Skizzieren und geometrisches Freihandzeichnen

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1 Skizzieren und geometrisches Freihandzeichnen Didaktische Ansatzpunkte für den Geometrieunterricht und für eine Lösung aus dem Zeitdilemma im mathematischnaturwissenschaftlichen Unterricht. Thomas Müller In den vorliegenden Zeilen soll dargelegt werden, dass geometrisches Freihandzeichnen Potenzial hat, frischen Wind in den Geometrieunterricht zu bringen. Ein Vielzahl von Aufgabenstellungen aus dem gesamten Ausbildungsbereich bieten sich an, freihändig weitergegeben zu werden, um Freiraum für die dahinterliegenden geometrischen Überlegungen zu gewinnen. Zur Entwicklung von Kompetenzen, auf die Schülerinnen und Schüler Zeit ihres Lebens aufbauen können, kann der Geometrieunterricht neben einem reichhaltigen Formenschatz und der Entwicklung einer guten Raumvorstellung auch eine wichtige fast bin ich geneigt zu schreiben handwerkliche - Fähigkeit mit auf den Weg geben: Nämlich die Fähigkeit eines soliden und selbstbewussten Freihandzeichnens fachlich richtig und auf Basis geometrischer Regeln und Abbildungsgesetze. Nach den persönlichen Erfahrungen des Autors kann dies bewusst durch eine systematische Einführung in die Grundtechnik und eine konsequente Verwendung während des gesamten Unterrichts erreicht werden. Damit sind nicht Skizzen gemeint, die ein Lehrer/eine Lehrerin während Erklärungen flüchtig auf die Tafel zeichnet, sondern Zeichnungen und Konstruktionen durch die Schüler und Schülerinnen, die sie bislang exakt mit Zirkel und Lineal oder mit dem Computer ausgeführt haben. Damit sie dies zufriedenstellend durchführen können, muss Freihandzeichnen bewusst gelehrt werden. Dies meint auch Ulrich Viebahn, der im Vorwort seines Buches Technisches Freihandzeichnen von der Furcht vor krummen Linien schreibt und daraus folgert: So ergab sich die Notwendigkeit, das Skizzieren gezielt lehren zu müssen. (Viebahn 1993). Zunächst soll der Begriff geometrisches Freihandzeichnen thematisiert und sein Verhältnis zum Computereinsatz sowie seine Stellung innerhalb des Prozessparadigmas des heutigen Mathematikunterrichtes beleuchtet werden. Weiters wird ein Minimallehrgang vorgestellt, der Schülerinnen und Schüler dazu befähigen soll, die Anforderungen eines qualitätvollen Freihandzeichnens zu erfüllen und Freude an den Ergebnissen zu haben. Was ist geometrisches Freihandzeichnen? Im Titel wurde bewusst das Wort Freihand hinzugefügt, obwohl das Wort Skizze genügen könnte, weil es an sich (auch vom griechischen Wortstamm schendios her) aus freier Hand bedeutet. Das Wort Zeichnung soll darauf hinweisen, dass die Darstellung mehr als eine Skizze sein soll, obwohl die Unterscheidung zwischen Zeichnung und Skizze nicht einfach, ja fließend und im Prinzip für die Sache selbst nicht entscheidend ist. Trotzdem seien Gedanken für eine Unterscheidung angeregt: Eine Skizze kann eine Form der Gedankenunterstützung sein eine Art vorläufiges Festhalten einer Idee. Wenige Striche dienen zur Verdeutlichung einer Anordnung oder einer Form hauptsächlich dort unterstützend eingesetzt, wo Worte nicht eindeutig oder ungeeignet wären. Der Begriff Zeichnung soll darauf hinweisen, dass die Darstellung endgültig, also fertig ist. An sich können Freihandzeichnungen Konstruktionen, die früher in der Regel mit Zirkel und Lineal durchgeführt worden sind, (mit geringfügigen Einschränkungen) völlig ersetzen. So etwa bei Begleitgrafiken von Beweisen, bei anschaulichen Darstellungen dreidimensionaler Objekte, bei Darstellungen als Basis für mathematische Überlegungen und Tätigkeiten wie Berechnungen, Diskussionen, Informationsweitergabe usf. Das unterrichtliche Ziel soll eine sinnvolle Symbiose zwischen der Handarbeit wie exaktem Konstruieren mit Zirkel und Lineal, geometrischem Freihandzeichnen und Computereinsatz sein. Infofenster 1 Skizze versus Zeichnung Skizze: Wortwurzeln im Altgriechischen σχέδιος / schédios ( aus freier Hand ) und Italienischen schizzo ( das Spritzen ), das Festhalten eines Eindrucks oder einer Idee in einer vorläufigen Form, ein erster Entwurf, eine vorläufige Fassung, Grundlage für ein späteres Werk Zeichnung: Darstellung, die detailliert ausgearbeitet, keine Zwischenstufe mehr wie die Skizze, sondern ein fertiges Produkt ist. 6 IBDG

2 Ausgangssituation Tatsächlich ist der Einsatz digitaler Medien in der Unterrichtspraxis nach den formalen Lehrplanforderungen und den persönlichen Erfahrungen des Autors zu Lasten der Förderung von handwerklich-graphischen Fähigkeiten in den letzten Jahren gestiegen: So beanspruchen nun in vielen Unterrichtsszenarien Konstruktionen mit Dynamischer Geometriesoftware (DGS), computer-unterstütztes Entwerfen von 3D-Objekten (CAD) oder Berechnungen und Darstellungen mit Tabellenkalkulationssystemen (TKS) Unterrichtszeit, die vorher rein manuellen (Zeichen-) Arbeiten vorbehalten war. Geänderte Ansprüche und Anforderungen von außen - etwa neue Anforderungsprofile in der Berufswelt - und neue fachliche Inhalte (zum Beispiel auch solche Fragestellungen, die durch Einsatz dynamischer Software entstehen) scheinen einen noch intensiveren Einsatz neuer Technologien zu verlangen. Gleichzeitig wird eine verstärkte Kompetenzorientierung, eine Steigerung der mathematischlogischen Fähigkeiten gefordert. Waren früher Fertigkeiten im händischen Zeichnen mit Zirkel, Lineal und Bleistift, sogar fallweise mit Tuschestiften/Schablonen gefragt, so wird heute vermehrt der Schwerpunkt auf das Erkennen und die Kenntnis geometrischer Zusammenhänge, die Analyse räumlicher Sachverhalte und Beschreibung/Visualisierung funktionaler Zusammenhänge gelegt. Den Fachleuten ist klar, dass die Interpretation von grafischen Bildschirminhalten sehr oft ein hohes Maß an räumlichem Vorstellungsvermögen, Raumintelligenz und Raumdenken erfordert. Genügt Freihand -Zeichnen den Exaktheitsansprüchen? An sich zeichnet man mit dem Computer meist freihand : Mit freier Hand wird die Maus geführt durch die Software wird zeitgleich aus der Verbindungslinie Abb.1:Screenshot einer PAINT-Zeichnung eine echte gerade Linie berechnet und dargestellt (Abb. 1). Wir wissen natürlich, dass dem nicht genau so ist. Die Linie am Bildschirm ist lediglich ein Modell für eine Gerade, eine Annäherung in Form einer Pixelstruktur (Abb. 2). Ebenso werden beim Ausdruck oder beim exakten Konstruieren mit Zirkel und Lineal nur Punkt-Wolken gezeichnet Abb.2: Vergrößerung (Abb. 3): Schauen Sie sich einmal ein Zeichenblatt unter dem Mikroskop oder starker Vergrößerung an (Abb. 4). Durch diese Bemerkungen soll vorweg jede Diskussion wegen einer verzitterten Freihandli- Abb.3: Abb.4: Bleistiftzeichnung Vergrößerung nie unterbleiben. Ob eine Strecke nun als Grafikspur daliegt und als eine Anhäufung virtueller Quadrate, dies bleibt für die Idee einer geraden Linie und damit für einen Mathematiker völlig belanglos. Hier nähern wir uns in der Realität David Hilberts Ansatz in seinen Grundlagen der Geometrie, wo er von drei Systemen von Dingen, genannt Punkte, Geraden und Ebenen schreibt. Nach Meschkowski soll Hilbert in einem Berliner Wartesaal gesagt haben: Man muss jederzeit an Stelle von Punkten, Geraden, Ebenen, Tische, Stühle, Bierseidel sagen können und wir sagen durch die Rasterorientierung der Bildschirmdarstellungen Pixel, Pixelwolken oder Leuchtwolken am Bildschirm Umso mehr kann unser Bedürfnis nach Hintergrundüberlegungen und Begründungen, die beim exakten Zeichnen mit Zirkel und Lineal gar nicht auftreten würden, steigen. Freihandzeichnen und Computereinsatz, Konkurrenten im Mathematikunterricht? Um das Verhältnis zwischen Freihandzeichnen und Computerzeichnen zu beleuchten, seien einige der Thesen von Timo Leuders zu den Chancen und Risiken des Mediums Computer herausgegriffen (Leuders 2003, S. 198ff). Diese können gleichsam 1:1 auf das konsequente Arbeiten mit Freihandzeichnungen übertragen bzw. angewendet werden. These 5 etwa handelt von der Entlastung vom Kalkül und der Schaffung neuer Freiräume. Lehrplanziele wie die Erstvermittlung und Wiederholung von Geometrieinhalten, Schulung der Raumvorstellung,... können schneller durch Skizzen als durch aufwändige Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bzw. mit Hilfe von CAD erreicht werden. Abb.5: Würfel aus den drei Kantenrichtungen Besonders sei dabei auf die anschauliche Darstellung von Raumobjekten unter Verwendung der Parallelprojektion oder gar der Perspektive hingewiesen. So genügen bei der Parallelprojektion für eine abbildungs- IBDG 7

3 geometrisch richtige Darstellung lediglich zwei Regeln, nämlich die der Parallelentreue ( Bilder paralleler Geraden erscheinen auch im Bild zu einander parallel. ) und der Mittelpunktstreue / Teilverhältnistreue ( Bilder von Mittelpunkten/ Teilungspunkten von Strecken erscheinen auch in der Parallelprojektion als Mittelpunkte / Teilungspunkte mit gleichem Teilverhältnis. ). Als Vorgabe reichen dann jeweils die Bilder von drei Raumrichtungen, z.b. jene der Koordinatenachsen (basiert auf dem Verfahren der Axonometrie 1, Abb. 5) oder einfach von drei beliebigen Hauptrichtungen, die ein Objekt im Wesentlichen festlegen. Wie im Falle des Bildes einer re- Abb.6: Regelmäßige Pyramide aus drei Hauptrichtungen gelmäßigen sechsseitigen Pyramide (Abb. 6) müssen diese nicht einmal paarweise orthogonal sein. Durch reines Ergänzen von Parallelen und Überlegungen aus der Mittelpunktstreue heraus kann man ein abbildungsgeometrisch richtiges Bild der regelmäßigen sechseckigen Basis zeichnen. In These 8 wird eine Universelle Modellierung ohne Technik- und Geräte-Overload ) gefordert. Dies und besonders die dort formulierte Forderung, dass der konstruktivkreative und der interpretative Prozess beim Menschen bleiben sollen, werden durch Abb.7: Bezierkurvenpunkt für t=1/3 das geometrische Freihandzeichnen völlig erfüllt. Eine Zeichnung ist der verbalen Beschreibung in den meisten unserer Belange überlegen. Oft ist eine rasche intuitive Erfassung eines geometrischen Sachverhalts möglich. Dies sei durch die Skizzen über die Konstruktionsmöglichkeit von Bezierkurvenpunkten (Abb. 7) oder eines 60 -Winkels (Abb. 8) untermauert. Abb.8: 60 -Winkelkonstruktion Das Beweisbedürfnis, dass tatsächlich 60 entsteht, ist durch die Freihanddarstellung be- 1 Beruhigend: Nach dem Satz von Pohlke (1853) existiert dann zu jeder gewählten Annahme der Bilder der drei Achsen ein dreidimensionales Original samt einer Parallelprojektion, die das vorgegebene Bild liefert. trächtlich höher gegenüber einer exakten Zirkel- Lineal- oder Computerkonstruktion. Abb.9: Schnittpunkt gesucht Zwei Beispiele aus dem Bereich Konstruieren in anschaulichen Parallelrissen mögen These 8 für Freihandzeichnungen weiter untermauern. Besonders hier bemerkt man die hohe Zeitersparnis und die Konzentration auf den eigentlichen Lösungsvorgang, die durch den Wegfall des Overloads erfolgt. In Abb. 9 soll die Ebene innerhalb eines Würfels mit einer Raumdiagonale geschnitten werden. Zur Lösung wird am besten die lotrechte Diagonalebene durch die Diagonale eingetragen. In Abb. 10 soll die Schnittfigur der Dreiecksebene mit dem Würfel vervollständigt werden. Abb.10: Schnittpolygon These 11 weist darauf hin, gesucht dass Evidenz/Einfachheit der Zeichnung die kritische Reflexion nicht verdrängen darf. Die kritiklose Akzeptanz des Ergebnisses einer Darstellung darf auch beim Freihandzeichnen nicht fehlen. Hier eignet sich als Belegbeispiel Abb.11: Alle Dreiecke sind gleichschenkelig etwa der bekannte geometrische Trugschluss, in dem auf Basis einer fehlerhaften Darstellung bewiesen wird, dass alle Dreiecke gleichschenkelig seien (Abb. 11). Fast immer fällt die Entscheidung zugunsten einer Freihandzeichnung aus, wenn man These 12 beachtet, die vom Abwägen zwischen Aufwand und Nutzen handelt. Im praktischen Unterricht kann sich dies in einem enormen Zeitvorteil auswirken. Zum Abschluss dieser Überlegungen sei eine Zusatzthese formuliert: Freihandzeichnen ergänzt und unterstützt das Computerzeichnen, sie sind gleichsam Geschwister So ist z.b. beim Arbeiten mit CAD-Programmen die Freihandzeichnung als Ideengeberin bedeutsam. 8 IBDG

4 Der (Nach-)Denkprozess wird meist erst durch Skizzieren/Visualisieren von Konstruktionsschritten angeregt. Denn sobald man mit dem Computer arbeitet, muss/sollte man wissen, was man machen wird. Infofenster 2 Warum geometrisches Freihandskizzieren? Zusammenfassung Die Freihandzeichnung ist als Ideengeberin bedeutsam nicht nur beim Konstruieren mit dem Rechner. Die Zeichnung entlastet das Gedächtnis und kann den Gedankenfluss verstärken. Eine Skizze/Zeichnung ist der verbalen Beschreibung in den meisten unserer Belange überlegen. Der (Nach-)Denkprozess wird meist erst durch Skizzieren von Konstruktionsschritten geklärt. Oft ist eine rasche intuitive Erfassung eines geometrischen Sachverhalts möglich. Lehrplanziele wie Vermittlung und Wiederholung von Geometriekenntnissen, Schulung der Raumvorstellung,... können schneller durch Skizzen als durch exakte und langwierige Zirkel-Lineal-Konstruktionen erreicht werden. Freihandzeichnen im Prozesskontext Versteht man die Schulmathematik als einen dynamischen Prozess des Mathematikbetreibens und nicht als reines fachlich organisiertes System von Inhalten (vgl. etwa Leuders 2003, S. 265ff) und fasst man die Inhalte vor allem als Medium auf, durch welches mathematisches Denken und Arbeiten erlernt werden kann, dann eignet sich die Elementargeometrie hervorragend als eine altersadäquate Spielwiese für das Kennenlernen der Prozesse der Mathematik und des Mathematiklernens. Die Elementargeometrie stellt gleichsam eine Laborsituation dafür dar: In dieser können die Prozesse des Erfindens/Entdeckens, Prüfen/Beweisens, Überzeugens/Darstellens und Vernetzens/Anwendens auf den unterschiedlichen Niveaustufen im praktischen Unterricht kennengelernt/trainiert/eingeübt werden. Dies erfolgt bei Freihandzeichnungen ohne Ablenkung durch Verwendung von Hilfsmitteln (Computer/Zirkel/Lineal). Einige Beispiele für Freihandzeichenübungen seien angeführt, die sich zur Unterstützung dieser Prozesse gut eignen. Der Prozess des Erfindens/Entdeckens ist verhaftet mit der Uridee konstruktivistischen Lernens. Er umfasst: Zusammenhänge erkunden, Vermutungen aufstellen, Beispiele sammeln. Aus dem Stoffbereich Kreis und Gerade sei das 12-eck-Problem herausgegriffen: Hat man einen Kreis und zeichnet zwei zueinander normale Zentralen ( Durchmessergeraden ) ein, so legen die vier Schnittpunkte ein Quadrat fest. Halbiert man nun die Radien und zeichnet durch diese Halbierungspunkte die Parallelen zu den Durchmessern, so erhält man insgesamt 12 Schnittpunkte mit dem Kreis (Abb. 12). Die offene Frage ist nun, ob dieses Vieleck regelmäßig ist! Falls ja, dann wurde die Konstruktion eines regelmäßigen 12-Ecks durch die Schüler erfunden. Ana- Abb.12: Bilden die 12 Schnittpunkte mit dem Kreis ein regelmäßiges 12-Eck? log könnte man nun die Radien drittel, vierteln, und wieder die entstehenden Schnittpunkte mit dem Kreis untersuchen. Durch das Freihandzeichnen wird auch in diesem Fall das Beweisbedürfnis noch erhöht (vgl. Prozess Prüfen/Beweisen). Als ein Beispiel sei der Entdeckungsauftrag angeführt, Punkte zu suchen, die von einer Geraden und einem Punkt gleich weit entfernt sind. Die Abb.13: Parabelpunkte geschätzt Entfernungen sollen ohne Lineal eintragen geschätzt und die Punkte mit freier Hand eingetragen werden (Abb. 13). Durch das Fehlen des Konstruktionsoverheads, wie dies bei einer Parabelkonstruktion sonst der Fall wäre, läuft der Prozess des Entdeckens klar und rein ab. Der Prozess des Prüfens/Beweisens besteht ua. in der Validierung, der Auswahl von Verfahren, einer strengen Prüfung von Vermutungen oder der Abb.14: Ist die Konstruktion des Bewertung von Resultaten. Auch dieser Pro- 30 -Winkels exakt? zess kann falls das Freihandzeichnen das einzige zugelassene Werkzeug ist - klar ablaufen. Dies war schon beim Beispiel mit der Beweisbedürftigkeit für die Konstruktion des regelmäßigen 12-Ecks ersichtlich (Abb. 12). Damit zusammenhängend ist ja die oben vorgestellte Konstruktion eines 60 -Winkels (Abb. 8). Während sich dies elementar beweisen lässt, scheint die Frage, ob durch die in Abb. 14 vorgestellte Konstruktion tatsächlich exakt ein Winkel von 30 entsteht, nur durch Einsatz von trigonometrischen Funktionen lösbar zu sein (Viebahn 1993, S. 44). IBDG 9

5 Beim Prozess des Überzeugens/Darstellens, bei dem es um Weitergabe von Ergebnissen, um Werbung für die Akzeptanz und um eine klare Darstellung geht, kann man sich an das Sprichwort halten, dass ein Bild mehr als 1000 Worte sagt. Hier sei der Vorgang der Reflexion eines Strahles an einer Ebene als Beispiel angeführt. Der Zusammenhang mit der Spiegelung des Strahls an der Ebene wird durch eine einfache Freihandzeichnung sofort klar: Der reflektierte Strahl verläuft in Fortsetzung des gespiegelten Strahls (Abb. 15). Für den Prozess des Vernetzens/der Anwendung, der eng mit der mathematischen Modellierung zusammenhängt, sei ebenfalls ein einfaches Beispiel angefügt: Es Abb.15: Zusammenhang zwischen geht um den natürlichen Sehfehler beim Reflexion und Spiegelung Teilen/Halbieren von Strecken, welche nicht parallel zur gedachten Verbindungsstrecke der beiden Augen liegt. Besonders deutlich wird er bei direkt auf den Zeichner zulaufenden Strecken (Abb. 16). So erscheint durch Halbierung des Blickwinkels der Schnittpunkt der zu halbierenden Strecke mit der Winkelsymmetralen der Mittelpunkt zu sein. Dieser stimmt bekanntermaßen im Allgemeinen nicht mit dem Halbierungspunkt überein. Viebahn schreibt: Um diesen Konflikt zu vermeiden, sollte die zu halbierende Abb.16: Natürlicher Sehfehler beim Strecke immer quer Streckenteilen ( horizontal ) vor dem Betrachter liegen (Viebahn 1993, S. 35). Dieses Beispiel führt uns zum nächsten Beweggrund dieser Zeilen, der systematischen Einführung in das Freihandzeichnen. Infofenster 3 Untersuchungen zum geometrischen Freihandskizzieren Eine unvollkommene Skizze wird eher als Anregung für weitere Diskussionen gesehen. Bernd Weidenmann zitiert eine Untersuchung aus dem Jahre 1995 von J. Schuhmann und anderen, wonach es Anwendungen gibt, wo eine Zeichnung mit skizzenhaft erscheinenden Konturen einer perfekten Abbildung vorzuziehen ist. So wurden computergenerierte Architekturzeichnungen mit Hilfe geeigneter Software in Skizzen im Stil menschlicher Hand transformiert. Die Autoren dieser Untersuchung stellten fest, dass die skizzenhaft gefertigte Abbildungsform eine andere Interaktionsform provozierte als die fotorealistische. Die unvollkommene Skizze wird eher als Anregung für weitere Diskussion gesehen; z. B. trauen sich Versuchspersonen viel öfter, Änderungen hineinzuzeichnen. Es wäre lohnend, solche Varianten des Abbildungstyps auch in didaktischen Kontexten zu überprüfen! Musterlehrgang - Was soll gezielt gelehrt werden? Für diejenigen, die sich zum ersten Mal an systematisches geometrisches Freihandzeichnen wagen: Haben Sie keine Furcht vor krummen Linien. Darauf weist ja schon Viebahn im Vorwort seines Werkes hin (Viebahn 2003). Oskar Reutersvärd, der alle seine Werke in Freihand gezeichnet hat, meinte, dass gerade dadurch lebendige Linien entstehen würden (Seckel 2006, S. 113). Für ein wirkungsvolles Selbststudium empfiehlt sich natürlich das Standardwerk von Ulrich Viebahn (Viehbahn 1993). Manfred Dopler hat einen ausführlichen Lehrgang mit (39!) Arbeitsblättern konzipiert (Dopler 2002) und diesen auch auf www. geometry.at, der Plattform der Arbeitsgemeinschaft der GeometrielehrerInnen Österreichs ins Internet gestellt (Links: Dopler 2002). Für eine praktische Umsetzung im Schulalltag erscheinen dem Autor diese beiden Möglichkeiten allerdings zu ausführlich und zu zeitaufwändig. Um geometrisches Freihandzeichnen im Unterricht zu einem brauchbaren Werkzeug unter Beachtung der Zeitökonomie zu machen, ist aber eine systematische Einführung unerlässlich. Der Autor hat beste Erfahrung mit kurzen und zeitversetzten Sequenzen, die in der Bearbeitung einiger weniger Kopiervorlagen bestehen, gemacht. Diese benötigen jeweils nur wenige Minuten je Unterrichtsstunde. Vom Inhalt her können sie schon sehr frühzeitig, am besten zu Beginn der Sekundarstufe eingesetzt werden. Für die Zeichenpraxis sei auf die Hinweise und Tipps im Infofenster 4 verwiesen. Durch die Bearbeitung der folgenden Kopiervorlagen 1-7 (Links: Müller 2010) wird schrittweises Bekanntmachen mit den elementaren Regeln, die sich aus der Zeichenpraxis heraus entwickelt und Abb.17: Würfelschnitte Abb.18: Kubo-Oktaeder als vorteilhaft erwiesen haben, gewährleistet. 10 IBDG

6 Bei den Lehrerfortbildungskursen konnten in kurzer Zeit (in etwa 3 5 Einheiten á 45 Minuten) alle TeilnehmerInnen ein solches Niveau erreichen, dass sie selbst komplexe geometrische Konstruktionen (etwa Kugeldarstellung samt Schnittkreisen in Normalrissen, Perspektiven technischer Objekte, Platonische Körper Abb. 17 bis Abb. 19) sehr rasch darstellen Abb.19: Drehfläche samt Halbschnitt konnten. Die ersten vier Kopiervorlagen dienen der handwerklichen Einführung in das geometrische Freihandzeichnen: Konzentration und Linienführung sind die Schwerpunkte - kein Radieren zulassen, damit die Schülerinnen und Schüler die Furcht vor krummen und verwackelten Linien überwinden. Die weiteren Blätter bieten die Möglichkeit der Vertiefung der Kenntnisse in ebener Geometrie (regelmäßige Vielecke) oder eines Einstiegs in die Raumgeometrie. Kopiervorlage 1: Stichübungen/Zeichentechnik Strichbreite, Strichstärke Aufgabe 1: Der Strekkenzug soll zunächst zügig nachgezogen werden - ohne abzusetzen. Dies stellt eine gewisse Anforderung an die Konzentrationsfähigkeit dar. Anschließend zeichnet man den an der strichliert vorgegebenen geraden Linie gespiegelten Streckenzug. Achten Sie auf einen gleichmäßigen Grauwert und gleichmäßige Strichstärke. Abb.20: Kopiervorlage 1 Aufgabe 2: Waagrechte Seiten des Rechteckes halbieren, die entstehenden Hälften nochmals halbieren (vgl. Bemerkungen bei Abb. 16), die Teilungspunkte der oberen Seite werden mit den korrespondierenden der unteren Seite freihändig verbunden, sodass Parallele zu den linken und rechten Seiten entstehen: Dabei besondere Beachtung exakt ausgeführter Endpunkte kein Überfahren von vorgegebenen Grenzen. Aufgabe 3: Hier sollen die lotrechten Rechteckseiten analog zu oben geviertelt und die Teilungspunkte dann entsprechend verbunden werden. ACHTUNG: Zunächst wird das Blatt um 90 gedreht, damit der Zeichner/die Zeichnerin dieselbe Situation wie bei Aufgabe 2 vorfindet. Aufgabe 4: Nun werden beide Übungen nochmals aber in ein und demselben Rechteck durchgeführt. Kopiervorlage 2: Zeichnen längerer gerader Linien, Zielübungen Aufgabe 1: Bei den Rechteckseiten sind Teilungspunkte vorgegeben, die Teilstrecken sind annähernd gleich lang. Durch Verbindung gegenüberliegender Punkte entsteht ein Quadratraster. (Vergessen Sie nicht, das Blatt wieder um 90 zu drehen!) Danach sollen parallele Strecken in Diagonalrichtungen eingetragen werden, so dass Karos entstehen. Dass die Diagonalparallelen Abb.21: Kopiervorlage 2 nicht alle Quadratrasterpunkte genau treffen werden, muss akzeptiert werden. Gerade dieser Umstand kann den Bogen hin zur geometrischen Überlegung schließen und die Beweisbedürftigkeit dieser Tatsache steigern. Aufgabe 2: Es geht um das Zeichnen langer Linien, die annähernd gerade sein sollen. Beachten Sie dabei besonders Tipp 4 im Infofenster 4! Die beschrifteten Punkte sollen im Sinne aufsteigender Zahlen durch Strecken verbunden werden. Hierbei soll das Ziehen der Linien zum Nabel hin eingeübt werden. Eine Fadengrafik entsteht. Kopiervorlage 3: Abstandsübungen, Halbieren, Teilen von Strecken Einfache mathematische Sätze können zu diesem Zeitpunkt nebenbei entdeckt werden: Aufgabe 1: Die Halbierungspunkte der vier Seiten des gegebenen allgemeinen Vierecks bilden ein neues Viereck, welche einzutragen ist. Scheint dieses Viereck rein zufällig ein Parallelogramm zu sein? Das Eintragen der Diagonalenstrecken des gegebenen Abb.22: Kopiervorlage 3 Vierecks kann die Beweisüberlegung in bekannter Weise vorbereiten. Auch der Satz von der Winkelsumme eines Vierecks kann in diesem Zusammenhang erläutert/wiederholt werden. IBDG 11

7 Aufgabe 2: In das Quadrat werden analog zur Aufgabe 1 die Halbierungspunkte der Seiten samt entstandenem Viereck (Quadrat) und die Diagonalen eingetragen. Aufgabe 3: Nach der Ergänzung zu einem Quadrat werden die Seiten geviertelt. Durch die Verbindungslinien der jeweils an den Eckpunkten anliegenden Teilungspunkte werden die Ecken des Quadrates gleichsam abgeschnitten. Es entsteht ein Achteck. Dass es nicht regelmäßig ist, ist evident (Seitenlängenvergleich!). Aufgabe 4: Nach der Ergänzung zu einem Quadrat und Eintragen der Diagonalen werden die halben Diagonalstrecken des Quadrates auf deren Seiten von jedem Eckpunkt aus abgetragen. Dies kann etwa mit einem Lineal oder freihandgemäßer mit angelegten Papierstreifen geschehen. So hat man acht Punkte erhalten. Dass dieses Achteck ein regelmäßiges ist, kann man durch Seitenlängenvergleich sehen. Nach Durchführung dieser Übungen kann man wie oben angekündigt je nach Klassenstufe und/ oder Intention des/der Lehrenden weiter in der ebenen Geometrie bleiben oder in die Grundzüge der Darstellung räumlicher Objekte einsteigen. Die Einstiegskopiervorlagen seien jeweils angegeben. Möglichkeit 1 / Ebene Geometrie: Kopiervorlage 4: Kreise zeichnen Viebahn beschreibt zwei unterschiedliche Möglichkeiten, freihändig Kreise zu zeichnen, zum einen mit Hilfe eines umschriebenen Quadrates und zum anderen mit Hilfe von Radien (vgl. auch Tipp 6 im Infofenster 4). Diese Vorlage könnte, falls die Unterrichtszeit nicht ausreicht, übersprungen werden. Statt dessen könnte mit vorgegebenen oder mit Hilfe eines Zirkels gezeichneten Kreisen (Kopiervorlage 5) weitergearbeitet werden. Kopiervorlage 5: Teilung von Kreisen/ regelmäßige Vielecke Durch Teilungen der Radien könnte ein regelmäßiges 12- Eck erzeugt werden, Abb.23: Kopiervorlage 4 Abb.24: Kopiervorlage 5 durch Eintragung der Winkelsymmetralen der normalen Kreisdurchmesser ein reglmäßiges Achteck, durch Abtragen der Radien mit Hilfe eines angelegten Papierstreifens ein regelmäßiges Sechseck usf. Möglichkeit 2 / Raumgeometrie: Kopiervorlage 6: Elementares zur Parallelprojektion und Zentralprojektion Durch die Vervollständigung der vorgegebenen Skizzen lassen sich die wichtigsten Eigenschaften der Parallelprojektion und der Zentralprojektion vergleichend erarbeiten. (Vergleiche hierzu auch im Abschnitt Freihandzeichnen und Computereinsatz die Hinweise zu These 5.) Kopiervorlage 7: Würfel, Prisma, Pyramide Abb.25: Kopiervorlage 6 In dieser Vorlage werden lediglich die Eigenschaften der Paralleltreue und Mittelpunktstreue benötigt. So lassen sich damit die drei vorgegebenen Kantenbilder im ersten Beispiel etwa zum Bild des Kantenmodells eines Würfels, im zweiten Beispiel zum Bild eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas ergänzen. Im dritten Beispiel soll über dem Bild eines gleichseitigen Dreiecks eine Pyramide errichtet werden. Der Höhenfußpunkt als Bild der Umkreismitte kann im Bild nur unter Beachtung der Mittelpunktstreue gefunden werden, fällt doch der Schwerpunkt im vorliegenden Dreieck mit dem Umkreismittelpunkt zusammen. Infofenster 4 Abb.26: Kopiervorlage 7 Praktische Hinweise und Tipps zum Freihandzeichnen Welches Werkzeug, welche Linienbreiten, welche Härtegrade der Schreibwerkzeuge sollen verwendet werden? Hier vertreten die Autoren unterschiedliche Meinungen: Der eine etwa ist von einem Feinminenstift 0,7 mm mit H-Mine überzeugt (Viebahn 1993, S. 15), für einen anderen ist das Zeichen- 12 IBDG

8 werkzeug völlig egal: Kugelschreiber, Filzstift, Bleistift, (Dopler 2002, mündliche Mitteilungen), Reutersvärd hat sofort mit Tusche gezeichnet (Seckel 2006, S. 113). Tipp 1: Bleistift oder Feinminenstift mit nicht zu feiner Spitze, nicht zu hart, dafür nicht fest andrücken, um die Linien nicht einzugravieren, damit sie notfalls ausradiert werden können. Die Linien sollen stets in einem Zug gezeichnet werden, sodass ein klarer Strich entsteht (und keine ausgefaserte Linie, wie dies etwa bei Modezeichnungen erwünscht ist). Tipp 2: Glatte, nicht zu harte Unterlage, generell gilt: Armhaltung so, dass die Hand auf dem Zeichenblatt aufliegt allenfalls ein Schutzblatt zwischen Hand und Zeichenblatt legen, damit die Hand besser gleiten kann, Ziehen aus Oberarm heraus, erstes Ziel: gerade Linienführung Tipp 3: Generell sollte immer die Lage des Zeichenblatts verändert werden nicht der Körper. Tipp 4: Sollen lange gerade Striche gezeichnet werden, diese ganz bewusst Richtung Nase/Nabel ziehen (Papierlage verändern!). Vorher konzentriertes (mehrmaliges) Ziehen ohne Aufsetzen des Bleistiftes (sozusagen Probedurchgänge im Modus pen up, erst wenn man mehrmals gezogen hat, auf den Modus pen down wechseln), möglich ist auch, ein bis zwei Stützpunkte vorher einzutragen und dann stückweise zu zeichnen. Tipp 5: Parallele aus der gleichen Bewegung heraus zeichnen. Tipp 6: Für Kreise und Kreisbogen unterschiedliche Teile der Hand als Auflage benützen, dies sozusagen als natürlichen Zirkel ausnützen. Kreise bogenweise zeichnen, Zeichenblatt z.t. drehen. Ansprüche an eine geometrische Freihandzeichnung Sauber, möglichst exakt unter Beachtung von Strichführung, Strichbreite und Strichstärke und einer genauen Endpunktdarstellung Proportionen bleiben erhalten Einhaltung der geometrischen Abbildungsgesetze bei der Darstellung räumlicher Objekte und Sachverhalte, etwa die Eigenschaften wie Parallelentreue und Teilverhältnistreue bei Parallelrissen. Literatur Bücher und Zeitschriftenartikel Dopler, Manfred (2002): Freihandzeichnen im Unterricht für GZ und DG, Informationsblätter fürdarstellende Geometrie, Heft 21, S , Innsbruck. vgl. Links. Glaeser, Georg (2005): Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, 420 Seiten, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, München. Hilbert, David (1972): Grundlagen der Geometrie, Teubner Studienbücher, 11. Auflage, Stuttgart. Leuders, Timo (2003): Chancen und Risken des Computereinsatzes im Mathematikunterricht in: Leuders, Timo (Hrsg.): Mathematik Didaktik / Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II, Berlin, S Leuders, Timo (2003): Prozessorientierter Mathematikunterricht in: Leuders, Timo (Hrsg.): Mathematik Didaktik / Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II, Berlin, S Meschkowski, Herbert (1980): Mathematiker-Lexikon, 3. Aufl., Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich. Schröcker, Hans-Peter / Glaeser, Georg (2004): Geometrisches Freihandzeichnen Gedanken, Anregungen und Beispiele, Informationsblätter für Darstellende Geometrie 1/2004 (Heft 23), p , vgl. Links. Seckel, Al (2006): Große Meister der Optischen Illusionen, Band 2, Von Knowlton bis Whistler, tosa im Verlag Carl Ueberreuter, Wien. Viebahn, Ulrich (1993): Technisches Freihandzeichnen, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Weidenmann, Bernd (2002): Abbilder in Multimediaanwendungen, in: Issing, Ludwig J. & Klimsa, Paul (Hrsg.): Information und Lernen mit Multimedia und Internet. 3. überarbeitete Auflage. Weinheim, S CD-ROM A-D-I-Geometrie / Arbeitsgemeinschaft Didaktische Innovation Geometrie) (2008): Raumgeometrie intuitiv und konstruktiv (CD-ROM mit Unterrichtsmaterial zur Raumintelligenz, Freihandzeichnen von geometrischen Grundkörpern, Analysieren, Skizzieren, Modellieren und Variieren von Objekten, Innovative didaktische Modelle für die Einführung von Bewegflächen, Regelflächen und Offsetflächen), Bezugsadresse: ADI Geometrie wgems@sbg.at Vgl. auch [ ] Links Müller, Thomas: [ ]. Download der Kopiervorlagen. Dopler, Manfred (2002): [ ] Lehrgang mit Arbeitsblättern Schröcker, Hans-Peter (2003): Techniken und Methoden des Freihandzeichnens mit geometrischen Inhalten. Hier geht es vor allem um Raumgeometrie und Darstellung komplexer Objekte. schroecker/schroecker03_workshop.zip [ ] Anhang: Zitate zum geometrischen Freihandzeichnen So kann Geometrisches Zeichnen und Freihandzeichnen, wenn es anspruchsvoll gelehrt wird, nicht nur das Raumvorstellungsvermögen des Menschen entwickeln, sondern auch darüber hinausgehend in seinem Seelenleben einiges zum Positiven verändern. Gerade die Kombination zwischen Geometrischem Zeichnen und freihändigem Zeichnen zeigt oder bietet für mich die Möglichkeit, sehr früh mit Verstand und Gefühl zusammen Dinge darzustellen. Dipl.-Ing. Friedrich Fischer, Amt der Nie- IBDG 13

9 derösterreichischen Landesregierung, Baudirektion / Ortsbildpflege anlässlich einer Befragung im Jahre 1996 (Felzmann/Blümel) Die geometrisch korrekte Freihandzeichnung ist immer noch von fundamentaler Bedeutung für geometrische Kommunikation. Eben weil die perfekten Computerzeichnungen schon Stand der Dinge sind, wird das geniale Freihandzeichnen immer mehr zu einer extravaganten und beeindruckenden Fähigkeit. Glaeser 2005, S. 339 Bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal stoßen wir schnell an unsere Grenze und scheitern ständig am Handwerkszeug! Beim Freihandzeichnen können wir uns auf geometrisches Denken konzentrieren. Glaeser 2005, S. 346 Wir sind der Meinung, dass die Bedeutung des Freihandzeichnens durch die zunehmende Verbreitung des Computers in Schule und Beruf keineswegs geschmälert wird. Ganz im Gegenteil: Dreidimensionale Darstellungstechniken am Computer und Freihandzeichnen ergänzen sich sehr gut. Gerade kreativ begabte Schülerinnen und Schüler, die im klassischen Unterricht und im Unterricht am Computer häufig zu kurz kommen, fühlen sich durch das Freihandzeichnen angesprochen. Eine geometrisch korrekte Freihandzeichnung erfordert ein umfangreiches geometrisches Wissen, ihre Korrektheit kann anhand von objektiven Kriterien überprüft werden. Schröcker, Glaeser 2004, S. 16 Reutersvärd zeichnete stets mit Chinatusche auf japanischem Reis- oder schwedischen Leinenpapier. Er gestattete sich selbst nie, ein Lineal oder andere mechanische Hilfsmittel zu verwenden. Er zeichnete lieber freihändig, was er auch tat, als er im Zug von Lund nach Stockholm reiste Daher waren alle Linien in seinen Zeichnungen, die er lebendige Linien nannte, verwackelt. Er erklärte, das Schaukeln des Zuges hätte seinen Linien mehr Leben eingehaucht. Seckel 2006, S IBDG