Übung zu Kapitalmarkttheorie II

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1 Übung zu Kapitalmarkttheorie II Marina Markheim (MSc) Lehrstuhl für Theoretische Volkswirtschaftslehre Prof Dr Lutz Arnold Universität Regensburg Tel: Raum RW(L)407 WS 207/208 Inhaltsverzeichnis WIEDERHOLUNG 3 Aufgabe 3 2 Aufgabe 3 3 Aufgabe 4 4 Aufgabe 4 5 Aufgabe 4 6 Aufgabe 5 7 Aufgabe 5 2 PARADOXE 6 2 Aufgabe: Allais Paradoxon 6 22 Aufgabe: St Petersburger Paradox 6 3 KOVARIANZ 7 3 Aufgabe 7 32 Aufgabe 7 4 NUTZENMAXIMIERUNG BEI ZWEI GÜTERN 8 4 Aufgabe 8 42 Aufgabe 8 5 EDGEWORTH BOX 9 5 Aufgabe: Tauschökonomie 9 52 Aufgabe: Spot Märkte versus Terminmärkte 9 53 Aufgabe: Proof of st Welfare Theorem with CCMs) 9 6 FINANZÖKONOMIE 0 6 Aufgabe 0 62 Aufgabe: Leerverkäufe 0

2 7 BEISPIELE 7 Beispiel 72 Beispiel 73 Beispiel 8 FINANZMÄRKTE 2 8 Aufgabe: Arrow Securities 2 82 Aufgabe: Komplettierung des FM mit Optionen 2 83 Aufgabe 2 84 Aufgabe: Arbitragefreiheit 3 85 Aufgabe: Assetbewertung 3 9 CONSUMPTION BASED ASSET PRICING 4 9 Aufgabe: Herleitung 4 92 Aufgabe: Asset Pricing Gleichung 4 0 SDF BESTIMMUNG 5 0 Aufgabe 5 02 Aufgabe: Spezialfall 5 03 Aufgabe: Spezialfall Random Walk: 5 04 Aufgabe: Zahlenbeispiel 5 GESETZ DER ITERIERTEN ERWARTUNGEN (LIE) 7 Aufgabe: Konzept 7 2 Aufgabe: Beispiel 7 3 Aufgabe: Beispiel 2 8 2

3 WIEDERHOLUNG Aufgabe Gegeben sind vier Firmen mit folgenden Mengen und Preisen, die zu Ihrem Aktienportfolio hinzugefügt werden: Titel Anzahl Aktien Preis je Aktie Bank AG BVB Versicherungsgesellschaft 5 46 Autoindustrie Abbildung a) Ermitteln Sie je einen Mengen- und Preisvektor b) Ermitteln Sie anschließend die Gesamtkosten Ihrer Transaktion 2 Aufgabe Gegeben sind folgende Matrix bzw Vektor: A = ; x = x x 2 x 3 a) Ermitteln Sie das Produkt Ax = b Berechnen Sie die Determinante und die Inverse von der Matrix A Falls nötig, wiederholen Sie die grundlegenden Rechenregeln der Matrixmultiplikation b) Ermitteln Sie das Produkt aus der Matrix A und dem Vektor x A = ; x = ,5 3 2 c) Drücken Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Vektorschreibweise aus und lösen Sie es 6x + 3x 2 + x 3 = 22 x + 4x 2 + x 3 = 2 4x 4x 2 + 5x 3 = 0 3

4 3 Aufgabe Sie wollen bei Ihrem wöchentlichen Einkauf folgende Güter mit den jeweiligen Mengen und Preisen erwerben: Einkaufsliste (i) Anzahl Preis je Stück Zahnpasta 35 Gurke 079 Tomate Semmel Fleischwurst Packung Chips Tiefkühlpizza 2 35 Fußballmagazin 675 Packung Käse Abbildung 2 a) Erstellen Sie einen Mengenvektor und einen korrespondierenden Preisvektor b) Geben Sie den Preis des gesamten Einkaufs in Summen- und in Vektorschreibweise an 4 Aufgabe Wiederholen Sie das Konzept der vollständigen Induktion 5 Aufgabe Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N gilt n (2k ) = n 2 () k= n k= k 3 = n2 (n + ) 2 4 (2) n k2 k = (n )2 n+ + 2 (3) k= 4

5 6 Aufgabe Wiederholen Sie die Konzepte: a) der Indifferenzenkurven und der Grenzrate der Substitution b) Was ist eine Edgeworth-Box? Erläutern Sie anhand dieser Box das Konzept einer Paretooptimalen Allokation c) Was besagt in diesem Zusammenhang der Erste Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie? Was der Zweite? d)diskutieren Sie Gültigkeit beider Sätze bei nicht konvexen Präferenzen 7 Aufgabe Betrachten Sie die folgende Nutzenfunktion: a) Ermitteln Sie daraus die Grenzrate der Substitution (GRS) U(x, x 2 ) = x α x β 2 (4) b) Nehmen Sie an, dass x = 2 und x 2 = 6 Berechnen Sie GRS, wenn Sie α = 2 und β = 0,5 unterstellen 5

6 2 PARADOXE 2 Aufgabe: Allais Paradoxon Es gebe drei mögliche Zustände (s, s 2, s 3 ) mit den zugehörigen Payoffs ( ; ; 0) Zeigen Sie, dass das Allais-Paradoxon eine Schwäche der Erwartungsnutzentheorie aufzeigt Um das zu zeigen, benutzen Sie dazu folgende zwei Alternativen (s Abbildung 3)[ ] Alternative Alternative 2 Auszahlung $ $ $0 $ $ $0 Lotterie 0% 00% 0% 0% % 89% Lotterie 2 0% 89% % 0% 0% 90% Abbildung 3 22 Aufgabe: St Petersburger Paradox Es wird Ihnen ein Spiel mit einer faire Münze vorgeschlagen Sie werfen die Münze solange, bis zum ersten Mal Kopf fällt Bei jeder gefallenen Zahl erhalten Sie 2 Euro nach der ersten Runde, 4 Euro nach der zweiten Runde, 8 Euro nach der dritten Runde, nach der vierten Runde gleich 6 Euro usw Beantworten Sie die folgenden Fragen a) Wie hoch soll die Teilnahmegebühr bei diesem Spiel sein, damit die risikoneutrale Individuen daran teilnehmen? b) Zeigen Sie, wie sich anhand der Bernoulli-Nutzen Theorie dieses Paradoxon scheinbar lösen lässt c) Warum ist diese allerdings keine wirkliche Lösung? d) Nennen Sie die weiteren Beispiele, welche die Entscheidungen unter Unsicherheit ein nicht wegzudenkendes Merkmal des täglichen Lebens darstellen Vgl Danthine, J-P und Donaldson, JB (2002): Intermediate Financial Theory, S

7 3 KOVARIANZ 3 Aufgabe In der Vorlesung wir des Öfteren die Kovarianz zwischen zwei Variablen betrachtet Was sagt diese Maßzahl aus Beschreiben Sie das Konzept genauer 32 Aufgabe Gegeben seien zwei Assetrenditen X und Y mit vier möglichen Ausprägungen x s bzw y s, die jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit vorkommen (p s = 025) S: Xs Ys E(Xs) E(Ys) Xs-E(Xs) Ys-E(Ys) Abbildung 4 a) Berechnen Sie die Kovarianz b) Welche Probleme ergeben sich bei der Interpretation der Kovarianz? Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizient? c) Was ist eine Kovarianzmatrix? 7

8 4 NUTZENMAXIMIERUNG BEI ZWEI GÜTERN 4 Aufgabe Beschreiben und lösen Sie allgemein das Optimierungsproblem, das sich bei beliebig gegebener Nutzenfunktion und Budgetbeschränkung ergibt Was besagt die Optimalitätsbedingung? 42 Aufgabe Betrachten Sie das folgende Beispiel Gegeben sind: p = 4; p 2 = 6; b = 30 u(x, x 2 ) = (x + 2)(x 2 + ) (5) a) Bestimmen Sie das nutzenmaximierende Güterbündel b) Wie lautet die Lösung für die Nutzenfunktion u = (x, x 2 ) = x α x β 2 (6) mit α = 0, 5; β = 2; b = 80; p = 2; p 2 = 4? 8

9 5 EDGEWORTH BOX 5 Aufgabe: Tauschökonomie Gegeben seien zwei Individuen und 2, die jeweils zwei Güter x und y konsumieren können Die Nutzenfunktionen der beiden Typen lauten: U (x, y ) = x α y α (7) und U 2 (x 2, y 2 ) = x β 2y β 2 (8) a) Ermitteln Sie die Kontraktkurve in der Edgeworth Box zunächst allgemein b) Setzen Sie für α = 2 und β = 2 3 ein und interpretieren Sie die Ergebnisse 52 Aufgabe: Spot Märkte versus Terminmärkte Zeigen Sie, wie man die Ökonomie mit Terminmärkten (CCMs) für den 2 Individuen Fall anhand der Edgeworth Box darstellen kann, vorausgesetzt es gilt für die Ausstattung in der ersten Periode y i t = 0 und damit c i t = 0 Um einen Vergleich herzustellen, fragen Sie sich zunächst, wie die Darstellung für Spot Märkte aussehen müsste 53 Aufgabe: Proof of st Welfare Theorem with CCMs) Wiederholen Sie den Beweis aus dem Kapitel 3 (Vorlesungsskript) 9

10 6 FINANZÖKONOMIE 6 Aufgabe Gehen Sie von einem sicheren und einem riskanten Asset mit den dazugehörigen Preisen und Payoffs aus der Vorlesung aus a) Generieren Sie für r t+ = 0,05 die Payoffs (; 0) und (0; ) b) Wie generiert man beliebige andere Payoffs (x; 0) und (0; x) 62 Aufgabe: Leerverkäufe Liefere nun das riskante Asset in jedem Umweltzustand s =, 2 einen ( ) positiven ( Payoff, ) 0 dh x t+,s > 0, s =, 2 Zeigen Sie, dass, um die Payoff-Vektoren und zu 0 erhalten, Leerverkäufe jeweils unumgänglich sind Es gelte x t+, x t+,2 0

11 7 BEISPIELE 7 Beispiel Sei r t+ = 0, 05; x t+, = 2; x t+,2 = 3 Ermitteln Sie, wie viele Einheiten des sicheren ( ) und des riskanten Assets jeweils gehalten 5 werden müssen, um den Payoff-Vektor zu generieren 3 72 Beispiel Kein sicheres Asset: Nun seien zwei riskante Assets gegeben Illustrieren Sie, dass lineare Unabhängigkeit der Payoff-Vektoren Voraussetzung dafür ist, dass Sie die Payoffs (,0) und (0,) mit diesen Assets generieren können 73 Beispiel Gegeben seien die beiden Vektoren u = a) Ist es möglich, den Payoff-Vektor ( 5, 5 5 ( 5 2 b) Stellen Sie das Ergebnis auch grafisch dar ) und v = ) zu generieren? ( 2 4 )

12 8 FINANZMÄRKTE 8 Aufgabe: Arrow Securities Nehmen Siean, dass folgende Wertpapiere mit dazugehörigen gleichgewichtigen Preisen 0 p k = 06 gehalten werden: Asset = 2, Asset 2 = und Asset 3 = a) Ermitteln Sie jeweils den Preis p t,s der drei abgebildeten Arrow Securities b) Ist Finanzmarktvollständigkeit erreichbar, wenn es nicht möglich ist, Arrow Securities für alle s Zustände zu synthetisieren? 82 Aufgabe: Komplettierung des FM mit Optionen In einer Öikonomie mit drei möglichenumweltzuständen (s =, 2, 3) ist ein Wertpapier mit folgendem Payoff-Vektor gegeben: 3 5 Zudem gebe es Call-Optionen mit Ausübungspreisen (strike prices p s ) und 3 a) Wie lauten die Payoff-Vektoren für die beiden Optionen? b)wie lautet das lineare Gleichungssystem, das das Portfolio für Zustand s = 3 nachgebildet werden kann? c) Wie lauten die Portfolios, die die anderen beiden AS nachbilden? d) Mit welchem Portfolio kann man sich eine sichere Auszahlung von sichern? z z 2 z 3 liefert, mit dem die AS e) Angenommen, dass das Wertpapier 2 Euro kostet: Call und Call 2 kosten jeweils und 0,4 Euro Bestimmen Sie den Preis der AS für Zustand 3 83 Aufgabe Ein beliebiges Wertpapier liefert in drei Umweltzuständen (s =, 2, 3) den Payoff-Vektor

13 a) Mit welchen Ausübungspreisen (strike prices p s ) von Call-Optionen könnte hier die Komplettierung des Finanzmarktes erreicht werden? Wie lauten die Payoff-Vektoren der beiden Optionen? b) Beschreiben Sie in Matrixschreibweise das Problem, um eine AS für Zustand s = 3 zu erzeugen Wie lautet das lineare Gleichungssystem? c) Was versteht man allgemein unter Finanzmarktvollständigkeit? d) Was ist eine Call Option? e) Was versteht man unter dem strike price? 84 Aufgabe: Arbitragefreiheit Betrachten Sie die drei Wertpapiere aus Aufgabe 9, dh zugehörigen Preisen p p 2 p 3 = 0,6 0, ; und den zugehörigen AS-Preisen p t,s = 02 für alle Umweltzustände s ; mit den a) Erläutern Sie anhand von Arbitrageüberlegungen, ob Asset 3 richtig bepreist ist b) Was wäre, wenn der Preis größer bzw kleiner als für Arbitragefreiheit nötig wäre? 85 Aufgabe: Assetbewertung Asset k = 3 4 8, AS Preise: p t,s = Das verfügbare Einkommen beträgt 20 Einheiten für alle drei Zustände und p k = 4 a) Ermitteln Sie, ob das Asset korrekt bepreist ist b) Wie hoch wäre der mögliche Gewinn im Falle einer Fehlbepreisung? 3

14 9 CONSUMPTION BASED ASSET PRICING 9 Aufgabe: Herleitung Alternative Herleitung der fundamentalen Asset - Pricing - Gleichung für das riskante Asset Gegeben sind folgende Nutzenfunktionen: u i (c i t) = γ i (ci t) γi (9) und u i (c i t+,s) = γ i (ci t+,s) γi, (0) mit c i t = y i t p t η i t bzw c i t+,s = y i t+,s + η i t(p t+,s + a t+,s ), wobei η i t die Menge des riskanten Assets angibt, die der Investor in t kauft Leiten Sie die fundamentale Asset Pricing Gleichung her 92 Aufgabe: Asset Pricing Gleichung a) Schreiben Sie die fundamentale AP Gleichung auf b) Stellen Sie die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q s in Abhängigkeit von SDF (M t,t+,s ), subjektiver Wahrscheinlichkeit π s und dem sicheren Zinssatz ( + r t+ ) auf c) Bestimmen Sie q s für die Nutzenfunktion eines risikoneutralen Marktteilnehmers, dh SDF= d) Formulieren Sie die fundamentale AP Gleichung in Abhängigkeit von q s e) Gehen Sie von einer beliebigen Nutzenfunktion aus, wie zum Beispiel in den Gleichungen 9, 2 und 3 beschrieben wird und bestimmen Sie q s 4

15 0 SDF BESTIMMUNG 0 Aufgabe Gegeben sind folgende Nutzenfunktionen: u i (c i ) = c i a i (c i ) 2 () Bestimmen Sie jeweils den SDF u i (c i ) = ln c i (2) u i (c i ) = (c i ) α (3) u i (c i ) = γ i (ci ) γi (4) 02 Aufgabe: Spezialfall a) Welches Gleichgewicht stellt sich ein, wenn Anfangsausstattungen und Nutzenfunktionen für alle Individuen i gleich sind? b) Wie nennt man ein solches Gleichgewicht? c) Wie lautet in diesem Fall der SDF für die Nutzenfunktionen aus Aufgabe 0 für die Nutzenfunktionen () und (2)? 03 Aufgabe: Spezialfall Random Walk: a) Zeigen Sie, dass gegeben Risikoneutralität Assetpreise einem Random Walk folgen, wenn Sie die nötigen Annahmen treffen Was bedeutet dies für Preisvorhersagen? b) Zeigen Sie, dass p t = p 0 + t ξ τ gelten muss τ= c) Angenommen ξ t iid Bestimmen Sie E 0 (p t ) für alle t d) Wie entwickelt sich die Varianz im Zeitablauf? e) Was bedeutet das für die Prognose des zukünftigen Assetkurses? 04 Aufgabe: Zahlenbeispiel Sei β = 0,8 und π = π 2 = 0, 5 und zwei nachfolgende Nutzenfunktionen: Lineare Nutzenfunktion u i (c i ) = 2 + 3c, (5) und 2 Power Utility im No Trade Equilibrium u(c i ) = (ci ) γ γ (6) 5

16 a) Bestimmen Sie für die beiden Nutzenfunktionen den SDF b) Bestimmen Sie für die lineare Nutzenfunktion den risikolosen Zinssatz r t+ c)nehmen Sie für y t = 3, y t+, = 2, y t+,2 = 2,5 und γ = 0,7 an Berechnen Sie für die zweite Nutzenfunktion (Power Utility) E t [M t;t+ ] und den risikolosen Zinssatz (r t+ ) 6

17 Auszahlungen GESETZ DER ITERIERTEN ERWARTUNGEN (LIE) Aufgabe: Konzept t=0 t= t=2 t=t Zeit X X2 X3 3 S- S K- K K+ J- J J+ S- S S- S XS- XS Abbildung 5 a) Ergänzen und erklären Sie die Abbildung 5 b) Was besagt das Theorem LIE? c) Wiederholen Sie den Beweis aus der Vorlesung, in dem die folgende Gültigkeit gezeigt wird: 2 Aufgabe: Beispiel E(x σ) = E(E(x σ ) σ) Gegeben sind fünf Umweltzustände S = {, 2, 3, 4, 5} und drei Zeitpunkte: T = {t 0, t, t 2 } Die Auszahlungen sind in der Periode t 0 sowie in t unbekannt In der letzten Periode t 2 liegt eine totale Partitionierung vor und Sie wissen, in welchem Umweltzustand mit welcher Auszahlung Sie sich befinden Das heißt, dass jedem einzelnen Elementarereignis {}; {2}; {3}; {4}; {5} mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten π =, π 0 2 =, π 0 3 =, π 5 4 =, π 5 5 = 2 die Auszahlungen x 5 s : {00}, {50}, {200}, {300}, {50} entsprechen 5 Ferner gilt in t 2 : π s = In t gibt es zwei Informationsmengen: σ = {, 2, 3} und σ 2 = {4, 5} mit π σ π σ = = 2 5 und 7

18 a) Welche Partitionierungen von S sind in diesem Beispiel möglich? b) Stellen Sie die Angaben dieses Beispiels graphisch dar c) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E(x σ) d) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E[E(x σ ) σ)] in drei Schritten e) Vergleichen Sie und interpretieren Sie die Ergebnisse aus TA (c und d) 3 Aufgabe: Beispiel 2 Gegeben sind sechs Umweltzustände S = {, 2, 3, 4, 5, 6} und vier Zeitpunkte: T = {t 0, t, t 2, t 3 } Die Auszahlungen sind in t 0, t sowie t 2 unbekannt In t 3 liegt eine totale Partitionierung vor und die entsprechenden Auszahlungen sind {6}, {2}, {8}, {24}, {30}, {36}, mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten π = π 2 =, π 30 3 =, π 5 4 = 2 π 5 5 = π 6 = 6 In t wissen Sie, dass es zwei Informationsmengen gibt: σ = {, 2, 3, 4} und σ 2 = {5, 6} mit π σ = 2 und π 3 σ = In t sind vier Informationsmengen bekannt: σ = {, 2}, σ 2 = {3, 4}, σ 3 = {5} und σ 4 = {6} mit π σ = 5, π σ 2 = 3 5 und π σ 3 = 6, π σ 4 = 6 a) Welche Partitionierungen von S sind in diesem Beispiel möglich? b) Stellen Sie die Angaben dieses Beispiels graphisch dar c) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E(x σ) d) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E[E(x σ ) σ)] in drei Schritten e) Vergleichen Sie und interpretieren Sie die Ergebnisse aus TA (c und d) 8