Modal Logik. Arne Usadel. January 21, Hochschule Ravensburg-Weingarten

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1 Was ist und Einfuehrung Hochschule Ravensburg-Weingarten January 21, 2007

2 Was ist und Einfuehrung Inhaltsverzeichnis 1 Was ist und Einfuehrung 2 3 Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren 4 Modalsysteme

3 Was ist und Einfuehrung Was ist modale Logik Was heisst modal Wozu braucht man eigentlich Modallogik?

4 Was ist und Einfuehrung Was ist modale Logik Was heisst modal Wozu braucht man eigentlich Modallogik? Folgerung der Modalbegriffe moeglich und notwendig

5 Was ist und Einfuehrung Was ist modale Logik Was heisst modal Wozu braucht man eigentlich Modallogik? Folgerung der Modalbegriffe moeglich und notwendig Er regnet im Gegensatz zu Moeglicherweise regnet es

6 Was ist und Einfuehrung Was ist modale Logik Was heisst modal Wozu braucht man eigentlich Modallogik? Folgerung der Modalbegriffe moeglich und notwendig Er regnet im Gegensatz zu Moeglicherweise regnet es Alle Kreise sind rund im Gegensatz zu Notwendigerweise sind alle Kreise rund

7 Was ist und Einfuehrung Was ist modale Logik Was heisst modal Wozu braucht man eigentlich Modallogik? Folgerung der Modalbegriffe moeglich und notwendig Er regnet im Gegensatz zu Moeglicherweise regnet es Alle Kreise sind rund im Gegensatz zu Notwendigerweise sind alle Kreise rund

8 Was ist und Einfuehrung Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein

9 Was ist und Einfuehrung Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein Ist etwas in jeder Situation wahr, so ist diese Aussage notwendig

10 Was ist und Einfuehrung Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein Ist etwas in jeder Situation wahr, so ist diese Aussage notwendig Moegliche Aussage: Manche Menschen haben gruene Haut

11 Was ist und Einfuehrung Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein Ist etwas in jeder Situation wahr, so ist diese Aussage notwendig Moegliche Aussage: Manche Menschen haben gruene Haut Notwendige Aussage: Kreise sind rund oder auch Junggesellen sind unverheiratet

12 Was ist und Einfuehrung Die zugrunde liegende Intuition Zusaetzliche Aussagendimension durch moeglich und notwendig Wenn eine Aussage moeglich sein soll muss eine Situation wahr sein Ist etwas in jeder Situation wahr, so ist diese Aussage notwendig Moegliche Aussage: Manche Menschen haben gruene Haut Notwendige Aussage: Kreise sind rund oder auch Junggesellen sind unverheiratet

13 Was ist und Einfuehrung Das three wise men Rtsel Drei weise Personen sitzen sich in einem Kreis gegenueber. Es ist allen bekannt, dass es drei rote und zwei weie Huete gibt. Eine vierte Person setzt den drei weisen Personen nun jeweils einen der fnf Huete auf den Kopf. Die Weisen koennen jeweils die Huete der beiden anderen Weisen sehen, jedoch nicht ihren eigenen Hut. Nun wird reihum jede der drei weisen Personen gefragt ob sie wei, welche Farbe ihr Hut hat. Die ersten beiden Personen sind nicht in der Lage, diese Frage zu beantworten. Daraufhin kann jedoch die dritte Person sagen, dass sie einen roten Hut traegt.

14 Was ist und Einfuehrung Auffassung in der Modallogik In der Modallogik spricht man statt von moeglichen oder vorstellbaren Situationen von moeglichen Welten Die tatsaechliche Welt, in welcher wir leben, ist dabei eine moegliche Welt Eine Aussage ist moeglich, wenn sie in einer moeglichen Welt wahr ist und notwenig, wenn sie in allen moeglichen Welten wahr ist

15 Was ist und Einfuehrung p Es ist moeglich, dass p p Es ist notwendig, dass p

16 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Modaloperatoren und Negation Beispiele Unterschied p und p Es ist nicht moeglich, dass Sokrates Schuster ist bzw. Es ist moeglich, dass Sokrates kein Schuster ist

17 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Modaloperatoren und Negation Beispiele Unterschied p und p Es ist nicht moeglich, dass Sokrates Schuster ist bzw. Es ist moeglich, dass Sokrates kein Schuster ist

18 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussagen mit dem Moeglichkeitsoperator lassen sich in Aussagen mit dem Notwendigkeitsoperator uebersetzen und auch umgekehrt. Aussage Es ist moeglich, dass Sokrates kein Schuster ist, gleichbedeutend mit Es ist nicht notwendig, dass Sokrates kein Schuter ist und Es ist nicht moeglich, dass Sokrates ein Elefant ist bzw Es ist notwendig, dass Sokrates kein Elefant ist p ist aequivalent zu p p ist aequivalent zu p

19 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Es ist moeglich, dass Sokrates Schuster ist, gleichbedeutend mit Es ist nicht notwendig, dass Sokrates kein Schuster ist und Es ist notewndig, dass Sokrates ein Mensch ist bzw Es ist nicht moeglich, dass Sokrates kein Mensch ist p ist aequivalent zu p p ist aequivalent zu p

20 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus Es ist moeglich, dass Sokrates ein Schuster ist oder es ist moeglich, dass er ein Schreiner ist folgt Es ist moeglich, dass Sokrates ein Schuster oder ein Schreiner ist Aus Es ist notwendig, dass alle Kreise rund sind und es ist notwendig, dass alle Dreiecke eckig sind folgt Es ist notwendig, dass alle Kreise rund und alle Dreiecke eckig sind p q ist aequivalent zu (p q) p q ist aequivalent (p q)

21 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus Es ist moeglich, dass Sokrates ein Schuster ist oder es ist moeglich, dass er ein Schreiner ist folgt Es ist moeglich, dass Sokrates ein Schuster oder ein Schreiner ist Aus Es ist notwendig, dass alle Kreise rund sind und es ist notwendig, dass alle Dreiecke eckig sind folgt Es ist notwendig, dass alle Kreise rund und alle Dreiecke eckig sind p q ist aequivalent zu (p q) p q ist aequivalent (p q)

22 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus Es ist moeglich, dass Sokrates sowohl Schuster als auch Schreiner ist. folgt Es ist moeglich, dass er Schuster ist und es ist auch moeglich, dass es Schreiner ist Es ist moeglich, dass die Anzahl der Planeten gerade ist, es ist auch moeglich, dass sie ungerade ist widerspricht sich mit Es ist moeglich, dass sie Anzahl der Planeten gerade als auch ungerade ist (p q) folgt p q aber aus p q folgt nicht (p q)

23 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus Es ist moeglich, dass Sokrates sowohl Schuster als auch Schreiner ist. folgt Es ist moeglich, dass er Schuster ist und es ist auch moeglich, dass es Schreiner ist Es ist moeglich, dass die Anzahl der Planeten gerade ist, es ist auch moeglich, dass sie ungerade ist widerspricht sich mit Es ist moeglich, dass sie Anzahl der Planeten gerade als auch ungerade ist (p q) folgt p q aber aus p q folgt nicht (p q)

24 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus Es ist notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, oder notwendig, dass Sokrates ein Schuster ist folgt Es ist notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt oder dass Sokrates Schuster ist Es ist notwendig, dass Frank mindestens 75 kg wiegt oder schwerer ist als 75kg widerspricht sich mit Es aber weder notewndig, dass er 75kg wiegt, noch notewndig, dass er schwerer ist als 75kg p q folgt (p q) aber aus (p q) folgt nicht p q

25 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Aussage Aus Es ist notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, oder notwendig, dass Sokrates ein Schuster ist folgt Es ist notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt oder dass Sokrates Schuster ist Es ist notwendig, dass Frank mindestens 75 kg wiegt oder schwerer ist als 75kg widerspricht sich mit Es aber weder notewndig, dass er 75kg wiegt, noch notewndig, dass er schwerer ist als 75kg p q folgt (p q) aber aus (p q) folgt nicht p q

26 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln x Fx folgt xfx xfx folgt x Fx gilt als umstritten

27 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln x Fx folgt xfx xfx folgt x Fx gilt als umstritten xfx folgt x Fx

28 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln x Fx folgt xfx xfx folgt x Fx gilt als umstritten xfx folgt x Fx x Fx folgt Fx gilt als umstritten

29 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln x Fx folgt xfx xfx folgt x Fx gilt als umstritten xfx folgt x Fx x Fx folgt Fx gilt als umstritten aus xfx folgt x Fx aber nicht umgekehrt

30 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln x Fx folgt xfx xfx folgt x Fx gilt als umstritten xfx folgt x Fx x Fx folgt Fx gilt als umstritten aus xfx folgt x Fx aber nicht umgekehrt aus x Fx folgt xfx aber nicht umgekehrt

31 Was ist und Einfuehrung Modaloperatoren und Negation Disjunktion und Konjunktion Quantoren Barcan-Formeln x Fx folgt xfx xfx folgt x Fx gilt als umstritten xfx folgt x Fx x Fx folgt Fx gilt als umstritten aus xfx folgt x Fx aber nicht umgekehrt aus x Fx folgt xfx aber nicht umgekehrt

32 Was ist und Einfuehrung Modalsysteme Die formale der Modallogik bezeichnet man nach dem Logiker Saul Kripke oft als Kripke-. Bei dieser handelt es sich um die der sogenannten moeglichen Welten. Kripke Menge der moeglichen Welten Zugaenglichkeitsrelationen zwischen den Welten

33 Was ist und Einfuehrung Modalsysteme Die formale der Modallogik bezeichnet man nach dem Logiker Saul Kripke oft als Kripke-. Bei dieser handelt es sich um die der sogenannten moeglichen Welten. Kripke Menge der moeglichen Welten Zugaenglichkeitsrelationen zwischen den Welten Interpretationsfunktion - UEbersetzung der Aussagenveriablen in wahr oder falsch

34 Was ist und Einfuehrung Modalsysteme Die formale der Modallogik bezeichnet man nach dem Logiker Saul Kripke oft als Kripke-. Bei dieser handelt es sich um die der sogenannten moeglichen Welten. Kripke Menge der moeglichen Welten Zugaenglichkeitsrelationen zwischen den Welten Interpretationsfunktion - UEbersetzung der Aussagenveriablen in wahr oder falsch

35 Was ist und Einfuehrung Modalsysteme p ist wahr in w, wenn p falsch ist, sonst falsch p q ist wahr in w, wenn p und q beide wahr sind, sonst falsch

36 Was ist und Einfuehrung Modalsysteme p ist wahr in w, wenn p falsch ist, sonst falsch p q ist wahr in w, wenn p und q beide wahr sind, sonst falsch p ist wahr in w, wenn es eine von w aus zugaengliche Welt v gibt und p in v wahr ist, sonst falsch

37 Was ist und Einfuehrung Modalsysteme p ist wahr in w, wenn p falsch ist, sonst falsch p q ist wahr in w, wenn p und q beide wahr sind, sonst falsch p ist wahr in w, wenn es eine von w aus zugaengliche Welt v gibt und p in v wahr ist, sonst falsch p ist wahr in w, wenn fuer alle von w aus zugaenglichen Welten v gilt, dass p in v wahr ist, sonst falsch

38 Was ist und Einfuehrung Modalsysteme p ist wahr in w, wenn p falsch ist, sonst falsch p q ist wahr in w, wenn p und q beide wahr sind, sonst falsch p ist wahr in w, wenn es eine von w aus zugaengliche Welt v gibt und p in v wahr ist, sonst falsch p ist wahr in w, wenn fuer alle von w aus zugaenglichen Welten v gilt, dass p in v wahr ist, sonst falsch

39 Was ist und Einfuehrung Modalsysteme Name Axiome Zugaenglichekeitsrelation K (p q) ( p q) beliebig T K + p p reflexiv D K + p p seriell w v(wrv) B T + p p reflexiv und symmetrisch S4 T + p p reflexiv und transitiv S5 T + p p reflexiv, transitiv und symmetrisch

40 Was ist und Einfuehrung Wozu Modallogik? Modalsysteme Anwendungsgebiete Ursprung hat die Modallogik in der Philosophie und wird dort hauptsaechlich verwendet. Zur Modellierung von Halbwissen auch in Agentensystemen eingesetzt

41 Fragen Was ist und Einfuehrung Modalsysteme Vielen Dank fuer die Aufmerksamkeit! Fragen?