Die Lie-Algebra einer Untergruppe von Matrizen

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1 Die Lie-Algebra einer Untergruppe von Matrizen Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik Lehrstuhl VII: Dierentialgeometrie Seminar Geometrie für Lehramt (SS 2) Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer Corinna Ilse 29.Juni 2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 2 Die Lie-Algebra einer Untergruppe von Matrizen 2 2. Lemma und Denition (Die Lieklammer auf dem T E G) Denition (Lie-Algebra) Folgerung und Denition (Lie-Algebra einer Matrizenuntergruppe) Bemerkung Beispiele Notation zur Lie-Algebra Bemerkung Fazit 6 4 Quelle 7

2 Einleitung Aus den letzten beiden Vorträgen wissen wir, dass der Tangentialraum am Einselement ein reeller Vektorraum ist.wir werden diesen im folgenden Abschnitt mit einer zusätzlichen Verknüpfung erweitern und ihm einen Namen geben. Zum Schluss betrachten wir noch die Abgeschlossenheit der Bildmenge von exp(g) bezüglich der Multiplikation. 2 Die Lie-Algebra einer Untergruppe von Matrizen 2. Lemma und Denition (Die Lieklammer auf dem T E G) Es bezeichne G eine Untergruppe der GL(n, R) oder GL(n, C). Dann ist der Tangentialraum am Einselement g T E G ein R-Vektorraum (siehe letzten Vorträge), der abgeschlossen ist gegen eine zusätzliche zweistellige Verknüpfung [X, Y ] XY Y X, die die Abweichung vom Kommutativgesetzes bei der Matrizenmultiplikation misst. [X, Y ] heiÿt Kommutator oder auch die Lie-Klammer von X und Y. Beweis:. Nach den vorhergegangenen Vorträgen wissen wir, dass T E G ein reeller Vektorraum ist. Um die obige Verknüpfung zu beweisen, benötigen wir als Zusatzstruktur die Konjugation in G.Mit dieser können wir dann die Lie-Klammer konstruieren. Zunächst müssen wir die Abgeschlossenheit der Konjugation in g zeigen. Die Konjugation wird deniert als Ad(g)(x) : g x g für g, x G mit g fest. Für jede dibare Kurve c(t) in G mit c() E betrachten wir die Konjugation t g c(t) g. Diese ist dierenzierbare Kurve c g (t) in G mit dem Tangentialvektor in E: c g() d dt to (g c(t) g ) g c () g g, da c g() T E G 2

3 Da nach Denition sich jedes X g darstellen lässt als X c (), ist g abgeschlossen unter der Konjugation für alle g G: (Ad(g))(X) : g X g Mit Hilfe dieser Abbildung können wir nun die Lieklammer konstruieren. Sei im Folgenden X g fest und g G eine dierenzierbare Kurve g(t) mit g() E: C(t) Ad(g(t))(X) g(t) X (g(t)) T E G, da gxg T E G g G Für t ergibt sich C() X.Für die Bestimmung des Tantentialvektors C () benötigen wir folgende kleine Nebenrechnung: g(t) (g(t)) E g (t) (g(t)) + g(t) ((g(t)) ) g(t) ((g(t)) ) g (t) (g(t)) ((g(t)) ) (g(t)) g (t) (g(t)) ( ) Hiermit lässt sich nun leicht zeigen: C () d dt t (g(t) X (g(t)) ) g () X (g()) + g() X ((g()) ) ( ) g () X E + E X ((g()) g () (g()) ) g () X X g () C () ist Kommutator von g () und X g. (g (), X) [g (), X] : g () X X g () Dies ist die zusätzliche zweistellige Verknüpfung in g mit X, Y g () g beliebig. Wir haben also die Ableitung ad von der Abbildung Ad in E bestimmt: [g (), X] d dt t (Ad(g(t))(X)) D E Ad(g ())(X) ad(g ())(X) 3

4 Wir haben bereits gezeigt, dass die Konjugation in g abgeschlossen ist. Da g ein Vekorraum ist, liegt die Ableitung eíner in g liegenden Kurve wieder in g. Damit folgt, dass der Kommutator ebenfalls in g abgeschlossen ist, d.h. es gilt: X, Y g [X, Y ] g Beachte, dass diese Verknüpfung im Allgemeinen nicht assoziativ ist, denn: [[X, Y ], Z] (XY Y X)Z Z(XY Y X) XY Z Y XZ ZXY + ZY X XY Z XZY Y ZX + ZY X X(Y Z ZY ) (Y Z ZY )X [X, [Y, Z]] Zusammengefasst gilt für die Ableitung im Einselement: Die Ableitung der Gruppenmultiplikation in G ist die Addition in g (vgl. Beweis T E G ist VR, Vortrag Ruth Böll) Die Ableitung der Inversen in G ist die Multiplikation mit in g (vgl. obige Nebenrechnung) Die Ableitung der Konjugation in G ist die Lieklammer in g (vgl. Beweis oben) Die oben denierte Verknüpfung ist im Gegensatz zu der Matrizenmultiplikation in g abgeschlossen und wird als neue Multiplikation in T E G betrachtet. Die Eigenschaften dieser Verknüpfung werden in der folgenden Denition zusammengefasst: 2.2 Denition (Lie-Algebra) Eine reelle bzw. komplexe Lie-Algebra ist ein reeller bzw. komplexer Vektorraum V mit einer inneren Multiplikation V V V, für die gilt: (L) Die Zuordnung (X, Y ) [X, Y ] ist R- bzw. C-linear in jedem Argument, also bilinear. 4

5 (L2) [X, Y ] [Y, X] X, Y V, d.h. die Abbildung ist schiefsymmetrisch. (L3) Für die Lieklammer gilt die Jacobiidentität, d.h. es gilt: [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] X, Y, Z V Insbesondere gilt [X, X] X V. Für abelsche Matrizenuntergruppen G gilt immer [X, Y ] X, Y V ( ). Eine Lie-Algebra heiÿt abelsch, wenn [X, Y ] X, Y V gilt. Beweis von ( ):. Wir betrachten die Kurve C(t) Ad(g(t))(X) g(t) X (g(t)). Für abelsche Matrizengruppen ist C(t) g(t)(g(t)) X X. Daraus folgt für den Tangentialvektor C () und somit ist die Lie-Klammer [X, Y ] für alle X, Y aus V. 2.3 Folgerung und Denition (Lie-Algebra einer Matrizenuntergruppe) Der Tangentialraum g T E G im Einselement an eine abgeschlossene Untergruppe G von GL(n, K) ist eine Lie-Algebra. Falls K R, so ist die Lie- Algebra reell und falls K C, so kann die Lie-Algebra reell oder komplex sein. Ist die Lie-Algebra von G komplex, dann heiÿt G komplexe Untergruppe. In jedem Fall heiÿt g die Lie-Algebra von G. Beweis:. Für den Beweis müssen wir nur noch die Axiome (L), (L2) und (L3) nachrechnen, da wir bereits wissen, dass der T E G ein Vekotrraum ist. Zu (L): [X, Y + Z] X(Y + Z) (Y + Z)X XY + XZ Y X ZX XY Y X + XZ ZX [X, Y ] + [X, Z] [X + W, Y ] (X + W )Y Y (X + W ) XY + W Y Y X Y W XY Y X + W Y Y W [X, Y ] + [W, Y ] 5

6 [αx, Y ] αxy αy X α(xy Y X) α[x, Y ] [X, βy ] X(βY ) (βy )X β(xy ) β(y X) β(xy Y X) β[x, Y ] Also ist die Verknüpfung bilinear. Zu (L2): [X, Y ] XY Y X (XY +Y X) (Y X XY ) [Y, X] Zu (L3): [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] X(Y Z ZY ) (Y Z ZY )X +Y (ZX XZ) (ZX XZ)Y +Z(XY Y X) (XY Y X)Z XY Z XZY Y ZX + ZY X +Y ZX Y XZ ZXY + XZY +ZXY ZY X XY Z + Y XZ 2.4 Bemerkung Abgeschlossene Untergruppen G von GL(n, C) können eine reelle Lie-Algebra besitzen. Ein Beispiel hierfür ist U(n) GL(n, C) mit der Lie-Algebra u(n) {X gl(n, C) X + X T }. Für eine Matrix X u(n) gilt: und X u(n) ix T i X T i(x) ix ix + ix T ix + ix 2iX Also ist für ein X u(n), ix / u(n) und somit ist u(n) reell. Ein Beispiel für eine komplexe Lie-Algebra ist 6

7 sl(n, C) {X gl(n, C spurx }. Hier führt die Multiplikation mit einem komplexen Skalar nicht aus der Lie-Algebra hinaus, denn: also ist ix sl(n, C). spur(i X) i spur(x) i, 2.5 Beispiele () Nach vorletztem Vortrag ist der Raum aller reellen bzw. komplexen (n,n)-matrizen mit dem Kommutator [X, Y ] XY Y X als Verknüpfung eine Lie-Algebra. Sie wird wie folgt bezeichnet: gl(n, R) bzw. gl(n, C). (2) Die Lie-Algebra so(3) von SO(3, R) ist nach den Überlegungen aus dem vorletzten Vortrag gerade die Menge der schiefsymmetrischen (3,3)- Matrizen also: { a c } so(3) a b a, b, c R c b Mit einer geeigneten Basis kann man jede Matrix A so(3) in dieser Form darstellen: A ae + be 2 + ce 3. Die hierfür benötigte Basis hat die folgende Gestalt: E, E 2, E 3 Für diese Basis ergeben sich dann folgende Lieklammern: [E, E 2 ] E 3 7

8 [E 2, E 3 ] [E 3, E ] E E 2 Diese Struktur tritt für die Standardbasis auch beim Kreuzprodukt im R 3 auf: e e 2 e 3, e 2 e 3 e, e 3 e e 2 Man kann sagen, dass der R 3 mit dem Vektorprodukt zu der Lie- Algebra so(3) mit der Lieklammer als Verknüpfung isomorph sind, d.h. (R 3, ) ist eine Lie-Algebra. Die Abbildung E i e i induziert folgende Abbildungsvorschrift: [E i, E j ] e i e j i j Dass diese Abbildung ein Homomorphismus ist, ist wegen dem Existenzund Eindeutigkeitssatz aus der Linearen Algebra klar. Die Bijektivität folgt dadurch, dass jeweils ein Basenpaar genau auf das zugehörige andere Basenpaar abgebildet wird. 8

9 (3) Als nächstes betrachten wir die Lie-Algebra von SU(2): su(2) {X gl(2, C) X + X T, spur(x) } ix y + iz Eine Matrix A su(2) hat dann folgende Gestalt: A. y + iz ix Diese lässt sich mit einer geeigneten Basis E, E 2, E 3 darstellen als A xe + ye 2 + ze 3 mit E i, E i 2, E 3 i. i Mit dieser Basis ergeben sich dann folgende Lie-Klammern: [E, E 2 ] i i i i i i o 2i 2i 2E 3 [E, E 3 ] i i i i i i i i 2 2 2E 2 [E 3, E ] 2E 2 [E 2, E 3 ] i i i i i i 2i 2i 2E 9 i i i i ( )

10 Durch eine Basistransformation zu Ẽ 2 E, Ẽ 2 2 E 2, Ẽ 3 2 E 3 erhält man analog zum Beispiel (2) die wechselseitigen Beziehungen: [Ẽ, Ẽ2] Ẽ3, [Ẽ3, Ẽ] Ẽ2, [Ẽ2, Ẽ3] Ẽ, denn: [Ẽ, Ẽ2] [ 2 E, ] 2 E 2 4 [E, E 2 ] 2 4 E 3 Ẽ3 [Ẽ3, Ẽ] [ 2 E 3, ] 2 E 4 [E 3, E ] 2 4 E 2 Ẽ2 [Ẽ2, Ẽ3] [ 2 E 2, ] 2 E 3 4 [E 2, E 3 ] 2 4 E Ẽ Damit ist die Lie-Algebra su(2) auch isomorph zu (R 3, ). An diesem und dem letzten Beispiel kann man also erkennen, dass unterschiedliche Matrizenuntergruppen (bis auf Isomorphie) die selbe Lie-Algebra besitzen können. (4) Die Lie-Algebra der Gruppe SL(2, R) ist der Raum aller reellen (2,2)- Matrizen mit Spur Null. Hier kann nun wiederum eine Basis folgender Gestalt gewählt werden: X ( ), X ( ), X 2 Bei der Anwendung der Lieklammer auf die Basis ergeben sich folgende wechselseitigen Beziehungen: [X, X ]

11 2 2 X [X, X 2 ] 2 2 X 2 [X, X 2 ] X ( ) Diese Struktur unterscheidet sich deutlich von der in (2). Man kann zeigen, dass auch bei einer Basistransformation keine Isomorphie zwischen sl(2, R) und dem (R 3, ) existiert. (5) In der Gruppe aller Diagonalmatrizen mit nicht verschwindenden Einträgen auf der Diagonale gilt das Kommutativgesetz, d.h. [X, Y ] X, Y diag. Da diese Gruppe abelsch ist, gilt auch die Kommutativität für die Lie-Algebra. 2.6 Notation zur Lie-Algebra Die Lie-Algebra zu G wird mit g bezeichnet, zu H mit h. Daraus ergibt sich die folgende Tabelle, wobei nach dem vorletzten Vortrag O(n) und SO(n) dieselbe Lie-Algebra so(n) haben:

12 Gruppe Lie-Algebra GL(n, R) gl(n, R) M (n,n) (R) GL(n, C) gl(n, C) M (n,n) (C) SL(n, R) sl(n, R) {X gl(n, R) spurx } SL(n, C) sl(n, C) {X gl(n, C) spurx } O(n) so(n) {X gl(n, R) X + X T } SO(n) so(n) U(n) u(n) {X gl(n, C) X + X T } SU(n) su(n) {X gl(n, C) X + X T, spurx } H(3, R) h(3, R) X gl(3, R) a b c a, b, c R 2.7 Bemerkung Die Exponentialabbildung exp : g G ist auch für zusammenhängende und abgeschlossene Untergruppen G GL(n, C) nicht immer sujektiv. O(n) ist z.b. nicht zusammenhängend, o(n) schon, aber die Exponentialabbildung ist nicht surjektiv, da die - nicht erreicht werden kann. Weiterhin ist die Bildmenge der Exponentialabbildung nicht immer eine Untergruppe von G, da die Gruppenmultiplikation aus exp(g) herausführen kann. Also ist exp(g) nicht notwendigerweise eine Gruppe. Dazu ein Beispiel: 2

13 Beispiel Sei G SL(2, R). exp(sl(2, R)) ist keine Untergruppe, da für exp(a), A sl(2, R), stets gilt: spur(exp(a)) 2. Beweis:. Sei A sl(2, R), d.h. spura. Weiter sei A P JP. Es gilt weiter: spur(a) spur(p (JP )) spur(jp P ) spur(j) Daraus ergeben sich für die Jordannormalform folgende Möglichkeiten: : λ,2 Eigenwert ( ) J λ : λ, λ Eigenwerte ( ) λ Da exp(a) exp(p JP ) P exp(j)p gilt, betrachten wir nun exp(j): ( ) J, J k k 2 exp(j) E + J spur(exp(j)) 2 λ ( ) Für die komplexe JNF J gibt es zwei Möglichkeiten: λ () λ R J λ ( e λ exp(j) s.u. e λ ), da exp(λj) (exp(j)) λ spur(exp(j)) e λ + e λ 2 cosh λ > (2) λ / R λ, λ Eigenwerte λ λ( λ ) iµ, da kein iµ Realteil vorhanden sein kann. J C iµ J R µ µ µ 3

14 K.Greifenberg cos µ sin µ exp(j) sin µ cos µ spur(exp(j)) 2 cos µ 2 Insgesamt folgt also spur(exp(j)) 2. Da spur(exp(a)) spur(p (exp(j)p )) spur(exp(j)p P ) spur(exp(j)) folgt: spur(exp(a)) 2 A sl(2, R) e Daraus folgt, dass z.b. die Matrix e / exp(sl(2, R). Diese lässt sich aber also Produkt von zwei Exponentialabbildungen darstellen. Betrachte hierzu die folgenden Exponentialabbildungen: (a) Bestimmen von exp(a) mit A : (alternativ: Da A Diagonalmatrix ist, kann man die Exponentialabbildung auf die Blöcke an wenden und so schneller die gesuchte Darstellung nden.) Nach Denition gilt exp(a) k! Ak E + A + A2 + A3 +...! 2! 3! k Bestimme also( die Potenzen ) von A: A E, A 2 E, A 3 A, A 4 E Durch Einsetzen in die Denition erhält man nun: exp(a) E + A + 2! E + 3! A + 4! E +... E (2k)! + A (2k + )! k k 4

15 (b) Bestimmen von exp (2k)! 2k + k k k! k k (2k)! ()2k + k k e k! ()k k e e (2k+)! 2k+ ( ) ( π exp π π k (2k)! 2k (2k+)! ()2k ) }{{} :B k (alternative Möglichkeit: Nutze komplexe JNF mit der zugehörigen reellen JNF aus obigem Beweis mit µ π und setze dies in die angegebene Exponentialdarstellung von J ein.) Nach Denition gilt exp(π B) k (π k! B)k E + π B + π2 B 2 + π3 B ! 2! 3! Bestimme also diesmal ( die ) Potenzen von B: B E, B 2 E B 3 B, B 4 E (2k+)! 2k B 5 B,... Einsetzen in die obige Gleichung liefert: 5

16 exp(π B) E + π! B π2 2! E π3 3! B + π4 4! E + π5 5! B... Es gilt also: ( }{{} π! π2 2! + π4 4! π6 6! +...) E + ( π! π3 3! + π5 5! ( () k π2k (2k)! ) E + ( () k π 2k+ (2k + )! ) B k k () k π2k (2k)! k + () k π2k () k π2k+ (2k)! k k cos π sin π sin π cos π...) B () k π2k+ (2k+)! k (2k+)! π exp exp π da spur(c) < 3. e e e e / exp(sl), }{{} :C 3 Fazit Wir haben also in diesem Abschnitt gezeigt, dass der Tangentialraum am Einselement ein Vektorraum mit einer Lie-Algebra ist. Nach dem letzten Beispiel können wir sagen, dass die Bildmenge der Exponentialabbildung bezüglich der Multiplikation nicht abgeschlossen ist und somit nicht unbedingt eine Untergruppe von G ist. Der Kommutator als Verknüpfung ist also eine notwendiger Zusatz. 6

17 4 Quelle Im Rahmen des Seminars wurde dieser Vortrag auf folgender Literatur aufgebaut: Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Grupppen, eine geometrische Einführung, Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2 7