7. Reales Licht: Das Gauß- Bündel

Transkript

1 7. Reales Licht: Das Gauß- Bündel bisher idealisierte Zustände: unendlich dünne Strahlen und Modell- Wellen a) Ebene Welle Bündel von Parallelstrahlen E( r) = E 0 e i k r gerichtete Ausbreitung, aber unendlich ausgedehnte WF b) Kugelwelle divergentes Strahlenbündel E( r) = E 0 e i kr r ungerichtet, aber lokalisierter Ausgangspunkt, also endliche WF (für r < )! Experiment: Reale Bündel vereinen beide Aspekte!

2 Ansatz: E( r) =U(,z) e i kz mit ρ=(x +y ) 1/ (zeichnet z- Achse als Ausbreitungsrichtung aus) Einsetzen in Helmholtz- Gleichung in Zylinder- Koordinaten (Δ + k )E( r) = ( z + k )U(,z)e i kz = e i kz ( z + ik z )U(,z) = 0 = z ( z + ik) Wir nehmen wieder an: Die Änderung von U auf der Skala der Wellenlänge ist vernachlässigbar. Also insbesondere U z U λ Die Phasenausbreitung ist dann durch den e ikz - Faktor bes^mmt, wird durch U nur leicht modifiziert und weicht folglich nur geringfügig vom Verhalten auf der z- Achse ab. Die in dieser Näherung folgende Gleichung ( ik z )U(,z) = 0 wird daher paraxiale Helmholtz- Gleichung genannt. Physikalisch mo^vierter Lösungsansatz: Die Kugelwelle ist Lösung der Helmholtz- Gleichung. In weiter Eneernung vom Zentrum ( z ) können wir, wie bei der Behandlung der Beugung, nähern r = z + z + E eikr z r e ik ρ /z e ikz z =U(,z) womit wir einen expliziten Ausdruck für U erhalten. Dieses U löst tatsächlich die paraxiale (nicht aber die vollständige) Helmholtz- Gleichung, denn 3

3 ( + 1 ) e ik ρ /z z = e ik ρ /z ( ik z k ρ z ) ik e ik ρ /z = e ik ρ /z ( ik 3 z z z + k ρ und z ). 3 Das ist natürlich nichts Neues und außerdem gibt es ein Problem: U bzw. E divergieren für z 0! Lösung: Zu z kann eine beliebige komplexe Konstante C addiert werden, ohne das U seine Lösungseigenschaj bezüglich der paraxialen Helmholtz- Gleichung verliert. Der Realteil von C ist irrelevant, da er lediglich eine Verschiebung des Nullpunktes beschreibt. Mit C=- iz 0, z 0 reell, ergibt sich die allgemeine Form des Gauß- Bündels (GB) E( r) 1 ρ k[z + ] q(z) ei q (z ), q(z) = z iz 0. Der (einzige) freie Parameter z 0 wird Rayleigh- Länge genannt. Im folgenden wird gezeigt, dass sich hinter diesem Ausdruck der in der Abbildung visualisierte Zustand verbirgt. z 4

4 Eigenschajen des GB Zerlegung in reelle Amplitude und Phase milels ergibt Form 1 q = z + iz 0 z + z = i 0 z + z 0 i arctan z z e 0 (arctanx = π / arctan 1 x ) E(ρ,z) = E 0 w 0 w(z) e mit folgenden Bes^mmungsstücken ρ w (z ) e i [kz +k ρ R (z ) ς (z )] Taillienradius: w 0 = λz 0 (definiert durch den Wert von ρ für den E(ρ, 0) = 1 E(0, 0) ) π e Strahlradius: w(z) = w z z o (definiert wie oben, jetzt aber bei z 0) Krümmungsradius: R(z) = z + z 0 z Phasenretardierung: ς(z) = arctan z z 0 Alle diese Größen werden durch den einen Parameter z 0 bes^mmt. 5

5 Strahlradius w/w 0 Größen des Gauß- Bündels Fokus^efe θ Öffnungswinkel z/z 0 Phasenretardierung ζ Taille Krümmungsradius R/z 0 z/z 0 z/z 0 6

6 Diskussion a) Intensität: R, w, und ζ schwach variabel auf λ- Skala I E( r) w = U(,z) = E 0 0 w (z) e Für jeden Punkt auf der op^schen Achse ergibt sich eine Gauß- Verteilung in transversaler Richtung. Strahlleistung = const. denn 86% von P liegen in ρ < w(z) Öffnungswinkel: w (z ) P (z) ~ π d ρ ρ E(ρ,z) = 1 πw E w(z) tanθ 0 θ 0 = lim z z = w 0 z 0 = λ πz 0 Bei z 0 wird der doppelte Strahlquerschnil erreicht: w (±z 0 ) =w 0 : Fokus^efe: z 0 =π w 0 λ Einer der Parameter w 0, z 0 oder θ 0 kann experimentell vorgegeben werden, die anderen sind dann bes^mmt. 7

7 8

8 b) Phase ϕ(z, ) = k[z + mit ϕ( z, ) = ϕ(z, ) und R(z) ] ζ(z) ϕ(z, ) = ϕ(z, ) auf op^scher Achse kz : Phasenzuwachs des ebenen Wellenanteils ζ (z) : geht von π/ (z=- ) nach π/ (z= ) Es geht eine halbe Wellenlänge verloren! außerhalb der op^schen Achse ϕ wächst mit wachsendem ρ WF krümmen sich in Richtung der Taillie, R(z) = Krümmungsradius bei ρ=0. R hat ein Minimum bei z=z 0, Wellenfronten werden asympto^sch Ebenen für große Abstände von der Taille. 9

9 Wellenfronten ebene Welle Kugelwelle Gauß- Bündel 10

10 Wirkung einer Linse auf ein GB E(,z + g) Taille Taille E'(,z b) g b komplexe Phase des einfallenden GB an der Linse: k q(0) (Phasenretardierung im folgenden unmaßgeblich) Beitrag der Linse: k f (siehe Kapitel 5, Abschnil 4D) Hinter der Linse breitet sich auch ein GB aus mit 1 q'(0) = 1 q(0) 1 f und q(0) = g iz 0, q'(0) = b i z 0 Umformung: q' = fq f q = f (q f +f ) f q = f + f (f q * ) q'(0) +f = f q M [f q * (0)] mit reellem Mul^plikator M = f f q(0) 11

11 Trennung von Real- und Imaginärteil ergibt folgende Abbildungsgleichungen (b f ) = M (g f ) Posi^on d. Taille z 0 = M z 0 w 0 = Mw 0 θ = θ / M Fokus^efe Taillengröße (w 0 ~ z 0 ) Strahldivergenz (θ ~ w 0 /z 0 ) M = f (f g) + z 0 Vergrößerungsfaktor Ermöglicht Berechnung der rechtssei^gen Bündelparameter aus denen des einfallenden Bündels. Bezieht man g und b auf f, so bleibt nur ein Parameter z 0 /f übrig (siehe Abbildung nächste Seite). Diskussion strahlenop^scher Grenzfall: g- f >> z 0 Einfall aus großer Eneernung oder kleine Fokus^efe WF auf Linse eben M f g f 1 bg- (g+b)f=0 (wie in Geometrischer Op^k) g + 1 b = 1 w M = 0 = b f w 0 g endliche Fokus^efe: Wenn g aus auf die Linse zuwandert, verschiebt sich b aus dem Brennpunkt bis g = f+z 0 von der Linse weg und läuj dann in den Brennpunkt zurück (b = f für g=f ), wenn g weiter kleiner wird, hängt das Verhalten vom Verhältnis z 0 /f ab. Nur für z 0 /f > ½ entsteht ein virtuelles Bild. 1

12 Gauß- Bündel: Lage der Taille hinter der Linse b f 1 = g /f 1 (g /f 1) + (z 0 /f ) g auf Linse b f 1 Strahlenop^scher Grenzfall (1/g+ 1/b = 1/f) g=z 0 +f b=f+f /z 0 Brennpunktlage g f 1 b auf Linse 13

13 Strahlkollima^on Ziel: Erzeugung eines weitgehend parallelen Bündels (über die im Experiment relevanten Längenskalen) Weg: b muss sehr groß werden, also z 0 /f möglichst klein, also große Brennweite und kleine Fokus^efe, maximales b = f(1+f/z 0 ) f /z 0 bei g=f+z 0 Strahlaufweitung Ziel: Aufweitung des Strahlqueschnils g b 14

14 Weg: Für Linse 1 muss z 0 möglichst klein sein, also M 1 <<1, also g >> f 1, z 0 (M 1 =f 1 /g) z 0 =(f 1 /g) z 0 z 1 f 1 +M 1 g f 1 Beste Kollima^on durch Linse, wenn z = z 0 + f =(f 1 /g) z 0 +f f also z 1 +z = d = f 1 +f Strahlfokussierung in der Brennebene Für z 0 >> f (d.h. der einfallende Strahl divergier nur leicht über der durch die Brennweite definierten Länge), liegt die rechtsei^ge Taille immer ungefähr in der Brennebene (b f). Das ist das Gegenteil des strahlenop^schen Grenzfalls, nämlich g- f << z 0. Für die Vergrößerung folgt dann M f z 0 << 1 also eine stark verkleinerte Taille w 0 << w 0! Exakt wird das bei g=f erreicht, wenn also die einfallende Taille auf die Linse gelegt wird. Kann Matritzen definieren, die Transforma^on der Taillenlage und Fokus^efe in Linsensystemen beschreibt Gauß- Op^k 15

15 16

16 17

17 18

18 19