Berechnung der Ersatzwanddicken von Aussteifungselementen mit Öffnungen

Transkript

1 Matthias Küttler Berechnung der Ersatzwanddicken von ussteifungselementen mit Öffnungen Beim Nachweis von ussteifungssystemen treten regelmäßig Sonderfälle der technischen Biegelehre auf, auf deren uswirkungen aufmerksam gemacht wird. Es wird eine Bewehrung als Stabwerk unter Berücksichtigung der Schubverformung empfohlen. Die uswirkungen der Vernachlässigung von mitwirkenden iegelbereichen werden an einem Beispiel gezeigt. Calculation of fictious Wall Thickness of bracing Systems with Openings egularly special cases of the technical bending theory are emerging in the verification of bracing systems, to whose effects attention is directed here. reinforcement following the truss modell is recommended under consideration of the shear deformation. 1 Einleitung Die ussteifung von Hochbauten wird häufig mit den nsätzen von Beck und Schäfer durch Zusammenfassung der ussteifungselemente zu einem Gesamtstab berechnet [1]. n dieser Veröffentlichung wird die Berechnung von ussteifungssystemen mit und ohne reine Torsion behandelt. Zur Einordnung des Torsionsfalles dient der Kennwerκ h G t, der bei ussteifungen, die E ω praktisch ohne reine Torsion tragen, den Wert 0 annimmt. n den meisten Berechnungen werden die Gleichungen für den häufigen Fall κ 0 verwendet. Die Berechnungen für den Fall κ > 0 sind in Handbüchern beschrieben, obgleich dieser Fall in der Berechnungspraxis als Sonderfall gelten kann. Die Behandlung von Schubverformungen in den aussteifenden Bauteilen wird in [1] nicht bearbeitet. Diese Verformungen sind auf die Verteilung der Horizontalkräfte bei Bauwerken mittlerer Höhe häufiger von Bedeutung, als die reine Torsion. n der Literatur (z. B. []) wird gelegentlich darauf verwiesen, daß Schubverformungen bei der ussteifung von Hochhäusern nur eine untergeordnete olle spielen. Diese Feststellung gilt jedoch nur für Hochhäuser, deren aussteifende Bauteile der Gebäudehöhe wegen sehr lang sind. Gebäude mit geringeren Höhen auch wenn ihre Standsicherheit im Hinblick auf Horizontalkräfte durchaus nachgewiesen werden muß haben häufig relativ gedrungene ussteifungen, deren Schubverformung nicht klein gegenüber der Biegeverformung ist. Sind die ussteifungssysteme in der Bauwerkshöhe unregelmäßig (Schei- ben, die nicht durch alle Geschosse vorhanden sind), so ergeben sich immer uswirkungen aus der Schubverformung, da dann durch die Steifigkeitssprünge einzelner Scheiben Kräfte in den betroffenen Decken umverteilt werden müssen. Diese Wirkungen sind sehr stark von den Verformungen innerhalb eines Geschosses abhängig. n diesen dominiert aber bei allen Scheibenaussteifungen die Schubverformung. Besitzen die aussteifenden Scheiben ussparungen in regelmäßigen bständen, so kommt es zu zusätzlichen Verformungen, die sich als Schubverformungen beschreiben lassen. Damit kann die Wirkung regelmäßiger ussparungen als zusätzliche Schubverformung verstanden und berechnet werden. Die Zusammenfassung der aussteifenden Bauteile zu einem Gesamtstab eignet sich nur bei sehr hohen und gleichmäßigen ussteifungen. Bei der Berechnung der Schubverformungen ist es also von großer Bedeutung, regelmäßige ussparungen und auch Öffnungsreihen zu berücksichtigen. Dieses ist auch erforderlich, um die Wirkung der St. Venantschen Torsion auf ussteifungssysteme berücksichtigen zu können, da die üblichen Hohlquerschnitte (ufzugs- und Treppenhausschächte) regelmäßige Öffnungen haben, die die Tragwirkung sehr stark stören. Um diese Torsionssteifigkeit nun an der ussteifung zu beteiligen, ist eine Berücksichtigung der Steifigkeit der iegel unbedingt erforderlich. ndererseits sind die Öffnungen, die für Türen und Fenster vorgesehen sind, so groß, daß ihre Vernachlässigung das Ergebnis der Berechnungen entwerten würde. Zur Berechnung dieser ussteifungssysteme können heute räumliche FE-Modelle herangezogen werden. Dies hat in der Berechnungspraxis jedoch den Nachteil, daß FE-Modelle nicht einfach ausgewertet werden können bzw. die üblichen elementbezogenen Bemessungen das Stahlbetontragverhalten dieser Bauteile nicht adäquat widerspiegelt, da die Bauteile im Sinne der Stahlbetonbestimmungen doch als Träger bemessen werden sollten. Besonders bei Erdbebennachweisen nach DN 47 E 00 [3] ist die Berechnung der anddehnungen im Bemessungsfall erforderlich, die bei den elementweisen Netzbemessungen nicht bereitgestellt werden können. Eine Schnittkraftberechnung mit nsätzen der Stabstatik unter Beachtung der gemittelten Schubverzerrung Ernst & Sohn Verlag für rchitektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin Beton- und Stahlbetonbau 99 (004), Heft 7

2 ist so eine brauchbare und praktisch durchführbare lternative zu FE-Berechnungen als Faltwerk und Berechnungen nach [1]. Solche nsätze sind mit verschiedenen handelsüblichen Programmsystemen möglich (z. B. [4], [5], die jedoch beide nur eingeschränkte Möglichkeiten bieten). Darüber hinaus können diese Berechnungen auch mit allen 3D-Stabwerksprogrammen durchgeführt werden. Die Berechnung der Wirkung von ussparungen Durch die ussparungen in aussteifenden Bauteilen werden zusätzliche Verformungen hervorgerufen, die sich als ahmenverformungen ermitteln lassen. Diese Verformungen werden im Geschoß gemittelt und in eine ideelle Blechdicke umgerechnet, mit der die Querschnittswerte der Gesamtquerschnitte dann ermittelt werden. Für die Berechnung der Verformungen wird als gute Näherung ein mittlerer Bereich der ahmen gewählt, d. h. die bweichung von der Symmetrie am oberen Geschoß wird vernachlässigt. Diese Vereinfachung ist im ahmen praktischer Berechnungen sicher möglich, da die uslastung des obersten Geschosses i. a. gering ist. Die Horizontalverformungen des ahmentragwerkes ergeben sich damit zu X B + BSt + Q + QSt (1) mit us diesen Gleichungen läßt sich die bekannte Gleichung von Steinle/Hahn [6] für die Ersatzwanddicke herleiten, indem b li b re gesetzt wird: h t * b d h G h 1 + 1E sowie die auf die Öffnungsbreite bezogene Ersatzdicke * w t B BSt Q QSt lri hg 1E r ( bsch es) (Biegeverformung der iegel) h3 s (Biegeverformung der Stützen) 4Es, lri h 1 g hr d G ( bsch es) (Schubverformung der iegel) κqs hs G w b d b d w t* d s (Schubverformung der Stützen) 1 h G l l l 1E S S S S ( ) ( ) ( ) ( ) () Diese Gleichung geht von gleicher Steifigkeit der rechten und linken Stütze aus. (3) Bild 1. ufzugschacht als aussteifendes Bauteil Fig. 1. Elevator shaft as reinforcing construction unit Es gelten (Bild 1): h g Geschoßhöhe b Sch Schachtbreite (von Wandmitte zu Wandmitte) d Wanddicke w Öffnungsbreite h 1 elastische Höhe der Stütze l 1 elastische Länge des iegels E Elastizitätsmodul G Gleitmodul ( S) S(S) Schubfläche der Stütze SS ( ) κ QS ( ) (S) Flächenträgheitsmoment der Stütze () Flächenträgheitsmoment des iegels ( ) S() Schubfläche des iegels S ( ) κ Zur Berechnung dieser Ersatzwanddicken sind die erforderlichen Vorwerte zu bestimmen: die mitwirkende Breite zur Bestimmung von St κ Q für Stütze und iegel die elastischen Längen für iegel und Stütze 3 Die einzurechnende elastische Länge Q Bei der Berechnung des ahmens sind jeweils Eckbereiche vorhanden, die sich nicht als Biegeträger betrachten lassen. Es müssen also an den ahmenecken starre Bereiche eingeführt werden. Die Größe dieser starren Bereiche kann nur durch Vergleiche mit Scheibenberechnungen bestimmt werden. Die praktisch beste nnäherung wird damit gewonnen, daß der Stab mit der Höhe h jeweils um 0, h in den Knoten hinein verlängert wird (Bild ). Damit ermittelte Verformungen stimmen sehr gut mit der Berechnung mit Finiten Elementen überein. Die Berechnung der ahmenverformungen erfolgt dann mit der Vorstellung, daß die ahmen unverformbare ( ) Beton- und Stahlbetonbau 99 (004), Heft 7 531

3 Ecken besitzen, die jedoch kleiner sind, als die Bereiche, in denen die Stützen und iegel sich kreuzen (Bild ). Grundsätzlich sind die Balken um 0, d in den Knoten hinein zu verlängern. Da die Stützenprofile jedoch L-Querschnitte sind, tritt hier 0,4 e s (mit e s Schwerpunktabstand vom freien and) an die Stelle von 0, d. Eine Berechnung der L-Querschnitte mit Hauptachsen erübrigt sich, da die Biegung durch die anschließenden Decken in die ahmenebene gebunden ist. m allgemeinen Fall (unterschiedliche Stützenbreiten) lassen sich die Verformungen leicht mit jedem Stabwerksprogramm ermitteln. usgeschrieben ergibt sich die Dicke damit zu t ( K1 K3r K3l+ K1 K4 + K r K3l 4 Kr Kl K4+ K l K3r) ( 1+ µ ) ( K3r K3l K4 ) w ( 4) mit den Hilfswerten η K K r 1E κ G l 96 sl sr + h 4 + η 4 + η 1 3 Q α sl a β l [ ] 4sr ( + 5 αsr) ηsr αsr 4+ sr 1 sr 1 3 sr 1 sr h ( η ) ( + α ) ( + α ) ( + η ) sr b l Bild. ahmen zur Berechnung von Öffnungsreihen Fig.. Framework for the computation of rows of openings K3r 1 ( α + α ) η + ( 4+ 0 α + 8 α ) η α + 44 α 4 ( + ηsr) ( 1+ 3 αsr + 3 αsr) ( 1+ ηsr) ( 1+ 3 αsr) h [ ] sr sr sr sr sr sr sr sr sr α + 1 α ( 1+ + ) η 1+ α β η + K l bzw. K 3l entstehen durch den ustausch von ndex r durch l. K α+ β+ α β + α + β 4 Zur Berechnung von g, der mitwirkenden Breite ( ) 1 η 1 1 η ( ) ( + ) Hahn/Steinle empfehlen, g mit einer mitwirkenden Breite von bm 1 hgeschoβ zu ermitteln. Dieser nsatz berücksichtigt, daß wegen der Schubverformung nicht die gesam- 4 te angeschlossene Platte Biegespannungen erhält. Gleichzeitig müssen bei der nwendung der Gleichung von Steinle/Hahn, Gl. () bzw. der verallgemeinerten Gl. (4), die Schubflächen von Stütze und iegel bestimmt werden. Zur Bestimmung der Schubfläche ist die uswertung der Bild 3. Geometrie des Querschnittsteils k Fig. 3. Geometry of the cross section part k Gleichung κ Q S erforderlich, wobei bei dünnwandigen Querschnitten K gilt: κ Q 1 1 Sxi + s tk yi + scos αk ds t x k k i mit den Bezeichnungen aus Bild 3 (siehe [7]). Die Summe ist über alle Teilquerschnitte zu führen. Bei Einrechnung einer gemittelten Schubverformung ist die Ermittlung von mitwirkenden Breiten nicht erforderlich. Der Schubverformungswert κ Q ist ein reiner Querschnittswert und kann leicht programmiert ermittelt werden. (Leider ist dieser Querschnittswert in der praktischen Statik in Vergessenheit geraten und wird nur von wenigen (5) 53 Beton- und Stahlbetonbau 99 (004), Heft 7

4 handelsüblichen Programmen bereitgestellt, z. B. von [8], [9].) Bei einer konsequenten Berechnung der Verformung mit Hilfe dieser gemittelten Schubverformung kann die Betrachtung einer jeden mitwirkenden Breite entfallen. Die Größe des beteiligten L-Querschnittes ist bis zur Mitte der angrenzenden Schachtwand zu rechnen. Die Verformung eines Trägers ergibt sich aus Biegung und Schubverformung mit der Schubfläche bei praktisch beliebig breiten mitwirkenden Platten hinreichend richtig. (Die Bestimmung der Verformung sehr breiter und kurzer Träger, bei denen der nsatz der Navierschen Biegespannung zur Berechnung von κ Q auch als Näherung nicht mehr hinreicht, kann mittels einer mitwirkenden Breite verbessert werden. Der damit erreichbare Zugewinn an Genauigkeit dürfte aber bei praktischen Berechnungen keine olle spielen.) n Bild 4 sind die Durchbiegungen eines Schachtes in einem Geschoß von 3 m Höhe bei einer Berechnung mit Schubverformung und der Schubfläche und bei einer mit einer mitwirkenden Plattenbreite von H/4 und der Stegfläche als Schubfläche ermittelt. Es ist leicht zu s κq S κq erkennen, daß die nnahmen der Stegfläche als Schubfläche die Schubverformung unterschätzt. uch die Gesamtverformung ergibt sich durch die Berechnung mit der von Steinle/Hahn angegebenen mitwirkenden Breite und der Stegfläche als Schubfläche wesentlich zu niedrig. (Der Fehler beträgt mehr als 0 %; siehe Bild 4.) Bei Bauwerken, die keine Hochhäuser sind, ist die Berücksichtigung der Schubverformung erforderlich. Mit den nsätzen läßt sich ohne Schwierigkeit die Ersatzwanddicke bestimmen. Dies sollte selbstverständlich durch ein echenprogramm geschehen (z. B. [8], [9]). n [7] wird das ntergral für κ Q für dünnwandige Querschnitte aufbereitet und als einfach auswertbare Summe bereitgestellt. Dieses Ersatzblech ist immer als orthotrope Platte anzunehmen, da es ausschließlich schubsteif, aber nicht zug- und druckfest ist. 5 Zur Berechnung des Torsionswiderstandes aus den Unterzügen und Sturzbereichen Die Schachtquerschnitte werden durch die Ersatzbleche zu geschlossenen Querschnitten. Damit entsteht erst eine nennenswerte St. Venantsche Torsion, die bei der Berechnung der ussteifung berücksichtigt werden muß. Gleichzeitig verschiebt sich der Schubmittelpunkt des Schachtes wesentlich, was auf die Schnittkräfte aus den Horizontallasten ebenfalls von wesentlichem Einfluß ist, da die aussteifenden Bauteile stets am Orte ihres Schubmittelpunktes stehen. Beide Einflüsse führen zu wesentlich anderen Ergebnissen der ussteifungsberechnung, als dies bei Vernachlässigung der ahmen entsteht. Der Torsionswiderstand des Gesamtquerschnittes ergibt sich so zu (vergl. [10]) t t* w w m h ges + 4 toffen (6) mit m vom Hohlquerschnitt eingeschlossene Fläche Durch diese Änderung werden gleichzeitig der Wölbwiderstand kleiner und der Schubmittelpunkt verschoben. Die Ergebnisse einer ussteifungsberechnung mit Berücksichtigung der aussteifenden Wirkung von iegeln sind also in vielerlei Weise andere als ohne die Berücksichtigung der Wirkung der iegel. 6 Beispiel zur Darstellung der uswirkungen von Ersatzwandberechnungen Bild 4. Vergleich der Berechnungen mit mitwirkender Breite und mit gemittelter Schubverformung Fig. 4. Comparison of the computations with participating width and with averaged shear deformation Zur Darstellung der uswirkungen dieser nsätze wird das einfache ussteifungssystem nach Bild 5 untersucht. Die ussteifung eines fünfgeschossigen Bauwerkes mit einer Geschoßhöhe von 3,4 m wird mit und ohne Beachtung des Einflusses der iegel für eine Last in der Dachebene von 100 kn berechnet. Die Ersatzwanddicke nach Beton- und Stahlbetonbau 99 (004), Heft 7 533

5 oben erläuterten Gleichungen beträgt 33, mm. Durch die Wirkung der iegel bzw. die Ersatzwand verschiebt sich der Schubmittelpunkt des ufzugsschachtes um 3,84 m. Eine zutreffende Einarbeitung der Sturzsteifigkeiten an den ussparungen ist immer dann erforderlich, wenn dieser Lastfall bemessungswirksam wird. Damit verschiebt sich auch der Schubmittelpunkt der Gesamtaussteifung im Beispiel um,77 m. n Bild 6a sind die Normalspannungen im Schachtquerschnitt für Last in y- bzw. x-ichtung dargestellt, während Bild 6b die Spannungen unter Beachtung der iegelwirkung zeigt. Der Unterschied ist, wie leicht zu erkennen, so groß, daß die Berechnung ohne iegelwirkung auch als Näherung keine olle spielen kann. m ersten Lastfall wächst die Beanspruchung der einzelnen Wandscheibe in diesem Beispiel durch die Berücksichtigung der iegel sogar um über 100 %. Da die Querschnitte, die bei dieser Berechnung zu bemessen sind, sehr groß sind und weitgehend Druckbeanspruchung aus Eigen- und Verkehrslasten erfahren, ist die Nutzung plastischer eserven nicht unproblematisch. So kann auch nicht überzeugend eingewandt werden, daß die Vernachlässigung der iegelsteifigkeiten immer ein auf der sicheren Seite liegendes Ergebnis erziele. Durch die Verschiebung des Schubmittelpunktes der Gesamtkonstruktion ergibt sich für das Bauwerk im Erdbebennachweis eine vollkommen andere Beanspruchung, da der Schubmittelpunkt der Gesamtkonstruktion als der Punkt gilt, um den die Drehschwingung des Bauwerkes nachzuweisen ist. 7 Zusammenfassung Die Berechnung von Bauwerksaussteifungen wird auch in der Zeit der Finite-Elemente-Programme noch sinnvoll und hinreichend mit den klassischen nsätzen ausgeführt werden. Dabei ist es nach wie vor wichtig, die Wirkung von ussparungen bzw. der verbleibenden Bereiche durch die Einführung von Ersatzblechen zu berücksichtigen. Bei der Ermittlung von Schnittkräften und Verformungen sind jedoch Stabwerksansätze zu wählen. Die Berechnung der ussteifung durch Zusammenfassung zu einem Balken erlaubt keine Berücksichtigung der Schubverformungen und eignet sich damit nur für Hochhäuser, sollte also im üblichen Hochbau nicht verwendet werden. Die Berechnung von Bauwerksaussteifungen sollte mit echenprogrammen erfolgen, die für dieses Problem geschrieben sind. Leider ist das ngebot von einfach zu bedienenden und hinreichend vollständigen Programmen hier nicht sehr groß. Viele vorhandene Programme verwenden die Zusammenfassung zum Gesamtstab und sind damit nur begrenzt geeignet. Das Vernachlässigen von iegeln, die die vorhandenen ussparungen umgeben, ist keine zutreffende Näherung. Literatur Bild 5. Berechnungsbeispiel im Grundriß Fig. 5. Sample calculation in the horizontal projection [1] Beck, H. und Schäfer, H.: Die Berechnung von Hochhäusern durch Zusammenfassung aller aussteifenden Bauteile zu einem Balken. n: Bauingenieur 1969, Heft 3, S [] König, G. und Liphardt, S.: Hochhäuser aus Stahlbeton. Betonkalender 1990, Teil, S , Verlag Ernst und Sohn, Berlin. [3] DN 47 E 00: Bauen in deutschen Erdbebengebieten. Bild 6. Spannungen in dem Schachtquerschnitt. Oben ohne Ersatzblech, unten mit Ersatzblech Fig. 6. Tensions in the shaft cross section. bove without spare plate, below with spare plate 534 Beton- und Stahlbetonbau 99 (004), Heft 7

6 [4] B/ZB: KENE ussteifung von Hochbauten. Handbuch B Datenverarbeitung im Bauwesen GmbH, Stuttgart [5] bacus-computer GmbH: Programmsystem GUS-WN Gebäudeaussteifungen 001. [6] Hahn/Steinle: Bauen mit Betonfertigteilen im Hochbau. Betonkalender 1995, Teil S [7] Schlechte: Festigkeitslehre, VEB Verlag für Bauwesen Berlin und Werner Verlag [8] B/ZB: QUE Dünnwandige Querschnitte, Handbuch B Datenverarbeitung im Bauwesen GmbH, Stuttgart [9] mb EC Software: Programm Profilmaker, Kaiserslautern 00. [10] Wlassow: Dünnwandige elastische Stäbe Bd. 1 und, VEB Verlag für Bauwesen Berlin 1964 und Dipl. ng. Matthias Küttler ngenieurbüro Küttler und Partner Köln Ostmerheimer Straße Köln matthias@kuettler.de Beton- und Stahlbetonbau 99 (004), Heft 7 535