Mathe-LMU.de. Carathéodory-Gesellschaft zur Förderung der Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der LMU München e.v.

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1 1 Nr. 36 Januar 2018 Mathe-LMU.de Carathéodory-Gesellschaft zur Förderung der Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der LMU München e.v. Eine Karriere bei der Munich Re - Seite 13 Eigenwerte des Laplace-Operators - Seite 21

2 2 Ein Stipendium Deutschlandstipendium an der LMU München viele Gesichter Caroline Schambeck, Geowissenschaft Neben dem Studium Geld zu verdienen ist wegen meiner Mukoviszidose-Erkrankung unmöglich. Durch das Deutschlandstipendium habe ich bald trotzdem meinen Master in der Tasche. Das ist ein kleiner Sieg im Kampf gegen die unheilbare Krankheit. Polina Larina, Interkulturelle Kommunikation Nach dem Tod meines Vaters lernte ich viel, um es von Usbekistan in die große, weite Welt zu schaffen. In München kann ich meinen Traum jetzt verwirklichen: lernen und lehren. Wenn ich für immer an der Uni bleiben dürfte, würde ich das sofort tun. Daniel Meierhofer, Zahnmedizin Ich engagiere mich für Minderheiten wie Straßenkinder oder Flüchtlinge. Am meisten Freude bereitet mir aber der Einsatz als Sprecher für queere Studierende an der LMU. Ich weiß aus eigener Erfahrung, welche Probleme ein Outing mit sich bringen kann. Gideon Arnold, Jura Nach meiner Ausbildung zum Wirtschaftsmediator habe ich neben meinem Studium einen Verein gegründet. Darin engagieren sich jetzt Juristen aus ganz Deutschland, um mittellosen Menschen durch Mediation bei der außergerichtlichen Streitschlichtung zu helfen. Sinksar Ghebremedhin, Medieninformatik Meine Eltern mussten selbst vor dem Krieg fliehen. Daher unterstütze ich mit meinem Verein»Students4Refugees«Flüchtlinge dabei, ein Studium beginnen oder fortsetzen zu können vier haben bereits ihren Abschluss geschafft. Sybille Veit, Medizin Ein Baby während des Studiums bekommen? Das hat bei mir funktioniert dank des Deutschlandstipendiums. Jetzt helfe ich als Fachschaftsgruppenleiterin anderen Studierenden mit Kind beim Organisieren des Studienalltags. Ich möchte ein Stipendium stiften Verantwortung übernehmen, Vielfalt fördern: Unterstützen jetzt auch Sie besonders engagierte und talentierte Studierende mit 150 Euro im Monat. Zum Dank verdoppelt der Bund Ihre steuerlich absetzbare Spende.

3 Liebe Leserinnen und Leser, Liebes Vereinsmitglied, 3 in diesem Heft spannen wir wieder einen Bogen von der Schulzeit bis ins Rentenalter, einerseits mit einem Artikel über eine Summer Academy zur Erstellung von Lernmaterialien für Schülerinnen und Schüler und andererseits einem Rückblick auf das Festkolloquium, mit dem das Institut Professor Otto Forster feierte, einen Kollegen, der auch mit 80 Jahren noch regelmäßig äußerst beliebte Vorlesungen anbietet. Mit besonderem Interesse habe ich den Karriere-Artikel von Herrn Kreuss gelesen, zeigt er doch, wie spannend und weltumfassend ein Berufsleben als Mathematiker sein kann. Beim mathematischen Artikel hat sich Herr Morozov sehr erfolgreich bemüht, ein äußerst anspruchsvolles Thema so weit herunterzukochen, dass es für Studierende nach dem dritten Semester gut verständlich ist. Doch auch ohne Kenntnisse von partiellen Ableitungen und Differentialgleichungen oder von Volumenintegralen kann man die Faszination erahnen, die von der mathematischen Durchdringung komplexer physikalischer Sachverhalte ausgeht. Mit den besten Wünschen für ein glückliches und erfolgreiches Jahr 2018 Heiner Steinlein Titelbild: In Mathematik am Samstag führte Prof. Nikita Semenov u.a. ein in die Welt der Platonischen Körper und die Euler-Charakteristik. Impressum mathe-lmu.de Herausgeber Carathéodory-Gesellschaft zur Förderung der Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der LMU München e.v. Mathematisches Institut, Universität München, Theresienstr. 39, München fmwus@mathematik.uni-muenchen.de Commerzbank München, BIC: COBADEFFXXX IBAN: DE ViSdP Manfred Feilmeier Sendlinger Straße 21, München, manfred.feilmeier@ubefei.com eine der ersten größeren Veranstaltungen, die wir in den letzten Jahren durchführen konnten, fand im Mai 2015 statt und handelte von Big Data und den entsprechenden Algorithmen. Die Begriffsbildung hat sich seither geändert; man spricht heutzutage einfach von Data Science. Es gibt mittlerweile eine Reihe von Veranstaltungen zu diesem Thema. Die Deutsche Aktuarvereinigung DAV hat eine eigene Fachgruppe Actuarial Data Science eingerichtet, die ich zusammen mit zwei Kollegen leite. Und an der LMU gibt es einen eigenen Studiengang Data Science! Erfreulicherweise kann ich Sie heute auf eine Veranstaltung hinweisen und dazu einladen, die vom Studiengang Data Science der LMU in Kooperation mit der o.g. Fachgruppe der DAV und den Datageeks e.v. der Münchener Data Science Community am 20. und 21. März 2018 veranstaltet wird: die German Data Science Days Auf der Website finden Sie das Programm der Veranstaltung; auf dieser Website können Sie sich auch zu dieser Veranstaltung anmelden. Das Programm umfasst Vorträge aus den wichtigsten Branchen und branchenübergreifende Themen. Die Veranstaltung bietet insbesondere einen aktuellen Überblick über die wichtigsten Anwendungsbereiche von Data Science, und wir dürfen Sie herzlich dazu einladen. Ihr Manfred Feilmeier Redaktion Katharina Belaga, Bernhard Emmer, Daniel Rost, Heinrich Steinlein, Anna Warlimont Auflage 5000 Layout Gerhard Koehler, München, kws@kws-koehler.de Druck WirmachenDruck.de Die Redaktion bedankt sich bei den Firmen, die mit ihren Anzeigen die Herausgabe dieser Zeitung ermöglichten. Wir bitten die Leser um freundliche Beachtung der Anzeigen.

4 4 Berichte aus dem Mathematischen Institut Einschreibung Die Einschreibungszahlen für die mathematischen Studiengänge könnte man mit dem Begriff Punktlandung umschreiben: Es wiederholten sich weitestgehend die Zahlen vom Vorjahr mit Abweichungen von maximal knapp 12 %. Leichte Tendenzen erkennt man bei der etwas stärkeren Nachfrage nach dem Bachelorstudiengang Mathematik und dem nichtvertieften Lehramtsstudiengang sowie einer geringen Einbuße beim Wirtschaftsmathematik-Bachelor. Weniger aussagekräftig sind die Neueinschreibungszahlen für die Masterstudiengänge, da hier auch ein Studienbeginn im Sommersemester möglich ist, erfahrungsgemäß aber mit geringeren Zahlen als im Wintersemester. Veranstaltungen In der Woche vom 3. bis 7. Juli fand am Mathematischen Institut eine Konferenz zum Thema Motives: arithmetic, algebraic geometry and topology under the white-blue sky statt. Zu Ehren des 80. Geburtstages von Prof. Otto Forster hatte das Mathematische Institut am 14. Juli zu einem Festkolloquium eingeladen. Einen Bildbericht zu dieser Veranstaltung finden Sie auf Seite 7. In der letzten Woche der bayerischen Sommerferien konnten Schülerinnen und Schüler im beliebten Probestudium wieder einen Einblick in das Mathematikstudium gewinnen. Unter der Leitung von Prof. Vogel wurden Vorlesungen und Übungen zum Thema Ein Fraktal, was ist das eigentlich? angeboten Internationaler Masterstudiengang Mathematik als Unterrichtsfach Lehramt an 200Gymnasien Diplom Wirtschaftsmathematik Diplom Mathematik Master Wirtschaftsmathematik Master Mathematik WS 99/00 WS 00/01 WS 01/02 WS 02/03 WS 03/04 Internationaler Masterstudiengang Studienanfängerzahlen Mathematisches Institut Mathematik als Unterrichtsfach Lehramt an Gymnasien 154 Diplom 111 Wirtschaftsmathematik Bachelor Wirtschaftsmathematik 3 Bachelor Mathematik

5 5 Zur Vorbereitung auf das Studium der Mathematik fand Ende September unter der Leitung von Prof. Ufer wieder der zweiwöchige Brückenkurs statt. Dabei hatten die Studienanfänger/innen Gelegenheit, sowohl Inhalte der Schulmathematik zu wiederholen als auch neue Themenbereiche und mathematische Arbeitsweisen kennenzulernen. Einen erfolgreichen Start in das Studium ermöglichte auch die Orientierungsphase der Gruppe Aktiver Fachschaftika (GAF). In einem dreitägigen Programm konnten neue Studierende kurz vor Beginn des Wintersemesters die LMU kennenlernen, zahlreiche Informationen zu ihrem Studium erhalten und gleichzeitig neue Kommilitonen/innen kennenlernen. Ehrungen Prof. Peter Pickl wurde mit dem Preis für gute Lehre 2016 des Staatsministers für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst ausgezeichnet. Gewürdigt wurde damit vor allem sein Gespür für die Anliegen der Studierenden und die Interaktion mit ihnen während der Vorlesungen. Die Preisverleihung fand am 23. November in Regensburg statt. Die Preisträger mit Prof. Peter Pickl (helles Hemd) Mathematik am Samstag In der Vortrags-Reihe Mathematik am Samstag stellte Prof. Nikita Semenov am 9. Dezember unter dem Titel Platonische Körper, Euler-Charakteristik und Vektorfelder auf Sphären drei klassische Themen der Mathematik vor. Dazu waren Oberstufenschüler/ innen und alle an Mathematik Interessierten herzlich eingeladen. Zur jährlichen Arbeitstagung Bern-München hat die Arbeitsgruppe Mathematische Logik am 14. und 15. Dezember wieder in das Mathematische Institut eingeladen. Für seine Forschung auf dem Gebiet der Graphentheorie erhielt Prof. Konstantinos Panagiotou einen Consolidator Grant des ERC. Mit dem hoch dotierten Preis wird sein Forschungsprojekt Phase Transitions in Random Constraint Satisfaction Problems über einen Zeitraum von fünf Jahren gefördert. Personalien Mit Frau Prof. Sabine Jansen (Nachfolge Dürr) und Herrn Prof. Stefan Schreieder (Nachfolge Donder) konnten zu diesem Semester zwei W2-Professuren neu besetzt werden. Sie stellen sich auf der folgenden Seite vor. Den Ruf auf eine weitere W2-Stelle (Nachfolge Goertsches) hat Herr Dr. Sebastian Hensel von der Universität Bonn angenommen. Er wird zum Sommersemester an unser Institut kommen.

6 6 Neu am Institut Prof. Sabine Jansen Neu am Institut Prof. Stefan Schreieder Seit 1. Oktober 2017 ist Sabine Jansen W2- Professorin für Angewandte Mathematik am Mathematischen Institut der LMU, in der Arbeitsgrupppe Stochastik und Finanzmathematik. Sie studierte und promovierte an der TU Berlin. Ihre Dissertation Laughlin's wave function, plasma analogies and the fractional quantum Hall effect on infinite cylinders (2007) wurde mit dem Tiburtius-Preis des Landes Berlin ausgezeichnet. Nach der Promotion war sie u.a. als Postdoc in Princeton ( ), am Weierstrass-Institut in Berlin ( ) und an der Universität Leiden ( ) sowie als Juniorprofessorin an der Ruhr-Universität Bochum ( ) und als Lecturer an der University of Sussex (2017). Ihr mathematisches Interesse gilt vorwiegend Fragestellungen aus der Stochastik und Mathematischen Physik, die aus der statistischen Mechanik heraus motiviert sind. Diese bearbeitet sie teils mit genuin stochastischen Methoden, teils mit analytischen Hilfsmitteln etwa aus der Funktionalanalysis. Bindeglied zwischen den verschiedenen Themen ist stets der Versuch, wechselwirkende Systeme mit vielen Freiheitsgraden zu verstehen. Im Vordergrund stehen Existenz und Dynamik von Phasenübergängen innerhalb der klassischen statistischen Mechanik und die damit verknüpften stochastischen Grenzwertsätze und Markovprozesse. An der LMU hält Sabine Jansen Vorlesungen im Bereich der Stochastik und ihrer Anwendung in den Naturwissenschaften und möchte sowohl eher theoretisch interessierte Studierende als auch solche mit einem Interesse an physikalischen Fragestellungen ansprechen. Zum Wintersemester 2017/18 wurde Stefan Schreieder als W2-Professor für Reine Mathematik an die LMU München berufen. Herr Schreieder wurde am 4. September 1987 in Eggenfelden geboren und studierte von 2008 bis 2011 Mathematik an der LMU München. Nach Auslandsaufenthalten am Trinity College in Cambridge und am Institute for Advanced Study in Princeton wurde er 2015 am Max-Planck- Institut für Mathematik in Bonn promoviert. Seine Dissertation zum Thema Construction problems in algebraic geometry and the Schottky problem wurde mit dem Hausdorff-Gedächtnispreis 2016 ausgezeichnet. Von 2015 bis 2017 arbeitete er als Assistent in der Arbeitsgruppe Komplexe Geometrie am Mathematischen Institut der Universität Bonn. In seiner Forschung beschäftigt sich Herr Schreieder mit Themen aus der algebraischen und komplexen Geometrie. Er untersucht zum Beispiel die Topologie und Hodge-Theorie von Kähler-Mannigfaltigkeiten und interessiert sich für Fragen zur birationalen Geometrie von algebraischen Varietäten. Neben Problemen, die im Zusammenhang mit der Hodge-Vermutung stehen, eines der 7 Millenniums Probleme und das wohl bekannteste offene Problem in der komplexen algebraischen Geometrie, interessiert er sich vor allem für konkrete geometrische Fragestellungen und versucht, diese mit Methoden aus der Hodge-Theorie, der algebraischen Geometrie und der Topologie zu beantworten. Im Sommersemester wird Herr Schreieder eine Fortsetzung der Vorlesung Komplexe Geometrie des Wintersemesters anbieten.

7 Festkolloquium anlässlich des 80. Geburtstages von Prof. Dr. Otto Forster 7 Am 14. Juli 2017 ehrte unser Institut Prof. Otto Forster anlässlich seines 80. Geburtstages mit einem Festkolloquium, zu dem auch viele frühere Kollegen, Mitarbeiter, Absolventen und Freunde, zum Teil von weit her, erschienen. Als Festredner konnten Herr Prof. Gerhard Frey (Essen; Bild oben Mitte) und Prof. Franc Forstnerič (Ljubljana; Bild unten links) gewonnen werden. Grußworte sprachen Herr Vizepräsident Prof. Martin Wirsing als Vertreter der Hochschulleitung und Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch für den Springer-Verlag (Bilder in der oberen Reihe). Um die Organisation dieser Festveranstaltung hat sich insbesondere Prof. Martin Schottenloher verdient gemacht.

8 8 Die Tutorenausbildung im Sommersemester 2017 oder wie ich mein Tutorium noch besser mache Die Lage Ein jeder Mathematikstudent kennt es: das Tutorium. Ohne dessen Hilfe würden wir das Mathematikstudium wohl nicht meistern können, doch leider unterscheiden sich Tutorien ganz wesentlich in ihrer Qualität. Hier stellen sich einige Fragen: Reicht das Bestehen einer Klausur, um ein gutes Tutorium geben zu können? Wie genau hält man so ein Tutorium? Kann man das einfach so, oder hilft ein wenig Training? Und was ist überhaupt ein gutes Tutorium? Der Kurs Es funktioniert: Man kann seine Lehrskills trainieren. Dafür trafen sich im Sommersemester 21 angehende Tutoren (Lehramts-, Bachelor- und Masterstudenten) unter der Leitung von Dr. Daniel Sommerhoff zur Tutorenausbildung. Die Erwartung Viel Geschwafel: Das ist es, was sich der gewöhnliche Mathematiker unter Didaktik der Mathematik vorstellt. Doch sobald man dieses Stereotyp überwindet, stellt man fest, dass so eine Tutorenausbildung auch richtig Spaß machen kann. Die Inhalte Theorie Ganz ohne Theorie geht es nicht, und so wendeten wir uns am Anfang folgenden Fragen zu: Wie soll ein Tutorium aufgebaut sein? Wie kann ich meine Studenten motivieren aktiv mitzuarbeiten, um den größten Lernerfolg mitzunehmen? Wie schaffe ich es, mit einer inhomogenen Gruppe zurechtzukommen? Als besonders anspruchsvoll und wichtig stellte sich die Frage heraus, was man beim Sprechen und Erklären in einem Tutorium alles beachten muss, damit bei den Studenten auch das Richtige ankommt. In diesem Teil durften wir spannende Informationen über das Lehren und Lernen in einem Tutorium sammeln, die auch wissenschaftlich abgesichert sind. Praxis Doch schnell ging es von der Theorie in die Praxis, denn nur weil ich weiß, wie ein gutes Tutorium aussehen kann, muss ich es noch lange nicht gut machen. Und dass es kein Patentrezept für das Halten von Tutorien gibt, muss jedem bewusst sein. Also haben wir in verschiedenen Übungen Methoden ausprobiert, wie wir die theoretisch begutachteten Problemstellungen lösen können. Hierzu haben wir uns auch immer wieder mit den Herausforderungen unserer eigenen Tutorien auseinandergesetzt, verschiedene Lösungsstrategien gesucht und erstaunlich oft auch gute gefunden. Der Videobeweis Um uns aber verbessern zu können, müssen wir auch sehen, was wir verbrechen. In Zeiten der digitalen Revolution ist das auch kein Problem: Dank Videobeweises konnten wir jeweils ein Tutorium von uns selbst betrachten und mit Feedback von Daniel und der Gruppe analysieren, was bereits gut läuft, was man ausprobieren könnte und wo man noch etwas dran verbessern sollte. Ein solches Video ist übrigens auch sehr gut zur Vorbereitung von Präsentationen und Seminaren, also einfach mal selbst ausprobieren! Rhetorikseminar Als große Herausforderung befanden wir unsere rhetorischen Skills, so dass wir uns zusätzlich zu einem vierstündigen Rhetorikseminar trafen. Hier lernten wir von einer professionellen Referentin viel über Sprachbildung und verschiedene Methoden, wie man sich mit einfachen Kniffen Vorteile verschafft. Doch auch hier gilt wieder, ruhig und authentisch auftreten ist besser, als sich in eine fremde Rolle drängen zu wollen.

9 9 Das Resultat Gute Lehre ist ein Schlüssel für erfolgreiches Studieren. Mit der Neukonzeption der Tutorenausbildung ist wieder ein wichtiger Schritt in die richtige Richtung gemacht worden. Die LMU lebt von ihren Studenten. Diese müssen möglichst gut ausgebildet sein, damit sowohl Lehre als auch Forschung brillant sein können. Hierbei fällt gerade den Tutorien die wichtige Aufgabe zu, das in der Vorlesung gesammelte Wissen zu vertiefen, zu festigen und anwenden zu können. Zusätzlich werden durch diese Schulung nicht nur für das Tutorium wichtige Fähigkeiten mitgegeben, sondern auch Qualifikationen, die außerhalb der Universität gern gesehen sind. Falls hierbei noch eine Sache angemerkt werden muss, dann ist es, dass viele Wege nach Rom führen. Es gibt kein Patentrezept, aber ein paar Grundregeln: Sei authentisch. Bereite dich gut vor. Ermuntere zu Fragen. Binde deine Studenten ein. Traue dich, neue Ideen umzusetzen. Herzliche Einladung Falls du dir nun denkst: Cool, warum habe ich das nicht gemacht?, so kannst du einfach bei der nächsten Ausbildung teilnehmen. Suche doch einfach bei einer Suchmaschine deiner Wahl nach TutorInnenausbildung Mathematik LMU und schon wirst du weitere Informationen finden. Marius Fracarolli, Teilnehmer Wie gestaltet man Wissensweitergabe möglichst effektiv? Ein Tutor muss sich viele Gedanken machen, wie er den Stoff am besten vermitteln kann. Das BIB+ Schema erleichtert es, konstruktives Feedback geben zu können. Dies verbessert die Qualität, belastet aber nicht die Atmosphäre! Wie in einem Tutorium auch diskutierten die Studenten häufig in Kleingruppen. Hier wurden verschiedene Methoden evaluiert. Im Mathematiktutorium ist es wichtig, dass die Studenten sehen, worüber gesprochen wird. Doch worauf sollte der Tutor beim Tafelanschrieb achten?

10 10 Part III of Mathematics Meine Zeit in Cambridge Wie ließe sich meine Zeit in Cambridge wohl am besten beschreiben? Ein Jahr ohne Langeweile würde passen, oder Newton, Dyson und nun ich?. Das hätte ich natürlich gerne, aber fangen wir doch am Anfang an. Am Freitag, dem 30. September 2016, einige Zeit nachdem die Briten sich entschlossen hatten, die EU zu verlassen, verließ ich Deutschland und überquerte den Kanal, um meine Studien in Großbritannien fortzusetzen. Ich reiste nach Cambridge, zu einer Stadt und einer Universität, von der ich schon zahlreiche Beschreibungen gehört hatte: schöne alte Architektur, Ruderwettbewerbe mit Oxford, hervorragend in Mathematik, englischer Dauerregen, sehr kompetitiv, so wie bei Harry Potter und ganz viele Traditionen. Für die Matrikulation brauchte ich dann auch gleich einen schwarzen Umhang, den ich mir am Tag nach meiner Ankunft natürlich flugs kaufte (Zauberstab und -hut waren fakultativ). In einer feierlichen Zeremonie wurden wir so wenig später in unser College aufgenommen, und nach ein paar Tagen voller Einführungsveranstaltungen ging auch schon das erste Trimester los. Die Auswahl an Vorlesungen, die wir belegen konnten, war famos. Von Analysis, Geometrie und Algebra, Zahlentheorie und Logik, über alles Mögliche in Stochastik bis hin zur Mathematischen und Theoretischen Physik war alles vorhanden. Und es gab keine Vorschriften bei der Auswahl! Keine Wahlmodule, Pflichtmodule oder Wahlpflichtmodule, wir hatten einfach freie Wahl. Das war definitiv eines der Highlights. Als Lowlight empfand ich dementgegen die Aussicht auf eine Sechstagewoche. In Cambridge, so hatte ich nämlich früh erfahren müssen, gab es auch samstags Vorlesungen. Und das Tempo der Vorlesungen war ohne Übertreibung hoch. Da ein Trimester aus nur acht Wochen besteht, darin aber ähnlich viel Stoff durchgenommen wird wie in einem deutschen Semester, standen die Dozenten während der Vorlesung sprichwörtlich unter Strom. Außerhalb des Studiums kam freilich auch keine Langeweile auf. Neben den ganzen Veranstaltungen der Mathematik, den zahlreichen Sportangeboten und den noch vielfältigeren Societies, versorgten uns die Colleges mit unzähligen Events und einem sozialen Umfeld aus ganz verschiedenen Fachrichtungen. In Cambridge ist jeder Student Mitglied in einem von ungefähr 30 Colleges und wird von diesem mit allem versorgt, was man so außerhalb des Studiums braucht und noch mehr natürlich. Mein College stellte zum Beispiel meine Unterkunft, hatte ein kleines kostenloses Fitnessstudio, eine Kantine und einen Billardtisch und sorgte sogar dafür,

11 11 dass die ganzen Studentenzimmer wöchentlich gereinigt wurden. Das Beste an den Colleges waren jedoch die Veranstaltungen und die vielen sozialen Kontakte, die so geknüpft werden konnten. Wie sagte noch gleich ein Studienkollege? So schwierig wie es für ihn an der Universität in Deutschland war, ein soziales Leben zu haben, so schwierig war es für ihn in Cambridge, kein soziales Leben zu haben. Dafür gibt es in Cambridge allerdings recht hohe Mieten und noch höhere Studiengebühren: knapp zehntausend Pfund für EU-Bürger, ansonsten fast das Doppelte. Ein Glück, dass ich das Auslandsstipendium der Studienstiftung erhielt! (Sollte es der ein oder andere Leser in Erwägung ziehen, auch in England zu studieren, ist Eile geboten, da EU-Bürger nach dem Brexit gegebenenfalls auch die höheren Gebühren zahlen müssen.) Tatsächlich wäre es in Cambridge gut möglich gewesen, das ganze Jahr mit den vielen angebotenen Aktivitäten zu füllen, was das Studienpensum natürlich unmöglich machte. Zwischen den Trimestern hatten wir zwar einige Wochen frei, aber aufgrund von Hausaufgaben, Wiederholung des Vorlesungsstoffes und PhD-Bewerbungen gab es auch in dieser Zeit genug zu tun. Im dritten Trimester widmeten sich die meisten Studenten dann auschließlich der Klausurvorbereitung. Die Mathematikklausuren sind in Cambridge nämlich alle erst im Juni, sodass wir die meiste Zeit keine benotete Leistung erbrachten und dann zuletzt alle Klausuren in etwa zehn Tagen schrieben was die ohnehin schon nicht gerade leichten Klausuren noch schwerer machte. Dafür gab es nach den Klausuren dann eine Woche voller May Balls, in denen wir das erfolgreiche Bestehen feiern konnten so aufwendig und pompös, wie ich es noch nie erlebt hatte. St John s College Der Fluss Cam St John s Chapel

12 12 Letztendlich erwiesen sich fast alle oben genannten Beschreibungen von Cambridge als zutreffend (abgesehen von dem Wetter, das zum Glück viel besser als erwartet war). Die Stadt selbst ist zwar nicht sehr groß, die Formal Dinner at St John s Anzahl und Vielfalt der Angebote dafür umso mehr. Insgesamt war meine Zeit in Cambridge eine intensive, herausfordernde und einmalige Erfahrung, bei der ich viel gelernt habe und die ich nicht missen möchte. Lukas Emmert Fachbuchhandlung +Medienservice Sortiment Architektur Bauliteratur BWL Chemie Datenverarbeitung Elektrotechnik Geowissenschaften Informatik Management Maschinenbau Mathematik Physik Sprachen VWL KARL RAU Service Unabhängige, qualifizierte Beratung Beschaffung von Medien aller Art: - Bücher, Zeitschriften, Loseblattwerke, CD-ROM, Online-Datenbanken etc. - Neue und antiquarische Titel aus dem Inland und Ausland Speziell für Organisationen: Unser Service Alles aus einer Hand KARL RAU e.k. Theresienstraße 100, München Tel info@karl-rau.de Fax Anzeige Heute vor 18:00 bestellen, morgen ab 8:00 abholen! * * Gilt in der Regel für Bücher, die Sie von Montag bis Freitag vor 18:00 Uhr bestellen. Am Samstag bestellen Sie bitte vor 12:00 Uhr. Dann können Sie die Bücher in der Regel schon am Montag ab 8:00 Uhr abholen :-)

13 Liebe LeserInnen 13 Der heutige Rückblick auf die Mathematik, die mein Leben wie ein roter Faden durchwebt, beginnt mit dem Schulunterricht. So erfuhren ein Klassenkamerad und ich frühe Förderung. Unser Lehrer hatte die Leidenschaft für Algebra, Denksportaufgaben wie auch für die Beweisführung der euklidischen Geometrie entflammt. Er brachte uns mit weiteren Mathe-Schülern in Kontakt, mit denen ein reger Austausch entstand. Unvergesslich bleiben die Diskussionen zu Polynomen, Differentialgleichungen, Relativitätstheorie und dem Aufbau von Atomen. Eine Sternstunde war der Besuch des CERN in Genf, wo unsere Gruppe auf waschechte Wissenschaftler stieß. Sie erklärten uns Aufbau- und Funktionsweise des Teilchenbeschleunigers und den Laborbereich, in dem die Elementarteilchen aufeinandertreffen. Man bestätigte mir die Gabe, in offener Art weiterführende Fragen zu stellen und gewonnene Erkenntnisse übersichtlich zusammenzufassen. Das bestärkte den Wunsch, meine Mathematikkenntnisse voranzubringen, denn ich wollte die Naturgesetze verstehen. Sporadisch besuchte ich bereits als Elftklässler Anfängervorlesungen, darunter Lineare Algebra : Staubtrocken und einen Hauch entrückt dozierte Professor Roelcke über lineare Gleichungssysteme. Auch wenn die Art der Stoffvermittlung verunsicherte, traf ich die Entscheidung, nach dem Abitur Mathematik zu studieren. Parallel hatte ich angefangen, mich aufgrund der Freundschaft zu einem libanesischen Mönch intensiv mit dem Arabischen zu beschäftigen; zunächst hatte ich die Sprache mit ihren Kehllauten für undurchschaubar gehalten, und gerade das weckte meinen Forschergeist. Im Herbst 1990 schrieb ich mich für das Lehramt Mathematik mit Nebenfach Physik an der LMU ein. Schnell sattelte ich mit dem Erwerb erster Scheine auf das Mathe-Diplom um. Da es Anfang der Neunziger kaum Vorlesungen zu Finanzmathematik und kein Aktuarsstudium gab, spezialisierte ich mich zweckfrei auf Differentialgeometrie, um die Raumzeit nach der Relativitätstheorie tiefer zu verstehen. Als Wegblumen pflückte ich Mengenlehre, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Algebra. In Übungen zu Finiten Elementen erwarb ich Programmierkenntnisse. Nach fünf Jahren Studium schloss ich im Dezember 1995 mit dem Diplom ab. Vor dem Einstieg in das Berufsleben reiste ich zur Vertiefung des Arabischen in den Orient: zuerst Maskat im Oman, danach Beirut, um bei den Mönchen im Kloster Deer-el-Kreem an der Vervollkommnung dieser Sprache zu arbeiten: Ora et labora! Wieder zu Hause intensivierte ich die Suche nach der ersten Stelle. Mit guten Englisch- und Arabisch-Kenntnissen sah ich mich in einer internationalen Firma und meldete mich auf eine telefonische Rekrutierung der Münchener Rückversicherungs-Gesellschaft (heute kurz Munich Re). Das Profil des arabisch sprechenden Diplommathematikers führte dann auch zu meiner Anstellung ab dem in der Lebensrückversicherung. Die Mathematik geriet im arabischen Kontext in den Hintergrund, da die Kunden an biometrischen Statistiken nicht interessiert waren. Daher wechselte ich zu den Aktua-

14 14 Karrieren ren: Das Team sollte eine Absterbeordnung für Pflegefälle entwickeln. Hier waren statistisches Geschick, Datenmanagement und Programmierung erforderlich. Nach Vorlage einer Sterbetafel mit Tarifierungssystematik für Pflege(zusatz)versicherungen wechselte ich in die Marketingabteilung zuständig für Nordamerika. Hier ging es um Bilanzoptimierung und Kapitalmanagement von internationalen Versicherungskonzernen und Tochtergesellschaften der Munich Re. Quantitative Risiko-Analysen spielten nur im Zusammenarbeit mit Underwriters eine Rolle. [Definition: Ein Underwriter ist ein Rückversicherer an der Front, also am Kunden, der Risiken mathematisch, betriebswirtschaftlich und juristisch bewertet. Durch Unterzeichnung eines Dokuments nimmt er ein Risiko nach Kalkül und Verhandlung in gängigen Geschäftssprachen in die Unternehmensbilanz.] Wichtig waren hier einerseits die Beziehungspflege zu Geschäftspartnern wie auch das Monitoring ihrer Bonität, andererseits die Vorbereitung von Vorstandssitzungen mit Repräsentanten der internationalen Organisation. Ein weiterer Höhepunkt stellte der Erkundungsbesuch zur Anbahnung von Credit Enhancement Geschäft in der Wall Street dar, in das Munich Re mangels Transparenz und technischer Stimmigkeit nicht einstieg, was die Gesellschaft im Gegensatz zu manchem Konkurrenten vor Ungemach in der Finanzkrise 2008 bewahrte. Nach zwei Jahren wechselte ich in die Retrozessionsabteilung, in der ich Rückversicherung für die gesamte Munich Re Gruppe nach zu optimierenden Rahmenkriterien strukturierte, Verkaufsinformationen aufbereitete und die Risiken, unter anderem in verbriefter Form, am [Kapital-]Markt platzierte. Ich bündelte modellierte Verteilungen für verschiedene Naturgefahrenszenarien in Pakete, die dem Risikoappetit unserer Rückversicherer, darunter Lloyds, oder Berkshire Hathaway Warren Buffets Rückversicherungsarm entsprachen. Noch vor der Hochzeit mit meiner peruanischen Frau erlernte ich die spanische Sprache, was den Sprung in das Underwriting der Sach(rück)versicherung in Lateinamerika und der Karibik ermöglichte. Dieser Teil der Welt ist einer extremen Naturgefahrenexponierung durch Hurrikane, Starkregen, Überschwemmung, Erdbeben, Vulkanismus und Tsunamis ausgesetzt. Zur Ermittlung risikoadäquater Prämien wende ich stochastische Simulationen in Zusammenarbeit mit Geophysikern und Meteorologen an. Versicherungsunternehmen in industrialisierten Ländern wie Mexiko sehen sich auch mit Großbränden konfrontiert, gegen die sie sich ebenfalls bei Munich Re absichern. Auch diese Schaden-Verteilungen wollen errechnet sein. Sogar alternative Märkte konnte ich erschließen: So bin ich der erste Underwriter in der Munich Re, der direkt mit einem Staat eine Transaktion zum Risikotransfer ausgestaltete. Die mexikanische Regierung zediert nun schon im siebten Jahr Infrastrukturschäden als Folge von Katastrophen an Munich Re. Im Rahmen größerer Neuerungen gerät man schnell an Grenzen bewährter Denkmuster, seien es eigene oder diejenigen der Entscheidungsträger; zunächst befindet man sich mit einem neuen Produkt ohne belastbare Statistik und keinerlei Schadenerfahrung im Halbfinster der selbst erdachten Modelle. So dauert es, bis mit dem Eintreten erster Schäden, die sich nie ganz so verhalten, wie es das Modell will, eine Neuerung als gut erachtet wird Auch wenn ich ungern ohne Historie agiere, freue ich mich immer wieder auf die Entwick-

15 15 lung weiterer Produkte in einem Team versierter Kollegen, die sich aus der systematischen und kreativen Auswertung von [Big] Data als Folge von Design Thinking Workshops ergeben. Einen besonderen Impuls konnte ich zusammen mit einem Topmanager aus unserer IT setzen: Gemeinsam und unkompliziert denken wir regelmäßig darüber nach, wie sich Geschäftsprozesse mittels moderner Techniken verbessern lassen. Am Ende eines Projekts stand dann der Einsatz von SAP-Hana (einer sehr rechenstarken Software mit enormem Arbeitsspeicher), was eine effiziente Datenvisualisierung auf Landkarten ermöglicht. Damit kann Munich Re Kundenportefeuilles und deren Schadenpotenzial errechnen und graphisch mit dynamischen Filtern veranschaulichen, um sich auf des Pudels Kern, die kritischen Zonen und Risikoakkumulationen, hindurch zu klicken. Überdies lassen sich durch Variation der Heftigkeit von Naturereignissen aufschlussreiche Sensitivitätsanalysen zur Schadenanfälligkeit durchführen. Demnächst werde ich mit dem IT-Kollegen den Einsatz künstlicher Intelligenz ausloten. Ziel ist es, Portefeuille- Informationen, die jeder Kunde in einem ihm eigenen Excel-Format liefert, automatisiert auswertbar zu machen. Es geht darum, Matrizen und Vektoren auf einen (elektronischen) Blick zu erkennen und diese in gängige Datenbankformate überzuführen. Lassen Sie mich kurz bemerken, dass die allzu theoretische, gar schematische Anwendung der Mathematik, ohne auf die Belange des Geschäftspartners einzugehen, einen Geschäftsabschluss verhindern kann. Systematik, Logik und Programmierung gehören zweifelsohne zur technischen Grundfertigkeit; daneben helfen Fremdsprachen und nur die Bereitschaft, den Kunden zuzuhören und sich im neugierigen Dialog auf ihre Sicht der Dinge einzustellen, gepaart mit einem Schuss Wagemut zum Geschäftserfolg. Gerade wenn nicht alle Informationen vorliegen, nützt es nur wenig, das Risiko als mathematisch nicht bewertbar zu abzutun. Vielmehr geht es in diesen Situationen darum, vernünftige Annahmen und pragmatische Abschätzungen zu treffen. Wollen Kunden ihr Problem gelöst bekommen, wissen sie, dass Unsicherheiten einen Aufpreis kosten. Ich darf also auf meinem beruflichen Weg jeden Tag das spannende Gleichgewicht von cifras frías und amistades, kühlen Zahlen und freundschaftlichen Beziehungen, wie es mexikanische Geschäftspartner trefflich ausdrückten, immer wieder neu erfinden. Ein bisschen sehe ich mich wie das große weiße Symbol der Munich Re in der Leopoldstraße: der Walking Man. Neugierig und unternehmungslustig zieht er in die Welt hinaus, auf seine Partner zu, mit dem Ziel stets Möglichkeiten aufzutun, die sich in profitables Geschäft ummünzen lassen. Genügend Risikokapital ist von der Geschäftsleitung hinterlegt, gegen das ich zeichnen kann. Martin Kreuss

16 16 Rätselecke Ein Kreuz zu Weihnachten Der Gemeinderat hat beschlossen, die Vorderseite des Altarkreuzes mit Halbedelsteinen verschönern zu lassen (die Vorderseite hat eine Fläche aus 6 gleichen Quadraten). Der beauftragte Künstler hat fünf verschiedene Halbedelsteine in gleicher Menge, die zusammen genau die Fläche der Vorderseite des Kreuzes haben. Aus diesem Grund hat er entschieden, das Kreuz in fünf (symmetrisch angeordnete) konvexe Fünfecke gleichen Flächeninhalts aufzuteilen und diese jeweils mit einer Sorte Halbedelsteine zu verzieren. Wie könnte die Aufteilung aussehen? Demutsmeditation Für eine Demutsmeditation in einem buddhistischen Kloster werden die n Besucher (n 4) so auf die Meditationsräume verteilt, dass die Besucher, die im selben Raum meditieren, sich gleichwertig fühlen. Die Befragung hat ergeben, dass jeder Besucher sich genau drei anderen Besuchern überlegen und den anderen gleichwertig fühlt. a) Auf mindestens wie viele Räume müssen die Besucher aufgeteilt werden? b) Mit wie vielen Räumen kommt man in jedem Fall aus? Wasserholen Im buddhistischen Kloster werden zwei Novizen zur Quelle zum Wasserholen geschickt. Dort ist zum Wasserschöpfen ein großer Eimer angekettet. Der erste Novize bekommt ein 3-Liter-Gefäß und der zweite ein 5-Liter-Gefäß. Jeder Novize muss genau einen Liter Wasser holen. Können die Novizen ihre Aufgabe erfüllen? Fledermäuse Bei der Fledermauspopulation auf einer entfernten Insel haben die Forscher 2018 mutierte Gene entdeckt. Weitere Tests an allen Tieren haben ergeben, dass jede dieser bislang unbekannten Mutationen bei mehr als der Hälfte der Fledermäuse der Population vorkommt. Die Forscher nahmen eine geringstmögliche Anzahl der Tiere mit ins heimische Labor, um alle mutierten Gene untersuchen zu können. Maximal wie viele Fledermäuse mussten die Insel verlassen?

17 17 Lösungen zu den Rätseln von Ausgabe 35 Magisches Quadrat Gibt es ein 3x3 Magisches Quadrat von Primzahlen kleiner als 300, so dass der Abzug der Zahl 2 von jeder der 9 Zahlen wiederum ein Magisches Quadrat aus Primzahlen ergibt? Sowohl die blauen wie auch die roten Zahlen ergeben ein magisches Quadrat von Primzahlen Gummiringe Unter dem Deckel liegen je drei rote und drei blaue Gummiringe, die einander nicht berühren. Genau einer der Gummiringe ist vollständig von dem Deckel verdeckt. Welche Farbe hat dieser Gummiring? Kongruente Teile Schneide die Figur in zwei gleiche Teile. Stadtmauer In einer alten Stadtmauer ist ein Stein von einer ungewöhnlichen Form eingebaut. Den Stein könnte man auch so einbauen, dass die Mauer oben gerade wird. Welche Form hat der Stein? Das Bild zeigt den fraglichen Ausschnitt der Mauer.

18 18 Digital Learning Summer Academy 2017 Das etwas andere Betriebspraktikum Wie kann man sich als Lehramts-StudentIn besser auf den Lehrberuf vorbereiten? Welche Möglichkeiten gibt es für Studierende der Mathematik, den Uni-Stoff sinnvoll und vielleicht sogar mit Spaß zu vertiefen? Und dabei etwas Gutes zu bewirken? Nicht nur ich habe mir solche Fragen im Laufe meines Studiums gestellt, sondern auch die mathematische Fakultät der LMU und die gemeinnützige Organisation Serlo Education e.v. In diesen Semesterferien, vom 28. August bis zum 22. September, fand daher erstmals die Digital Learning Summer Academy statt. In diesem Kooperationsprojekt durfte ich mit anderen Mathematik-StudentInnen nicht nur Teil einer Mathe-Redaktion werden, sondern wir haben auch viel über das Projektmanagement in einem Startup-ähnlichen Umfeld erfahren und gelernt, im Team kreativ zu sein. Dabei hatten wir eine Menge Spaß! Während der Academy erstellten wir im Team Kurse zu den Themen Quadratwurzeln, Näherungsverfahren zu deren Bestimmung und einen Kurs über die reellen Zahlen. Kurse sind schrittweise Erklärungen eines Themas. Sie sind daher analog zu einer Unterrichtsstunde aufgebaut. Wir mussten uns also zum Beispiel beim Thema Quadratwurzeln Fragen stellen wie: Wie motiviere ich einen Schüler oder eine Schülerin für das Thema? Welche Definition einer Wurzel ist am leichtesten zu verstehen und mathematisch korrekt? Wie baue ich sinnvoll Aufgaben in den Kurs ein, um die neu erworbenen Inhalte zu festigen? Das Resultat dieser Überlegungen ist nun auf der freien Lernplattform serlo.org veröffentlicht. So können SchülerInnen von überall in der Welt mit unseren Kursen in ihrem eigenen Tempo lernen und das auch noch werbefrei und kostenlos. Wir TeilnehmerInnen der Academy können daher wirklich stolz sein, was wir in unserem 4-wöchigen Betriebspraktikum alles erreicht haben. Beim Erstellen der Kurse merkten wir Academy-Teilnehmer schnell, wie wichtig es ist, sich im Vorhinein einen roten Faden zu überlegen. Wir wussten, wenn wir diesen konsequent verfolgen, verbessern wir den Lernfluss und der Kurs wird verständlicher. Durch die Arbeit in Zweierteams an den verschiedenen Kursseiten mussten wir uns häufig untereinander abstimmen. So habe ich meine Teamkompetenzen erweitert und gelernt, wie wichtig die Kommunikation untereinander ist. In großen Feedbackrunden diskutierten wir über unsere neuen Inhalte. Dank erfahrenen Teammitgliedern haben wir viel über das einfache und dennoch mathematisch korrekte Erklären von Schulthemen gelernt. Außerdem machten wir uns viele Gedanken über ein ansprechendes Layout, um die Inhalte noch schülerfreundlicher zu gestalten. Durch Diskussionen in der großen Runde konnten wir viele neue Ideen für unsere Kurse erlangen. Außerdem haben wir gelernt, wie wir uns gegenseitig konstruktives Feedback geben können und wie wichtig Lob ist. Neben der redaktionellen Arbeit durften wir viele interessante Vorträge genießen. Wir haben nicht nur eine Menge über freie Lizenzen, Medienkompetenz und die Recherche im Internet erfahren, sondern auch Programme wie Geogebra, Gimp und Inkspace kennengelernt. Sogar ein Workshop des Schreibzentrums der LMU zum Thema Zeitmanagement und Motivation wurde angeboten. Dieses Wissen hat uns nicht nur in der Erstellung von Lernmaterialien geholfen, sondern ist auch im späteren Berufsleben oder in unserem studentischen Alltag hilfreich. Ein weiterer Bestandteil der Summer Academy waren die Arbeitsgruppen (AGs). In

19 19 diesen lernten wir, wie man mit einfachen Mitteln am Computer Lernvideos erstellt. Außerdem hatten wir die Möglichkeit, SchülerInnen über ihr Lernverhalten zu interviewen und herauszufinden, welche Lernressourcen sie nutzen. In der Movement Building AG konnten wir kreativ sein und uns überlegen, wie wir in Zukunft möglichst viele Menschen für unsere Vision von freier Bildung begeistern. Auch der Spaß kam nie zu kurz: Zwischen redaktioneller Arbeit, AGs und Vorträgen blieb jeden Nachmittag Zeit für eine Runde Ultimate Frisbee mit dem ganzen Team, um wieder ausreichend Sauerstoff in die Gehirnzellen zu pumpen. Wir organisierten jede Woche einen Spieleabend mit Werwolf, Wizard und Co. oder ein gemeinsames Kochen und verbrachten auch nach der Arbeit schöne gemeinsame Stunden. Die Summer Academy war somit eine sehr abwechslungsreiche Zeit, in der wir nicht nur unsere Studieninhalte anwenden und festigen konnten, sondern auch viel über freies Lernmaterial im Internet und über die Lernplattform serlo.org erfahren haben. Wir sind als Team zusammengewachsen und konnten gleichzeitig zur Vision von Serlo Education beitragen, Bildung weltweit frei verfügbar zu machen. Hast du Lust beim nächsten Mal selbst dabei zu sein? Dann mach doch mit bei der kommenden Spring Academy vom 5. März bis 30. März Schicke deine Bewerbung einfach an Katharina Radstorfer Monika Wirthl Teilnehmerin der Digital Summer Academy 2017 Präsentation der Academy TeilnehmerInnen vor dem Team Frisbee-Pause vor der Pinakothek der Moderne

20 20 Abschied nach 37 Dienstjahren im Rechenzentrum des Mathematischen Instituts Unsere sehr geschätzte, langjährige Kollegin Constanze Niederauer ist zum Jahresende 2017 in den Ruhestand gegangen. Sie studierte zunächst Mathematik an der LMU und begann dann 1981 eine Ausbildung zur Mathematisch-Technischen Assistentin. Seit dieser Zeit war sie mit kurzen Unterbrechungen durch Familienzeiten am Institut tätig und hat dabei die rasante IT-Entwicklung in den letzten Jahrzehnten aktiv miterlebt. Ihr Tätigkeitsfeld erstreckte sich von der Programmierung von Großrechnern über die Administration der ersten PCs am Institut und die Betreuung von Unix/Linux-Workstations bis zur Konfiguration von Laptops und Tablets. Einen großen Teil ihrer Arbeitszeit widmete sie der Unterstützung der Mitarbeiter bei IT-Problemen, der Wartung der Arbeitsplatzrechner und der Benutzerverwaltung für die verschiedenen Rechnernetze am Institut. Gelegentlich betätigte sie sich auch als Grafikerin und erstellte unter anderem die Zeichnungen für das Numerik-Lehrbuch von Prof. Hämmerlin und Hoffmann damals vor 30 Jahren noch mit einem Stiftplotter. Die Studiengangsstatistiken in der Zeitschrift stammen ebenfalls von ihr. Die Kollegen und die Redaktion möchten ihr für die geleistete Arbeit herzlich danken und wünschen ihr einen aktiven, stressfreien und abwechslungsreichen Ruhestand. Walter Spann, Johanna Gumberger-Happach Gerhard Koehler Medien Anzeige Gerhard Koehler Medien Grafische Gestaltung Prospekte, Kalender, Kataloge, Flyer, Plakate, Bücher, Zeitschriften Druckproduktion WebSeiten Fotografie Digitaldruck, Offsetdruck, Großformatdruck Aufkleber, Bautafeln, Broschuren, Bücher, Flyer, Kalender, Kataloge, Plakate, Poster, Prospekte, Zeitschriften grafisch gestaltet und funktionell Natur- und Landschaftsfotografie Fotografie von Gerhard Koehler 2018 Gerhard Koehler Medien Dreisesselbergstraße München Tel Mail: Partner mit Kompetenz Gerhard Koehler Medien

21 Eigenwerte des Laplace- Operators in beschränkten Mengen und die Weyl- Asymptotik 21 Sergey Morozov Die Anwendung der gewonnenen Resultate auf die Differentialgleichung u + λu = 0 (Satz X) liefert insbesondere die Lösung eines Problems, auf dessen Wichtigkeit neuerdings A. Sommerfeld (auf der Naturforscherversammlung zu Königsberg) und H. A. Lorentz (in seinen hier in Göttingen zu Beginn dieses Semesters gehaltenen Vorträgen) nachdrücklich hingewiesen haben. Hermann Weyl, [We], 1911 Einführung Hermann Weyl ( ) war ein deutscher Mathematiker, Physiker und Philosoph, der in vielen Forschungsbereichen eine Reihe fundamentaler Ergebnisse erzielt hat. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit einem seiner ersten großen Resultate, in welchem er die asymptotische Verteilung der Eigenwerte der Laplace-Gleichung bestimmt hat. Randwertprobleme für die Laplace- Gleichung Sei Ω eine offene Menge mit stückweise glattem Rand Ω und endlichem Volumen Ω im Raum R d beliebiger Dimension d 1. Der Laplace-Operator wirkt auf die zweimal differenzierbaren Funktionen auf Ω als Summe zweiter partieller Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten (x 1,x 2,...,x d ) in R d : u = 2 u x u 1 x u x 2. (0.1) d Abbildung 1: Hermann Weyl Dieser Differentialausdruck ist aus vielen Anwendungen in Mathematik und Physik bekannt. So werden Schwingungen einer Membran, Wellenausbreitung oder kinetische Energien der Quantenteilchen mit seiner Hilfe beschrieben. Wir betrachten nun das Spektralproblem u = λu (0.2) für den Laplace-Operator in Ω. Dies bedeutet, dass wir nach Paaren (λ, u) suchen, die aus einer reellen Zahl λ und einer zweimal differenzierbaren Funktion u 0 auf Ω bestehen, für welche die Gleichung (0.2) erfüllt ist. Die Problemstellung ist analog zu dem, was man aus der linearen Algebra kennt. Nur arbeiten wir jetzt mit Funktionen u anstelle von Vektoren, und die Rolle einer Matrix spielt nun der Differentialoperator (mit einem Minus-Vorzeichen, das uns

22 22 später die Nichtnegativität der Eigenwerte garantiert). Es stellt sich heraus, dass ohne weitere Einschränkungen (0.2) zu viele nichttriviale Lösungen hat. Die Frage wird aber viel sinnvoller, wenn wir das Verhalten von u auf dem Rand Ω vorschreiben. Dadurch bekommen wir ein Randwertproblem. Zwei Typen davon sind besonders wichtig. Beim homogenen Dirichlet-Problem wird die stetige Fortsetzbarkeit von u auf Ω=Ω Ω verlangt mit u := 0 auf Ω. (0.3) Denken wir z.b. an Schwingungen einer Membran, so entspricht (0.3), dass sie am Rand festgehalten wird. Die Neumann-Randbedingung bekommen wir durch Vorschreiben der Werte der Normalableitung von u auf Ω. Um diesen Begriff zu verstehen, erinnern wir uns, dass in fast jedem Punkt von Ω ein äußerer Normalvektor n existiert, d.h. n ist orthogonal zu Ω und zeigt nach außen. Die Normalableitung von u, die wir als n u bezeichnen, ist die partielle Ableitung von u in der Richtung von n. Im Fall des homogenen Neumann-Problems verlangen wir also n u =0auf Ω. (0.4) Streng genommen sprechen wir auch hier von einer stetigen Fortsetzung der Ableitung von u auf den Rand. Für die Schwingungen einer Membran bedeutet (0.4), dass der Rand frei schwingen kann. Das Problem (0.2) zusammen mit einer der Randbedingungen (0.3) oder (0.4) lässt sich nur für spezielle Werte von λ mit u 0 lösen. Solche λ heißen Eigenwerte und entsprechende u Eigenfunktionen. Für alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen u, v auf Ω, die eine der Randbedingungen (0.3) oder (0.4) erfüllen, gilt u, v = u, v. (0.5) Das ist analog zur Symmetrie einer Matrix in der linearen Algebra. Hierbei verstehen wir das Skalarprodukt zweier Funktionen u und v folgendermaßen: u, v = u(x)v(x)dx, (0.6) Ω wobei u(x) das komplex Konjugierte von u(x) bezeichnet (für reellwertige u gilt u(x) =u(x)). Für jede stetige (sogar messbare) Funktion u auf Ω ist dann ( u := u, u 1/2 = Ω u(x) 2 dx ) 1/2 (0.7) die Norm von u, und u v gilt als Abstand zwischen u und v. Wir nennen zwei messbare Funktionen u und v äquivalent, falls u v =0gilt. Der unendlichdimensionale Hilbertraum der Äquivalenzklassen messbarer Funktionen, für welche die Norm (0.7) endlich ist, heißt L 2 (Ω). Die Gleichheit (0.5) folgt aus der Tatsache, dass wir beide Seiten von (0.5) mithilfe partieller Integration als die sesquilineare Form q[u, v] = u(x), v(x) d dx (0.8) Ω schreiben können (die Randterme verschwinden wegen der Randbedingungen). Dabei sei ( u u =, u,..., u ) (0.9) x 1 x 2 x d der Gradient von u, also der Vektor aus allen ersten partiellen Ableitungen, und für zwei Vektoren a, b C d sei a, b d = a 1 b 1 + a 2 b a d b d (0.10) ihr Skalarprodukt in C d.

23 23 Der Laplace-Operator (0.1) mit der Dirichlet- oder Neumann-Randbedingung besitzt jeweils eine eindeutige selbstadjungierte Erweiterung. Wegen der Endlichkeit des Volumens von Ω gibt es zwei Orthonormalbasen in L 2 (Ω) von Eigenfunktionen (u D j ) j=1 und (u N j ) j=1 des Dirichlet- bzw. Neumann-Problems, sodass die Folgen der zugehörigen (reellen) Eigenwerte (λ D j ) j=1, (λn j ) j=1 nichtfallend sind. Das ist analog zur Tatsache, dass jede hermitesche Matrix diagonalisierbar ist und nur reelle Eigenwerte hat. Es kann sein, dass manche Eigenwerte einander gleich sind, d.h. zu einem λ gibt es mehrere linear unabhängige Eigenfunktionen. Im Späteren werden solche mehrfachen Eigenwerte mit Vielfachheit gezählt, d.h. so viel mal, wie es linear unabhängige Eigenfunktionen gibt. Aus der Gleichheit von (0.5) und (0.8) folgt, dass alle Eigenwerte des Dirichletbzw. Neumann-Problems nichtnegativ sind. Dafür genügt es, für beide u und v die entsprechende Eigenfunktion einzusetzen. Im Weiteren wollen wir die Folgen der Dirichlet- und Neumann-Eigenwerte untersuchen. Der erste Eigenwert des Neumann- Problems ist immer λ N 1 = 0 mit der entsprechenden konstanten Eigenfunktion u := Ω 1/2 auf Ω. Wichtiger Spezialfall Um die obigen abstrakten Überlegungen anschaulich zu machen, betrachten wir als Ω einen Quader Ω = (0,l 1 ) (0,l 2 ) (0,l d ) (0.11) mit l 1,...,l d > 0. Seien N 0 und N 1 die Mengen natürlicher Zahlen mit und ohne Null. Für jeden Vektor m = (m 1,...,m d ) N d 1 ist es einfach zu sehen, dass die Funktion u m (x 1,...,x d )= λ m = π 2 ( m 2 1 l 2 1 d j=1 + m2 2 l ( πmj x ) j sin l j l j + + m2 d l 2 d (0.12) eine Eigenfunktion des Dirichlet-Problems ist, und zwar zum Eigenwert ). (0.13) Dabei ist (0.12) eine Orthonormalbasis in L 2 (Ω) als Produkt der Orthonormalbasen auf L 2( (0,l j ) ), j =1,...,d. Deswegen haben wir alle Dirichlet-Eigenwerte mit den entsprechenden Eigenfunktionen gefunden. Analog liefert für m N d 0 u m (x 1,...,x d ) d min{2,m j +1} ( πmj x ) j = cos l j l j j=1 (0.14) eine Orthonormalbasis aus Eigenfunktionen des Neumann-Problems mit den Eigenwerten, die durch die gleiche Formel (0.13) gegeben sind! Ordnen wir alle diese Eigenwerte des Dirichlet- bzw. Neumann-Problems als nichtfallende Folgen an, so sehen wir, dass wegen des Unterschieds der Indexmengen N d 1 und N d 0 die Ungleichung gilt. λ N j λ D j für alle j N 1 (0.15) Weyl-Asymptotik und das Gitterpunktzählproblem Eine weitere Frage, die wir uns stellen können, ist die folgende: Gegeben sei λ> 0. Wie viele Eigenwerte des Dirichlet- bzw. Neumann-Problems gibt es in (,λ)? Wir bezeichnen diese Anzahl als N(Ω,λ). Die Frage lässt eine rein geometrische Interpretation zu, falls die Eigenwerte durch

24 24 die explizite Formel (0.13) gegeben sind. Nämlich, wie viele Punkte aus AN d 1 bzw. AN d 0 liegen innerhalb der offenen Kugel B λ (0) um den Nullpunkt in Rd mit dem Radius λ, wobei A die diagonale Matrix ( π A = diag, π,..., π ) (0.16) l 1 l 2 l d ist? Diese Frage ist auf eine ähnliche reduzierbar, wobei die Mengen N d 1 und N d 0 durch Z d ersetzt werden, kann aber auch gleichzeitig auf alle regulären Matrizen A verallgemeinert werden. Im Fall d =2ist das als gaußsches Kreisproblem bekannt. überdecken und wie viele davon vollständig in B λ (0) enthalten sind, so bekommen wir für die Anzahl der Dirichlet- bzw. Neumann-Eigenwerte in (,λ) wobei N(Ω,λ)=(2π) d Ω V d λ d/2 + O(λ (d 1)/2 ), V d = π d/2 Γ ( (d + 1)/2 ) (0.18) das Volumen der Einheitskugel B 1 (0) in R d ist und O(λ (d 1)/2 ) ein Fehlerterm, sodass ein C>0 existiert mit O(λ (d 1)/2 ) Cλ (d 1)/2 für alle λ groß genug. Die Formel (0.18) lässt sich folgendermaßen interpretieren: Es gibt genau einen Gitterpunkt pro Volumen Q 0 = d j=1 ( π l j ) = πd Ω, Abbildung 2: Anschauliche Darstellung des Zählproblems Es stellt sich heraus, dass wir im Falle eines Quaders relativ einfach die führende Asymptotik von N(Ω,λ) für große λ bestimmen können. Es gibt nämlich genau einen Gitterpunkt aus AZ d in jeder Verschiebung des Quaders Q 0 = [0, π l 1 ) [0, π ) [0, π ). l 2 l d (0.17) Überlegen wir uns, wie viele Verschiebungen von Q 0 auf die Vektoren aus AZ d gebraucht werden, um die Kugel B λ (0) zu und das Gesamtvolumen der Menge, in welcher wir die Gitterpunkte zählen, ist circa das Volumen des Schnittes von B λ (0) mit der Menge [0, ) d, also 2 d V d λ d/2. Dabei ist der Fehlerterm von der Größenordnung des Oberflächeninhalts des Randes letzterer Menge, also O(λ (d 1)/2 ). Der Quotient beider Volumina ist die rechte Seite von (0.18). Es gibt auch eine physikalische Erklärung fürs Resultat (0.18): Nach Fourier- Transformation entspricht der Multiplikation mit k 2 = k1 2 + k kd 2, wobei k =(k 1,k 2,...,k d ) den Impulsvektor darstellt. Dann ist B λ (0) die Menge aller Impulse, für welche k 2 <λgilt. Im Phasenraum ist dann die Menge aller möglichen Koordinaten und Impulse mit Energien unterhalb von λ durch Ω B λ (0) gegeben.

25 25 Nach dem semiklassischen Prinzip soll es etwa einen Zustand (d.h. Eigenvektor) pro Phasenvolumen von (2π) d geben. Also soll die Anzahl der Zustände mit Energien unter λ circa (2π) d Ω B λ (0) sein, was gerade dem ersten Term auf der rechten Seite von (0.18) entspricht. Diese physikalische Überlegung soll aber nicht nur für Quader, sondern auch für beliebige Gebiete Ω mit endlichem Volumen gelten! Genau das war die Vermutung von Physikern, die Hermann Weyl erfolgreich bewiesen hat: Theorem (Weyl). Sei Ω ein beschränktes Gebiet in R d. Die Anzahl der Eigenwerte des homogenen Dirichlet-Problems auf Ω in (,λ) (mit Vielfachheit gezählt) hat die Asymptotik (0.18) für große λ>0. Das Minimaxprinzip Um den Satz von Weyl zu beweisen, verwenden wir ein nützliches Werkzeug der Spektraltheorie: das Minimaxprinzip. Das besagt, dass man für jeden selbstadjungierten Operator T,für welchen man alle Eigenwerte als nichtfallende Folge λ 1 λ 2 λ 3... anordnen kann, sodass die entsprechenden Eigenfunktionen eine Orthonormalbasis bilden, die Eigenwerte folgenderweise bestimmen kann: λ j = sup M L 2 (Ω), dimm=j 1 inf ϕ Q(T ), ϕ =1, ϕ M q T [ϕ, ϕ]. (0.19) Was diese Formel bedeutet, erklären wir anhand unserer konkreten Anwendung. Dabei nehmen wir als T die Dirichlet- und Neumann-Laplace-Operatoren Ω D und Ω N, für welche die Voraussetzungen des Minimaxprinzips erfüllt sind. Nun: j ist eine natürliche Zahl, die Nummer des Eigenwerts λ j. Das Supremum wird über alle (j 1)-dimensionalen Unterräume M von L 2 (Ω) genommen. q T ist die sesquilineare Form (0.8). Das Infimum wird über alle Funktionen ϕ aus Q(T ) genommen, die Norm 1 haben und zu allen Funktionen aus M orthogonal sind und das bezüglich der Norm (0.7) und des Skalarprodukts (0.6). Und was ist Q(T )? Diese Menge heißt der determinierende Formbereich der sesquilinearen Form q T. Es stellt sich heraus, dass folgende Wahl möglich ist: Q( Ω D ) := C2 0(Ω), also die Menge aller Funktionen auf Ω, die zweimal stetig differenzierbar sind und in einer Umgebung des Randes Ω identisch null werden. Damit erfüllen sie auch die Dirichlet-Randbedingung. Interessanter ist, dass wir die Wahl Q( Ω N ) := C2 (Ω) machen können, also die Menge aller zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf Ω. Die Annahme über die Normalableitung brauchen wir nicht. In dem Sinne ist die Neumann-Randbedingung natürlich. Wir sehen, dass der einzige Unterschied zwischen den Minimaxwerten des Dirichletund des Neumann-Problems in der Tatsache liegt, dass die Menge Q( Ω D ) kleiner als Q( Ω N ) ist. Folglich, falls wir eine Funktion über Q( Ω D ) minimieren, dann ist das Ergebnis nicht kleiner als das Infimum der gleichen Funktion über Q( Ω N ). Insbesondere gilt: Lemma. Die Ungleichung (0.15) zwischen den Eigenwerten der Dirichlet- und Neumann-Probleme gilt in jeder offenen Menge Ω. Monotonie nach der Menge Was passiert, wenn wir Ω durch eine größere offene Menge Ω Ω ersetzen? Auch

26 26 dafür liefert das Minimaxprinzip eine Antwort. Wir können eben jede Funktion ϕ aus Q( Ω D ) auf Ω mit Null fortsetzen und dadurch eine Funktion ϕ aus Q( Ω D ) bekommen. Ferner gilt ϕ L 2 (Ω ) = ϕ L 2 (Ω) und q Ω [ ϕ, ϕ] = q D Ω D [ϕ, ϕ]. Damit wird das Infimum in (0.19) nicht größer, wenn wir Ω durch Ω ersetzen. Da die Anzahl der Orthogonalitätsbedingungendurch Einschränken von Ω auf Ω nur kleiner werden kann, bekommen wir λ D j (Ω ) λ D j (Ω), Ω Ω (0.20) für alle j N 1, woraus N D (Ω,λ) N D (Ω,λ) (0.21) für alle λ R folgt. Besteht Ω aus zwei disjunkten offenen Teilmengen Ω 1 und Ω 2, so erhalten wir eine Eigenfunktionenbasis für in L 2 (Ω) dadurch, dass wir die Eigenfunktionen in Ω 1 bzw. Ω 2 mit Null auf Ω fortsetzen. Die Eigenwerte sind dabei gleich den entsprechenden Eigenwerten in Ω 1 bzw. Ω 2. Es gilt dann auch N(Ω 1 Ω 2,λ)=N(Ω 1,λ)+N(Ω 2,λ). (0.22) Lass uns noch die Situation betrachten, wenn Ω aus zwei Komponenten besteht, die mit einer stückweise glatten Grenze voneinander getrennt sind: Ω = (Ω 1 Ω 2 G) o, (0.23) wobei Ω 1, Ω 2 zwei disjunkte Mengen mit stückweise glatten Rändern sind und G := Ω 1 Ω 2 das gemeinsame Randstück ist. Für jede Menge X bezeichne das Symbol X o das Innere von X, also X ohne Rand. Wir können nun die Eigenwerte der homogenen Randwertprobleme in Ω und Ω 1 Ω 2 vergleichen. Dabei unterscheiden sich die beiden Mengen im wesentlichen nur durch Entfernen des gemeinsamen Randstücks G, also wird Ω entlang G in zwei Komponenten Ω 1 und Ω 2 zerschnitten. Wir behaupten, dass die Ungleichungen λ D j (Ω) λ D j (Ω 1 Ω 2 ), (0.24) λ N j (Ω) λ N j (Ω 1 Ω 2 ) (0.25) für alle j N 1 gelten. Also gehen durch Zerschneiden der Menge die Dirichlet- Eigenwerte nach oben, aber die Neumann- Eigenwerte nach unten! Um die Ungleichungen (0.24) und (0.25) zu beweisen, verwenden wir wieder das Minimaxprinzip (0.19). Dabei sind die Werte der Form (0.8) identisch auf Ω und Ω 1 Ω 2, da G nach Voraussetzung eine Nullmenge ist und damit keine Rolle bei der Integration spielt. Das gleiche gilt für die Orthogonalitätsbedingungen bezüglich M. Esbleibt nur noch zu verstehen, in welchem Verhältnis die determinierenden Formbereiche zueinander stehen. Es gilt Q( Ω D) Q( Ω 1 Ω 2 D ), (0.26) da auf Ω 1 Ω 2 die Funktionen aus Q( Ω1 Ω2 D ) am extra Randstück G verschwinden müssen. Andererseits gilt Q( Ω N ) Q( Ω1 Ω2 N ), (0.27) da die Bedingung der stetigen Differenzierbarkeit auf G für die Funktionen aus Q( Ω 1 Ω 2 N ) im Vergleich zu denen aus Q( Ω N ) aufgegeben wird. Daher wird im Dirichlet-Fall das Infimum in (0.19) über einer kleineren, im Neumann-Fall aber über einer größeren Menge genommen, wenn wir Ω durch Ω 1 Ω 2 ersetzen. Die Ungleichungen (0.24) und (0.25) folgen daraus direkt. Die Ergebnisse dieses Abschnitts lassen sich auch sofort auf Teilungen von Ω in mehrere (endlich viele) Stücke verallgemeinern.

27 27 Dirichlet-Neumann-Bracketing Wir haben nun alle Zutaten parat, um den Satz von Weyl zu beweisen. Wir werden aber extra annehmen, dass Ω einen stückweise glatten Rand hat. Das Verfahren heißt Dirichlet-Neumann-Bracketing. Zuerst beweisen wir die Ungleichung N D (Ω,λ) (2π) d Ω V d λ d/2 + O(λ (d 1)/2 ). (0.28) Unter den Annahmen, die wir gemacht haben, können wir Ω mit endlich vielen disjunkten offenen Quadern (Q n ) N n=1 von innen so approximieren, dass und Ω N Q n (0.29) n=1 N Q n Ω ε (0.30) n=1 gelten. Laut (0.21), (0.24) und (0.22) gilt N D (Ω,λ) N D ( N = n=1 ) Q n,λ N N D (Q n,λ). n=1 (0.31) Jeder Term auf der rechten Seite ist aber nun durch (0.18) mit Q n anstelle von Ω gegeben, was uns zusammen mit (0.30) N D (Ω,λ) (2π) d( Ω ε ) V d λ d/2 + O(λ (d 1)/2 ) (0.32) liefert. Dabei ist ε>0 beliebig, und wir können (0.28) folgern. Andererseits können wir Ω für jedes ε> 0 mit abgeschlossenen Quadern ( Q n ) N n=1 überdecken, sodass die ( Q o n) N n=1 disjunkt sind, ( N ) o Ω Ω := Q n (0.33) und n=1 N Q n Ω + ε (0.34) n=1 gilt. Dann gilt nach (0.21), Lemma, (0.25) und (0.22) N D (Ω,λ) N D (Ω,λ) N N (Ω,λ) ( N ) N N Q o n,λ = n=1 N N N ( Q o n,λ). n=1 (0.35) Wieder können wir die rechte Seite mithilfe von (0.18) und (0.34) abschätzen und wegen der Beliebigkeit von ε>0 auf N D (Ω,λ) (2π) d Ω V d λ d/2 + O(λ (d 1)/2 ) (0.36) kommen. Die Ungleichungen (0.36) und (0.28) zusammen liefern die Aussage des Satzes. Literatur [We] H. Weyl, Ueber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch- Physikalische Klasse (1911) [CH] R. Courant und D. Hilbert, Methoden der mathematischen Physik: mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Vol. I., VI.4, Springer, Berlin (1924).

28 Deutsche Bank db.com/careers Das Deutsche Bank Praktikum Die Deutsche Bank ist Deutschlands führende Bank. Sie hat in Europa eine starke Marktposition und ist in Amerika und der Region Asien-Pazifik maßgeblich vertreten. Unsere starke Kundenbasis ist Antrieb für weiteres Wachstum. Wir investieren in großem Umfang in digitale Technologien, stellen langfristigen Erfolg über kurz fristige Gewinne und erfüllen unseren gesellschaftlichen Auftrag mit hohem Anspruch und Integrität. Sie erwartet eine Karriere voller Entwicklungsmöglichkeiten und die Chance, die Zukunft unserer Kunden mitzugestalten. Praktikum in der Corporate & Investment Bank Global Markets In Frankfurt am Main Für Studierende ab dem 3. Semester, Dauer: zwei bis sechs Monate, ganzjährig möglich Über Ihr Praktikum Als Praktikant /-in sind Sie Teil unseres Teams. An herausfordernden Aufgaben lernen Sie sowohl die Finanzbranche als auch unser globales Arbeitsumfeld kennen. Sie sammeln wichtige Praxiserfahrung, die Ihnen berufliche Orientierung bietet. Bei unseren Events für Praktikanten können Sie bereichsübergreifend Kontakte aufbauen und ein nützliches Netzwerk knüpfen. Ein Praktikum ist ab dem dritten Semester möglich und dauert zwei bis sechs Monate. Den genauen Zeitraum stimmen wir individuell mit Ihnen ab. Ein erfolgreiches Praktikum ist beste Voraussetzung für ein späteres Summer Internship- oder Traineeprogramm in unserem Haus. Über Global Markets Unser Kapitalmarktgeschäft (Global Markets) entwickelt und strukturiert individuelle Lösungen für institutionelle Kunden, darunter Vermögensverwalter, Banken, Versicherer, Unternehmen und Pensionskassen. Wir helfen ihnen dabei, Risiken abzusichern und Renditen zu erzielen zum Beispiel über liquide Anlagen wie Zinsen, Devisen, Anleihen und Aktien, aber auch über illiquide wie Finanzierungen von Schiffen, Flugzeugen, Immobilien und Infrastrukturprojekten. Wir bieten unseren Kunden die weltweite Kapitalmarktexpertise einer großen Universalbank und einen guten Zugang zum deutschen Markt wie auch zu internationalen Märkten. Ihre Aufgaben In strategischen Projekten und im Tagesgeschäft leisten Sie einen aktiven Beitrag zum Teamerfolg. Wir entwickeln und strukturieren maßgeschneiderte Lösungen zur Risikoabsicherung oder Renditeerzielung für institutionelle Kunden und nutzen dabei verschiedenste Anlageklassen. Sie wirken an strategischen Transaktionen mit und gewinnen einen Überblick über die Strukturierung und den Handel mit Kapitalmarktprodukten sowie über die Produktpalette der Deutschen Bank. Im dynamischen Arbeitsumfeld des Handelssaals tragen Sie dazu bei, unsere Kunden bei der Verwirklichung ihrer finanziellen Ziele zu unterstützen. Sie erhalten vielfältige Unterstützung und profitieren von der Expertise eines erfahrenen Teams. Mögliche Tätigkeitsfelder Sales (Beratung institutioneller Kunden, Entwicklung von Lösungen und Vermarktung von Finanzinstrumenten) Structuring (Pricing und Analyse von Finanzinstrumenten) Trading (Exekution von Trades, Hedging, Risiko management) Debt Capital Markets (Beratung zu Kapitalmarktfinanzierungen und Emission von Fremdkapitalmarktinstrumenten) Ihre Qualifikationen Wir suchen Talente mit wachem Verstand und sehr guten akademischen Leistungen, die bereits über praktische Erfahrungen verfügen, um einen positiven Beitrag für unsere Kunden leisten zu können. Sie absolvieren ein wirtschafts-, naturwissenschaftliches oder wirtschaftsmathematisches Studium, gerne auch mit IT-Schwerpunkt? Sie interessieren sich für finanzwirtschaftliche Fragestellungen und Zusammenhänge? Sie haben bereits erste praktische Erfahrungen gesammelt und verfügen über erste Auslandserfahrungen? Sie sind routiniert im Umgang mit MS Office? Ihre kommunikativen Fähigkeiten sind ausgeprägt, Ihre Deutsch- und Englischkenntnisse fließend? Sie arbeiten gerne im Team und können andere für Ihre Ideen begeistern? Sie sind eine verantwortungsbewusste, engagierte Persönlichkeit mit rascher Auffassungsgabe und Blick fürs Detail? Online bewerben unter: db.com/careers Ihr Kontakt: Annemarie Schrobitz, Telefon: +49 (0) Die Deutsche Bank beschäftigt Talente aus mehr als 150 Nationen in über 65 Ländern. Miteinander. Vielfältig. Stark.