IK: Einkommen, Beschäftigung und Finanzmärkte (Wintersemester 2011) Wiederholung mathematischer Grundlagen

Transkript

1 IK: Einkommen, Beschäftigung und Finanzmärkte (Wintersemester 20) Wiederholung mathematischer Grundlagen

2 Überblick Allgemeines Bestands-und Stromgrößen, Indizes, Wachstumsraten, Näherungsformeln Differentialrechnung Funktionen Gleichungssysteme Geometrische Reihen Komparativ statische Analyse 2

3 Bestands- und Stromgrößen Bestandsgrößen: Beziehen sich immer auf einen Zeitpunkt! Mitarbeiterstand, Lagerstand, Preisniveau, Arbeitslosenrate, Kapitalstock, Zahl der Studierenden, Strom-/Flussgrößen: Auf Zeiträume bezogene Größen,geben die Veränderung einer Bestandsgröße über die Zeit wieder! Zu-oder Abnahme von Gewicht, Einkommen, Umsatz, Kosten, Investitionen, Änderungen von Bestandsgrößen ergeben sich aus den zugehörigen Flussgrößen. Bsp.: Kapitalstock (Bestandsgröße) ergibt sich aus den Flussgrößen Investitionen und Abschreibungen 3

4 Indizes Indizes werden zur Normierung unhandlicher Größen herangezogen: Eine Größe wird in Prozent ihres Wertes im Vergleich zu einer Basisperiode angegeben (Wachstum leichter darstellbar) Der Wert des Indees in der Basisperiode ist, hier, auf 00 normiert Beispiele für Indizes: I( t ) = t 0 (*00) t......wert Wert Basisperiode Verbraucherpreisindizes Aktienindizes Auch das BIP, und die Geldmenge werden oft als Indizes angegeben 0 zum Zeitpunktt zur 4

5 Wachstumsraten Wachstumsrate der Variable in Periode t: Beispiel: g = = t t t t t = t Die Geldmenge M (in Mrd. EUR) stieg im Euroraum von 4.559,6 (Dez. 2009) auf 4.753,9 (Dez. 200). Der Inde für M stieg in diesem Zeitraum von 20,35 auf 25, ,9 25,8 = 0,0426 4,26% = 0,040 4,0% 4.559,6 20,35 Wachstum: bzw. Achtung: Prozent nicht mit Prozentpunkten verwechseln! 5

6 Funktionen Funktionen mit einer unabhängigen Variable: Notation: y=f() y abhängige, endogene Variable oder Funktionswert unabhängige, erklärende oder eogene Variable Zusammenhang zwischen und Y: y = f( ) (+) positiverzusammenhang >0. Ableitung positiv 2 = 0 2 y=ln() y + Beispiele: ; ; Konsum = f (Einkommen) y= f( ) ( ) negativer Zusammenhang y=00 Beispiele: ; y= <0. Ableitung negativ 6

7 Differenzieren Durch ableiten/differenzieren kann man den Zusammenhang zwischen der unabhängigen(y) und der abhängigen Variablen feststellen! Notation:,, f () ; Die Veränderung von y (Δy oder dy) durch eine Änderung von (Δ oder d) ergibt sich aus: Ein paar Regeln:. f( ) y= y= * n n y= = n = y= d =

8 Differenzieren II u Kettenregel: f ( ) = u( )* v( ) ( )* v( ) + u( )* v( ) u( ) Quotientenregel: f ( ) = v( ) Ein Beispiel: Y = *( c0+ I G) c + u ( )* v( ) u( )* v ( ) f ( ) = v 2 ( ) das Gleichgewichtseinkommen c c 0 autonomer Konsum = 00 marginale Konsumquote = 0,6 I Investitionen = 200 G Staatsausgaben = 200 Was geschieht bei einer Erhöhung der Staatsausgaben von 200 auf 300 Einheiten? 8

9 Differenzieren III 2 mögliche Lösungswege: Einsetzen: Vor der Änderung der Staatsausgaben: Y =.250 Nach der Änderung der Staatsausgaben: Y =.500 ΔY = 250 Differential: = *= 2, 5 G c Y = 2,5* G= 2,5*00= 250 9

10 Funktionen II Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen: y=f (, 2,..., n ) ein Beispiel: y= f(, ) dann > 0 und 2 ( + )( ) 2 < 0 Hier wird von partiellen Einflüssen, ceteris paribus, gesprochen Ein praktischeres Beispiel: Phillips-Kurve e π = f(, U) allgemein: spezielle (vereinfachte) Form: t π t ( + ) ( ) π t =π e t U 0

11 Das totale Differential Wie verändert sich y wenn sich mehrere oder alle unabhängigen Variablen ändern? totales Differential: y= * + * * 2 n n Beispiel: Erlösfunktion Eine Firma produziert die beiden Güter q und q. Wie ändert sich der Erlös der Firma wenn von Gut plötzlich 0 Einheiten und von Gut 2 plötzlich 3 Einheiten mehr verkauft werden?(preise p und p2 bleiben in beiden Fällen bei 4 Einheiten) Erlösfunktion: R = f( q = pq + pq, q2) 2 2 totales Differential: R = R q R * q + * q2 = p q + p2 q2 q 2 = 4*0+ 4*3= 52

12 Zur Darstellung von Funktionen Darstellung einer linearen Funktion mit einer Unbekannten: y = k+ d allgemeine Form: k Steigung; d Konstante y y d k = y 0 2

13 Zur Darstellung von Funktionen II Beispiel: Einkommen eines Vertreters Grundeinkommen:.000 EUR Prämie: 0 EUR Zahl der Verkäufe; Y Einkommen Einkommensfunktion: Y = Y Einkommen bei 0 Verkäufen:.000 EUR Einkommen bei 50 Verkäufen:.500 EUR y = 0 = = Steigung (k) = 0 k

14 Zur Darstellung von Funktionen III y = k+ Wie verändert sich der Graph von bei: d einer Änderung der Konstanten um Δd? Parallelverschiebung des Graphen einer Änderung der Steigung um Δk? Graph dreht sich um d y d d 0 Y Y C C k d 4

15 Zur Darstellung von Funktionen IV Graph einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen: allgemeine Form: y=f (, 2,..., n an sich nur mehrdimensional darstellbar ) partielle Zusammenhänge auch in2d darstellbar: y y=f (, 2,..., n ) f (, 2,..., n ) 0 5

16 Gleichungen und Identitäten Gleichungen: spezielle Beziehungen zwischen Variablen Beispiel: Das Gleichgewicht im Gütermarkt ergibt sich aus Y = C( Y) + I + G C( Y) = c0 + cy c0 = 50; c = 0,75; I = 200; G= 300; Y Y = ,75Y =2.200 für die hier verwendeten Werte der Parameter Identitäten: Beziehung zwischen Variablen, die für alle möglichen Werte von Parametern gilt Beispiel: Z C+ I + G aggregierte Nachfrage 6

17 Gleichungssysteme Lösung eines Gleichungssystems: Eine Kombination aus Variablen in allen Gleichungen des Systems, die mit allen Gleichungen vereinbar ist. Prinzipiell kann so ein System rechnerisch und graphisch gelöst werden: Rechnerische Lösung: Beispiel: Gleichgewicht im Geldmarkt s I: M =240 d II: M = 0,25$ Y( 0,2i); $ Y=.000 daher: M d =250 50i s M = M Schnittpunkt ausrechnen: Lösung: i=0,2; M=240 d 240= i 7

18 Gleichungssysteme II Graphische Lösung: i M s 0,2 M d ( i, Y ) s M, M d 8

19 Gleichungssysteme III Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten: I. II. Y =0 5 X =Y 4. Lösungsmöglichkeit: eine der Gleichungen in die andere einsetzen: X = ( 0 5) Y 6 X =6 X = ; Y = 5 2. Lösungsmöglichkeit: Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und Gleichsetzen: II : Y =X +4 I = II: X + 4= X= 6 X = ; Y = 5 9

20 Geometrische Reihen Eine geometrische Reihe ist eine Summe folgender Form für die gilt: n = n + (Beweis: Blanchard, S. 552) Für < reduziert sich die Summe für sehr große n auf: n+ lim = n (nur für < ) Für >eplodiert die Summe für sehr große n! 20

21 Komparativ statische Analyse Hauptbeschäftigung in diesem IK: Analyse der Veränderung von Gleichgewichten! Hierbei wird das alte mit dem neuen Gleichgewicht verglichen! Eine dynamische Betrachtung findet üblicherweise nicht statt Entwicklung von Variablen über die Zeit Betrachtung der Anpassungsgeschwindigkeit Beispiel: Das Gleichgewicht im Geldmarkt: Wie verändert sich der Zinssatz i im Gleichgewicht wenn sich das Geldangebot erhöht? (Die Dauer der Zinsanpassung berücksichtigen wir nicht!) 2