Das (einfache) Solow-Modell

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1 Kapitel 3 Das (einfache) Solow-Modell Zunächst wird ein Grundmodell ohne Bevölkerungswachstum und ohne technischen Fortschritt entwickelt. Ausgangspunkt ist die Produktionstechnologie welche in jeder Periode t die Produktionsfaktoren Kapital K t und Arbeit L t (gemessen in Stunden) mittels einer konkaven Funktion F ( ) in Output Y t verwandelt: Y t = F (K t, L t ) F ( ) ist homogen vom Grade 1 (linear-homogen), damit führt eine Veränderung der Faktorinputs um λ zur identischen Veränderung des Outputs λf (K t, L t ) = F (λk t, λl t ). Man sagt deshalb auch, dass konstante Skalenerträge vorliegen. Setzt man λ = 1/L t so wird die letzte Gleichung zu ( ) Y t Kt = F, 1. L t L t Mit den Definitionen y t = Y t /L t, k t = K t /L t und f(k t ) = F (K t /L t, 1) erhält man die Darstellung (3.1) Y t = F (K t, L t ) = L t f(k t ) bzw. y t = f(k t ). Die durch Kleinbuchstaben repräsentierten Variablen stellen pro-kopf -Größen dar; k t bezeichnet man als Kapitalintensität. Die Funktion f(k t ) soll mit den folgenden Eigenschaften ausgestattet sein: f(0) = 0; f(k) > 0 für k > 0; f (k) > 0 für 0 < k < ; f (k) < 0 für 0 < k <. Sie ist in Abbildung 3.1 dargestellt. In Abbildung 3.1 ist auch das Grenzprodukt des Kapitals (marginal product of capital, MPK) eingezeichnet. Letzteres bezeichnet die Steigung der Produktionsfunktion f(k t ) und drückt aus, wie sich ein marginaler Anstieg des Kapitalstocks (also um eine Einheit) auf das Produktionsniveau auswirkt, d.h. MP K = f(k t +1) f(k t ) f (k t ). Mit dieser Produktionstechnologie lässt sich das Solow-Modell in vier zentralen Gleichungen darstellen: Y t = F (K t, L t ) = C t + I t K t+1 = I t + (1 δ)k t I t = sy t L t = L 21

2 Abbildung 3.1: Konkave Pro-Kopf-Produktionsfunktion Quelle: Mankiw, S Gleichung (3.2) beschreibt den Gütermarkt und besagt, dass der Output im Gleichgewicht auf Konsum C t und Investitionen I t aufgeteilt wird. Gleichung (3.2) beschreibt wie sich der Kapitalstock über die Zeit entwickelt. Folglich setzt sich der künftige Kapitalstock K t+1 aus dem nach Abschreibung (mit Rate δ) verbliebenen aktuellen Kapitalstock plus den Investitionen I t zusammen. Die nächste Gleichung (3.2) besagt, dass auf dem Kapitalmarkt im Gleichgewicht Investitionen und Ersparnisse übereinstimmen müssen. Die Ersparnisse der Ökonomie ergeben sich als konstante Sparquote s des Outputs. Schließlich wird in Gleichung (3.2) einen konstante Arbeitsbevölkerung unterstellt. Abbildung 3.2 zeigt den Zusammenhang der pro-kopf Variablen in Abhängigkeit von der Kapitalintensität. Abbildung 3.2: Produktion, Konsum und Investitionen Quelle: Mankiw, S Bevor nun auf die Dynamik des Modells eingegangen wird, noch einmal die zentralen Annahmen des (vereinfachten) Solow-Modells: 1. Konstante SKE in der Produktion. 22

3 2. Abnehmendes Grenzprodukt des Kapitals. 3. Bei konstantem Arbeitseinsatz wird Grenzprodukt des Kapitals unendlich klein wenn Kapital immer weiter wächst. 4. Konstante Spar- und damit auch Konsumquote auf Haushaltsseite. 3.1 Dynamik und Steady state Um die zeitlichen Abläufe des Modells zu verdeutlichen, werden alle Variablen nun in pro-kopf ausgedrückt. Alle pro-kopf Variablen hängen nun von der Entwicklung der Kapitalintensität k t ab. Deshalb interessiert uns vor allem, wie sich die Kapitalintensität im Zeitablauf entwickelt. Nach Substitution und Umstellung erhält man die folgende Gleichung (3.2) k t+1 k t = sf(k t ) δk t. Überlegen wir uns, was passiert, wenn die Ersparnisse (bzw. Investitionen) pro-kopf den Verschleiß des Kapitals pro-kopf übersteigen. In diesem Falle steigt der Kapitalstock pro-kopf in der Ökonomie an, d.h. k t+1 > k t. Umgekehrt, umgekehrt. Wir können nun aber auch sofort die Kapitalintensität im langfristigen Gleichgewicht k (so-genannter Steady state) bestimmen: (3.3) k t+1 = k t = k sf(k ) = i = δk. Immer wenn die Investitionen genau mit den Abschreibungen (jeweils pro-kopf) übereinstimmen, dann bleibt die Kapitalintensität konstant. Abbildung 3.3 zeigt, wie dieses langfristige Gleichgewicht graphisch bestimmt wird. Abbildung 3.3: Investitionen und Abschreibungen im Steady state Quelle: Mankiw, S Wenn noch die (pro-kopf) Produktionsfunktion ergänzt wird, dann erhält man auch den langfristigen Output pro-kopf y = f(k ) bzw. den Konsum c = (1 s)f(k ). Wichtig ist, dass es immer eine Dynamik hin zu diesem langfristigen Gleichgewicht gibt. Bei geringer Kapitalintensität k 1 < k gilt i 1 > δk 1 so dass k steigt. Umgekehrt 23

4 Abbildung 3.4: Anpassung zum langfristigen Gleichgewicht Quelle: Mankiw, S bei k 2 > k. Um dies zu verdeutlichen zeigt Abbildung 3.4 die Dynamik anhand eines numerischen Beispiels. Wir unterstellen dazu y = k, s = 0.3, δ = 0.1. Als Startwert wird k 1 = 4.0 vorgegeben. Im Jahr 1 ergibt sich daraus ein Kapitalanstieg, welcher in der nächsten Periode produktionswirksam wird. Langfristig erhalten wir s k = δk k = s/δ = 3.0 k = 9.0. Das Solow-Modell zeigt vor allem, wie wichtig die Sparquote im Wachstumsprozess ist. Der Verschleiß von Kapital (also die Abschreibungsrate δ)) ist vor allem technologisch bedingt und unterscheidet sich kaum zwischen den Ländern. Unterschiede in den Wachstumsraten des Einkommens sind dann vor allem auf unterschiedliche Sparquoten zurückzuführen. Dies erklärt sowohl den Aufstieg von Deutschland und Japan nach dem Krieg, als auch die jüngste Entwicklung in China. Einerseits war der Kapitalstock pro Kopf durch den Krieg (bzw. Kommunismus) weitgehend zerstört, andererseits stieg die Sparquote der Bevölkerung entweder aufgrund von Mentalität (Deutschland, Japan) oder durch staatlichen Zwang (China) drastisch an. Die Folge war in allen Ländern, dass die Kapitalintensität schnell anstieg und damit auch das pro-kopf Einkommen der Bevölkerung. Der Länderquerschnitt zeigt deshalb auch einen klaren positiven Zusammenhang zwischen Investitionsquote (also den Ersparnissen) und dem pro-kopf Einkommen, vgl. Abbildung 3.5. Spar- und Investitionsquote ist also eine wichtige Determinante für den Reichtum eines Landes. Warum unterscheiden sich aber Sparquoten zwischen den Ländern? Steuern, Kapitalmarktstrukturen, Kultur, Rechtssystem, politische Unsicherheiten, etc. Zwei Einwände zum Schluss: 1.) Umgekehrte Kausalität möglich, d.h. bei hohem Einkommen wird viel gespart! 2.) Keine perfekte Korrelation, d.h. USA und Peru haben ähnliche Investitionsquote, aber ganz unterschiedliches Einkommen! Es gibt also noch ganz andere Determinanten für das Einkommensniveau. 24

5 Abbildung 3.5: Investitionsquote und pro-kopf Einkommen Quelle: Mankiw, S Die Goldene Regel der Kapitalakkumulation Man könnte nun noch fragen, ob es eine bestimmte Sparquote gibt, die in irgendeinem Sinne optimal ist. Unter optimal soll dabei hier ein langfristig maximaler Pro-Kopf-Konsum verstanden werden. Zunächst könnte man (etwas naiv) erwarten, dass eine höhere Sparquote im langfristigen Gleichgewicht zu höherem pro-kopf Einkommen führt und damit auch zu höherem pro-kopf-konsum c = C/L. Allerdings wird das Einkommen auf Ersparnisse und Konsum aufgeteilt, deshalb muss im langfristigen Gleichgewicht gelten: c = f(k ) i = f(k ) δk. Der langfristige pro-kopf Konsum wird also genau dann maximiert, wenn gilt (3.4) c k = f (k ) δ = 0 f (k ) = δ. Der pro-kopf Konsum im langfristigen Gleichgewicht wird also genau dann maximiert, wenn das Grenzprodukt des Kapitals mit der Abschreibungsrate übereinstimmt. In Abbildung 3.6 ist das genau bei Kapitalstock k der Fall. Den Zusammenhang zwischen c bzw. k und Sparquote finden wir dann über (3.3). Sobald k gegeben ist erhält man die dazu benötigte Sparquote über (3.5) s = δk f(k ). Im aktuellen Beispiel mit f(k) = k sowie δ = 0.1 ermitteln wir also zunächst mittels Gleichung (3.4) k = 25 und dann über (3.5) s = 0.5. Bei einer Sparquote von 50 Prozent würde also der pro-kopf Konsum langfristig maximiert. Abbildung 3.7 zeigt ein langfristiges Gleichgewicht, bei dem die Goldene Regel erfüllt ist. 25

6 Abbildung 3.6: Die goldene Regel der Kapitalakkumulation Quelle: Mankiw, S Zu erkennen ist, dass es bei s > s zu einer Kapitalintensität k > k, also zu einer Überakkumulation des Kapitals kommt. Es ist dann auf Dauer zuviel investiert worden um den pro-kopf Konsum zu maximieren. In solchen Situationen gilt im langfristigen Gleichgewicht f (k) < δ. Umgekehrt, umgekehrt. Die entscheidende Frage ist natürlich, wie sich eine solche optimale Sparquote in der Praxis realisieren lässt, bzw. ob sich eine Volkswirtschaft derzeit oberhalb oder unterhalb des Goldenen-Regel Kapitalstocks befindet. Dazu vergleicht man am einfachsten das aktuelle Grenzprodukt des Kapitals und die Abschreibungsrate. Sofern der Kapitalstock zu hoch ist (was in der Regel nicht der Fall ist), dann muss die Regierung die Sparquote senken (z.b. durch eine umlagefinanzierte Rentenversicherung siehe später). Eine solche Politik ist vergleichsweise unproblematisch, weil der pro-kopf Konsum stetig vom alten Niveau zum neuen Niveau ansteigt (vgl. Mankiw, S. 267). Leider ist in der Regel jedoch der aktuelle Kapitalstock niedriger als bei Gültigkeit der Golden Regel. Deshalb muss die Sparquote angehoben werden und dies bedingt zumindest vorübergehend eine Senkung des pro-kopf Konsums (vgl. Mankiw, S. 268). Dies kann u.u, zu intergenerativen Verteilungskonflikten führen, weil vom Konsum heute und morgen unterschiedliche Generationen betroffen sind. 26

7 Abbildung 3.7: Sparquote und goldene Regel Quelle: Mankiw, S