Gruppen in der Physik: Klassische Matrixgruppen

Transkript

1 Gruppen in der Physik: Klassische Matrixgruppen Marina Borgart Betreuer : Prof. Wolfgang Kimmerle Datum:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe Die Algebra Mat(n,K) Die Gruppen GL(n,K) und SL(n,K) Erzeugung von SL(n,K) und GL(n,K) durch Elementarmatrizen Zusammenhang Kurzer Überblick: Hermitesche Formen und Isometrien Hermitescher Räume 11 3 Orthogonale und unitäre Gruppen Notationen Beispiele: SO(3) und SU(2) Lorentz-Gruppe und Minkowski-Raum Die Struktur der Gruppe SO(3,1) Die Struktur der Lorentz-Gruppe O(3,1) Isomorphie der eigentlichen Lorentz-Gruppe mit SL(2,C)/{±E} und SO(3) mit SU(2)/{±E}

3 1 Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe 1.1 Die Algebra Mat(n,K) Definition 1 (Algebra). Eine Algebra über einem Körper K ist ein K-Vektorraum A zusammen mit einer bilinearen Abbildung A A A mit (x, y) xy. Biliniarität bedeutet: (αx)y = α(xy) = x(αy) (x + y)z = xz + yz, x(y + z)xy + xz. Diese Abbildung wird als P rodukt von x und y bezeichnet. Eine Algebra heisst zusätzlich assoziativ, falls x(yz) = (xy)z x, y, z A. Das Standart-Beispiel einer assoziativen Algebra ist der K-Vektorraum der n n-matrizen M at(n, K) mit Koeffizienten aus K zusammen mit komponenterweiser Skalarmultiplikation Addition und der Matrixmultiplikation α(x ij ) = (αx ij ), (x ij ) + (y ij ) = (x ij + y ij ) (x ij )(y ij ) = n x ik y kj. k=1 Das Einselement bzgl. der Matrixmultiplikation ist die Einheitsmatrix E n = (δ ij ) mit { 1 : i = j, δ ij = 0 : i j Satz 1 (Einheitengruppe). Sei A eine Algebra mit Einselement e. Die Menge der Einheiten von A, d.h. die Menge aller invertierbaren Elemente bildet eine Gruppe bzgl. der in A angegebenen Multiplikation, die sogenannte Einheitengruppe. Beweis. Klar. 3

4 1.2 Die Gruppen GL(n,K) und SL(n,K) Definition 2. Sei K ein beliebiger Körper. a) Die Einheitengruppe von M at(n, K) GL(n, K) = {A Mat(n, K) A invertierbar} = {A Mat(n, K) deta 0}, falls K = R oder C heisst allgemeine lineare Gruppe. b) SL(n, K) = [GL(n, K), GL(n, K)] = {A GL(n, K) deta = 1}, falls K = R oder C heisst spezielle lineare Gruppe. Bemerkung 1: [GL(n, K), GL(n, K)] bezeichnet die von sämtlichen Kommutatoren erzeugte Untergruppe von GL(n, K), wobei ein Kommutator [A, B] definiert ist durch [A, B] := A B A 1 B 1 A, B GL(n, K) Bemerkung 2: SL(n, K) kann man als den Kern des Homomorphismus GL(n, K) K, A deta charakterisieren. Insbesondere gilt dann: SL(n, K) GL(n, K). 4

5 1.3 Erzeugung von SL(n,K) und GL(n,K) durch Elementarmatrizen Sei E ij die n n-matrix, die im Schnittpunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte eine 1, sonst überall 0 hat. Als Elementarmatrizen werden bezeichnet: (1) F ij (α) := E n + αe ij für α K und 1 i j n (2) F i (α) := E n + (α 1)E ii für α K und 1 i n. Es gilt also 1 F ij (α) = α i j 1, F i (α) =... 1 α i. Durch leichtes Nachrechnen sieht man, dass F ij (α), F i (α) GL(n, K) und F ij (α) 1 = F ij ( α) (α K), F i (α) 1 = F i (α 1 )( α K ). Multiplikation einer Matrix A von links (rechts) mit F i (α) bedeutet Multiplikation der i-ten Zeile (Spalte) mit α, Multiplikation der Matrix A von links (rechts) mit F ij (α) bedeutet Addition des α-fachen der j-ten Zeile (i-ten Spalte) zur i-ten Zeile (j-ten Spalte). Man spricht von elementaren Zeilen- bzw. Spaltenumformungen. Satz 2. GL(n,K) wird von den Elementarmatrizen erzeugt. Beweis. Jede Matrix A aus GL(n, K) kann durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix übergeführt werden, d.h. A 1, also auch A, ist Produkt von Elementarmatrizen. Umgekehrt liegen alle Elementarmatrizen in GL(n, K). 5

6 Satz 3. SL(n,K) wird von den Elementarmatrizen vom Typ (1) erzeugt. Beweis. Offensichtlich sind die Matrizen vom Typ (1) in SL(n, K) enthalten. Sei A = (α ij ) SL(n, K) beliebig. Wir zeigen, dass A ein endliches Produkt aus den Matrizen vom Typ (1) ist: Falls α 21 = 0, dann muss es ein i 2 geben, so dass α i1 0, da A sonst nicht invertierbar sein kann. Addition der i-ten Zeile zur zweiten ergibt eine neue Matrix (α ij ) mit α Dies entspricht der Multiplikation der Matrix A von links mit der Matrix F 2i (1). Also können wir im weiteren annehmen, dass α Addition des (1 α 11 )α21 1 -fachen der zweiten Zeile zur ersten ergibt eine Matrix (α ij ) mit α 11 = 1. Durch Addition des ( α i1 )-fachen der ersten Zeile zur i-ten, i > 1, erhalten wir schließlich eine Matrix der Form B 0 mit B SL(n 1, K). Fahren wir so fort, so ergibt sich nach endlich vielen Multiplikationen von A mit den Elementarmatrizen von Typ (1) eine obere Dreicksmatrix, deren Hauptdiagonalelemente gleich 1 sind: Hieraus entsteht aber in ähnlicher Weise durch elementare Zeilenumformungen vom Typ (1) die Einheitsmatrix. Nach früherem wissen wir, dass das Inverse einer Matrix vom Typ (1) ebenso eine Matrix vom Typ (1) ist. Also ist A ein Produkt aus endlich vielen Matrizen vom Typ (1) und der Satz ist damit bewiesen. Folgerung: Aus dem Satz 3 folgt unmittelbar, dass SL(2, K) von den Matrizen ( ) ( ) 1 α 1 0 und mit α, β K 0 1 β 1 erzeugt wird. 6

7 1.4 Zusammenhang Definition 3. a) Es sei K = R oder C und M Mat(n, K). Ein Weg in M ist eine stetige Abbildung γ : [0, 1] M. Man nennt γ(0) den Anfangspunkt, γ(1) den Endpunkt von γ. b) X, Y M heißen verbindbar, wenn es einen Weg γ in M gibt mit Anfangspunkt X und Endpunkt Y. Wir definieren auf M folgende Relation: X Y X ist mit Y in M verbindbar. Satz 4. ist eine Äquivalenzrelation auf M Beweis. 1) Ref lexivität: Für jedes X M ist γ(t) := X mit t [0, 1] ein Weg in M, der X mit sich selbst verbindet. 2) Symmetrie: Ist γ ein Weg von X nach Y, so ist offensichtlich ein Weg von Y nach X. γ(t) = γ(1 t) (t [0, 1]) 3) T ransitivität: Wird X mit Y und Y mit Z durch die Wege γ bzw. δ in M verbunden, so ist der zusammengesetzte Weg von X nach Z definiert durch { γδ(t) = γ(2t) : t [0, 1 2 ], δ(2t 1) : t [ 1 2, 1]. 7

8 Definition 4. a) Die Äquivalenzklassen von heissen Zusammenhangskomponenten von M. b) M heisst zusammenhängend, wenn es nur eine Zusammenhangskomponente gibt. c) Die Zusammenhangskomponente, die das Einselement enthält, wird Einskomponente genannt. Beispiele: 1. Mat(n, K) ist zusammenhängend, denn 0 ist mit jedem X Mat(n, K) durch die Gerade t tx, t [0, 1] verbindbar. 2. Für n = 1 folgt aus 1), dass R und C zusammenhängend sind. 3. C ist ebenso zusammenhängend: Ist z C und z = re iφ, r > 0 die Darstellung von z durch die Polarkoordinaten, so erhält man einen Weg in C von 1 nach z durch γ(t) = (1 + t(r 1))e itφ (t [0, 1]). 4. R ist nicht zusammenhängend, denn es gibt keinen Weg in R von -1 nach 1. Wäre z. B. γ eine stetige Abbildung mit γ(0) = 1 und γ(1) = 1, so müsste es nach dem Zwischenwertsazt ein t [0, 1] geben mit γ(t) = 0. Die Zusammenhangskomponenten von R sind R + und R. Wir notieren noch kurz ein wichtiges Ergebnis, das leicht einzusehen ist: Satz 5. Sei G eine Untegruppe von GL(n, K). (a) Ist A i, B i G (i = 1, 2) und γ ein Weg in G von A 1 nach B 1, δ ein Weg in G von A 2 nach B 2, dann ist t γ(t)δ(t) ein Weg in G von A 1 A 2 nach B 1 B 2. (b) Ist γ ein Weg in G von A nach B, so ist t γ(t) 1 ein Weg in G von A 1 nach B 1. 8

9 Satz 6. SL(n,R), SL(n,C), GL(n,C) sind zusammenhängend. GL(n,R) ist nicht zusammenhängend, die Zusammenhangskomponenten sind GL(n, R) + = {A GL(n, R) deta > 0}, GL(n, R) = {A GL(n, R) deta < 0}. GL(n, R) + ist die Einskomponente von GL(n,R). Beweis. SL(n, K) wird nach Satz 3 durch die Elementarmatrizen F ij (α), 1 i, j n, α K erzeugt. Es genügt nach dem Satz 7 jede dieser Matrizen durch einen Weg in SL(n, K) mit E n = F ij (0) zu verbinden. Ein solcher Weg ist offensichtlich t F ij ((1 t)α), t [0, 1]. Für jede Matrix A GL(n, C) gibt es eine Matrix B SL(n, C) und ein α C, so dass 1 A = B F n (α) mit F n (α) =.... α Es bleibt also zu zeigen, dass F n (α) mit E n verbindbar ist. Die Menge {F n (α) α C } ist aber isomorph zu C und C ist zusammenhängend (vgl. Beispiel 3) zur Definition 4 ). Damit folgt der Zusammenhang von GL(n, C). Nun nehmen wir an, dass GL(n, R) zusammenhängend ist. Dann gibt es auch einen Weg γ von GL(n, R) + nach GL(n, R). Dann ist det γ ein Weg von R + nach R, was nicht sein kann (vgl. Beispiel 4) zur Definition 4 ). 9

10 Satz 7. Sei G GL(n,K), G die Einskomponente. Dann gilt: (a) G ist Normalteiler von G, (b) Die Zusammenhangskomponenten von G sind die Nebenklassen von G. Beweis. (a) Seien A, B G und γ, δ Wege von A bzw. B nach E n. Dann ist t γ(t) δ(t) 1 ein Weg von A B 1 nach E n. Also gilt A B 1 G und somit ist G eine Untergruppe von G. Ausserdem ist für jedes C G die Abbildung t C γ(t) C 1 ein Weg von C A C 1 nach E n. Damit ist C A C 1 G und folglich ist G ein Normalteiler von G. (b) Mit G sind auch alle Nebenklassen von G zusammenhängend. Es bleibt zu zeigen, dass Elemente aus verschiedenen Nebenklassen nicht verbindbar sind. Sei C G eine beliebige Nebenklasse mit C G und A = CB mit B G. Falls es einen Weg γ von A nach E n gibt, dann gibt es nach Satz 7 einen Weg von B nach C 1, d.h. C 1 G. Damit gilt C G = G. Daraus folgt, dass es keine Verbindung zwischen G und einer Nebenklasse von G gibt. Nun wählen wir 2 verschiedene Nebenklassen C G und D G mit C, D G. Falls es eine Vebindung zwischen den beiden gibt, dann sind nach dem Satz 7 auch G und DC 1 G G verbunden, was nach dem obigen nicht sein kann. Damit entspricht eine Nebenklasse genau einer Zusammenhangskomponente. 10

11 2 Kurzer Überblick: Hermitesche Formen und Isometrien Hermitescher Räume In diesem Kapitel werden die wichtigsten Definitionen und Ergebnisse zusammengefasst, die im Weiteren verwendet werden. Das Paar (K, ) sei (R, id), (C, id) oder (C, ). V sei ein K-Vektorraum. Eine Abbildung h : V V K heißt hermitesche F orm, falls h(x, y + z) = h(x, y) + h(x, z), h(x, αy) = αh(x, y), x, y, z V, α K, h(x, y) = h(y, x). symmetrische Bilinearform, falls = id und h eine hermitesche Form auf V. Das Paar (V, h) heißt Hermitescher Raum. Eine Matrix A Mat(n, K) heißt hermitesch, falls A t = A, symmetrisch, falls A t = A, Hermitesche Formen werden durch hermitesche Matrizen, symmetrische Bilinearformen durch symmetrische Matrizen beschrieben. 11

12 Seien (Ṽ, h), (V, h) Hermitesche Räume. Eine bijektive lineare Abbildung φ : Ṽ V heißt Isometrie, falls: h(x, y) = h(φ(x), φ(y)) x, y Ṽ. Man schreibt dann: φ : (Ṽ, h) (V, h) und nennt (Ṽ, h) und (V, h) isometrisch. Isometrien eines Hermiteschen Raumes (V, h) bilden eine Gruppe, die mit Aut(V, h) bezeichnet wird. Es gilt Aut(V, h) GL(V ). Falls h eine symmetrische Bilinearform ist, so wird Aut(V, h) die orthogonale Gruppe von (V, h) genannt und mit O(V, h) bezeichnet. Satz 8. Ist φ : (Ṽ, h) (V, h) eine Isometrie Hermitescher Räume, so ist Aut(Ṽ, h) Aut(V, h), ψ φ ψ φ 1 ein Isomorphismus der Isometriegruppen. 12

13 3 Orthogonale und unitäre Gruppen 3.1 Notationen Wir führen die traditionellen Bezeichnungen ein: Definition 5. Reell orthogonale Gruppen ( ) O(p, q) = {A GL(n, R) A t Ep 0 D p,q A = D p,q } wobei D p,q =, p q, p + q = n 0 E q O(n) = O(n, 0) = {A GL(n, R) A t A = E n } Komplex orthogonale Gruppen O(n, C) = {A GL(n, C) A t A = E n } Unitäre Gruppen U(p, q) = {A GL(n, C) A t D p,q A = D p,q } U(n) = U(n, 0) = {A GL(n, C) A t A = E n } Es sei G eine Untergruppe von GL(n, K). Schränkt man den Homomorphismus GL(n, K) K, A deta auf G ein, so erhält man einen Homomorphismus von G in K, dessen Kern mit G SL(n, K) übereinstimmt (vgl. Bem. 2 zur Def. 2) und ein Normalteiler von G ist. Speziell können wir definieren Definition 6. SO(p, q) = {A O(p, q) deta = 1} = O(p, q) SL(n, R), SO(n, C) = {A O(n, C) deta = 1} = O(p, C) SL(n, C), SU(p, q) = {A U(p, q) deta = 1} = O(p, q) SL(n, C), Die Gruppen SO(p, q), SO(n, C), SU(p, q) spezielle (reelle, komplexe) orthogonale bzw. spezielle unitäre Gruppen genannt. 13

14 3.2 Beispiele: SO(3) und SU(2) 1. Die Gruppe SO(3) Es gilt: SO(3) = Menge reeller orthogonalen 3 3-Matrizen mit Determinante 1. Typische Elemente sind die Drehungen um die e 1, e 2, und e 3 -Achse, d.h cos t 0 sin t cos t sin t 0 S 1 (t) = 0 cos t sin t, S 2 (t) = 0 1 0, S 3 (t) = sin t cos t 0. 0 sin t cos t sin t 0 cos t Satz 9. Zu jedem A SO(3) gibt es α, β, γ R, so dass A = S 3 (α) S 1 (β) S 3 (γ). α, β, γ werden als Eulersche W inkel bezeichnet. Insbesondere wird SO(3) von den Drehungen S 1 (t), S 3 (t) mit t R erzeugt. Beweis. Es sei A = (a ij ). Wir setzen B = (b ij ) := S 3 ( α)as 3 ( γ) und bestimmen α, β, γ so, dass B = S 1 (β). Aus dieser Gleichung folgt: (a) Wegen b 33 = a 33 und a 33 1 (vgl. Bem. zur Def. 5) gibt es ein β [0, π], so dass. cos β = b 33 (b) Es gilt b 13 = a 13 cos α + a 23 sin α. Es kann ein α [0, 2π[ gewählt werden, so dass a 13 cos α + a 23 sin α = 0. Damit ist auch. b 13 = 0 (c) Nun wählen wir ein γ [0, 2π[ so, dass ( ) ( ) a cos α, sin α 11 a 12 a 21 a 22 = ( cos γ, sin γ ). Dies ist möglich, weil auf der rechten Seite der Gleichung insgesamt ein Vektor vom Betrag 1 steht. Daraus folgt, dass b 11 = (a 11 cos α + a 21 sin α) cos γ + (a 12 cos α + a 22 sin α)( sin γ) = cos 2 γ + sin 2 γ = 1 14

15 (d) Wegen der Orthogonalität von A muss auch B orthogonal sein, d.h. es muss gelten B t B = E 3. Mit b 13 = 0 folgt daraus b 12 = b 21 = b 31 = 0, b 22 = cos β, b 32 = sin β, b 23 = sin β Also gilt insgesamt: B = 0 cos β sin β = S 1 (β). 0 sin β cos β Nach Konstruktion von α, β, γ ist ausserdem die folgende Abbildung bijektiv: [0, 2π[ [0, π] [0, 2π[ SO(3) (α, β, γ) S 3 (α)s 1 (β)s 3 (γ). Damit gilt auch der 2. Teil des Satzes. 2. Die Gruppe SU(2) Die Menge SU(2) besteht aus den komplexwertigen unitären 2 2-Matrizen mit Determinante 1, d.h. { ( ) z u SU(2) = z, u C, z z + uū = 1}. ū z Die speziellen Elemente: ( cos t sin t T (t) = sin t cos t ), S(t) = ( ) e it 0 0 e it. Satz 10. Zu jedem A SU(2) gibt es α, β, γ R, so dass A = S(α) T (β) S(γ). Insbesondere wird SU(2) erzeugt von den Matrizen ( ) ( ) e it 0 cos t sin t 0 e it,, t R. sin t cos t 15

16 ( ) z u Beweis. Sei A = SU(2). ū z Die Zahlen z und u haben eine Darstellung in Polarkoordinaten, d.h. es gibt r, s R + und t 2, t 3 [0, 2π] so, dass z = re it 2 und u = se it 3. Wegen deta = 1 gilt r 2 + s 2 = 1, d.h. es gibt ein t 1 [0, π] so, dass r = cos t 1 und s = sin t 1. Also hat A folgende Form ( ) cos t1 e A = it 2 sin t 1 e it 3 sin t 1 e it 3 cos t 1 e it. 2 Setzt man α = t 1, β = t 2+t 3, γ = t 2 t 3, so erhält man 2 2 A = Damit ist der Satz bewiesen. ( e iβ 0 0 e iβ ) ( cos α sin α sin α cos α ) ( e iγ 0 0 e iγ ). 16

17 3.3 Lorentz-Gruppe und Minkowski-Raum Zu Beginn des 20. Jahrhunderts gab Minkowski ein mathematische Formulierung der Einsteinschen speziellen Relativitätstheorie, die auf folgender Definition basiert: Definition 7. Sei h eine symmetrische Bilinearform auf R 4 definiert durch: h(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x 4 y 4 = x t y Dann heisst das Paar (R 4, h) Minkowski Raum. Physikalische Interpretation: Wählt man B = {e 1, e 2, e 3, e 4 c } als Basis von R 4, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist, so hat h bzgl. dieser Basis folgende Darstellung: h(x, y) = x 1 ỹ 1 + x 2 ỹ 2 + x 3 ỹ 3 c 2 x 4 ỹ 4 = x t ỹ c 2 Es werden folgende Bezeichnungen eingeführt: Die Menge K = {v R 4 h(v, v) = 0} heisst der Lichtkegel und die Vektoren aus K heissen die Lichtvektoren. Vektoren mit h(v, v) < 0 heissen zeitartig. Vektoren mit h(v, v) > 0 heissen raumartig. Sind (x 1, x 2, x 3 ) die räumlichen Koordinaten eines Punktes, x 4 = t die Zeit, so werden die 4-Tupel (x 1, x 2, x 3, t) W eltppunkte genannt. Ein vom Raumpunkt (0,0,0) ausgehendes Lichtsignal erreicht im Vakuum zur Zeit t gerade die Raumpunkte (x 1, x 2, x 3, t) mit x x x 2 3 = c 2 t 2, d.h. Lichtvektoren sind genau die Weltpunkte, welche das Lichtsignal irgendwann erreicht. 17

18 Die zeitartigen Vektoren sind die Weltpunkte, welche von (0,0,0) aus mit einem Signal erreicht werden können, dessen Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner ist, als die Lichtgeschwindigkeit. Nimmt man die Hypothese an, dass sich keine Wirkung schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann (eine der Behauptungen der speziellen Relativitätstheorie), so stehen die Raumvektoren in keinerlei Kausalzusammenhang mit dem Weltpunkt (0,0,0,0). Uns interessiert vor allem die Isometriegruppe O(R 4, h) des Minkowski-Raumes. Für jedes A GL(4, R) gilt folgende Äquivalenz: A O((R 4, h) h(ax, Ay) = h(x, y) x, y R 4 h(ae i, Ae j ) = h(e i, e j ), 1 i, j (e i ) t A t Ae j = (e i ) t e j, 1 i, j A t A = A O(3, 1) Also: O((R 4, h) = O(3, 1). Definition 8. (a) Die Isometriegruppe O(3, 1) des Minkowski-Raumes (R 4, h) wird als Lorentz Gruppe bezeichnet. (b) Die Gruppe SO(3, 1) mit SO(3, 1) = {A O(3, 1) deta = 1} heisst die eigentliche Lorentz Gruppe. (c) Die Gruppe SO + (3, 1) mit SO + (3, 1) = {A = (α ij ) SO(3, 1) α 44 1}. 18

19 3.4 Die Struktur der Gruppe SO(3,1) Unser Ziel ist es, die Gruppe O(3, 1) auf eine ähnliche Weise zu beschreiben, wie wir es bei den Gruppen SO(3) und SU(2) gemacht haben. Allerdings ist es im Fall der Lorentz-Gruppe nicht möglich, die Erzeugenden direkt anzugeben. Also müssen wir uns einen anderen Weg überlegen. Wir betrachten noch mal die Gruppe SO + (3, 1). Diese Gruppe enthält folgende spezielle Elemente: ( ) R 0 (1) Lorentz Drehungen : R = mit R SO(3) (2) Lorentz Boosts : B = cosh t sinh t, t R. 0 0 sinh t cosh t Satz 11. Zu jedem A SO + (3, 1) gibt es Matrizen R, S SO(3) und t R, so dass A = R B(t) S. Insbesondere wird SO + (3, 1) von den Lorentz-Drehungen und den Lorentz-Boosts erzeugt. ( ) C x Beweis. Sei A = y t SO a + (3, 1) mit a R, a 1. Dann gilt wegen A O(3, 1): A t A = Durch Ausmultiplizieren erhält man die dazu äquivalenten Gleichungen C t C = E 3 + yy t (1) x t x + 1 = a 2 (2) C t x = ay (3) 19

20 Wegen a 1 gibt es ein t R so dass cosh t = a. Mit (2) folgt daraus x = (0, 0, sinh t) t. Also gibt es eine Matrix R SO(3) so dass R 1 x = 0 0. sinh t Nun ( setzen) wir T = B( t) R A. Dann gilt T SO(3, 1) und T e 4 = e 4. Damit gilt: S 0 T = y t. 1 Wegen (3) ist y = (0, 0, 0) t und mit (1) folgt daraus, dass S t S = E 3, d.h. S SO(3). ( ) S 0 Also ist T =, S SO(3) und damit folgt insgesamt 0 1 A = R B( t) 1 S = R B(t) S. Bemerkung: Im Satz kann man B 1 (t) := B(t) ersetzen durch cosh t 0 0 sinh t B 2 (t) = , B 3(t) = 0 cosh t 0 sinh t sinh t 0 0 cosh t 0 sinh t 0 cosh t Satz 12. SO + (3, 1) ist ein Normalteiler von O(3, 1). Beweis. Dazu reicht es nach dem Satz 9 zu zeigen, dass SO + (3, 1) eine Einszusammenhangskomponente ist. 1. E 4 SO + (3, 1). 2. SO + (3, 1) ist zusammenhängend, denn: Sei A SO + (3, 1). Dann gibt es nach dem vorigen Satz eine Produktdarstellung A = R B(t) S mit R, S SO(3) und t R. Die Matrix B(t) ist mit E 4 verbindbar über den Weg γ : [0, 1] SO + (3, 1), s B((1 s)t). Die Menge SO(3) ist zusammenhängend (so ist z. B. die Matrix S 1 (t) aus 3.2 mit E 3 verbindbar durch den Weg γ : [0, 1] SO(3), s S 1 (s t), vgl. Satz 11). Also sind auch R, S mit E 4 verbindbar. Damit sind nach dem Satz 7 A und E 4 verbindbar. 20

21 3. Es bleibt noch zu zeigen, dass es keine Matrix C = (ζ ij ) 1 i,j 4 SO + (3, 1) mit einer Verbindung zu E 4 gibt: Ist C SO + (3, 1), so gibt es 2 Möglichkeiten: (a) C O(3, 1) \ SO(3, 1), d.h. det C = 1. Wäre C mit E 4 über den Weg γ verbindbar, so wäre det γ ein Weg von -1 nach 1 in R, was nach dem Bsp. 4) zur Def. 4 nicht sein kann. (b) C SO(3, 1) \ SO + (3, 1), d.h. det C = 1 und ζ Sei ρ : O(3, 1) R, C ζ 44 die Projektion auf den letzten Hauptdiagonaleneintrag. Wäre C mit E 4 über den Weg γ verbindbar, so wäre ρ γ analog zum Fall (a) ein Weg von -1 nach 1 in R. 21

22 3.5 Die Struktur der Lorentz-Gruppe O(3,1) Aus dem Satz 13 kennen wir die Struktur von SO + (3, 1). Nun wollen wir die Struktur von O(3, 1) beschreiben. Dazu bestimmen wir alle Nebenklassen von SO + (3, 1) in O(3, 1). Satz 13. Es gilt O(3, 1)/SO + (3, 1) = 4. Beweis. Wegen SO + (3, 1) SO(3, 1) O(3, 1) gilt: O(3, 1)/SO + (3, 1) = O(3, 1)/SO(3, 1) }{{} (1) SO(3, 1)/SO + (3, 1) = 2 2 = 4. }{{} (2) zu (1): det : O(3, 1) {±1} ist ein surjektiver Homomorphismus mit dem Kern SO(3, 1) O(3, 1)/SO(3, 1) = {±1}. zu (2): ρ : SO(3, 1) {±1} mit ρ((ζ ij )) = sign(ζ 44 ) ist ein surjektiver Homomorphismus mit dem Kern SO + (3, 1) SO(3, 1)/SO + (3, 1) = {±1}. Sei C = (ζ ij ) 1 i,j 4 SO + (3, 1), dann gibt es analog zum Beweis von Satz 14 3 Fälle: det C = 1 und ζ Beispiel: C 1 = det C = 1 und ζ Beispiel: C 2 = det C = 1 und ζ Beispiel: C 3 = Man kann zeigen, dass E 4, C 1, C 2, C 3 paarweise nicht verbindbar sind (analog zum Beweis von Satz 14), d. h. sie liegen in paarweise verschiedenen Nebenklassen von SO + (3, 1). Also gilt insgesamt: O(3, 1) = SO + (3, 1) [ C 1 SO + (3, 1) ] [ C 2 SO + (3, 1) ] [ C 3 SO + (3, 1) ]. 22

23 3.6 Isomorphie der eigentlichen Lorentz-Gruppe mit SL(2,C)/{±E} und SO(3) mit SU(2)/{±E} Wir betrachten die Menge V = {X Mat(2, C) X t = X} der hermiteschen 2 2-Matrizen zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform σ : V V R : σ(x, Y ) = 1 [ ] det(x + Y ) detx dety 2 { ( ) α z α, } Durch Nachrechnen erhält man: V = β R und z C z β a ( ) Wir definieren φ : R 4 V, b a + d b + ic c b ic a + d d Satz 14. φ ist eine Isometrie von (R 4, h) nach (V, σ). Satz 15. O(3, 1) = O(V, σ). Insbesonders SO + (3, 1) = L O(V, σ). Der Satz 16 folgt unmittelbar durch Nachrechnen, der Satz 17 ergibt sich aus dem Satz 10. Unser nächstes Ziel ist es, die Gruppe L aus dem Satz 17 zu bestimmen: Satz 16. Es gilt SO + (3, 1) = SL(2, C)/{±E}. Beweis. Wir betrachten folgende Abbildung: ρ : SL(2, C) GL(V ), ρ(a) (X) = A X Āt, A SL(2, C), X V und zeigen, dass ρ ein Homomorphismus mit Kerρ = {±E 2 } und Im ρ = SO + (3, 1)ist. 1) ρ ist wohldefiniert (falls X hermitesch, dann ist auch A X Āt hermitesch). 2) die Homomorphieeigenschaft ist leicht nachzurechnen. 23

24 3) Wir zeigen, dass Kerρ = {±E 2 }. A Kerρ A X Āt = X X V ( ) Für X = E 2 folgt daraus A Āt = E 2 A 1 = Āt Für X = A { B SL(2, C) AX = XA X V } ( ) ( ) 1 0 und X = 0 1 A = z E 2 mit z C. ( ) 0 1 erhalten wir aus ( ) und ( ): 1 0 Wegen deta = 1 ist z = ± 1 und damit A = ± E 2 Kerρ {±E 2 }. andere Richtung ist klar. 4) Es bleibt noch zu zeigen, dass Im ρ = SO + (3, 1). Wir zeigen dazu, dass Im ρ = L, wobei L wie im Satz 17 ist. Sei λ der nach dem Satz 10 gewählte Isomorphismus von SO + (3, 1) nach L. Da SO + (3, 1) eine Einskomponente ist, ist auch L eine Einskomponente. Da SL(2, C) nach Satz 8 zusammenhängend und ρ eine stetige Abbildung ist, ist ρ(sl(2, C)) = Im ρ auch zusammenängend. Wegen E 2 Im ρ gilt somit Im ρ L. Wir betrachten die Basis B von V, die aus den Matrizen ( ) ( ) ( ) ( ) i 1 0 B 1 =, B =, B =, B i 0 4 = 0 1 besteht und bestimmen die ρ-bilder der Matrizen ( ) ( cos α sin α R(α) = 2 2 e i α 2 0 sin α cos α, S(α) = 0 e i α ) ( α ) e 2 0, T (α) = 0 e α. 2 Nach der Definition von ρ sind diese Bilder lineare Abbindungen von V in sich selbst. Jeder solchen Abbildung kann eine eindeutige Matrixdarstellung bzgl. der Basis B zugeordnet werden. Deswegen werden wir von nun an ρ(a) mit einer 4 4- Matrix identifizieren für jedes A SL(2, C). Es gilt also cos α sin α sin α cos α cos α sin α 0 ρ(r(α)) = , ρ(s(α)) = 0 sin α cos α , 24

25 cosh α 0 0 sinh α ρ(t (α)) = sinh α 0 0 cos α ( ) ( ) 1 0 cos α sin α Es gilt z. B. ρ(r(α)) = = cos α B 0 1 sin α cos α 1 + sin α B 2, d.h. (cos α, sin α, 0, 0) t ist die 1. Spalte der entsprechenden Matrixdarstellung. ρ(r(α)) und ρ(s(α)) erzeugen die Menge der Lorentz-Drehungen (vgl. Satz 11). Nach dem Satz 13 wird von diesen 3 Matrizen also gerade die Gruppe SO + (3, 1) erzeugt. Wird jetzt noch der Isomorphismus λ mit seiner Matrixdarstellung identifiziert, so wird die Gruppe L von den λ-bildern der Matrizen ρ(r(α)), ρ(s(α)) und ρ(t (α)) erzeugt. Man kann aber durch Rechnung zeigen, dass λ(ρ(r(α))) = ρ(r(α)), usw. Z. B. : ( ) cos α sin α φ(1. Spalte von ρ(r(α))) = = cos α B sin α cos α 1 + sin α B 2, d. h. 1. Spalte von λ(ρ(r(α))) = 1. Spalte von ρ(r(α)). Mit anderen Worten erzeugen die Matrizen ρ(r(α)), ρ(s(α)) und ρ(t (α)) die Gruppe L und damit ist L SO + (3, 1). Also gilt nach dem Homomorphiesatz SO + (3, 1) = L = Im ρ = SL(2, C)/{±E}. Der nächste Satz ist eine einfache Folgerung aus dem Satz 18: Satz 17. SU(2)/{±E} = SO(3). Beweis. Die Matrizen R(α), S(α) aus dem Satz 18 erzeugen nach dem Satz 12 die Untergruppe SU(2) von SL(2, C) und ihre ρ-bilder erzeugen die zu SO(3) isomorphe Gruppe. Also ist ρ SU(2) ein Homomorphismus mit dem Kern {±E 2 } und dem Bild isomorph zu SO(3). Mit dem Homomorphiesatz folgt die Behauptung. 25