Skript zur Vorlesung im Bachelor Studiengang Angewandte Informatik

Transkript

1 $QGHU:LOKHOPVK KH /LSSHXQG [WHU$EW [WHU %7HFKQLVFKHU8PZHOWVFKXW] Mathmatik III Skript zur Vorlsung im Bachlor Studingang Angwandt Informatik

2 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Inhaltsübrsicht. Mhrdimnsional Funktionn..... Dfinition und Bispil..... Darstllungsformn...6. Gwöhnlich Diffrntialglichungn (DGL..... Dfinition und Bispil..... Lösungsansätz sowi Anfangs- und Randwrtproblmatik..... Diffrntialglichung. Ordnung Gomtrisch Nährungsmthod DGL mit trnnbarn Variabln Lösung inr DGL durch Substitution Linar DGL. Ordnung Linar DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn Anwndungsbispil Linar DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn Dfinition und Eignschaftn Intgration dr homognn linarn DGL. Ordnung Intgration dr inhomognn linarn DGL. Ordnung Linar DGL n-tr Ordnung mit konstantn Koffizintn Dfinition Intgration dr linarn DGL n-tr Ordnung Sstm linarr DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn Dfinition Darstllung in Matriznform Intgration homognr linarr DGL-Sstm Intgration inhomognr linarr DGL-Sstm Zusammnfassung dr analtischn Lösungsmthodn für gwöhnlich Diffrntialglichungn...5. Numrisch Vrfahrn zur Intgration gwöhnlichr DGL Diffrntialglichungn. Ordnung Strcknzugvrfahrn von Eulr (Einschrittvrfahrn Mthod von Hun für DGL. Ordnung (Einschrittvrfahrn Rung-Kutta-Vrfahrn. Ordnung (Einschrittvrfahrn...56

3 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III... Mthod von Adams Bashforth bzw. Adams-Moulton (Mhrschrittvrfahrn Mthod von Hamming (Mhrschrittvrfahrn Diffrnznvrfahrn für Anfangswrtproblm Intgration inr DGL. Ordnung nach dm Rung-Kutta-. Vrfahrn. Ordnung Intgration von DGL-Sstmn. Ordnung nach dm Rung-Kutta-Vrfahrn. Ordnung Randwrtproblm Diffrnznvrfahrn für Randwrtaufgabn Kollokationsvrfahrn für Randwrtaufgrabn Fhlrartn und Fhlrminimirung Intgration partillr DGL Dfinition und Bispil partillr Ablitungn Tpus partillr Diffrntialglichungn Eplizit Diffrnznvrfahrn für Randwrtaufgabn Witr Lösungsvrfahrn Implizits Diffrnznvrfahrn für parabolisch DGL (Mthod von rank-nicolson Kollokationsvrfahrn für parabolisch DGL FEM (Finit Elmnt Mthod Softwar für di numrisch Lösung von gwöhnlichn und. partilln DGL Di Lrn-Softwar ODELab ds Zus Instituts Brlin (ZIB Kurzvorstllung ds ZIB Einführung in di Lrn-Softwar ODELab Übrsicht übr Lösungsvrfahrn für Anfangswrtproblm (IVP-ods Bispil für Anfangswrtproblm Lösungsvrfahrn für Randwrtproblm (BVP-ods Bispil für Randwrtproblm Fri Softwar zur Lösung von Diffrntialglichungn Kommrzill Softwar zur Lösung von Diffrntialglichungn.. Litraturhinwis...

4 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III. Mhrdimnsional Funktionn.. Dfinition und Bispil Einfachst Form inr (indimnsionaln Funktion: f ( In Phsik und Tchnik kommn abr häufig mhrdimnsional Abhängigkitn vor. Ein zwidimnsional Funktion hat di folgnd allgmin Form: z f (, Für in mhrdimnsional Funktion gilt ntsprchnd: ƒ (,,..., n Bispil: Wurfparabl Dfinitionsbrich: v α Funktion: w v v f ( v, α sin sin( g α cos g α α

5 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Idals Gasgstz Dfinitionsbrich: T V Funktion: p (V,T n R T V mit n Molzahl R univrsll Gaskonstan t Wichtig: Dr Dfinitionsbrich dr Funktion muss immr anggbn wrdn. Gsamtwidrstand in inm Stromkris: R R R Dfinitionsbrich: R, R, R Funktion: R f ( R, R, R R R R R R R R R R

6 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.. Darstllungsformn a Analtisch Schribwis z f (, z. B. z F (,, z z. B. z plizit Form implizit Form b Funktionstabll zij f ( i, j ; mit i..m j..n (m, n - Matri c Grafisch Darstllung z p P ist in Lösung dr Glichung F(,, z.

7 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III All Lösungn dr zwidimnsionaln Glichung F (,, z bildn in Fläch im Raum übr dm Dfinitionsbrich D (, dr Funktion. Bispil: Linar Funktionn a b c z d bschribn Ebnn. Sondrfäll: - Koordinatnbn, : z - Paralllbn zur Koordinatnbn, : z Konst. Di allgmin Lag rgibt sich aus dn Schnittpunktn mit dn Achsn, also z.b. für di Funktion 6 z : S ; S ; S z z

8 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Di Funktion z f bschribt Rotationsflächn. z z. B. Z bzw Z Z Z Mantlfläch ins Rotationsparaboloids Parabln

9 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III All Lösungn von F(,, z mit z konstant rgbn in Schnittlini odr Schnittkurv Höhnlinindiagramm z z konst.: Höhnlini Projktion auf,-koordinatnbn Einfach Bispil: z ² ² c ² ² Ÿ Kris mit Radius r c a z ² ² sowi c z. B. z ² Ÿ Parabl b z ² ² sowi c z ² Ÿ Parabl

10 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III z In Phsik und Tchnik hißn di Schnittlinindiagramm Knnlininfldr. Bispil: Idals Gasgstz p n R T V. Btrachtung: Isochor Erwärmung V konstant P. p i T mit < für V > V bzw. < für V > V V Paramtrzunahm T

11 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III. Btrachtung: Isothrm Komprssion T konstant p p d.h i V > > T > T > T T (Paramtrzunahm V

12 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III. Gwöhnlich Diffrntialglichungn (DGL.. Dfinition und Bispil Dfinition: Ein Glichung, in dr Ablitungn inr unbkanntn Funktion f ( bis zur n - tn Ordnung auftrtn, hißt Gwöhnlich DGL n tr Ordnung. Darstllung: F ( n (,,,,... ( n (,,, n f,... implizit Form dr DGL plizit Form dr DGL Bispil: cos ( 6 - plizit DGL. Ordnung (. Ablitung - implizit DGL. Ordnung - plizit DGL. Ordnung - plizit DGL 6. Ordnung Konkrt Anwndung: Bschribung ds ribungsfrin Falls ins Körprs im Schwrfld mit dr Bwgungsglichung. s g Lösungswg: Bstimmung dr Wg-Zit-Funktion s(t für di Fallbwgung durch zwifach Intgration dr DGL.

13 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III s v s g t. Intgration: ds dt ( t g dt g t v. Intgration: ( t v( t s dt ( g t dt Ÿ s(t ½ g t t allgmin Lösung dr DGL Bstimmung dr Intgrationskonstantn aus dn Anfangsbdingungn: s s ( t s s ( t v( t v v Ÿ s(t ½ g t v t s spzill Lösung dr DGL

14 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.. Lösungsansätz sowi Anfangs- und Randwrtproblmatik Dfinition: Ein Funktion f( ist dann in Lösung dr DGL, wnn si mit ihrn Ablitungn di DGL rfüllt. Untrschidung:. Allgmin Lösung dr DGL mit n unabhängign Paramtrn, dn Intgrationskonstantn. Spzill (partikulär Lösungn mit fstn Wrtn für dis Paramtr Bispil: DGL d d allgmin Lösung spzill Lösung Gomtrisch Vranschaulichung: Di DGL bschribt in allgminr Form in Parablschar, wobi di Konstant dn Achsnabscnitt angibt. Möglichkitn zur Bstimmung dr n Paramtr:. aus Anfangswrtn (dshalb auch Anfangswrtproblm gnannt bkannt: ( Lösungskurv vrläuft durch (, ( Stigung dr Lösungskurv m ( im Punkt (, p ( n (. aus Randwrtn (dshalb auch Randwrtproblm gnannt bkannt: (, (,., (n Lösungskurv muss durch dis Punkt vrlaufn

15 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.. Diffrntialglichung. Ordnung Allgmin Form: F (,, Für dis DGL ist dr Lösungswg abhängig vom jwilign Tp dr Glichung, d.h. s gibt kin allgmins Lösungsvrfahrn.... Gomtrisch Nährungsmthod Vorausstzungn:. Di plizit Form dr DGL f(, ist bkannt.. Dr Punkt P (, ist als in Punkt dr Lösungskurv ggbn. Ansatz: Di Stigung m ( f(, im Punkt P kann dirkt aus dr DGL brchnt wrdn. Lininlmnt im Punkt P knnzichnt di Tangnt in indutigr Form. Lösungskurv ( P Lininlmnt Tangnt in P mit Stigung m Di Gsamthit dr Lininlmnt bildt das sog. Richtungsfld dr DGL.

16 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Daraus rgibt sich in grob Nährung für di Lösungskurv. Konstruktionsvorschrift : - Fstlgung dr Isoklinn (Vrbindung allr Punkt, an dnn di Lininlmnt di glich Stigung habn DGL: f (, konst f(, bschribt di Isoklinn - Brchnung dr Stigungn m für di Lininlmnt jdr Isoklin Bispil: DGL Isoklinn a, d.h. a Stigungn dr Lininlmnt Lösungskurv: Kris ² ² R² m

17 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III... DGL mit trnnbarn Variabln Dfinition: Ein DGL. Ordnung vom Tp f( g( kann wi folgt glöst wrdn:. Schritt: Trnnung dr bidn Variabln d f ( d; g( g(. Schritt: Intgration dr bidn Sitn dr DGL d f ( d g(. Schritt: Wnn möglich, Auflösung dr implizitn Glichung F ( F ( nach Bispil DGL: d d ln ln ln ± ± (allgmin Lösung DGL: ; ( d d d d

18 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III o R (allgmin Lösung Anfangswrt: ( 8 bzw. R ² ² 6 (spzill Lösung... Lösung inr DGL durch Substitution Dfinition: Ein DGL. Ordnung vom Tp f(a b c kann wi folgt glöst wrdn:. Schritt: Substitution u a b c und Bildung dr Ablitung u a b. Schritt: Intgration dr nun DGL für di Hilfsfunktion u. Schritt: Rücksubstitution und Umstlln nach Bispil: DGL -. Schritt: u und du u d

19 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III. Schritt: nu DGL u u u u du d du u u d ln u ln. Schritt: Rücksubstitution u ln u u - (allgmin Lösung - Dfinition: Ein DGL. Ordnung vom Tp kann wi folgt glöst wrdn: f(/. Schritt: Substitution u / und Bildung dr Ablitung u. Schritt: Intgration dr nun DGL für di Hilfsfunktion u. Schritt: Rücksubstitution und Umstlln nach

20 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bispil: DGL. Schritt: ; d. h. u u u u. Schritt: nu DGL u u u u du d du u u d ln u ln ln ln u u. Schritt: Rücksubstitution (allgmin Lösung

21 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III... Linar DGL. Ordnung Dfinition: Ein DGL. Ordnung wird als linar bzichnt, wnn si in dr allgminn Form f ( g( darstllbar ist. Dr Trm g ( hißt dabi Störfunktion. Untrschidung: g( g( DGL homogn DGL inhomogn Bdingung: und trtn nur in dr. Potnz auf, und in gmischts Produkt ( kommt nicht vor. Bispil: Homogn linar DGL Nichtlinar DGL, wil ² vorkommt. Inhomogn linar DGL Nichtlinar DGL Intgration dr homognn linarn DGL: f ( d f ( d ln f ( d ln f ( d (allgmin Lösung

22 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bispil: ; ( f ( ( d (allgmin Lösung ( (spzill Lösung Intgration dr inhomognn linarn DGL: f( g( Homognr Til Störfunktion Allgminr Ansatz: Variation dr (Intgrations-Konstantn. Schritt: Lösung dr homognn DGL durch Trnnung dr Variabln. Schritt: Variation dr Intgrationskonstantn K k(. Schritt: Lösung dr DGL für di Faktorfunktion k( Witrr Ansatz: Aufsuchn inr partikulärn Lösung ( homogn ( partikulär ( Diss Lösungsvrfahrn wird hir nicht witr vrtift, s wird jdoch bi dr Lösung dr inhomognn linarn DGL. Ordnung (Abschnitt.. vrwndt.

23 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bispil:. Schritt: Lösn ds homognn Tils dr DGL d d d d ln c ln ln (. Schritt: K ( K ( K ( K ( Einstzn in di inhomogn DGL: K ( K( K( K ( (. Schritt: dk d K( ( (

24 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Einstzn von Gl. ( in Gl. (: [( ] ( (allgmin Lösung..5. Linar DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn Allgmin Form: a g( Störfunktion Lösungsansatz: Variation dr Konstantn Allg. Lösung für dn homognn Til: a Allg. Lösung für di inhomogn DGL: K( a a K ( K( ( a a a a a K ( a K( a K( K ( g( K( g( a a d g( a g( a d

25 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III ( d ( d du v v u dv u d d d Bispil: - a g( Intgrationsforml:,5,5 d d d allgmin Lösung

26 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III..6. Anwndungsbispil Aufladung ins Kondnsators: R U (t U Bschribung mit dr Diffrntialglichung (linar und inhomogn: Umformung: R du dt du dt c uc u c R ( t u c u R u c Lösung ds homognn Tils: u c ( t R c t mit Int. konstant Lösung dr inhomognn DGL: u c ( t K( t R c t

27 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III R t c u u t u ( ( R t u Möglichkit für das witr Vorghn: Variation dr Konstantn Hir jdoch: Anwndung dr Forml von S. : dt c R u t u R t R t c ( ( ( ( ( c R R u t u R t R t c R t c u t u ( Anfangsbdingung: u u c (t u c t ( u t u c u allgmin Lösung spzill Lösung

28 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.. Linar DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn... Dfinition und Eignschaftn Dfinition: Ein DGL vom Tp a b g( hißt Linar DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn. Untrschidung: Bispil: g ( g ( DGL homogn DGL inhomogn 5 7 sin 5 Inhomogn linar DGL. Ordnung Homogn linar DGL. Ordnung, abr Koffizintn nicht konstant Inhomogn nichtlinar DGL. Ordnung Eignschaftn von DGL ds Tps: a b Ist ( in Lösung dr DGL, so ist auch ( (, mit R, in Lösung. Bwis: ( a ( b ( a b ( a b

29 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Sind ( und ( zwi Lösungn dr DGL, so ist auch di Linarkombination ( ( ( in Lösung. Bwis: a( b( a a b b ( ( a b ( a b Ist ( u( i v( in kompl Lösung dr DGL, so sind auch ihr Raltil u( und ihr Imaginärtil v( rll Lösungn dr DGL. Bwis: ( u i v a( u i v b( u i v u i v a u a i v b u b i v (u a u b u i ( v a v b v Bispil: Glichung inr harmonischn Schwingung ω ; ω > Frqunz Partikulär Lösungn: sin( ω cos( ω

30 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Nachwis: ω cos( ω ; ω sin( ω ω sin( ω ; ω cos( ω Einstzn in di DGL: ω sin( ω ω sin( ω ω cos( ω ω cos( ω Witr Lösungn dr DGL: sin( ω ; R cos( ω ; R sih Eignschaftn ( sin( ω cos( ω sih Eignschaftn (... Intgration dr homognn linarn DGL. Ordnung Grundform: a b Allgminr Lösungsansatz: Einstzn in DGL: λ λ λ λ λ λ λ a λ λ b λ λ ( λ a λ b

31 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bdingung somit: λ a λ b a λ, ± a b Falluntrschidungn: I a λ λ b > und λ, R λ λ allgmin Lösung II a b λ λ ( a a allgmin Lösung a III a b < λ, ± ω ; mit ( ω a b o a { sin( ω cos( ω } R, allgmin Lösung Bispil : Frag: Fall (I: a² - b " 9 (- 5 > λ, ± 9 6 λ λ

32 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Lösungsfunktion: Prob: Einstzn: ( - ( 6 Bispil : Frag: Fall (II: Lösungsfunktion: Prob: ( ( ( 6 (? b < a ( 6 λ λ ( ( ( ( (

33 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Einstzn: Bispil : Frag: Fall (III: Rll Fundamntalbasis: Lösungsfunktion: Prob: bitt slbst vornhmn! { } { } } 8 8 { -? b < a ( 6 < 8 6, ± λ cos sin ( ± i sin cos

34 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III... Intgration dr inhomognn linarn DGL. Ordnung Allgmin Form: Lösungsansatz: a b g(. Schritt: Lösung dr homognn DGL (. Schritt: Ermittlung inr partikulärn Lösung P ( mit Hilf von vorggbnn Lösungsfunktionn, di nach dr Störfunktion g( auszuwähln sind.. Schritt: Addition bidr Lösungn zur allgminn Lösung ( ( p( Übrsicht übr inig häufigr vrwndbar Lösungsfunktion für p(: I g( Pn ( (Polnom n - tn Grads p ( Q ( für b p n ( Q ( für a ; b n p ( Q ( für a b n Q n ( Polnomfunktion, Grad n Bispil: - ² - Lösung dr homognn DGL: λ, ± ( λ, λ

35 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III ( a a a p ( a a p ( a p ( a a a a a a ( ( a a a a a a.. a h d a a a a a a a a ( a a a 5 ( 5 ( Partikulär Lösung (für b - : Einstzn in di inhomogn DGL: Koffizintnvrglich: Allgmin Lösung: (

36 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III II g( c p c ( A für λ, λ c c p ( A für λ c odr λ c c p ( A für λ, c Bispil : 6 Lösung dr homognn DGL: λ, ± ( λ λ Partikulär Lösung: Für c λ muss p ( A gwählt wrdn, d.h. p ( A A Einstzn in di inhomogn DGL: p ( A A A A A A ( A A 6 Allgmin Lösung: ( ( A 6 A Bispil : Lösung dr homognn DGL: sih Bispil, also λ λ

37 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Partikulär Lösung: Für c muss folgnd Lösungsfunktion gwählt wrdn: p p ; da c λ bzw. ( A λ ( A ( 6 p A Einstzn in di inhomogn DGL: A A A 6 Allgmin Lösung: 8 A ( 6 A 6 III g( sin( k p ( A sin( k B cos( k bzw. cos( k wnn ki kin Lösungn ds λ-polnoms p ( [ A sin( k B cos( k wnn ki Lösungn ds λ-polnoms ] Bispil: sin( Lösung dr homognn DGL: λ, ± ( λ λ Partikulär Lösung: Für k i i λ muss folgnd Lösungsfunktion gwählt wrdn:

38 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III p ( A sin( B cos( p ( A cos( B sin( p ( A sin( B cos( Einstzn in di inhomogn DGL: A sin( B cos( A ( A cos( B sin B sin( cos( sin( sin( [ A B A] cos([ B A B] sin( 6 A B und A 6B A 9 und B Allgmin Lösung: 9 sin cos

39 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.5. Linar DGL n-tr Ordnung mit konstantn Koffizintn.5.. Dfinition Ein DGL vom Tp ( n a n ( n... a a g( hißt linar DGL n-tr Ordnung mit konstantn Koffizintn. Untrschidung: g( DGL homogn g( DGL inhomogn Bispil: DGL. Ordnung, homogn ( (5 cos ( DGL. Ordnung, inhomogn Nichtlinar DGL!.5.. Intgration dr linarn DGL n-tr Ordnung. Schritt: Bstimmung dr Lösungsmng für di homogn DGL, dabi gilt: Di allgmin Lösung ( ist in Linarkombination von n linar unabhängign Lösungn i ( dr DGL, d.h. ( ( (... n n (. Schritt: Ermittlung inr blibign partikulärn Lösung p ( dr inhomognn DGL mit Hilf von vorggbnn Lösungsfunktionn, di nach dr Störfunktion auszuwähln sind.. Schritt: Addition bidr Lösungn zur allgminn Lösung dr inhomognn DGL: ( ( ( p

40 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bispil: Lösung dr folgndn homognn DGL. Ordnung Lösungsansatz: λ λ λ λ λ Einstzn in DGL: λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( λ λ λ λ( λ λ λ λ, ± ( λ und λ Damit allgmin Lösung dr homognn DGL: λ λ ( λ Hinwis: Bi inhomognn DGL höhrr Ordnung kann s j nach Art dr Störfunktion rfordrlich sin, bis zu n Paramtr für di partikulär Lösung zu bstimmn.

41 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.6. Sstm linarr DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn.6.. Dfinition Zwi linar Diffrntialglichungn. Ordnung dr Form a a g ( a a g ( nnnt man mitinandr gkopplt, wnn si nicht unabhängig voninandr glöst wrdn könnn. Si bildn dann in (linars Sstm von DGL, dssn Ordnung dr Summ dr Ordnungn dr inzlnn DGL ntspricht. Das Sstm im vorligndn Bispil ist also. Ordnung. Di Lösung bstht hirbi aus zwi Lösungsfunktionn ( und (. Untrschidung: g ( und g ( homogns Sstm g ( und / odr g ( inhomogns Sstm.6.. Darstllung in Matriznform Vrinbarungn: Lösungsvktor Ablitung ds Lösungsfunktion

42 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Störvktor Koffizintnmatri Damit könnn di bidn gkoppltn DGL wi folgt dargstllt wrdn: o o o A g Dis Schribwis ist für bstimmt Lösungsvrfahrn, di hir abr nicht witr bhandlt wrdn solln, nützlich. Bispil: Matriznschribwis diss inhomognn linarn DGL-Sstms. Ordnung: Intgration homognr linarr DGL-Sstm Ausgangspunkt: o o A 6 a a a a A g g g

43 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Lösungsansatz: λ K und K λ Anmrkung: λ ist hir für bid Lösungsfunktionn glich.. Ablitung: λ K λ und K λ λ Einstzn in Sstm dr DGL: K λ λ λ a K a K λ : λ K λ λ λ a K a K λ : λ K λ a K a K K λ a K a K ( ( Aus Glichung ( folgt: K λ Einstzn in Glichung (: λ ( λ a a a K a a ( λ a K K a K a a : K λ a λ a λ a a a a λ ( a a λ a a a a Anmrkung: Di Lösungn λ und λ disr quadratischn Glichung stlln di Eignwrt dr Koffizintnmatri dar.

44 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Falluntrschidungn: Es gibt zwi vrschidn rll Lösungn für λ, d.h. λ λ sind rll Zahln. Di Lösungsfunktionn lautn dann: λ λ ( ( mit und R [ a ] ( a Bispil: Bstimmung von λ: λ ( λ (( ( λ λ λ, ± 9 ( λ ; λ Allgmin Lösung damit: ( [ ( ( ] [ ]

45 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Es gibt nur in rll Lösung für λ, d.h. k λ λ ist in rll Zahl. Di Lösungsfunktionn lautn dann: Bispil: Bstimmung von λ: Allgmin Lösung damit: ( a a k ( 9 ( 8 ( ( ( λ λ λ λ, λ ( ( ( (

46 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Es gibt nur in konjugirt kompl Lösung für λ, d.h. λ, k ω i; Di Lösungsfunktionn lautn dann: k [ sin( ω cos( ω ] ( a a Bispil: Bstimmung von λ: λ ( λ ( ( λ λ λ ±, ± i Allgmin Lösung damit: [ sin cos ] sin cos cos sin [ sin cos cos sin sin cos ] [ cos sin ]

47 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.6.. Intgration inhomognr linarr DGL-Sstm a a g ( a a g ( Lösungsansätz: Di Intgration wird vorzugswis nach folgndm Vrfahrn durchgführt:. Schritt: Lösung ds homognn Sstms. Schritt: Ermittlung inr partikulärn Lösung für das inhomogn Sstm mit Hilf inr Lösungsfunktion, di von bidn Störfunktionn g ( und g ( abhängt.. Schritt: Addirn dr bidn Lösungn Ein zwit Lösungsmthod ist das Einstzungsvrfahrn:. Schritt: Umstllung dr rstn DGL nach und Ablitung nach : [ a g ( ] (Glichung a a [ a g ( ] a (Glichung b. Schritt: Einstzn dr bidn Ausdrück in di zwit DGL: a [ a g ( ] a a a [ a a g ( ] g ( ( a a ( a a a a g ( a g( a g( (Glichung

48 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III. Schritt: Ermittln dr allgminn Lösung für dis inhomogn linar DGL. Ordnung, d.h. dr Funktion (.. Schritt: Einstzn von ( sowi von dssn Ablitung ( in Glichung (a, woraus sich di Lösungsfunktion ( rgibt. Bispil:. Schritt: ( (. Schritt: ( ( 6 (. Schritt: Aufstlln dr charaktristischn Glichung für dn homognn Til dr DGL: λ λ λ ± 9 (, d. h λ ; λ, (Lösung dr homognn DGL

49 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Einstzn in di inhomogn DGL:. Schritt: D B A p, Ansatz für partikulär Lösung: B A p, p A, ( ( D B A B A A 6 D B B A 8 5 ; ; D B A 8 5 ( mit 8 5 ( 8 (Lösungsfunktion für di. inhomogn DGL (Lösungsfunktion für di. inhomogn DGL

50 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.7. Zusammnfassung dr analtischn Lösungsmthodn für gwöhnlich Diffrntialglichungn Tp dr DGL Bzichnung/Nam Lösungsvrfahrn/ansatz. f( g( Sparabl DGL. Ordnung Trnnung dr Variabln und Intgration dr bidn Funktionn unabhängig voninandr a. f ( a b c Linar substituirbar DGL. Ordnung b. f Ähnlichkits-DGL Substitution uabc und Intgration dr Funktion u(, danach Rücksubstitution Substitution u/ und Intgration dr Funktion u(, danach Rücksubstitution a. f ( Homogn linar DGL. Ordnung Trnnung dr Variabln und Intgration; allgmin Lösung: f ( d b. f( g( Inhomogn linar DGL. Ordnung Lösung ds homognn Tils dr DGL, dann Variation dr Intgrationskonstantn K( als Faktorfunktion und Ermittlung von drn Lösung Alt.: Aufsuchn inr partikulärn Lösung. a g( Inhomogn linar DGL. Ordnung mit konst. Koffizintn (Sondrfall von b Allgmin Lösung: a a g( d Fortstzung s. nächst Sit

51 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III 5. a b g( Inhomogn linar DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn. Lösung dr homognn DGL mit Hilf dr charaktristischn Glichung λ a λ b, Ergbnis davon abhängig, ob I λ λ ( rll II λ λ ( rll III λ λ ( kompl. Ermittlung inr partikulärn Lösung für di inhomogn DGL. Addition dr bidn Lösungn. 6. ( n... a a n a ( n g( Inhomogn linar DGL n-tr Ordnung mit konstantn Koffizintn. Lösung dr homognn DGL mit Hilf dr charaktristischn Glichung n λ a n n λ... aλ a. Ermittlung inr partikulärn Lösung für di inhomogn DGL. Addition dr bidn Lösungn 7. a a g( a a g( Inhomogns linars DGL-Sstm. Ordnung mit konstantn Koffizintn. Lösung ds homognn DGL- Sstms mit Hilf dr charaktristischn Glichung λ ( a a λ ( a a a a Ergbnis davon abhängig, ob I λ λ ( rll II λ λ ( rll III λ λ ( kompl. Ermittlung inr partikulärn Lösung für in dr bidn inhomognn DGL.. Ermittlung dr zwitn Lösungsfunktion nach dm Einstzungsvrfahrn.

52 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III. Numrisch Vrfahrn zur Intgration gwöhnlichr DGL.. Diffrntialglichungn. Ordnung... Strcknzugvrfahrn von Eulr (Einschrittvrfahrn Problmstllung: Bschribung dr Lösungsfunktion f( in inm Intrvall p q, wnn si als DGL f(, mit dm Anfangswrt ( p ggbn ist. Vorghn: - Untrtilung ds Intrvalls in n glich groß Schritt dr Läng h: q p h (mit h Schrittwit n - Bstimmung dr Abszissnwrt, ausghnd von ; gmäß k k h ; k,..., n ( P n P P P h p q

53 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III - Bstimmung ins Nährungswrts für dn jwils nächstn Ordinatnwrt mit Hilf dr Tangnt an di Lösungskurv im Ausgangspunkt, z. B. h ( m (mit m Tangntnstigung Bkannt ist abr: (, f (, m h f (, h f (, ( n n h f ( n, n Di Ungnauigkitn ds Vrfahrns sind dadurch bdingt, dass nur dr Punkt P akt auf dr Lösungskurv ligt. Di Approimation dr Lösungskurv rfolgt übr in Aninandrrihung von Strckn, inn sog. Polgonzug. Di Gnauigkit dr Lösung ist von dr Wahl dr Schrittwit h abhängig. Dr Fhlr kann grob abgschätzt wrdn nach ( k ; k mit ( k k k k k k akt Lösung Nährung bi Schrittwit h Nährung bi Schrittwit h Bispil: Ggbn: DGL ; ( ; Intrvall, Gwählt: Schrittwit h,5, damit n, /,5 8, also insgsamt 8 Schritt

54 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III P: (Anfangsbdingung P: P: h,5,5 (, 5,5 h,5,5,5 (,5, P8: 8 h, 8 k, 56 8 Altrnativ Rchnung mit inr Schrittwit von h,5, d.h. n : (,,7 k Fhlr k,56,7,9,6 % Hinwis: Für di DGL in dism Bispil gibt s in akt Lösung, und zwar ( Damit ist s möglich, dn Fhlr akt anzugbn. Er bträgt bi, a für h,5: b für h,5: k,,68% k,8,%

55 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III... Mthod von Hun für DGL. Ordnung (Einschrittvrfahrn Di Mthod von Hun stllt in infach itrativ Vrbssrung ds Eulrschn Strcknzugvrfahrns dar. Vorghn: - Nach dr Vorschrift von Eulr wird in Nährungswrt an dr Stll bstimmt: h f (, mit f((, Tangntnstigung im Punkt P - Mit dm Wrtpaar / wird in witrr Stigungswrt (, f(, brchnt. - Mit dm arithmtischn Mittl dr bidn Stigungswrt, also f(, und f(,, wird dann in vrbssrtr Wrt für bstimmt: h f (, f (, - Di Itration wird nach dism. Schritt abgbrochn und mit dm Wrtpaar / dr nächst Schritt bgonnn. Bispil: mit ( ; h, 5,5(,,5 (,,78,5 Di akt Lösung ist hir (,5,85; damit bträgt di Abwichung dr Nährungslösung,5%. Anmrkung: Di Mthod von Hun ist in rlativ infachs abr stabils Lösungsvrfahrn, das sich bnso wi das Vrfahrn von Eulr gut programmirn lässt.

56 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III... Rung-Kutta-Vrfahrn. Ordnung (Einschrittvrfahrn Das Rung-Kutta-Vrfahrn, insbsondr das hir bhandlt Vrfahrn. Ordnung, ist in aufwndigr Vrbssrung ds Eulrschn Strcknzugvrfahrns, das jdoch bi DGL. Ordnung shr gut Nährungswrt bi hohr numrischr Stabilität lifrt. Es ist in twa vrglichbar dr Anwndung dr Simpson-Forml ggnübr dr Trapzrgl zur Brchnung dr Fläch untr inr Funktion durch Intgration. Vorghn: - Vom Anfangswrt P ausghnd wird das Intrvall h btrachtt. - Dr zu bstimmnd Nährungswrt an dr Stll rgibt sich aus inr Gradnglichung gmäß m ( m h - Di Gradnstigung m stllt inn gwichttn Mittlwrt dr Stigung dr Lösungskurv an dn bidn Randpunktn / und / sowi in dr Intrvallmitt ( ½ h dar. Di Brchnungsvorschriftn lautn: ( k k k k 6 mit k h f (, k h f ( h; k k h f ( h; k k h f ( h; k Danach: ( k k k k 6 mit k i h f (,, (Di k-wrt müssn für jdn Schritt nu brchnt wrdn. usw.

57 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Vranschaulichung: k P k k P k ½ h ½ h Di Gradnstigung m kann als mittlr Stigung dr Lösungskurv im Intrvall < < aufgfasst wrdn. Di Gnauigkit ds Vrfahrns ist abhängig von dr Schrittwit h. Dr Fhlr kann gmäß dr folgndn Glichung abgschätzt wrdn: ( k ( 5 k k k k mit ( k akt Lösung k Lösung für di Schrittwit h k Lösung für di Schrittwit h

58 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Rchnschma: f(, K h f(, h h h k, f ( k f ( h, k k k f ( h, k k f h, ( k K ( k k k k 6 h k k K Bispil: DGL ; ( ; h, 5 und,,, 8 K,5,8 K, 85,,569 K,,5,6, 959 K,, 657 Dr hir gfundn Wrt für (, stimmt bis auf 6 Nachkommastlln mit dr aktn Lösung übrin.

59 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Di Wahl inr gigntn Schrittwit h kann mit Hilf dr Schrittknnzahl s vorgnommn wrdn: s i h f ( ;,..., i i Dis Bdingung würd im bsprochnn Bispil (DGL Intrvall [ GXUFKGLH6FKUittwitn im rfüllt. h,7.., Wahl: h,5 Anmrkung: Di Nährungslösung inr DGL f(, in dr Umgbung ins Punkts (, kann durch di folgnd Talor-Entwicklung anggbn wrdn, wnn dort di partikulär Lösung ( bkannt ist: ( h ( k ( h! ( h! ( h...! Es lässt sich zign, dass in Übrinstimmung dr Nährungsforml ds Rung-Kutta-Vrfahrns. Ordnung mit dr Talor-Entwicklung bis zu drn. Trm bstht.

60 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III... Mthod von Adams Bashforth bzw. Adams-Moulton (Mhrschrittvrfahrn Prinzip: Brchnung ds unbkanntn Funktionswrts ( ausghnd von dri bkanntn Punktn (,, (, und (, ; wobi di Schrittwit h ( ( ( konstant ist. f f Ansatz: ( ( f (, d Wird di Intgration disr Glichung nach dr Mthod Intgration übr das übrhängnd Intrvall mit dri Stützstlln durchgführt, so rgibt sich di folgnd Forml für das plizit Drischrittvrfahrn von Adams- Bashforth: h ( [5 f (, 6 f (, f (, ] (

61 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bispil: mit ( akt Lösung Stützstlln (h,: f(,,,995 f(, -,995,,98 f(, -,96 Gsuchtr Punkt:,?,,98 [5 6 (,995 (,96],9557,956 (Di akt Lösung ist:, Das bschribn Intgrationsvrfahrn bruht bnfalls auf dr Approimation dr Lösungsfunktion durch in Talorrih. Bi zu großr Schrittwit h kann dis zu Ungnauigkitn führn. Di Schrittwit darf im Vrlauf dr Rchnung abr nicht vrändrt wrdn, sondrn muss konstant blibn. Variant: Di Intgration ds allgminn Ansatzs nach dr Mthod Intgration übr das ltzt Intrvall mit dri Stützstlln führt zu dr Forml für das implizit Drischrittvrfahrn vom Tp Adams-Moulton: h ( [ f (, 5 f (, 9 f (, 9 f (, ] ( Da auch auf dr rchtn Sit dr Glichung inzustzn ist, muss zunächst in Schätzwrt für vorggbn wrdn, z. B. aus dr ursprünglichn Forml, dr dann itrativ vrbssrt wird.

62 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bispil: mit ( akt Lösung Stützstlln (h,: f(,,,995 f(, -,995,,98 f(, -,96 Gsuchtr Punkt:,?,,98 [5 6 (,995 (,96],956 f (,,868 Wrdn di Koordinatn disr vir Punkt bzw. di ntsprchndn Ablitungn in Glichung ( ingstzt, folgt daraus:,,98 [ 5 (,995 9(,96 9(,868],956 Bi Brücksichtigung von Dzimalstlln ist damit kin Vrbssrung ds Ergbnisss rknnbar. Dr folgnd Punkt ( / wird dann aus dn ltztn dri Punktn P...P brchnt. Anmrkung: Es sind auch Lösungsformln für Virschritt-, Fünfschritt- und Mhrschrittvrfahrn mit noch höhrr Schrittzahl vrfügbar. Bi dn plizitn Mthodn ntspricht di Ordnung p dr Schrittzahl m, bi dn implizitn Mthodn gilt p m.

63 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III..5. Mthod von Hamming (Mhrschrittvrfahrn Prinzip: Brchnung ds unbkanntn Funktionswrts ( auf dr Basis von vir Stützstlln /, /, / und / mit konstantr Schrittwit h. Vorghn: - Brchnung ins Schätzwrts aus h [ f (, f (, f (, ] - Brchnung ins Hilfstrms w aus w - Brchnung dr Ablitung w aus w f (, w - Brchnung ins Korrkturtrms z aus - ; [ z ] Maß für di Abwichung vom wahrn Funktionswrt z [9 h ( w f (, f (, 8 - Brchnung ds korrigirtn Funktionswrts [ z 9 [ z z ] ] Bispil: ` - ; mit ( und h, f(i, i,,995 -,995,,98 -,96,,956 -,868,?

64 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III,[(,868 (,96 (,9 w,9 [],995] ( nur für Anfangswrt zu Null anzunhmn w,,9,695 z [9,956,995,(,695 (,868 (,96],9 8 9,9 [,9,9,9 auf 5 Dzimalstlln gnau, d.h. in dism Fall führt di Brchnung ds Korrkturtrms z nicht zu inr Vrbssrung ds Ergbnisss! Di Punkt 5 / 5 und folgnd sind dann nach dm glichn Algorithmus zu brchnn. Prinzipill ist s auch möglich, di Schrittwit h währnd dr Intgration zu ändrn (vrdoppln odr halbirn. In dm Fall muss in Mindstanzahl an Funktionswrtn bkannt sin: a Ein Vrdopplung dr Schrittwit rfordrt mindstns 7 Punkt. h h

65 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III b Ein Halbirung dr Schrittwit rfordrt, dass zwi Punkt an Zwischnstlln durch Intrpolation bstimmt wrdn. h h Wnn di rfordrlichn Stützstlln für diss Mhrschrittvrfahrn nicht bkannt sind, müssn si zunächst itrativ rmittlt wrdn. Hirfür ist bispilswis das folgnd Vrfahrn gignt. Anlaufrchnung für di Mthod von Hamming, nach Haack: - Fstlgung von Startwrtn,,, - Brchnung dr Ablitungn fj, f(j,, mit j,, - Itration dr Funktionswrt, mit i,,. Itrationslaufzahl h, i [9 f (, 9 f (,, i 5 f (,, i h, i [ f (, f (,, i f (,, i ], i h[ f (, f (,, i f (,, i 8 f (, i f (, i - Brchnung dr Ablitungn fj,i f(j, j, i,, ] ]

66 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III - Übrprüfung ds Kritriums j ε mit ε zulässig Abwichung, i j, i j, i - Wnn Kritrium rfüllt Bginn dr Brchnung nach Hamming mit dn Anfangswrtn j,i - Wnn Kritrium nicht rfüllt Durchführung inr witrn Itration Erfahrungswrt: Es sind 5 Itrationn rfordrlich, um zuvrlässig Anfangswrt zu rhaltn...6. Diffrnznvrfahrn für Anfangswrtproblm Prinzip: Itrativ Brchnung dr Funktionswrt i / i, ausghnd von insgsamt vir bkanntn Wrtpaarn /, /, / und / mit fstr Schrittwit h. Vorghn: - Ggbn ist di DGL ` f(, mit dr Anfangsbdingung (. Bkannt sind damit di Stigungswrt ( i f i, di sich durch in Intrpolationspolnom F( darstlln lassn. - Di Intgration übr zwi Schrittwitn rgibt: n n F ( d ( h ( h n n (

67 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III F ( d n- n- h n h n - Di Anwndung dr Simpson Forml (vrgl. Mathmatik I, Kap. 8.9 führt zu: n h F ( d ( f n f n f n ( n - Di Vrknüpfung dr Glichungn ( und ( rgibt: Problm: h n n ( f n fn f n ( Für di Brchnung von n ist di Ablitung fn rfordrlich, für di zunächst in Schätzwrt bstimmt wrdn muss, dr dann itrativ zu vrbssrn ist.

68 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Lösungsansatz: Bstimmung ins Schätzwrts für n aus h n n (8 fn 5 fn fn fn ( Mit dism Ergbnis (bzw. dr damit bstimmtn Ablitung f n wird dann di itrativ Brchnung gmäß Glichung ( durchgführt, bis di gwünscht Gnauigkit rricht wordn ist. Bispil: ; mit ( ; h, und [ Startwrt (mit Hilf ds Rung-Kutta-Vrfahrns bstimmt: (,,956 ; (,,87 ; (,,69 Brchnung : n n n fn n-n- (Gl. n- n- (Gl.,,,,9566,9895,,87,8556,,69,7957,,586,,56,75,58,,6,7555,587,,6,756,587 5,5,959,5,7,77,9,5,,777,9,5,6,77,9 Di DGL hat im Übrign in akt Lösung. Si lautt: (,5

69 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.. Intgration inr DGL. Ordnung nach dm Rung-Kutta-Vrfahrn. Ordnung Problmstllung: Bschribung dr Lösungsfunktion ( in inm Intrvall p [ TZHQQ si als DGL f (,, mit dn Anfangsbdingungn ( und ( ggbn ist. Vorghn: Für in Schrittwit h wrdn Hilfsgrößn K und M als gwichtt Mittlwrt aus jwils vir Antiln brchnt, mit dnn sich Nährungn für dn nun Funktionswrt und sin Ablitung an dr Stll h rgbn. Brchnungsvorschrift: K k k k k [ 6 M m m m m [ 6 mit,, ( f h m h k,, ( ( m k h f h m m h k,, ( ( m k h f h m m h k,, ( ( m k h f h m m h k Di Paramtr k...k und m...m müssn für jdn Schritt h nu brchnt wrdn.

70 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bispil: DGL, mit ( und ( Nährungslösung: Intrvall: [ Schrittwit: h, k h m h (,,,,6,5,,,,6,5,5,5,5,65,,5,65,65,66975 K,75 M,65,,75,65 Eakt Lösung: d.h. für, gilt:,78, `,6 Abw. ~, % Abw. ~, % Di Übrinstimmung zwischn Nährungs- und aktr Lösung ist bi dism rstn Punkt noch gut; si nimmt abr mit zunhmndm Abstand vom Anfangswrt ab.

71 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.. Intgration von DGL-Sstmn. Ordnung nach dm Rung-Kutta-Vrfahrn. Ordnung Problmstllung: Bschribung dr Lösungsfunktionn ( und ( in inm Intrvall p [ TZHQQVLHDOV'/ f (,, und f (,, mit dn Anfangsbdingungn (, und (, ggbn ist. Vorghn: Für in Schrittwit h wrdn zwi Hilfsgrößn K und L als gwichtt Mittlwrt aus jwils vir Antiln brchnt, mit dnn sich Nährungn für di nun Funktionswrt ( h und ( h rgbn. Brchnungsvorschrift:,, ( k k k k, K 6,, ( l l l l, L 6 mit k h f (,,,, l h f (,,,, h k l h k l k h f(,,,, l h f (,,,, h k l h k l k h f(,,,, l h f(,,,, k h f( h,, k,, l l h f( h,, k,, l,,,,......

72 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Di Paramtr k...k und l...l müssn für jdn Schritt h nu brchnt wrdn. Bispil: mit, (, 5 (, Nährungslösung für das Intrvall [ EHLHLQHU6FKULWWZHLWHYRQ h,: k h f( l h f (. -,5 -,5,5,5 -,575,75 -,6,65,5 -,5665,85 -,979,665, -,6979,665 -,88,77 K -,585 L,6, -,6585,6 Eakt Lösung: d.h. für, gilt:, -,6575,,69 Abw. ~,6 % Abw. ~,5 % Di Übrinstimmung zwischn Nährungs- und aktr Lösung ist auch hir gut; si nimmt jdoch, wi bi dn andrn Anwndungsfälln ds Rung-Kutta-Vrfahrns, mit zunhmndm Abstand vom Anfangswrt ab.

73 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.. Randwrtproblm Knnzichn: Von dr gsuchtn Lösungsfunktion sind nicht nur di Anfangswrt ( / und ggf. drn Ablitung bkannt, sondrn auch Zwischnwrt odr Wrt am End ins Intrvalls. Bispil hirfür sind di Flugbahn ins Körprs, dssn Aufschlagpunkt bkannt ist, odr di Strömung von Flüssigkitn odr Gasn an fstn Bgrnzungn ntlang.... Diffrnznvrfahrn für Randwrtaufgabn Prinzip: Di Ablitungn in dr DGL wrdn durch Diffrnznquotintn in inm Intrvall a [ EXQWHU9HUZHQGXQJGHU]XQlFKVWXQbkanntn Funktionswrt i approimirt. Das Intrvall wird dabi in n glich Schritt h untrtilt, also i i h Skant zwischn P i- und P i P i i Tangnt im Punkt P i P i- h h i- i i

74 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Ein infach Forml für di. Ablitung lautt: i h i i ( zntral Diffrnz Gomtrisch gshn wird dabi di Tangnt im Punkt i / i durch di Skant zwischn dn bidn Punktn i / i- und i- / i- angnährt. Analog könnn di. und. Ablitung wi folgt dargstllt wrdn: i i h i h i h i i h i i i i i i h i Damit kann di DGL nährungswis durch in linars Glichungssstm bschribn wrdn. Bispil: Ggbn ist in DGL. Ordnung dr Form f( di im Intrvall a [ E]XDSSUR[LPLHUHQLVW Bkannt sind di Randwrt (a und (b b. Mit dr Schrittwit h folgt für di Zahl n dr Schritt: n ( b h a Für in Stll k gilt dann: k k h

75 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Di Approimation durch dn Diffrnznausdruck rgibt: k k k ( k h f ( k k k k- h² f( k ; für k,.., n - In dr Rgl wird in rlativ groß Schrittzahl gwählt, um di Gnauigkit dr Ergbniss zu rhöhn. Hir soll zur Vranschaulichung ldiglich in Wrt von n 5 gwählt wrdn. Damit rgibt sich das folgnd Glichungssstm: (k h² f ( (k h² f( (k h² f( (k 5 h² f( Dis vir linar unabhängign Glichungn mit dn vir Unbkanntn. könnn z. B. mit Hilf ds Gaußschn Algorithmus glöst wrdn. Anmrkung: Es gibt komplr Formln für di Diffrnznquotintn, z. B. i i 8i 8i i h 6 6 i i i i i h Daraus rsultirn jdoch umfangrichr Glichungssstm, di nur mit höhrm Rchnaufwand glöst wrdn könnn. Altrnativ kann zur Erhöhung dr Gnauigkit di Schrittwit h vrklinrt wrdn. Dadurch nimmt allrdings di Anzahl dr zu lösndn Glichungn ntsprchnd zu. i

76 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III... Kollokationsvrfahrn für Randwrtaufgrabn Prinzip: Di Lösungsfunktion ( wird durch in Nährungsfunktion ( g (, c,..., c p p Vorghn: approimirt mit dr Fordrung, dass dis di Randbdingungn dr DGL rfüllt. - Durch Einstzn dr Funktion p ( Fhlrfunktion p p p in di DGL rgibt sich in ( n F (,,,..., ε (, c,..., - Für dn Fhlr ZLUGJHIRUGHUWGDVVHUDQGHQS.ROORNDWLRQVVWHOOHQ,., p im Intrvall [ [ p vrschwindt. c p ( ( p p 'DUDXVHUJHEHQVLFKSOHLFKXQJHQ [ i, c,..,c p mit i.p, aus dnn di Paramtr c.c p bstimmt wrdn könnn.

77 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bispil: Ggbn ist di DGL. Ordnung - für di in Nährungslösung im Intrvall [ DQJHJHEHQZHUGHQVROO Bkannt sind di Randwrt ( und (. Als Nährungsglichung rfüllt di Funktion ( c ( ( c c ( c di bidn Randbdingungn, und si hat inn Kollokationswrt. Di Fhlrfunktion lautt damit: ε (, c - c c - c - Für dn Kollokationswrt,5 rgibt sich di Bdingung: ε (,5, c - c,5 c -,5 c -,5 c /7,857 Di Nährungslösung lautt somit: (,857 (

78 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.5. Fhlrartn und Fhlrminimirung Dr Gsamtfhlr bi numrischn Lösungsvrfahrn stzt sich zusammn aus dn - Datnfhlrn: fhlrhaft Eingabdatn, z.b. aufgrund von Mssfhlrn - Diskrtisirungsfhlrn: kontinuirlich mathmatisch Problm wrdn diskrtisirt, z.b. bi dr Approimation unndlichr Summn durch ndlich Ausdrück (mthodisch Ungnauigkit - Rundungsfhlrn: Rundung von Zwischnrgbnissn bim Umgang (Einlsn, Spichrn, Konvrtirn, Rchnn mit rlln Zahln (Rchnrbdingt Ungnauigkit Di Übrlagrung dr bidn ltztrn Fhlrartn in Abhängigkit von dr Schrittwit ds Vrfahrns führt i.d.r. zu inm Minimum ds Gsamtfhlrs, dssn Lag abr nicht gnau bkannt ist. Schmatisch Darstllung ds Zusammnhangs zwischn Gsamtfhlr und Schrittwit bi numrischn Lösungsvrfahrn

79 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Zur Fhlrminimirung bi glichzitigr Optimirung dr Rchnrausnutzung wurdn Vrfahrn zur automatischn Schrittwitnsturung ntwicklt. Bispilswis schlug Stor ( das folgnd Vorghn bi Einschrittvrfahrn vor:. Dr aktull Diskrtisirungsfhlr wird anhand von Ergbnissn, di mit dn Schrittwitn h und qh (mit q,5 brchnt wordn sind, gmäß folgndr Forml abgschätzt: ( q h ( h T (, h p q. Es wird in Fhlrtolranz ε fstglgt. (mit p Ordnung ds Lösungsvrfahrns. Di nu (optimal Schrittwit wird wi folgt brchnt: h nu h alt p p ε p T Bispil: Für di DGL - (sin( cos(, mit ( soll numrisch di Lösung für di Stll bstimmt wrdn. Ansatz a: Anwndung ds Rung-Kutta-Vrfahrns. Ordnung mit inr fstn Schrittwit von h,8. Rsultat: num ( - analtisch (,7 - Ansatz b: Anwndung ds Rung-Kutta-Vrfahrns. Ordnung mit Sturung dr Schrittwit, bi glichm Rchnaufwand. Di Schrittwit variirt hir im Brich h,7-,5. Folgrung: Rsultat: num ( - analtisch (,5 - Dr Ansatz b führt zu inm um dn Faktor gnaurn Ergbnis.

80 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III. Intgration partillr DGL.. Dfinition und Bispil partillr Ablitungn Di rst Ablitung inr zwidimnsionaln Funktion, ( z z muss nach jdr dr bidn unabhängign Variabln durchgführt wrdn, wobi di jwils andr unabhängig Variabl konstant ghaltn wird. Daraus rgbn sich di folgndn bidn Ausdrück: z f z, (, (, ( z f z, (, (, ( Gnrll gilt für das partill Diffrnzirn mhrdimnsionalr Funktionn, dass für di Bstimmung dr partilln Diffrntialquotintn all andrn Variabln bis auf di Diffrntiationsvariabl konstant zu haltn sind. Bispil: a z 7 5 cos 5 cos z 7 sin z Partill Diffrntialquotintn

81 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III b Idals Gasgstz T p n R V p n R T V p V n R T V P V p konstant lizit Form P T konstant T V Gomtrisch Dutung: Di partilln Ablitungn inr Funktion z(, an inr Stll P(,, z gbn di Anstig dr Flächntangntn in Richtung ( f (, bzw. in Richtung ( f (, an. Höhr Ablitungn Wird in mhrdimnsional Funktion mhrfach abglitt, rgbn sich partill Diffrntialquotintn höhrr Ordnung. Dabi sind nbn dn Ablitungn nach inr Variabln auch gmischt partill Ablitungn zu brücksichtign.

82 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Bispil Di zwitn Ablitungn inr zwidimnsionaln Funktion lautn: z z f z z f ; ; z z f z z f.. Tpus partillr Diffrntialglichungn Bi partilln DGL wrdn di folgndn Grundtpn untrschidn: - Elliptisch Glichungn, ( p z z Di Lösungsfunktion hat di allgmin Form z (,. Dis Glichungn bschribn oft Randwrtproblm, bi dnn z.b. z(, und, z ggbn sind. Anwndung: u. a. zur haraktrisirung phsikalischr Glichgwichts- zuständ, z.b. dr Form inr bigsamn Mmbran untr Einwirkung ins konstantn Drucks p. - Eindimnsional parabolisch Glichungn ( p z c t z Di Lösungsfunktion hat hir di allgmin Form z (t,.

83 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III Dis Glichungn bschribn oft Randwrtproblm bzüglich dr Variabln und in Anfangswrtproblm bzüglich dr Variabln t (sog. Anfangsrandwrtproblm, d.h. z ( und z (a b sowi z (, t f( sind ggbn. Anwndung: u. a. zur Bschribung ds Wärm- und Stofftransports in ruhndn Mdin, also von Wärmlitungs- und Diffusions- prozssn. Konkrts Bispil: Korndiffusion bi dr Adsorption an Aktivkohl r q r r q D t q Allgmin Lösungsfunktion: q f (t, r - Zwidimnsional parabolisch Glichungn z z c t z Di Lösungsfunktion hat hir di allgmin Form z (t,,. - Hprbolisch Glichungn, ( ( ( t p z g t z odr, ( t p z t z Di Lösungsfunktion hat hir di allgmin Form z (t,. Anwndung: u. a. zur Bschribung von instationärn Transportvorgängn sowi zur Darstllung dr Ausbritung von Wlln.

84 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III.. Eplizit Diffrnznvrfahrn für Randwrtaufgabn bi zwidimnsionaln Funktionn Prinzip: Di partilln Ablitungn wrdn durch Diffrnznquotintn in und Richtung approimirt. Dabi könnn di Schrittwitn h und k untrschidlich groß gwählt wrdn. h k Es gilt dabi: i i h und j j k Di Knotnpunkt Pi,j P (i, i dinn als Stützstlln für di Lösungsfunktion z(,. Einfach Diffrnznformln sind z.b. di folgndn Ausdrück für di zntraln Diffrnzn: z z, j z i, j z i, j z i, j z ; h k i, j i i, j

85 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III,,,,,, ;,, k z z z h z z z j i i j i Z j i j i j i Z j i j i k h z z z z j i j i j i j i Z j i,,,,, Bispil: I. Anwndung auf lliptisch Glichungn, ( p z z mit dn Randbdingungn ( z für konst an dn waagrchtn Rändrn ds Grundgbits dr Lösungsfunktion ( z/ für konst an dn snkrchtn Rändrn ds Grundgbits dr Lösungsfunktion Einfachstr Ansatz: - Übrdckung ds Grundgbits dr Lösungsfunktion mit inm quadra- tischn Ntz mit dr Maschnwit h (s. Skizz auf S Formulirung dr Diffrnznglichung für jdn Gittrpunkt, z. B., ( p k z z z h z z z Daraus rsultirt in Sstm von 9 linarn Glichungn für di 5 unbkanntn Funktionswrt. Di Brücksichtigung dr Randbdingung ( rgibt 6 witr linar Glichungn, so dass das Glichungssstm analtisch glöst wrdn kann.

86 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III h 5 k k 6 5 A Nachtil dis Lösungsvrfahrns:. Groß Grundgbit für di Lösungsfunktion könnn di Vrwndung von shr viln Knotnpunktn rfordrlich machn, di dann zu ntsprchnd viln Glichungn führn.. Krummlinig Rändr ds Grundgbits müssn ggf. durch gignt Nährungsfunktionn bschribn wrdn. Es kann dahr zwckmäßig sin, in Ntz mit variabln Maschnwitn in - und -Richtung zu vrwndn, um in lokal finr Diskrtisirung zu rhaltn: Gittrntz mit variabln Maschnwitn (aus Bollhöfr/Mhrmann

87 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III II. Anwndung auf parabolisch Glichungn z t c z p ( mit dn Randbdingungn ( z( und z(a b ( z(t, f( Einfachstr Ansatz: Diskrtisirung dr DGL nach dr Ortsvariabln z t c z z i z i p i ; i,..., h i n Lösungsmöglichkitn: Gwöhnlich DGL für jdn Punkt i i h. Intgration ds DGL Sstms (inhomogn DGL. Ordnung mit konstantn Koffizintn dirkt.. Diskrtisirung nach dr Variabln t (also Einführung von Zitschrittn W z z i, j z i, j j m t t i ;,..., anschlißnd Brchnung von (n- linarn Glichungn für jdn HLWVFKULWW W Nachtil bim zwitn Vrfahrn: - Es könnn Stabilitätsproblm auftrtn, wnn das Kritrium t c h c nicht inghaltn wird.

88 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III - Bi inr großn Zahl an Zitschrittn kann dr Rchnaufwand shr hoch wrdn. III. Anwndung auf hprbolisch Glichungn Das Vorghn ntspricht grundsätzlich dm im Fall II. bschribnn, wobi höhr Anfordrungn hinsichtlich dr Stabilität ds Lösungsvrfahrns, also dr maimaln Läng dr Zitschritt, zu bachtn sind... Witr Lösungsvrfahrn... Implizits Diffrnznvrfahrn für parabolisch DGL (Mthod von rank-nicolson Prinzip:. Approimation dr parabolischn DGL z t c z p ( bzüglich ins Punkts M durch das arithmtisch Mittl dr bidn zwitn Diffrnznquotintn für di Punkt N und P, di zwi aufinandrfolgndn Zitschrittn zughörn.. Lösn ds rhaltnn Glichungssstms für di n unbkanntn Wrt z i,j, mit i,...n, für jdn Zitschritt j. Vortil: Das Vrfahrn ist stabil, thortisch gibt s kin Bschränkungn hinsichtlich dr Schrittwitn t und h wi bim plizitn Diffrnznvrfahrn. Praktisch sollt allrdings di Bdingung inghaltn wrdn. t h c

89 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III... Kollokationsvrfahrn für parabolisch DGL Prinzip:. Bi parabolischn DGL wird di Ortsabhängigkit durch orthogonal Polnom approimirt. Dabi gilt für di Fhlrfunktion ε an dn Kollokationsstlln di Fordrung: ε (, c i. Das auf dis Wis rhaltn Sstm gwöhnlichr DGL wird dann durch Intgration glöst.... FEM (Finit Elmnt Mthod Dis Mthod ist gut gignt für lliptisch DGL, insbsondr bi nichtrgulärn Gomtrin ( Lösungsbrichn. Prinzip:. Ein Gsamtstruktur, z.b. in Fstkörpr odr in Strömung, wird in finit ( ndlich Elmnt untrschidlichr Form und Größ und di zughörign Knotn zrlgt. Möglich Elmntformn sind Drick, Rchtck odr allgmins Virck, wobi oft di Drickstruktur bvorzugt wird. Triangulirung ins D-Gbits (aus Bollhöfr/Mhrmann

90 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III. Di (unbkannt Lösungsfunktion wird durch in sog. Tstfunktion odr Ansatzfunktion (i.d.r in Polnom odr in Winklfunktion in jdm dr Elmnt approimirt, z.b. durch in linars t (, c c c odr quadratischs Polnom: t (, c c c c c 5 c 6. Di Ansätz für di inzlnn Elmnt wrdn mit Hilf von Koffizintn u i zu inr Gsamtfunktion u(, vrknüpft: u(, Σ [ u i t i (, ] Elmnt i. Di Paramtr c i dr Tstfunktion wrdn durch di Fordrung nach Sttigkit (und ggf. Diffrnzirbarkit an dn Knotnpunktn bstimmt. 5. Aus dr Vrknüpfung von Tstfunktion und DGL rgibt sich in Sstm linarr Glichungn. Sin Lösung untr Brücksichtigung dr Randbdingungn rlaubt di Bstimmung dr Koffizintn u i dr Gsamtfunktion u(,. 6. Di Gsamtfunktion u(, stllt dann di gsucht Nährungslösung dr DGL im btrachttn Brich dar. Anmrkungn: - Di Gnauigkit dr Lösungn hängt von dr Größ dr Elmnt ab und kann nur durch dn Vrglich mit Ergbnissn burtilt wrdn, di mit inr finrn Ntzstruktur brchnt wurdn. - Bi dr Brücksichtigung dr Randbdingungn ist bsondr Sorgfalt rfordrlich, um korrkt Lösungn zu rhaltn.

91 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III 5. Softwar für di numrisch Lösung von gwöhnlichn und partilln DGL 5. Di Lrn-Softwar ODELab ds Zus Instituts Brlin (ZIB 5.. Kurzvorstllung ds ZIB Th Zus Institut Brlin is a rsarch institut for applid mathmatics and computr scinc. Th rsarch and srvic is drivn b th principl Fast Algorithms Fast omputrs. Solutions for compl problms in scinc, nginring, nvironmnt, and socit ar providd - solutions that oftn rquir innovativ approachs. In clos coopration with partnrs from scinc, conom, and socit mathmatical modls and fficint algorithms ar dvlopd. For th usrs of ZIB s high-prformanc computrs spcializd consulting srvics ar providd. 5.. Einführung in di Lrn-Softwar ODELab Numrical softwar for th solution of nonlinar sstms of ODEs has rachd a high lvl of fficinc, robustnss and rliabilit. Sophisticatd mthods of multistp, Rung-Kutta and trapolation tp for stiff and nonstiff problms hav bn dvlopd and implmntd. Most of ths cods ar public domain and accssibl in th intrnt. Som of th mthods ar incorporatd in commrcial softwar libraris, numrical problm solving nvironmnts or vn in computr algbra sstms. Howvr, within such sstms th main mphasis is on using th mthods to solv a problm. In contrast to this, ODELab focuss on th prformanc of th numrical softwar, i.. how dos a spcific mthod bhav how dos th control algorithm work what ar th computational costs how is th prformanc compard to othr mthods. Furthrmor, as th bhaviour of th softwar (should dpnd on th mathmatical proprtis of a problm, som standard tchniqus (.g. snsitivit analsis for analzing th charactristics of a problm ar offrd. On th wa to mt ths objctivs th currnt prototp ODELab offrs th following faturs

92 /LSSHXQG [WHU :6 $EWHLOXQJ [WHU±% Mathmatik III WWW Usr intrfac Sts of prdfind tst problms Input of usr problms Stat-of-th art intgrators (Multistp mthods, Rung-Kutta mthods, Etrapolations mthods Som classical non-adaptiv discrtizations (Eplicit Eulr, Implicit Eulr, Eplicit Rung-Kutta mthods Error chcks Svral prformanc critria Som problm analsis tools Onlin documntation Links Th ODELab sstm should b usd as an aid to tach/larn th numrical tratmnt of ODEs. So, on class of targtd usrs ar studnts and tachrs from th fild of numrical mathmatics. Anothr class of potntial usrs ar scintists from all filds of application who ar looking for fficint numrical softwar for ODE problms. Th can tst and compar isting softwar within a unifid framwork and without worring about tchnical dtails, at last in a first valuation stp. ODELab is intndd for us in th World Wid Wb with an common intrnt browsr. So, in principl, thr is no nd for a local installation of th softwar. As constraints ar st up for th siz of th problm, th PU-tim and disc storag rquirmnts, thr ar, in practic, crtain limits for th WWW usag of th Lab. ODELab is accssibl via th URL " Although quit attractiv, a JAVA basd intrfac is currntl not dvlopd as JAVA Vrsion.. is not supportd b th most common intrnt browsrs. In addition to th standard graphical displa options, i.. gif- and ps-fils, a rsult viwr in JAVA as an optional tool is implmntd within th softwar sstm.