Inhalte. Fabry Perot Interferometer

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1 Fabry Perot Interferometer Inhalte Reflexion / Transmission Fabry-Perot als Resonator - Finesse Auflösung Auflösungsvermögen optischer Spektrometer Fouriertransform-Spektroskopie Abbesche Abbildungstheorie / Fourieroptik Holographie Geometrische Optik als Näherung der Wellenoptik Gauß scher Strahl - Laseroptik E3-V Jan 19

2 Abbe sche Theorie der Bildentstehung & Fourieroptik Hier: Bildentstehung bei Abbildung durch eine Linse Objekt mit Transmissionsfunktion ΩΟ(x, y) wird beleuchtet von einer (kohärenten, monochromatischen) ebenen Welle Linse (Brennweite) f erzeugt ein Abbild ΩB (X, Y) Prozesse bei der Bildentstehung: Objekt beugt das einfallende Licht und erzeugt gestörte Wellenfronten mit unterschiedlichen Raumfrequenzen In der Brennebene F entsteht Beugungsbild F (α, β) des Objektes = zweidimensionale Fouriertransformierte des Objektes ΩO(x, y) Punkte in der Fourierebene senden Licht zur Bildebene und bauen dort Bild ΩB (X, Y) auf!

3 Abbe sche Theorie der Bildentstehung & Fourieroptik. Funktion der Linse: 1. Sie lenkt das Licht so, dass das Fraunhofer- 'sche Beugungsbild ins Endliche kommt. 2. Sie bewirkt die Fourier-Rücktransformation zur Bildentstehung in der Bildebene. Besser in der 4-f-Anordnung zu sehen (unten):

4 Abbe sche Theorie der Bildentstehung & Fourieroptik. Abbildungsvorgang läuft also im Idealfall in zwei Schritten ab:

5 Abbe sche Theorie der Bildentstehung & Fourieroptik. In der realen Abbildung wird keine ideale Fouriertransformierte erzeugt: Endlicher Linsen-Durchmesser verarbeitet nur niedrige Raumfrequenzen (Zusätzlich Linsenfehler,...) Reale Abildung: Filterungsprozeß vor der Rücktransformation: Freal (α, β) = TFilter (α, β) Fideal (α, β). Bild ist die Faltung von Objektfunktion mit Filterfunktion (Transferfunktion) (Faltungstheorem): ΩB real = ΩB ideal TFilter

6 Abbe sche Theorie der Bildentstehung & Fourieroptik Io(a, z) s(v, z) ri(y, z) Objekt Intensität Punktverwaschungsfunktion Bild Intensität v ruo\ v r{s} v r{ii} Frequenzspektrum des Objekts Übertragungsfunktion Frequenzspektrum des Bildes Quelle: Hecht Optik

7 Abbe sche Theorie der Bildentstehung & Fourieroptik. Beispiel: Abbildung eines Strichgitters mit Strichabstand d Endlicher Öffnungswinkel des Objektivs unterdrückt höhere Beugungsordnungen die dann beim Aufbau des Bildes fehlen. 2. Ord. 1. Ord. 0. Ord. -1.Ord. -2. Ord. Nur die 0-te Ordnung transmittiert: ein einziger Punkt in der Fourierebene gleichmäßige Helligkeit in der Bildebene 0. und ± 1. Ordnung: Bild gibt die Periodizität des Objektgitters richtig wieder Mit zunehmend mehr Ordnungen nimmt die Schärfe der Abbildung zu

8 Auflösungvermögen eines Mikroskops nach Abbe Die Periodizität des Objektes soll korrekt wiedergegeben werden 0-te und ± 1. Ordnung müssen innerhalb des Öffnungswinkels des Objektivs liegen Auflösungsvermögen eines Mikroskops nach Abbe: d λ Anum Fragen: Was ist der Unterschied zwischen Abbeschem und Helmholtzschem Auflösungsvermögen? Was ändert sich bei schräger Beleuchtung? Kann man Mikroskopie mit sichtbarem Licht durchführen, bei der eine Auflösung im sub-wellenlängenbereich erzielt wird?? Konventionelle Mikroskopie: Bessere Auflösung für kleinere Wellenlänge und größeren Brechungsindex!

9 . Bildbearbeitung in der Fourierebene: Masken oder Blenden erlauben eine räumliche Filterung des Bildes: Kontrasterhöhung, entfernen störender Bildelemente, Kantenüberhöhungen E3 Optik W.Zinth PhysikLMU

10 Geometrische Optik als Näherung der Wellenoptik

11 Geometrische Optik als Näherung der Wellenoptik

12 Geometrische Optik als Näherung der Wellenoptik

13 Geometrische Optik als Näherung der Wellenoptik

14 Holographie (a) Aufzeichnen (b) Auslesen Spiegel Spiegel Objekt y x entwickelte Photoplatte virtuelles Bild photographische Platte reelles Bild 28 E3 Optik W.Zinth Physik LMU

15 Holographie (a) Aufzeichnen Holographie wurde von D. Gabor entwickelt. Verfahren für Speicherung von Amplitudenund Phaseninformation des elektromagnetischen Feldes aufzunehmen und Erstellung räumlicher Bilder Spiegel Objekt Speicherung von Amplituden und Phaseninformation mit einem intensitätsempfindlichen Material Verwendet Interferenz und Beugung: y x photographische Platte 1. Schritt: Aufzeichnung des Hologramms Objekt mit einer ebenen Welle monochromatischen Lichtes beleuchtet Vom Objekt gestreutes und reflektiertes Licht fällt auf die Photoplatte ( ergibt allein gleichmäßige Schwärzung der Platte ohne Bildinformation) Phaseninformation eingeschrieben durch Beleuchtung der Photoplatte mit Referenzlicht (einem Teil der ebenen Welle): 24 E3 Optik W.Zinth Physik LMU

16 . Interferenz zwischen dem Objektlicht und dem Referenzlicht erzeugt ein Interferenzstreifenmuster auf der Photoplatte Zur Entstehung der Interferenzstreifen ist notwendig, dass das beleuchtende Licht eine große Kohärenzlänge besitzt (größer ist als alle bei der Beleuchtung der Platte vorkommenden Wegdifferenzen) Mathematik des Aufnahmeverfahrens: Objektwelle EO besitzt auf der Photoplatte (Koordinaten x, y) stark ortsabhängige Amplituden und Phasen Referenzwelle ER habe konstante Amplitude und einfachem Phasenverlauf. (4.90) EO(x, y) = EOo(x, y) exp [iωt + iφo (x, y)] (4.91) ER(x, y) = ERo exp [iωt + iφr (x, y)] 25 E3 Optik W.Zinth Physik LMU

17 . Die Intensität auf der Filmebene berechnet sich zu: (4.92) I(x, y) E2 Ro + E2 Oo + + ERo EOo(x, y) {(exp[iφo(x, y) - iφr(x, y)] + exp[- iφo(x, y) + iφr(x,y)]} = E2 Ro + E2 Oo + 2 ERo EOo(x, y) cos [φo(x, y) - φr(x, y)] Intensität der Objektwelle hat relativ glatten Verlauf. Deshalb: hochfrequente Modulation des Intensitätsverlaufes des Gesamtbildes durch den letzten Term in Gl. (4.92); verursacht durch Phasendifferenz zwischen Objekt und Referenzwelle. 26 E3 Optik W.Zinth Physik LMU

18 . 2. Schritt: Auslesen des Hologramms Entwicklung der beleuchteten Photoplatte: Intensitätsbild übersetzt in ein Transmissionsbild oder Phasenbild Zur Vereinfachung: Transmissionsbild T(x, y,) proportional zur Intensität des gesamten Beleuchtungslichtes auf der Platte sei: T(x, y) = κ I (x, y) Photoplatte von Auslesefeld EL(x, y) beleuchtet mit gleichem Amplituden- und Phasenverlauf wie Referenzwelle Realisiert: entwickelte Photoplatte wird in Aufnahmegeometrie eingesetzt Beleuchtung der Photoplatte mit Lesefeld erzeugt Bildfeld EB: 27 E3 Optik W.Zinth Physik LMU

19 (4.93) EL(x, y) = ERo exp[iωt + iφr(x,y)] EB(x, y) = EL(x, y) T(x, y) = = ERo exp[iωt + iφr(x,y)] κ {E2 Ro + E2 Oo + 2 ERo EOo (x, y) cos [φo(x, y) - φr(x, y)]} (4.94) EB(x, y) = E1 + E2 + E3 = κ ER(x, y) (E2 Ro + E2 Oo ) + κ E2 Ro EOo(x, y) exp[iωt + iφo(x,y)] + κ E2 Ro EOo(x, y) exp[iωt - iφo (x,y) + 2 iφr(x, y)] Bildfeld aus drei Teile E1, E2, E3 zusammengesetzt: Feld E1: ist das durch die mittlere Absorption der Photoplatte geschwächte Auslesefeld (keine Information über das Objekt) Feld E2: ist direkt proportional zum Objektfeld EO(x, y) an der Photoplattenebene. Breitet sich wie die originale Objektwelle aus 29 E3 Optik W.Zinth Physik LMU

20 . d. h. es verhält sich so als käme es vom Ort des Objektes. Beobachtung dieses Feld: dieselbe Bildinformation als würde Original durch das Fenster der Photoplatte gesehen (Bild ist virtuell.!!) Feld E3 besitzt gegenüber der Objektwelle eine negative Phase Erzeugt reelles Bild hinter der Photoplatte, bei dem (verglichen zum Objekt) vorne und hinten vertauscht sind. Die wichtigsten Eigenschaften des Hologramms (des virtuellen Bildes): 1. Das Bild erscheint räumlich. Man kann innerhalb der Begrenzungen der Photoplatte hinter Objektteile blicken 2. Aus jedem Bruchstück des Hologramms läßt sich ganzes Bild rekonstruieren. Verkleinerte Ausdehnung des beugenden Hologramms reduziert die maximale Auflösung (Schärfe) des Bildes und damit den gesamten Informationsgehalt. 3. Der maximale Blickwinkel auf die Photoplatte (unter dem man noch das virtuelle Bild beobachten kann) hängt vom Auflösungsvermögen des verwendeten Photomaterials ab. Feinkörnigeres Material gibt feinere Interferenzlinien wieder; damit Beugungswinkel und Beobachtungswinkel vergrößert. 4. Auslesen mit Licht einer anderen Wellenlänge ändert Abbildungsmaßstab 30 E3 Optik W.Zinth Physik LMU

21 Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel Fragen: Ist das Licht aus einem Laser ein Lichtstrahl? Wie gut lässt sich Licht aus einem Laser fokussieren? Behandlung im Rahmen der Wellenoptik: Annahme eines Ausgangsbündelprofils (Feldamplitudenverlauf U 0, Gaußprofil) mit ebener Wellenfront. Ausdehnung in Querdimension sei klein, Wellenzahl k. 1 E3 Optik W.Zinth Physik LMU

22 . Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel W 0 ist der Bündelradius bei dem die Feldstärke auf 1/e abgefallen ist. W 0 ist nur ca. 20% kleiner als die volle Halbwertsbreite der Intensität! Lichtausbreitung nach der Fresnel-Kirchhoffschen Behandlung ergibt nach Ausbreiten über eine Distanz z wieder einen Gaußförmigen Feldverlauf (längere Rechnung): LMU

23 Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel. Beachte: Nach der Ausbreitung ergibt sich Feldverlauf als komplexe Gaussfunktion q(z) ist der komplexe Bündelradius z 0 nennt man den Konfokalparameter oder die Rayleigh-Länge Der Verlauf von (4.100) lässt sich umschreiben unter Verwendung physikalisch einleuchtender reeller Größen: W(z) ist der Bündelradius, R(z) ist der Krümmungsradius der Wellenfront, φ(z) ist die Gouy-Phase, die Phasenverschiebung am Ort z. Man sieht, dass der Feldverlauf Gaußförmig ist, die Wellenfront aber gekrümmt ist. Die Interpretation, dass R(z) der Krümmungsradius ist kann man durch Vergleich mit einer Kugelwelle (im paraxialen Fall) bestätigen.

24 Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel. Für eine Kugelwelle, die sich vom Koordinatenursprung ausbreitet erhält man: E(r)! 1 r exp(ikr) Betrachtet man nun das Feld in der Nähe der z-achse, für große Abstände z >>x, y so besitzt die Wellenfront den Krümmungsradius R K = z und der Feldverlauf wird: E(z,!) " exp(ikr) = exp(ikz + i k!2 2R K ) da gilt: r = x 2 + y 2 + z 2 =! 2 + z 2 " z( D. h. Ein entsprechender Phasenverlauf ~ρ 2 ist ein Hinweis auf Wellenfront mit Krümmungsradius R K! 2 z 2 )

25 Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel. Für Bündelradius des Feldes W(z), Krümmungsradius R(z) der Wellenfront und Gouy-Phase erhält man einfache Beziehungen:!(z) = arctan( z z 0 ) mit der Rayleighlänge z 0 = k W Damit kann man den komplexen Bündelradius auch schreiben als: 1 q(z) = 1 R(z) + i 2 k! W(z) 2

26 Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel. Veränderung des Lichtbündels bei der Ausbreitung Bündelradius: Für große Abstände vom Konfokalbereich z >> z 0 wächst Bündelradius linear an. Voller Divergenzwinkel ϑ 2 W(z)/z = 2λ/(π W 0 )

27 Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel. Lichtintensität: Lichtintensität nimmt mit wachsendem Abstand z von der Bündeltaille ab. Für große Abstände erfolgt die Abnahme proportional zu 1/z 2. Aufgabe: Bestätigen Sie die Energieerhaltung bei der Ausbreitung! Krümmungsradius: Bei kleinen z -Werten divergiert der Krümmungsradius: ebene Wellenfront. Bei großen z -Werten wächst der Radius linear an: R(z) z (wie bei einer Kugelwelle!) Der asymptotische Bereich wird um so schneller erreicht je kleiner der Bündeldurchmesser in der Strahltaille ist.

28 . Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel Kleines W 0 große Divergenz und umgekehrt 8 E3 Optik W.Zinth Physik LMU

29 Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel. Gouy-Phase: Beim Durchgang von Licht durch einen Fokalbereich ändert sich die Phase der Welle um π. Bei einer fokussierten klassischen Welle würde ein Phasensprung direkt am Ursprung auftreten. (Feld kehrt an Ursprung das Vorzeichen um, Gouy-Phase). Bei einem Gaußschen Bündel ist diese Vorzeichenumkehr über den Fokalbereich verteilt.

30 Laser-"Strahlen" - Die Optik Gaußscher Bündel. Anwendungen: Ein Laser Pointer (λ = 630 nm) erzeuge ein Gaußsches Bündel mit Bündelradius W 0 = 1mm. (a) Wie groß ist dieses Lichtbündel an der Hörsaalwand in 20m Entfernung oder am Mond ( km Abstand)? (b) Wie groß müsste W 0 gewählt werden, damit der Bündelradius am Mond 1 km beträgt? Wie könnten sie dies erreichen? (c) Bei einem Experiment misst man die Divergenz des Gauß-Bündels eines grünen Lasers (λ = 500 nm) von ϑ = 0.5mrad. Wie groß war der minimale Bündelradius? Welchen minimalen Bündelradius findet man für Licht der doppelten Wellenlänge bei gleicher Divergenz?