Automatentheorie und Formale Sprachen

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1 Automatentheorie und Formale Sprachen ÜBUNGEN Kathrin Hoffmann SoSe 2012 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

2 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Vorstellungsrunde: Dr. Kathrin Hoffmann Diplom-Studium Informatik Technische Universität Berlin Studentische Hilfskraft Promotions- und Forschungsstipendien Wissenschaftliche Mitarbeiterin Formal Approach and Applications of Algebraic Higher-Order Nets (Promotion) Wissenschaftliche Mitarbeiterin und Leiterin im DFG-Projekt Formale Modellierung und Analyse von flexiblen Prozessen in mobilen Ad-hoc Netzwerken und kommunikationsbasierten Systemen Wissenschaftliche Mitarbeiterin und Leiterin im BMBF-Projekt Fit für Soziale Netzwerke - Weiterbildungsmaster Medieninformatik Lehraufträge TU Berlin und HAW Hamburg Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

3 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Vorstellungsrunde!!! Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

4 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Gleichheit von Mengen Definition Zwei Mengen A und B heißen gleich A = B genau dann, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist und umgekehrt: für alle a A gilt auch a B und für alle b B gilt auch b A Sonst sind die Mengen ungleich A B. Es ist also A B genau dann, wenn: ein a A existiert, so dass a B oder ein b B existiert, so dass b A Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

5 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Gleichheit von Mengen Definition Zwei Mengen A und B heißen gleich A = B genau dann, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist und umgekehrt: für alle a A gilt auch a B und für alle b B gilt auch b A Sonst sind die Mengen ungleich A B. Es ist also A B genau dann, wenn: ein a A existiert, so dass a B oder ein b B existiert, so dass b A Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

6 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Gleichheit von Mengen Definition Zwei Mengen A und B heißen gleich A = B genau dann, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist und umgekehrt: für alle a A gilt auch a B und für alle b B gilt auch b A Sonst sind die Mengen ungleich A B. Es ist also A B genau dann, wenn: ein a A existiert, so dass a B oder ein b B existiert, so dass b A WICHTIG Daraus folgt, dass Reihenfolge und Wiederholungen von Elementen unwesentlich sind. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

7 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Teilmenge Definition Eine Menge A heißt Teilmenge A B einer Menge B genau dann, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist: aus (A B) folgt für alle a A, dass a B) Eine A heißt echte Teilmenge A B von B genau dann, wenn gilt: A B und A B Die Menge aller Teilmengen von A heißt P(A) Potenzmenge von A: P(A) := {X X A} A B ist gleichbedeutend mit B A, dann heißt B Obermenge von A. Genauso ist A B gleichbedeutend mit B A, dann ist B echte Obermenge von A. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

8 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Mengenoperationen Definition Seien A und B Mengen. Die Vereinigungsmenge ist definiert durch A B := {x x A oder x B} (sprich: A vereinigt B) Die Schnittmenge ist definiert durch A B := {x x A und x B} (sprich: A geschnitten B) Die Differenz ist definiert durch A \ B := {x x A und x B} (sprich: A ohne B, A minus B) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

9 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Venn-Diagramme Venn-Diagramme illustrieren anschaulich die Mengenoperationen: B A A B A B A \ B Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

10 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Beispiele P( ) = { } (A B) \ (A B) (A B C) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

11 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Grundmenge, Komplement Definition Die Menge, die, alle betrachteten Mengen umfasst, heißt Grundmenge G. Ist die Grundmenge G gegeben, dann ist das Komplement einer Menge A definiert durch A := G \ A (sprich: A-Komplement ) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

12 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Grundmenge, Komplement Definition Die Menge, die, alle betrachteten Mengen umfasst, heißt Grundmenge G. Ist die Grundmenge G gegeben, dann ist das Komplement einer Menge A definiert durch A := G \ A (sprich: A-Komplement ) BSP: Venn-Diagramm mit Komplement und Grundmenge (aus Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

13 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Rechenregeln für Mengenoperationen Es gelten folgende Rechenregeln: Seien A, B, C Mengen. Dann gelten Die Assoziativgesetze (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Die Kommutativgesetze A B = B A A B = B A Die Distributivgesetze (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

14 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Rechenregeln für Mengenoperationen (ff) Die de-morganschen Gesetze (für die Differenz) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) Die Absorptionsgesetze A (A B) = A A (A B) = A Die Idempotenzgesetze A A = A A A = A Die Komplementgesetze für Grundmenge G A A = A A = G Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

15 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Mehr Mengenoperationen Definition Seien A und B Mengen. Das kartesisches Produkt (oder auch Kreuzprodukt) von A und B ist definiert durch A B := {(a, b) a A und b B} (sprich: A kreuz B) Die disjunkte Vereinigung von A und B ist definiert durch A B := (A {0}) (B {1}) (sprich: A disjunkt vereinigt B) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

16 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Beispiele BSP: Kartesisches Produkt BSP: Disjunkte Vereinigung oder die kartesischen Koordinaten R 2 := R R Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

17 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA BSP: {a, b, c} {a, b, c} = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} {a, b, c} {a, b, c} = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1), (c, 0), (c, 1)} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

18 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Rechenregeln (a, b) = (c, d) genau dann, wenn a = c und b = d A = A = A B B A aber A B = B A dabei heißt = isomorph, anders gesagt in einer eins-zu-eins -Beziehung A = A A B B A aber A B = B A A B = A B falls A B = Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

19 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Beispiele BSP: (a, b) = (c, d) genau dann, wenn a = c und b = d (16, {Budapest}) = (4 2, A), wobei A = { Menge der Städte, die auf den Koordinaten N, 19 3 O liegen } A = A = {a, b, c} {} = {(x, y) x A und y } = {} A B B A aber A B = B A {a} {b} = {(a, b)} {(b, a)} = B A aber {(a, b)} = {(b, a)}, denn (a, b) (b, a) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

20 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 1: Berechnen Sie bitte: 1 {a, b, c} P({a, b}) 2 ({a, b} \ P({a, b})) P({a, b}) 3 {a, b} P({a, b}) 4 {{a, b}} P({a, b}) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

21 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 1: Berechnen Sie bitte: 1 {a, b, c} P({a, b}) 2 ({a, b} \ P({a, b})) P({a, b}) 3 {a, b} P({a, b}) 4 {{a, b}} P({a, b}) Lösung 1 {a, b} P({a, b}) = {(a, ), (a, {a}), (a, {b}), (a, {a, b}), (b, ), (b, {a}), (b, {b}), (b, {a, b})} 2 ({a, b} \ P({a, b})) P({a, b}) = 3 {a, b} P({a, b}) = {({a, 0), (b, 0), (, 1), ({a}, 1), ({b}, 1), ({a, b}, 1)} 4 {{a, b}} P({a, b}) = {({a, b}, 0), (, 1), ({a}, 1), ({b}, 1), ({a, b}, 1)} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

22 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Mengenfamilien Definition Gegeben seien Mengen M i für I I, dann ist (M i ) i I eine Mengenfamilie über der Indexmenge I, wobei I N. Definition Durchschnitt der Mengenfamilie i I M i := {x für alle i I : x M i } Vereinigung der Familie i I M i := {x es existiert i I : x M i } Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

23 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 2: Gegeben sei M = {1, 2, a, c} und (A m ) m (M {0}) eine Mengenfamilie mit A i := {i}. Geben Sie die folgenden Mengen bitte explizit an: A 0 A a m M A m Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

24 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 2: Gegeben sei M = {1, 2, a, c} und (A m ) m (M {0}) eine Mengenfamilie mit A i := {i}. Geben Sie die folgenden Mengen bitte explizit an: A 0 A a m M A m Lösung A 0 = {0} A a = {a} m M A m = M = {1, 2, a, c} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

25 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Vollständige Induktion Vollständige Induktion beweist Aussagen über natürlichen Zahlen: Definition Ist A(n) eine von n N abhängige Aussage, so sind dazu die folgenden beiden Beweisschritte 1 und 3 durchzuführen: Induktionsanfang (IA): Man zeigt, dass A(1) richtig ist. Induktionsbehauptung (IB): Annahme, dass A(n) richtig ist Induktionsschluss (IS): Man zeigt, dass aus der Annahme, dass A(n) richtig ist (Induktionsanker), folgt, dass auch A(n + 1) richtig ist, d.h. A(n) = A(n + 1) Dann ist gewährleistet, dass A(n) für alle n N gilt. Wird der Induktionsanfang nicht für n 0 = 1, sondern für ein n 0 > 1 durchgeführt, so gilt die Aussage nur für alle n n 0. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

26 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 3: Alphabet, Wörter und Sprachen 1 Die Länge eines Wortes : Σ N 0 lässt sich rekursiv definieren: ɛ = 0 x w = w + 1 für jedes x Σ 1 Berechnen Sie für A = {a, b, abc} bitte aba und ababc. 2 Versuchen Sie bitte Folgendes zu beweisen: v w = v + w Machen sie sich zunächst klar, (ob und) wieso das so ist. Beweistechnik: Induktion über die Anzahl der Zeichen von v. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

27 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Lösung von Aufgabe 3 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

28 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Lösung von Aufgabe 3 Lösung Zu zeigen ist vw = v + w durch vollständige Induktion über die Anzahl der Zeichen von v IA n = 0 also v = ɛ: IB für ein bel. n sei: ɛ w = w = 0 + w = ɛ + w vw = v + w IS (n n + 1) also ZZ: xvw = xv + w xvw = vw + 1 = v + w + 1 = v w = xv + w Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

29 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 4: Induktionen Die Transposition oder Spiegelung eines Wortes über Σ ist seine zeichenweise Umkehrung definiert durch Abbildung trans : Σ Σ mit trans(ɛ) = ɛ und trans(xv) = trans(v) x für alle x Σ und v Σ Zeigen Sie bitte für trans, dass trans 2 (w) = w. Palindrome Ein Palindrom ist ein Wort w mit trans(w) = w. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

30 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 4: Induktionen Die Transposition oder Spiegelung eines Wortes über Σ ist seine zeichenweise Umkehrung definiert durch Abbildung trans : Σ Σ mit trans(ɛ) = ɛ und trans(xv) = trans(v) x für alle x Σ und v Σ Zeigen Sie bitte für trans, dass trans 2 (w) = w. Bemerkungen trans 2 (w) := trans(trans(w)) doppelte Induktion Palindrome Ein Palindrom ist ein Wort w mit trans(w) = w. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

31 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Lösung von Aufgabe 4 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

32 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Lösung von Aufgabe 4 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

33 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 5: 1 Sei Σ = {f, g, 3, 7}. Geben Sie bitte die folgenden Sprachen an (verbal oder besser formal): {gg} + = L 1 = Σ \ {vgv v, v Σ } = L 1 = 2 Gilt {w trans(w) = w; w Σ } = {w trans(w) w Σ }? Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

34 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 5: 1 Sei Σ = {f, g, 3, 7}. Geben Sie bitte die folgenden Sprachen an (verbal oder besser formal): {gg} + = {g n n = 2m für m N + } L 1 = Σ \ {vgv v, v Σ } = {f, 3, 7} L 1 = {f, 3, 7} 2 Gilt {w trans(w) = w; w Σ } = {w trans(w) w Σ }? Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

35 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 5: 1 Sei Σ = {f, g, 3, 7}. Geben Sie bitte die folgenden Sprachen an (verbal oder besser formal): {gg} + = {g n n = 2m für m N + } L 1 = Σ \ {vgv v, v Σ } = {f, 3, 7} L 1 = {f, 3, 7} 2 Gilt {w trans(w) = w; w Σ } = {w trans(w) w Σ }? Nein, denn {w trans(w) = w; w Σ } enthält Wörter mit ungerader Länge, aber {w trans(w); w Σ } nicht. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

36 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Beispiel: Zustandsgraphen endlicher Automaten DEA, der alle Zeichenreihen akzeptiert, die die Teilzeichenreihe 01 enthalten. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

37 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 6: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Zeichenketten aus {0, 1} akzeptiert, die mit 00 beginnen und bei denen auf jede 1 unmittelbar mindestens eine 0 folgt. 1 Beginnen Sie mit einem Automaten, der das kürzeste Wort der Sprache akzeptiert. 2 Erweitern Sie den Automaten danach. 3 Wie lautet das 5-Tupel, das Ihren Automaten beschreibt? Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

38 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 7: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {a, b} akzeptiert, die höchstens 4 a s oder eine ungerade Anzahl von a s haben. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

39 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 7: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {a, b} akzeptiert, die höchstens 4 a s oder eine ungerade Anzahl von a s haben. Lösung Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

40 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 8: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {a, b} akzeptiert, die bbbb enthalten. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

41 Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 8: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {a, b} akzeptiert, die bbbb enthalten. Lösung Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

42 Übung Ü2 Übungsaufgabe 9: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {0, 1, 2} + akzeptiert, so dass jeder 2 direkt das Wort 10 folgt. Geben Sie bitte Diagramm und Übergangstabelle an. Geben Sie die Anfangskonfiguration für das Wort Führen Sie für 0210 die Berechnung durch. Wird das Wort akzeptiert? Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

43 Übung Ü2 Übungsaufgabe 10: Zeigen Sie bitte, dass gilt: (q, v) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, vw) (r, ɛ) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

44 Übung Ü2 Übungsaufgabe 10: Zeigen Sie bitte, dass gilt: (q, v) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, vw) (r, ɛ) Induktion über v: IA Für v = 0 gilt: (q, ɛ) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw q = p und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, ɛ w) (r, ɛ) IB Für v n gelte: (q, v) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, vw) (r, ɛ) IS (q, xv) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, x) (q, ɛ) und (q, v) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, x) (q, ɛ) und (q, vw) (r, ɛ) gdw (q, xvw) (r, ɛ) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

45 Übung Ü2 Übungsaufgabe 11: Betrachten Sie den DEA A mit der folgenden Übergangstabelle. 0 1 A B A B C A C C C Beschreiben Sie informell die Sprache, die dieser DEA akzeptiert. (Zeichnen Sie zur Veranschaulichung den DEA.) Beschreiben Sie L(A) formal. Beweisen Sie das! Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

46 Übung Ü2 Übungsaufgabe 11: Betrachten Sie den DEA A mit der folgenden Übergangstabelle. 0 1 A B A B C A C C C Beschreiben Sie informell die Sprache, die dieser DEA akzeptiert. (Zeichnen Sie zur Veranschaulichung den DEA.) Beschreiben Sie L(A) formal. Beweisen Sie das! Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

47 Übung Ü2 Übungsaufgabe 11: Betrachten Sie den DEA A mit der folgenden Übergangstabelle. 0 1 A B A B C A C C C Beschreiben Sie informell die Sprache, die dieser DEA akzeptiert. (Zeichnen Sie zur Veranschaulichung den DEA.) Beschreiben Sie L(A) formal. L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } Beweisen Sie das! Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

48 Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 11 ZZ L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

49 Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 11 ZZ L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } 1 ZZ Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } L(A): IA ɛ L(A), denn (A, ɛ) (A, ɛ) uns A F IB Für w n gilt: w Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } = w L(A) IS Sei vxv = n + 1 und vxv Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ }. Dann gibt es zwei Fälle, wobei Y {A, B}: x = 1 dann (A, v1v) IB (Y, 1v ) (A, v ) IB (Y, ɛ) x = 0 und v = u1 und v = 1u dann (A, u101u ) IB (Y, 101u ) (A, 01u ) (B, 1u ) (A, u ) IB (Y, ɛ) x = 0 und v = ɛ und v = 1u dann (A, 01u ) (B, 1u ) (A, u ) IB (Y, ɛ) x = 0 und v = u1 und v = ɛ dann (A, u101u ) IB (Y, 101u ) (A, 01u ) (B, ɛ) Da in Y F bzw. B F ist, ist also vxv L(A). Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

50 Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 11 ZZ L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

51 Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 11 ZZ L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } 2 L(A) Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } gdw x / Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } = x / L(A) gdw x {v0 n v n > 1 und v, v Σ } = x / L(A) Sei x = v0 n v mit n > 1 und v, v Σ und Y {A, B, C} Dann ist (A, v0 n v ) (Y, 0 n v ), danach gibt es drei Fälle: Y = A dann (A, 0 n v ) (B, 0 n 1 v ) (C, 0 n 2 v ) (C, ɛ) Y = B dann (B, 0 n v ) (C, 0 n 1 v ) (C, ɛ) Y = C dann (C, 0 n v ) (C, ɛ) Da aber in allen drei Fällen C / F ist also x = v0 n v / L(A) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

52 Übung Ü2 Übungsaufgabe 12: Mehr... 1 Konstruieren Sie einen DEA, der alle Zeichenketten aus {0, 1} akzeptiert, die mit 00 beginnen und nicht mehrere 1 en hintereinander enthält. 2 Sei L = {w w beginnt mit dem Prefix baba oder w beinhaltet mindestens vier b s} über Σ = {a, b}. Konstruieren Sie bitte einen DEA, der L erkennt. Berechnen Sie bitte (q0, ba) und (q0, abbbb). Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

53 Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 12 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

54 Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 12 2 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

55 Übung Ü2 Übungsaufgabe 13: Gegeben der DEA Zeigen Sie bitte mit Hilfe der erweiterten Übergangsfunktion, dass 1010 L(A) ist. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

56 Übung Ü2 Übungsaufgabe 13: Gegeben der DEA Zeigen Sie bitte mit Hilfe der erweiterten Übergangsfunktion, dass 1010 L(A) ist. Lösung δ(a, 1010) = δ( δ(a, 101), 0) = δ(δ( δ(a, 10), 1), 0) = δ(δ(δ( δ(a, 1), 0), 1), 0) = δ(δ(δ(δ( δ(a, ɛ), 1), 0), 1), 0) = δ(δ(δ(δ(a, 1), 0), 1), 0) = δ(δ(δ(a, 0), 1), 0) = δ(δ(b, 1), 0) = δ(a, 0) = B Da B F, ist also 1010 L(A). Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

57 Übung Ü2 Übungsaufgabe 14: Bilden Sie bitte die Tabelle der unterscheidbaren Zustände und konstruieren Sie den minimalen DEA für Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

58 Übung Ü2 Übungsaufgabe 14: Bilden Sie bitte die Tabelle der unterscheidbaren Zustände und konstruieren Sie den minimalen DEA für Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

59 Übung Ü2 Übungsaufgabe 15: Bitte zeigen Sie, dass die beiden DEAs, dieselbe Sprache erkennen. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

60 Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 15 q1 X q2 X X q3 X X q4 X X X X q5 X X X X p0 X X X X p1 X X X X X X p2 X X X X X X X p3 X X X X X X X q0 q1 q2 q3 q4 q5 p0 p1 p2 Da p0 und q0 äquivalent sind, erkennen die beiden DEAs dieselbe Sprache. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

61 Übung Ü3 Übungsaufgabe 16: Geben Sie für diesen NEA bitte die Übergangstabelle an: Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

62 Übung Ü3 Übungsaufgabe 16: Geben Sie für diesen NEA bitte die Übergangstabelle an: Lösung 0 1 q0 {q1, q2, q3} {q2} q1 {q1} q2 {q2} q3 {q4} q4 {q2, q3} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

63 Übung Ü3 Übungsaufgabe 17: Sei L = {w zwischen zwei a s in w sind mindestens drei b s und w hat Länge zwei modulo drei } über Σ = {a, b} Konstruieren Sie bitte einen NEA, der L erkennt. (w hat also die Länge 2, 5, 8, 11, 14,...) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

64 Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 17 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

65 Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 17 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

66 Übung Ü3 Übungsaufgabe 18: Zeigen Sie mit Hilfe von Konfigurationen, dass dieser NEA 011 und 000 erkennt. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

67 Übung Ü3 Übungsaufgabe 18: Zeigen Sie mit Hilfe von Konfigurationen, dass dieser NEA 011 und 000 erkennt. Lösung (q0, 011) (q1, 11) (q1, 1) (q1, ɛ) da q1 F, also 011 L(A) (q0, 000) (q2, 00) (q2, 0) (q2, ɛ) da q2 F, also 000 L(A) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

68 Übung Ü3 Übungsaufgabe 19: Zeigen Sie mit Hilfe der erweiterten Übergangsfunktion, dass dieser NEA 010 erkennt. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

69 Übung Ü3 Übungsaufgabe 19: Zeigen Sie mit Hilfe der erweiterten Übergangsfunktion, dass dieser NEA 010 erkennt. δ(q0, ɛ) = {q0} δ(q0, 0) = δ(q, 0) = {q1, q2, q3} δ(q0, 01) = δ(q0, 010) = q δ(q0,ɛ) q δ(q0,0) q δ(q0,01) {q2, q3} F also 010 L(A) δ(q, 1) = δ(q1, 1) δ(q2, 1) δ(q3, 1) = {q1, q4} δ(q, 0) = δ(q1, 0) δ(q4, 0) = {q2, q3} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

70 Übung Ü3 Übungsaufgabe 20: Berechnen Sie bitte zu diesem NEA den äquivalenten DEA mit Hilfe der Teilmengenkonstruktion. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

71 Übung Ü3 Übungsaufgabe 20: Berechnen Sie bitte zu diesem NEA den äquivalenten DEA mit Hilfe der Teilmengenkonstruktion. 0 1 {q0} {q1, q2, q3} {q2} {q1, q2, q3} {q2} {q1, q4} {q2} {q2} {q1, q4} {q2, q3} {q1} {q1} {q1} {q4} {q2, q3} {q2, q3} {q2} {q4} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

72 Übung Ü3 Lösung von Aufgabe {q0} {q1, q2, q3} {q2} {q1, q2, q3} {q2} {q1, q4} {q2} {q2} {q1, q4} {q2, q3} {q1} {q1} {q1} {q4} {q2, q3} {q2, q3} {q2} {q4} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

73 Übung Ü3 Übungsaufgabe 21: 1 Bestimmen Sie für den folgenden nichtdeterministischen, endlichen Automaten δ(p, 010). Wird das Wort akzeptiert? 2 Wandeln Sie den NEA in einen DEA um (Tabelle genügt). 0 1 p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s {p} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

74 Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 21 1 δ(p, ɛ) = δ(p, 0) = δ(x, 0) = δ(p, 0) = {p, q} x δ(p,ɛ) δ(p, 01) = δ(x, 0) = δ(p, 1) δ(q, 1) = {q, r} x δ(p,0) δ(p, 010) = δ(x, 0) = δ(q, 0) δ(r, 0) = {s, r} x δ(p,01) da {s, r} F = {s}, wird also 010 akzeptiert. NEA 0 1 p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s {p} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

75 Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 21 2 DEA 0 1 {p} {q, s} {q} {q, s} {r} {p, q, r} {q} {r} {q, r} {r} {s} {p} {p, q, r} {q, r, s} {p, q, r} {q, r} {r, s} {p, q, r} {s} {p} {q, r, s} {r, s} {p, q, r} {r, s} {s} {p} NEA 0 1 p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s {p} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

76 Übung Ü3 Übungsaufgabe 22: Gegeben der folgende ɛ-nea. Berechnen Sie bitte δ(q0, abaa) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

77 Übung Ü3 Übungsaufgabe 22: Gegeben der folgende ɛ-nea. Berechnen Sie bitte δ(q0, abaa) δ(q0, ɛ) = ɛ-hülle({q0}) = {q0, q1, q3} δ(q0, a) = ɛ-hülle( q δ(q0,ɛ) δ(q, a)) = ɛ-hülle(δ(q0, a) δ(q1, a) δ(q3, a)) = ɛ-hülle({q2}) = {q1, q2, q3} δ(q0, ab) = ɛ-hülle( q δ(q0,a) δ(q, b)) = ɛ-hülle(δ(q1, b) δ(q2, b) δ(q3, b)) = ɛ-hülle({q1}) = {q1, q3} δ(q0, aba) = ɛ-hülle( q δ(q0,ab) δ(q, a)) = ɛ-hülle(δ(q1, a) δ(q3, a)) = ɛ-hülle({q2}) = {q1, q2, q3} δ(q0, abaa) = ɛ-hülle( q δ(q0,aba) δ(q, a)) = ɛ-hülle(δ(q1, a) δ(q2, a) δ(q3, a)) = ɛ-hülle({q2}) = {q1, q2, q3} da {q1, q2, q3} F = {q1}, also wird abaa akzeptiert. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

78 Übung Ü3 Übungsaufgabe 23: Gegeben die Sprache über dem Alphabet Σ = {a, b, c} mit L = {w Σ w v 1 aaa v 2 für beliebige v 1, v 2 Σ } {w Σ w = 3} Beschreiben Sie bitte die Sprache informell. Geben Sie bitte einen ɛ-nea an, der L erkennt. Begründen Sie, warum Ihr Automat L erkennt. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

79 Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 23 L enthält nur Wörter, die keine drei a s in Folge enthalten oder solche die höchstens 3 Zeichen lang sind, siehe Diagramm. Zwei Teilautomaten, die nichtdeterministisch ausgewählt werden, der eine (obere) kann nur zwei a s in Folge lesen, sonst stoppt er, also liest der {w Σ w v 1 aaa v 2 für beliebige v 1, v 2 Σ } und der andere kann nach 3 Zeichen nicht mehr weiter, erkennt also {w Σ w = 3}. Durch die Auswahl wird die Vereinigung der Teilsprachen erreicht. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

80 Übung Ü3 Übungsaufgabe 24: Konstruieren Sie bitte einen äquivalenten DEA ohne Epsilon-Übergänge: Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

81 Übung Ü3 Übungsaufgabe 24: Konstruieren Sie bitte einen äquivalenten DEA ohne Epsilon-Übergänge: a b ɛ-hülle({q0}) ɛ-hülle({q1}) = {q0, q1, q2} ɛ-hülle({q3, q4}) = {q3, q4} {q0, q1, q2} ɛ-hülle({q1}) = {q0, q1, q2} ɛ-hülle({q3, q4}) = {q3, q4} {q3, q4} ɛ-hülle({q0}) = {q0} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

82 Übung Ü3 Übungsaufgabe 25: Gegeben zwei beliebige ɛ-neas A und B über einem Alphabet Σ. 1 Überlegen Sie bitte, wie man eine Automaten C konstruieren kann, der die Sprache L(C) = L(A) L(B) erkennt. Benutzen Sie dafür die ɛ-neas A und B. 2 Überlegen Sie bitte, wie man eine Automaten D konstruieren kann, der die Sprache L(D) = L(A) L(B) erkennt. Benutzen Sie dafür die ɛ-neas A und B. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe

83 Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 25 Sei A = (Q A, Σ, δ A, q A, F A ) und B = (Q B, Σ, δ B, q B, F B ) dann ist 1 C = (Q A Q B, Σ, δ C, q A, F B ) mit δ A (q, x) ; fallsq Q A \ F A δ C (q, x) = δ A (q, x) {q B } ; fallsq F A undx = ɛ δ B (q, x) ; fallsq Q B 2 D = (Q A Q B {q D }, Σ, δ D, q D, F A F B ) mit δ A (q, x) ; fallsq Q A δ B (q, x) ; fallsq Q B δ D (q, x) = {q A, q B } ; fallsq = q D und x = ɛ ; sonst Hausaufgabe: Beweisen Sie bitte, dass 1 L(C) = L(A) L(B). 2 L(D) = L(A) L(B). Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe