Mathematik für Bauingenieure mit Maple und C++

Transkript

1 Ziya $anal Mathematik für Bauingenieure mit Maple und C++ Grundlagen, Anwendungen und Beispiele

2 Meinen Kindern Jülide Fehime und Tarik Ulvi

3 Ziya Sanal Mathematik für Bauingenieure mit Maple und C++ Grundlagen, Anwendungen und Beispiele mit zahlreichen Abbildungen, Tabellen und Aufgaben Im Teubner B. G. Teubner Stuttgart Leipzig' Wiesbaden

4 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr. Ziya ~anallehrt im Fachbereich Bauingenieurwesen an der Fachhochschule München. Internet: 1. Auflage Oktober 2004 Alle Rechte vorbehalten B. G. Teubner StuttgartiLeipziglWiesbaden, 2004 Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Additional material to this bood can be downloaded from ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 Vorwort In den letzten zwei Dekaden hat unser Technikwissen sprunghaft zugenommen. Insbesondere durch die Informationstechnologie wurden die Tätigkeitsfelder und Arbeitswerkzeuge der Ingenieure nachhaltig beeinflusst. Dies wird nicht zuletzt deutlich an der ausgeprägten Fächervielfalt in Ingenieurstudiengängen, mit der sich Studierende auseinander zu setzen haben. Zahlreiche neue Fächer sind hinzu gekommen - nicht selten zu Lasten klassischer Fächer. Diese Situation macht es sinnvoller denn je, Mathematik bedarfsgerecht und in auf das Wesentliche konzentrierter Form an Studierende zu vermitteln. Dieses Buch verfolgt dieses Ziel und betrachtet die Mathematik aus der Sicht eines Ingenieurs. Sowohl die Auswahl als auch die Abhandlung mathematischer Themen sind auf die Bedürfnisse von Ingenieurstudenten und praktisch tätiger Ingenieure zugeschnitten. Im Vordergrund steht eine pragmatische Vorgehensweise mit dem Ziel, abstrakte mathematische Themen so verständlich wie möglich darzustellen. Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen, teilweise mit vollständigem Lösungsweg, sollen Studierenden helfen, das theoretische Wissen zu festigen. Die langjährige Forschungstätigkeit des Verfassers in der Industrie hat bei der Behandlungssystematik der Themen gute Dienste geleistet. Die Ingenieurausbildung an Hochschulen erfährt gegenwärtig einen weitreichenden Wandel, wie es bei der Einführung der neuen Studienabschlüsse Bachelor und Master deutlich wird. Dieser Paradigmenwechsel in der beruflichen Qualifikation junger Ingenieure ist eine Herausforderung, die Art der Vermittlung der grundlegenden Kenntnisse aus der Mathematik an die modernen Gegebenheiten anzupassen. In diesem Buch wird versucht, dieser Entwicklung Rechnung zu tragen. Das wird deutlich nicht nur bei der Auswahl der behandelten Themen, sondern vor allem auch bei der Darstellungsart des Stoffes. Es wird versucht, anschaulich zu erklären, wie mathematische Ideen entstehen und wie sie zur Lösung von technischen Problemen herangezogen werden können. Nicht die mathematische Beweisführung und die Detailstrenge steht im Mittelpunkt, sondern die Verständlichkeit und der Praxisbezug. Es wird versucht, die Beziehung der Mathematik zu physikalischen Anwendungsgebieten, insbesondere zur Mechanik, hervorzuheben und transparent zu machen. Mathematische Sätze werden äußerst selten bewiesen, und wenn doch, dann nur in solchen Fällen, wo die Beweisführung einen nachhaltigen Nutzen für das Verständnis bietet. Nach Erfahrungen des Verfassers aus seiner Lehrtätigkeit erhöht diese Vorgehensweise das Interesse der Studierenden an der Mathematik spürbar - sie haben dann»endlich verstanden«, worum es eigentlich geht, entwickeln ein positives Gefühl für den praktischen Nutzen der Mathematik. Begünstigt durch die preisgünstige Verfügbarkeit von leistungsfähigen Computern hat die Finite-Elemente-Methode (FEM) in den letzten 20 Jahren eine stürmische Entwicklung und intensive Verbreitung in der Ingenieurpraxis erfahren. Kommerziell erhältliche FEM-Programme besitzen von der Tragwerksstatik bis hin zur Simulation der Aufprallvorgänge von Fahrzeugen ein enorm breites Einsatzspektrum. Ohne die Konzepte der linearen Algebra wäre die FEM allerdings nicht denkbar. Deshalb wird im Buch diesem Thema breiter Raum gewidmet.

6 VI In der Newtonschen Mechanik, welche die Grundlage der Statik und Dynamik bildet, werden Krafteinwirkungen und andere mechanische Größen durch Vektoren dargestellt. Dementsprechend ist die Vektorrechnung ebenfalls ausführlich behandelt. Das mechanische Gleichgewicht eines statisch bzw. dynamisch belasteten Tragwerks wird zunächst an einem winzig kleinen, d.h. differentiellen, Element untersucht. Auch die Verformungen des Elements gehen dabei in die Betrachtungen ein. Für die umfassende Behandlung dieses ganzen Themenkreises benötigt man Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung sowie der Differentialgleichungen. Diese Themen werden unter ingenieurtechnischen Gesichtspunkten betrachtet und behandelt. Die Computer unterstützte Mathematik ist für die Ingenieurpraxis ein sehr lohnendes Gebiet. Extrem leistungsfähige kommerzielle Computer-Programme für die Mathematik stellen dem Anwender das Wissen von unzähligen Mathematik-Experten zur Verfügung. Das Kapitel über das Computer-Algebra-System Maple behandelt an ausgewählten Beispielen die Lösung von mathematischen AufgabensteIlungen mit Hilfe des Computers. Ebenfalls in diesem Zusammenhang ist das Kapitel über C++ zu sehen. Es wird beispielhaft gezeigt, wie mit kleinen Programmen in der Programmiersprache C++ kleinere Routineaufgaben der Mathematik effizent bewältigt werden können. Die Buch-CD enthält neben zahlreichen Beispielen für die Mathematik mit Maple und C++ auch einen C++ Compiler und eine integrierte Entwicklungsumgebung, so dass Leser die vorgestellten C++ Programme nach Belieben modifizieren und testen können. Ferner wurde ein vom Verfasser entwickeltes FEM-Programm mit zahlreichen Beispieldateien für die statische und dynamische Berechnung von Tragwerken beigelegt. Dieses Programm ist in C++ geschrieben und macht intensiven Gebrauch von der linearen Algebra sowie der Vektorrechnung. Dieses Buch ist nicht als Ersatz für die übrigen sehr guten Mathematikbücher der Gegenwart gedacht, in denen mathematische Themen in großer Detailtiefe nebst Beweisführung und präziser mathematischer Strenge behandelt werden. Es ist als Lehrbuch für Ingenieurstudiengänge an Fachhochschulen und auch als Einführung in die Mathematik für Studierende an Universitäten konzipiert - speziell für Studierende des Bauingenieurwesens und des Maschinenbaus. Frau Dipl.-Ing. Eva Lemmer danke ich für das Korrekturlesen. Zum Schluß möchte ich mich im voraus bei meinen Lesern bedanken, die durch konstruktive Kritik und Anregungen zur Verbesserung dieses Buches beitragen wollen. München, August 2004 Ziya Sanal

7 Inhaltsverzeichnis 1 Grundwissen 1.1 Zahlen Elementare Definitionen und Formeln 1.3 Mittelwert einer Zahlenmenge. 1.4 Logarithmus Winkelmaße: Grad und Radiant 1.6 Zusätzliche Beispiele 1. 7 Aufgaben Elementare Funktionen 2.1 Polynomfunktionen. 2.2 Potenz- und Wurzelfunktionen 2.3 Exponential-Funktionen Logarithmus-Funktionen Trigonometrische Funktionen. 2.6 Arkus-Funktionen Hyperbel-Funktionen Kegelschnitt-Funktionen Explizite und implizite Funktionen Funktionen in Parameterdarstellung 2.11 Weitere Funktionen Symmetrie und Stetigkeit von Funktionen 2.13 Aufgaben Lineare Algebra 3.1 Einführung Definitionen für Matrizen. 3.3 Operationen mit Matrizen. 3.4 Lineare Abhängigkeit einer Matrix. 3.5 Determinante einer Matrix 3.6 Lineare Gleichungssyteme 3.7 Invertierung von Matrizen 3.8 Eigenwertaufgabe Definitheit einer Matrix Zusätzliche Beispiele 3.11 Aufgaben

8 VIII Inhaltsverzeichnis 4 Vektorrechnung 4.1 Einführung Linearkombination von Vektoren Lineare Abhängigkeit von Vektoren 4.4 3D-Vektor in Matrixschreibweise D-Vektor in der Schreibweise mit Basisvektoren 4.6 Normierung eines Vektors 4.7 Skalarprodukt Kreuzprodukt Anwendungen des Kreuzprodukts in der Mechanik 4.10 Anwendung der Vektorrechnung in der analytischen Geometrie Zusätzliche Beispiele 4.12 Aufgaben Elementare analytische Geometrie 5.1 Koordinatensysteme Abstand zwischen zwei Punkten 5.3 Koordinatentransformation in der xy-ebene 5.4 Geraden in der xy-ebene 5.5 Zusätzliche Beispiele 5.6 Aufgaben... 6 Differentialrechnung 6.1 Definition der Ableitung 6.2 Ableitungsregeln Relativer Fehler Linearisierung einer Funktion 6.5 Höhere Ableitungen Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen 6.7 Regel von I'Hospital Krümmung einer Kurve Lokale Extremwerte einer Funktion Newton-Verfahren für Nullstellenbestimmung 6.11 Zusätzliche Beispiele Technische Anwendungen 6.13 Aufgaben Differentialrechnung für multivariable Funktionen 7.1 Einleitung Partielle Ableitung einer Funktion von zwei Variablen Partielle Ableitung einer Funktion von n unabhängigen Variablen 7.4 Das totale Differential. 7.5 Skalarfelder Gradient Richtungsableitung

9 Inhaltsverzeichnis IX 7.8 Niveaulinien und Niveauflächen Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen 7.10 Zusätzliche Beispiele Technische Anwendungsbeispiele 7.12 Aufgaben Integralrechnung Unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral Numerische Integration Geometrische Anwendungen der Integralrechnung Technische Anwendungen der Integralrechnung Zusätzliche Beispiele Aufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Beispiele für Differentialgleichungen in der Mechanik Definitionen für Differentialgleichungen Lösung einer Differentialgleichung Differentialgleichungen 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Anwendungsbeispiele aus der Strukturdynamik Weitere technische Anwendungsbeispiele Zusätzliche Beispiele Aufgaben Mathematik mit Maple Einführung in Maple Elementar-Mathematik Lineare Algebra Vektorrechnung Differentialrechnung Differentialrechnung für multivariable Funktionen Integralrechnung Gewöhnliche Differentialgleichungen Mathematik mit C Einführung Der C++ Compiler 11.3 Ableitung einer Funktion 11.4 Newton-Verfahren Lineare Algebra Integralrechnung Die Finite-Elemente-Methode FEM

10 X Inhaltsverzeichnis Anhang A Ausgewählte Formeln und Beziehungen A.I Trigonometrische Funktionen..... A.2 Unbestimmte Integrale A.3 Verschiedene Konstanten und Symbole. Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis