Versuch 28 Röntgenstrahlung

Transkript

1 Physikalisches Praktikum Versuch 28 Röntgenstrahlung Praktikanten: Johannes Dörr Gruppe: 14 physik.johannesdoerr.de Datum: Katharina Rabe Assistent: Sebastian Geburt 1 Einleitung Röntgenstrahlung findet in vielen Bereichen Anwendung. In der Materialwissenschaft wird sie für die Untersuchung von Kristallstrukturen verwendet, in der Medizin ermöglicht sie das Fotografieren von Knochen oder Zähnen und auch das Universum ist voll davon. Dieser Versuch führt in die Entstehung von Röntgenstrahlung, in ihre Reflektionen an Kristallen sowie in ihre Absorption ein. 2 Theorie 2.1 Erzeugung von Röntgenstrahlung Die wesentlichen Elemente einer Röntgenröhre sind eine Glühkathode und eine um 45 abgeschrägte Anode, die sich in einem evakuierten Kolben befinden. Aus der Glühkathode entweichen Elektronen und werden durch die Spannung U A zur Anode beleunigt. Da sie schließlich dort auftreffen und deshalb stark abgebremst werden, wird ein Teil ihrer Energie in Form eines Photons abgegeben. Dies nennt man die Bremsstrahlung. Die maximale 1

2 Figure 1: Aufbau einer Röntgenröhre Energie E max, die auf diese Weise in Strahlung umgewandelt wird, ist die, die den Elektronen (Ladung e) durch die Beschleunigungsspannung U A zugeführt wurde: E max = e U A. (1) Photonen mit einer größeren Energie können nicht entstehen, jedoch sehr wohl welche mit geringerer. Man findet demnach eine homogene Verteilung von Energien, die ein Maximum jedoch nicht übersteigt. Die Wellenlänge eines Photons ist direkt proportional zu seiner Energie, worauf gleich noch genauer eingegangen wird. Auf Grund des Maximums der beobachteten Energie existiert die songenannte Grenzwellenlänge λ g r, die entsprechend ein Minimum hat. In Wirklichkeit wird nur ein sehr kleiner Teil in Strahlung umgewandelt(bei einer Wolfram-Kathode und U A = 250kV etwa 10%), während der Rest zu Wärme wird, weshalb die Anode gekühlt werden muss. Es tritt noch ein weiterer Effekt auf. Durch das Auftreffen der Elektronen auf die Anode können diese einzelne Atome in einen höheren Energiezustand versetzen (siehe auch Protokoll 26, Laser und Interferenz ). Springen diese wieder in einen energetisch tieferen Zustand zurück, wird der Differenzbetrag E in Form eines Photons emittiert, dessen Frequenz ν bzw. Wellenlänge λ sich wie folgt ergeben: E = h ν = h c λ. (2) Dabei ist h die Planchsche Konstante, c die Lichtgeschwindigkeit. Da jedes Atom nur ganz bestimmte Energieniveaus besitzt, in die es durch Anregung versetzt werden kann, treten bei diesem Effekt nur ganz bestimmte Wellenlängen der Photonen auf, die man charakteristische Strahlung nennt. Insgesamt beobachtet man also hinter einer Röntgenröhre keine homogene Energieverteilung der Strahlung, sondern eine solche, die Peaks an den Stellen aufweist, die der Energiedifferenz eines Überganges des Atoms entspricht. Im Schalenmodell der Atome entspricht jede Schale (man benennt sie mit K, L, M,...) einem solchen Energieniveau. Man fasst die Rücksprünge von allen höheren auf eine bestimmte Schale zu einer Serie zusammen und benennt sie mit dem Namen der Schale. Die konkreten Übergänge, die sich ja im Ausgangszustand unterscheiden, nummeriert man mit mit dem griechischen Alphabet, und zwar mit größer werdender Energiedifferenz. So ist beispielsweise der Übergang K α (nämlich L K) mit weniger Energie verbunden als K β (nämlich M K), bei ersterem hat das Photon also eine größere Wellenlänge. Da beispielsweise in der L-Schale noch Unterschalen L 1, L 2,... existieren, kennzeichnet man mit K α1 (also L 1 K), K α2 (also L 2 K),... dementsprechend die Übergänge. 2

3 2.2 Messung der Spektren Mit einem Zählrohr kann die Anzahl bzw. Zählrate von Photonen gemessen werden. Dabei wird jedoch nicht ihre Wellenlänge ermittelt. Um die beschriebene Energieverteilung sichtbar zu machen, verwendet einen Kristall mit gut bekannter Struktur, auf den die Röntgenstrahlung in einem verstellbaren Winkel θ auftrifft (siehe Abbildung 2). Figure 2: Aufbau eines Röntgenspektrometers Diese reflektiert an den Atomen und auf Grund des Wegunterschieds von 2 s tritt hinter dem Kristall Interferenz auf. Beträgt die Wegdifferenz genau ein Vielfaches der Wellenlänge, so empfängt der Detektor im Winkel 2θ genau das Maximum der Wellenlänge. Dies ergibt sich aus der Bragg-Bedingung: 2d sin θ = n λ. (3) Durch Verändern von θ empfängt der Detektor das Maximum der Wellenlänge, die nun passt, sodass auf diese Weise die Zählrate für jede Wellenlänge bestimmt werden kann. Trägt man die Zählrate in Abhängigkeit von θ, also in Abhängigkeit der Wellenlänge auf, so sind die oben beschriebenen Peaks zu beobachten. 2.3 Energiedifferenz bei Bahnübergängen Wir werden nun die Energie, die bei Bahnübergängen frei wird, genauer betrachten. Wie groß die Energie ist, die benötigt wird, um ein Elektron in eine höhrere Schale zu bringen, bzw. die frei wird, wenn es in eine niedrigere Schale zurückspringt, hängt von der Kraft ab, es vom Kern erfährt. Dies ist insbesondere bei großen Atomen nicht die gesamte Ladung des Kerns, denn die anderen Elektronen schirmen diese teilweise ab. Aus diesem Grund sind Energieübergänge in höheren Schalen betragsmäßig kleiner, denn dort ist die Abschirmung des Kerns durch die tiefer liegenden Elektronen höher. Für die potentielle Energie E eines Elektrons auf einer Bahn n um ein Proton gilt (ɛ 0 : Dielektrizitätskonstante, m e : Elektronenmasse, h: Plancksche Konstante): E = m e e 4 8 ɛ h2 n 2. (4) Diese Gleichung ergibt sich unter Anderem aus der Theorie, dass der Umfang der Bahn des Elektrons ein Vielfaches seiner Wellenlänge, die sich nach de Broglie aus λ = h p = h m ev ergibt, sein muss, da es sonst auf Grund der Zentrifugalkraft Strahlung und damit Energie abgeben würde. 3

4 Für die Frequenz des Photons, das beim Übergang zwischen zwei Schalen m und n frei wird, ergibt sich damit: ν = E h = 1 h me e 4 ( 1 8 ɛ 0 h 2 n 2 1 ) m 2. (5) Diese Gleichung, die speziell für ein Elektron im Feld eines Protons gilt, lässt sich nun mit der Kernladungszahl Z verallgemeinern. In (5) bezieht sich das eine e 2 auf die Kernladung Q 2 = (1 e ) 2, für sie können wir allgemein schreiben: Q = Z e Q 2 e 2 = Z 2 e 4. (6) Da durch die Abschirmung des Protons die effektive Kernladung für das Elektron etwas geringer ist, führt man den Abschwächungsfaktor σ für Q eff = Q σ ein, der für jede Schale spezifisch ist. Für die K-Schale ist er gerade σ K = 1, da (nur) ein weiteres Elektron vorhanden ist, das abschirmend wirkt. Es ergibt sich also: ν = 1 h me (Z σ) 2 e 4 ( 1 8 ɛ 2 0 h2 n 2 1 ) m 2. (7) Mit der Rydberg-Frequenz für Wasserstoff R ν := m e e 4 8 ɛ 2 0 h3 (8) lässt sich dies auch schreiben als: ( 1 ν = R ν (Z σ) 2 n 2 1 ) m 2, (9) und für die Energie ergibt sich mit E = h ν: E = h R ν (Z σ) 2 ( 1 n 2 1 ) m 2. (10) 2.4 Absorption von Röntgenstrahlung Bei der Beobachtung von Röntgenstrahlung in einem Material fällt auf, dass die Intensität I der eintreffenden Strahlung größer als die der wieder austretenden ist, sie also abgeschwächt wird. Man definiert den Abschwächungskoeffizienten β wie folgt: di = β I dx. (11) Durch Integration über die gesamte Schichtdicke x des Materials (parallel zur Ausbreitungsrichtung) erhält man: I(x) = I 0 e xβ. (12) Als Ursache für die Abschwächung der Strahlung kommen zwei Vorgänge in Frage, nämlich Streuung und Absorption. Für die jeweiligen Abschwächungskoeffizienten β S für Streuung bzw. µ für Absorption muss gelten: β = β S + µ. (13) Die Streuung wollen wir nun vernachlässigen und nur die Absorption betrachten. Der Koeffizient µ ergibt sich dann aus: Die Absorption selbst geht auf drei Effekte zurück: µ = ln(i(x)/i 0) x. (14) 4

5 1. Photoeffekt Stößt ein Photon auf ein Atom, so kann es absorbiert werden und das Atom in einen energetisch höheren Zustand versetzen, sofern es einen Energiezustandsübergang für die Energie des Photons besitzt. 2. Comptoneffekt Trifft ein Photon auf ein freies Elektron, so können diese elastisch stoßen, wodurch das Photon dem Elektron einen Teil seiner Energie übergibt. Dieser Effekt kann auch bei Elektronen innerhalb eines Atoms auftreten, sofern sich dieses weit außen befindet und somit eine geringe Bindungsenergie besitzt. In diesem Fall kann das Photon das Elektron aus dem Atom lösen und dieses somit ionisieren. 3. Paarbildung Besitzt ein Photon genügend Energie, kann es im Feld eines Atoms ein Elektron und ein Position erzeugen. Die Energie muss dabei mindestens so groß sein wie die Ruheenergie der beiden Teilchen, der Rest wird ihnen als kinetische Energie übergeben. Diese Mindestenergie von 1MeV ist eine Größenordnung größer als die in dem Versuch, weshalb dieser Effekt dort nicht auftritt. 2.5 Das Geiger-Müller-Zählrohr Figure 3: Aufbau eines Geiger-Müller-Zählrohrs Ein Geiger-Müller-Zählrohr bestet im Wesentlichem aus einem zylindrischen, mit Gas gefüllten Kondensator. Zwischen dem äußeren Zylinder und dem Draht in der Mitte wird eine Spannung angelegt, sodass ersterer zur Kathode und letzterer zur Anode wird. Die vordere Seite ist für Photonen durchlässt, sodass diese in das Gas eintreten und dieses ionisieren können. Dabei befreit das Photon ein Elektron des Gas-Atoms, wonach das Atom zur Kathode und das Elektron zur Anode wandert. Bevor das Elektron diese jedoch erreicht, ist es sehr wahrscheinlich, dass es durch Stoß weitere Atome ionisiert, deren Elektronen dann wiederum weitere Atome ionisieren. Der Verstärkungseffekt dieser Kettenreaktion, durch den ein Stromfluss zwischen Kathode und Anode entsteht, macht es erst möglich, den Eintritt eines Photons zu registrieren. Wichtigster Parameter des Zählrohres ist die Spannung zwischen Kathode und Anode. Ist sie zu gering, bekommen die freigesetzten Elektronen zu wenig kinetische Energie und rekombinieren wieder mit Atomen, erreichen also nicht die Anode (Rekombinationsbereich). Bei höherer Spannung erreichen immer mehr Elektronen die Anode, besonders jedoch diese, die von einem sehr energiereichen Photon freigesetzt wurden, da ihnen von ihm schon mehr kinetische Energie mitgegeben wurde. Die Impulsrate ist also proportional zur Energie des Photons. Ist schließlich die Spannung hoch genug, erreichen so gut wie alle Elektronen die Anode (Ionisationskammer). Auch weiteres Erhöhen der Spannung führt zunächst zu keinem höherem Impuls. Erst wenn die Elektronen durch die Spannung so viel kinetische Energie bekommen, dass sie weitere Atome ionisieren können, steigt die Impulsrate wieder proportional zur Spannung (Proportionalitätsbereich). Bei noch höherer Spannung löst jedes Photon, auch welche mit geringer Energie, eine so große Kettenreaktion aus, dass zwar jedes Photon registriert wird, jedoch kein Rückschluss mehr über seine Energie gezogen werden kann. Dies ist der (Plateaubereich) oder auch Zählbereich des Zählrohrs. In disem arbeitet das Geiger-Müller- Zählrohr. Eine unzulässig hohe Spannung hätte zur Folge, dass Gasentladung stattfindet und das Zählrohr beschädigt, da sie nicht von allein erlischt. 5

6 Das Geiger-Müller-Zählrohr besitzt eine sogenannte Todzeit, in der es nach einer Registrierung eines Photons keine weiteren erkennen kann. Dies kommt dadurch zu Stande, dass durch die Kettenreaktion so viele Elektronen freigesetzt werden, dass diese das elektrische Feld der Anode abschirmen. Wird in dieser Zeit ein weiteres Elektron durch ein neues Photon freigesetzt, so rekombiniert dieses sofort wieder, da es auf Grund der fehlenden Anziehungskraft nicht beschleunigt wird. Die Todzeit dauert so lange, bis die Elektronen die Anode erreicht haben und der ursprüngliche Zustand somit wieder hergestellt ist. Um den hierdurch entstehenden Fehler zu korrigieren, verwendet man folgende Formel: N korrigiert = Dabei ist τ die Todzeit und N gemessen die registrierte Impulsrate. N gemessen 1 τ N gemessen. (15) Figure 4: Gemessene Impulsrate im Zählrohr bei konstanter Zahl der eintreffenden Photonen, in Abhängigkeit von der Spannung; Quelle: Wikipedia 3 Durchführung 1. Mit U A = 25kV, I = 1mA, θ = 0,1 und t = 2s wird ein Spektrum aufgenommen, um ein Bild der charakteristischen Strahlung des Anodenmaterials zu erhalten. Welches Anodenmaterial die Apperatur verwendet, ist abzulesen und zu notieren. 2. Die Abhängigkeit der Grenzwellenlänge und der Intensität der charakteristischen Strahlung von der Anodenspannung wird nun mit I = 1mA, θ = 0,1 und t = 4s gemessen. Die Winkelbereiche und Spannungen von 23V 35V mit U A = 3V sind dabei für die verschiedenen Anodenmaterialien vorgegeben. 3. Nun wird die Absorptionskonstante zweier Absorber, die speziell für das Anodenmatierial ausgewählt wurden, untersucht. Dazu wird jeweils eine Messung mit U A = 25kV, I = 1mA, θ = 0,1 und t = 30s. 4. Abschließend wird die Absorption verschiedener Materialien unterschiedlicher Kernladungszahl betrachtet, indem je ein Spektrum mit U A = 25kV, I = 1mA, θ = 0, 1 (8 θ 16 ) und t = 0, 2s aufgenommen wird. 6

7 4 Auswertung 4.1 Charakteristische Strahlung (2.) Die Charakteristische Strahlung wurde mit einem LiF -Kistall (d LiF = 201pm) aufgezeichnet. Die korrigierten Messwerte sind in Abbildung 5 gezeigt. Figure 5: Messung der Charakteristischen Stahlung: Impulsrate in Abhängigkeit vom Kristallwinkel Bei der Messung ist ein fünfter Peak bei 22,7 erkennbar, der physikalisch eigentlich nicht existiert und somit ein Messfehler sein muss. Bei den ersten beiden Peaks handelt es sich jeweils um das erste Maximum eines K α - bzw. K β - Übergangs, bei den zweiten handelt es sich um die zweiten Maxima derselben Übergänge. Ob es sich bei einem beliebigen Maximum um einen eigenen Übergang handelt, oder nur um eine weitere, höhere Ordnung, ist einfach daran zu erkennen, ob die zugehörige Energie ein Vielfaches eines bereits bekannten Energieübergangs ist. Winkel Ordnung Wellenlänge Energie Übergang 9,2 1 64(2) pm 19292(643) ev K β 10,4 1 73(2) pm 17086(726) ev K α 18,5 2 64(1) pm 19442(638) ev K β 20,8 2 71(1) pm 17372(714) ev K α Table 1: Charakteristische Strahlung In die Fehlerrechnung geht die Angabe der Gitterkonstante sowie die Toleranz der Winkeleinstellung ein. Es ergibt sich also: σ λ = (2 sin θ n ) 2 ( ) 2 2d cos θ σd 2 + σθ 2 (16) n 7

8 σ E = h c λ 2 σ λ. (17) Für den Fehler der Gitterkonstante haben wir σ d = 0,1pm angenommen, und für den der Winkeleinstellung σ θ = 0,1, da der Winkel bei der Messung in jedem Schritt um θ = 0,1 geändert wurde. Die Literaturwerte der Energieübergänge liegen mit diesen Angaben innerhalb des Fehlerbereichs. 4.2 Grenzwellenlänge (3.) Bei der Messung der Spektren ist auch vor der Grenzwellenlänge eine Impulsrate vorhanden, die sozusagen das nullte Maximum darstellt, bei der also die Strahlung auf geradlinigem Wege von der Anode zum Zählrohr gelangt. Bei zunehmendem Winkel nimmt diese ab, bis die Impulsrate schließlich wieder zunimmt. An diesem Punkt liegt das erste Maximum der Grenzwellenlänge, also der kleinsten Wellenlänge, die überhaupt vorhanden ist. In Abbildung 6 sind diese Punkte bei den Kurven der Impulsraten für verschiedene Beschleunigungsspannungen markiert. Figure 6: Messung der Grenzwellenlänge für verschiendene Beschleunigungsspannungne: Impulsrate in Abhängigkeit vom Kristallwinkel. Die Grenzwellenlängen sind für die verschiedenen Spannungen markiert. Abbildung 7 zeigt die Grenzwellenlänge in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung. Es handelt sich um einen Antiproportionalität, denn es gilt ja: E = U A e = h c = h ν gr. (18) λ gr Trägt man die Grenzfrequenz in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung auf (Abbildung 8), so wird ein linearer Zusammenhang erkennbar, und für die Proportionalitätskonstante a gilt nach (18): ν gr = e U A. (19) }{{} h a 8

9 Figure 7: Grenzwellenlänge in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung Figure 8: Grenzfrequenz in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung 9

10 Den Wert von a bestimmen wir mit linearer Regression. Damit erhalten wir: was für die Plancksche Konstante ergibt: mit dem Fehler: h = e a = e, (20) 2, h = 6,7889(288) Js σ h = e a 2 σ a. (21) Der Literaturwert der Planckschen Konstante h = 6, Js liegt leider nicht im abgeschätzten Bereich. 4.3 Intensität der Charakteristischen Strahlung (3.) Abbildung 9 zeigt die Messung 3 bei den Peaks. Bei höherer Beschleunigungsspannung ist die Impulsrate generell höher, da mehr Elektronen auf die Anode treffen. Die Positionen der Peaks ändern sich aber natürlich nicht, da sie durch die unveränderlichen Energieniveaus der Atome bestimmt sind. Abbildung 10 zeigt die Impulsrate an den ersten Maxima der K α - bzw. K β -Übergängen in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung. Es gilt dabei das Verhältnis: I K I A U A U K 3. (22) Dabei ist I K die Intensität der charakteristischen Strahlung eines bestimmten Übergangs, I A der Anodenstrom, U A die Anodenspannung und U K das Ionisationspotential der entsprechenden Schale. Da die Beschleunigungsspannung U A im Vergleich zu U K sehr hoch ist, können wir letztere vernachlässigen. Außerdem nehmen wir an, dass der Anodenstrom konstant bleibt. Damit ergibt sich dann: I K 3 U A U K IK 3. (23) Diese Proportionalität ist in Abbildung 10 gut erkennbar, obwohl der Anodenstrom eigentlich nicht konstant ist. Dies ist offensichtlich, da im anderen Fall die Intensitäten der Bremsstrahlung bei allen Beschleunigungsspannungen gleich sein müsste, bzw. bei höherer Spannung sogar abnehmen müsste, da die selbe Elektronenanzahl (und daraus folgend die Photonenanzahl) sich auf einen größeren Energiebereich aufteilt. 4.4 Absorptionskonstanten (4.) Bei der Ermittlung der Absorptionskanten ist es teilweise etwas schwierig, die wirklichen Kanten von Messfehlern zu unterscheiden. Da bei den jeweils ersten Kanten die Schwelle besonders groß ist, werden wir in den folgenden Rechnungen nur diese betrachten. Abbildung 11 und 12 zeigen die Ergebnisse für Cu bzw. N i. Die folgende Tabelle zeigt die Absorptionskanten mit den zugehörigen Energien: Die Fehlerangaben ergeben sich wieder aus (16) und (17). Die gemessenen Absorptionskanten entstehen dadurch, dass bei bestimmten Wellenlängen der eintreffenden Strahlung die Atome des Absorbers angeregt werden, da gerade dort ein passendes Energieniveau existiert. Bei der hier jeweils gemessenen Absorptionskante handelt es sich um einen K-Übergang. Man kann hiermit die Rydberg-Frequenz bestimmen. Es gilt: ( ) 1 E = h R ν (Z σ) 2 (24) R ν = ( c 1 λ (Z σ) 2 n 2 1 m 2 10 n 2 1 m 2 ) 1, (25)

11 Figure 9: Messung der Intensität der Impulsrate für verschiedene Beschleunigungsspannungen. Impulsrate in Abhängigkeit vom Kristallwinkel. Figure 10: Dritte Wurzel des Quadrats der Impulsrate (siehe Gl. 23) der ersten Maxima von K α und K β in Abhängigkeit von der Beschleunigungsspannung 11

12 Figure 11: Messung der Absorptionskanten bei Kupfer Figure 12: Messung der Absorptionskanten bei Nickel 12

13 Winkel Wellenlänge Energie Absorber: Kupfer Cu (Z = 29) (2) pm 9119(130) ev 20,5 141(2) pm 8808(123) ev Absorber: Nickel Ni (Z = 28) 21,8 149(2) pm 8306(109) ev 20,5 154(2) pm 8006(102) ev Table 2: Absorptionskanten wobei wir bei K-Elektronen σ 1 annehmen können, da die Abschirmung erst bei entfernteren Schalen stark ins Gewicht fällt. Die Rydberg-Konstante R erhalten wir mit: Es ergibt sich somit: Rν = c R. (26) R = ( 1 1 λ (Z 1) ) (27) Durch Einsetzen von Z sowie den Wellenlängen an den jeweils ersten Absorptionskanten bei Cu und N i erhalten wir für die Rydberg-Konstante die Ergebnisse: Cu : Ni : R = 1, m 1 R = 1, m 1 Eine Fehlerrechnung macht hier wenig Sinn, da aus den Messwerten nicht einmal deutlich zu erkennen ist, welches die richtige Absorptionskante ist. Vom Literaturwert R = 1, m 1 haben unsere Messwerte eine Abweichung von rund 13%. 4.5 Absorptionskoeffizienten (5.) Abbildung 13 zeigt die Impulsraten in Abhängigkeit des Kristallwinkels für die verschiedenen Absorber. Bei der Messung für Zink war ein Messwert sehr offensichtlich fehlerhaft (Zählrate Null), weshalb er aus der Messreihe entfernt wurde. Der Absorptionskoeffiziernt ergibt sich aus Gleichung (14), nämlich: µ(λ) = ln(i(x, λ)/i 0(λ)) x. (28) Für die Dicke der Absorber wurden angeben: x Al = 0,08 und x Sn = x Zn = x Ni = 0,025. Für I 0 (λ) verwenden wir die Messung ohne Absorber, und können mit den Dichten der Absorber den Quotienten µ(λ)/ρ in Abhängigkeit von der Wellenlänge angeben, was in Abbildung 14 zu sehen ist. Es gilt das Gesetz das aus Abbildung 15 leider nicht sehr gut erkennbar ist. µ(λ)/ρ λ 3 (29) 13

14 Figure 13: Impulsrate bei verschiedenen Absorbern Figure 14: Quoatient µ(λ)/ρ in Abhängigkeit von der Wellenlänge 14

15 5 Diskussion Figure 15: Quoatient µ(λ)/ρ in Abhängigkeit von der dritten Potenz der Wellenlänge Dieser Versuch ist durchaus nicht uninteressant, obwohl die Durchführung der Messungen selbst sehr zeitaufwändig und dabei ziemlich unspektakulär ist, da fast alles automatisch abläuft. Dafür sind die Ergebnisse recht zufriedenstellend, obwohl bei enigen grafischen Darstellungen nicht immer die (linearen) zusammenhänge sichtbar wurden, die dort eigentlich existieren müssten. 15