Grundraum eines Zufallsversuchs*

Transkript

1 Grundraum eines Zufallsversuchs* Aufgabennummer: 1_377 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.1 Typ 1 T Typ In einer Urne befinden sich zwei Kugeln, die mit den Zahlen 0 bzw. 1 beschriftet sind. Die Kugeln sind abgesehen von ihrer Beschriftung nicht unterscheidbar. Aus dieser Urne wird dreimal zufällig eine Kugel gezogen, wobei diese nach jedem Zug wieder in die Urne zurückgelegt wird. Aufgabenstellung: Geben Sie den Grundraum dieses Zufallsversuchs vollständig durch Zahlentripel ( x; y; z) an! x, y und z nehmen dabei jeweils die Werte 0 oder 1 an. * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 015

2 Grundraum eines Zufallsversuchs Lösungserwartung Ω = {(0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1)} Lösungsschlüssel Die Lösung ist dann als richtig zu werten, wenn die in der Lösungserwartung angegebenen Zahlentripel korrekt angeführt sind. Die Trennzeichensetzung zwischen den Zahlen 0 und 1 kann beliebig erfolgen. Die Beschriftung der Menge mit Ω = ist nicht notwendig. Die Reihenfolge der Tripel ist nicht vorgegeben.

3 Rote und blaue Kugeln* Aufgabennummer: 1_45 Aufgabentyp: Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: WS.1 Typ 1 T Typ In einem Behälter befinden sich 15 rote Kugeln und 18 blaue Kugeln. Die Kugeln sind bis auf ihre Farbe nicht unterscheidbar. Es sollen nun in einem Zufallsexperiment zwei Kugeln nacheinander gezogen werden, wobei die erste Kugel nach dem Ziehen nicht zurückgelegt wird und es auf die Reihenfolge der Ziehung ankommt. Die Buchstaben r und b haben folgende Bedeutung: r... das Ziehen einer roten Kugel b... das Ziehen einer blauen Kugel Aufgabenstellung: Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht! Ein Grundraum G für dieses Zufallsexperiment lautet ist ein Ereignis. 1, und 1 G = {r, b} die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine blaue Kugel gezogen wird, G = { (r, r), (r, b), (b, b)} jede Teilmenge des Grund raumes G = { (r, r), ( r, b), (b, r ), (b, b)} b * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 1. September 015

4 Rote und blaue Kugeln Lösungserwartung 1 jede Teilmenge des Grund raumes G = { (r, r), (r, b), (b, r), (b, b)} Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.

5 Augensumme* Aufgabennummer: 1_449 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.1 Typ 1 T Typ Zwei unterscheidbare, faire Spielwürfel mit den Augenzahlen 1,, 3, 4, 5, 6 werden gewor fen und die Augensumme wird ermittelt. (Ein Würfel ist fair, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle sechs Seitenflächen gleich groß ist.) Aufgabenstellung: Jemand behauptet, dass die Ereignisse Augensumme 5 und Augensumme 9 gleich wahr scheinlich sind. Geben Sie an, ob es sich hierbei um eine wahre oder eine falsche Aussage handelt, und begründen Sie Ihre Entscheidung! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 016

6 Augensumme Lösungserwartung Die Aussage ist wahr. Mögliche Begründung: Augensumme 5: (1; 4), (; 3), (3; ), (4; 1) 4 Möglichkeiten Augensumme 9: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3) 4 Möglichkeiten P( Augensumme 5 ) = 4 36 P( Augensumme 9 ) = 4 36 Lösungsschlüssel Ein Punkt für eine richtige Beurteilung der Aussage und eine (sinngemäß) korrekte Begrün dung. Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

7 Münzwurf* Aufgabennummer: 1_5 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.1 Typ 1 T Typ Bei einem Zufallsversuch wird eine Münze, die auf einer Seite eine Zahl und auf der anderen Seite ein Wappen zeigt, zweimal geworfen. Aufgabenstellung: Geben Sie alle möglichen Ausfälle (Ausgänge) dieses Zufallsversuchs an! Wappen kann dabei mit W, Zahl mit Z abgekürzt werden. * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 1. Jänner 017

8 Münzwurf Lösungserwartung mögliche Ausfälle (Ausgänge): {(W, W), (W, Z ), (Z, W ), (Z, Z)} Lösungsschlüssel Ein Punkt für die Angabe aller möglichen Ausfälle (Ausgänge).

9 Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt* Aufgabennummer: 1_498 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS. Typ 1 T Typ Im Jahr 014 wurden in Österreich 4 16 Buben und Mädchen geboren. Aufgabenstellung: Geben Sie anhand dieser Daten einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein in Österreich geborenes Kind ein Mädchen ist! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 0. September 016

10 Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt Lösungserwartung , Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch oder in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.

11 Online-Glücksspiel* Aufgabennummer: 1_51 Aufgabentyp: Aufgabenformat: Multiple Choice (1 aus 6) Grundkompetenz: WS. Typ 1 T Typ Ein Mann spielt über einen längeren Zeitraum regelmäßig dasselbe Online-Glücksspiel mit konstanter Gewinnwahrscheinlichkeit. Von 768 Spielen gewinnt er 16. Aufgabenstellung: Mit welcher ungefähren Wahrscheinlichkeit wird er das nächste Spiel gewinnen? Kreuzen Sie den zutreffenden Schätzwert für diese Wahrscheinlichkeit an! 0,16 % 4,74 % 16, % 1,1 % 7,68 % 76,6 % * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 1. Jänner 017

12 Online-Glücksspiel Lösungserwartung 1,1 % Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Schätzwert angekreuzt ist.

13 Würfeln* Typ 1 Aufgabennummer: 1_144 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: WS.3 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Ein idealer sechsseitiger Würfel mit den Augenzahlen 1 bis 6 wird einmal geworfen. Aufgabenstellung: Ordnen Sie den Fragestellungen in der linken Spalte die passenden Wahrscheinlichkeiten in der rechten Spalte zu! Fragestellung Wahrscheinlichkeit Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird? A 1 3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 gewürfelt wird? B 1 6 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als gewürfelt wird. C 1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 1 und kleiner als 6 gewürfelt wird? D 1 E 5 6 F 3 * Diese Aufgabe wurde dem im Oktober 013 publizierten Kompetenzcheck (vgl. entnommen.

14 Würfeln Möglicher Lösungsweg Fragestellung Wahrscheinlichkeit Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird? C A 1 3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 gewürfelt wird? A B 1 6 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als gewürfelt wird. B C 1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 1 und kleiner als 6 gewürfelt wird? F D 1 E 5 6 F 3 Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.

15 Hausübungskontrolle* Aufgabennummer: 1_38 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.3 Typ 1 T Typ Eine Lehrerin wählt am Beginn der Mathematikstunde nach dem Zufallsprinzip 3 Schüler/innen aus, die an der Tafel die Lösungsansätze der Hausübungsaufgaben erklären müssen. Es sind 1 Burschen und 8 Mädchen anwesend. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass für das Erklären der Lösungsansätze Burschen und 1 Mädchen ausgewählt werden! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 9. Mai 014

16 Hausübungskontrolle Lösungserwartung P( Burschen, 1 Mädchen ) = = 44 0,46 = 46 % Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozenten) ist als richtig zu werten. Toleranzintervall: [0,46; 0,47] bzw. [46 %; 47 %] Sollte als Lösungsmethode die hypergeometrische Verteilung gewählt werden, ist dies auch als richtig zu werten: 8 1 ( ) (1) P(E) = ( 03 )

17 Adventkalender* Aufgabennummer: 1_353 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.3 Typ 1 T Typ In einem Adventkalender wurden versehentlich 4 der 4 vorhandenen Fenster nicht befüllt. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Öffnen des dritten Fensters das erste leere Fenster vorfinden! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 014

18 Adventkalender Lösungserwartung = 0,15 1,5 % Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozenten) ist als richtig zu werten. Toleranzintervall: [0,1; 0,13] bzw. [1 %; 13 %]

19 Baumdiagramm* Aufgabennummer: 1_376 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.3 Typ 1 T Typ In einem Gefäß befinden sich rote, blaue und grüne Kugeln. Es werden zwei Kugeln gezo gen. Das folgende Baumdiagramm veranschaulicht die möglichen Ergebnisse des Zufalls versuchs: Quelle: [ ] (adaptiert). R = rote Kugel B = blaue Kugel G = grüne Kugel Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kugeln gleicher Farbe gezogen werden! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 015

20 Baumdiagramm Lösungserwartung P= = 0,3678 = 36,78 % Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung. Die Lösung gilt als richtig, wenn die Wahrscheinlichkeit in einer der angegebenen Schreib weisen des Intervalls richtig angegeben ist. Lösungsintervall in Dezimalschreibweise: [0,36; 0,37] Lösungsintervall in Prozentschreibweise: [36 %; 37 %] 3 Lösung als Bruch: 87

21 Mehrere Wahrscheinlichkeiten* Aufgabennummer: 1_401 Aufgabentyp: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: WS.3 Typ 1 T Typ In einer Unterrichtsstunde sind 15 Schülerinnen und 10 Schüler anwesend. Die Lehrperson wählt für Überprüfungen nacheinander zufällig drei verschiedene Personen aus dieser Schulklasse aus. Jeder Prüfling wird nur einmal befragt. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schülerinnen auswählt, kann mittels berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson als erste Person 10 5 einen Schüler auswählt, ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson bei der Wahl von 4 drei Prüflingen als zweite Person eine Schülerin auswählt, ist 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schüler aus wählt, kann mittels berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den von der Lehrperson ausgewählten Personen genau zwei Schülerinnen befinden, kann mittels berechnet werden. * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 11. Mai 015

22 Mehrere Wahrscheinlichkeiten Lösungserwartung Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson als erste Person 10 5 einen Schüler auswählt, ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schüler aus wählt, kann mittels berechnet werden. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.

23 Maturaball-Glücksspiele* Aufgabennummer: 1_448 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.3 Typ 1 T Typ Bei einem Maturaball werden zwei verschiedene Glücksspiele angeboten: ein Glücksrad und eine Tombola, bei der Lose verkauft werden. Das Glücksrad ist in zehn gleich große Sektoren unterteilt, die alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten können. Man gewinnt, wenn der Zeiger nach Stillstand des Rades auf das Feld der 1 oder jenes der 6 zeigt Aufgabenstellung: Max hat das Glücksrad einmal gedreht und als Erster ein Los der Tombola gekauft. In beiden Fällen hat er gewonnen. Die Maturazeitung berichtet darüber: Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt 3 %. Berechnen Sie die Anzahl der Gewinn-Lose! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 15. Jänner 016

24 Maturaball-Glücksspiele Lösungserwartung x = 0,03 x = Es gibt 150 Gewinnlose. Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung.

25 Zollkontrolle* Aufgabennummer: 1_473 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.3 Typ 1 T Typ Eine Gruppe von zehn Personen überquert eine Grenze zwischen zwei Staaten. Zwei Personen führen Schmuggelware mit sich. Beim Grenzübertritt werden drei Personen vom Zoll zufällig ausgewählt und kontrolliert. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den drei kontrollierten Personen die beiden Schmuggler der Gruppe sind! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 016

26 Zollkontrolle Lösungserwartung 1 1 3= Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Dezimalzahl oder in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten. Toleranzintervall: [0,066; 0,07] bzw. [6,6 %; 7 %]

27 Einlasskontrolle* Aufgabennummer: 1_497 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.3 Typ 1 T Typ Beim Einlass zu einer Sportveranstaltung führt eine Person P einen unerlaubten Gegenstand mit sich. Bei einer Sicherheitskontrolle wird ein unerlaubter Gegenstand mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 entdeckt. Da es sich bei dieser Sportveranstaltung um eine Veranstaltung mit besonders hohem Risiko handelt, muss jede Person zwei derartige voneinander unabhängige Sicherheitskontrollen durchlaufen. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Person P im Zuge der beiden Sicherheitskontrollen der unerlaubte Gegenstand entdeckt wird! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 0. September 016

28 Einlasskontrolle Lösungserwartung Mögliche Berechnung: 0,9 + 0,1 0,9 = 0,99 Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch oder in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.

29 Weiche und harte Eier* Aufgabennummer: 1_50 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.3 Typ 1 T Typ Beim Frühstücksbuffet eines Hotels befinden sich in einem Körbchen zehn äußerlich nicht unterscheidbare Eier. Bei der Vorbereitung wurde versehentlich ein hart gekochtes Ei zu neun weich gekochten Eiern gelegt. Aufgabenstellung: Eine Dame entnimmt aus dem noch vollen Körbchen ein Ei, das sie zufällig auswählt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass der nächste Gast bei zufälliger Wahl eines Eies das harte Ei entnimmt! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 1. Jänner 017

30 Weiche und harte Eier Lösungserwartung 1 10 Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (in Prozent oder Dezimalschreibweise) sind ebenfalls als richtig zu werten.

31 Alarmanlagen* Aufgabennummer: 1_546 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.3 Typ 1 T Typ Eine bestimmte Alarmanlage löst jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 im Einbruchsfall Alarm aus. Eine Familie lässt zwei dieser Anlagen in ihr Haus so einbauen, dass sie unabhängig von einander Alarm auslösen. Aufgabenstellung: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass im Einbruchsfall mindestens eine der beiden Anlagen Alarm auslöst! * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 017

32 Alarmanlagen Lösungserwartung Mögliche Berechnung: 1 0,1 = 0,99 Die Wahrscheinlichkeit, dass im Einbruchsfall mindestens eine der beiden Anlagen Alarm auslöst, liegt bei 0,99. Lösungsschlüssel Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

33 Binomialkoeffizient* Aufgabennummer: 1_35 Aufgabentyp: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: WS.4 Betrachtet wird der Binomialkoeffizient Typ 1 T Typ ( 6 ). Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden Aufgabenstellungen an, die mit der Rechnung werden können! ( 6 ) = 15 gelöst Gegeben sind sechs verschiedene Punkte einer Ebene, von denen nie mehr als zwei auf einer Geraden liegen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Punkte auszuwählen, um jeweils eine Gerade durchzulegen? An einem Wettrennen nehmen sechs Personen teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Zieleinlauf, wenn nur die ersten beiden Plätze relevant sind? Von sechs Kugeln sind vier rot und zwei blau. Sie unterscheiden sich nur durch ihre Farbe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Sechs Mädchen einer Schulklasse kandidieren für das Amt der Klassensprecherin. Die Siegerin der Wahl soll Klassensprecherin werden, die Zweitplatzierte deren Stellvertreterin. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Vergabe der beiden Ämter? Wie viele sechsstellige Zahlen können aus den Ziffern 6 und gebildet werden? * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 17. September 014

34 Binomialkoeffizient Lösungserwartung Gegeben sind sechs verschiedene Punkte einer Ebene, von denen nie mehr als zwei auf einer Geraden liegen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Punkte auszuwählen, um jeweils eine Gerade durchzulegen? Von sechs Kugeln sind vier rot und zwei blau. Sie unterscheiden sich nur durch ihre Farbe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aufgabenstellungen angekreuzt sind.

35 Elfmeterschießen* Aufgabennummer: 1_400 Aufgabentyp: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: WS.4 Typ 1 T Typ In einer Fußballmannschaft stehen elf Spieler als Elfmeterschützen zur Verfügung. Aufgabenstellung: Deuten Sie den Ausdruck ( ) im gegebenen Kontext! 11 5 * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 11. Mai 015

36 Elfmeterschießen Lösungserwartung ( ) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, von den elf Spielern fünf Schützen für das Elf 11 5 meterschießen unabhängig von der Reihenfolge ihres Antretens auszuwählen. Lösungsschlüssel Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung, wobei die Unabhängigkeit der Reihen folge des Antretens nicht angeführt sein muss.

37 Jugendgruppe* Aufgabennummer: 1_545 Aufgabentyp: Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: WS.4 Typ 1 T Typ Eine Jugendgruppe besteht aus 1 Jugendlichen. Für ein Spiel sollen Teams gebildet werden. Aufgabenstellung: Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht! Der Binomialkoeffizient ( ) gibt an, ; sein Wert beträgt 1 wie viele der 1 Jugendlichen in einem Team sind, wenn man drei gleich große Teams bildet 7 wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus den 1 Jugendlichen ein Dreierteam auszuwählen auf wie viele Arten drei unterschiedliche Aufgaben auf drei Mitglieder der Jugendgruppe aufgeteilt werden können * ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 017.

38 Jugendgruppe Lösungserwartung 1 wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, aus den 1 Jugendlichen ein Dreierteam auszuwählen Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.