SONDERFORSCHUNGSBEREICH 504

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1 SONDERFORSCHUNGSBEREICH 54 Raionaliäsonzp, Enschidungsrhaln und öonoisch Modllirung No. -5 Cos Arag-Eff: Fa odr Myhos? Albrch, Pr and Dus, Iica and Maurr, Raiond and Rucpaul, Ulla Nobr Financial suppor fro h Dusch Forschungsginschaf, SFB 54, a h Unirsiy of Mannhi, is grafully acnowldgd. Sondrforschungsbrich 54, ail: ris@bwl.uni-annhi.d Lhrsuhl fur Bribswirschafslhr, insb. Insn, Porfolio Managn und Alrssichrung, ail: dus@wiwi.uni-franfur.d Lhrsuhl fur Bribswirschafslhr, insb. Insn, Porfolio Managn und Alrssichrung, ail: raurr@wiwi.uni-franfur.d Sondrforschungsbrich 54, ail: rucpaul@bwl.uni-annhi.d Unirsiä Mannhi L 3,5 683 Mannhi

2 Prof. Dr. Pr Albrch *, Dipl.-Wirsch.-Inf. Iica Dus **, Prof. Dr. Raiond Maurr ** und Dipl.-Kffr. Ulla Rucpaul * Cos Arag-Eff: Fa odr Myhos?. Ausgangspun Dr Cos Arag-Eff ghör gwissraßn zu Insn-Basiswissn. Jd, dr sich schon inal i inr Anlag in Insnfonds, insbsondr Ainfonds, bschäfig ha, is disr Eff bann odr r glaub zuinds, ihn zu nnn. Di Frag is allrdings, ob diss Basiswissn auch in wissnschaflich Fundirung bsiz bzw. wlch Eignschafn wissnschaflich fundirbar sind. Hirübr wird in dr Liraur innsi disuir, gl. wa Ebrz/Schrr 998, Löfflr, Rozff 994, Saulson 994 und Sphan/lön 997. Dis Disussion is zuglich dr Ausgangspun ds orligndn Birags. Dr Cos Arag-Eff bruh zunächs auf inr bsin sruurirn orghnswis ins Finanzinsns, dr Cos Arag- bzw. Durchschnispris-Mhod. Dabi rfolg in Anlag, wa in Ain odr in Insnfonds, zu inn in rgläßign Absändn Mona, Jahr und zu andrn zu in xa glich hohn noinaln Brag. I Ziablauf wrdn soi bi nidrign Kursn jwils rlai hr Anil rworbn, bi hohn Kursn jwils rlai wnigr. Dr durchschnilich Einsandsurs ds Insns lig dann inuii unr d durchschnilichn Kurs dr Ai bzw. ds Fonds, in Fau, das wir spär noch foralisirn wrdn. Disr Eff is dr Krnff ds Cos-Araging. Di Bduung, di d Cos-Araging bigssn wird, gh abr wi übr disn Krnff hinaus. So forulir wa Laux 998, S. 37 unr dr Kapilübrschrif Wsnsral ins opialn prian Alrsorsorginsruns di folgnd Aussag: Bi shr langfrisign Kapialbildungsprozssn rrich an in öonoischs Opiu übr in subsanzwrorinir Anlagpolii, obinir i inr opialn Nuzung ds Zinsszinsffs Erragshsaurirung und ds Cos Arag Effs durch z.b. onalich Einzahlungn glichblibndr Bräg. * ** Lhrsuhl für ABWL, Risiohori, Porfolio Managn und rsichrungswirschaf, Unirsiä Mannhi Lhrsuhl für BWL, insb. Insn, Porfolio Managn und Alrssichrung, J.W. Goh-Unirsiä, Franfur a Main.

3 D Cos Arag-Eff wird hirbi also di Eignschaf inr wsnlichn Drinan inr opialn Alrsorsorg zurann. Wi schon Löfflr, S. 4 anr, wird in dr Liraur wir argunir, dass dr Cos Arag-Eff uso särr wir, j größr di Schwanungn dr Fondspris sind. Dis ünd in dr Epfhlung, risan Fonds, insbsondr solch i hoh Ainanil, für di Alrsorsorg zu wähln. So find sich wa in dr Zischrif Prforanc Unril: Finanzinforaionn auf dn Pun gbrach in dr Ausgab Dzbr 999 di folgnd Epfhlung S. 48: Für Si als Brar hiß dis: Da dr Cos Arag-Eff... uso särr wir, j olailr dr Fonds is, önnn Si bi langlaufndn Sparplänn shr wohl zu olailn Branchn- und Ländrfonds ran. Aull onsair dr Bssllrauor Rchnraining für Finanzdinslisr, Sysaisch rich i Ainfonds, Di Magi ds Erfolgs, Gldrainr und Hrausgbr ins onalichn Finanzcoaching-Brifs B.W. Klöcnr, S. 57: Frun Si sich, wnn di Kurs al sinn... Machn Si in dr Baiss aus Ihrn Einalanlagn Sparplän. Insirn Si in inrnaional anlgnd Ainfonds. Offnbar wird aufgrund ds zuor bschribnn Krnffs ds Cos-Araging ohn wir Bgründung abgli, dass Sparplän ggnübr inr Einalanlag bsondr oril bsizn. Als Argun wird dabi häufig orgbrach, dass i in suzssin Einsig das Risio rringr wird, zu in falschn Zipun zu insirn. Di orshnd gnannn Folgrungn wrdn abr auf inr hr inuiin Ebn groffn. Dabi wird zu Bispil rnachlässig, dass nich nur dr Pris inn Einfluss auf di rzil Rndi bsiz, sondrn auch di ralisir Wrrändrung - bnso, wi nich nur di Kosn dn Gwinn binflussn, sondrn auch di Erlös. Di gnaun Inhal dr groffnn Folgrungn wa: was wird unr Risio rsandn? blibn unscharf. or dis Hinrgrund gh in ginsas Forschungsproj dr zu Bginn ds Birags gnannn Lhrsühl dr Unirsiän Franfur und Mannhi dn folgndn Fragn nach: - Worin bshn di oril ds Cos Arag-Effs gnau? - In wlchn Konsllaionn ds Mars sind si wirsa? - Was präzis sind di Rndionsqunzn und: was wird dabi unr Rndi rsandn? - Was präzis sind di Risioonsqunzn und: was wird dabi unr Risio rsandn?

4 3 - Wlchs sind schlißlich di Konsqunzn für di Risio/Rndi-Profil? Auslösr für di Eablirung diss ginsan Forschungsprojs sind di in dr Liraur zur hs Übrlgnhi ds Sparplans ggnübr inr Einalanlag bnso zu findndn Anihsn. So o wa Rozff 994 in sinr Unrsuchung zur Folgrung hos who hsia, los. Mhodisch gshn rglich Rozff dabi in arian inr Einalanlag, bi dr in ilbrag in inn Fonds anglg und dr andr ilbrag bar foral nsprich dis inr sichrn Anlag i inr Rndi on null Prozn ghaln wird. Dis Aufspalung wird dabi solchraßn fsglg, dass gssn an dr Sandardabwichung ds Endrögns in idnischs Risio rsulir bi in alrnain Sparplan. Rozff o unr disn Bdingungn zur Schlussfolgrung, dass di Einalanlag zu in höhrn ilrn Endrögn führ, risioadjusir soi d Sparplan übrlgn is. Für dis Schlussfolgrung lifr Rozff di folgnd Bgründung. Ein Einalanlag unrlig inr größrn Anzahl on unabhängign Ralisaionn iplizi wird soi in Rando-Wal- Hypohs für dn Wrrlauf ds Insns groffn, was das Risio i Sinn dr Sandardabwichung rduzir. Allrdings is di zu Sparplan brach Alrnai nich wirlich in Einalanlag in dasslb Ass, sondrn in Mischung aus inr Einalanlag in diss Ass und inr sichrn Anlag. Frnr gh Rozff i allginn Fall on inr Approxiaionsforl für dn Erwarungswr sowi di arianz ds Endrögns aus, auch dis ann zu rzrrungn führn. Auch i Birag on Saulson 994 wird auf di risioadjusir Rndi abgsll, r forulir S. 6: Dollar-araging gis any fol h cofor o g ino socs. Bully for h: his dnis no a all h ruh ha dollar-araging canno ipro ris-corrcd prforanc. In dr duschn Liraur rrn Ebrz/Schrr 998 di Anihs und pfhln d Anlgr Ins wihou dlay. Mhodisch folgn si dabi i allginn Fall dr orghnswis on Rozff 994. Für di Übrlgnhi ds Einalinsns führn si di anglnd inrporal Dirsifiaion ds Sparplans ins Fld. Hauss- und Baiss- Phasn a Ainar glichn sich... übr di Zi nich in d Ufang aus, wi bi dr Einalanlag.

5 4 Auf dr andrn Si on Richling/Schulrich 998, S. 48 zu Schluss, dass dr 5%-alu-a-Ris dr Cos Arag-Sragi in dr on dn Auorn brachn Bispilonsllaion für all Laufzin unrhalb ds orrspondirndn alu-a-ris-wrs für di nsprchnd passi Sragi äquialns Einalinsn lig. Dis is in wichigr Asp inr orilhafigi ds Sparplans. Di Disussion u dn Cos Arag-Eff is in rin aadisch ransalung, sondrn si bsiz unilbar Praxisrlanz. Dis blg auch das i Jahr ingführ Produ Flxins dr AM Gnrali Ins. Di Produonsruion is dabi drgsal, dass in bsi Einalanlagsu zunächs in inn sichrn Gldarfonds fliß. Dis Anlagsu wird dann schriwis in bzw. 4 glichblibndn Monasbirägn in inn Ain- bzw. Dachfonds ugschich. In inr Prssinforaion dr AM Gnrali Ins o 7. Juli wird dabi zu dn Produoriln ausgführ: Dai ach sich dr Insor on dr Wahl ins bsin Zipuns für in Einalanlag unabhängig und o so in dn Gnuss ds Cos Arag-Effs - also ins günsign Durchschnisurss, dr bi schwanndn Kursn i ir glichn Anlagsun übr inn längrn Zirau rzil wird. Di Produonsruion on Flxins binhal unr andr di sichr Anlag ds i Rahn ds Sparplaninsns jwils noch nich insirn Anils. Dis ach zuglich lar, dass di radiionll Ggnübrsllung dr Insiion ins Einalbirags in Höh ins bsin anfänglichn rögns auf dr inn Si und dr Insiion glich hohr Bräg / übr inn Zihorizon dr Läng auf dr andrn, auf inr iplizin Präiss bruh. Es wird dabi übrshn bzw. rnachlässig, dass bi Sparplan di jwils noch nich bnöign rögnsanil anglg wrdn önnn z.b. a Gldar. Andrs ausgdrüc: Es wird di iplizi Präiss groffn, dass disr Anlagzins glich null is. Rozff 994 is dabi in sinr orghnswis durchaus onsisn, ind di sichr Anlag i Rahn dr odifizirn Einalinsnsragi inn Zins in Höh on null Prozn aufwis. Ebrz/Schrr 998 lösn diss Probl, ind si bi Sparplan on in zu Einalinsn äquialnn Barwr dr insirn Bräg bi Annah ins sichrn Zinss in Höh on ir Prozn als Insiionsbrag ausghn. Prinzipill sind di Eff ins solchn posiin Widranlagzinss bzw. in nsprchnd Sragiodifizirung bnfalls Ggnsand ds sizzirn Forschungsprogras. I orligndn Birag jdoch bschränn wir uns zunächs auf di radiionll Sparplansragi bzw. rffn dai di iplizi Präiss ins Widranlagzinss in Höh on null analog

6 5 wär bi inr Krdifinanzirung dr bidn alrnain Sragin di Präiss zu rffn, dass dr Krdizins glich null is.. Ers Basisignschafn Wndn wir unsr Aufrsai zunächs dr Quanifizirung ds i rsn Abschni angsprochnn Krnffs ds Cos-Araging zu. Es wrd dazu in anfänglichs rögn suzssi in,,..., - in glich hohn Aniln / insir. Is s dr Kurs dr Ai bzw. ds Fonds i Zipun, so wrdn in dis Zipun / n s Ain bzw. Fondsanil rworbn. Für dn durchschnilichn Einsandspris rgib sich dai: n s s s. Di lz Unglichung bsag nichs andrs, als dass das haronisch Mil ss linr glich d arihischn Mil is di Glichhi gil dabi nur i Fall s s s -. Dai is di i rsn Abschni als Krnff ds Cos-Araging bzichn Eignschaf nachgwisn, dass dr durchschnilich Einsandspris ss gringr is als dr Durchschnisurs übr inn idnischn Insiionszirau. Allrdings önnn hiraus inrli Schlüss übr inn günsigrn Einsandspris i rglich zu Einalinsn gzogn wrdn, dnn für diss is nich dr Durchschnispris übr in bsi Zipriod rlan, sondrn allin dr Kurs s i Zipun dr anfänglichn Insiion. Nur i Durchschni übr rschidn dnbar Zipun ds Einalinsns ann in günsigrr Pris ralisir wrdn, i Einzlfall ann dai dr Einsandspris ins Einalinsns sowohl günsigr als auch ungünsigr sin. Frnr is - wi bris ausgführ - dr Kaufurs nur in dr bidn Drinann dr ralisirn Rndi. Rndiäßig Konsqunzn önnn aus d Krnff ds Cos-Araging nich gzogn wrdn. Brach an alrnai Insnglgnhin z.b. Ainindizs wi DAX, S&P 5, Nii und hirbi alrnai Zihorizon, so wird schnll lar, dass in gnrll Übr-

7 6 lgnhi ins Einalinsns ggnübr in Sparplan bzw. ic rsa xisir. I Einzlfall is dis Übrlgnhi sowohl pfadabhängig abhängig o onrn ralisirn Kursrlauf als auch zihorizonabhängig abhängig o i Einzlnn fixirn Ziabschni. I Rahn inr wissnschaflich fundirn Analys wird an dahr nur Aussagn i Mil übr ünfig öglich Kursbwgungn achn önnn. Zu rffn is in dis Zusanhang dann in Hypohs übr di Zufallsgszäßigi dr Kursnwiclung. Als lassisch hs ann an hirbi on inr Rando Wal-Annah - gl. wa Albrch/Maurr, S. 4 ff. - ausghn, d.h. di Wrrändrungn übr ünfig Insnpriodn sind unabhängig und idnisch ril. Insbsondr sind dann di i Mil gwonnnn Aussagn unabhängig on dr onrn Wahl ds Sarzipuns ds Insns. Als Alrnai bi sich in Man Rrsion-Hypohs an. Dabi wird unrsll, dass z.b. fundanal Bwrungsnnziffrn, wi wa das Kurs/Gwinn- rhälnis odr di Diidndnrndi nich unbschrän sign bzw. falln önnn, sondrn ss in in noral Rang zurüchrn wrdn - i nsprchndn Konsqunzn für di Ainurs. Eidnz für in solch Rüchr fundanalr Bwrungsnnziffrn in in noral Rang und Folgrungn für ünfig Ainarrndin find an wa in Albrch, a, Capbll/Shillr 998,, Carlson/Plz/Wohar und Shillr. Als forals Modll für in Ainursbwgung i Man Rrsion- Eignschafn bi sich i Rahn inr zisign Modllirung or all dr Ornsin/Uhlnbc-Prozss i Man-Rring Drif - gl. wa Albrch/Maurr, S. 5 f. - an. Das zidisr Analogon wär in auorgrssir Prozss rsr Ordnung. Bi Annah inr Man Rrsion-Hypohs sind di i Mil groffnn Aussagn i Ggnsaz zu Rando Wal-Fall abhängig o gwähln Sarzipun. I Rahn ds sizzirn Forschungsprojs wird auch in Analys ds Man Rrsion-Falls orgnon wrdn, i orligndn Birag bschränn wir uns jdoch auf di Annah dr lassischn Rando Wal-Hypohs. 3. Unrsuchungsdsign Für di Durchführung dr Unrsuchung is zunächs in gign sochasisch Dynai für di zugrundlignd Wrnwiclung ds Ain- bzw. Fondsinsns zu spzifizirn. Wir ghn dabi on inr arian dr Rando Wal-Hypohs aus, ind wir unabhängig und idnisch noralril oninuirlich Jahrsrndin unrslln. Disr An-

8 7 saz is onsisn i d finanzahaischn Sandard-Rfrnzodll, dr gorischn Brownschn Bwgung gorischr Winr-Prozss. Zur Gwinnung dr Parar dr oninuirlichn Jahrsrndin lgn wir di Enwiclung ds duschn Ainindx DAX übr dn Zirau 97 - zugrund. Di Parar ilr oninuirlich Rndi und Rndisandardabwichung nhn übr disn Zirau di Wr.47% bzw..77% an. Di bidn Insnalrnain sind di Einalanlag inr Gldinhi zu Priodnbginn sowi di jährlich orschüssig Anlag on glich hohn Brägn dr Höh / Gldinhin Sparplan. Ausgwr wird das x an zufallsabhängig Endrögn, das unr disn bidn Insnalrnain jwils rrich wird. Als Maß für di ilr Wrnwiclung wird dr Erwarungswr ds Endrögns bsi. Als Risioaß on nbn dr radiionlln Sandardabwichung dabi Maß ds Shorfall-ypus zu Einsaz - gl. hirzu allgin Albrch/Maurr, S. 8 ff. sowi für inn Anwndungsfall Albrch/Maurr/Rucpaul. Bzugspun is dabi in Zilndrögn in Höh on inr Gldinhi argrndi on null Prozn, d.h. analysir wird di Gfahr dr rfhlung inr noinaln Kapialrhalung. Als infachss Shorfallrisioaß wird zunächs di Shorfallwahrschinlichi brach, d.h. di Wahrschinlichi dr rfhlung inr noinaln Kapialrhalung bsi. Nbn dr Wahrschinlichi für inn Shorfall is auch di ilr Höh ins Shorfalls rlai zur Bnchar on Rlanz. Zu dis Zwc wird dr sog. Man Excss Loss brach. Disr iss di ilr Shorfallhöh unr dr Bdingung, dass in Shorfall inri. Hirbi wird di ilr Unrschriung dr Bnchar noinal Kapialrhalung übr all Ralisaionn brach, di zu inr rfhlung dr Bnchar führn. Dr Man Excss Loss ann inuii als Wors Cas- Risioaß aposrophir wrdn, dnn r iss nur di Konsqunzn ilr Bncharunrschriung für di Fäll, in dnn dr Wors Cas hir: Bncharrfhlung inri. Wir chnisch Dails find an i Anhang zu dis Birag. Schlißlich wird noch dr alu-a-ris brach und dabi als risioadjusirs Prforancaß inrprir.

9 8 4. Ergbniss Di nachshnd Abbildung ril zunächs inn Eindruc on dr ilrn Enwiclung ds Endrögns dr bidn alrnain Insns übr rschidn Zihorizon. Gnrll auch für di wirn Graphin is dabi für dn Fall ds Sparplans zu bachn, dass hir für jdn fixirn Zihorizon in andr Sragi orlig, da a Anfang jdr Insiionspriod innrhalb ds Insiionsziraus [, ] jwils / Gldinhin insir wrdn. Erwarungswr 6 5 Sparplan Einalinsn 4 EW Jahr Abbildung : Einalinsn s. Sparplan: Milrr Wr ds Endrögns Es wird dulich, dass das Einalinsn zu in höhrn ilrn Endrögn führ, wobi di Diffrnz uso grairndr wird, j längr dr Zihorizon is. Diss Ergbnis is gnrll alid. Für dn hir brachn Fall dr gorischn Brownschn Bwgung gl. an Anhang B, für inn blibign ulipliain Rando Wal gl. Richling/Schulrich 998. Inuii lig diss Ergbnis bgründ in dr posiin Drif dr zugrundligndn sochasischn Dynai, d.h. i Mil rfolg in jährlich Rndisigrung ds insirn Kapials on ca..5%. J hr Kapial unr disn Bdingungn insi gbundn is, dso bssr is i Mil das Ergbnis. Di größr Kapialbindung rfolg bi Einalin-

10 9 sn, di Kapialbildungsdiffrnz is dabi uso größr, j größr dr Zihorizon für das Cos-Araging is. Naürlich spil auch di i rsn Abschni angsprochn iplizi Hypohs ins Widranlagzinss in Höh on null Prozn bi dr Sparplanarian in Roll. Da jdoch dr sichr Zins sinnollrwis gringr anzuszn is als di ilr Rndi ins Aininsns, rindr in posiir sichrr Zins zwar dn Absand zur ilrn Wrnwiclung bi Einalinsn, abr r übrbrüc ihn nich. Abbildung sll nsprchnd di Enwiclung dr olailiä ds Endrögns dr bidn alrnain Insns dar. olailiä 9 8 Sparplan Einalinsn 7 olailiä Jahr Abbildung : Einalinsn s. Sparplan: olailiä ds Endrögns Es wird dulich, dass das Einalinsn in höhr olailiä und dai auch in höhr arianz ds Endrögns bsiz als dr Sparplan. Auch diss Rsula is gnrll alid. Für dn Fall dr gorischn Brownschn Bwgung gl. widru Anhang B, für dn allginn ulipliain Rando Wal-Fall gl. Richling/Schulrich 998. Zusangnon bdun di bidn orshndn Rsula, dass hinsichlich ds Erwarungswr/arianz-Kririus - gl. allgin Albrch/Maurr, S. 7f. - in Doinanz inr dr bidn Sragin orlig. Dr Sparplan binhal i rglich zu

11 Einalinsn sowohl inn nidrigrn Erwarungswr ds Endrögns als auch in gringrs Risio, gssn anhand dr Sandardabwichung ds Endrögns. Es sll sich nun di wirghnd Frag, wi di bidn Insnalrnain abschnidn, wnn in rad-off zwischn inggangn Risio und rsulirndr ilrr Rndi durchgführ wird. Nach dr nich wir bgründn hs on Saulson 994 soll unr inr risioadjusirn Prspi dann in dr bidn Insnalrnain in Übrlgnhi aufwisn. Grundlag für in nsprchnd Analys wär di Spzifiaion ins risioadjusirn Prforancaßs. Hirfür shn hrr Möglichin zur rfügung z.b. Sharp-Raio, Modigliani/Modigliani-Rndi, gl. hirzu wa Albrch/Maurr/Schradin 999, S. 35ff. und s sh zu run, dass di Anwor on dr ingszn Konzpion zur Mssung inr risioadjusirn Rndi abhängig is. I folgndn lnn wir unsr Aufrsai auf dn alu-a-ris als spzifisch Möglichi zur Mssung inr risioadjusirn Prforanc. Dr alu-a-ris zu Konfidnzniau α is - gl. allgin Albrch/Maurr, S. 5ff., S. 673ff. - dabi drjnig Wr, dr axial i Wahrschinlichi α%, d.h. grob gsag nur in axial α on Priodn unrschrin wird. I Fall ds orligns inr Noralrilung bsiz dr alu-a-ris - gl. widru Albrch/Maurr, S. 674ff. - di folgnd gnrll Sruur: alu-a-ris α% Erwarungswr inus [Faor α% al olailiä]. Dr inghnd Mulipliaionsfaor nsprich dabi d - α-quanil dr Sandardnoralrilung. I Noralrilungsfall wird dai bsondrs dulich, dass dr alu-a- Ris in risioadjusirs Prforancaß is, dnn offnbar find in xplizir rad-off zwischn Risio und ilrr Rndi sa. Bi iln Anwndungn in dr Liraur wird dr alu-a-ris daggn als rins Risioaß rsandn. Dis lig darin bgründ, dass bi disn Anwndungn dr in di orshnd sruurll Bzihung inghnd Erwarungswr approxiai glich null gsz wird z.b. in Fälln, in dnn di ilr Rndi ins Finanzils übr inn shr urzn Zihorizon brach wird. Bi inr solchn orghnswis zig dann auch di orshnd sruurll Bzihung, dass dann dr alu-a-ris proporional zu in Risioaß, dr Sandardabwichung, is. I allginn

12 Fall is u.e. dr alu-a-ris hinggn hr als risioadjusirs Prforancaß anzushn gl. zu inr nsprchndn Anwndung aull Albrch b. or dis Hinrgrund önnn dann auch di Ergbniss on Richling/Schulrich 998 ingordn wrdn, di i Rahn inr spzifischn Bispilonsllaion zu Schluss on, dass dr Sparplan i rglich zu Einalinsn inn gringrn 5%-alua-Ris aufwis. Bi Brachung ds alu-a-ris wis dai dr Sparplan inn bssrn Risio/Rndi-rad-off auf als das Einalinsn. rsh an dn alu-a-ris als risioadjusirs Prforancaß, so bsh hir - nggn dr hs on Saulson - in Übrlgnhi ds Sparplans. Wndn wir uns nun inr Analys dr bidn Insnalrnain unr Shorfallgsichspunn zu. Abbildung 3 ril inn Eindruc on dr Shorfallwahrschinlichi - hir dr Wahrschinlichi dr rfhlung inr noinaln Kapialrhalung - i Ziablauf. Shorfallwahrschinlichi 35,% 3,% Sparplan Einalinsn 5,% SW,% 5,%,% 5,%,% Jahr Abbildung 3: Einalinsn s. Sparplan: Shorfallwahrschinlichi Es wird dulich, dass das Einalinsn nich nur hinsichlich dr ilrn Wrnwiclung, sondrn auch hinsichlich dr Wahrschinlichi dr rfhlung inr noinaln Kapialrhalung d Sparplan übrlgn is. Es wis dai nur in dis Sinn in gringrs

13 Risio auf. Inuii lig dis widru bgründ in d Drifff, dr schon bi dr ilrn Wrnwiclung für di Übrlgnhi ds Einalinsns ausschlaggbnd war. Auch hinsichlich dr orgab dr Bnchar inr noinaln Kapialrhalung führ disr Eff dazu, dass bi Einalinsn wnigr Ralisaionn di Bnchar rfhln. Das Ausaß dr Wirung ds Drifffs is abr dulich wnigr sar ausgpräg als i Fall dr ilrn Wrnwiclung. Di Shorfallwahrschinlichin bi Einalinsn sind nur gringfügig gringr als bi Sparplan. Wndn wir uns nun d Man Excss Loss zu. Di nsprchnd Siuaion wird in Abbildung 4 dargsll. Man Excss Loss 35,% 3,% 5,% MEL,% 5,%,% 5,% Sparplan Einalinsn,% Jahr Abbildung 4: Einalinsn s. Sparplan: Man Excss Loss Abbildung 4 ach dulich, dass di fsgsll Übrlgnhi ins Einalinsns hinsichlich dr Shorfallwahrschinlichi ins Ggnil uschläg, wnn an sich auf dijnign Ralisaionn bschrän, di zu inr rfhlung dr Bnchar inr noinaln Kapialrhalung führn. Di ilr Unrschriung dr Bnchar is dann bi Sparplan dulich gringr als bi Einalinsn. Dr Sparplan wir als Risiodäpfr, r schüz bssr i Fall on Wors Cas-Erignissn hir: rfhlung dr noinaln Kapialrhalung. J längr dr Insnhorizon, dso bssr di Risiodäpfung durch dn Sparplan, rlai zu Einalinsn.

14 3 5. Fazi und Ausblic Unr dr Hypohs ins Rando Wal für di ünfign Rndiralisaionn und bi Annah ins Widranlagzinss in Höh on null Prozn für di jwils nich insi gbundnn rögnsil bi Sparplan önnn di folgndn Ergbniss rsüir wrdn: - Das Einalinsn is sysaisch übrlgn hinsichlich dr ilrn Wrnwiclung. Disr oril sig gnrll i dr Läng ds Insiionshorizons. - Dr Sparplan is hinggn sysaisch übrlgn hinsichlich dr Sandardabwichung ds Endrögns. - Hinsichlich ds Erwarungswr/arianz-Kririus bsh soi in Doinanz inr dr bidn Insnalrnain übr di andr. - Hinsichlich ds alu-a-ris hir inrprir als risioadjusirs Prforancaß dun di Ergbniss on Richling/Schulrich 998 auf in Übrlgnhi ds Sparplans hin. Hinsichlich ds Shorfallrisios wrdn di folgndn Ergbniss rzil: - Das Einalinsn wis gringfügig gringr Wahrschinlichin für di rfhlung inr noinaln Kapialrhalung auf. - Dr Sparplan is in bssrr Däpfr hinsichlich dr Risiohöh i Sinn ds Risioaßs Man Excss Loss. Gssn wird dabi di ilr rfhlung dr noinaln Kapialrhalung in dn Sznarin, in dnn in solch rfhlung inri. Di orilhafigi dr bidn alrnain Insnsragin is soi diffrnzir zu shn. Sowohl hs Übrlgnhi ds Sparplans als auch Ggnhs Übrlgnhi ds Einalinsns sind nich gnrll alid. Zur Bsiung ins Saldoffs übr di hinsichlich ds Shorfallrisios gwonnnn ilff üss dr Insor sowohl rad-offs zwischn Shorfallwahrschinlichi und Man Excss Loss als ilrisioaß, als auch i d Erwarungswr als Chancnaß

15 4 durchführn, u zu inr prsönlich opialn Enschidung hinsichlich Einalinsn rsus Sparplan zu glangn. Das Ergbnis häng nschidnd o jwilign Ausaß disr bidn rad-offs ab. I orligndn Birag bschränn wir uns jdoch auf di Offnlgung dr ilff, di bi Einalinsn bzw. Sparplan wirsa sind. Wir Analysschri wrdn sich auf dn Einfluss ds Ausaßs dr olailiä, auf dn Übrgang auf onalich Insiionsbräg, auf di Eff ins Ausgabaufschlags bi Insnfonds sowi auf di Konsqunzn ins Man Rrsion-Effs bzihn. Frnr solln di Konsqunzn für in risioadjusir Prforanc hrausgarbi wrdn. Schlißlich habn sich di bishrign Analysn auf di Ansparphas bschrän. Es sll sich di Frag, ob spiglbildlich Eff bi dr Ensparphas aufrn Kapialabfindung rsus Rnnzahlung.

16 5 LIERAUR Albrch, P. : Wlch Ainprforanc is übr di nächsn Dadn ralisischrwis zu rwarn? Ein Fundanalanalys, Zischrif für rsichrungswsn 3/, Albrch, P. a: Bull conra Bär - Hauss odr Baiss: Wlch Prforanc is auf d duschn Ainar übr di nächs Dad zu rwarn? ForUM, Unirsiä Mannhi, 6 -. Albrch, P. b: Di Kapialanlagprforanc dr Lbnsrsichrr i rglich, rsichrungswirschaf 9/, Albrch, P., R. Maurr : Insn- und Risioanagn, Sugar. Albrch, P., R. Maurr, H.R. Schradin 999: Di Kapialanlagprforanc dr Lbnsrsichrr i rglich zur Fondsanlag unr Rndi- und Risioaspn, Karlsruh. Albrch, P., R. Maurr, U. Rucpaul : Shorfall-Riss of Socs in h Long Run, Financial Mars and Porfolio Managn 5, Capbll, J.Y., R.J. Shillr 998: aluaion Raios and h Long-Run Soc Mar Ouloo, Journal of Porfolio Managn, Winr 998, - 6. Capbll, J.Y., R.J. Shillr : aluaion Raios and h Long-Run Soc Mar Ouloo: An Upda, Cowls Foundaion Discussion Papr No. 95, Yal Unirsiy. Carlson, J.B., E.A. Plz, M.W. Wohar : Will aluaion Raios Rr o Hisorical Mans?, Journal of Porfolio Managn, Sur, Ebrz,., B. Schrr 998: Cos-Araging - Fa odr Fiion?, Di Ban /98, Klöcnr, B.W. : Wr auch in Krisnzin spar, gwinn, rsichrungsagazin /, Laux, M. 998: Alrsorsorg-Sondrrögn - Ein rgänznds Insrun für di pria und briblich Alrsorsorg, in: Hhn, E. Hrsg.: Ass Managn, Sugar, Löfflr, G. : Anlagsragin für di pria Alrsorsorg, in: Wsphal, I., C. Horso Hrsg.: Ass Managn, Sugar, Richling, P., M. Schulrich 998: Dr Cos-Arag-Eff, Soluions 4/98, RisLab Grany, Rozff, M.S. 994: Lup-su Insing rsus Dollar-Araging, Journal of Porfolio Managn, Winr 994, Saulson, P.A. 994: h Long-r Cas for Equiis, Journal of Porfolio Managn, Fall 994, 5-4. Shillr, R.J. : Irraional Exubranc, Princon.

17 6 Sphan,.G., K. lön 997: Sparplan rsus Einalanlag. Dr Cos Arag-Eff, Di Ban /97,

18 7 Anhang A: Foral Grundlagn Ggbn si in fixirs Insiionsinrall [, ] i disrn Insiionszipunn,,..., -. {S ; } bzichn dn sochasischn Prozss für di zufallsabhängig Kursnwiclung ds gäign Finanzinsns Ai, Fondsanlag. Als Hypohs für di Kursdynai din dabi das Bncharodll dr odrnn Finanzahai, di gorisch Brownsch Bwgung gorischr Winr-Prozss, gl. hirzu i Einzlnn Albrch/Maurr, S. 48 ff.. Dis Annah iplizir insbsondr, dass jdr zuünfig Kurs S zu in fsn Zipun logarihisch noralril is und bnso, dass di zisign Einpriodnrndin U ln[s /s - ],,...,, unabhängig und idnsich noralril sind, d.h. U ~ N,. A. Dr gorisch Winr-Prozss ann soi als zisig arian ins ulipliain Rando Wals aufgfass wrdn. Brachn wir nun di Ex an-wrnwiclungn dr bidn Insnalrnain. I Fall ds Einalinsns wird in anfänglichr Gldbrag on insir, das ralisir Endrögn EI EI ds Einalinsns is ggbn durch S / s xp U... U. A. EI Dai gil ln ~, EI N, A.3 di rlan rilung für EI is soi di logarihisch Noralrilung. I Fall ds Sparplans wird in Gldbrag in Höh on I / / zu dn Zipunn,,..., - insir. Es gil dann für das ralisir Endrögn SP SP ds Sparplans:

19 8 SP I s I s... I s S I I S / s xp U... U. A.4 Di rilung ds Endrögns bi Sparplan bsh soi aus inr Su logarihisch noralrilr Zufallsgrößn. Hirzu xisir in gschlossnr Ausdruc. Di Ealuaion on SP wird i allginn Fall auf dr Grundlag inr Mon Carlo-Siulaion orgnon, di darauf bruh, dass di sign Einpriodnrndin U,..., U unabhängig und idnisch noralril sind. Für Erwarungswr und arianz ds Sparplans xisirn jdoch für dn Rando Wal-Fall allgin analyisch Ausdrüc, gl. Richling/Schulrich 998. Für di in disr Arbi i ordrgrund shnd gorisch Brownsch Bwgung nhäl Anhang B di nsprchndn Rsula. Di Ealuaion on EI ann hinggn auf analyisch Wg rfolgn. Für dn Erwarungswr und di arianz gil dabi - gl. allgin wa Albrch/Maurr, S für di Funionalparar dr Lognoralrilung: E xp EI A.5 ar xp [ ]. A.6 EI Wndn wir uns nunhr dn i Haupx rwndn Risioaßn zu - für Shorfallrisioaß i Allginn gl. widru Albrch/Maurr, S. 8 ff., S. 7 ff.. Es sind dis - hir forulir für in blibigs Endrögn und in blibig Bnchar z - di Shorfallwahrschinlichi SW z P z, A.7

20 9 dr Shorfallrwarungswr SE z E[ax z, ], A.8 sowi dr Man Excss Loss MEL z Zwischn disn Risioaßn gil dabi gnrll di Bzihung SE E[ z z ]. A.9 z SW z MEL z. A. Für in gäß A.3 logarihisch noralrils Endrögn gil dabi - gl. allgin widru Albrch/Maurr, S. 3 f. - i q : z : / SW z Φ q A. SE z z Φ q xp Φ q, A. wobi Φ x di rilungsfunion dr Sandardnoralrilung bzichn. Di Risionnziffr MEL z ann an dann gäß A. als Quoin SEz /SWz brchnn. I Fall ds Sparplans sind di Risioaß Shorfallwahrschinlichi und Shorfallrwarung zu bsin auf dr Basis ihrr Sichprobnggnsüc Shorfallhäufigi, Shorfallilwr ggbn di siulirn Ralisaionn ds rrichn Endrögns.

21 Anhang B: Erwarungswr und arianz ds Endrögns für dn Sparplan Wir dfinirn zunächs di Hilfsgrößn : xp U L U B., Es gil dann ln, U L U ~ N[, ]. B. Das Endrögn ds Sparplans is dann gäß A.4 ggbn durch B.3 SP, Für dn nsprchndn Erwarungswr gil dann: E[ SP ] E[, ] xp[ ] B.4 xp[ ]. Aufgrund dr Monooni dr Exponnialfunion ann dann jdr Suand in B.4 nach obn abgschäz wrdn durch xp[ ½ ], d.h. insgsa gil gäß A.5 für > : E[ SP ] < E[ EI ]. B.5 Das rwar Endrögn is soi i Einalinsnfall sysaisch höhr als i Sparplanfall. Für di arianz ds Endrögns i Fall ds Sparplan gil zunächs allgin: ar[ SP ] E[ SP ] E[ SP ] E, xp[ ]. B.6

22 Allgin gil Σa ΣΣa a s Σa ΣΣa a. Dai gil zunächs:,,,,. B.7 Da, logarihisch noralril is, folg zunächs: ] xp[, E. B.8 Wgn,, xpu U xpu U folg wir U U U U ln,, L L. B.9 Es lig soi in Su noralrilr r or, d.h. ln,, is noralril bzw.,, is logarihisch noralril. Es gil dabi: ] [ ] [ln E,, B. sowi. ] 3 [4 4 ] ar[ln,, B. Insgsa gil dai } ] 3 [4 ] xp{[ ] E[ln,,. B. Ds Wirn gil: ]. xp[ ] xp[ ] xp[ B.3 Dai sind wir nun in dr Lag, inn Gsaausdruc für di arianz ds Endrögns ds Sparplans hrzulin. Es gil:

23 [ ]. ] ar[ ] 3 [4 ] [ SP B.4 Nach inign Uforungn folg hiraus: [ ] [ ]. ] ar[ SP B.5 Jdr inzln Suand binhal in Produ dssn rsr r durch und dssn zwir r durch nach obn abgschäz wrdn ann. Es folg soi > : } { ] ar[ < SP. Da insgsa Suandn orlign, gil dai schlißlich an bach A.6: ] ar[ ] ar[ EI SP <. B.6 Dai is di arianz ds Endrögns i Sparplanfall sysaisch nidrigr als i Einalbiragsfall.