Begriffe aus der Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Begriffe aus der Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik"

Transkript

1 Begriffe aus der Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik Tomas Sauer Lehrstuhl für Mathematik mit Schwerpunkt Digitale Bildverarbeitung Universität Passau Numerik Weihnachtszwischenevaluierungstest, Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

2 Frage Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

3 Antwort: Jacobi Matrix Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

4 Frage 2 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

5 Antwort: Dividierte Differenz Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

6 Frage 3 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

7 Antwort: Doolittle Verfahren Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

8 Antwort: Doolittle Verfahren Erklärung: Do little... Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

9 Frage 4 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

10 Antwort: Banachscher Fixpunktsatz Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

11 Antwort: Banachscher Fixpunktsatz Erklärung: Bahn nach Fixpunkt Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

12 Frage 5 π π π π? π π π π Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

13 Antwort: Pivotsuche π π π π? π π π π Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

14 Antwort: Pivotsuche Erklärung: π? Wo? Suche! π π π π? π π π π Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

15 Frage 6 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

16 Antwort: Bandiert Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

17 Frage 7 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

18 Antwort: QR Zerlegung Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

19 Antwort: QR Zerlegung Erklärung: Kuh-R-Zerlegung Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

20 Frage 8 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

21 Antwort: Gauss Elimination Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

22 Antwort: Gauss Elimination Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

23 Frage 9 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

24 Antwort: Floating point Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

25 Frage 10 Nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

26 Antwort: Polynom Nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

27 Antwort: Polynom Nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, nom, Erklärung: πoλv = viel. Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

28 Frage 11 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

29 Antwort: Rundungsfehler Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

30 Frage 12 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

31 Antwort: Bézierkurve Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

32 Antwort: Bézierkurve Erklärung: B Zier Kurve Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

33 Frage 13,,,,... Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

34 Antwort: Cauchyfolge,,,,... Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

35 Frage 14 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

36 Antwort: Interpolation Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

37 Antwort: Interpolation Erklärung: Inder Polation Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

38 Frage 15 0 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

39 Antwort: Total positiv 0 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

40 Antwort: Total positiv Erklärung: Total (Logo!) grösser als 0 0 Tomas Sauer (Uni Passau) Das Numerik Quiz Passau, / 16

Numerik I Einführung in die Numerik

Numerik I Einführung in die Numerik Numerik I Einführung in die Numerik M. Gutting 18. Oktober 2016 Termine Termine Vorlesung: dienstags von 12:15 Uhr bis 13:45 Uhr in ENC-D 201 und freitags von 14:15 Uhr bis 15:45 Uhr in ENC-D 223, Übung:

Mehr

Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik I

Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik I Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik I Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik I 1 / 49 Inhalte der Numerik

Mehr

Numerische Methoden. Thomas Huckle Stefan Schneider. Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker.

Numerische Methoden. Thomas Huckle Stefan Schneider. Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker. Thomas Huckle Stefan Schneider Numerische Methoden Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker 2. Auflage Mit 103 Abbildungen und 9 Tabellen 4Q Springer Inhaltsverzeichnis

Mehr

Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan :00-14:00 (120 min)

Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan :00-14:00 (120 min) Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Montanuniversität Leoben 70 004 Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan. 207 2:00-4:00 (20 min) Name Matrikelnummer Mündliche Prüfung: Bitte markieren

Mehr

Modulprüfung Numerische Mathematik 1

Modulprüfung Numerische Mathematik 1 Prof. Dr. Klaus Höllig 18. März 2011 Modulprüfung Numerische Mathematik 1 Lösungen Aufgabe 1 Geben Sie (ohne Beweis an, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind. 1. Die Trapezregel

Mehr

Mathematik für Ingenieure 1

Mathematik für Ingenieure 1 A. Hoffmann B. Marx W. Vogt Mathematik für Ingenieure 1 Lineare Algebra, Analysts Theorie und Numerik PEARSON Studium ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don

Mehr

Numerische Mathematik

Numerische Mathematik Hans Rudolf Schwarz I Norbert Köckler Numerische Mathematik 8., aktualisierte Auflage STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER Inhalt Einleitung 13 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1..5 1.6 1.7 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.2.1 2.2.2

Mehr

Nebenfach Mathematik Studienplan

Nebenfach Mathematik Studienplan Nebenfach Mathematik Studienplan Studienbeginn im Wintersemester 3. Semester Numerische Analysis I 4. Semester Computeralgebra 5. Semester Funktionentheorie Numerisches Praktikum Nebenfach Mathematik Studienplan

Mehr

Mathematik für Ingenieure 1

Mathematik für Ingenieure 1 A. Hoff mann B. Marx W. Vogt Mathematik für Ingenieure 1 Lineare Algebra, Analysis Theorie und Numerik PEARSON btudiurn. ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don

Mehr

Mathematik für Ingenieure

Mathematik für Ingenieure A. Hoffmann B. Marx W. Vogt Mathematik für Ingenieure Lineare Algebra, Analysis Theorie und Numerik 1. Auflage ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills,

Mehr

Krylov-Raum-Verfahren und Rundungsfehler

Krylov-Raum-Verfahren und Rundungsfehler jpmzemke@scienceslam: Krylov-Raum-Verfahren und Rundungsfehler Jens-Peter M. Zemke zemke@tu-harburg.de Institut für Numerische Simulation Technische Universität Hamburg-Harburg 16. Mai 2011 TUHH Jens-Peter

Mehr

Numerisches Programmieren, Übungen

Numerisches Programmieren, Übungen Technische Universität München SoSe 3 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 3. Übungsblatt:

Mehr

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Numerisches Rechnen für Informatiker WS 7/8 Prof. Dr. H. Esser J. Grande, Dr. M. Larin Klausur Numerisches Rechnen für Informatiker Hilfsmittel: keine (außer

Mehr

Finite Elemente. Dr. S.-J. Kimmerle Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Wintertrimester 2015

Finite Elemente. Dr. S.-J. Kimmerle Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Wintertrimester 2015 Dr. S.-J. Kimmerle Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Wintertrimester 5 Aufgabe 8 (Speichertechniken) Finite Elemente Übung 5 a) Stellen Sie die Matrix

Mehr

Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik I

Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik I Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik I Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik I 1 / 55 Studienplanung Bachelor

Mehr

Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008

Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008 1 / 34 Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 7.1.2009 2 / 34 Technisches Vorlesungswebsite: http://www.am.uni-erlangen.de/am3/de/lehre/ws08/numing1/

Mehr

Einführung in die numerische Mathematik

Einführung in die numerische Mathematik Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 214 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis

Mehr

Numerische Mathematik I

Numerische Mathematik I Numerische Mathematik I à Claus Schneider Sommersemester numerik_i_inhalt.nb Inhalt. Beispiele. Lineare Gleichungssysteme I à. Problemstellung. Gestaffelte Gleichungssysteme, Dreiecksmatrizen. Gauß-Elimination.

Mehr

GMA. Grundlagen Mathematik und Analysis. Nullstellen und Fixpunkte Reelle Funktionen 3. Christian Cenker Gabriele Uchida

GMA. Grundlagen Mathematik und Analysis. Nullstellen und Fixpunkte Reelle Funktionen 3. Christian Cenker Gabriele Uchida GMA Grundlagen Mathematik und Analysis Reelle Funktionen 3 Christian Cenker Gabriele Uchida Data Analytics and Computing Nullstellen cos log : 0, 0,? 1 Fixpunkte Beispiel 1 Beispiel 2 1 0 0 und 1 1sin,?

Mehr

Mathematik für Ingenieure

Mathematik für Ingenieure A. Hoffmann B. Marx W. Vogt Mathematik für Ingenieure Lineare Algebra, Analysis Theorie und Numerik 1. Auflage ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills,

Mehr

Inhalt. 1 Kurzer Ausblick 1

Inhalt. 1 Kurzer Ausblick 1 W. Oevel Numerik I Inhalt 1 Kurzer Ausblick 1 2 Fehleranalyse 5 2.1 Gleitpunktdarstellung........................ 5 2.2 Arithmetik.............................. 10 2.3 Fehlerfortpflanzung..........................

Mehr

Analysis II WS 11/12 Serie 9 Musterlösung

Analysis II WS 11/12 Serie 9 Musterlösung Analysis II WS / Serie 9 Musterlösung Aufgabe Bestimmen Sie die kritischen Punkte und die lokalen Extrema der folgenden Funktionen f : R R: a fx, y = x + y xy b fx, y = cos x cos y Entscheiden Sie bei

Mehr

Kurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen

Kurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen Kurztest zur Numerik I WiR AG, Dep. Mathematik, NT-Fakultät, Universität Siegen Wintersemester 2012/201 Zwischentest Teil 1: 1. Was bedeuten die Bezeichnungen O(h) und o(h)? (Definition) (siehe Skript!)

Mehr

Numerische Mathematik

Numerische Mathematik Michael Knorrenschild Mathematik-Studienhilfen Numerische Mathematik Eine beispielorientierte Einführung 5., aktualisierte Auflage Inhaltsverzeichnis 1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen 9 1.1 Grundbegriffe

Mehr

6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme

6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme 6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme 6.1 Nullstellen reeller Funktionen Bemerkung 6.1 (Problemstellung) geg.: f C[a, b] ges.: x [a, b] mit f(x ) = 0 Lösungstheorie f linear

Mehr

I f AM. 2. Übung zur Numerischen Mathematik I. Hausübung. Hannover, den

I f AM. 2. Übung zur Numerischen Mathematik I. Hausübung. Hannover, den Hannover, den 14.10.2002 1. Übung zur Numerischen Mathematik I Aufgabe 1.1 Man nde das Interpolationspolynom p 2 P 2, das die Funktion f(x) = cos(x) in den Punkten x k := π 2 + π k n, h = 1 n, k = 0,...,

Mehr

Kapitel 4: Nichtlineare Nullstellenprobleme

Kapitel 4: Nichtlineare Nullstellenprobleme Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 4: Nichtlineare Nullstellenprobleme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 2015 HM: Numerik (SS

Mehr

KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2.

KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen. Aufgabe 1: (10 Punkte) [ wahr falsch ] 1. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s 2. MATHEMATISCHES INSTITUT PROF. DR. ACHIM SCHÄDLE 9.8.7 KLAUSUR zur Numerik I mit Lösungen Aufgabe : ( Punkte) [ wahr falsch ]. Die maximale Ordnung einer s-stufigen Quadraturformel ist s. [ ]. Der Clenshaw

Mehr

2. Direkte Verfahren zur Lösung. linearer Gleichungssysteme

2. Direkte Verfahren zur Lösung. linearer Gleichungssysteme 2. Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 1 Einleitung (1) Eine zentrale Rolle bei numerischen Berechnungen spielen lineare Gleichungssysteme Es sind die am häufigsten auftretenden numerischen

Mehr

NUMERISCHE VERFAHREN für Naturwissenschaftler und Ingenieure

NUMERISCHE VERFAHREN für Naturwissenschaftler und Ingenieure NUMERISCHE VERFAHREN für Naturwissenschaftler und Ingenieure Eine computerorientierte Einführung Von Prof. Dr. sc. nat. HUBERT SCHWETLICK Prof. Dr. sc. nat. HORST KRETZSCHMAR Mit 74 Bildern und 34 Tabellen

Mehr

7. Übungs-/Wiederholungsblatt zu Einführung in die Numerik (SS 2012)

7. Übungs-/Wiederholungsblatt zu Einführung in die Numerik (SS 2012) Technische Universität München Zentrum Mathematik, M1 Prof. Dr. Boris Vexler Dr. Ira Neitzel Dipl.-Math. Alana Kirchner 7. Übungs-/Wiederholungsblatt zu Einführung in die Numerik (SS 2012) Diese Auswahl

Mehr

Mathematische Modelle und numerische Methoden in der Biologie

Mathematische Modelle und numerische Methoden in der Biologie Institut für Angewante un Numerische Mathematik Prof. Dr. Tobias Jahnke, Dipl.-Biol. Michael Kreim Mathematische Moelle un numerische Methoen in er Biologie Sommersemester 2012 5. Übungsblatt Gruppenübung

Mehr

Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure

Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Günter Bärwolff Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure unter Mitarbeit von Gottfried Seifert ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG Spekt rum K-/1. AKADEMISCHER VERLAG AKADEMISC Inhaltsverzeichnis

Mehr

Numerische Mathematik

Numerische Mathematik Numerische Mathematik Von Prof. Dr. sc. math. Hans Rudolf Schwarz Universität Zürich Mit einem Beitrag von Prof. Dr. sc. math. Jörg Waldvogel Eidg. Technische Hochschule Zürich 4., überarbeitete und erweiterte

Mehr

Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen

Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen Kompaktkurs Lineare Gleichungssysteme Hierarchische Matrizen M. Bebendorf, O. Steinbach O. Steinbach Lineare Gleichungssysteme SIMNET Kurs 24. 27.4.26 / 6 Numerische Simulation stationäre und instationäre

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 6. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand 25. März 2010 Nachträge Gliederung Nachträge it Nachträge Wichtige Begriffe Eine Zusammenfassung der Folien 8 16 der letzten

Mehr

Lösungsvorschlag Klausur MA9802

Lösungsvorschlag Klausur MA9802 Lehrstuhl für Numerische Mathematik Garching, den 3.8.22 Prof. Dr. Herbert Egger Dr. Matthias Schlottbom Lösungsvorschlag Klausur MA982 Aufgabe [3 + 3 Punkte] Berechnen Sie, falls existent, die folgenden

Mehr

Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Springer-Lehrbuch Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Bearbeitet von Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken überarbeitet 2008. Taschenbuch. XVIII, 633 S. Paperback ISBN 978 3 540 76492 2 Format (B

Mehr

2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen

2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen 2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen (2.1) Sei L R N N eine normierte untere Dreiecksmatrix und b R N. Dann ist L invertierbar und das Lineare Gleichungssystem (LGS) Ly = b ist mit O(N 2

Mehr

Algorithmische Mathematik und Programmieren

Algorithmische Mathematik und Programmieren Algorithmische Mathematik und Programmieren Martin Lanser Universität zu Köln WS 2016/2017 Organisatorisches M. Lanser (UzK) Alg. Math. und Programmieren WS 2016/2017 1 Ablauf der Vorlesung und der Übungen

Mehr

Einführung in die Programmierung für Physiker. Die Programmiersprache C Verwendung wissenschaftlicher Bibliotheken

Einführung in die Programmierung für Physiker. Die Programmiersprache C Verwendung wissenschaftlicher Bibliotheken Einführung in die Programmierung für Physiker Die Programmiersprache C Verwendung wissenschaftlicher Bibliotheken Marc Wagner Institut für theoretische Physik Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt

Mehr

Nebenfach Mathematik im Informatik-Studium. Martin Gugat FAU: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg 26.

Nebenfach Mathematik im Informatik-Studium. Martin Gugat FAU: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg 26. Nebenfach Mathematik im Informatik-Studium Martin Gugat martin.gugat@fau.de FAU: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg 26. Oktober 2016 Motivation Die rigorose Analyse von Algorithmen erfordert

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung... 1

Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung... 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung................................................. 1 2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität...... 11 2.1 Kondition eines Problems................................

Mehr

Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie

Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie Mathematik für Fachhochschule, Duale Hochschule und Berufsakademie mit ausführlichen Erläuterungen und zahlreichen Beispielen Bearbeitet von Prof. Dr. Guido Walz 1. Auflage 2010. Taschenbuch. xi, 580 S.

Mehr

Gleichungen, GS und Nullstellen

Gleichungen, GS und Nullstellen TU Ilmenau Institut für Mathematik FG Numerische Mathematik und Informationsverarbeitung PD Dr. W. Neundorf Datei: UEBG5.TEX Übungsaufgaben zum Lehrgebiet Numerische Mathematik - Serie 5 Gleichungen, GS

Mehr

Einführung in die numerische Mathematik

Einführung in die numerische Mathematik Prof. Dr. M. Günther K. Gausling, M.Sc. C. Hendricks, M.Sc. Sommersemester 204 Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Angewandte Mathematik / Numerische Analysis

Mehr

Einführung in die Numerische Lineare Algebra (MA 1304)

Einführung in die Numerische Lineare Algebra (MA 1304) Einführung in die Numerische Lineare Algebra (MA 1304) Vorlesung Montags, 16:15-17:45 Uhr Rudolf-Mößbauer - HS (Physik) Homepage zur Vorlesung http://www-m2.ma.tum.de/bin/view/allgemeines/numlinalgws1516

Mehr

Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme

Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 205 HM: Numerik (SS 205), Kapitel

Mehr

Einführung in die Numerische Mathematik

Einführung in die Numerische Mathematik Einführung in die Numerische Mathematik Lars Grüne Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Mathematisches Institut Universität Bayreuth 95440 Bayreuth lars.gruene@uni-bayreuth.de www.math.uni-bayreuth.de/

Mehr

Mathematica Scripta 1. Praktische Mathematik I

Mathematica Scripta 1. Praktische Mathematik I Mathematica Scripta 1 H. Werner Praktische Mathematik I Methoden der linearen Algebra Vorlesung gehalten im Wintersemester 1968/69 Nach einem von R. Schaback angefertigten Skriptum, herausgegeben mit Unterstützung

Mehr

ALMA II - ÜBERBLICK NUMERIK. Jochen Garcke

ALMA II - ÜBERBLICK NUMERIK. Jochen Garcke ALMA II - ÜBERBLICK NUMERIK Jochen Garcke POLYNOMINTERPOLATION für Funktion f finde Polynom p Π n mit p(x j ) = f (x j ), j = 0,..., n Existenz, Eindeutigkeit z.b. per Vandermonde-Matrix, Dimension des

Mehr

Analysis II. 8. Klausur mit Lösungen

Analysis II. 8. Klausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis II 8. Klausur mit en 1 2 Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Eine Metrik auf einer Menge M. 2) Die Kurvenlänge

Mehr

6. Polynom-Interpolation

6. Polynom-Interpolation 6. Polynom-Interpolation 1 6.1. Klassische Polynom-Interpolation 2 6.2. Lösung mit Hilfe Lagrange scher Basisfunktionen 3 6.3. Lösung mit Hilfe Newton scher Basisfunktionen 4 6.4. Fehlerabschätzung für

Mehr

2. Geben Sie für das Jacobi-Verfahren eine scharfe a-priori Abschätzung für den Fehler. x (10) x p

2. Geben Sie für das Jacobi-Verfahren eine scharfe a-priori Abschätzung für den Fehler. x (10) x p Wiederholungsaufgaben Algorithmische Mathematik Sommersemester Prof. Dr. Beuchler Markus Burkow Übungsaufgaben Aufgabe. (Jacobi-Verfahren) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax b = für A =, b = 3.

Mehr

Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008

Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008 1 / 33 Numerik für Ingenieure I Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 16.1.2009 2 / 33 Wiederholung Polynom Interpolation Vandermonde Ansatz Newton Interpolation: Beispiel

Mehr

r 11 r 12 r 13 0 r 22 r r 33 l ik r kj die Gleichungen: k= (II) 2 (I) = 3 2 1

r 11 r 12 r 13 0 r 22 r r 33 l ik r kj die Gleichungen: k= (II) 2 (I) = 3 2 1 Tecnisce Universität Berlin Wintersemester 004/005 Fakultät II; Institut für Matematik Prof. Dr. G. Bärwolff/C. Mense.0.005 Probeklausur zur LV Numerik für Informatiker en Aufgabe a Berecnen Sie die LU-Zerlegung

Mehr

Iterative Verfahren, Splittingmethoden

Iterative Verfahren, Splittingmethoden Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem

Mehr

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Diplom VP Numerik 13. September 004 Aufgabe 1 10 0 40 Gegeben sei die Matrix A = 80 10 10. 10 5 5 (6 Punkte) a) Skalieren (Zeilenäquilibrierung)

Mehr

Übungsaufgaben zur Numerischen Mathematik für Ingenieure. a) Bestimme die normalisierte Dezimaldarstellung der folgenden Dualzahlen

Übungsaufgaben zur Numerischen Mathematik für Ingenieure. a) Bestimme die normalisierte Dezimaldarstellung der folgenden Dualzahlen RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Übungsaufgaben zur Numerischen Mathematik für Ingenieure 2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität Aufgabe 2. a) Bestimme die normalisierte

Mehr

6 Polynominterpolation

6 Polynominterpolation Vorlesungsskript HM-Numerik (SS 2014): Kapitel 6 Version: 1 Juli 2014 6 Polynominterpolation Gegeben: Wertepaare { (x i,f i ) R 2 i = 0,,n } Gesucht: Einfache Funktion g : R R mit g(x i ) = f i i {0,1,,n}

Mehr

Einsatz von Maple bei der Lehramtsausbildung

Einsatz von Maple bei der Lehramtsausbildung Karlsruher Institut für Technologie Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität - gegründet 1825 Fakultät für Mathematik 18. Februar 2009 Numerische Mathematik für das Lehramt Pflichtveranstaltung

Mehr

5 Numerische Mathematik

5 Numerische Mathematik 6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen. Kapitel 2: Umformen von Ausdrücken. Kapitel 3: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme

Inhaltsverzeichnis. Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen. Kapitel 2: Umformen von Ausdrücken. Kapitel 3: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen 1.1 Rechnen mit reellen Zahlen 1.2 Berechnen von Summen und Produkten 1.3 Primfaktorzerlegung 1.4 Größter gemeinsamer Teiler 1.5 Kleinstes gemeinsames Vielfaches 1.6 n-te

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Beispiel: Feder Masse System festes Ende Feder k 1 Masse m 1 k 2 m 2 k 3 m 3 k 4 festes Ende u 0 = 0 Federkraft y 1 Verschiebung u 1 y 2 u 2 y 3 u 3 y 4 u 4 = 0 Grundlagen der

Mehr

4 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Problemstellung Das Newton-Verfahren für Systeme... 66

4 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Problemstellung Das Newton-Verfahren für Systeme... 66 Inhaltsverzeichnis 1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen 9 1.1 Grundbegriffe und Gleitpunktarithmetik............ 9 1.2 Auslöschung............................ 16 1.3 Fehlerrechnung..........................

Mehr

Leseprobe. Michael Knorrenschild. Numerische Mathematik. Eine beispielorientierte Einführung. ISBN (Buch):

Leseprobe. Michael Knorrenschild. Numerische Mathematik. Eine beispielorientierte Einführung. ISBN (Buch): Leseprobe Michael Knorrenschild Numerische Mathematik Eine beispielorientierte Einführung ISBN (Buch): 978-3-446-45161-2 ISBN (E-Book): 978-3-446-45261-9 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-45161-2

Mehr

Mathematik II. Vorlesung 49. Der Banachsche Fixpunktsatz

Mathematik II. Vorlesung 49. Der Banachsche Fixpunktsatz Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2010 Mathematik II Vorlesung 49 Der Banachsche Fixpunktsatz Satz 49.1. Es sei M ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und f :M M eine stark kontrahierende Abbildung.

Mehr

2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität

2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität Institut für Geometrie und Praktische Mathematik a RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN 2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität Aufgabe 2. a) Bestimme die normalisierte Dezimaldarstellung

Mehr

5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme 5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Als zweite Hauptanwendung des Banachschen Fixpunktsatzes besprechen wir in diesem Kapitel die iterative Lösung linearer Gleichungssysteme. Die

Mehr

4 Direkte Verfahren für spezielle Systeme

4 Direkte Verfahren für spezielle Systeme Numerische Mathematik 150 4 Direkte Verfahren für spezielle Systeme 4.1 Die Cholesky-Zerlegung Satz 4.1 Es sei A = [a i,j ] R n n [C n n ] symmetrisch [Hermitesch]. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Mehr

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................

Mehr

NUMERISCHE MATHEMATIK. Prof. Dr. Hans Babovsky. Institut für Mathematik. Technische Universität Ilmenau

NUMERISCHE MATHEMATIK. Prof. Dr. Hans Babovsky. Institut für Mathematik. Technische Universität Ilmenau NUMERISCHE MATHEMATIK Prof Dr Hans Babovsky Institut für Mathematik Technische Universität Ilmenau WS 2011/2012 Prof Dr H Babovsky, NumMath, WS 10/11 1 Inhaltsverzeichnis 1 Die Kondition numerischer Probleme

Mehr

NUMERISCHE MATHEMATIK I 1. (Studiengänge Informatik/Ingenieurinformatik und Lehramt) Prof. Dr. Hans Babovsky. Institut für Mathematik

NUMERISCHE MATHEMATIK I 1. (Studiengänge Informatik/Ingenieurinformatik und Lehramt) Prof. Dr. Hans Babovsky. Institut für Mathematik NUMERISCHE MATHEMATIK I (Studiengänge Informatik/Ingenieurinformatik und Lehramt) Prof Dr Hans Babovsky Institut für Mathematik Technische Universität Ilmenau WS 2004/05 Korrekturen, Kommentare und Verbesserungsvorschläge

Mehr

Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom

Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom Der Gaußsche Algorithmus und Varianten Vorlesung vom 17114 Gaußsche Elimination und Rückwärtssubstitution: Motivation am Beispiel, Verallgemeinerung und Algorithmus Achtung: Durchführbarkeit nur bei nichtverschwindenden

Mehr

38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme

38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme 38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme 38.1 Motivation Viele praktische Probleme führen auf sehr große lineare Gleichungssysteme, bei denen die Systemmatrix dünn besetzt ist, d. h. nur wenige

Mehr

(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4)

(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4) 33 Interpolation 147 33 Interpolation In vielen praktischen Anwendungen der Mathematik treten Funktionen f auf, deren Werte nur näherungsweise berechnet werden können oder sogar nur auf gewissen endlichen

Mehr

Nichtlineare Gleichungssysteme

Nichtlineare Gleichungssysteme Nichtlineare Gleichungssysteme Jetzt: Numerische Behandlung nichtlinearer GS f 1 (x 1,..., x n ) =0. f n (x 1,..., x n ) =0 oder kurz f(x) = 0 mit f : R n R n Bemerkung: Neben dem direkten Entstehen bei

Mehr

Mathematisch-algorithmische Grundlagen für Big Data

Mathematisch-algorithmische Grundlagen für Big Data Mathematisch-algorithmische Grundlagen für Big Data Numerische Algorithmen für Datenanalyse und Optimierung Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Sommersemester 2017

Mehr

Orthogonale Matrix. Definition 4.19

Orthogonale Matrix. Definition 4.19 Orthogonale Matrix Ausgleichsprobleme sind häufig schlecht konditioniert. Matrix des Normalengleichungssystems kann nahezu singulär sein. Spezielle Matrixzerlegung für höhere numerische Stabilität: QR-Zerlegung

Mehr

Numerische Mathematik 1

Numerische Mathematik 1 Springer-Lehrbuch Numerische Mathematik 1 Bearbeitet von A Quarteroni, R Sacco, F Saleri, L Tobiska 1. Auflage 2001. Taschenbuch. xiv, 370 S. Paperback ISBN 978 3 540 67878 6 Format (B x L): 15,5 x 23,5

Mehr

Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker

Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker Willi Törnig Peter Spellucci Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker Band 1: Numerische Methoden der Algebra Zweite, überarbeitete und ergänzte Auflage Mit 15 Abbildungen > Springer-Verlag Berlin

Mehr

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst

Mehr

Abschnitt 1.7: Schrittweitensteuerung 27

Abschnitt 1.7: Schrittweitensteuerung 27 Abschnitt.7: Schrittweitensteuerung 7 zu oben analoge Schrittweitensteuerung durch Kombination von drei- und vierstufigen Runge- Kutta-Methoden ist nicht möglich, weil die betreffenden Gleichungssysteme

Mehr

d) Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal.

d) Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal. Die orthogonale Matrizen Definition: Eine Matrix Q R n n heißt orthogonal, falls QQ T = Q T Q = I gilt. Die Eigenschaften orthogonaler Matrizen: a) det(q) = ±1; b) Qx 2 = x 2 für alle x R n, also Q 2 =

Mehr

W. Oevel. Mathematik für Physiker I. Veranstaltungsnr: Skript zur Vorlesung, Universität Paderborn, Wintersemester 2003/2004

W. Oevel. Mathematik für Physiker I. Veranstaltungsnr: Skript zur Vorlesung, Universität Paderborn, Wintersemester 2003/2004 W. Oevel Mathematik für Physiker I Veranstaltungsnr: 172020 Skript zur Vorlesung, Universität Paderborn, Wintersemester 2003/2004 Zeit und Ort: V2 Di 11.15 12.45 D1.303 V2 Mi 11.15 12.45 D1.303 V2 Do 9.15

Mehr

Stefan Ruzika. 24. April 2016

Stefan Ruzika. 24. April 2016 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers

Mehr

Fragenkatalog Kapitel 1 Fehleranalyse

Fragenkatalog Kapitel 1 Fehleranalyse Teil 1: Numerik katalog Kapitel 1 Fehleranalyse 1. Zwischen was besteht ein funktionaler Zusammenhang z i? Welche Form hat er? 2. Welche 4 Typen von Fehlerquellen gibt es? Nenne Beispiele! 3. Wie berechnet

Mehr

Inhaltsverzeichnis Grundlagen 2 Analysis von Funktionen einer Veränderlichen 3 Reihen 191

Inhaltsverzeichnis Grundlagen 2 Analysis von Funktionen einer Veränderlichen 3 Reihen 191 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Logische G rundlagen... 2 1.2 Grundlagen der M engenlehre... 8 1.3 Abbildungen... 15 1.4 Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion... 16 1.5 Ganze, rationale

Mehr

Numerische Mathematik I

Numerische Mathematik I Numerische Mathematik I Lars Grüne Mathematisches Institut Fakultät für Mathematik und Physik Universität Bayreuth 95440 Bayreuth larsgruene@uni-bayreuthde wwwuni-bayreuthde/departments/math/ lgruene/

Mehr

Zusammenfassung Numerische Mathematik für Elektrotechniker

Zusammenfassung Numerische Mathematik für Elektrotechniker Zusammenfassung Numerische Mathematik für Elektrotechniker RWTH Aachen, SS 2006, Prof. Dr. W. Dahmen c 2006 by Sebastian Strache, Ralf Wilke Korrekturen bitte an Ralf.Wilke@rwth-aachen.de 27. August 2006

Mehr

8 Polynominterpolation

8 Polynominterpolation 8 Polynominterpolation Interpolations-Aufgabe: Von einer glatten Kurve seien nur lich viele Punktewerte gegeben. Wähle einen lichdimensionalen Funktionenraum. Konstruiere nun eine Kurve in diesem Funktionenraum

Mehr

Numerische Mathematik

Numerische Mathematik Numerische Mathematik Oliver Ernst Professur Numerische Mathematik Sommersemester 2015 Inhalt I 1 Einführung und Begriffe 1.1 Mathematische Modellbildung und numerische Simulation am Beispiel eines Wasserkreislaufs

Mehr

Numerische Mathematik I

Numerische Mathematik I Numerische Mathematik I Manfred Dobrowolski 17. Oktober 214 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Gleitpunktarithmetik und Rundungsfehler........................ 2 1.2 Ein Beispiel.........................................

Mehr

4 Lineare Ausgleichsrechnung

4 Lineare Ausgleichsrechnung Numerik I 15 4 Lineare Ausgleichsrechnung Die folgende Tabelle zeigt die Bevölkerungsentwicklung in den U.S.A. 19 191 192 193 194 75.995 91.972 15.711 123.23 131.669 195 196 197 198 199 15.697 179.323

Mehr

Euler-Verfahren. exakte Lösung. Euler-Streckenzüge. Folie 1

Euler-Verfahren. exakte Lösung. Euler-Streckenzüge. Folie 1 exakte Lösung Euler-Verfahren Folie 1 Euler-Streckenzüge Ein paar grundlegende Anmerkungen zur Numerik Die Begriffe Numerik bzw. Numerische Mathematik bezeichnen ein Teilgebiet der Mathematik, welches

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik

Lineare Algebra und Numerische Mathematik Lineare Algebra und Numerische Mathematik Prof. Dr. P. Grohs Seminar for Applied Mathematics, ETH Zürich Vorlesung für D-BAUG Herbstsemester 2015 www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2015/other/linalgnum_baug

Mehr

Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme

Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme E. Olszewski, H. Röck, M. Watzl 1. Jänner 00 E. Olszewski, H. Röck, M. Watzl: WAP (WS 01/0) 1 Vorwort C.F.Gauß in einem Brief vom 6.1.18 an Gerling:

Mehr

REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK. Gerhard Merziger Thomas Wirth

REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK. Gerhard Merziger Thomas Wirth REPETITORIUM DER HÖHEREN MATHEMATIK Gerhard Merziger Thomas Wirth 6 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Fl Formelsammlung F2 Formelsammlung Alphabete 11 Zeichenindex 12 1 Grundbegriffe 14 1.1 Logische

Mehr

6. Iterationsverfahren. Fixpunktiteration. 6.Iterationsverfahren: Fixpunktiteration Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 1 of 16

6. Iterationsverfahren. Fixpunktiteration. 6.Iterationsverfahren: Fixpunktiteration Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 1 of 16 6. Iterationsverfahren Fixpunktiteration Numerisches Programmieren, Jürgen Bräckle page 1 of 16 Beispiel: Ausbreitung eines Grippevirus in einem Kindergarten Zeitpunkt t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 Anteil kranker

Mehr