1 + Y v > 0 (6) 2 C 2

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1 Alle Lösungen ohne Gewähr! Lösungen zu Aufgabenblatt, Aufgabe C = C + c Y v () C 2 = ln( + Y v ) (2) wobei C > 0 den Basiskonsum, 0 < c < die Konsumquote und Y v das verfügbare Einkommen des Haushaltssektors beschreibt. Teilaufgabe a) Zu zeigen: C und C 2 sind keynsianische Konsumfunktionen Eigenschaften einer keynsianischen Konsumfunktion Konsum ist abhängig vom verfügbaren Einkommen Y v Marginale Konsumneigung C/ Y v liegt zwischen 0 und Durchschnittlicher Konsum ist fallend im verfügbaren Einkommen (d.h. Anteil des Konsums am verfügbaren Einkommen nimmt mit zunehmendem verfügbaren Einkommen ab) Analyse für Konsumfunktion C C = C + c Y v = C (Y v ) Konsum C ist eine Funktion des verfügbaren Einkommens Y v C/ Y v = c; da definitionsgemäß gilt 0 < c < liegt die marginale Konsumneigung zwischen 0 und. Durchschnittlicher Konsum ist definiert: C Y v = C Y v + c (3) Wenn Y v steigt, sinkt C Y v. Da c konstant, sinkt damit der Durchschnittskonsum mit steigendem verfügbaren Einkommen Y v. Formal: ( ) C Y v Y v = C (Y v ) 2 < 0 (4) Grafik siehe Übung Analyse für Konsumfunktion C 2 Allgemeine Kurvendiskussion: C 2 = ln( + Y v ) (5) C 2 Y v = + Y v > 0 (6) 2 C 2 (Y v ) 2 = ( + Y v ) 2 < 0 (7) Konsumfunktion verläuft ansteigend und konkav im verfügbaren Einkommen Y v. Bei Y v = 0 gilt C 2 = ln( + 0) = ln = 0. Grafik siehe Übung Zu den Eigenschaften einer keynsianischen Konsumfunktion:

2 C 2 = ln( + Y v ) = C 2 (Y v ) Konsum ist eine Funktion im verfügbaren Einkommen C 2 / Y v = /( + Y v ) Für Y v > 0 gilt 0 < /( + Y v ) <, d.h. marginale Konsumneigung liegt zwischen 0 und. Durchschnittlicher Konsum ist definiert ( C2 Y v ) C 2 Y v = ln( + Y v ) Y v (8) Y v = Damit Gleichung (9) kleiner als Null ist, muss gelten: Beweis siehe Übung. Teilaufgabe b) Y v (+Y v ) ln( + Y v ) (Y v ) 2 < 0 (9) Y v ( + Y v ) < ln( + Y v ) (0) Frage: Wie wirkt eine schuldenfinanzierte Staatsausgabenerhöhung auf das gleichgewichtige Einkommen Y? Gleichgewichtsbedingung: Y = Y n = C i + I + G i =, 2 () Das verfügbare Einkommen ist definiert: Y v = Y T = Y T ty (2) Analyse für i =, d.h. Konsumfunktion C Y = Y n = C + c Y v + I + G (3) Auflösen nach Y liefert gleichgewichtiges Volkseinkommen Y = C + c(y T ty ) + I + G (4) = C + c(( t)y T ) + I + G (5) ( c( t))y = C ct + I + G (6) Y = (C ct + I + G) ( c( t)) (7) Ableitung von Y nach G liefert den Staatsausgabenmultiplikator: Y G = ( c( t)) > (8) Der Staatsausgabenmultiplikator ist größer als, d.h. wenn G um eine Einheit steigt, erhöht sich Y um mehr als eine Einheit. Intuition: G steigt um Einheit Güternachfrage Y n steigt um eine Einheit Das Volkseinkommen Y steigt um eine Einheit (fließt dem Haushaltssektor zu) Der Konsum steigt um c( t) Einheiten (ein Anteil t des gestiegenen Einkommens wird vom Staat wegbesteuert, d.h. das verfügbare Einkommen des Haushaltssektors steigt um ( t) Einheiten; von dem zusätzlichen verfügbaren Einkommen wird ein Anteil c für Konsum verwendet) Da die 2

3 Konsumnachfrage ein Teil der Gesamtgüternachfrage ist, steigt Y n um c( t) Einheiten Das erhöht das Volkseinkommen um c( t) Einheiten, was wiederum die Konsumnachfrage um c 2 ( t) 2 Einheiten erhöht... usw. Unterschied zur Darstellung in der Vorlesung: Neben der Pauschalsteuer T ist hier auch eine poportionale Einkommenssteuerkomponente über den Steuersatz t abgebildet. Das senkt den Multiplikator: ( c( t)) < ( c) Intuition: Proportionale Steuer führt dazu, dass bei steigendem Einkommen ein Teil des Einkommenszuwachses wegbesteuert wird, d.h. das verfügbare Einkommen sinkt und damit ist der Multiplikatorprozess gedämpft. Grafik siehe Übung Analyse für i = 2, d.h. Konsumfunktion C 2 (9) Y = Y n = ln( + Y v ) + I + G (20) = ln( + Y T ty ) + I + G (2) = ln( + ( t)y T ) + I + G (22) Explizites Auflösen nach gleichgewichtigen Y nicht mehr möglich, aber implizit über Gleichung (22) definiert. Gesucht: Staatsausgabenmultiplikator, d.h. Y/ G totales Differenzieren von Gleichung (22) Auflösen liefert: da t <. dy = t dy + dg (23) ( + ( t)y T ) Y ( + ( t)y T ) = G (t + ( t)y T ) > (24) Teilaufgabe c) Haavelmo-Theorem: Der Staatsausgabenmultiplikator einer steuerfinanzierten Staatsausgabenerhöhung (im Einkommen-Ausgabenmodell!) ist eins. Frage: Wie muss T verändert werden (bei konst. t), um eine Staatsausgabenerhöhung über eine Steuererhöhung zu finanzieren? t = konstant dt = 0 (25) dg = dt = d(t + t Y ) (26) = dt + t dy + Y dt (27) = dt + t dy (28) Daraus folgt: dt = dg t dy (29) Interpretation: Die Pauschalsteuer T muss weniger steigen als im Modell ohne proportionale Einkommenssteuer t, da wenn G Y Steuereinnahmen steigen über die proportionale Einkommenssteuer um t dy 3

4 Frage: Gilt hier das Haavelmo-Theorem dy/dg =? Gleichgewichtsbedingung im Einkommen-Ausgabenmodell: Berechnung von dy/dg über totales Differential Y = C + c Y v + I + G (30) = C + c (Y T ty ) + I + G (3) dy = dc + c[( t)dy dt ] cy dt + di + dg (32) Da sich Basiskonsum, Investitionen und proportionaler Steuersatz nicht ändern gilt: dc = di = dt = 0. Es folgt: dy = c[( t)dy dt ] + dg (33) Um die Staatsausgabenerhöhung vollkommen über eine Steuererhöhung zu finanzieren, muss T um dt = dg tdy ansteigen. Einsetzen dieses Zusammenhangs in Gleichung (33). Haavelmo-Theorem gilt! dy = c[( t)dy dg + tdy ] + dg (34) ( c)dy = ( c)dg (35) dy dg = (36) Teilaufgabe d) Frage: Wie muss der Steuersatz t verändert werden (bei konst.t ), um eine Staatsausgabenerhöhung über eine Steuererhöhung zu finanzieren? dg = dt = d(t + ty ) = dt + tdy + Y dt (37) dg = t dy + Y dt (38) dt = (dg t dy ) Y (39) Frage: Gilt hier das Haavelmo-Theorem dy/dg =? Gleichgewichtsbedingung im Einkommen-Ausgabenmodell: Y = C + c Y v + I + G (40) = C + c (Y T ty ) + I + G (4) Berechnung von dy/dg über totales Differential dy = dc + c[( t)dy dt ] cy dt + di + dg (42) Da sich Basiskonsum, Investitionen und Pauschalsteuer nicht ändern gilt: dc = di = dt = 0. Es folgt: dy = c[( t)dy ] cy dt + dg (43) Um die Staatsausgabenerhöhung vollkommen über eine Steuererhöhung zu finanzieren, muss Steuersatz t um dt = Y (dg t dy ) ansteigen. Einsetzen dieses Zusammenhangs in Gleichung (43) 4

5 liefert Haavelmo-Theorem gilt! dy = c[( t)dy ] cy (dg t dy ) + dg Y (44) dy = cdy cdg + dg (45) ( c)dy = ( c)dg (46) dy dg = (47) 5