Mathematik für Bauingenieure mit Maple und C++

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1 Ziya $anal Mathematik für Bauingenieure mit Maple und C++ Grundlagen, Anwendungen und Beispiele

2 Meinen Kindern Jülide Fehime und Tarik Ulvi

3 Ziya Sanal Mathematik für Bauingenieure mit Maple und C++ Grundlagen, Anwendungen und Beispiele mit zahlreichen Abbildungen, Tabellen und Aufgaben Im Teubner B. G. Teubner Stuttgart Leipzig' Wiesbaden

4 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr. Ziya ~anallehrt im Fachbereich Bauingenieurwesen an der Fachhochschule München. Internet: 1. Auflage Oktober 2004 Alle Rechte vorbehalten B. G. Teubner StuttgartiLeipziglWiesbaden, 2004 Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Additional material to this bood can be downloaded from ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 Vorwort In den letzten zwei Dekaden hat unser Technikwissen sprunghaft zugenommen. Insbesondere durch die Informationstechnologie wurden die Tätigkeitsfelder und Arbeitswerkzeuge der Ingenieure nachhaltig beeinflusst. Dies wird nicht zuletzt deutlich an der ausgeprägten Fächervielfalt in Ingenieurstudiengängen, mit der sich Studierende auseinander zu setzen haben. Zahlreiche neue Fächer sind hinzu gekommen - nicht selten zu Lasten klassischer Fächer. Diese Situation macht es sinnvoller denn je, Mathematik bedarfsgerecht und in auf das Wesentliche konzentrierter Form an Studierende zu vermitteln. Dieses Buch verfolgt dieses Ziel und betrachtet die Mathematik aus der Sicht eines Ingenieurs. Sowohl die Auswahl als auch die Abhandlung mathematischer Themen sind auf die Bedürfnisse von Ingenieurstudenten und praktisch tätiger Ingenieure zugeschnitten. Im Vordergrund steht eine pragmatische Vorgehensweise mit dem Ziel, abstrakte mathematische Themen so verständlich wie möglich darzustellen. Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen, teilweise mit vollständigem Lösungsweg, sollen Studierenden helfen, das theoretische Wissen zu festigen. Die langjährige Forschungstätigkeit des Verfassers in der Industrie hat bei der Behandlungssystematik der Themen gute Dienste geleistet. Die Ingenieurausbildung an Hochschulen erfährt gegenwärtig einen weitreichenden Wandel, wie es bei der Einführung der neuen Studienabschlüsse Bachelor und Master deutlich wird. Dieser Paradigmenwechsel in der beruflichen Qualifikation junger Ingenieure ist eine Herausforderung, die Art der Vermittlung der grundlegenden Kenntnisse aus der Mathematik an die modernen Gegebenheiten anzupassen. In diesem Buch wird versucht, dieser Entwicklung Rechnung zu tragen. Das wird deutlich nicht nur bei der Auswahl der behandelten Themen, sondern vor allem auch bei der Darstellungsart des Stoffes. Es wird versucht, anschaulich zu erklären, wie mathematische Ideen entstehen und wie sie zur Lösung von technischen Problemen herangezogen werden können. Nicht die mathematische Beweisführung und die Detailstrenge steht im Mittelpunkt, sondern die Verständlichkeit und der Praxisbezug. Es wird versucht, die Beziehung der Mathematik zu physikalischen Anwendungsgebieten, insbesondere zur Mechanik, hervorzuheben und transparent zu machen. Mathematische Sätze werden äußerst selten bewiesen, und wenn doch, dann nur in solchen Fällen, wo die Beweisführung einen nachhaltigen Nutzen für das Verständnis bietet. Nach Erfahrungen des Verfassers aus seiner Lehrtätigkeit erhöht diese Vorgehensweise das Interesse der Studierenden an der Mathematik spürbar - sie haben dann»endlich verstanden«, worum es eigentlich geht, entwickeln ein positives Gefühl für den praktischen Nutzen der Mathematik. Begünstigt durch die preisgünstige Verfügbarkeit von leistungsfähigen Computern hat die Finite-Elemente-Methode (FEM) in den letzten 20 Jahren eine stürmische Entwicklung und intensive Verbreitung in der Ingenieurpraxis erfahren. Kommerziell erhältliche FEM-Programme besitzen von der Tragwerksstatik bis hin zur Simulation der Aufprallvorgänge von Fahrzeugen ein enorm breites Einsatzspektrum. Ohne die Konzepte der linearen Algebra wäre die FEM allerdings nicht denkbar. Deshalb wird im Buch diesem Thema breiter Raum gewidmet.

6 VI In der Newtonschen Mechanik, welche die Grundlage der Statik und Dynamik bildet, werden Krafteinwirkungen und andere mechanische Größen durch Vektoren dargestellt. Dementsprechend ist die Vektorrechnung ebenfalls ausführlich behandelt. Das mechanische Gleichgewicht eines statisch bzw. dynamisch belasteten Tragwerks wird zunächst an einem winzig kleinen, d.h. differentiellen, Element untersucht. Auch die Verformungen des Elements gehen dabei in die Betrachtungen ein. Für die umfassende Behandlung dieses ganzen Themenkreises benötigt man Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung sowie der Differentialgleichungen. Diese Themen werden unter ingenieurtechnischen Gesichtspunkten betrachtet und behandelt. Die Computer unterstützte Mathematik ist für die Ingenieurpraxis ein sehr lohnendes Gebiet. Extrem leistungsfähige kommerzielle Computer-Programme für die Mathematik stellen dem Anwender das Wissen von unzähligen Mathematik-Experten zur Verfügung. Das Kapitel über das Computer-Algebra-System Maple behandelt an ausgewählten Beispielen die Lösung von mathematischen AufgabensteIlungen mit Hilfe des Computers. Ebenfalls in diesem Zusammenhang ist das Kapitel über C++ zu sehen. Es wird beispielhaft gezeigt, wie mit kleinen Programmen in der Programmiersprache C++ kleinere Routineaufgaben der Mathematik effizent bewältigt werden können. Die Buch-CD enthält neben zahlreichen Beispielen für die Mathematik mit Maple und C++ auch einen C++ Compiler und eine integrierte Entwicklungsumgebung, so dass Leser die vorgestellten C++ Programme nach Belieben modifizieren und testen können. Ferner wurde ein vom Verfasser entwickeltes FEM-Programm mit zahlreichen Beispieldateien für die statische und dynamische Berechnung von Tragwerken beigelegt. Dieses Programm ist in C++ geschrieben und macht intensiven Gebrauch von der linearen Algebra sowie der Vektorrechnung. Dieses Buch ist nicht als Ersatz für die übrigen sehr guten Mathematikbücher der Gegenwart gedacht, in denen mathematische Themen in großer Detailtiefe nebst Beweisführung und präziser mathematischer Strenge behandelt werden. Es ist als Lehrbuch für Ingenieurstudiengänge an Fachhochschulen und auch als Einführung in die Mathematik für Studierende an Universitäten konzipiert - speziell für Studierende des Bauingenieurwesens und des Maschinenbaus. Frau Dipl.-Ing. Eva Lemmer danke ich für das Korrekturlesen. Zum Schluß möchte ich mich im voraus bei meinen Lesern bedanken, die durch konstruktive Kritik und Anregungen zur Verbesserung dieses Buches beitragen wollen. München, August 2004 Ziya Sanal

7 Inhaltsverzeichnis 1 Grundwissen 1.1 Zahlen Elementare Definitionen und Formeln 1.3 Mittelwert einer Zahlenmenge. 1.4 Logarithmus Winkelmaße: Grad und Radiant 1.6 Zusätzliche Beispiele 1. 7 Aufgaben Elementare Funktionen 2.1 Polynomfunktionen. 2.2 Potenz- und Wurzelfunktionen 2.3 Exponential-Funktionen Logarithmus-Funktionen Trigonometrische Funktionen. 2.6 Arkus-Funktionen Hyperbel-Funktionen Kegelschnitt-Funktionen Explizite und implizite Funktionen Funktionen in Parameterdarstellung 2.11 Weitere Funktionen Symmetrie und Stetigkeit von Funktionen 2.13 Aufgaben Lineare Algebra 3.1 Einführung Definitionen für Matrizen. 3.3 Operationen mit Matrizen. 3.4 Lineare Abhängigkeit einer Matrix. 3.5 Determinante einer Matrix 3.6 Lineare Gleichungssyteme 3.7 Invertierung von Matrizen 3.8 Eigenwertaufgabe Definitheit einer Matrix Zusätzliche Beispiele 3.11 Aufgaben

8 VIII Inhaltsverzeichnis 4 Vektorrechnung 4.1 Einführung Linearkombination von Vektoren Lineare Abhängigkeit von Vektoren 4.4 3D-Vektor in Matrixschreibweise D-Vektor in der Schreibweise mit Basisvektoren 4.6 Normierung eines Vektors 4.7 Skalarprodukt Kreuzprodukt Anwendungen des Kreuzprodukts in der Mechanik 4.10 Anwendung der Vektorrechnung in der analytischen Geometrie Zusätzliche Beispiele 4.12 Aufgaben Elementare analytische Geometrie 5.1 Koordinatensysteme Abstand zwischen zwei Punkten 5.3 Koordinatentransformation in der xy-ebene 5.4 Geraden in der xy-ebene 5.5 Zusätzliche Beispiele 5.6 Aufgaben... 6 Differentialrechnung 6.1 Definition der Ableitung 6.2 Ableitungsregeln Relativer Fehler Linearisierung einer Funktion 6.5 Höhere Ableitungen Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen 6.7 Regel von I'Hospital Krümmung einer Kurve Lokale Extremwerte einer Funktion Newton-Verfahren für Nullstellenbestimmung 6.11 Zusätzliche Beispiele Technische Anwendungen 6.13 Aufgaben Differentialrechnung für multivariable Funktionen 7.1 Einleitung Partielle Ableitung einer Funktion von zwei Variablen Partielle Ableitung einer Funktion von n unabhängigen Variablen 7.4 Das totale Differential. 7.5 Skalarfelder Gradient Richtungsableitung

9 Inhaltsverzeichnis IX 7.8 Niveaulinien und Niveauflächen Extremwerte von Funktionen mehrerer Variablen 7.10 Zusätzliche Beispiele Technische Anwendungsbeispiele 7.12 Aufgaben Integralrechnung Unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral Numerische Integration Geometrische Anwendungen der Integralrechnung Technische Anwendungen der Integralrechnung Zusätzliche Beispiele Aufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Beispiele für Differentialgleichungen in der Mechanik Definitionen für Differentialgleichungen Lösung einer Differentialgleichung Differentialgleichungen 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Anwendungsbeispiele aus der Strukturdynamik Weitere technische Anwendungsbeispiele Zusätzliche Beispiele Aufgaben Mathematik mit Maple Einführung in Maple Elementar-Mathematik Lineare Algebra Vektorrechnung Differentialrechnung Differentialrechnung für multivariable Funktionen Integralrechnung Gewöhnliche Differentialgleichungen Mathematik mit C Einführung Der C++ Compiler 11.3 Ableitung einer Funktion 11.4 Newton-Verfahren Lineare Algebra Integralrechnung Die Finite-Elemente-Methode FEM

10 X Inhaltsverzeichnis Anhang A Ausgewählte Formeln und Beziehungen A.I Trigonometrische Funktionen..... A.2 Unbestimmte Integrale A.3 Verschiedene Konstanten und Symbole. Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis

11 1 Grundwissen In diesem Kapitel werden einige Elementarbegriffe der Mathematik erläutert und ausgewählte Grundformein der Algebra, die in der Ingenieurpraxis häufig benötigt werden, zusammengestellt. 1.1 Zahlen In diesem Abschnitt werden reelle Zahlen sowie die imaginäre Einheit i behandelt. Natürliche Zahlen werden symbolisch mit N gekennzeichnet. Sie beginnen mit Null 1 und nehmen ganzzahlige positive Werte an: o Ganze Zahlen werden symbolisch mit Z gekennzeichnet. Sie erstrecken sich vom negativen Unendlichen zum positiven Unendlichen und sind durch folgende Zahlenfolge definiert: Rationale Zahlen (auch bekannt als Brüche) werden symbolisch mit Ql gekennzeichnet. Eine rationale Zahl ist als Quotient von zwei beliebigen ganzen Zahlen ZI und Z2 (wobei Z2 -I- 0) definiert: Ql = ZI Z Jede rationale Zahl lässt sich anstelle des Bruches auch als Dezimalzahl schreiben: -00-4,8-2,4-0,5 0 0,5 2,4 4,8 00 Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen, die sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Folgende Zahlen z.b. sind irrational: v'2 = Ig2 = Reelle Zahlen werden symbolisch mit 1K gekennzeichnet. Sie bestehen aus der Gesamtmenge der rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen. Selbstverständlich enthalten sie letztendlich auch die ganzen Zahlen, weil jede beliebige ganze Zahl n sich durch Division mit der Zahl 1 auch I Ein Teil der mathematischen Literatur zählt 0 nicht zu den natürlichen Zahlen. Z. Şanal, Mathematik für Bauingenieure mit Maple und C++ B. G. Teubner Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2004

12 2 1 Grundwissen als rationale Zahl auffassen lässt ,8-2 -0,5 0 0,5 2 4, Stellt man sich alle denkbaren Zahlen grafisch auf einer Linie angeordnet vor, so bilden die reellen Zahlen eine unendlich dichte Abfolge von Punkten dar, d.h. enthalten alle Punkte zwischen -00 und +00 auf der Zahlengeraden. Komplexe Zahlen werden mit dem Symbol C gekennzeichnet. Sie stellen eine Erweiterung des Zahlenbegriffs dar, um Lösungen auch für solche (insbesondere technische) Probleme zu gewinnen, die ansonsten als unlösbar bzw. umständlich zu lösen gelten würden. Komplexe Zahlen basieren auf der imaginären Einheit i. Um die Idee der imaginären Einheit zu verstehen, sei folgende quadratische Gleichung betrachtet: Es ist bekannt, dass es keine reelle Zahl x gibt, welche diese Gleichung erfüllen würde, einfach deshalb, weil es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat -1 wäre. Folglich ist diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen nicht lösbar. Durch Einführung eines neuen Symbols i, welches imaginäre Einheit genannt wird, gemäß der Definition bzw. P = -11 (1.1) lässt sich die obige Gleichung jetzt wie folgt schreiben und formal widerspruchsfrei lösen: Natürlich können wir mit diesem imaginären Resultat in der realen Welt des Alltags recht wenig anfangen! Die Erweiterung des Zahlenbegriffs auf komplexe Zahlen zeigt ihren wahren Nutzen erst bei der Lösung bestimmter physikalischer Probleme. Die Behandlung gedämpfter Schwingungen in der Mechanik oder Elektrotechnik bespielsweise geschieht wesentlich eleganter und übersichtlicher, wenn man mit komplexen Zahlen arbeitet. Beispiel 1.1: Für folgende Gleichungen existieren keine reellen Lösungen. Mit Hilfe von komplexen Zahlen lassen sie sich dennoch lösen - das Ergebnis heißt dann komplexe Lösung. a) x 2 +4 = 0 x 2 = -4 = 4 (-1) = 4 P = 4P =} x = ±N = ±2i Die beiden Wurzeln ergeben sich zu: Xl = 2i, X2 = -2i b) x2 +2x+5 = 0 Zur Berechnung der Wurzeln dieser quadratischen Gleichung wird die Formel (1.17) verwendet: x = -1 ± R = -1 ± N = -1 ± 2i =} Xl = i, X2 = -1-2i

13 1.2 Elementare Definitionen und Formeln 3 Beispiel 1.2: Für folgende Gleichungen existieren keine reellen Lösungen. Mit Hilfe von komplexen Zahlen lassen sie sich dennoch lösen - das Ergebnis heißt dann komplexe Lösung. a) x2+4=o x 2 = -4 = 4. ( -1) = 4. P = 4i 2 =} X = ±J4i2 = ±2i Die beiden Wurzeln ergeben sich zu: Xl = 2i, X2 = -2i b) x2+2x+5=o Zur Berechnung der Wurzeln dieser quadratischen Gleichung verwenden wir die Formel (1.16) und erhalten: x = -1 ± R = -1 ± J4i2 = -1 ± 2i =} Xl = i, x2 = -1-2i Symbole für Zahlenmengen Nachfolgend sind Symbole, die sich zur allgemeinen Klassifizierung von Zahlenmengen in der Literatur eingebürgert haben, zusammengefasst. N Z Q lr C Gesamtheit der natürlichen Zahlen Gesamtheit der ganzen Zahlen Gesamtheit der rationalen Zahlen Gesamtheit der reellen Zahlen Gesamtheit der komplexen Zahlen Zwischen den verschiedenen Zahlentypen existiert folgende hierarchische Beziehung: NCZcQclRcC Die natürlichen Zahlen N sind also eine Untermenge der ganzen Zahlen Z, die wiederum bilden eine Untermenge der rationalen Zahlen Q usw. Jede Zahlengruppe schließt alle links von ihr stehenden Untergruppen mit ein. 1.2 Elementare Definitionen und Formeln Potenzen Die n-te Potenz einer reellen Zahl X ist für eine natürliche Zahl n wie folgt definiert (natürliche Potenz). x" =X X X X '-v-" n-mal X für n = 1,2,3, x: Basis n: Exponent Beispiel 1.3: xl =x x2 =x x

14 4 1 Grundwissen Tabelle 1.1: Potenzregeln Regel Beispiel 0 OX 0 für x> 0 02,5 = 0 ]X 12.5 = 1 xo 2,8 = 1 xl x 2,81 = 2,8 x-i 28-1 = ~ x ' 2,8 x-y 28-2,5 = _l_ x)', 2,82,5 1 1 xy 282,5 =-- x-y, 2,8-2.5 J!1:1> J!1+b 2,82,5.2,81,2 = 2,83,7 J!1 282,5 J!1- b -'- = 28(2.5-1,2) = 281,3 xb 2,81,2', (J!1)b = (:1»" = J!1b (2,82.5)1,2 = (2,81,2)2,5 = 2,83 (xy)a J!1 ya (2,8 1,6f5 = 2, ,62,5 or J!1 C,8) 2,5 2,82,5 y" 1,6 1,62,5 Hinweis: Wenn die Basis x eine positive reelle Zahl ist, darf der Exponent n auch eine beliebige reelle Zahl sein (reelle Potenz). Für zwei positive reelle Zahlen x und y sowie zwei beliebige reelle Zahlen a und b gelten die Potenzregeln der Tabelle (wenn a und b natürliche Zahlen sind, gelten die Rechenregeln auch für negative Werte von x und y) Wurzeln Das Symbol y'.x wird als die n-te Wurzel der Zahl x bezeichnet und ist definiert als I y'.x=y wenn yn =xl (1.2) 2 Die Regel 0 = 1 der Tabelle 1.1 ist in der Literatur nicht einheitlich. Während viele Mathematiker 0 als undefiniert stehen lassen (womit man in der Praxis leider nicht viel anfangen kann!), definieren wiederum andere Mathematiker, wie z.b. diejenigen, die das für seine hohe Leistungsfahigkeit bekannte Mathematikprogramm MAPLE entwickelt haben, 0 = 1. Der Verfasser hat aus praktischen Erwägungen die zweite Option gewählt.

15 1.2 Elementare Definitionen und Formeln 5 Tabelle 1.2: Regeln für Absolutwert I-xl lxi 2: 0 lxi Ix YI Ixl lyl lxi I~I iyi Ixl+lyl 2: Ix±yl Ix±yl 2: Ilxl-lyll Aus dieser Definition folgt, dass yix = x l / n ist. Das bedeutet, dass jeder Wurzelausdruck auch als Potenzausdruck angegeben werden kann. Insofern besteht eigentlich auch kein Grund, für Wurzeln separate Rechenregeln aufzustellen. Die einzige Ausnahme bildet die Quadratwurzel yx, weil sie in dieser Form als Abkürzung für ~ bzw. für xl / 2 verwendet wird und übersichtlicher wirkt. Die verschiedenen -zueinander äquivalenten- Möglichkeiten für die Schreibweise einer Wurzel sind z.b. {IX = x l / r {/xp =xp/ r -{lx=x-l/r = _1_ = _1 = rfi = V? x l / r {IX V ~ (1.3) Beispiel 1.4: Mit Hilfe eines Taschenrechners wird die Gleichwertigkeit zwischen der Wurzel- und Potenzdarstellung gemäß GI. (1.3) kontrolliert. a) 2iff6 = 161/ 2,5 = 16,4 = 3,03 b) VI62 = 162/ 5 = 16,4 = 3,03 c) -m = 27-1/ 3 = _1_ = _1_ = Jl = V27-1 = / 3 m V 27 ' Absolutwert Der Absolutwert lxi einer reellen Zahl x ist ihr Betrag, d.h. ihr positiver Wert ohne Rücksicht auf das Vorzeichen (der Betrag einer komplexen Zahl wird anders berechnet). Die Eigenschaften des Absolutwertes sind in Tabelle 1.2 zusammen gestellt. lxi = { x f~r x :2 0 -x fur x< 0 (1.4)

16 6 1 Grundwissen Beispiel 1.5: 1+2,31 = 2,3 1-2,31 = -( -2,3) = 2, Modulo-Funktion Die Modulo-Funktion berechnet den ganzzahligen Rest der Division von zwei ganzen Zahlen k und m: Imod~ =rl mit r=k-i m i E Z, d.h. i ist eine ganze Zahl (1.5) Die Zahl i ist so zu wählen, dass 0 <:::: r < m gilt. Beispiel 1.6: mod (7/3) =? Für i = 2 ergibt sich: r = = I. Der Module-Wert von 7/3 ist also gleich I, weil mit i = 2 die Bedingung 0 < r < 2 erfüllt ist Signum-Funktion Die Signum-Funktion einer Zahl x (auch Vorzeichen-Funktion genannt) ist wie folgt definiert. I signx = 1:1 0.6) Die Vorzeichenfunktion kann also nur zwei Werte annehmen 3 : signx = { 1 -I wenn x ~ 0 wenn x < 0 (1.7) Eine Zahl x und ihr Absolutwert lxi sind über die sign-funktion miteinander wie folgt verknüpft. x = lxi signx (1.8) Beispiel 1.7: sign (- 3) = -1 sign4,6 = 1 sign 7[; = 1 sign (-7[;) = Summation, Produkt und Fakultät In vielen technischen Anwendungen und der Statistik werden eine beliebige Anzahl von Größen bzw. Variablen addiert oder multipliziert. Als kompakte Schreibweise für solche Operationen werden das Summensymbol und das Produktsymbol verwendet. 3 In der Literatur ist mitunter auch die Festlegung anzutreffen. dass sign (0) nicht definiert sei. Diese Definition wird hier nicht übernommen. weil man damit bei Ingenieuraufgaben wenig anfangen kann.

17 1.2 Elementare Definitionen und Formeln Summation Das Summensymbol I ist eine Abkürzung für die lineare Addition der Summenglieder. Für eine endliche Anzahl von Funktionen Ji = Ji(x) ist ihre Summe definiert als n L. Ji = Im + Im+! + Im In-I + In i = m, m + 1, m + 2,...,n - I, n (l.9) i=m Falls die Summenglieder keine Funktionen sind, sondern nur einfache Zahlen Xm, xm+ 1,.,Xn-I,Xn, erhält man aus (l.9) folgende einfachere Form: n L. Xi = Xm +Xm+1 +Xm Xn-I +Xn i=m (1.10) Beispiel 1.8: Nachfolgend sind einfache Beispiele für das Summationssymbol gegeben. 5 ~ Ii=I =15 i=1 5 ~ Ii= =15 i=o 3 c) IP= =14 i=1 3 d) I(P-l)=(12-1)+(22-1)+(32-1)=11 i=1 3 f) I sin in = sin 0 + sin n + sin 2n + sin 3n = = 0 i=o Regeln für die Summation 1. Summationsindex darf beliebig gewählt werden. n n n L. Xi = L. X j = L. Xk i=l j=l k=1 (1.11) 2. Summationsindex darf um einen beliebigen Betrag k verschoben werden. n n+k n n+k L. Xi = L. Xi-k und L. Xi = L. Xi-k i=l i=k+l i=o i=k (1.12)

18 8 1 Grundwissen 3. Additionsregel. n n n LX;+ LY;= L(x;+y;) i=m i=m i=m (1.13) Beispiel 1.9: Die Regel (1.12) soll für n = 3 und k = 4 verifiziert werden. 3? 3+4 LX; ~ L X;-4 ;=1 ;=4+1 3 LX; =XI +X2 +X3 ;= L X;-4 = L X;-4 = X5-4 + X6-4 + X7-4 = XI + X2 + X3..( ;=4+1 ;= Produkt Mit dem Produktsymbol I1 wird die Multiplikation einer beliebigen Anzahl von Termen ausgedrückt. n TI X; = XI. X2... Xn ;=1 (1.14) Beispiel 1.10: 5 TI i = = 120 ;= Fakultät Die Fakultät n! einer ganzen Zahl n ist wie folgt definiert (Der Ausdruck n! wird gesprochen als»n-fakultät«): n n! = TI i = n ;=1 Spezialfall: O! = 1 (1.15) Beispiel 1.11: I! = 1 2!=1 2=2 3!=1 2 3=6 5! = ! =

19 1.3 Mittelwert einer Zahlenmenge Lösung einer quadratischen Gleichung Für die Lösung einer quadratischen Gleichung lassen sich zwei Lösungsformeln angeben: Normalform x2+px+q=0 (1.16) Allgemeine Form ax2 +bx+c = 0 x= -b±vb 2-4ac 2a (1.17) Binomische Formeln Die in der Praxis am häufigsten benötigten binomischen Formeln sind: (a+b)2 = a2 + 2ab +b2 (a-b)2 =a2-2ab+b2 (a + b? = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2 - b 3 a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) (1.22) 1.3 Mittelwert einer Zahlenmenge Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Definition des Mittelwertes einer Zahlenreihe. Es gibt nicht die Mittelwertdefinition, je nach Einsatzzweck kann sich die eine oder andere als die bessere Wahl herausstellen. Arithmetisches Mittel (Mittelwert): 1 n 1 xm=- L,X;=-(X1+X2+ +Xn) n ;=1 n (1.23) Geometrisches Mittel: (1.24) Quadratisches Mittel: X s = (~ ~>~) 1/2 = (~ (xi +x~ X~)) 1/2 n ;=1 n (1.25)

20 10 1 Grundwissen Harmonisches Mittel: n n Xh = -n-1 = I i=1 Xi XI X2 Xn (1.26) Für eine Reihe, die aus positiven reellen Zahlen XI, X2,.., Xn besteht, gilt folgende Beziehung: Beispiel 1.12: Für die Zahlenmenge XI = 3, X2 = 5, X3 = 7, X4 = 9 sollen die verschiedenen Mittelwerte berechnet werden. a) Arithmetisches Mittel (1.27) b) Geometrisches Mittel 4 Xg = (TI x;)1/4 = (XI X2 X3 X4)1/4 = ( )1/4 = 5,544 ;=1 c) Quadratisches Mittel d) Harmonisches Mittel 4 4 Xh = 41 = I I i=1 Xi XI X2 X3 X4 e) Kontrolle der Ungleichung Xh :s; x g :s; Xm :s; Xs 5,081 < 5,544 < 6 < 6,403./ 1.4 Logarithmus Wir betrachten die Gleichung (a und b : positive reelle Zahlen, x: beliebige reelle Zahl)