn man die Konvergenz der Lotlinien rechnerisch berücksichtigt, jedoch gleichzeitig den Quader als Massenmodell beibehält. Die dadurch in den höchsten Aufpunkten entstehenden maximalen Beträge resultieren aus den mit der Höhe zunehmenden Massendefiziten zwischen den einzelnen Quadern. 5.2 Atmosphärische Schwerekorrektion Da alle über dem Geoid befindlichen Massen verlagert werden müssen, trifft dies auch auf die Atmosphäre zu. Der Effekt der tatsächlichen Erdatmosphäre, die sich außerhalb der topographischen Massen befindet, kann nur mit hohem Aufwand exakt berechnet werden. Einfacher ist es hingegen, die Atmosphäre außerhalb des Ellipsoides zu entfernen und dafur eine sphärische Näherung anzunehmen (Abbildung 5.6). Da die Atmosphärendichte geringe jahreszeitlichen Schwankungen aufweist und nur wenig mit der Breite variiert, kann ein rein von der Höhe abhängiges Dichtemodell verwendet werden 40

48 A geographische Koordinaten ~' Prisma Form4 h=3000 m r. X z A y 100km Prismensaum Abbildung 5. 5 (Ecker u. Mittermayer, 1969). Der dadurch auftretende Fehler bei der Berechnung des Atmosphäreneinflusses beträgt etwa 0.04 mgal (Christodoulidis, 1979). Nimmt man eine Kugelschale mit radialsymmetrischer Dichteverteilung fur die Atmosphäre an, so bewirkt nur die unter dem Aufpunkt gelegene Teilmasse eine Attraktion, da eine homogen geschichtete Kugelschale auf einen inneren Punkt keine Gravitation ausübt (Torge, 1991, S 41

49 15). Mit einem aus diskreten Dichtemodellen abgeleiteten mittleren Dichtegesetz erhält man fiir die Beinflussung og: der Schweremessung durch die Atmosphäre die in Tabelle 5.1 eingetragenen Beträge (Wenzel, 1985, S 129). Höhe [m] Dichte [kgm-3] bg: [mgal] GMA! r 2 8gA Tabelle 5.1 Die angegebenen Dichtewerte stellen einen Mittelwert zwischen der Cospar International Reference Atmosphere (CIRA61) und der U.S. Standard Atmosphere 1965 (USSA65) dar. Es muß kritisch angemerkt werden, daß keines der beiden Modelle fiir geodätische Problemstellungen entworfen wurde (Moritz, 1981, S 77). Abbildung

50 Da die Geozentrische Gravitationskonstante GM aus Satellitenbeobachtungen abgeleitet wurde, schließt das Niveauellipsoid die Masse der Erde und die der Atmosphäre ein. Die Atmosphäre kann als verdichtete Oberflächenschicht auf dem Ellipsoid angenommen werden, wodurch das Schwerepotential des Normalfeldes außerhalb des Ellipsoides eine harmonische Funktion ist. Die im Niveauellipsoid enthaltene Atmosphärenmasse muß bei der Berechnung von Randwerten einbezogen werden. Mit der eingefuhrten sphärischen Näherung errechnet sich dieser Einfluß zu (siehe Tabelle 5.1) [5.5] wonn GMA = m 2 s- 2 Abstand vom Erdzentrum bezeichnet. die Atmosphärengravitationskonstante und r=r+h den 8& [mgal] I h [km] Abbildung 5. 7 Die Summe der in Tabelle 5.1 angegebenen Effekte läßt sich im Bereich O::; h :::;; durch eine Approximationsformel (& <0.002 mgal) darstellen (Wenzel, 1985, S 14), 8000 m 5 8gA [mgal] = h [m] h 2 [m], [5.6] und wird als Schwerekorrektion wegen Atmosphäreneinfluß bezeichnet. Die Schwerekorrektion ist zur beobachteten Schwere zu addieren, ihr Verlauf ist in Abbildung 5. 7 dargestellt. Aufgrund der Rotationssymmetrie des Atmosphärenmodells sind an die Lotabweichungen keine Korrekturen anzubringen. In diesem einfachen Modell wird der zwischen Ellipsoid und Erdoberfläche gelegene Raum der Atmosphäre zugerechnet, dies entspricht einer Verringerung der Dichte der topographischen Massen um die atmosphärische Dichte. Die dadurch entstehenden gravitativen Effekte können 43

51 im Hochgebirge beträchtliche Werte (0.05 mgal/km) erreichen, so beträgt der Einfluß am Mount Everest 0.46 mgal (Sjöberg, 1993). Eine weitgehende Berücksichtigung dieser Effekte ist bei der Berechnung der topographischen Korrektur möglich, indem die Dichte der untersten Atmosphärenschicht von der Dichte des jeweiligen Kompartiments subtrahiert wird. 5.3 Isostatische Reduktion Die aus Gebirgsmassen berechneten Lotabweichungen sind größer als die beobachteten Werte. Auch topographisch korrigierte Schwereanomalien zeigen ein systematisches Verhalten, sie sind auf den Kontinenten in der Regel negativ und im ozeanischen Bereich positiv. Die einzig mögliche Erklärung dafur ist, daß sich unter den Gebirgen ein Massendefizit befindet und unter den Weltmeeren ein Massenüberschuß. Dies ist der Grundgedanke von der Theorie des isostatischen Massenausgleichs. T Abbildung veröffentlichte der englische Astronom Airy seme Hypothese zur Erklärung der beobachteten Phänomene: Die Last der topographischen Massen wird zumindest teilweise durch den Auftrieb von leichterem Material im Untergrund kompensiert. Diese Auftriebskräfte entstehen durch das Absinken von Krustenblöcken, auch Wurzeln genannt, in die darunterliegende Schicht aus dichterem Material, ähnlich einem schwimmenden Eisberg. Nach dem Modell von Airy trägt nur das Krustenmaterial unterhalb des Ausgleichsniveaus zum Auftrieb bei. Diese Ausgleichstiefe entspricht der Trennfläche zwischen Erdkruste und oberem 44

52 Erdmantel und wird nach ihrem Entdecker als Mohorovicic-Diskontinuität bezeichnet. Für Gebiete mit negativer Topographie (Weltmeere) sieht das Airy-Modell sogenannte Anti Wurzeln vor, dies entspricht einem höher gelegenem Erdmantel (Abbildung 5.8). Nachdem Heiskanen dieses Konzept in den Dreißiger Jahren dieses Jahrhunderts adaptierte, wird es auch als Airy-Heiskanen Modell bezeichnet (Heiskanen, 1939). Das Airy-Heiskanen Modell beruht auf folgenden Grundsätzen (Heiskanen and Vening Meinesz, 1958, S 135) : Die isostatische Kompensation findet vollständig und lokal statt, die Wurzel liegt immer direkt unter der topographischen Masse Die normale Krustenmächtigkeit liegt zwischen T=20 und T=40 km. Die Kompensationsschicht unter den Kontinenten beginnt in der Tiefe T und endet in der Tiefe T+t ; unter den Ozeanen beginnt sie in der Tiefe T-t' und endet in der Tiefe T. Unter Vernachlässigung der Konvergenz der Erdradien und der Änderung der Schwerebeschleunigung mit der Tiefe erhält man fur das Schwimmgleichgewicht [5.7] und somit fur die Dicke der Wurzel bzw. Antiwurzel [5.8] t' =h' PK - Pw. [5.9] PM- PK h, h' Geländehöhe bzw. Meerestiefe in Bezug auf das Meeresniveau Px Dichte der Erdkruste (::: 2670 kgm- 3 im alpinen Bereich) PM Dichte des oberen Erdmantels (::: 3270 kgm- 3 ) Pw Dichte des Meerwassers(= 1027 kgm- 3 ) Bei der isostatischen Reduktion werden die topographischen Massen dazu verwendet, die unter den Kontinenten entstehenden Massendefizite aufzufullen. Sie werden also nicht gänzlich entfernt, sondern in das Innere des Geoides verlagert, sodaß eine regularisierte Kruste mit der Dicke T und ein homogener Erdmantel mit der Dichte PM entstehen. Die isostatische Reduktion wird derart berechnet, daß die Wirkung der homogenen Wurzeln mit der Dicke t und der Dichte (pm - Px ) an den Meßwert im Oberflächenpunkt angebracht wird. ~x,top-iso = ~x - 0~x,top + 0~x,iso [5. 1 Oa] [5. 10b] 45

53 gtop-iso =gp - Ogtop + OgA + Ogiso [5.10c] Die Reduktion im Fall der Ozeane wird hier nicht weiter behandelt, siehe (Heiskanen and Moritz, 1967, S 139). Für die weiteren isostatischen Modelle, das Modell von Pratt-Hayjord und das Modell von Vening Meinesz muß auf die Literatur verwiesen werden (Heiskanen and Moritz, 1967), (Heiskanen and Vening Meinesz, 1958). 5.4 Freiluftreduktion In den vorangehenden Abschnitten wurden die Beobachtungen von der Wirkung der topographischen und atmosphärischen Massen befreit und die Kompensation berücksichtigt. Das Geoid liegt als Randfläche vor und der Aufpunkt kann in freier Luft abgesenkt werden. Aus dem reduzierten Oberflächenschwerewert gtop-iso [5.10c] erhält man unter Berücksichtigung des Vertikalgradienten ogi oh der Schwere den Schwerewert am Geoid gp 0 8gF wird als Freiluftreduktion bezeichnet. Aus dem Schwerewert am Geoid und der Normalschwere YQo am zugeordneten Ellipsoidpunkt folgt die isostatische Schwereanomalie (Abbildung 3.2) Der tatsächliche Vertikalgradient der Schwere wird in den Vertikalgradienten des Niveauellipsoides und den Vertikalgradienten der Schwereanomalie aufgespaltet (Heiskanen andmoritz, 1967, S 115), Mit der Näherung og or olig oh oh oh -=-+--. [5.13] --h=--h or or [5.14] oh oh kann der Einfluß des Normalfeldes berechnet werden (Grüninger, 1990, S 57): 46

54 + 12GM(H) 3 [5.15] 2 a a a, GM, J 2, OJ e 2 B H=h+N IQo v YP definierende Parameter des Niveauellipsoides, siehe (Moritz, 1992) erste numerische Exentrizität ellipsoidische Breite des Punktes P ellipsoidischehöhe des Punktes P Normalschwere am Ellipsoid in der Breite B Normalschwere im Punkt P r Qo erhält man aus der Schwereformel von Somigliana, a r a cos 2 B + b r b sin 2 B YQo=..j ' a cos B+b sin B [5.15a] Ya, Yb bezeichnen die Normalschwere am Äquator bzw. am Pol und sind durch die definierenden Parameter des Niveauellipsoides festgelegt (Moritz, 1992). Li 8gF [mgal] h[km] Abbildung 5.9 Die Undulation N eines Punktes über dem GRS80 Ellipsoid ist näherungsweise bekannt, und 47

55 damit folgt durch Anwendung von [5.15] die normale Freiluftreduktion, [5.16] Führt man die normale Freiluftreduktion mit der wesentlich einfacheren Formel or --h= h [m] [mgal] [5.17] oh durch, so können beträchtliche Fehler entstehen. Abbildung 5. 9 zeigt die Differenz zwischen der Berechnung nach [5.16] und der Näherung [5.17] fur die Breite B=47 in Abhängigkeit der Höhe. Der Vertikalgradient der Schwereanomalie im Punkt P kann in sphärischer Näherung nach (Heiskanen andmoritz, 1967, S 115) aus der Integralformel [5.18] 1 0 =2Rsin lfl 2 berechnet werden. R bezeichnet den mittleren Erdradius, CY das Flächenelement. der Einheitskugel, 1 0 die räumliche Distanz zwischen Geoidpunkt P 0 und dem Flächenelement, und Llg 0 die Schwereanomalie am Geoid. In ebener Darstellung hat [5.18] folgende Gestalt: [5.19] Wendet man hinreichend kleine Flächenelemente mit konstanten Llg 0 an und berücksichtigt die Variation der Belegfunktion innerhalb dieser Kompartimente, so erhält man ollg 2 -=--Llg - [5.20] oh R Po Diese Integralformel stellt den Vertikalgradienten der Schwereanomalie in Funktion der Schwereanomalie selbst dar. Da der Gradient apriori nicht bekannt ist, erfolgt die Berechnung der Anomalien vorerst nur mit dem Gradienten des Normalfeldes. Wegen der mit wachsendem Abstand vom Aufpunkt raschen Abnahme des Integranden muß nur die nähere Umgebung berücksichtigt werden. Aufgrund der starken Singularität des Integralkerns im unmittelbaren 48

56 Aufpunktsbereich ist dieser Bereich auszuschließen oder der Integrand wird durch eine glatte Interpolationsfunktion dargestellt (Sünkel, 1986). Da in der Praxis die Nahbereichsreduktion oft nicht mit der gewünschten Genauigkeit berechnet werden kann, sind die mit [5.20] erhaltenen Ergebnisse kritisch zu beurteilen. An die ~-Komponente der reduzierten Oberflächenlotabweichungen ist nach Kapitel 3.3 beim Übergang auf das Geoid die normale Lotkrümmung anzubringen (Heiskanen and Moritz, 1967, s 196), ~Po= ~x.top-iso " h [km] sin(2b). [5.21] 5. 5 Der indirekte Effekt Durch die im Zuge der Reduktion durchgefiihrten Massenverlagerungen ändert sich das Schwerefeld und somit auch das Geoid. Die Änderung des Schwerepotentiales OW ist die Differenz zwischen dem Potential der ursprünglichen Massenkonfiguration und jener nach der Reduktion. Die Deformation des Geoides bezeichnet man als den indirekten Effekt einer Schwerereduktion, die deformierte Fläche wird Cogeoid genannt (streng genommen wird das Ellipsoid verlagert, siehe Kapitel 2.2). Die mit den Formeln von Vening Meinesz erhaltenen gravimetrischen Lotabweichungen und die reduzierten astrogeodätischen Lotabweichungen beziehen sich daher nicht auf das Geoid, sondern auf das Cogeoid (bei strenger Interpretation nicht korrekt, siehe Kapitel 2.2). Die besprochenen Verfahren der Geoidbestimmung liefern also eine flächenhafte Darstellung des Cogeoides. Der Abstand zwischen Geoid und Cogeoid beträgt nach dein Theorem von Bruns 5N=ow [5.22] ' Yo OW ist die Potentialänderung am Geoid, y 0 die Normalschwere am Ellipsoid. Die Geoidundulation erhält man aus [2.23], [5.23] Das Schwerepotential W ist die Summe aus Gravitationspotential und Fliehkraftpotential (Kapitel2.2). Eine Massenverlagerung läßt das Fliehkraftpotential ungeändert, daher entspricht die Änderung des Gravitationspotentiales 5V der Änderung des 8W Schwerepotentiales und [5.22] geht über in 5N = w. Y o [5.22a] 49

57 Die Bestimmung von 5V erfolgt analog der Berechnung der Reduktionen, jedoch wird anstatt der Änderung der Attraktion die von der Massenumgruppierung hervorgerufene Potentialänderung berechnet und der Aufpunkt befindet sich stets am Geoid. Die notwendigen Algorithmen zur Berechnung des Gravitationspotentiales von Modellkörpern sind im Kapitel 6 angefiihrt. Der indirekte Effekt bewirkt auch eine Änderung der Schwereanomalie, 8gind =- ~~ 5N := N [m] [mgal]. [5.24] Wie im Kapitel 2.2 dargelegt, braucht die zwischen Geoid und Cogeoid befindliche Massenschicht (wenn das Cogeoid unter dem Geoid verläuft) nicht entfernt werden, es gibt keinen sekundären indirekten Effekt. Da der Übergang vom Cogeoid auf das Geoid mit [5.23] erfolgt, muß der indirekte Effekt sehr genau berechnet werden. Problematisch wirken sich darin Dichteanomalien aus, die sich nicht oder nicht ausreichend in den Meßwerten wiederspiegeln. Größere Dichteinhomogenitäten beeinflussen die Gestalt des Cogeoides und den indirekten Effekt, sie werden also implizit erfaßt. Ein unruhiges Restfeld verringert natürlich die zu erwartende Genauigkeit, daher sollten die eingesetzten Gelände- und Dichtemodelle die Realität möglichst gut repräsentieren. Für die lokale, relative Geoidbestimmung sind nur Unterschiede des indirekten Effektes maßgebend. Das in Kapitel 5.2 eingefuhrte sphärische Atmosphärenmodell bewirkt wegen der Rotationssymmetrie einen ortsunabhängigen indirekten Effekt von 7 nun. Dieser beeinflußt alle Cogeoidundulationen gleich und braucht daher nicht weiter beachtet zu werden. Anders verhält es sich mit den von der Topographie verdrängten Atmosphärenmassen. Ihr Einfluß kann mit einem genäherten Verhältnis der Atmosphärendichte (1.23 kgm- 3 fiir die unterste Schicht) zur Dichte der topographischen Massen (::: 2670 kgm- 3 im alpinen Bereich) abgeschätzt werden. Bezeichnet man den maximalen Unterschied des von den topographischen Massen (natürlich ohne isostatische Kompensation) hervorgerufenen indirekten Effektes mit ~8Ntop, so beträgt der relative indirekte Effekt der zwischen Geoid und Geländeoberfläche gelegenen Massen des atmosphärischen Modells [5.25] Ähnlich ist der Einfluß der im Kapitel beschriebenen, durch Vernachlässigung der Konvergenz der Lotlinien entstandenen Defizitmassen zu beurteilen. Daraus können sich relative Unterschiede von einigen nun ergeben, je nach Geländehöhe und Entfernung des Aufpunktes von der Übergangszone. 50

58 Abschließend sind die einzelnen Reduktionsschritte zur Bestimmung von Randwerten noch einmal zusammengestellt. Aus Symmetriegründen werden die astronomischen Koordinaten ra.-1 eingefuhrt. Beobachtung gp t/jp, Ap E Topographie -8gtop -8t/Jrop ' --8 Arop F Atmosphäre F Isostasie E Freiluftreduktion K V er gleich mit Normalwert T indirekter Effekt MgA +figiso MgF..dgtop-iso = gpo - YE +8gind entfallt bei sphärischem Modell +8t/Jiso ' +8 Aiso +ßt/JF 0 ' ;p 0 =t/j-b +..., 1lp 0 =(A.-L)cosB+... zu genng Wert am Geoid..dg~o =..dgtop-iso +figind ;~0 = ;Po ' 17~0 = 17Po 51

59 6. Potential undattraktion von Modellkörpern Zur Berechnung der topographischen und isostatischen Massenreduktion muß die Gestalt der Erdoberfläche in Funktion des Ortes bekannt sein. Die Erdoberfläche wird durch einen unregelmäßigen Punkthaufen repräsentiert, aus dem in weiterer Folge ein regelmäßiger Raster von Geländeprofilen interpoliert wird. Diese liegen im Nahbereich meist direkt in Form von Gebrauchskoordinaten (Gauß-Krüger Koordinaten, orthometrische Höhen) vor. Für entfernte Gebiete steht in der Regel ein Raster in Funktion geographischer Koordinaten zur Verfugung. Die angegebene Höhe stellt einen Mittelwert fiir das jeweilige Flächenstück dar. Durch die vorgegebene Flächeneinteilung der Geländedaten ist die Gestalt der Modellkörper zur Berechnung der Reduktion bereits weitgehend vorgegeben (z.b. Quader). AJs schwerwiegender Nachteil der geographischen Raster muß der Umstand gewertet werden, daß die dadurch gegebenen Modellmassen nicht geschlossen integrierbar sind. Den Gesamteinfluß der berücksichtigten Massen erhält man aus der Summe der Einflüsse der Modellkörper ~op =~ß~ [6.1a] ßqx,top = ~ßqx, i [6. 1b] 077y,top = ~017y,i ßgtop = ~ßgi [6.1c] [6.1d] Die Genauigkeit der so erhaltenen Reduktionsbeträge hängt in erster Linie von den verwendeten Dichtewerten, von der Auflösung und Genauigkeit der Höhenmodelle und in weiterer Folge von den Reduktionsalgorithmen selbst ab. Im folgenden werden nun die Formeln zur Berechnung der topographischen und isostatischen Korrektur auf der Grundlage des Newtonsehen Gravitationsgesetzes mitgeteilt. 6.1 Potential und Attraktion eines Festkörpers Sind Massen stetig in einem Volumen v mit der Dichte p verteilt, so erhält man fiir das Newtonsehe Gravitationspotential den Ausdruck (Heiskanen andmoritz, 1967) V= Gfffdm = Gfff Pdv, [6.2] V l V l Darin ist dv das Volumselement und dm das Massenelement; l ist der Abstand zwischen dem Massenelement dm = p dv und dem Aufpunkt P (Abbildung 6.1), G ist die Newtonsehe Gravitationskonstante und hat im SI-System den Wert m 3 kg- 1 s- 2 (Torge, 1991, S 12). 52

60 z y X Abbildung 6.1 Bezeichnet man die Koordinaten des Aufpunktes mit (x,y,z) und die des laufenden Massenelementes mit (~,1],(} (nicht zu verwechseln mit den Komponenten der aus Massen berechneten Lotabweichung ~x.rop 1ly.rop ), so erhält man fiir das Potential einen expliziten Ausdruck: Die Komponenten der Attraktionsieraft in Richtung der Koordinatenachsen erhält man aus Formel [6.2] durch Differentiation: [6.4] Mit Beziehung [6.3] folgt die X-Komponente zu: Fx =-GJfJX~~pdv. [6.5a] y Analoge Ausdrücke erhält man fiir FY und Fz: Fy = -GffIy ~ 1] p dv' [6.5b] y 53

61 Fz = -GJfJ z ; ~pdv. [6.5c] V Liegt der Aufpunkt außerhalb des betrachteten Körpers, wird l niemals zu Null und lll nimmt stets einen endlichen Wert an. Somit ist das Potential V im gesamten Raum stetig und verschwindet im Unendlichen, da sich der Körper fur einen sehr großen Abstand l wie eine Punktmasse verhält. Daher ist es zulässig, in Formel [6.4] die Reihenfolge der Differentiation und Integration zu vertauschen. Aus den Komponenten des Attraktionsvektors erhält man die Komponenten der Lotabweichung : ß!;x,top = - L Fx ' g IFY 81Jy,top =-g [6.6a] [6.6b] Im folgenden gilt p =const innerhalb des betrachteten Massenkörpers. 6.2 Numerische Integration im Nahbereich des Aufpunktes Unmittelbare Aufpunktsumgebung Der unmittelbare Nahbereich eines Aufpunktes hat großen Einfluß auf die Genauigkeit der Gesamtreduktion, vor allem bei der Reduktion von Schwerewerten. Daher soll das Gelände rund um den Aufpunkt (Radius etwa 200 m) kontinuierlich in die Berechnung eingehen. Idealerweise ist dieser Bereich durch eine tachymetrische Aufuahme erfaßt. Der Aufpunkt A wird im Zentrum des Koordinatensystems angenommen (Abbildung 6.2), die x- und y-achse des lokalen Systems sind parallel zum ebenen Koordinatengitter, die z-achse schließt mit der xy-ebene einen rechten Winkel ein und ergänzt das Koordinatensystem zu einem mathematisch negativen Link:ssystem. Die Geländeoberfläche ist in diesem lokalen System durch z =f(x,y) [6.7] gegeben. Diese Funktion kann z.b. durch die multiquadratische Interpolation nach Hardy (Anhang A) beschrieben werden, damit ist der z-wert an jedem beliebigen Punkt innerhalb des Stützpunktgebietes bestimmt. Entscheidend ist, daß eine beliebige Anzahl und Verteilung der 54

62 Stützpunkte verarbeitet werden kann und daß das Interpolationsverfahren die Stützpunktshöhen wiedergibt, also keine Approximation vorliegt. Mit dem Aufpunkt im Ursprung (x=y=z=o) vereinfacht sich [6.5] zu [6.8] ha ist die orthometrische Höhe des Aufpunktes und ident mit der z-koordinate der Geoidfläche im lokalen System (die Attraktion der Massen oberhalb des Geoides soll bestimmt werden). Analoge Integrale treten fur die y- und z-komponete auf ' z=f(x,y) Geländeoberfläche. Abbildung 6.2 Führt man die Integration nach ds aus, so ergeben sich fur die Komponenten folgende Ausdrücke [6.10a,b,c] F = Gp( I + 11] 55

63 Die in den Klammem angefuhrten zweiten Integrale sind nicht geschlossen auswertbar, sie können jedoch z.b. mit dem Runge-Kutta Verfahren (Anhang C) numerisch integriert werden. Die Lösung der ersten Integrale wird im Kapitel 6.3 (Beziehung [6. 16]) mitgeteilt, sie sind fur die obere Integrationsgrenze ha auszuwerten Übergang aufdas Geländemodell Im Aufpunktsbereich steht meist ein hochauflösendes Modell der Geländeform auf der Grundlage von Gebrauchskoordinaten zur Verfugung. Durch die in beiden Koordinatenrichtungen verlaufenden Profillinien entstehen im Raum windschiefe Vierseite (Abbildung 6.3). Die Fläche innerhalb eines solchen Vierseites ist eine doppelt gelaümmte Regelfläche und wird als hyperbolisches Paraboloid bezeichnet (Brauner und Kickinger, 1977, S 60). z --- _l.. Abbildung 6.3 Mathematisch läßt sich diese Fläche durch [6.11] 56

64 beschreiben. Diese verfeinerte Annäherung der Geländeoberfläche ist nur fur die Berechnung der Attraktion in z-richtung, also fur die Schwerereduktion notwendig. Die Anwendung dieses Massenmodells ist in Abhängigkeit von der Rasterweite des Geländemodells räumlich eng begrenzt, fur eine Rasterweite von 50 m beträgt die Ausdehnung etwa 400 m rund um den Aufpunkt. Die Attraktion eines solchen Körpers folgt aus [6.5c] bzw. [6.10c]: [6. 12] Von diesen beiden Integralen wird nur das zweite weiterbehandelt, das erste ist geschlossen darstellbar und fur die obere Integrationsgrenze ha auszuwerten (Beziehung [6.16]). [6.13] Setzt man in [6.11] den Koeffizienten a 3 willkürlich gleich Null, so entsteht ein Prisma mit geneigter ebener Deckfläche. Die verbleibenden drei Konstanten ao> a 1, a 2 müssen dann durch eine Ausgleichung aus den vier Rasterpunkten bestimmt werden Der Quader Im folgenden werden das Potential und seine Ableitungen fur den Quader (=ein vierseitiges, rechtwinkeliges Prisma) angegeben. Die Höhe der Quaderdeckfläche entsteht durch Mittel bildung aus den Höhen der vier entsprechenden Profilpunkte. 57

65 Die Achsen des Koordinatensystems werden parallel zu den Kanten des Quaders angenommen, und zwar x undy horizontal und z nach unten positiv (Abbildung 6.4). z Abbildung 6.4 Legt man den Aufpunkt in den Koordinatenursprung, so vereinfacht sich der Ausdruck [6.3] zu [6.14] Da die Integration aufwendig und langwierig ist, wird hier nur das Ergebnis angegeben (Mader, 1951, S 6) : 2 x y 2 z V= Gp [ arctan 1 +y z ln(x + x +y +z ) 'V x2'\jx2 + Y2 +z2 2 X Z,---- Y 2 --2arctan x z ln(y + lx 2 +y 2 1 +z 2 ) 'V Y2'\Jx2 + Y2 +z2 z 2 xy, arctan xy ln(z + lx 2 +y 2 +z 2 ) '\ z2'\jx2 +Y2 +z2 [6.15] 58

66 Die Klammemsymbole bedeuten, daß der gesamte vorausgehende explizite Ausdruck fiir die in der jeweiligen Klammer stehenden Koordinaten erneut zu berechnen ist. Für die x-komponente der Attraktion erhält man (Jvfader, 1951, S 7, korrigiert): _ 8V _ G [ Y2z2 l ( ) F x p - x2arctan ~ + y2 n z2+ vx2 + y2 + z2 + ox x x2 +y2 +z [6.16a] Durch zyklische Vertauschung und Anordnung der einzelnen Terme wie in [ 6. 16a] gewinnt man daraus die Attraktion iny- bzw. z-richtung: 8V [ xz 2 F 2 I =-= -Gp - y 2arctan + x21n(z2+...;x~ + y~ + z~) + Y 8y y /x2 +y2 +z2 2V [6.16b] _ 8 V _ G [ x2y2 l ( ~ ) F z p - z2arctan ~ + x2 n y 2 + x2 + y2 + z2 + oz z x 2 +y2 +z [6.16c] 6.4 Die Massenlinie In größerer Entfernung (einige km) vom Aufpunkt läßt sich der Quader ohne Genauigkeitsverlust durch eine vertikale Massenlinie annähern. Die Distanz vom Aufpunkt, ab welcher dieses einfachere Massenmodell eingesetzt werden kann, ist abhängig von der Rasterweite des Geländemodells und vom Verhältnis der Höhe des betrachteten Quaders zu den Seitenlängen. Besonders geeignet ist die Massenlinie zur Approximation eines Quaders, dessen Seitenlängen im Verhältnis zur Höhe klein sind. Die Massenlinie (auch Draht genannt) entsteht durch Kondensation der Quadermasse auf die Achse des Quaders (Abbildung 6.5). Die Dichte p des Quaders geht über in eine Liniendichte [6.17] Die Massenlinie erzeugt im Aufpunkt das Potential 59

67 [6.18] z t<-.., ---- : z --..._-...,... r 1 : -::..""" -... I I -- 1 I I I I I I I I 1 I I I I I 1 I I I I z -.., I _- -- I --..._ I - Abbildung 6.5 Differenziert man [6.18], so erhält man die Attraktion in Richtung der Koordinatenachsen: [6.19a,b,c] Die Massenlinie wurde erstmals von (Heiskanen, 1953) zur Berechnung der isostatischen Reduktion eingesetzt. Als weitere Approximation des Quaders eignen sich Massenschicht und Massenpunkt. Die Massenschicht ist eine gute Annäherung eines Quaders, dessen Höhe im Verhältnis zu den 60

68 Seitenlängen sehr gering ist. Da diese Modelle in der vorliegenden Arbeit nicht zur Anwendung gelangen, sei auf die Literatur verwiesen (Reinhart, 1968), (Grüninger, 1990). 6.5 Krummlinig begrenzte Massenkörper Liegt ein Höhenmodell in Funktion ellipsoidischer Koordinaten B, L vor, so werden von den Koordinatenflächen Massenkörper gebildet. Durch das krummlinige Koordinatennetz in Verbindung mit der Höheninformation entsteht eine ellipsoidische Kachel, ein sogenanntes Tesseroid (Abbildung 6.6). I I B 2 =const. 1 I I I I I I I I I /-\; ;,, I \ I \ I \ / I B 1 =const. Abbildung 6.6 Ein solcher Körper wird (in sphärischer Näherung) von von zwei konzentrischen Kugelflächen, zwei Meridianebenen und zwei Kegelmantelflächen begrenzt. Die Attraktion eines homogenen Tesseroides ist nicht geschlossen darstellbar, da die fur die Integration trigonometrischer Funktionen üblichen Substitutionen auf elliptische Integrale fuhren. Die Lösung kann numerisch erfolgen (Abd-Elmotaal, 1991, S 31) oder in Form von Reihenentwicklungen gefunden werden (Grüninger, 1990, S 76.ff), (Heitz, 1966). Eine weitere Möglichkeit stellt die Transformation des Tesseroides in einen volumsgleichen Quader dar. Da die auf geographischen Netzeinteilungen basierenden Höhenmodelle erst ab einer größeren Entfernung vom Aufpunkt angewandt werden und die Rasterweiten..1B~..1L oft nur einige 61

69 Winkelminuten betragen (siehe Kapitel 7), ist es naheliegend, das Tesseroid durch einfache Modelle zu approximieren Annäherung des Tesseroides durch eine Massenlinie Für die Annäherung durch eine Massenlinie muß das Volumen des Tesseroides bestimmt werden. Dazu fuhrt man die Schmiegungskugel in der mittleren Breite B des Tesseroides ein [6.20] Mund N sind der Meridian- und Querkrümmungsradius am Ellipsoid. Mit dem Valumselement der Kugel dv =R cosb dl R db dr [6.21] ergibt sich das Volumen des betrachteten T esseroides zu [6.22] Das Volumen des Tesseroides ist nur von der Breite abhängig und ist daher bei der Berechnung der topographischen Korrekturen aus einem geographischen Raster nur einmal pro Breitenzone zu bestimmen. Die Liniendichte der Massenlinie ergibt sich zu 'f = p V Tess. [6.23] h Um die Beziehungen [6.18], [6. 19] anwenden zu können, muß der Draht parallel zur z-achse im Aufpunkt verlaufen (Abbildung 6.4). Der durch B, L, h festgelegte Draht liegt in einem lokalen ellipsoidischen u, v, w-koordinatensystem vor, dessen w-achse in Richtung der äußeren Ellipsoidnormalen verläuft und dessen uw-ebene die Z '-Achse des terrestrischen geodätischen Koordinatensystems (siehe Kapitel 3.1) enthält. Die v-achse ergänzt das System zu einem mathematisch negativen Linkssystem. Der Koordinatenursprung dieses Systems (B, L, 0) liegt am Ellipsoid (Abbildung 6. 7). Durch die Aufpunktskoordinaten (BA, LA, ha) ist ein entsprechendes System im Aufpunkt A festgelegt. 62

70 X' Abbildung 6.7 Die orthometrischen Höhen werden direkt auf das Ellipsoid und die Ellipsoidnormale bezogen, die Undulations- und Lotabweichungsdifferenz zwischen Aufpunkt und Draht kann vemachläßigt werden. Die Anwendung der Beziehungen [ 6.18], [ 6.19] wird durch folgende Transformationen möglich: 1. Der Drahtpunkt P wird in das lokale ellipsoidische System des Aufpunktes transformiert. 2. Die Achsen des lokalen ellipsoidischen Systems im Aufpunkt werden parallel zu jenen des lokalen ellipsoidischen Systems des Drahtes gestellt, (ua, va, wa) => (u, v, w). 3. Spiegelung der w-achse an der uv-ebene. 4. Der Draht verläuft nun parallel zur w-achse im Aufpunkt und das u, v, w-system ist ident mit dem x,y,z-system in [6.18], [6.19]. Das Gravitationspotential und die Attraktionswirkung können berechnet werden. 5. Der Attraktionsvektor ist in das lokale ellipsoidische System des Aufpunktes zu transformieren (u, v, w) => (ua, va, wa). Die aus den Komponenten des Attraktionsvektors berechneten topographischen Lotabweichungen [6.6] sind auf Meridian und Parallel im Aufpunkt bezogen. Die Schritte 1) und 2) lassen sich vereinfachen, indem der Differenzvektor zwischen P und A in 63

71 das lokale ellipsoidische System des Drahtes transformiert wird und der Ursprung dieses Systems anschließend nach A verschoben wird. Zunächst werden die dreidimensionalen kartesischen Koordinaten von A und P aus den ellipsoidischen Koordinaten bestimmt X'= (N +h)cosbcosl, [6.24] Y'= (N +h)cosbsinl, Durch Differenzbildung Ltx;,A =x~ - x; [6.25] erhält man den Vektor PA im terrestrischen geodätischen Koordinatensystem. Die Transformation von A in das lokale ellipsoidische System von P erfolgt mit [6.26] -sinbcosl -sinbsinl cosbl R = r -sinl cosl 0. [6.26a] cosbcosl cosbsinl sinb Darin stellen Ry und R 2. Drehmatrizen um die Y'- bzw. Z'-Achse dar, die in den Klammern angefuhrten Werte bezeichnen die DrehwinkeL SY' ist eine Spiegelungsmatrix und fuhrt das mathematisch positive X',Y',Z'-System in ein mathematisch negatives über. Nun wird der Ursprung des u, v,w-systems nach A verlegt und die w-achse gespiegelt x= - S w u. [6.27] x bezeichnet das xyz-koordinatensystem aus [ 6. 18], [ 6.19]. Die Achsen dieses x,y, z-systems sind parallel zu jenen des u, v,w-systems in P, der Draht in P verläuft parallel der z-achse in A (Abbildung 6. 7). Damit sind die Schritte 1) bis 3) durchgefuhrt und die topographischen Korrekturen können berechnet werden. Der auf die x,y, z-achsen bezogene Attraktionsvektor wird durch eine Spiegelung an der xy Ebene wieder auf die u, v,w-achsen bezogen. [6.28] Im 5). Schritt ist nun der Attraktionsvektor Fuvw aufdie ua,va,wa-achsen ina zu beziehen, 64

72 CA:SBCA:ßBA +sinbsinba ca:i.._la-l) -sinba sin(la-l) sinbca:sba -CA:SBsinBA ca:i.._la- L)] R= sinbsin(la -L) ca:i.._la - L) -CA:SBsin(LA - L) [ CA:SBsinBA - sinbca:sba ca:i.._la - L) CA:SBA sin(la - L) CA:SBCAY3BA ca:i.._la -L)+sinBsinBA [6.29a] Durch eine Spiegelung an der uv-ebene erhält man die gesuchten Attraktionskomponenten, bezogen auf die xa,ya,za-achsen, [6.30] Die notwendigen Transformationen bringen zwei Nachteile mit sich: Für die Berechnung der Wirkung eines einzigen Drahtes ist eine Vielzahl von Rechenschritten notwendig. Zur Durchfuhrung der Rotation des Attrak:tionsvek:tors müssen alle Komponenten berechnet werden, auch wenn in weiterfuhrende Schritte nur eine Komponente eingeht. Ab einer gewissen Entfernung kann man die Massenlinie durch 2 Massenpunkte an den Enden der Massenlinie ersetzen, deren Masse gleich der halben Masse des Tesseroides ist. Dann werden die Attrak:tionsvek:toren berechnet und auf die ua,va,wa-achsen projiziert (Skalarprodukte). Damit sind die theoretischen Grundlagen zur lokalen Schwerefeldbestimmung abgeschlossen. Im folgenden Kapitel wird eine konkrete Störfeldstudie auf Basis der erarbeiteten Modelle präsentiert. 65

73 7. Die lokale Geoidstudie "Prutz in Tirol" Das Testgebiet Protz liegt im Inntal im Bundesland Tirol, rund 11 km flußaufwärts von Landeck. In diesem zwischen dem Westrand der Ötztaler Alpen und der Samnaungruppe gelegenen Gebiet wird auf einer Fläche von 20 km x 20 km eine hochauflösende Schwerefelduntersuchung auf Basis des modifizierten astrogravimetrischen Nivellements (Kapitel4.2) durchgefuhrt. Abbildung 7.1 veranschaulicht die hochalpinen Verhältnisse. Da diese Untersuchung in Bezug auf Ingenieurprojekte (Tunnel- und Überwachungsnetze, GPS- Projekte, Kombination heterogener Meßgrößen,...) erfolgt, ist das lokale Geoid mit einer Auflösung von 1-2 cm/10 km ( ) festzulegen und die Interpolation von Oberflächenlotabweichungen mit Meßgenauigkeit zu gewährleisten. Für einen wirtschaftlichen Einsatz der Methoden der physikalischen Geodäsie ist eine Beschränkung auf lokale Schwerefelddaten anzustreben. 7.1 Vorhandende Schwerefeld- und Geländeinformation Schweredaten Im Untersuchungsgebiet Protz liegt ein Satz von 239 gut verteilten Schwerewerten auf einer Fläche von 40 km x 40 km vor. Die Daten stammen aus unterschiedlichen Quellen, weisen jedoch alle eine Genauigkeit von besser als ± 0.1 mgal (1 mgal = ms- 2 ) auf Höhenintervall [ m] Anzahl der Schwerewerte % so Tabelle 7. 1: Höhenmäßige Verteilung der Schweredaten Die Punkte sind trigonometrisch bestimmt, die Lage- und Höhengenauigkeit beträgt einige cm. 66

74 Abbildung 7.1 Ausschnitt aus der Übersichtskarte von Österreich, M = 1:

75 40 KM y=loooo M x = M M KM Abbildung 7.2: Verteilung der Schwerewerte 68

76

77 Als Schwerebezugssystem dient das International Gravity Standardization Net 1971 (ISGN 71). Die Verteilung der Daten geht aus Abbildung 7.2 hervor. Die Meßpunkte liegen im Höhenbereich zwischen 642 m und 2900 m (Tabelle 7.1), der mittlere gegenseitige Abstand beträgt rund 2.6 km Lotabweichungen Die gesamt-österreichische Geoidbestimmung erfolgte in zwei Schritten. Bis 1983 wurde das Geoid im östlichen Teil des Bundesgebietes aus 521 astrogeodätischen Lotabweichungen berechnet (Rinner et al, 1983). In den Jahren wurden weitere 150 astrogeodätische Lotabweichungen in den westlichen Bundesländern Tirol und Vorartberg beobachtet. Die Feldkampagnen wurden vom Bundesamt fur Eich- und Vermessungswesen (BEV) gemeinsam mit den Technischen Universitäten Wien und Graz realisiert. Auf allen Stationen wurden Messungen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten durchgefuhrt. Die Dichte der Datenpunkte ist annähernd homogen, der mittlere Punktabstand beträgt ca. 12 km. Die äußere Genauigkeit der astronomischen Koordinaten wird mit ± 0.4" angegeben. Auf Grundlage dieser Daten erfolgte 1987 eine neue Erdschwerefeldbestimmung fur Österreich (Sünkel et al., 1987), (Sünkel, 1989). Aus diesem Satz von 683 astronomischen Koordinatenpaaren wurden die im Testgebiet befindlichen Werte ausgewählt, sie sind in Abbildung 7.3 dargestellt und mit einer dreisteiligen Punktnummer versehen. Weiters befindet sich im Untersuchungsgebiet ein Ingenieurnetz der Tiroler Wasserkraftwerke AG (TIW AG) zur Überwachung der Druckschachtleitung des Kaunertalkraftwerkes. Im Rahmen einer an der Abteilung Theoretische Geodäsie durchgefuhrten Diplomarbeit wurden in diesem Netz Lotabweichungen nach der Methode der gleichen Höhen bestimmt (Kofler, 1991). Diese Daten werden ebenfalls zur detaillierten Schwerefeldbestimmung herangezogen, sie sind in Abbildung 7.3 eingetragen und durch eine vierstellige Punktnummer gekennzeichnet Das digitale Dichtemodell Im Zuge der gesamt-österreichischen Geoidbestimmung wurde zwischen 1983 und 1986 ein zweidimensionales digitales Modell von Oberflächendichten erstellt. Das Modell erstreckt sich mindestens 180 km über die Österreichische Staatsgrenze hinaus und überdeckt den gesamten Alpenbogen. Die Dichteannahmen erfolgten nach publizierten Daten und einer Reihe von eigens angestellten Untersuchungen, die Abgrenzung der Dichteprovinzen nach offiziellen geologischen Karten. Die Genauigkeit des Modells wurde anhand von Fallstudien überprüft. 69

78 c ll 0 676,;79,;so KM ooe o ,.S84 46 y=loooo M x = M M 28 Abbildung 7.3: Lotabweichungen 70

79 Wird die Gültigkeit der Dichte bis zum Meersniveau beschränkt, so beträgt der mittlere Fehler rund ± 4% (Walach, 1987). Dieses Dichtemodellliegt mit einer Auflösung von 1.5' x 2.5' vor, die Dichtewerte sind auf 50 kgm- 3 gerundet festgelegt. Abbildung 7.4 zeigt das digitale Dichtemodell im Bereich 45 < B <50, 7 < L < 20, die Dichte variiert hier zwischen 1000 kgm- 3 und 2850 kgm Höhenmodelle Im Kerngebiet liegt auf einer Fläche von 60 km x 60 km ein digitales Geländemodell mit 50 m Rasterweite in Funktion von Gebrauchskoordinaten (Gauß-Krüger Koordinaten, sphäroidische Höhen) vor. Jeder Meßpunkt liegt mindestens 10 km innerhalb der Grenzen dieses hochauflösenden Modells. Die Punkthöhendaten stammen aus der Geländehöhen-Datenbankdes BEV. Seit 1976 erfolgt dort die Erfassung der Geländeoberfläche (Bezugsfläche ist der natürliche Boden ohne Bewuchs) im Hinblick auf die Orthophotoherstellung im Maßstab 1: durch automatische Registrierung entlang parallerer Profile mit konstantem Wegintervall (Franzen, 1995). Die Datendichte ist der Struktur des Geländes angepaßt, mit einem linearen Abstand zwischen 30 und 160 m. Seit 1986 werden zusätzlich Geländestrukturen wie markante Höhenpunkte, Formen- und Bruchlinien in die Erfassung einbezogen. lin. Abweichung [ m] Anzahl % > Tabelle 7.2: BEY-Raster, 50 m Rasterweite absolute Differenz zwischen gemessener und interpolierter Höhe 71

80 CQ ) N ro 1000 Abbildung 7.4 : Ausdehnung des digitalen Oberflächendichtemodells

81 lin. Abweichung [m] Anzahl % > Tabelle 7.3: IPF-Raster, 250m Rasterweite absolute Differenz zwischen gemessener und interpolierter Höhe Da das Geländemodell des BEV ausschließlich auf das Österreichische Bundesgebiet beschränkt ist, mußte der südwestliche, gänzlich in Südtirol gelegene 10 km x 10 km Block aus dem 250 m Modell des Institutes für Photogrammetrie und Fernerkundung (IPF) der Technischen Universität Wien entnommen werden. An das hochauflösende BEV -Modell schließt das Höhenmodell des IPF an, das eine Rasterweite von 250 m aufweist und ebenfalls auf Gebrauchskoordinaten basiert. Die Daten stammen aus einer Digitalisierung der Höhenschichtenlinien der Österreichischen Karte 1: und 1: Zusätzlich wurden alle verfügbaren amtlichen Festpunkte mit Höhenanschluß einbezogen. Die Genauigkeit der beiden Modelle wurde durch Interpolation der Höhen für die 23 9 gravimetrischen Meßpunkte qualifiziert (Tabelle 7.2 und 7.3). Die Modellhöhen wurden aus den 16 umliegenden Rasterpunkten interpoliert und den gemessenen Höhen gegenübergestellt. Die mittlere quadratische Abweichung beträgt beim 50 m Raster des BEV ± 5.4 m, die mittlere absolute lineare Abweichung 3.9 m, die maximale Abweichung 26.9 m. Für den250m Raster des IPF erhält man ± 63 m bzw. 43 m und223m für das Maximum. 73

82 Der Übergang zu den in Funktion geographischer Koordinaten vorliegenden Geländemodellen wird durch einzelne Kompartimente mit variablen Seitenlängen hergestellt. Diese wurden aus dem 250 m -Modell derart berechnet, daß die Fläche zwischen dem auf ebenen Koordinaten basierenden IPF-Raster und den Bildern der Meridiane (L=9 40', L=ll 0 50') und Parallele (B=46 36', B=47 30') in der Projektion ausgefullt wird. Außerhalb dieses Gebietes hätte ursprünglich ein Geländemodell mit einer einheitlichen Rasterweite von 1.5' x 2.5' eingesetzt werden sollen. Bei Plausibilitätskontrollen fiel jedoch auf, daß dieses Modell jenseits der Grenzen der ÖK 1 : grobe Datenfehler beinhaltet. Daher wurde diese Geländeinformation verworfen und auf ein vom BEV gemeinsam mit dem Institut fur Meteorologie und Geophysik der Universität Wien bestimmtes Höhenmodell zurückgegriffen. Die Daten zur Berechnung dieses Modells wurden aus den Höhenschichtenlinien der ÖK 1:50000 bzw. 1:25000 erhoben und durch diskrete Geländepunkte ergänzt. Außerhalb des Bundesgebietes wurden kleinmaßstäbige Kartenwerke herangezogen (Ruess, 1983). Die Höhenwerte liegen in Form mittlerer Kompartimenthöhen vor, wobei im Hinblick auf die Nutzung fur gravimetrische Korrekturen auf die Wiedergabe der topographischen Massen wertgelegt wurde. In der vorliegenden Arbeit wurden Elemente aus den Rasterstufen R1 (11.25" x 18.75"), R4 (1.5' x 2.5') und R6 (6' x 10') einbezogen. Um die Dichteinformation vollständig nutzen zu können, wurden die R6 Elemente in R4 Elemente gleicher Höhe unterteilt. Die Lage und Ausdehnung der einzelnen Teilraster geht aus Abbildung 7.5 hervor. 7.2 Topograplliscll-isostatisclle Reduktion der Scllwerefelddaten Schwerewerte Die Reduktion der Schwerewerte erfolgt nach den im Kapitel 5 angefuhrten Schritten. Die Wirkung der Topographie wird mit Hilfe des eben beschriebenen Gelände- und Dichtemodells berechnet. Da fur alle Schwerestationen eine tachymetrische Aufnahme der unmittelbaren Umgebung fehlt, kann nur die im 50 m Modell enthaltene Geländeinformation verarbeitet werden. Für die Nahbereichsreduktion werden alle Rasterpunkte im Umkreis von 300 m eingelesen. Gemeinsam mit der Aufpunktshöhe ist damit eine kontinuierliche Oberflächendarstellung z.b. nach der multiquadratischen Interpolation möglich. Um Glättungseffekte zu vermeiden, ist unbedingt ein Interpolations- und kein Approximationsverfahren anzuwenden. Die numerische Integration nach Kapitel wird auf ein Quadrat mit der Seitenlänge von200m angewandt. Der Mittelpunkt dieses Quadrates ist der dem Aufpunkt am nächsten gelegene Rasterpunkt (Abbildung 7.6). Die Schrittweite der numerischen Integration wird entfernungsabhängig variiert. Die Geländeform im Bereich des Aufpunktes zeigt sich von der Aufpunktshöhe stark 74

83 l _ll_l _l I IJ _l t±[!ij _l I _l _j 1 _j J _Li H-t_l I 1_1_11 1_11 I~J_lJI _l I I _l_j_ 1 1_1 jl _1 1-=f -t 11 l ~ I l _l_l ~_l I.JJ I J IJ I IJ - r r n r " I ~.l.l.l 1.1 l I ].l.jj_ij.j _l_j J J J J I J 1 ll_l -t L 0 (\J J_ ~ ffi II ~I I I J 11 I J EP tf -ro -~ is r rt~ 0 ~'ß \0 -WB "'- E-< mmt!f,. m: ~ [~_ ir.l E -<LI;~ _j Ln ~ "<!" II Q:l II _J 75

84 beeinflußt (Abbildung 7. 7). Für den Bereich zwischen 200 m und 400 m um den Aufpunkt wird die Topographie durch Hyperboloide dargestellt. Die Hyperboloidfläche ist durch jeweils vier Rasterpunkte eindeutig bestimmt, die Attraktionswirkung erhält man nach Kapitel durch numerische Integration. Die Nahbereichsreduktion bis 400 m erfolgt mit einem Fehler< ± 2 mgal, die Ursache liegt in der mangelnden Geländeinformation in diesem Bereich. Systematische Effekte wie Dämme, Einschnitte (z.b. eine Straße) und hochfrequente Änderungen der Oberflächengestalt bleiben unberücksichtigt. X A y I Hardy-Verfahren l 2oh~ I I I I H1perboloide I I I I 400m Abbildung 7. 6 In der Zone zwischen 400 m und 3000 m wird die Quaderformel eingesetzt, außerhalb erfolgt die Berechnung des topographischen Effektes auschließlich aus Massenlinien. Für Aufpunkte, deren Abstand von den Grenzen des 50 m Modells mehr als 10 km beträgt, wird ab dieser Entfernung ein aus dem 50 m Modell abgeleitetes Modell mit einer Rasterweite von 250 m verwendet. Für die isostatischen Kompensationsmassen nach dem Airy-Heiskanen Modell wird eine Kompensationstiefe von 30 km und eine konstante Dichte des oberen Mantels von 3270 kgm- 3 angesetzt. Das isostatische Modell weist dieselbe Ausdehnung wie das gesamte Höhenmodell auf. Die innerhalb des Einzugsgebietes vorhandenen Wassermassen (z.b. Bodensee) haben keinen Einfluß aufdie Schwere ( :::; mgal). 76

85 ohne Betücksichtigung der Aufpunktshöhe 400m 400m mit Betücksichtigung der Aufpunktshöhe Abbildung 7. 7: Einfluß der Aufpunktshöhe auf die Umgebung 77

86 Punkthöhe [ m] Einfluß der einzelnen Teilraster gesamt 50mBEV 250m IPF R1, R4, R Tabelle 7.4: Atmosphärischer Terraineffekt [mgal] Die Wirkung des atmosphärischen Terraineffektes beträgt nach Kapitel 5.2 im Hochgebirge etwa 0.05 mgavkm und wird durch Subtraktion der Dichte der untersten Atmosphärenschicht von der Dichte der topographischen Massen berücksichtigt. Um die Größenordnung dieses Effektes im konkreten Fall zu veranschaulichen, wurden die topographischen Massen mit der Dichte kgm- 3 versehen und die Wirkung auf die gemessene Oberfachenschwere berechnet. Die Ergebnisse sind in Tabelle 7.4 fur einige konkrete Aufpunkte angegeben. Der indirekte Effekt der topographisch-isostatischen Massenverlagerung beträgt 5-7 m und wird nach [ 5.24] berücksichtigt. Die reduzierten Oberflächenschwerewerte wurden vorerst unter Anwendung des theoretischen Freiluftgradienten [5.16] auf das Geoid reduziert. Mit der Normalschwere am GRS80 Ellipsoid kann nach [5.12] die Schwereanomalie gebildet werden. Lotabweichungen Aus den astronomischen Koordinaten der Meßpunkte werden nach [3. 3] Lotabweichungen gebildet. Die ellipsoidischen Koordinaten der Meßpunkte sind auf das Besselellipsoid in der Lagerung des Militär-Geographischen Institutes (MGI) bezogen. Der Ursprung des MGI 78

87 Systems liegt nicht im Geozentrum und die Achsen sind gegenüber den CTS-Achsen verschwenkt. Die Verschwenkung der Achsen muß bei der Berechnung der Lotabweichungen beachtet werden, dafur wird ein aus mehreren österreichweiten Institutsprojekten abgeleiteter Parametersatz MGI => CTS verwendet: 8X= m OJx = " m= 2.45 ppm OY= 92.7 OJy,= Z= OJz.= Durch Berücksichtigung der Meridiankonvergenz nach [3.4] werden die Oberflächenlotabweichungen auf das ebene Gauß-Krüger Gitternetz bezogen. Die Reduktion der Oberflächenlotabweichungen erfolgt analog jener der Schwerewerte, allerdings braucht die numerische Integration nach Kapitel nur auf den ionersten Bereich (<100 m) angewendet zu werden. Außerhalb (<400 m) reicht die Unterteilung der Topographie durch Quader mit höherer Auflösung aus. Der atmosphärische Terraineffekt beträgt weniger als " und kann vernachläßigt werden. 7.3 Interpolation von Schwereanomalien Für die Berechnung des Vertikalgradienten der Schwereanomalie und der gravimetrischen Lotabweichung muß die Schwereanomalie in Funktion des Ortes bekannt sein. Es ist daher die Anwendung von Interpolationstechniken notwendig, um engmaschige Anomalieraster zu berechnen. Die Maschenweite ist so zu wählen, daß die Anomalie innerhalb eines Kompartiments als konstant angesehen werden kann. Aus den Anomalien wurde ein regelmäßiges Raster mit Lix=Liy=250 m nach der multiquadratischen Interpolation berechnet. Da die Meßwerte in der näheren Umgebung des Interpolationsspunktes einen großen Einfluß auf das Ergebnis haben und entfernte Daten nur wenig zur Lösung beitragen, werden nur Daten innerhalb eines definierten Umkreises fur die Interpolation benötigt. Beim vorliegenden Restfeld hat sich ein Einzugsgebiet zwischen 5 und 8 km als ausreichend erwiesen. Der Raster wurde über das Meßpunk:tgebiet hinaus ausgedehnt, so daß ein Anomaliefeld von 44 km x 44 km entsteht. Abbildung 7. 8 zeigt das so erhaltene Anomaliefeld. Eine Beurteilung der Genauigkeit der Schätzwerte ist durch den Vergleich interpolierter Werte mit reduzierten Meßwerten möglich. Dabei werden in den Datenpunkten Anomalien geschätzt und verglichen, wobei der jeweils betrachtete Meßwert nicht in die Interpolation eingehen darf 79

88 Abbildung 7.8: Topographisch-isostatische Schwereanomalien [mgal], GRS80 80

89 Abbildung 7.9: Differenzen: reduzierter Schwerewert minus interpolierter Wert [mgal] 81

90 Ü 5 MQO.l. I I f 1! r I I I I 40 km I 1 y= lo OOO M x = M G. K. M 28 no.ch Ferro 40 km Abbildung 7. 10: Differenzen: reduzierter Schwerewert minus interpolierter Wert [mgal] 82

91 Die Differenz zwischen interpoliertem Wert und dem Meßwert ist ein Maß fur die äußere Genauigkeit der Interpolation. Aus den derart bestimmten Differenzen [7.1] folgt der mittlere quadratische Fehler der Interpolation, [7.2] n bezeichnet die Anzahl der Differenzen und ist ident mit der Anzahl der Datenpunkte. Der mit der multiquadratischen Interpolation erhaltene Fehler beträgt ± 1.81 mgal, die maximale Abweichung 5.12 mgal (Abbildungen 7.9, 7.10). Zu Vergleichszwecken wurde die Interpolation auch mit der Prädiktion nach kleinsten Quadraten durchgefuhrt. Die Prädiktion ist eine statistische Methode und stellt einen Sonderfall der Kollokation nach kleinsten Quadraten dar. Zur Theorie der Kollokation sei auf die Literatur verwiesen (Moritz, 1963, 1973, 1980). Kernstück der Prädiktion ist die Kovarianzfunktion, welche die statistische Information über das Verhalten des Schwerefeldes liefert. Für die empirische Bestimmung der Kovarianzfunktion aus Meßwerten wird ein homogenes und isotropes Feld vorausgesetzt, d.h. die Kovarianz zwischen zwei Punkten ist nur vom gegenseitigen Abstand s abhängig. Für die Berechnung wird zwingend vorausgesetzt, daß fur den Mittelwert der betrachteten Meßwerte M{L1g} =0 [7.3] gilt (Moritz, 1963, S 8). Die Varianz ist das arithmetische Mittel der Quadrate der Anomalien [7.4] Die Halbwertsbreite Jl. Funktionswert die Hälfte der Varianz beträgt ist jenes Argument der Kovarianzfunktion C(s), fur das der c C(Ji.) =_o. [7.5] 2 Für die Prädiktion wurde in der vorliegenden Arbeit das verallgemeinerte Kovarianzmodell von Hirvonen gewählt, [7.6] 83

92 1 ( 1/p )1/2 p= [7.6a] A Der Parameter p steht in funktionaler Beziehung mit dem Krümmungsparameter der Kovarianzfunktion und ist auf positive, reelle Werte beschränkt. Nach (Kraiger, 1987, S 87) liefert ein Wert zwischen 0.2 s; p s; 0.3 [7.7] gute Prädiktionsergebnisse. Aus dem vorhandenem Datenmaterial wurden Varianz und Halbwertsbreite empirisch bestimmt, 52.1 mgaf, 5.4 km, die empirisch abgeleitete Kovarianzfunktion ist in Abbildung 7.11 dargestellt. 50 C(s) [mga/2] 10 s[km} 50 Abbildung 7.11 Das Anomaliefeld enthält einen systematischen Trend, der durch eine geeignete Funktion erfaßt werden kann. Als Trendfunktion wird eine Polynomfläche 2. Grades gewählt, [7.8] 84

93 Der Polynomgrad sollte stets ~ 3 sem, um em Ausschwingen der Fläche m datenfreien Gebieten zu vermeiden. Für die trendreduzierten Restanomalien erhält man Co = mgaf, ;..t = 2. 1 km, Nimmt man p= 0.25 an, so ist das Hirvonen Modell vollständig bestimmt, siehe Abbildung Die Prädiktionsergebnisse stimmen mit den nach Hardy erhaltenen Werten weitgehend überein, die Differenzen betragen in der Regel weniger als ± 0.5 mgal. Der mittlere quadratische Fehler [7.2] der prädizierten Anomalien ergibt sich zu ± 2.21 mgal, die maximale Abweichung zu 5.64 mgal. Das mit beiden Methoden erhaltene Ergebnis kann angesichts der hochalpinen Verhältnisse als befriedigend angesehen werden. Dazu kommen die ungenügende Information über die Nahbereichstopographie und die Tatsache, daß mit der vorhandenen Meßpunktdichte die hochfrequenten Anteile des Schwerefeldes nicht aufgelöst werden können. 20 C(s) [mgaf2} 10 Hirvonen-Modell s[km} 30 Abbildung Der Vertikalgradient der Schwereanomalie Nach Kapitel 5.4 kann der Vertikalgradient der Schwereanomalie aus dem Anomaliefeld berechnet werden. Mit dem nun vorhandenen regelmäßigen Anomalieraster folgt der Gradient aus [5.20]. Die notwendige Ausdehnung der Integration erhält man durch Variation der Größe 85

94 Punkthöhe [ m].1g [mgal] 8-1gl&l [mgallm] -(o.1gloh)h ~.1g-(8Av/, R= 7000 m R= 9000 m R= m R= m

95 R= m Tabelle 7. 5: Vertikalgradient der Schwereanomalie des Einzugsgebietes, wichtig ist dabei die Symmetrie des berücksichtigten Gebietes zum Aufpunkt Die Anomalien in der unmittelbaren Meßpunktumgebung ( < 500 m) werden wegen der Singularität des Integralkerns ausgeschlossen. Tabelle 7.5 zeigt die einzelnen Schritte der Iteration fiir konkrete Meßpunkte, R bezeichnet den Radius des Integrationsgebietes. Aus der Tabelle geht hervor, daß der Gradient nach etwa 10 km gegen einen festen Wert konvergiert. Um fiir eine ausreichende Anzahl von Meßpunkten Gradienten zu erhalten, erfolgte die Berechnung fiir alle Punkte, die mehr als 6 km vom Rand des 44 km x 44 km Rasters entfernt sind. In den übrigen Meßpunkten wurde der Vertikalgradient der Schwereanomalie gleich Null gesetzt. Die Anwendung der Gradienten bei der Reduktion der Schwerewerte auf das Geoid ergab ein unruhiges Restfeld, siehe Abbildung Daher blieb der Gradient generell unberücksichtigt und es wurden fiir die weiteren Berechnungen die mit dem theoretischen Freiluftgradienten reduzierten Anomalien verwendet. Die in der Tabelle 7.5 angegebenen Gradienten erscheinen zum Teil unrealistisch. Durch die großen Punkthöhen tritt der Effekt im Anomaliefeld deutlich hervor. Der Grund fiir die unsichere Bestimmung der Gradienten liegt in den fehlerbehafteten Punktanomalien und in der zu geringen Datendichte Astrogravimetrische Lotabweichungsinterpolation Aus den Beziehungen [2.43] bzw. [2.44] erhält man die gravimetrische Lotabweichung. Da die Schwereanomalien auf das GRS80 bezogen sind, die astrogeodätischen Lotabweichungen aber auf das MGI-System, muß vor dem Vergleich eine Datumstransformation der gravimetrischen Lotabweichung stattfinden, ~~a1 = ~~Rs +(BaRs- BMai) + wx sin L- Wr cosl, [7.9a,b] 87

96 Abbildung 7.13 : Anomaliefeld unter Anwendung des Gradienten [ mgal], GRS80 88

97 17~01 = 'll~rs +(LaRs - LMGI )cosb - (m x cosl +lür sinl)sinb +m 2 cosb. B, L bezeichnen die ellipsoidischebreite und Länge. Die numerischen Werte der Drehwinkel sind in Kapitel 7.2 angefiihrt. 44km 44km Abbildung 7.14 Für die Berechnung der gravimetrischen Lotabweichung muß em radialsymmetrisches Anomaliefeld vorliegen. Der Radius des Einzugsgebietes ist in dieser Arbeit gleich dem minimalen Abstand des Aufpunktes von der Begrenzung des Anomalierasters, siehe Abbildung Die Abbildungen 7.15 zeigen die Veränderung der gravimetrischen Lotabweichung in Abhängigkeit von den berücksichtigten Anomalien. Erst wenn die Lotabweichungskurve horizontal verläuft, kann das Ergebnis als stabil betrachtet werden. In den drei ausgewählten Punkten ist das vorhandene radialsymmetrische Einzugsgebiet zu klein, um gesicherte Lösungen zu erhalten. Die Übereinstimmung mit den astrogeodätischen Werten ist dennoch befriedigend. Tabelle 7.7 zeigt die gravimetrisch berechneten Lotabweichungen in allen astrogeodätischen Meßpunkten (Abbildung 7.3). Signifikant groß scheint die astrogeodätische Lotabweichung im Punkt 584. Daher wurden auf Anfrage im BEV die vorhandenen technischen Unterlagen genau untersucht. Die astronomischen Koordinaten im Punkt 584 wurden demnach Anfang Juli und Anfang September desselben Jahres beobachtet und weisen eine Differenz von " in ifj und in.a auf Die betragsmäßig große Cogeoidlotabweichung resultiert daher aus den im Massenmodell nicht enthaltenen Dichteanomalien. 89

98 Punkt 578 R[km} Punkt 578 R[km} ~ [''] Punkt R[km} [''] Punkt 582 R[km} Punkt 577 R[km} Punkt R[km} Abbildung

99 Die 17c -Komponenten der von (Kojler, 1991) übernommenen Lotabweichungen schwanken stark und scheinen fehlerhaft. Die Durchsicht der Beobachtungs- und Berechnungsfaszikel bekräftigen diesen Eindruck, die A, -Werte zeigen innerhalb der einzelnen Sätze Schwankungen bis zu 2". Außerdem ist die vom Beobachter ermittelte persönliche Gleichung von 0.4s unrealistisch groß. Daher wurden die 17c -Komponenten von den weiteren Berechnungen ausgeschlossen. I Punkt q~ 17~ 17: I I I I q: I R[km] I Tabelle 7.7: Gravimetrische Lotabweichung ["] Bei der astrogravimetrischen Lotabweichungsinterpolation wurden anstatt der eben angefuhrten gravimetrischen Lotabweichungen sogenannte gravimetrische Modell Lotabweichungen verwendet. Diese Modell-Lotabweichungen entstehen durch Berücksichtigung des gesamten, in Bezug auf den jeweiligen Berechnungspunkt unsymmetrischen 91

100 Anomalierasters. Infolge dieser Unsymmetrie sind s1e nicht mit den astrogeodätischen Lotabweichungen vergleichbar. Der Vorteil bei der Verwendung dieser Modell Lotabweichungen liegt in ihrem systematischen Verlauf, sie ermöglichen die Beschränkung auf ein Anomaliegebiet minimaler Ausdehnung. Nach Kapitel 4.1 kann in dem durch die gravimetrischen Modell-Lotabweichungen und die astrogeodätischen Lotabweichungen gegebenen Restfeld fur jeden Punkt die Lotabweichung interpoliert werden. [7. 10a] c c ( c c ) 17a = 1'lg + 17a - 1'lg ipol [7. 10b] Um Aussagen über die Genauigkeit der astrogravimetrischen Lotabweichungsinterpolation treffen zu können, wird das in Kapitel 7.3 beschriebene Verfahren angewandt. Die in den Stützpunkten aus dem astrogravimetrischen Restfeld interpolierten (Harl{);-Verfahren) Werte werden den astrogeodätischen Lotabweichungen gegenübergestellt (Tabelle 7.8). Da die Schwereanomalien auf das erweiterte Kerngebiet beschränkt sind, ist eine Interpolation nur innerhalb des äußersten von den Stützpunkten gebildeten Polygons sinnvoll. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß der mittlere Fehler m durch die Abweichung von den astrogeodätischen Werten gekennzeichnet ist. Zum Vergleich sind in Tabelle 7.9 die Ergebnisse einer rein auf astrogeodätischen Lotabweichungen basierenden Interpolation angefuhrt. Die Abweichungen zeigen, daß die Verwendung von Schwereanomalien eine beachtliche Genauigkeitssteigerung bewirkt. Da der gegenseitige Abstand der aus (Kofler, 1991) entnommenen Werte gering ist, wird fiir die Bestimmung des mittleren Interpolationsfehlers keiner dieser Punkte als Stützstelle verwendet. Die berechneten Genauigkeiten charakterisieren die Interpolationsgenauigkeit der Oberflächenlotabweichung, da in den reduzierten Werten sämtliche Fehler (Massenmodell, Beobachtungsfehler) bereits enthalten sind. Bei der eigentlichen Lotabweichungsinterpolation kann die in Tabelle 7.8 eingetragene Genauigkeit aufjeden Fall erreicht werden, da bei der obigen Berechnung der Abweichungen der betrachtete Datenpunkt nicht in die Interpolation eingeht und somit ein wesentlich größerer Stützpunktabstand entsteht Geoidberechnung Aus dem astrogravimetrischen Restfeld wurde ein regelmäßiger Raster fur ~:, 11: mit250m Rasterweite interpoliert, siehe Abbildung Somit kann die Cogeoidlotabweichung an jedem Punkt innerhalb des 20 km x 20 km Quadrates linear interpoliert werden und man erhält durch Wiederaufsetzen der ursprünglichen Massen Oberflächenlotabweichungen. 92

101 Punkt ~~ (~~)ipol V~ ±m~ 17~ (17~)ipol v'l ±m'l Tabelle 7. 8: Astrogravimetrische Lotabweichungsinterpolation ["] Punkt ~; TJ; ~~ 17~ Tabelle 7.8a: Stützstellen Gravimetrische Modell-Lotabweichung, astrogeodätische Lotabweichungen ["] 93

102 1 Punkt ~: r~:jipol v4 ±m4 1]: h:jipol v'7 ±m' Tabelle 7.9: Astrogeodätische Lotabweichungsinterpolation ["] Punkt ~: 1]: Tabelle 7.9a: Stützstellen astrogeodätische Lotabweichungen ["] 94

103 Abbildung a : Cogeoidlotabweichung, c;-komponente ["] 95

104 Abbildung 7.16 b: Cogeoidlotabweichung, 17-Komponente ["] 96

105 Mit [3.8] bzw. [4.4] gelangt man zu einer flächenhaften Darstellung des Geoides. Integriert man die Lotabweichungen zu Cogeoidhöhendifferenzen, so ergibt sich fur den gesamten Raster ein Widerspruch von 58 mm. Die Widersprüche..1 der vier Teilschleifen entnehme man Abbildung Je nach Integrationsweg erhält man einen Cogeoidhöhenunterschied von 286 mm bzw. 317 mm bzw. 344 mm zwischen A und E. Der Gesamtwiderspruch beträgt somit..1ges= =-58 mm. In einem aus rein astrogeodätischen Lotabweichungen interpolierten Raster beträgt der Gesamtwiderspruch -96 mm. Aus den Cogeoidhöhendifferenzen wurde ein Höhennetz mit einem Punktabstand von 1 km in x und y gebildet und nach [3.13] frei ausgeglichen. Nach der Ausgleichung wurden die 1 km x 1 km Maschen verdichtet, indem die 250 m Teilblöcke durch gezwängten Ausgleich eingehängt wurden. Das so erhaltene Cogeoid ist in Abbildung 7.18 wiedergegeben E Li= = km = 2..1= -27 A km Abbildung 7. 17: Geoidhöhendifferenzen und Widersprüche [ mm] Das Geoid erhält man durch Berücksichtigung des indirekten Effektes der Massenverlagerung mit umgekehrtem Vorzeichen. Maßgebend ist der relative indirekte Effekt, da ein konstanter Anteil bei der anschließenden Lagerung herausfallt. Tabelle 7.10 enthält den indirekten Effekt der atmosphärischen Terrainmassen und den indirekten Effekt der durch die Vernachlässigung der Konvergenz der Lotlinien entstandenen Defizitmassen in einigen willkürlich herausgegriffenen Geoidpunkten (über den gesamten Geoidbereich verteilt). Die Höhe ist angegeben, um eine Vorstellung von der Mächtigkeit der Topographie über dem Aufpunkt zu 97

106 Abbildung 7.18: Cogeoid Protz, Höhenlinienintervall: 1 cm, Datum: MGI, Bessel-Ellipsoid, M 28 98

107 Abbildung 7.18: Der indirekte Effekt, Höhenlinienintervall : 5 cm, Datum: MGI, Bessel-Ellipsoid, M 28 99

108 erhalten. Der relative Effekt beider Einflüsse ist vernachlässigbar gering. Abbildung 7.19 zeigt den indirekten Effekt der gesamten Massenverlagerungen. Die Genauigkeit der erhaltenen Geoidlösung ist durch mehrere Faktoren beeinflußt, wie Datendichte, -Verteilung, -qualität, Genauigkeit der Interpolation und der Berechnungsmethoden der Masseneffekte. Der aus dem freien Ausgleich erhaltene mittlere Gewichtseinheitsfehler beträgt ± 1 mm und bezieht sich auf die Cogeoidhöhendifferenz zweier Punkte im Abstand von 1 km. Er repräsentiert die hohe innere Genauigkeit der Lösung. Die äußere Genauigkeit liegt in der Größenordnung des halben Widerspruches und beträgt rund ± 30 mm im gesamten Gebiet (Distanz A E rund 28 km). Der relative indirekte Effekt kann in Abhängigkeit von den unbekannten Dichteanomalien und fehlerhaften Dichtewerten auf einige mm genau bestimmt werden, siehe dazu auch Kapitel 6.5. Der Einfluß hat langwelligen Charakter, beeinträchtigt also benachbarte Punkte annähernd gleich. Ein Fehler bei der Berechnung des indirekten Effektes geht direkt in die Geoidhöhendifferenz ein. Addiert man die angefuhrten Teilbeträge quadratisch, so ergibt sich eine äußere Genauigkeit von ± 32 mm (s= 28 km). Da sowohl der Einfluß einer fehlerhaften Potentialberechnung als auch der Einfluß einer fehlerhaften Cogeoidlotabweichung proportional zur Distanz s verläuft, ist die Angabe eines distanzabhängigen Geoidhöhenfehlers naheliegend. In der vorliegenden Arbeit erhält man mlw [mm] = ±1.3 s [km]. [7.11] Für zwei 10 km voneinander entfernte Punkte ergibt sich demnach einen Fehler von ± 13 mm fur die relative Geoidundulation. Dieser Wert liegt im unteren Bereich der geforderten Genauigkeit und kann als höchst befriedigend angesehen werden. Die Lagerung des relativen Geoides erfolgte in der vorliegenden Arbeit über das österreichweite Geoid des BEV. Das endgültige Ergebnis ist in Abbildung 7.20 dargestellt, Abbildung 7.21 zeigt den entsprechenden Ausschnitt der österreichweiten Geoidlösung des BEV. Die langwelligen Strukturen der beiden Lösungen zeigen gute Übereinstimmung. Vergleicht man Abbildung 7.20 mit Abbildung 7.19 (indirekter Effekt), so erkennt man aus der Ähnlichkeit der geometrischen Formen den hochfrequenten Einfluß der Topographie. Abbildung 7.22 zeigt eine räumliche Darstellung des Detailgeoides, Abbildung 7.23 zeigt das Geoid in Bezug auf das mittlere Erdellipsoid. 100

109 Höhe [m] Atmosphärische Terrainmassen Defizitmassen II Tabelle 7.1 0: Indirekter Effekt [ mm] von Teilmassen auf die Geoidhöhe 101

110 Abbildung 7.20: Geoid Protz Höhenlinienintervall: 5 cm, Datum: MGI, Bessel-Ellipsoid, M

111 ~-,,-_,,-"-,~"-,,-~,-TS-r,L"~"-r,_~~..r,,-~-,,-r,-,"~,-ro-rs-~ Abbildung 7.21: Ausschnitt aus dem Geoid des BEV HöhenlinienintervalL 5 cm, Datum: MGI, Bessel-Ellipsoid, M

112 Abbildung 7.22 : 3D-Darstellung des lokalen Geoides Höhenlinienintervall: 5 cm, Datum: MGI, Bessel-Ellipsoid, M

113 Abbildung 7.23 : Geoid Prutz Höhenlinienintervall: 5 cm, Datum: GRS80 105

114 8. Resümee In der vorliegenden Arbeit wird das lokale Schwerefeld nach der Methode des astrogravimetrischen Nivellements bestimmt. Entscheidend fur eine detaillierte Schwerefeldstudie ist die Beachtung der mathematischen und physikalischen Modelle. Vor wenigen Jahrzehnten waren weder ausreichend Daten noch Rechnerkapazitäten vorhanden, um die strenge Theorie restlos beibehalten zu können. Berechtigterweise blieben bekannte Einflüsse unberücksichtigt und es gelangten vereinfachte Modelle zur Anwendung. Diese einfachen Modelle werden oft übernommen und nicht weiter hinterfragt, obwohl heutige Meßmittel diese Vereinfachungen nicht mehr rechtfertigen. Daher wurden die verwendeten Ansätze auf ihre Vollständigkeit hin überprüft und gegebenenfalls erweitert. So zeigt sich, daß die Verschwenkung der Achsen des nationalen geodätischen Referenzsystems gegenüber jenen des geozentrischen Systems berücksichtigt werden muß, um eine konsistente Lösung zu erhalten. Die Einfuhrung der Drehwinkel legt das Datum des lokalen Geoides eindeutig fest. Durch den nun streng realisierten Übergang zwischen den beiden Koordinatensystemen ist die Transformation von auf das Weltsystem bezogenen Beobachtungen festgelegt. Lotabweichungen und GP S-Vektoren sind also mit identen Drehwinkeln zu transformieren. Da auch terrestrische Meßgrößen von diesen Drehwinkeln beeinflusst werden (durch die Lotabweichungen, im Zuge der Reduktion vom natürlichen auf das ellipsoidische Lot), ist die Orientierung des Ingenieurnetzes bestimmt. Durch den Einsatz digitaler Gelände- und Dichteinformation kann das astrogravimetrische Nivellement derart modifiziert werden, daß eine räumliche Beschränkung des Anomaliefeldes keinen Verlust der Interpolationsgenauigkeit von Lotabweichungen mit sich bringt. Dafur müssen sich außerhalb des eigentlich interessierenden Gebietes astrogeodätische Lotabweichungen befinden, um Randeffekte abzufangen und ein regelmäßiges, gut interpolierbares Restfeld zu erhalten. Bedeutend ist diese Abwandlung des klassischen Ansatzes fur die praktische Anwendung, weil der Aufwand bei der Beschaffung, Homogenisierung und Reduktion von Schwerewerten verringert wird. Da Ingenieurdienstleistungen vor allem zeitabhängige Kosten verursachen, ermöglicht diese Modifikation eine wirtschaftliche Schwerefeldbestimmung. Bei der Reduktion der Schwerefelddaten auf das Geoid ist eine weitgehende Berücksichtigung der realen Atmosphärenmassen möglich, indem die Dichte der untersten Atmosphärenschicht konstant angesetzt und bei der Berechnung der Attraktion der topographischen Massen eingefuhrt wird. Weiters wird gezeigt, daß der Einfluß der Konvergenz der Lotlinien vernachläßigt werden kann und keine Auswirkung auf die Attraktion und den relativen indirekten Effekt hat. Durch die Anwendung der numerischen Integration kann die Genauigkeit der Nahbereichsreduktion erheblich gesteigert werden, wenn eine hochauflösende Geländedarstellung in diesem Bereich verfugbar ist. Da diese Daten in der vorliegenden Arbeit nur teilweise 106

115 vorhanden waren (50 m -Modell), ist auch die Berechnung des Vertikalgradienten der Schwereanomalie problematisch und fuhrt zu keinen brauchbaren Ergebnissen. Durch eine konsequente Berücksichtigung der notwendigen Reduktionsschritte wird eme Interpolationsgenauigkeit von ± 1.8 mgal fur Schwereanomalien und ± 0.4" fiir die Komponenten der Lotabweichung erreicht. Für das lokale relative Geoid ergibt sich ein Fehler von ± 13 rnrnllo km, der pessimistisch abgeschätzt wurde und somit aufjeden Fall eingehalten werden kann. Bei der Beurteilung der Ergebnisse ist zu beachten, daß das Testgebiet im hochalpinen Gelände (Meßpunkte bis h = 2900 m) in den Tiroler Alpen liegt. Dem praktisch tätigen Vermessungstechniker steht mit dem modifizierten astrogravimetrischen Nivellement eine effiziente Methode zur hochauflösenden Darstellung des Schwerefeldes zur Verfiigung. Wünschenswert wäre die Entwicklung einer anwenderfreundlichen Software, die dem Praktiker die Möglichkeit gibt, sämtliche vorhandene Schwerefeldinformation zu verknüpfen. Mit der rasanten Entwicklung der Geoinformationssysteme und einer zunehmenden V ernetzung verschiedener geodätisch tätiger Institutionen scheint dieses Ziel realistisch. 107

116 Anhang A: Die multiquadratische Interpolation Ein weit verbreitetes Interpolationsverfahren stellt die multiquadratische Interpolation dar. Nach (Hardy, 1971), (Hardy, 1972) kannjede glatte, analytisch nicht darstellbare Fläche durch Überlagerung regulärer Flächen dargestellt werden (eigentlich ist der Ausdruck ' multiquadratisch' eine falsche Übersetzung des englischen Wortes 'multiquadric'. Hardy hat diese Methode durch Überlagerung von Quadriken gewonnen). Für das gesamte Interpolationsgebiet wird eine einzige Interpolationsgleichung benützt, deren Koeffizienten aus den Stützpunkten berechnet werden. Da es sich bei diesem V erfahren um eine Interpolation handelt, werden die Stützpunkte exakt wiedergegeben. Für den Interpolationswert zp in einem Punkt P gilt z =z + C 1 C- 1 dz p m ' JG sl2 s]n C= 5 21 JG 5 2n Sn] 5 n2 JG zm ist der Mittelwert der n gegebenen z-werte in den Stützpunkten, G wird als Glättungsfaktor bezeichnet. Der Interpolationsvektor c 1 wird aus den Distanzen (unter Berücksichtigung von G) zu den Stützpunkten gebildet. Die Interpolationsfläche entsteht durch Überlagerung von Hyperboloiden, fur G=O gehen diese in Kreiskegel über und in den Stützpunkten entstehen Spitzen. Nach (Göpfert, 1977) erreicht man mit einem empirisch bestimmten Glättungsfaktor G = 0.6 s!in gute Interpolationsergebnisse, smin ist die minimale Distanz zwischen den Stützpunkten. 108

117 Anhang B: Potential und Attraktion für das dreiseilige Prisma Abbildung B. l zeigt das behandelte Prisma und seine Lage zum Koordinatensystem. Eine Seite des Prismas ist parallel zur xy-ebene und eine zweite parallel zur xz-ebene, sodaß ein Kantenwinkel ein rechter ist. Die Gleichung der schiefen Begrenzungsebene ist z=z 0 +ay, wonn a =tana Zz -zl a =--"--"- Yz -yl die Steigung der Ebene bestimmt. In den Kanten der schiefen Ebene bestehen die Beziehungen Zo y z Abbildung B. l Mit dem Massenelement des Prismas, und dem Aufpunkt im Koordinatenursprung ergibt sich das Gravitationspotential zu 109

118 Da die Integration aufwendig und langwierig ist, wird nur das Ergebnis angegeben (Mader, 1951, s 31): Y1 ( arctan X 2 z 2 - arctan X 2 Z Y 1 ~x2 + Y1 +z2 Y1~x2 + Y1 +z1 2 z 0 ( x2(y2+az2) x2(y1+az) + arctan - arctan 1 J (l+a 2 ) z ~x 2 +y +z z ~x 2 +y +z x z -ax z -ax ( arctan y y 1 - arctan J 2 ~2 2 2 ~2 2 2 X2 X2 + Y2 +z2 X2 x2 + Y1 +zl J I I Das Klammemsymbol bedeutet, daß der vorausgehende explizite Ausdruck fiir die m der Klammer stehende Koordinate erneut zu berechnen ist (x 1 anstelle x 2 ). Die Attraktion des Prismas in x-richtung berechnet man aus (Mader, 1951, S 32): llo

119 2 z 0 -ax z -ax x 2 2 arctan y -arctan y J [ ~2 2 2 ~2 2 2 X2 x2 +Y2 + Z2 X2 X2 +Y1 + Z1 Für die Attraktion in Richtung der y-achse erhält man: I ~ln x2 +...;x2 + y2 +z2 + l+a2 x + lx +y2 +z2 2 "V J +y [arctan x z - arctan x z Y1...; x2 +Y1 + z2 Y1 vx2 + Y1 + Z1 - ~[arctan x2 (y2 +a z2) - arctan x2 (y1 +a z1) J 1+a 2 I I Zo-..JX2 +Y2 +z2 Zo-..JX2 + Y1 +z1 Für die Attraktion in Richtung der z-achse erhält man: av Fz = oz =-Gp( Um fur verschiedene Prismenformen (Abbildung B.2) dieselben Formeln fur Attraktion und Potential verwenden zu können, sind die Integrationsgrenzen zu variieren: 111

120 y z Abbildung B.2 Form 1: Form 2: Form 3 : Form4: r2 x, c lz2 z, 'x2 x, r: rz2 r c r, x2 z2 IX' IY2 r, x2 y, z2 112

121 Anhang C: Numerische Integration nach dem Runge-Kutta Verfahren In der vorliegenden Arbeit wird das Runge-Kutta Verfahren 5. Ordnung nach Ruteher verwendet. Gesucht ist die numerische Lösung von x2 y=jj(x)dx. Das Intervall [xl> x 2 ] wird in n Teilintervalle der Länge h unterteilt, xk =x 1 +k h k = 0,1,2,... n. An jeder Stelle xk wird ein Näherungswert Yk fur y(xk) berechnet. In die Berechnung von Yk+J geht nur der vorangehende Näherungswert Yk ein, weshalb man von einem Einschrittverfahren spricht. Für das Runge-Kutta Verfahren 5. Ordnung erhält man k 4 =hf(x 0 + 3h/4), Diese Schleife wird n mal durchlaufen, um die numerische Lösung zu erhalten. 113

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127 Lebenslauf Werner Daxinger geboren in Steyr als Sohn des Dipl.-Ing. Oswald und der Christine Daxinger, geb. Scheyr Volksschule in Steyr, Promenade Bundesgymnasium Steyr-Wemdlpark, realistischer Zweig Juni 1988 Reifeprüfung Oktober 1988 Immatrikulation an der TU Wien, Inskription der Studienrichtung "Vermessungswesen" Oktober 1990 I. Diplomprüfung Fortsetzung des Studiums mit der Wahlfachgruppe "Erdmessung und Geophysik" Juni 1993 II. Diplomprüfung Juli 1993 bis Juni 1995 Halbbeschäftigter Vertragsassistent am Institut fur Theoretische Geodäsie und Geophysik der Technischen Universität Wien, Abteilung Theoretische Geodäsie seit September 1993 Halbbeschäftigter Ingenieurkonsulent-Anwärter m der väterlichen Kanzlei 119

128 GEOWISSENSCHAFTLieHE MITTEILUNGEN Bisher erschienen: Heft 1 Kolloquium der Assistenten der Studienrichtung Vermessungswesen , Dezember Heft 2 EGGER-PERDICH-PLACH-WAGENSOMMERER, Taschenrechner HP 45 und HP 65, Programme und Anwendungen im Vermessungswesen, 1. Auflage, März 1974, Special Edition in English, Juli 1974, 2. verbesserte Auflage, November Heft 3 Kolloquium der Assistenten der Studienrichtung Vermessungswesen , September Heft 4 EGGER-PALFINGER-PERDICH-PLACH-WAGENSOMMERER, Tektronix-Tischrechner TEK 31, Programmbibliothek fiir den Einsatz im Vermessungswesen, November Heft 5 K. LEDERSTEGER, Die horizontale Isostasie und das isostatische Geoid, Februar Heft 6 F. REINHART, Katalog von FK4 Horrebow-Paaren für Breiten von +30 bis +60, Oktober Heft 7 Arbeiten aus dem Institut für Höhere Geodäsie, Wien, Dezember Heft 8 Veröffentlichungen des Instituts für Photogrammetrie Photogrammetriein Helsinki 1976, Wien, Juli Heft 9 W. PILLEWIZER, Felsdarstellung aus Orthophotos, Wien, Juni Heft 10 zum XIII. Internationalen Kongreß für PERDICH-PLACH-WAGENSOMMERER, Der Einsatz des programmierbaren Taschenrechners Texas Instruments SR-52 mit Drucker PC100 in der ingenieurgeodätischen Rechentechnik, Wien, Mai Heft 11 Kolloquium der Assistenten der Studienrichtung Vermessungswesen , November Heft 12 Kartographische Vorträge der Geodätischen Informationstage 1976, Wien, Mai Heft 13 Heft 14 Heft 15 Heft 16 Heft 17 Heft 18 Heft 19 Veröffentlichung des Instituts für Photogrammetrie anläßlich des 80. Geburtstages von Prof. Dr.h.c. K. Neumaier, Wien, Januar L. MOLNAR, Self Checking Analytical Relative Orientation and Strip Formation, Wien, Dezember Veröffentlichung des Institus fiir Landesvermessung anläßlich des 80. Geburtstages von Prof. Dr. Alois Bavir, Wien, Januar Kolloquium der Assistenten der Studienrichtung Vermessungswesen , Wien, November E. VOZIKIS, Die photographische Differentialumbildung gekrümmter Flächen mit Beispielen aus der Architekturbildmessung, Wien, Dezember Veröffentlichung des Instituts für Allgemeine Geodäsie anläßlich des 75. Geburtstages von Prof. Dipl.-Ing. Dr. F. Hauer, Die Höhe des Großglockners, Wien, H. KAGER, Bündeltriangulation mit indirekt beobachteten Kreiszentren, Wien, April1981. Heft 20 Kartographische Vorträge der Geodätischen Informationstage 1980, Wien, Mai Heft 21 Heft 22 Veröffentlichung des Instituts für Kartographie anläßlich des 70. Geburtstages Wolfgang Pillewizer: Glaziologie und Kartographie, Wien, Dezember von Prof. Dr. K. TEMPFLI, Genauigkeitsschätzung digitaler Höhenmodelle mittels Spektralanalyse, Wien, Mai Heft 23 E. CSAPLOVICS, Interpretation von Farbinfrarotbildern, Wien, Novemeber Heft 24 Heft 25 J. JANSA, Rektifizierung von Multispektral-Scanneraufnahmen- Entwicklung und Erprobung eines EDV-Programms, Wien, Mai Zusammenfassungen der Diplomarbeiten, Dissertationen und Habilitationen Instituten der TU Wien, Wien, November an den geodätischen 120