KAPITEL 4. Polynomringe

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1 KAPITEL 4 Polynomringe Das vorangegangene Kapitel hat den Ringbegriff eingeführt und mehrere Konstruktionen vorgestellt, wie man neue Ringe aus alten gewinnen kann. In diesem Kapitel betrachten wir einen wichtigen Spezialfall dieser Konstruktionen: den Polynomring K[X] über einem kommutativen Ring K, der für das Folgende eine wesentliche Rolle spielen wird. Konvention. In diesem Kapitel betrachten wir ausschließlich kommutative Ringe soweit nichts Gegenteiliges angegeben wird. 4A. Definition und universelle Eigenschaft Den Polynomring K[X] über einem kommutativen Ring K haben wir bereits am Ende des letzten Kapitels kennengelernt, als Beispiel eines Monoidrings KM, wobei das multiplikativ geschriebene Monoid (M, ) mit M = { X n n N } isomorph zu (N,+) ist. In diesem Spezialfall können wir die Definition des Monoidrings KM wie folgt umformulieren: Definition 4A1. Sei K ein kommutativer Ring. Ein kommutativer Ring R heißt Polynomring in der Variablen X über K, wenn folgendes gilt: Der Ring R enthält K als Unterring und X als Element. Jedes Element P R mit P 0 schreibt sich eindeutig als P = a 0 + a 1 X + + a n X n wobei n N, a 0,a 1,...,a n K, a n 0. In diesem Fall nennen wir P ein Polynom in X über K und definieren seinen Grad degp := n und Leitkoeffizient lcp := a n. Für das Nullpolynom 0 setzen wir deg0 := und lc0 := 0. Für den Nullring K = {0} besteht K[X] nur aus dem Nullpolynom. Erfüllt K hingegen 1 0, so gilt dies wegen K K[X] auch für den Polynomring K[X] über K. Bemerkung 4A2. Jedes Polynom können wir ebenso schreiben als Summe der Form P = a k X k mit der Vereinbarung, dass nur endlich viele Koeffizienten von 0 verschieden sind. Das hat den Vorteil, den Grad nicht explizit angeben zu müssen. In dieser Schreibweise gilt dann degp = sup{ k N a k 0 } 79

2 u y w w u y 80 Kapitel 4. Polynomringe mit der üblichen Konvention sup /0 =. Aus der Definition folgt, dass jedes Polynom seine Koeffizienten eindeutig bestimmt: a k X k = b k X k a k = b k für alle k N. Zudem legt die obige Definition des Polynomrings fest, wie Summe und Produkt zu berechnen sind. Aus Axiomen eines kommutativen Rings folgt nämlich ( a k X k ) + ( b k X k ) ( ) ( ) i X i=0a i j X j=0b j 4Aa. Universelle Eigenschaft. = = (a k + b k )X k, ( a i b j )X k. i+ j=k Satz 4A3. Für jeden kommutativen Ring K existiert ein Polynomring, nämlich der Monoidring KM über dem freien Monoid M = {X} = { X n n N }. Dieser Ring ist durch die Definition 4A1 bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt. Dies rechtfertigt, von dem Polynomring in X über K zu sprechen; wir bezeichnen diesen Ring mit K[X]. Seine universelle Eigenschaft formulieren wir zur Betonung erneut aus: Satz 4A4. Sei ϕ : K R ein Homomorphismus zwischen kommutativen Ringen K und R. Zu jedem Element x R existiert genau einen Ringhomomorphismus ϕ : K[X] R mit ϕ K = ϕ und ϕ(x) = x. Dieser ist gegeben durch ϕ(a 0 + a 1 X + + a n X n ) = ϕ(a 0 ) + ϕ(a 1 )x + + ϕ(a n )x n. Diese Situation wird durch das folgende kommutative Diagramm dargestellt: K[X],X! ϕ R,x inc. K ϕ inc. R BEWEIS. Eindeutigkeit und Existenz rechnet man direkt nach. Abstrakt betrachtet steht alles Notwendige schon bereit: Der Satz folgt unmittelbar aus der universellen Eigenschaft des freien Monoids M = { X n n N } (2C19) kombiniert mit der universellen Eigenschaft des Monoidrings K[X] = KM von M über K (3G5). Notation. Im Falle K = R und ϕ = id K, oder allgemeiner, wenn K R ein Teilring und ϕ : K R die Inklusion ist, schreiben wir kurz P(x) für ϕ(p). Man ersetzt also die Variable X K[X] durch den Wert x R: Aus dem Polynom P = a 0 + a 1 X + + a n X n in K[X] erhält man so das Element a 0 + a 1 x + + a n x n in R. Dass das Ergebnis wohldefiniert ist, verdanken wir der Definition 4A1 des Polynomrings K[X]. Die so definierte Abbildung K[X] R mit P P(x) nennt man auch Einsetzungshomomorphismus. Michael Eisermann

3 4B. Gradfunktion und euklidische Division 81 4Ab. Einfache Erweiterungen. Die folgende Beobachtung wird uns in der Galois- Theorie gute Dienste leisten: Definition 4A5. Ist K ein kommutativer Ring und E K ein kommutativer Oberring, dann nennen wir E eine Erweiterung von K. Wird E von einem Element x E über K erzeugt, gilt also E = K[x], dann nennt man E eine einfache Erweiterung von K. Zum Beispiel ist der Polynomring K[X] in der Variablen X über K eine einfache Erweiterung. Dies ist die universelle einfache Erweiterung: Zu jeder einfachen Erweiterung E = K[x] gibt genau einen Ringhomomorphismus f : K[X] E mit X x. Dieser Ringhomomorphismus ist surjektiv, daher gilt K[X]/ker( f ) = E nach Satz 3D19. 4Ac. Polynome versus polynomielle Abbildungen. Wir erinnern daran, dass für jeden Ring K die Menge K X aller Abbildungen X K ein Ring ist bezüglich punktweiser Addition und Multiplikation. Daraus ersehen wir folgenden Zusammenhang: Korollar 4A6. Jedes Polynom P K[X] definiert eine Abbildung f P : K K durch f P (x) = P(x) für alle x K. Für jedes a K ist f a = a die konstante Abbildung mit Wert a, und f X = id K ist die Identität. Zudem gilt f P+Q = f P + f Q und f P Q = f P f Q. Dies definiert einen Ringhomomorphismus K[X] K K, P f P, mit X id K. Bemerkung 4A7. Der Fall der reellen Zahlen K = R lässt die Angewohnheit entstehen, jedes Polynom P R[X] mit seiner polynomiellen Abbildung f P : R R zu identifizieren. Das ist allerdings nur zulässig, solange die Zuordnung P f P injektiv ist. Für unendliche Körper wie R werden dies später beweisen. Für endliche Körper gilt dies jedoch nicht: Beispiel 4A8. Wir betrachten den Körper Z/ p mit p Elementen, wobei p 2 eine Primzahl ist. Im Polynomring Z/ p [X] betrachten wir das Polynom P = X p X. Es gilt P 0 aber dennoch f P = f 0 nach dem kleinen Satz von Fermat (3D28). Alternativ kann man dies für kleine Werte p = 2,3,5,... auch direkt nachrechnen. 4B. Gradfunktion und euklidische Division 4Ba. Eigenschaften des Grades. Es sei weiterhin K ein kommutativer Ring. Proposition 4B1. Der Grad deg: K[X] N { } erfreut sich folgender Eigenschaften: (a) Für alle P,Q K[X] gilt deg(p + Q) sup{degp,degq}. Gleichheit gilt genau dann, wenn deg P deg Q oder lc P + lc Q 0. (b) Für alle P,Q K[X] gilt deg(pq) degp + degq. Gleichheit gilt genau dann, wenn P = 0 oder Q = 0 oder lcp lcq 0. In diesem Fall gilt für die Leitkoeffizienten lc(pq) = lcp lcq. BEWEIS. Dies folgt aus den Formeln für Summe und Produkt in Bemerkung 4A2. Beispiel 4B2. Wider Erwarten gilt nicht immer deg(pq) = degp + degq. In Z/ 6 [X] zum Beispiel sind P = 1 + 2X und Q = 1 + 3X vom Grad 1 aber ihr Produkt PQ = ( 1 + 2X) ( 1 + 3X) = 1 + 5X + 6X 2 = 1 + 5X Rohfassung compiliert am 22. Juli 2010

4 82 Kapitel 4. Polynomringe ist nur vom Grad 1 und nicht 2. Dies liegt offenbar an der Anwesenheit von Nullteilern: Korollar 4B3. Für jeden kommutativen Ring K sind äquivalent 1. Der Ring K ist nullteilerfrei. 2. Es gilt deg(pq) = degp + degq für alle P,Q K[X]. 3. Der Polynomring K[X] ist nullteilerfrei. BEWEIS. (1) (2) folgt aus den obigen Eigenschaften des Grades (4B1). (2) (3) ebenso: Wenn P 0, Q 0, dann gilt degp 0 und degq 0, also deg(pq) = degp + degq 0, und somit PQ 0. (3) (1) ist klar, denn jeder Unterring eines Integritätsrings ist selbst ein Integritätsring. Beispiel 4B4. Wider Erwarten können auch Polynome vom Grad 1 invertierbar sein. In Z/ 4 [X] zum Beispiel ist P = 1 + 2X invertierbar, denn P P = ( 1 + 2X) ( 1 + 2X) = 1 + 4X + 4X 2 = 1. Über einem Integritätsring kann dies nicht passieren: Korollar 4B5. Für jeden Integritätsring K gilt K[X] = K. BEWEIS. Offenbar gilt stets K K[X]. Es bleibt K[X] K zu zeigen: Gilt PQ = 1 mit P,Q K[X], dann folgt 0 = deg1 = deg(pq) = degp + degq, also degp = degq = 0, da K nach Voraussetzung ein Integritätsring ist. Das bedeutet P,Q K, also P,Q K. 4Bb. Division mit Rest. Es sei weiterhin K ein kommutativer Ring. Die folgende Definition präzisiert, was wir unter der Division mit Rest von Polynomen verstehen, auch euklidische Division genannt. Hierzu zunächst der grundlegende Satz: Satz 4B6. Sei P K[X] ein Polynom mit invertierbarem Leitkoeffizienten lcp K. Dann existiert zu jedem Polynom S K[X] genau ein Paar Q,R K[X], für das gilt S = PQ + R und degr < degp. Definition 4B7. In diesem Fall nennt man S quo P := Q den Quotienten und S rem P := R den Rest der euklidischen Division von S durch P (auf Englisch quotient und remainder). BEWEIS. Eindeutigkeit: Gilt S = PQ + R = PQ + R und degr,degr < degp, dann folgt P(Q Q ) = R R. Wegen lcp R gilt degp + deg(q Q ) = deg[p(q Q )] = deg(r R ) < degp. Dies ist nur für deg(q Q ) < 0 möglich, also Q Q = 0. Daraus folgt Q = Q und R = R. Existenz: Wenn degs < degp, dann genügen Q = 0 und R = S. Für degs degp führen wir Induktion über degs. Wir nehmen an, die Aussage gelte für alle S K[X] mit deg S < degs. Wir setzen M = lc(p) 1 lc(s) X degs degp K[X] und S = S PM. Aus 4B1 folgt deg(pm) = degs und lc(pm) = lcs, also deg S < degs. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es Q,R R[X] mit S = P Q+R und degr < degp. Daher gilt S = S +PM = PQ+R für Q = Q + M. Die euklidische Division von Polynomen lässt sich algorithmisch sehr einfach und effizient ausführen. Wir wollen dies zur Ergänzung explizit ausformulieren. In iterativer Form Michael Eisermann

5 4B. Gradfunktion und euklidische Division 83 führt dies zum untenstehenden Algorithmus 2. Er formalisiert das aus der Schule bekannte Divisionsverfahren. Algorithmus 2 Division mit Rest von zwei Polynomen Eingabe: zwei Polynome S,P K[X] wobei lcp K. Ausgabe: zwei Polynome Q,R K[X] sodass S = PQ + R und degr < degp. Q 0; R S // Invariante: S = PQ + R while degr degp do M lc(p) 1 lc(r) X degr degp Q Q + M; R R PM // Invariante: S = PQ + R end while return (Q,R) // S = PQ + R und degr < degp Proposition 4B8. Algorithmus 2 ist korrekt. BEWEIS. Der Algorithmus terminiert: Das Monom M ist so gewählt, dass R und PM denselben Grad und denselben Leitkoeffizienten haben. Also gilt deg(r PM) < deg R. Der Algorithmus endet demnach nach höchstens 1 + degs degp Iterationen. Das Ergebnis erfüllt die geforderten Bedingungen: Die Initialisierung Q 0, R S garantiert, dass S = PQ+R. Jede Iteration Q Q+M, R R PM erhält diese Gleichung. Zum Schluss gilt also S = PQ + R mit degr < degp, wie gewünscht. Man beachte, dass dieser Algorithmus und sein Korrektheitsbeweis erneut die Existenz von Q,R K[X] mit S = PQ+R und degr < degp zeigen; man könnte also obigen Induktionsbeweis durch die iterative Konstruktion ersetzen. Beide sind logisch äquivalent; die erste Form ist in der Mathematik geläufiger, die zweite Form in der Informatik. 4Bc. Anwendung auf Quotientenringe. Für n N sei K[X] <n = { P K[X] degp < n } die Menge der Polynome mit Grad < n. Jedes Polynom P K[X] <n schreibt sich demnach eindeutig als P = a a n 1 X n 1 mit a 0,...,a n 1 K. Offenbar gilt K[X] <0 = {0}. Ebenso definieren wir K[X] n = { P K[X] degp n } = K[X] <n+1. Man beachte, dass K[X] n eine Untergruppe von (K[X],+) ist. Hingegen ist K[X] n für n 1 kein Unterring von (K[X],+, ), denn K[X] n ist nicht abgeschlossen unter Multiplikation. Korollar 4B9. Sei P K[X] ein Polynom vom Grad n N mit invertierbarem Leitkoeffizient, lcp K. Dann ist die Abbildung K[X] <n K[X]/(P) mit A cl(a) eine Bijektion, und sogar ein Gruppenisomorphismus bezüglich der Addition. Dieser wird zu einem Ringisomorphismus wenn wir auf K[X] <n die Multiplikation A P B := (A B) rem P definieren. Anders gesagt, das Rechnen mit Restklassen cl(a) K[X]/(P) entspricht dem Rechnen mit Elementen A K[X], wobei man stets nur den Rest der Division mit P behält. Rohfassung compiliert am 22. Juli 2010

6 84 Kapitel 4. Polynomringe BEWEIS. In jeder Äquivalenzklasse cl(s) K[X]/(P) existiert genau ein Repräsentant R cl(s) mit degr < degp, nämlich R = S rem P (der Rest der Division durch P). Übung 4B10. Sei F 4 := Z/ 2 [X]/(X 2 + X + 1). 1. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von F 4 und zählen sie diese auf. 2. Erstellen Sie die Additions- und Multiplikationstafeln von F Ist der Quotientenring F 4 ein Körper? Übung 4B11. Sei P Z/ m [X] ein Polynom mit degp = d und lcp = Man bestimme die Anzahl der Elemente von Z/ m [X]/(P). 2. Wenn Z/ m [X]/(P) ein Körper ist, dann ist m eine Primzahl und das Polynom P ist irreduzibel, das heißt P = QR ist nur mit entweder Q Z/ m oder R Z/ m möglich. (Wir werden später sehen, dass diese Bedingungen auch hinreichend sind.) Warnung. Für die besonders einfache Form des Quotienten K[X]/(P) ist die Invertierbarkeit des Leitkoeffizienten, lcp K, wesentlich. Andernfalls kann der Quotient sehr viel unübersichtlicher ausfallen. Hier eines der einfachsten Beispiele: Beispiel 4B12. Im Polynomring Z[X] betrachten wir P = kx n mit k,n N 1. Jede Restklasse im Quotientenring Z[X]/(kX n ) hat genau einen Repräsentanten der Form a 0 + a 1 X + + a n 1 X n 1 + a n X n + a n+1 X n wobei a 0,...,a n 1 Z sowie a n,a n+1, {0,1,...,k 1}. Die Addition in den ersten n Koeffizienten ist die in Z, die Addition in allen weiteren Koeffizienten entspricht der in Z/ k. Ähnliches gilt für die Multiplikation solcher Restklassen, die wir hier nicht ausschreiben. 4C. Faktorisierung von Nullstellen 4Ca. Nullstellen eines Polynoms. Sei K ein kommutativer Ring und P K[X] ein Polynom über K. Wir sagen a K ist eine Nullstelle des Polynoms P, oder eine Wurzel der Gleichung P(X) = 0, wenn P(a) = 0 gilt. Proposition 4C1. Ein Element a K ist genau dann Nullstelle von P K[X] wenn P = (X a)q für ein Q K[X] gilt. In diesem Fall ist Q eindeutig bestimmt. BEWEIS. Es gibt genau ein Paar Q,R K[X] so dass P = (X a)q + R und degr < deg(x a) = 1, also R K. Demnach verschwindet P(a) = R genau dann, wenn R = 0. Dies ist gleichbedeutend mit P = (X a)q. Korollar 4C2. Für jedes Polynom P K[X] und a K gibt es genau eine natürliche Zahl m N und genau ein Polynom Q K[X] so dass P = (X a) m Q mit Q(a) 0 gilt. Definition 4C3. Im Falle m 1 nennen wir a eine Nullstelle der Vielfachheit m. Wir nennen a eine einfache Nullstelle wenn m = 1. Wir nennen a eine mehrfache Nullstelle wenn m 2. Korollar 4C4. Jedes Polynom P K[X] schreibt sich als Produkt (4.1) P = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k Q Michael Eisermann

7 4C. Faktorisierung von Nullstellen 85 mit paarweise verschiedenen Nullstellen a 1,...,a k K und Vielfachheiten m 1,...,m k 1 sodass das verbleibende Polynom Q K[X] keine Nullstellen in K hat. BEWEIS. Wir führen Induktion über den Grad von P. Wenn degp = 0, dann hat P keine Nullstellen und P = Q genügt. Wenn degp 1, dann unterscheiden wir zwei Fälle. Wenn P keine Nullstellen hat, dass genügt P = Q; wenn P mindestens eine Nullstelle hat, dann gilt P = (X a 1 ) m 1P mit m 1 1 und P K[X] erfüllt P (a 1 ) 0 und 0 degp < degp. Nach Induktionsannahme wissen wir, dass P = (X a 2 ) m 2 (X a k ) m kq wobei a 1,a 2,...,a k K paarweise verschiedenen Nullstellen sind mit m 1,m 2,...,m k 1, und Q K[X] hat keine Nullstellen in K. Daraus folgt P = (X a 1 ) m 1 (X a k ) m kq wie behauptet. 4Cb. Anzahl der Nullstellen. Wir wollen nun den ebenso einfachen wie wichtigen Zusammenhang herstellen zwischen dem Grad eines Polynoms P K[X] und der möglichen Anzahl seiner Nullstellen in K. Ist eine Zerlegung wie in (4.1) gegeben, so hat P mindestens die Nullstellen a 1,...,a k, und deren Anzahl (mit Vielfachheiten) ist m m k n. Im allgemeinen ist die Zerlegung (4.1) jedoch nicht eindeutig und bedeutet auch nicht, das P nur die angegebenen Nullstellen hat: Beispiel 4C5. Über Z/ 8 erlaubt das Polynom P = X 2 1 vier verschiedene Nullstellen, nämlich ± 1 et ± 3. Tatsächlich finden wir P = (X 1)(X + 1) = (X 3)(X + 3). Das Problem liegt offenbar in der Anwesenheit von Nullteilern: Satz 4C6. Ist K ein Integritätsring, so ist für jedes Polynom P K[X] die Zerlegung (4.1) eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren. Insbesondere kann ein Polynom P K[X] vom Grad n höchstens n Nullstellen haben (mit Vielfachheiten gezählt). BEWEIS. Wir vergleichen zwei solche Zerlegungen P = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k Q = (X b 1 ) n1 (X b l ) n l R. Wir wollen zeigen, dass k = l gilt und nach Umordnung sowohl a 1 = b 1,...,a k = b k als auch m 1 = n 1,...,m k = n k. Wir führen dazu Induktion über k. Wenn k = 0, dann hat P = Q keine Nullstellen in K und daher gilt auch l = 0 und P = R. Wenn k 1, dann folgt aus P(a k ) = 0 und der Nullteilerfreiheit von K, dass einer der Faktoren (a k b 1 ),...,(a k bl) gleich 0 sein muss. Nach Umordnung können wir a k = b l annehmen. Mit 4C2 folgt m k = n l und (X a 1 ) m 1 (X a k 1 ) m k 1Q = (X b 1 ) n 1 (X b l 1 ) n l 1R. Nach Induktionsannahme folgt dann k 1 = l 1 und a 1 = b 1,...,a k 1 = b k 1 und m 1 = n 1,...,m k 1 = n k 1. Ist a K eine Nullstelle, also P(a) = 0, dann muss a {a 1,...,a k } gelten. Die Gesamtzahl der Nullstellen, mit Vielfachheiten gezählt, ist demnach m m k n. Dass neben der Nullteilerfreiheit auch die Kommutativität des Grundrings K eine entscheidende Rolle spielt, zeigt das folgende drastische Beispiel: Beispiel 4C7. Im Matrizenring C 2 2 hat das Polynom X unendlich viele Nullstellen: für jedes Tripel (x,y,z) R 3 mit x 2 + y 2 + z 2 = 1 erfüllt die Matrix M = ( ix y+iz) y+iz ix die Gleichung M 2 = 1. Dies gilt ebenso im Divisionsring der Quaternionen (3A12). Rohfassung compiliert am 22. Juli 2010

8 86 Kapitel 4. Polynomringe 4Cc. Mehrfache Nullstellen und Ableitung. Wir kennen von reellen Polynomen P R[X] das folgende nützliche Kriterium: a R ist genau dann eine einfache Nullstelle von P wenn P(a) = 0 aber P (a) 0 gilt. Diese schöne Charakterisierung wollen wir auch über einem beliebigen Körper nutzen. Definition 4C8. Sei K ein kommutativer Ring und K[X] der Polynomring in X über K. Die Ableitung = X : K[X] K[X], geschrieben P P = P, ist definiert durch ( n a k X k) := n ka k X k 1. Proposition 4C9. Die Ableitung : K[X] K[X] ist K-linear, das heißt (P + Q) = P + Q und (ap) = a( P) für alle a K, und erfüllt die Leibniz-Regel (PQ) = ( P) Q + P ( Q). BEWEIS. Die K-Linearität folgt offensichtlich aus der Definition. Die Leibniz-Regel prüft man für P = X m und Q = X n leicht nach: (PQ) = X m+n = (m + n)x m+n 1 = mx m 1 X n + X m nx n 1 = ( P) Q + P ( Q). Diese Formel ist K-linear in P und in Q, also setzt sie sich auf alle Polynome fort. Proposition 4C10. Ein Element a K ist genau dann mehrfache Nullstelle von P K[X] wenn a eine gemeinsame Nullstelle von P und seiner Ableitung P ist. BEWEIS. Sei P = (X a) m Q mit m 0 und Q(a) 0. Nach Leibniz gilt P = m(x a) m 1 Q + (X a) m ( Q). Wenn a eine mehrfache Nullstelle ist, also m 2, dann gilt P(a) = 0 und P (a) = 0. Umgekehrt folgt aus P(a) = 0, dass m 1 gilt. Für m = 1 hätten wir P (a) = Q(a) 0. Aus P(a) = P (a) = 0 folgt somit m 2. Beispiel 4C11. Sei p 2 eine Primzahl. Hat P = X p X mehrfache Nullstellen in Z/ p? Erste Lösung: Wir haben P = px p 1 1 = 1 wegen p = 0 in Z/ p. Also gibt es keine gemeinsamen Nullstellen von P et P, und damit auch keine mehrfachen Nullstellen von P. Zweite Lösung: Wir kennen bereits alle Nullstellen von P. Jedes Element a Z/ p erfüllt a p = a nach dem kleinen Satz von Fermat (3D28). Damit haben wir p verschiedene Nullstellen gefunden, und somit X P X = a Z/p (X a). Beispiel 4C12. Für welche n hat P = X n 1 mehrfache Nullstellen in Z/ p? Wir haben P = nx n 1. Wenn p n, dann ist nur 0 Nullstelle von P, also existiert keine gemeinsame Nullstelle von P und P. Gilt hingegen n = mp, dann tritt jede Nullstelle von P mehrfach auf: Nach Frobenius haben wir nämlich X n 1 = (X m 1) p. Michael Eisermann

9 4D. Übungen und Ergänzungen 87 Bemerkung 4C13. Wir werden im nächsten Kapitel sehen, wie man im Polynomring K[X] über einem Körper K den größten gemeinsamen Teiler von P und P mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnen kann. Dies liefert ein praktisches Verfahren, um gemeinsame Nullstellen herauszufiltern. 4Cd. Interpolation. Satz 4C14. Sei K ein Körper. Zu je n + 1 verschiedenen Stellen x 0,x 1,...,x n K und beliebigen Werten y 0,y 1,...,y n K existiert genau ein Polynom P K[X] vom Grad n, das P(x 0 ) = y 0,P(x 1 ) = y 1,...,P(x n ) = y n erfüllt. BEWEIS. Eindeutigkeit: Sind P 1 und P 2 zwei solche Polynome, dann ist P 1 P 2 vom Grad n hat aber mindestens die n + 1 Nullstellen x 0,x 1,...,x n. Das ist nach Satz 4C6 nur für das Nullpolynom möglich. Also gilt P 1 = P 2. Existenz: Nach Voraussetzung gilt x k x j 0 für alle j k. Da wir über einem Körper arbeiten, sind diese Elemente invertierbar. Das Polynom X x j P k = K[X] j k x k x j hat Grad n und erfüllt P k (x k ) = 1 und P k (x j ) = 0 für alle j k. Daher ist P = n y k P k ein Polynom vom Grad n und erfüllt P(x k ) = y k für alle k = 0,1,...,n. Korollar 4C15. Der Ringhomomorphismus K[X] K n+1, P (P(x 0 ),P(x 1 ),...,P(x n )) ist surjektiv und hat als Kern das von P 0 = (X x 0 )(X x 1 ) (X x n ) erzeugte Ideal (P 0 ). BEWEIS. Surjektivität folgt mittels Interpolation aus Satz 4C14. Jedes Polynom P im Kern ist von der Form P = P 0 Q mit Q K[X] gemäß Satz 4C6. Dies kann man auch als Anwendung des chinesischen Restsatzes auffassen: Der Ringhomomorphismus K[X] K mit P P(x k ) ist surjektiv und hat als Kern (X x k ). Die zusammengesetzte Abbildung K[X] K n+1, P (P(x 0 ),P(x 1 ),...,P(x n )) hat demnach als Kern (X x 0 ) (X x 1 ) (X x n ). Da diese Ideale paarweise teilerfremd sind, ist ihr Durchschnitt gleich dem Produktideal ( (X x 0 )(X x 1 ) (X x n ) ). 4D. Übungen und Ergänzungen Übung 4D1. Man bestimme die Gruppe Z/ 4 [X] der invertierbaren Elemente in Z/ 4 [X]. Übung 4D2. P Z[X] hat keine Nullstellen in Z wenn P(0) und P(1) ungerade sind. Übung 4D3. Im Polynomring K[X] über einem Körper K sind Ideale der Form (X a) und (X b) mit a, b K genau dann teilerfremd, wenn a b. Übung 4D4. Sei K[X] der Polynomring über einem Körper K. Wie in 4Ac ist für jedes Polynom P = n a kx k die zugehörige polynomielle Abbildung f P : K K definiert durch x P(x) = n a kx k. Dies stiftet einen Ringhomomorphismus f : K[X] K K. Rohfassung compiliert am 22. Juli 2010

10 88 Kapitel 4. Polynomringe 1. Wenn K unendlich viele Elemente hat, dann ist f injektiv, aber nicht surjektiv. 2. Wenn K nur endlich viele Elemente hat, dann ist f surjektiv, aber nicht injektiv. Übung 4D5. Sei p 2. In Z[X] zeige man, dass die Division von M = X pm X durch N = X pn X den Rest R = X pr X lässt, wobei r = m rem n. (Hinweis: modulo X pn X nutze man die Kongruenz X pn X.) Also gilt X pn X X pm X genau dann, wenn n m. 4Da. Charakterisierung des Polynomrings über einem Körper. Übung 4D6. Ist R = K[X] der Polynomring über einem Körper K, dann definiert der Grad eine surjektive Abbildung ν : R N { }, die folgende Eigenschaften erfüllt: (a) Für alle a,b R mit b 0 existieren c,d R so dass a = bc + d mit ν(d) < ν(b). (b) Für alle a,b R gilt ν(ab) = ν(a) + ν(b) und ν(a + b) sup{ν(a),ν(b)} mit Gleichheit wenn ν(a) ν(b). Übung 4D7. Sei R ein kommutativer Ring mit einer surjektiven Abbildung ν : R N { }, die obige Eigenschaften (a) und (b) erfüllt. 1. Man zeige ν(a) = a = 0 und ν(a) = 0 a R. 2. Man zeige, dass K = { a R ν(a) 0 } ein Unterkörper von R ist. 3. Für X R mit ν(x) = 1 ist R = K[X] der Polynomring in X über K und ν = deg. Michael Eisermann