Text- und Übungsheft

Transkript

1 UNIVERSITӒT VILNIUS INSTITUT FÜR FREMDSPRACHEN Fachdeutsch Mathematik 1 Text- und Übungsheft Zusammengestellt von Virginija Jūratė Pukevičiūtė Vilnius 2014

2 Apsvarstė ir rekomendavo leidybai Vilniaus universiteto Užsienio kalbų instituto Vokiečių kalbos katedra ( ; protokolo Nr. 4) ir Vilniaus universiteto Užsienio kalbų instituto Taryba ( ; protokolo Nr. 5) Recenzentai Doc.dr. Vita Banionytė Lekt. Violeta Paliukonienė Virginija Jūratė Pukevičiūtė, 2014 Vilniaus universitetas, 2014 ISBN

3 Vorwort Fachdeutsch Mathematik 1 ist ein Text- und Übungsheft für StudentenInnen der physischen Wissenschaften mit Mittelstufenkenntnissen in Deutsch, was Niveau B2 des Gemeinsamen Europäischen Referenzrahmens entspricht. Das vorgelegte Heft hat zum Ziel, die sprachlichen Fähigkeiten zu vertiefen: Leseverstehen und Interpretation der originalen fachorientierten Texte; Erlernen des themenbezogenen Wortschatzes und praktische Einübung der neu erworbenen Kenntnisse; Vervollkommnung der grammatischen Kenntnisse im Kontext der fachorientierten Literatur; Erweiterung der schriftlichen und mündlichen Fähigkeiten aufgrund der in den Texten aktuellen Themen. Das Text- und Übungsheft besteht aus 2 Lektionen zu bestimmten Themen aus dem Bereich der Mathematik, die mit mehreren Lesetexten sowie zahlreichen lexikalischen und grammatischen Aufgaben entfaltet werden. Die Lesetexte werden aus verschiedenen zu den didaktischen Zwecken dienenden Internetseiten entnommen. Zusätzliche kurze themabezogene Texte in Form von C-, Cloze-Aufgaben usw. können den Studierenden bei der besseren Beherrschung des neuen Wortschatzes behilflich sein. Die Lernenden haben Möglichkeit, die Wörter oder Wortgruppen zum aktuellen Thema mithilfe der ABC-, Mind-Mapping-Methode u. a. zu wiederholen und einzuüben. Fachdeutsch Mathematik 1 stellt auch die Aufgaben zur Erweiterung der sprachlichen Kompetenz der StudentenInnen im Rahmen der fachbezogenen Literatur zur Verfügung, d. h. die Besprechung der in den Texten aktuellen Themen mithilfe der Bilder, Tabellen und Grafiken. Um die schriftlichen Fertigkeiten der Lernenden zu vertiefen, wird es empfohlen, die Fragen zu den Texten schriftlich zu beantworten, die Sätze zu beenden sowie die kurzen Textannotationen zu schreiben. Während der Vorbereitung des Text- und Übungsheftes wurden die Materialien mit den Studierenden der Fachbereiche Mathematik, Statistik, Ökonometrie, Informatik, Finanzen- und Versicherungsmathematik mehrmals erprobt, korrigiert und ergänzt. 3

4 Inhaltsverzeichnis Lektion 1. Teilgebiete der Mathematik 5 Logik, Mengenlehre, Algebra und Topologie 6 Analysis 14 Algebra 22 Geometrie 31 Geschichte der Geometrie 39 Lektion 2. Begriffe der Mathematik 47 Mengen 48 Darstellung von Mengen 56 Axiome 64 Euklid und sein Axiomensystem 72 Beweise in der Mathematik 81 Direkte Beweise 91 Aussagen 100 Berühmte mathematische Sätze und Vermutungen 108 Quellenverzeichnis 116 4

5 Lektion 1. Teilgebiete der Mathematik 1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff Mathematik? Ergänzen Sie das Assoziogramm. rechnen Mathematik Zahl 2. Was denken Sie über die von CARL FRIEDRICH GAUß gerne zitierte Aussage. Begründen Sie Ihre Meinung. Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik. 3. Wiederholen Sie die Wörter, die mit dem Thema Arithmetik verbunden sind. Füllen Sie die Lücken aus. Abziehen Brüchen ganzen natürliche Primzahlen Pythagoräern Rest 5

6 Teilen Teilgebiet Vervielfachen Zahlentheorie Zusammenzählen Die Arithmetik ist ein der Mathematik. Die Arithmetik wurde von den begründet und in Buch VII-IX von EUKLIDS Elementen erstmals gesammelt. Sie umfasst vor allem das Rechnen mit den Zahlen, also die Grundrechenarten Addition ( ), Subtraktion ( ), Multiplikation ( ), Division ( ) sowie die zugehörigen Rechengesetze. Zur Arithmetik gehören auch die Gesetze der Teilbarkeit der Zahlen sowie die Division mit. Weiter zu erwähnen ist das Rechnen mit. Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt: Jede Zahl größer als 1 ist ein (bis auf die Reihenfolge) eindeutiges Produkt von. Die Arithmetik leitet zur über, die sich im weitesten Sinn mit der Charakteristik der Zahlen beschäftigt. I. Lesen Sie den Text 1 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR Abstand, der, "e atstumas Grundlage, die, n pagrindas, esmė allgegenwärtig bendras, visuotinis herausbilden, sich, susiformuoti Anstoß, der, "e postūmis, paskata Höhepunkt, der, e viršūnė Aufbau, der, - sandara Lösbarkeit, die, - išsprendžiamumas aufblühen, vi suklestėti meistern, vt įveikti aufweisen, vt parodyti, atskleisti Querverbindung, die, en jungtis, jungė ausgehend von+d. remiantis kuo Stetigkeit, die, - tolydumas bedürfen, vt, G. reikėti ko Trennungseigenschaft, die, atskyrimo Betrag, der, "e suma en ypatumas Beweis, der, e įrodymas überraschend netikėtas bezüglich + G. dėl ko Umgang, der, "e ryšys einführen, vt įvesti unhaltbar nepagrįstas 6

7 emanzipieren, sich, išsivaduoti iš ko Verallgemeinerung, die, en apibendrinimas Ergänzung, die, en papildymas versagt bleiben čia: nepavykti erweisen, vt įrodyti vertreiben, vt atsisakyti ko Gleichung, die, en lygtis Vollständigkeit, die, - pilnumas Grenzen setzen nubrėžti ribas widerspruchsfrei nepriekaištingas Grundbegriff, der, e pagrindinė sąvoka Zusammenhang, der, "e ryšys 1. Logik, Mengenlehre, Algebra und Topologie Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge Zusammenhang zwischen ihren Teilgebieten, der sich in vielen, häufig auch überraschenden Querverbindungen zeigt und der jeder Systematik Grenzen setzt. Logik und Mengenlehre Die Mathematik hat immer der Logik bedurft, doch dauerte es sehr lange, bis sie selbst sich mit ihren Grundlagen befasste. Es war die Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt, genauer mit den Paradoxien des Unendlichen (BERNARD BOLZANO), wie man sie im Umgang mit den reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem Paradies der Mengenlehre (DAVID HILBERT) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen. Als sich die naive Mengenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm zwischen LEIBNIZ und FREGE versagt geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel, die einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen Mitteln (GÖDEL) zu untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander. 7

8 Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der Mathematik herausgebildet, unter anderem gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme. Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte. Algebra In der modernen Algebra, wie sie seit den 1920er Jahren gelehrt wird, entwickelt man ausgehend von einer Menge mit nur einer inneren Operation (Magma genannt) nacheinander die algebraischen Grundstrukturen der Monoide, Gruppen, Ringe und Körper, die allgegenwärtig sind, unter anderem, weil die verschiedenen Zahlmengen solche Strukturen aufweisen. Eng verbunden sind damit Polynome und Moduln/Ideale. Die Lineare Algebra hat Moduln als Gegenstand. Im einfachsten Fall sind dies Vektorräume, d. h. Moduln über Körpern, meistens oder. Dies sind die Räume der klassischen Geometrie und Analysis. Aber es gibt auch wesentlich kompliziertere Situationen. Die multilineare Algebra dehnt die Untersuchung auf das Tensorprodukt und verwandte Erscheinungen aus. Ein enger Zusammenhang besteht zur Ringtheorie und Homologischen Algebra; eine klassische Fragestellung ist die Invariantentheorie. Die GALOIS-Theorie ist einer der Höhepunkte der Mathematik im 19. Jahrhundert und Anfang der Körpertheorie. Ausgehend von der Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen untersucht sie Körpererweiterungen (und erfindet dabei die Gruppentheorie). Topologie Die Topologie ist ein großes und grundlegendes Gebiet mit vielen Anwendungen. Anstöße kamen aus der Analysis (Reelle Zahlen), der frühen Algebraischen Topologie, der Funktionentheorie (riemannsche Flächen). Zunächst werden die Kategorie der topologischen Räume und Verfahren zu ihrer Konstruktion eingeführt. Die eng verbundenen Grundbegriffe sind Zusammenhang, Stetigkeit und Grenzwert. Weitere wichtige Themen sind Trennungseigenschaften und Kompaktheit. Uniforme Räume haben eine Topologie, die (in Verallgemeinerung metrischer Räume) über eine Art von Abstand definiert ist. Hier kann man CAUCHY-Filter definieren und 8

9 damit den Begriff der Vollständigkeit und die Methode der Vervollständigung eines topologischen Raumes. Topologische Gruppen, Ringe und Körper sind die entsprechenden algebraischen Objekte, die zusätzlich mit einer Topologie versehen sind, bezüglich derer die Verknüpfungen (d. h. bei Ringen und Körpern Addition und Multiplikation) stetig sind. Ein historisch und praktisch wichtiges Beispiel sind die reellen Zahlen: sie werden durch Vervollständigung der rationalen Zahlen Q bezüglich der Topologie, die vom Standardbetrag herkommt, konstruiert. Man kann jedoch auch für eine fest gewählte Primzahl p den so genannten p-adischen Betrag einführen, dann ergibt sich als Vervollständigung der Körper der p-adischen Zahlen. Für diesen interessiert sich beispielsweise die Zahlentheorie. II. Fragen zum Lesetext. 1. Warum begannen die Mathematiker, sich für die Logik zu interessieren? 2. Was ist wichtig bei der Untersuchung der axiomatischen Theorien? 3. Welche Strukturen weisen die Zahlmengen auf? 4. Wie kann man die Vektorräume erklären? 5. Welche Begriffe dominieren in der Topologie? 6. Womit beschäftigt sich grundsätzlich die Zahlentheorie? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 9

10 1. Notieren Sie zu jedem Substantiv das ihm zugrunde liegende Verb und Präposition (wenn es nötig ist). die Beschäftigung sich beschäftigen mit +D. das Verhältnis der Zusammenhang der Umgang die Herrschaft das Gebilde das Interesse die Formalisierung der Beweis die Operation die Untersuchung der Aufbau die Ergänzung die Struktur der Gegenstand die Erscheinung der Anfang der Anstoß die Analysis die Kategorie die Konstruktion der Abstand 2. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter. Ähnliches - Arbeit - auf - bedeutet - Beweistechniken - der - die - durch - echte - empfundene - erlernen - Gebiet - Informatik - Studium - zu Man muss sagen, dass sich das (1) der mathematischen Logik sehr von dem (2) philosophischen oder der "Alltags-Logik" unterscheidet. (3) mathematische Logik befasst sich damit, exakte (4) zu analysieren und in ein System (5) bringen, damit sie übersichtlicher werden. Die (6) Unendlichkeit der Möglichkeiten für Beweise und (7) zeigt sich in Wahrheit als Endliches. (8) die Axiomatisierung der mathematischen Logik können (9) "theorem-proving" Maschinen gebaut werden. Das (10), dass Computer einem auch die geistige (11) abnehmen oder zumindest erleichtern werden. Beim (12) der mathematischen Logik muss man sich (13) eine formale Ebene begeben und Formalisierungstechniken (14). Ohne diese Techniken wäre beispielsweise die (15) heute längst nicht so weit. 10

11 3. Übersetzen Sie ins Litauische. der enge Zusammenhang zwischen den Teilgebieten sich als unhaltbar erweisen Beweise als Folgen elementarer Operationen darstellen die Untersuchung auf etwas ausdehnen die Kategorie der topologischen Räume und Verfahren zu ihrer Konstruktion einführen die Methode der Vervollständigung eines topologischen Raumes 4. Wie steht das im Text? 1. Das kann man als den Anfang der heutigen Mathematik erwähnen. 2. Die Mathematiker begannen mehr und mehr Aufmerksamkeit auf Logik zu schenken. 3. Die Entstehung der neuen Bereiche in der Mathematik zeugt von der Entwicklung und Bedeutung dieser Wissenschaft. 4. Als ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik spielt die Mengenlehre eine bedeutende Rolle. 5. Man kann solche Strukturen überall treffen. 6. Die Topologie beruht auf verschieden Gebieten der Mathematik. 7. Diese Objekte verfügen über eine Topologie. 11

12 5. Übersetzen Sie ins Deutsche. begalinės aibės siekiant ištirti matematikos skaičių vyravimas priemonėmis sudominti ką nors neprieštaringa sandara panašūs reiškiniai esminė sritis apibrėžti išsamumo sąvoką remiantis sąsajomis įvairios skaičių aibės algebros lygčių išsprendimas tampriai susijusios pagrindinės sąvokos aiškus ir akivaizdus 6. Bilden Sie aus den Relativsätzen die Partizipialattribute. Präsens Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) Partizip II (būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma Z.B. Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge Zusammenhang zwischen ihren Teilgebieten, der sich in vielen Querverbindungen zeigt. Ein Charakteristikum der Mathematik ist der enge, sich in vielen Querverbindungen zeigende Zusammenhang zwischen ihren Teilgebieten. 1. Dies war zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. 2. Die Mengenlehre findet heute Ergänzung in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte. 12

13 3. Topologische Gruppen, Ringe und Körper sind die entsprechenden algebraischen Objekte, die zusätzlich mit einer Topologie versehen sind. IV. Aufgabe zur Texterschließung. Ordnen Sie die Textteile in der richtigen Reihenfolge an. Richtige Reihenfolge: D A B C D E F G H der aus den Axiomen logisch abgeleitete Satz. Teilweise werden dann auch die Axiome als Theoreme der Theorie bezeichnet. In der Mathematik spricht man statt vom Theorem oder Lehrsatz oft auch bewiesenen Satz. In einer axiomatisch-deduktiven Theorie bedeutet Theorem in einem engeren Sinn Der Ausdruck Theorem (von griechisch theorema Angeschautes ), auch Lehrsatz, ist mehrdeutig. Er bezeichnet allgemein einen Lehrsatz, ein Naturgesetz oder Physikalisches Gesetz. Im Unterschied zur Mathematik spielt hier der Bezug zur Wirklichkeit eine eine Lehrmeinung oder den Bestandteil einer wissenschaftlichen Theorie; spezieller die erklärten Sätze (Aussagen, Normen) eines Systems bzw. die in einer Theorie bewiesene Aussage resp. einen einfach vom Satz. Damit er als wahr anerkannt wird, muss er aus den Axiomen der Theorie mit den Schlussregeln der Theorie bewiesen werden. In der Physik nennt man einen Lehrsatz auch entscheidende Rolle. Der Lehrsatz muss durch Experimente als adäquat nachgewiesen werden. V. Aufgabe zum mündlichen Ausdruck. 13

14 Schauen Sie das Bild mit den Teilgebieten der Mathematik an. Für welche Teilgebiete der Mathematik interessieren Sie sich am meisten? Begründen Sie Ihre Meinung. Besprechen Sie das in der Gruppe. I. Lesen Sie den Text 2 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR Abbildung, die, en atvaizdis Hauptsatz, der, e pagrindinė teorema Ableitung, die, en išvestinė Infinitesimalrechnung, nykstamųjų dydžių ankommen, vt, auf+a. priklausyti nuo ko die, skaičiavimas ausrechnen, vt apskaičiuoti kompatibel suderinimas bestimmbar nustatomas krummlinig kreivinis 14

15 betrachten, vt nagrinėti, stebėti Mannigfaltigkeit, die, en daugdara darstellbar atvaizduojamas Massepunkt, der, e matavimo taškas definieren, vt apibūdinti Reihe, die, n progresija, seka ermöglichen, vt suteikti galimybę Sprung, der, e šuolis erschließen, vt atskleisti stückweise palaipsnis erweisen, sich, atsiskleisti verallgemeinern, vt apibendrinti Exponentialfunktion, rodiklinė funkcija Volumen, das, - apimtis die, Wahrscheinlichkeit, die, tikimybė Forderung, die, en reikalavimas zugrunde liegen būti pagrindu Gewand, das, e čia: išvaizda zurückgelegt nueitas, įveiktas Grenzwert, der, riba, ribinė reikšmė zusätzlich papildomas 2. Analysis Die Analysis ist ein zentrales Thema der Mathematik. Sie beschäftigt sich in erster Linie mit der Differenzial- und Integralrechnung. Um die Theorie systematisch studieren zu können, muss man sich jedoch zunächst über Begriffe wie Zahlen, Funktionen, Reihen und Potenzreihen die beiden wichtigsten Begriffe Grenzwert und Stetigkeit erschließen. Der Grenzwertbegriff ermöglicht es davon zu sprechen, dass sich gewisse Dinge (z. B. Funktionswerte) beliebig genau annähern und der Stetigkeitsbegriff bedeutet, dass es in der betrachteten Funktion keine großen Sprünge gibt. Messen Sie beispielsweise die Temperatur, so ist es nicht möglich, dass es von einer Sekunde zur anderen plötzlich einen Unterschied von mehreren Grad gibt. Die Temperatur verändert sich stetig. Hat man sich diese Begriffe erst einmal erarbeitet, so kommt man zur Differenzial- und Integralrechnung. In der Differenzialrechnung geht es vornehmlich um die Berechnung der Ableitung (Steigung) einer Funktion. Beschreibt eine Funktion z. B. die Bewegung eines Massepunktes (also die zurückgelegte Strecke in einer bestimmten Zeiteinheit), so gibt die Ableitung dessen Geschwindigkeit an. Die Integralrechnung beschäftigt sich mit der Flächen- bzw. Volumenberechnung, auch unter krummlinigen Kurven (beispielsweise die Fläche eines Teiches). In der Theorie gelangt man schließlich zum Hauptsatz der Differenztial- und Integralrechnung, der besagt, dass 15

16 Integrale über Stammfunktionen ausgerechnet werden können, und der somit die beiden, zunächst unabhängig voneinander entwickelten Theorien miteinander verbindet. Die Analysis untersucht differenzierbare Abbildungen zwischen topologischen Räumen, von den Zahlkörpern R und C bis zu Mannigfaltigkeiten und HILBERT-Räumen (und darüber hinaus). Sie war schon die Mathematik der Naturwissenschaften des 17. und 18. Jahrhunderts und ist es immer noch. Im Mittelpunkt der Analysis steht die Infinitesimalrechnung: Die Differenzialrechnung beschreibt mithilfe der Ableitung eine Funktion im Kleinen ; Integralrechnung und die Theorie der Differenzialgleichungen ermöglichen es umgekehrt, aus der Ableitung auf die Funktion zu schließen. Die algebraisch definierten rationalen Funktionen werden um die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere, durch Differenzialgleichungen und Potenzreihen gegebene spezielle Funktionen ergänzt. Betrachtet man Funktionen, die den komplexen Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit auf, die weit reichende Folgen hat. Solche Funktionen sind immer analytisch, d. h. im kleinen durch Potenzreihen darstellbar. Ihre Untersuchung heißt Funktionentheorie, sie gehört zu den großen Leistungen des 19. Jahrhunderts. Wie man die Erdoberfläche stückweise, oder wie man sagt, lokal oder im kleinen durch ebene Karten darstellen kann, definiert man Mannigfaltigkeiten als HAUSDORFF- Räume zusammen mit einem Atlas aus kompatiblen Karten, die eine Umgebung eines jeden Punktes in einen gewissen Modellraum abbilden. Mit einigen zusätzlichen Annahmen hinsichtlich der Karten kann man Analysis auf Mannigfaltigkeiten betreiben. Heute liegt der Cartansche Differenzialformenkalkül der Übertragung analytischer Begriffe auf Mannigfaltigkeiten zugrunde; dabei kommt es darauf an, die neuen Begriffe intrinsisch, das heißt unabhängig davon zu definieren, welche konkrete Karten man zu ihrer Realisation benutzt. Für einen Großteil der Begriffe kann man das, wenngleich es nicht immer einfach ist und zu einer Reihe neuer Begriffsbildungen führt. Als ein Beispiel sei der Satz von STOKES genannt, der den Fundamentalsatz der Analysis verallgemeinert. Eine wichtige Rolle spielt diese Theorie in anderem Gewande, als Vektoranalysis und RICCI-Kalkül in der Physik. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind auch Gegenstand der algebraischen Topologie; mit 16

17 zusätzlichen Strukturen sind unter anderem riemannsche Mannigfaltigkeiten Thema der Differenzialgeometrie. Aus der uralten Frage nach Maß und Gewicht erwuchs erst Anfang des 20. Jahrhunderts unter Aufnahme topologischer Begriffe die Maßtheorie, die dem gegenwärtigen, sehr leistungsfähigen Integralbegriff und seinen Anwendungen zugrunde liegt, aber auch der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ungefähr zur selben Zeit entwickelte sich aus dem Studium von Integral- und Differenzialgleichungen die Funktionalanalysis als das Studium von Funktionenräumen und von deren Abbildungen (Operatoren). Die ersten Beispiele solcher Räume waren die HILBERTund BANACHräume. Sie erwiesen sich als der Untersuchung mit algebraischen wie topologischen Instrumenten zugänglich, und eine umfangreiche Theorie nahm hier ihren Ursprung. Angewandte Analysis: Oft besitzen wir keine geschlossene Funktionsbeschreibung von Vorgängen, die auf dem Computer simuliert werden sollen. Geometrische Formen in der Computergrafik, die nicht durch Kreise oder Ellipsen zu beschreiben sind, müssen mathematisch modelliert werden und auf dem Computer realisierbar sein. Wie berechnen wir mithilfe des Computers ein Integral? Viele Integrale sind nicht durch eine elementare Stammfunktion bestimmbar - oder wir kennen wiederum nur diskrete Wertepaare einer zu integrierenden Funktion. Die Lösung für dieses Problem stellen die Quadraturformeln dar. II. Fragen zum Lesetext. 1. Womit beschäftigt sich die Analysis? 2. Wie konnte man zur Differenzial- und Integralrechnung kommen? 3. Was untersucht man mithilfe der Integralrechnung? 17

18 4. Warum zählt man die bestimmten Funktionen zu den analytischen? 5. Auf welche Weise kann man die Erdoberfläche in Einzelheiten darstellen? 6. Wie entstand die Maßtheorie? 7. Wie kann die Analysis ihre Anwendung in unserem Leben finden? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff Analysis? Ergänzen Sie das Assoziogramm. Integral Analysis Rechnung Reihen 2. Bilden Sie aus dem Verb das ihm zugrunde liegende Substantiv. studieren das Studium darstellen ermöglichen sprechen messen bedeuten beschreiben untersuchen ergänzen drängen abbilden definieren spielen erwachsen entwickeln simulieren beweisen verbessern 18

19 3. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter. aufbauen - der - der - die - Differenzierbarkeit - eine - entwickelt - großer - in - Mathematik - mit - mit - sind - umfasst - und - und - Zielmenge Die Analysis ist ein Teilgebiet der (1), dessen Grundlagen von G. W. Leibniz (2) I. Newton als Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander (3) wurden. Die grundlegende Analysis befasst sich (4) Grenzwerten von Folgen und Reihen, sowie (5) Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, (6) und Integration. Die Methoden der Analysis (7) in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von (8) Bedeutung. Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in (9) Analysis auf Funktionen mit Definitions- und (10) in den komplexen Zahlen ist Bestandteil (11) Funktionentheorie. Neben der Differenzial- und Integralrechnung (12) die Analysis weitere Gebiete, welche darauf (13). Dazu gehören die Theorie der gewöhnlichen (14) partiellen Differenzialgleichungen, die Variationsrechnung, die Vektoranalysis, (15) Maß- und Integrationstheorie und die Funktionalanalysis. (16) ihrer Wurzeln hat auch die Funktionentheorie (17) der Analysis. 4. Übersetzen Sie ins Litauische. um die Theorie systematisch studieren zu können es gibt in der betrachteten Funktion keine großen Sprünge die Berechnung der Ableitung einer Funktion über Stammfunktionen ausgerechnet werden durch Differenzialgleichungen und Potenzreihen ergänzt werden die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit die neuen Begriffe definieren differenzierbare Mannigfaltigkeiten sich zugänglich erweisen 19

20 5. Übersetzen Sie ins Deutsche. išsiskirti iš ko pastoviai keistis išlenktos kreivės nepriklausomai besi- apibrėžiamas vystančios teorijos analizės esmė atvaizduoti žemėlapiais apibūdinti nepriklausomai nuo ko pagal matą ir svorį priartėti prie ko didžiulis pasiekimas papildomos prielaidos esminis analizės teiginys reikšminga teorija procesų apibūdinimas problemos sprendimas 6. Transformieren Sie die Sätze nach dem Beispiel. sein + Adjektiv mit Sufix bar Modalverb + Infinitiv Passiv Z.B. Die wichtigsten Begriffe sind erschließbar. Die wichtigsten Begriffe können erschlossen werden. 1. Die Abbildungen sind differenzierbar. 2. Die Funktionen sind ergänzbar. 3. Die Funktionen sind darstellbar. 4. Die neuen Begriffe sind definierbar. 5. Geometrische Formen sind modellierbar. 6. Geometrische Formen sind realisierbar. 7. Viele Integrale sind bestimmbar. 7. Bilden Sie aus den konjunktionslosen Nebensätzen die Nebensätze mit der Konjunktion und dann die Präpositionalkonstruktionen. 20

21 ein konjunktionsloser Satz Nebensatz mit Konjunktion wenn Präposition bei Z.B. Messen Sie die Temperatur, so ist es nicht möglich,... Wenn Sie die Temperatur messen, so ist es nicht möglich,... Bei der Messung der Temperatur ist es nicht möglich, Hat man sich diese Begriffe erst einmal erarbeitet, so kommt man zur Differenzial- und Integralrechnung. 2. Beschreibt eine Funktion die Bewegung eines Massepunktes, so gibt die Ableitung dessen Geschwindigkeit an. 3. Beschreibt man mithilfe der Ableitung eine Funktion im Kleinen, so spricht man über die Differenzialrechnung. 4. Betrachtet man Funktionen, die den komplexen Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit auf, die weit reichende Folgen hat. IV. Aufgabe zum schriftlichen Ausdruck. Schreiben Sie eine Annotation zum Text, indem Sie die folgenden Sätze ergänzen. Der Text heißt Er besteht aus Teilen. 21

22 Im ersten Teil handelt es sich um Im zweiten Teil werden behandelt. Der dritte Teil befasst sich mit Abschließend geht es um I. Lesen Sie den Text 3 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR befassen, sich, mit+d. užsiimti kuo lösen, vt išspręsti Berechnungsvorschrift, apskaičiavimo Menge, die, n aibė die, en taisyklė Präzisierung, die, - patikslinimas beweisen, vt įrodyti unterteilen, vt suskirstyti einbinden, vt įpinti, įjungti Verknüpfung, die, en ryšys, kompozicija Einführung, die, en įvedimas Vervollständigung, die, - papildymas ganzzahlig sveikasis Winkel, der, - kampas gleichartig vienarūšis zerfallen, vi susiskaidyti Hintergrund, der, e fonas zerlegen, vt suskaidyti Kantenlänge, die, n briaunos ilgis 22

23 3. Algebra Ursprünglich befasste sich die Algebra mit dem Lösen algebraischer Gleichungen, d. h. der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen mit rationalen oder ganzzahligen Koeffizienten. In diesem Zusammenhang mussten immer neue Möglichkeiten entwickelt werden, was unter anderem auch zur Einführung der imaginären Zahlen führte. Wenn man z. B. die Nullstellen der Gleichung x² + 1 = 0 bestimmen will, reichen die reellen Zahlen nicht mehr aus, da das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv (oder Null) ist und man nie auf Null kommt, wenn man zu einer nicht-negativen Zahl eins addiert. Durch die Einführung der komplexen Zahlen, die sich aus reellen und imaginären Zahlen zusammensetzen, und der Hilfe der Analysis war es dann auch möglich, den Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen. Er besagt, dass in den komplexen Zahlen jede Gleichung in Linearfaktoren zerfällt, d.h. die Anzahl der Nullstellen mit dem Grad der Gleichung übereinstimmt. Auch versuchte man allgemeine Lösungen durch Radikale für Gleichungen zu finden. Jedem dürfte noch aus der Schule die pq- Formel ein Begriff sein, die einem eine Berechnungsvorschrift zum Lösen quadratischer Gleichungen liefert. Gleichartige Formeln wurden auch zum Lösen von Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden. Eines der interessantesten Ergebnisse der Algebra jedoch ist es, dass es unmöglich ist, allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen höheren Grades (Grad > 4) zu finden. Al-Hwarizmi Leonardo Fibonacci Niccolo Tartaglia Geronimo Cardano Isaac Newton Auch konnten mithilfe der ALGEBRA drei der ältesten Probleme gelöst werden, mit denen sich die Mathematiker schon seit langer Zeit befasst hatten: 1. Das Delische Problem: Gegeben sei ein Würfel mit Kantenlänge 1. Ist es möglich mit Zirkel und Lineal die Kantenlänge a = 3 2 eines Würfels mit doppeltem Volumen zu konstruieren? 23

24 2. Die Quadratur des Kreises: Ist es möglich, mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt, wie der eines Kreises mit Radius 1 zu konstruieren? 3. Die Winkeldreiteilung: Gegeben sei ein beliebiger Winkel. Ist es möglich, mit Zirkel und Lineal diesen Winkel in drei gleich große Winkel zu zerlegen? Alle diese Fragen konnten negativ beantwortet werden. Somit ist z.b. bewiesen, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist, auch wenn es bis heute noch Leute gibt, die das nicht glauben wollen. Inzwischen befasst sich die Algebra jedoch nicht mehr nur damit, Lösungen algebraischer Gleichungen zu finden, sondern mit der Theorie der Verknüpfungen auf einer Menge. Eine derartige Struktur einer Menge mit einer Verknüpfung nennt sich dann algebraische Struktur. Mit Hinzunahme besonderer Anforderungen an diese algebraischen Strukturen kommt man zu Begriffen wie Gruppe, Körper oder Vektorraum, deren Untersuchungen ein wichtiges Teilgebiet der Algebra bilden. Durch die Bildung unterschiedlicher Strukturen lässt sich auch die Algebra in verschiedene Teilgebiete unterteilen: Die lineare Algebra behandelt vorwiegend die Theorie der Vektorräume über Körpern, die Körpertheorie, wie der Name schon sagt, die Theorie allgemeiner Körper und Körpererweiterungen, die Gruppentheorie und daneben gibt es noch weitere Bereiche (z.b. Ringtheorie, homologische Algebra,...). Auch wird die Algebra in vielen anderen Gebieten eingebunden. In der Logik (Boolesche Algebra) oder der Zahlentheorie spielt sie eine wichtige Rolle. Leonhard Euler C.F. Gauss Niels H. Abel Evariste Galois Enrico Betti Dass die Aufgabe der Algebra ursprünglich im Lösen von Gleichungen bestand, steckt schon in ihrem Namen, der aus dem Werk al-kitab al-muhtasir fi hisab al-gabr wa-l-muqabala (Das kurz gefasste Buch über Rechnen mit Ergänzen und Zusammenfassen von Ausdrücken) von dem arabischen Gelehrten AL-HWARIZMI (ca ) aus dem 9. Jahrhundert stammt. Aus dem Ausdruck al-gabr im Titel wurde später Algebra. Sich mit algebraischen Problemen zu befassen, wurde jedoch schon im alten Ägypten und bei den Griechen begonnen. Die meisten algebraischen Methoden entstanden hierbei aus einem geometrischen Hintergrund. 24

25 Weiterentwickelt wurde die Theorie dann zunächst hauptsächlich in China, Indien und der arabischen Welt, und erst im Mittelalter beschäftigte man sich in Europa wieder mit der Algebra. Hier ist als wichtigster Vertreter LEONARDO VON PISA (ca ), der auch unter dem Namen LEONARDO FIBONACCI bekannt ist, zu nennen. Im 16. Jahrhundert fand NICCOLO TARTAGLIA ( ) dann die heute unter dem Namen Cardanosche Formel bekannte Lösung für Gleichungen dritten Grades und LUDOVICO FERRARI ( ) die für Gleichungen vierten Grades. Auch ISAAC NEWTON ( ) und LEONARD EULER ( ) leisteten wichtige Arbeiten. Für den bis heute unbewiesenen Fundamentalsatz lieferte CARL-FRIEDRICH GAUß ( ) gleich vier voneinander unabhängige Beweise, deren erster aus dem Jahre 1799 Gegenstand seiner Dissertation war. Im Jahre 1824 war es NIELS HENRIK ABEL ( ), der beweisen konnte, dass Gleichungen fünften Grades nicht durch Radikale gelöst werden können. Den bedeutendsten Beitrag des 19. Jahrhundert zur Weiterentwicklung lieferte jedoch EVARISTE GALOIS ( ) durch die systematische Entwicklung einer Theorie, die heute unter dem Namen GALOIS-Theorie bekannt ist. Mithilfe dieser Theorie war es nun einfach zu beweisen, dass generell Gleichungen höheren als vierten Grades nicht durch Radikale lösbar sind. Dies ist auch ENRICO BETTI ( ) zu verdanken ist, der ab 1851 eine erste Präzisierung der GALOIS-Theorie mit einer Vervollständigung der Beweise präsentierte, da dies GALOIS aufgrund seiner kurzen Lebenszeit nicht möglich war. II. Fragen zum Lesetext. 1. Womit beschäftigten sich früher die Mathematiker auf dem Gebiet der Algebra? 2. Wozu führte die Anwendung der komplexen Zahlen in der Algebra? 3. Zu welchen Ergebnissen kamen die Mathematiker, was die Algebra angeht? 25

26 4. Welche Probleme versucht man mithilfe der Algebra zu lösen? 5. Wie erweiterten sich die Forschungen in der Algebra bis heute? 6. Wo kann man heute im Alltag die Erfindungen der Algebra deutlich sehen? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 1. Wiederholen Sie die Wörter zum Thema Algebra und verwenden Sie dabei ABC Methode. Schreiben Sie zu jedem Buchstaben ein oder zwei Wörter. Algebraisch B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Z 2. Ergänzen Sie die fehlende Worthälfte (jeder Strich = 1 Buchstabe). D (1) deutlich sichtb (2) Anwendungen d (3) Algebra lie _(4) in d (5) Informationsverschlüsselung. Je (6) Scheckkarte, d (7) Sie benu (8), jede C _(9), die S (10) hören, funkti (11) nur m (12) Hilfe v (13) Algebra i _(14) Kombination m (15) Zahlentheorie. Hi (16) werden Inform _(17) codiert u (18) auf d (19) Karte od (20) CD gespe (21), die da (22) mit geeig _(23) Geräten abgefr _(24) werden u (25) z. _(26). in wahrne (27) Musik umgewan (28) werden kön _(29). Dafür i (30) es jed _(31) nicht n (32) nötig, d (33) Information z _(34) verschlüsseln u (35) später wie _(36) abzurufen, son (37) es mu (38) auch mögl _(39) Fehlern vorge _(40) werden. D 26

27 (41) Entschlüsselung mu (42) also sic _(43) sein. Wenn der Scanner an der Kasse im Supermarkt den Strichcode zufällig falsch liest, sollte nicht plötzlich der Preis für ein anderes Produkt erscheinen, sondern zumindest eine Fehlermeldung. 3. Bringen Sie die Wörter der einzelnen Sätze in die richtige Reihenfolge. Beginnen Sie mit dem fett gedruckten Wort und verwenden Sie alle Wörter. 1. Eine - Potenz - gleicher - ist - abkürzende - die - eine - für - Multiplikation - Schreibweise - Faktoren. 2. Hier - addiert. - werden - gleiche Summanden 3. wir - vereinfachte - kennen - Schreibweise. - eine Dafür 4. also - Multiplikation - eine - einer - ist - Summanden. - Vereinfachung - Addition - Die gleicher 5. also - selbst - soll. - die - multipliziert - mit - Die - "5" - gibt hochgestellte - fünfmal - an, - werden - Zahl - sich dass 6. gleicher - auch - eine - Faktoren - definiert. - Multiplikation - Schreibweise - haben - die Mathematiker - für vereinfachte 4. Übersetzen Sie ins Litauische. die Bestimmung der Nullstellen von Polynomen zur Einführung der imaginären Zahlen führen 27

28 den Fundamentalsatz der Algebra beweisen Lösungsformen für Gleichungen höheren Grades finden die Kantenlänge eines Würfels mit doppeltem Volumen konstruieren mit Hinzunahme besonderer Anforderungen durch die Bildung unterschiedlicher Strukturen aus einem geometrischen Hintergrund entstehen durch die systematische Entwicklung einer Theorie 5. Beenden Sie die folgenden Sätze. 1. Am Anfang war die Aufgabe der Algebra, 2. Wenn die komplexen Zahlen eingeführt wurden, konnte 3. Die neuen Erfindungen in der Algebra offenbarten, dass die Lösungsformeln 4. Die negative Beantwortung einigen Fragen der Algebra zeigte die Unmöglichkeit, 5. Die Mathematiker konnten zu solchen Begriffen wie Gruppen, Körper, Vektorraum kommen, als sie 6. Mithilfe der Geometrie konnten die Mathematiker der Antike und des Mittelalters 6. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche. 1. Jau seniai matematikai domisi šia problema ir bando ją išspręsti. 28

29 2. Nors ir esama reiškinių, kurie laikomi neįrodomais, vis tiek yra matematikų, kurie nenori tuo tikėti. 3. Remiantis struktūrų gausa, algebrą galima suskirstyti į įvairias sritis. 4. Įvairiomis algebros problemomis domėjosi jau senovės Egipto ir Graikijos matematikai. 5. Geometrija sudaro įvairių algebroje vartojamų tyrimo metodų pagrindą. 6. Kadangi E. Galua gyveno labai trumpai, jo vardo teoriją tikslino kiti matematikai. 7. Bilden Sie aus den Präpositionalgruppen die Nebensätze oder Infinitivkonstruktionen und umgekehrt. durch indem; mit, bei wenn, als Z.B. Wenn man die Nullstellen der Gleichung x² + 1 = 0 bestimmt, reichen die reellen Zahlen nicht mehr aus. Bei der Bestimmung der Nullstellen der Gleichung x² + 1 = 0 reichen die reellen Zahlen nicht mehr aus. 1. Durch die Einführung der komplexen Zahlen war es dann auch möglich, Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv (oder Null) und man kommt nie auf Null, wenn man zu einer nicht-negativen Zahl eins addiert. 3. Durch die Bildung unterschiedlicher Strukturen lässt sich auch die Algebra in verschiedene Teilgebiete unterteilen. 29

30 4. Mit Hinzunahme besonderer Anforderungen an diese algebraischen Strukturen kommt man zu Begriffen wie Gruppe, Körper oder Vektorraum IV. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck. 1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema: Erfindungen der Mathematiker auf dem Gebiet der Algebra Zeitperioden Erfindungen oder Vermutungen Arabische Mathematiker Mathematiker des Mittelalters Mathematiker des 18. Jhs Mathematiker des 19. Jhs 2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über die Erfindungen der Mathematiker auf dem Gebiet der Algebra. Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle. 30

31 I. Lesen Sie den Text 4 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR Abbildung, die, en atvaizdis Kegel, der, kūgis affin afinus Kollinearität, die, kolinearumas aufbauen, vt pagrįsti Parallelverschiebung, die, lygiagretusis postūmis Behandlung, die, en nagrinėjimas en Bezug, der, e, zu+d. čia: ryšys su kuo prominent žymus Drehung, die, en posūkis, pasukimas Senkrechtstehen, das, - statmenumas Ebene, die, n plokštuma Spiegelung, die, en veidrodinis atspindys erkennbar atpažįstamas Überblick, der, e, über+a. apžvalga geordnet sutvarkytas üblicherweise paprastai Gerade, die, en tiesė Verbindungsgerade, die, n jungiamoji tiesė hinweisen, vt, auf+a. nurodyti Zug, der, e (im Zuge) čia: apjungus ką Hinzufügen, das, - papildymas zurückgehen, auf+a kilti 4. Geometrie Die Geometrie (altgr. γεωμέτρης Erdmaß, Landmessung ) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Einerseits versteht man unter Geometrie die zwei- und dreidimensionale euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird und die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt, sowie diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden. Andererseits umfasst der Begriff Geometrie eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Laien nur mehr schwer erkennbar ist. 31

32 Teilgebiete Die Verwendung des Plurals weist darauf hin, dass der Begriff Geometrie in einem ganz bestimmten Sinn gebraucht wird, nämlich Geometrie als mathematische Struktur, deren Elemente traditionellerweise Punkte, Geraden, Ebenen,... heißen, und deren Beziehungen untereinander durch Axiome geregelt sind. Dieser Standpunkt geht zurück auf EUKLID, der versucht hat, die Sätze der ebenen euklidischen Elementargeometrie auf einige wenige Postulate (d. h. Axiome) zurückzuführen. Die folgende Liste soll einen Überblick über verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen, geben: Geordnete Geometrie. In dieser spielen Begriffe folgender Art eine Rolle: Ein Punkt liegt zwischen zwei anderen. Eine Gerade (bzw. im Raum eine Ebene) zerlegt die Ebene (bzw. den Raum) in zwei Teilgebiete. Konvexität. Projektive Geometrie und Affine Geometrie: Solche Geometrien bestehen meist aus Punkten und Geraden, und die Axiome betreffen Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von Geraden. Affine und projektive Geometrien kommen meist in Paaren: Das Hinzufügen von Fernelementen macht eine affine Geometrie zu einer projektiven, und das Entfernen einer Geraden bzw. einer Ebene mit ihren Punkten macht aus einer zweibzw. dreidimensionalen projektiven Geometrie eine affine. Euklidische Geometrie: Darunter versteht man üblicherweise die aus den Axiomen und Postulaten EUKLIDS abgeleitete Geometrie. Weil der seit EUKLID überlieferte Aufbau der Theorie noch Genauigkeitslücken enthielt, hat DAVID HILBERT in seinen Grundlagen der Geometrie (1899 und viele weitere Auflagen) ein Axiomensystem aufgestellt, aus dem er die euklidische Geometrie bis auf Isomorphie eindeutig aufbauen konnte. Danach kann diese eindeutig beschrieben werden als der dreidimensionale reelle Vektorraum, in dem die Punkte durch die Vektoren dargestellt werden und die Geraden durch die Nebenklassen der eindimensionalen Unterräume. Strecken, Senkrechtstehen, Winkel usw. werden wie in der seit DESCARTES üblichen analytischen Geometrie erklärt. Nichteuklidische Geometrie: Geometrien, deren Eigenschaften in vielem analog zur euklidischen Geometrie sind, in denen jedoch das Parallelenpostulat (auch Parallelenaxiom genannt) nicht gilt. Man unterscheidet elliptische und hyperbolische Geometrien. Absolute Geometrie: ist der gemeinsame Unterbau der euklidischen und der nichteuklidischen Geometrien, d. h. die Menge aller Sätze, die ohne das Parallelenpostulat bewiesen werden. 32

33 In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören (also ihre Automorphismen): Z. B. ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Umgekehrt ist jede Transformation, die die Abstände von Punkten nicht ändert, eine Zusammensetzung von Parallelverschiebungen, Drehungen und Spiegelungen. Man sagt, dass diese Abbildungen die Transformationsgruppe bilden, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört, und dass der Abstand zweier Punkte eine euklidische Invariante darstellt. FELIX KLEIN hat in seinem Erlanger Programm Geometrie allgemein als die Theorie der Transformationsgruppen und ihrer Invarianten definiert (vgl. Abbildungsgeometrie); jedoch ist das keineswegs die einzig mögliche Definition. Im Folgenden sind Geometrien und prominente Invarianten aufgezählt: Projektive Geometrie: Invarianten sind die Kollinearität von Punkten und das Doppelverhältnis (Verhältnis von Teilverhältnissen) von vier Punkten einer Geraden (in der komplexen Zahlenebene von beliebigen vier Punkten; wenn diese auf einem Kreis liegen, ist es reell) Affine Geometrie: Die Parallelität von Geraden, das Teilverhältnis von drei Punkten einer Geraden, Flächeninhaltsverhältnisse. Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzlich zur affinen Geometrie sind Streckenverhältnisse und Winkel invariant. Euklidische Geometrie; zusätzliche Invarianten sind die Abstände von Punkten und die Winkel. Nichteuklidische Geometrie: Invariant sind die Kollinearität von Punkten, die Abstände von Punkten und die Winkel. Die beiden nichteuklidischen Geometrien passen jedoch nicht in die obige Hierarchie. 33

34 II. Fragen zum Lesetext. 1. Was versteht man unter der Geometrie? 2. Welche Methoden verwendet man in der Geometrie? 3. Was vereinigt die geometrischen Elemente? 4. Wodurch ist D. Hilbert in der Geometrie bekannt? 5. Was ist für jedes Teilgebiet der Geometrie charakteristisch? 6. Wie bezeichnete F. Klein die Geometrie? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff Geometrie? Ergänzen Sie das Assoziogramm. Element Geometrie Figur messen 2. Ergänzen Sie zwei letzte Buchstaben bei jedem Wort. Die Geometr h z Zi, d Anschauungsra u höh dimensiona Räu mathematis zu beschreib. Sch a d Schu ken m ja d elementa 34

35 Geometr, wob m si do leid o n a d Konstrukti v Dreieck od Ähnlich beschrän. Krei, Ellips u Parabe werd dur Analytisc Geometr bess dargestel. Zu dies beid Gebiet komm an d Universit no weite Gebie hin, w d Differenzialgeometr, f d Hilfsmitt a d Analys herangezog werd, od au d Projekti Geometr, welc ei Weiterführu d Analytisch Geometr u d Elementargeometr i u "unendli fer " Punk hinzunim. Außerd spiel d Theor d Polyto u d Algebraisc Geometr (d we in d Algeb reic ) ei Rol, da s au f d Anwendung v Bedeutu si. 3. Bilden Sie die Sätze mit den folgenden Verben. sich beschäftigen mit + D. hinweisen auf + A. Heute beschäftigen sich die Mathematiker mit verschiedenen Problemen der Algebra. zurückgehen auf + A. zurückführen auf + A. bestehen aus + D. machen zu + D. verstehen unter + D. sich interessieren für + A. 4. Finden Sie Synonyme im Text für die folgenden Wortgruppen oder Sätze. 1. zuerst... dann 2. ganz konkret verwendet werden 3. Zusammenhänge zwischen einander/ verschiedenen Elementen 4. Diese Meinung wurde von Euklid geäußert 35

36 5. Hier kann man die Charakteristik von verschiedenen Arten der Geometrie bekommen 6. In dieser Geometrie ist bedeutend Dafür ist gewöhnlich charakteristisch 8. Sie kann exakt dargestellt werden 9. Die Beschaffenheiten sind meistens identisch _ 10. Im Gegenteil ist jedes Umformen als etwas bezeichnen Übersetzen Sie ins Litauische. im Zuge einer systematischen Behandlung des Themas entwickelt werden das weist darauf hin, dass... durch Axiome geregelt sein dieser Standpunkt geht zurück auf Euklid Verbindungsgeraden von Punkten und die Schnittpunkte von Geraden die aus den Axiomen und Postulaten Euklids abgeleitete Geometrie durch die Vektoren dargestellt werden 6. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche. 1. Geometrija tai mokslas, kuris dažnai siejamas su įvairiais elementais: taškais, tiesėmis, kampais, dvimatėmis ir trimatėmis figūromis. 2. Tiesė AB kerta plokštumą ir dalina ją į dvi dalis. 36

37 3. C yra dviejų tiesių susikirtimo taškas. 4. Plokštumoje yra pateikti trys taškai ABC, o juos sujungus tiesėmis gauname trikampį. 5. Atkarpa AB, kurios ilgis 10 cm, yra lygiagreti tiesei CD. 6. Taškas A nuo taško B yra nutolęs 20 cm, kitaip tariant, atstumas tarp dviejų taškų A ir B yra 20 cm. 7. Bilden Sie aus den Relativsätzen die Partizipialattribute. Präsens Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) Partizip II (būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma Z.B. die euklidische Elementargeometrie, die auch im Schulunterricht gelehrt wird die euklidische, auch im Schulunterricht gelehrte Elementargeometrie 1. die euklidische Elementargeometrie, die sich mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. beschäftigt 2. diejenigen Begriffsbildungen und Methoden, die im Zuge einer systematischen und mathematischen Behandlung dieses Themas entwickelt wurden. 3. verschiedene Typen von Geometrien, die in dieses Schema passen... 37

38 4. die Menge aller Sätze, die ohne das Parallelenpostulat bewiesen werden 5. die Transformationsgruppe, die zu einer ebenen euklidischen Geometrie gehört IV. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck. 1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema: Teilgebiete der Geometrie. Teilgebiete Merkmale Geordnete Geometrie Projektive Geometrie Euklidische Geometrie Nichteuklidische Geometrie Absolute Geometrie 2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über die Teilgebiete der Geometrie. Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle. 38

39 I. Lesen Sie den Text 5 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR abtreten, vt atsitraukti grundlegend esminis Ausgangspunkt, der, e išeities taškas Lehrsatz, der, e teorema Bedürfnis, das, se poreikis leisten, vt atlikti nach+d. Mittelpunkt, der, e centras begrenzt sein auf+a. ribotis kuo Sachverhalt, der, e aplinkybės Bindeglied, das, er saitas, grandis Überlegung, die, en apmąstymai erstellen, vt nustatyti unwesentlich nereikšmingas festhalten, vt laikytis ko Vertreter, der, - atstovas Fläche, die, n plokštuma Vormachtstellung, die, - pirmaujančios pozicijos 5. Geschichte der Geometrie Die Geometrie entstand, wie so viele andere Grundlagen der menschlichen Kultur, aus praktischen Überlegungen. Sie ist die älteste systematisierte mathematische Disziplin. Erste Anstöße hierfür lieferte die Notwendigkeit, Winkel zu messen oder Flächen- und Rauminhalte zu konstruieren, z. B. beim Bau von Tempeln oder Pyramiden. Lange Zeit wurde die Geometrie daher auch nicht als Wissenschaft betrieben, da kein Bedürfnis nach Beweisen oder Ähnlichem bestand. Der Sinn der Geometrie war eindeutig auf die Beantwortung praktischer Fragen begrenzt. Doch auch so wurden erstaunliche Ergebnisse, wie z. B. die Berechnung des Rauminhalts eines Pyramidenstumpfes, erzielt. Ebenso wurde die Berechnung der Flächeninhalte regelmäßiger Figuren, die in einem Kreis eingeschrieben sind, schon von den Babyloniern geleistet. Besonders verblüffend ist, dass die Babylonier auch schon den später als "pythagoräischen Lehrsatz" berühmt gewordenen Satz kannten. Erst jedoch durch die Griechen wurde die Geometrie von einer Mathematik aus Problemen des täglichen Lebens zu einer richtigen Wissenschaft erhoben, in der erstmals strenge Beweise für geometrische Sachverhalte gegeben wurden. Grundlegend hierfür war unter anderem der berühmte Philosoph THALES 39

40 VON MILET ( v.chr.). Auch das Wort Geometrie an sich kommt aus dem Griechischen und bedeutet so viel wie "Erdvermessung". In der Mathematik im Griechenland des 6. und 7. Jahrhunderts stand die Geometrie dann eindeutig im Mittelpunkt. Dies wird auch dadurch deutlich, dass sogar Zahlengesetze geometrisch bewiesen wurden. Aus dieser Zeit stammen auch die drei klassischen Probleme der antiken Mathematik. Auch das wohl bedeutendste Buch der Mathematikgeschichte entstand in dieser Zeit: EUKLIDS ( v.chr.) Elemente, deren größter Teil sich mit der Geometrie befasst, legten die axiomatische Grundlage für die folgende Mathematik. Neben EUKLID entwickelte sich ARCHIMEDES VON SYRAKUS ( v.chr.) als wichtigster Vertreter der damaligen Mathematik. Er war es, der unter anderem die erste Annäherung der Zahl pi lieferte. Thales von Milet Euklid von Alexandria Archimedes von Syrakus Al-Hwarizmi Nach dem Fall des Römischen Reichs musste Europa die Vormachtstellung in den mathematischen Wissenschaften vor allem an die islamischen Länder und Indien abtreten. Zu nennen sind hier besonders der ABU-L-WAFA MUHAMMAD IBN YAHYA IBN ISMAIL AL-BUZJANI ( ), der sich mit Konstruktionen mit Zirkel und Lineal beschäftigte und AL-HWARIZMI ( ), der unter anderem die genauere Berechnung von pi vorantrieb. Im 17. Jahrhundert, nachdem sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa verlagert hatte, gelang es R. DESCARTES ( ), eine Verbindung der Geometrie und der Algebra zu erstellen. Durch sein Werk Discours de la méthode aus dem Jahr 1637, entstand die analytische Geometrie. Außerdem entwickelten sich Gebiete wie die projektive Geometrie oder im 18. Jahrhundert die Differenzialgeometrie als Bindeglied zur Analysis. Widerspruchsfreie Systeme nichteuklidischer Geometrien wurden unabhängig voneinander durch C.F. GAUß ( ), N.I. LOBATSCHEWSKI ( ) und J. BOLYAI ( ) entwickelt. Auch konnten mit algebraischen Methoden die oben bereits erwähnten drei antiken Probleme gelöst werden (übrigens alle negativ). 40

41 Rene Descartes Carl-Friedrich Gauß Nikolai Lobatschewski Janos Bolyai David Hilbert Auch zu Beginn des 20. Jahrhunderts war das Interesse an der Geometrie ungebrochen. Auf D. HILBERTS Liste der 23 Probleme beispielsweise stammen allein sieben aus dem Gebiet der Geometrie. Wichtig wurde die Geometrie in dieser Zeit besonders auch in anderen Bereichen, wie z. B. der Physik. Man bedenke nur, dass sich EINSTEINS Relativitätstheorie auch auf geometrischen Überlegungen begründet. In näherer Vergangenheit ist gerade die Informatik ein Gebiet geworden, welches nicht unwesentlich geometrische Methoden, beispielsweise für Computergrafiken, verwendet. Auch bleibt abschließend festzuhalten, dass die Geometrie heutzutage sich in so viele Gebiete verzweigt hat, dass es fast nicht mehr möglich ist überhaupt von "einer" Geometrie zu sprechen, sondern es inzwischen viele "verschiedene" Geometrien gibt. Ausgangspunkt war sicherlich die Euklidische Geometrie, doch gibt es neben dieser heute eine hyperbolische, eine elliptische oder auch eine symplektische Geometrie. II. Fragen zum Lesetext. 1. Was verursachte die Entwicklung der Geometrie? 2. Wo wurde anfangs Geometrie verwendet? 3. Wann begann man Geometrie als Wissenschaft zu betrachten? 41

42 4. Wer schrieb das erste Buch der Geometrie? 5. Womit ist die Entstehung der analytischen Geometrie verbunden? 6. Welchen Platz nimmt heutzutage die Geometrie als Wissenschaft? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 1. Wiederholen Sie die Wörter zum Thema Geometrie und verwenden Sie dabei ABC Methode. Schreiben Sie zu jedem Buchstaben ein oder zwei Wörter. Abstand B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Z 2. Ergänzen Sie den bestimmten oder unbestimmten Artikel. dem der des die die die die ein ein einen 1) Geometrie dürfte 2) mathematisches Gebiet sein, mit 3) eigentlich jeder etwas anfangen kann. Auch 4) ersten bedeutenden Ergebnisse, wie 5) Satz 6) Pythagoras, dürften jedem in seiner Schullaufbahn begegnet sein. Sie ist also 7) Gebiet, in welchem 8) ursprünglichen Fragestellungen einfach sind und deren Wichtigkeit, siehe Landvermessung, im täglichen Leben sichtbar wird. Über Dreiecke oder andere geometrische Figuren, allgemein Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, wurden schon sehr früh Betrachtungen angestellt. Erst durch Einbezug anderer 42

43 Fachgebiete konnte jedoch z.b. gezeigt werden, dass es nicht möglich ist, 9) gegebenen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal in drei gleichgroße Winkel zu zerlegen. All diese Bereiche beziehen sich jedoch eindeutig auf 10) Euklidische Geometrie. 3. Übersetzen Sie ins Litauische. aus praktischen Überlegungen aus Problemen des täglichen Lebens erheben im Mittelpunkt stehen Zahlengesetze geometrisch beweisen eine Verbindung der Geometrie und der Algebra erstellen widerspruchsfreie Systeme sich auf geometrischen Überlegungen begründen sich in so viele Gebiete verzweigen 4. Beenden Sie die folgenden Sätze. 1. Die Geometrie entstand, weil die Menschen 2. Die Babylonier begannen als die ersten 3. Die Griechen machten Geometrie zu 4. Im Griechenland nahm die Geometrie 5. Nachdem das Römische Reich untergangen war, erlebte die Mathematik ihre Blütezeit 6. Im 17. Jh. versuchte R. Descartes, die Geometrie _ 7. Im 20. Jh. interssierten sich 8. Im 20. Jh. wurde Geometrie als Grundlage für 5. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche. 1. Geometrija priskiriama prie seniausių sisteminių matematikos mokslų. 43

44 2. Norėdami išmatuoti atkarpas, kampus ir plotus mūsų protėviai turėjo įgyti geometrijos žinių. 3. Geometrijos žinių reikėjo statant didingus senovės pastatus, pvz. piramides. 4. Yra nustatyta, kad senieji babiloniečiai žinojo taip vadinamą Pitagoro dėsnį. 5. Tik XVII a. geometrija kaip mokslas atgavo savo pozicijas Europoje siejant ją su algebra. 6. Geometrija yra glaudžiai susijusi ne tik su kitais mokslais, bet ir su menu. 6. Bilden Sie aus den Substantivgruppen die Wortgruppen mit den Verben. Substantivgruppen der Bau von Tempeln oder Pyramiden Wortgruppen mit den Verben Die Tempel und Pyramiden werden gebaut auf die Beantwortung praktischer Fragen begrenzt sein die Berechnung des Rauminhalts eines Pyramidenstumpfes die Berechnung der Flächeninhalte Zahlengesetze werden geometrisch bewiesen das bedeutendste Buch der Mathematikgeschichte entstand in dieser Zeit die erste Annäherung der Zahl pi liefern die Entwicklung der Geometrie eine Verbindung der Geometrie und der Algebra erstellen 44

45 Durch sein Werk entstand die analytische Geometrie die genauere Berechnung von pi IV. Aufgabe zur Texterschließung. Was passt zusammen? Verbinden Sie die Satzteile Ebene Geometrie beschäftigt sich mit den Eigenschaften der Figuren, 2. Schon der griechische Mathematiker 3. Um die Geometrie der alten Griechen 4. Die wichtigsten Begriffe der Geometrie sind Punkt, 5. Ein Punkt zeigt eine Stelle im Raum an, 6. Einen mathematischen Punkt 7. Denn kein noch so feiner Bleistift vermag einen Punkt zu malen, A. der keine Ausdehnung hat. B. Linie, Gerade, Kreis, Winkel und Dreieck. C. Euklid hat sie beschrieben. D. der keine Länge, Breite, Höhe oder Tiefe hat. E. kann es nur in Gedanken geben. F. die in einer Ebene liegen. G. kommt heute noch kein Schüler herum. V. Aufgaben zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck. 1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema: Entwicklungsetappen der Geometrie. Etappe Merkmale/Autoren Antike Mittelalter 45

46 Neue Zeiten 20. Jh. 2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über die Entwicklungsetappen der Geometrie. Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle. 3. Schreiben Sie zu jedem Absatz des Textes den Titel. Absatz 1 Titel Die Ursachen der Entstehung der Geometrie in der Antike

47 Lektion 2. Begriffe der Mathematik 1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Ausdruck Begriffe der Mathematik? Ergänzen Sie das Assoziogramm. Beweis Axiom Begriffe der Mathematik Menge 2. Was denken Sie über die von JEAN-HENRI FABRE ( ) zitierte Aussage? Begründen Sie Ihre Meinung. Die Mathematik ist eine wunderbare Lehrerin für die Kunst, die Gedanken zu ordnen, Unsinn zu beseitigen und Klarheit zu schaffen. 47

48 I. Lesen Sie den Text 6 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR Abhandlung, die, en mokslinis veikalas hinreichend pakankamas ableiten, vt išvesti, diferencijuoti Hinsicht, die, en požiūris abzählbar suskaičiuojamas Kontinuum, das, - kontinuumas angeben, vt pateikti Mächtigkeit, die, - galia Aussage, die, n teiginys überschaubar čia: suprantamas Festlegung, die, en apibrėžimas verblüffend stulbinantis fußen, vt, auf+a. remtis kuo wechselseitig savitarpio Geflecht, das, e pynė Zuordnung, die, en atitiktis gerade tiesus, lyginis Zusammenfassung, die, en sujungimas 6. Mengen Das Theoriegebäude der Mathematik fußt auf nicht definierten, sondern lediglich durch ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisierten Grundbegriffen sowie auf normativen Festlegungen, die im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen sind, den so genannten Axiomen. Über dieser Basis erhebt sich ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch festgelegten) Begriffen und durch Beweise gesicherten Aussagen, den mathematischen Sätzen. Einer der wichtigsten Grundbegriffe der Mathematik ist der Begriff der Menge: Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung bestimmter real existierender oder gedachter Objekte aus einem vorgegebenen oder ausgewählten Grundbereich zu einem Ganzen. Die einzelnen Objekte werden Elemente der Menge genannt. Die Zusammenfassung von Objekten aus einem solchen Grundbereich G zu einer Menge erfolgt auf der Grundlage bestimmter, Mengen bildender Eigenschaften: Eine Menge besteht dann aus denjenigen Objekten des Grundbereichs, welche diese Eigenschaften besitzen. 48

49 In ähnlicher Weise wie oben angegeben wurde der Begriff Menge im Jahre 1895 erstmals von dem deutschen Mathematiker GEORG CANTOR (1845 bis 1918) verwendet. Dabei verstand man diese Erklärung zunächst als eine Definition des Mengenbegriffs. Bald zeigte sich jedoch, dass das Zulassen aller denkbaren Zusammenfassungen als Mengen zu Widersprüchen führen kann - nämlich dann, wenn sich nicht eindeutig entscheiden lässt, ob ein bestimmtes Objekt zur jeweiligen Menge gehört oder nicht. Noch gut überschaubar sind in dieser Hinsicht die folgenden Beispielfälle. Wir betrachten etwa (1) die Gesamtheit aller Schüler einer Klasse, die größer als 165 cm sind; (2) die Gesamtheit aller freundlichen Lehrer einer Schule; (3) die Gesamtheit aller in Berlin ab 2000 gebauten Grundschulen; (4) die Gesamtheit aller Fußballmannschaften der Bundesliga. In Beispiel (1) und (3) kann die genannte Gesamtheit sofort elementweise angegeben werden - es handelt sich um Mengen. In den Beispielen (2) und (4) sind die Eigenschaften nicht hinreichend klar festgelegt: Wann ist ein Lehrer als freundlich einzuschätzen? Von welcher Saison ist die Rede? Hier liegen aus mathematischer Sicht keine Mengen vor. CANTORs Beitrag zur Entwicklung der Mengenlehre Die Beschäftigung mit trigonometrischen Reihen führte GEORG CANTOR zum Problem des Unendlichen veröffentlichte er eine erste Abhandlung über die von ihm begründete Mengenlehre. Dabei schuf er die dazu gehörigen Begriffe (wie etwa Element, Teilmenge oder Mächtigkeit) und Symbole (wie etwa {}, und ). Für den Begriff Menge selbst entschied er sich in einer 1895 erschienenen Abhandlung für die folgende Erklärung: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (...) zu einem Ganzen. Da damit als Element von Mengen nicht nur Zahlen sondern auch andere Objekte (z.b. Punkte, Flächen und Mengen selbst) in Frage kamen, bildete die Mengenlehre gleichsam ein gemeinsames Dach über den verschiedenen mathematischen Teildisziplinen. CANTOR legte auch Operationen mit Mengen fest (z.b. Vereinigung und Durchschnitt) und suchte nach Maßstäben für den Vergleich von Mengen. 49

50 Dafür schuf er den Begriff der Mächtigkeit. Bei endlichen Mengen bereitet dieser keine Schwierigkeiten: Von zwei solchen Mengen hat diejenige die größere Mächtigkeit, die mehr Elemente enthält, und Mengen mit gleich vielen Elementen sind gleichmächtig. Unendliche Mengen, so legte CANTOR fest, sollten genau dann gleichmächtig sein, wenn es zwischen ihnen eine eindeutige Zuordnung der jeweiligen Elemente gibt. Das führte ihn zu überraschenden Folgerungen. Eine solche Zuordnung besteht - wie folgende Tabelle zeigt - beispielsweise zwischen der Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null) und der Menge der positiven geraden Zahlen der anderen ist. Diese Mengen sind somit gleichmächtig, obwohl die eine Menge eine echte Teilmenge CANTOR nannte solche Mengen (also zur Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtige Mengen) abzählbar unendlich. Er konnte nun zeigen, dass auch die echten Brüche zwischen 0 und 1 (einschließlich der Null) abzählbar sind (kürzbare Brüche wie z.b. 4 2 sind weggelassen): Anschließend schuf CANTOR sein berühmtes Diagonalverfahren, mit dem er zeigte, dass auch alle positiven rationalen Zahlen abzählbar sind. Anderseits bewies er, dass die Menge der reellen Zahlen nicht abzählbar ist, und nannte deren Mächtigkeit Kontinuum. So schuf er gewissermaßen Stufen des Unendlichen. Es stellte sich die Frage, ob noch weitere Stufen festzulegen wären. Da nämlich die Menge aller Teilmengen, die man aus einer Menge M bilden kann, eine höhere Mächtigkeit besitzt als die Menge M selbst, ergab sich erneut ein unendlicher Prozess. Auch im geometrischen Bereich gab es verblüffende Resultate. So zeigte CANTOR zum Beispiel, dass die Menge aller Punkte einer Strecke AB gleichmächtig zur Menge der Punkte der Trägergeraden AB ist

51 II. Fragen zum Lesetext. 1. Was bildet die Grundlage für die Theorie der Mathematik? 2. Wie kann man den Begriff der Menge bezeichnen? 3. Wie kann man die Mengen bildenden Eigenschaften erklären? 4. Welche Begriffe von der Mengenlehre wurden von G. Cantor eingeführt? 5. Was kann man zu den Elementen von Mengen zählen? 6. Was versteht man unter den unendlichen Mengen? 7. Welche Schlussfolgerungen machte G. Cantor über die echten Brüche? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff Menge? Ergänzen Sie das Assoziogramm. Objekt Menge Element 51

52 2. Finden Sie Synonyme für die Wörter aus dem Text. Wort im Text Synonym Wort im Text Synonym 1. Beziehung A. bezeichnen 9. Hinsicht I. erlauben 2. definieren B. korrelativ 10. überschauen J. genau 3. Durchschnitt C. Behauptung 11. Unendliche K. erkennen 4. Eigenschaft D. Zusammenhang 12. verstehen L. Standpunkt 5. eindeutig E. erfassen 13. verwenden M. bewerten 6. einschätzen F. resultieren 14. wechselseitig N. Verbindung 7. erfolgen G. Beschaffenheit 15. zulassen O. mittlerer Wert 8. Festlegung H. benutzen 16. Zusammenfassung P. Grenzenlosigkeit Ergänzen Sie die fehlenden Präpositionen. am auf für in in mit mit von von zu Cantor hat nicht nur den Mengenbegriff 1) besten beschrieben, er hat auch die ganze Theorie der Mengenlehre begründet. 2) großem Aufwand und vielen Widerständen 3) Seiten anderer angesehener Mathematiker entwickelte er eine Theorie 4) die Mächtigkeit oder Größe 5) unendlichen Mengen. Er entdeckte die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen und das Kontinuumsproblem, 6) das weiter unten noch eingegangen wird. Sehr bald jedoch musste er einsehen, dass man 7) diesen Begriffen sehr vorsichtig umgehen muss. Sehr große solcher Gesamtheiten, wie sie 8) seiner Beschreibung einer Menge vorkamen, konnten 9) Problemen führen, die nicht zu lösen waren. Beispielsweise war ein naives Komprehensionsprinzip 10) der Theorie nicht haltbar, denn dann müsste es auch eine Menge geben, die alle Mengen enthält, welche sich nicht selbst enthalten. 52

53 4. Übersetzen Sie ins Litauische. auf normativen Festlegungen fußen ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch festgelegten) Begriffen Objekte aus einem vorgegebenen oder ausgewählten Grundbereich diese Eigenschaften besitzen das Zulassen aller denkbaren Zusammenfassungen gut überschaubar sein nicht hinreichend klar festgelegt sein die von ihm begründete Mengenlehre nach Maßstäben für den Vergleich von Mengen suchen zu überraschenden Folgerungen führen alle positiven rationalen Zahlen sind abzählbar 5. Bilden Sie die Sätze mit den folgenden Verben. sich beschäftigen mit + D. fußen auf + A. Heute beschäftigen sich die Mathematiker mit verschiedenen Problemen der Algebra. bestehen aus + D. führen zu + D. es handelt sich um + A. gehören zu + D. verstehen unter + D. suchen nach + D. 53

54 6. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche. 1. Kalbant apie aibes galima sutikti tokius posakius: būti įrodomu, teiginiai paremti įrodymais, tikrovėje egzistuojantys objektai, atsirasti remiantis tam tikromis savybėmis. 2. G. Kantoras pirmasis pavartojo aibės terminą. 3. Netikslus aibės apibrėžimas galėjo nulemti netikslumus. 4. G. Kantoras domėjosi įvairiomis matematikos problemomis, jų tarpe ir begalybės klausimais. 5. Mokslas apie aibes sutinkamas įvairiose matematikos disciplinose. 6. Siekdamas palyginti aibes G. Kantoras įvedė galios terminą, kuris esant baigtinei aibei nekėlė jokių problemų. 7. Bilden Sie aus den Partizipialattributen die Relativsätze und umgekehrt. Präsens Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) Partizip II (būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma Z.B. durch ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisierten Grundbegriffen Grundbegriffen, die durch ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisiert werden 1. ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch festgelegten) Begriffen und durch Beweise gesicherten Aussagen; 54

55 2. auf der Grundlage bestimmter, Mengen bildender Eigenschaften; 3. Eine Menge besteht dann aus denjenigen Objekten des Grundbereichs, die diese Eigenschaften besitzen; 4. eine erste Abhandlung über die von ihm begründete Mengenlehre; 5. von zwei solchen Mengen hat diejenige die größere Mächtigkeit, die mehr Elemente enthält. IV. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck. 1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema: G. Cantors Beitrag auf dem Gebiet der Mengenlehre. Aspekte Kurze Beschreibung oder ein Beispiel 2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über den G. Cantors Beitrag auf dem Gebiet der Mengenlehre. Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle. 55

56 I. Lesen Sie den Text 7 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR Aussageform, die, teiginio forma Produktmenge, die, sandaugos /skaičių Darstellung, die, en atvaizdavimas aibė Durchschnittsmenge, die, sankirta senkrecht vertikalus Eigenschaft, die, en savybė, ypatybė teilbar dalomas eintragen, vt įtraukti Teilmenge, die, n poaibis geschweift išlenktas Veranschaulichung, die, iliustravimas Klammern, die, Pl. skliaustai Vereinigungsmenge, die, aibių sąjunga Kommutativität, die, perstatomumas waagerecht horizontalus Potenzmenge, die, rodiklinė aibė Zahlentripel, das, - skaičių trejetas 7. Darstellung von Mengen Mengen lassen sich in beschreibender oder in aufzählender Form angeben. Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x M. Ist x kein Element der Menge M, so schreibt man x M. Bild 1 Alle Elemente der Menge werden angeben, z.b. in geschweiften Klammern aufgeschrieben. Beispiel: Menge der möglichen Augenzahlen eines Würfels M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Alle Elemente der Menge werden in ein Diagramm eingetragen. Solche Diagramme werden nach dem englischen Logiker JOHN VENN (1834 bis 1923) auch VENN-Diagramme genannt (Bild 2). Bild 2 Der Grundbereich und die Mengen bildende Eigenschaft werden in Worten beschrieben. 56

57 Beispiel: M ist die Menge aller natürlichen Zahlen, die kleiner als 20 und durch 5 teilbar sind. Der Grundbereich und die Mengen bildende Eigenschaft (die eine Aussageform ist) werden als Zeichenreihe in einer geschweiften Klammer angegeben. Beispiel: M = {x : x < 20 5 x} Gesprochen: M ist die Menge aller Elemente x aus x ist kleiner als 20 und 5 teilt x., für die gilt: Durchschnittsmenge (Durchschnitt) Die Durchschnittsmenge (Schnittmenge) von A und B ( Menge aller Elemente, die in A und zugleich in B enthalten sind. Man liest: A geschnitten B. ) ist die Bild 3 Das Zeichen steht für das Bindewort und. Wegen der Kommutativität der und -Verknüpfung gilt für alle Mengen A und B: Bild 4 Beispiel: Ein Viereck, in dem alle vier Winkel rechte sind, heißt Rechteck. Ein Viereck, in dem alle vier Seiten gleich lang sind, heißt Raute (Rhombus). Ein Viereck, in dem alle vier Seiten gleich lang und alle vier Winkel rechte sind, heißt Quadrat. Je nach der Beziehung zwischen A und B können bei der Veranschaulichung von drei Fälle unterschieden werden (Bild 5). Bild 5 57

58 Vereinigungsmenge Die Vereinigungsmenge von A und B ( ) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind. Man liest: A vereinigt B. Bild 6 Das Zeichen Bedeutungen. Beispiel: steht für das oder mit den drei angegebenen Menge der positiven rationalen Zahlen einschließlich der Null Bild 7 Menge der negativen rationalen Zahlen Q: Menge aller rationalen Zahlen, d.h. der rationalen Zahlen, welche positiv oder negativ sind, und die Zahl Null. Je nach der Beziehung zwischen A und B können bei der Veranschaulichung von die in Bild 8 dargestellten drei Fälle unterschieden werden. Bild 8 Potenzmenge Bild 9 Die Potenzmenge P(A) von einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Die Potenzmenge einer Menge A enthält immer die leere Menge und die Menge A selbst. Beispiel: Gegeben ist die Menge A = {3; 4; 5; 6}. Die Potenzmenge P(A) von A enthält die leere Menge, vier Einermengen, sechs Zweiermengen, vier Dreiermengen und die Menge A selbst. P(A) {{}, {3}, {4}, {5}, {6}, = {3; 4}, {3; 5}, {3; 6}, {4; 5}, {4; 6}, {5; 6}, {3; 4; 5}, {3; 4; 6}, {3; 5; 6}, {4; 5; 6}, {3; 4; 5; 6}} 58

59 Produktmenge Die Produktmenge A x B (gesprochen A kreuz B ) ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist: Bild 10 Die Produktmengenbildung ist nicht kommutativ. Beispiel 1: Bild 11 Beispiel 2: In einem aus sechsunddreißig Feldern bestehenden quadratischen Spielfeld (6 x 6) werden die Felder am Rand senkrecht und waagerecht mit Ziffern versehen. Um die Lage des Spielsteins genau bestimmen zu können, ist es wichtig, die Reihenfolge bei der Angabe der Ziffern festzulegen. Ein geordnetes Paar (a; b) entsteht durch Zusammenfassen zweier Elemente a und b in einer festen Reihenfolge. Sind a und b Zahlen, ist das geordnete Paar ein Zahlenpaar. Geordnete Zahlenpaare werden z.b. zur Angabe der Position eines Punktes im ebenen kartesischen Koordinatensystem genutzt (Bild 12) Bild 12 Bild 13 Wird die Produktmenge aus drei Zahlenmengen gebildet, so entstehen geordnete Zahlentripel (a; b; c). Geordnete Zahlentripel werden z.b. zur Angabe der Position eines Punktes in einem räumlichen Koordinatensystem genutzt. 59

60 II. Fragen zum Lesetext. 1. Wie nennt man die Elemente der Menge in Form vom Diagramm? 2. Wie kann man die Mengen bildende Eigenschaft darstellen? 3. Welche Verknüpfungen kann man nicht nur mit den Wörtern, sondern auch mit den Zeichen angeben? 4. Was versteht man unter einem Quadrat? 5. Wann spricht man in der Mengenlehre über geordnete Paare? 6. Was ist für ein räumliches Koordinatensystem charakteristisch? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 1. Wiederholen Sie die Wörter zum Thema Menge und verwenden Sie dabei ABC Methode. Schreiben Sie zu jedem Buchstaben ein oder zwei Wörter. Aufzählen B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Z 60

61 2. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter. am Basis betreiben dazu die die für gibt Grundlage heutzutage innermathematisch nicht sich System Die axiomatische Mengenlehre entstand nach der Grundlagenkrise 1) Anfang des 20. Jahrhunderts. Man sah sich nämlich 2) gezwungen, die Mathematik auf eine halbwegs feste 3) zu stellen. Die Mengenlehre bietet den Rahmen 4) sämtliche mathematischen Theorien und besteht aus einem 5) von Axiomen. Ihre Sprache ist so, dass 6) gesamte Mathematik mit ihr betrieben werden kann. 7) geht es hauptsächlich um die Frage, was 8) in dem System beweisen lässt und was 9). Anwendungen, die im täglichen Leben sichtbar wären, 10) es eher nicht. Der Hauptgesichtspunkt, Mengenlehre zu 11), bestand einfach darin, die Mathematik auf eine 12) zu stellen. Die Anwendungen sind eigentlich nur 13). Hilbert sagte einmal sinngemäß, dass unendliche Mengen 14) Theorie zwar vereinfachen, jedoch eigentlich niemanden interessieren. 3. Übersetzen Sie ins Litauische. sich in aufzählender Form angeben lassen in geschweiften Klammern aufschreiben in ein Diagramm eingetragen werden die Mengen bildende Eigenschaft je nach der Beziehung zwischen A und B Menge der positiven rationalen Zahlen die Menge aller Teilmengen von A durch Zusammenfassen zweier Elemente entstehen zur Angabe der Position eines Punktes in einem räumlichen Koordinatensystem 61

62 4. Übersetzen Sie ins Deutsche. 1. Šiai aibei priklauso visi skaičiai, kurie gali būti dalinami iš Tokią aibę sudaro elementai, esantys tuo pačiu A ir B aibėse. 3. Keturkampis, kurio visi kampai yra statūs, t.y. sudaro 90 kampą, vadinamas stačiakampiu. 4. Matematikoje naudojami ženklai, kurie reiškia jungtis ir bei arba. 5. Šachmatų lenta yra aibė, kurią sudaro 36 kvadrato formos laukeliai. 6. Stačiakampėje koordinačių sistemoje (Dekarto plokštuma) nurodoma taško padėtis dvimatėje erdvėje. 5. Bilden Sie aus den konjunktionslosen Nebensätzen die mit der Konjuktion wenn. Z.B. Ist x ein Element der Menge M, so schreibt man x M. Wenn x ein Element der Menge M ist, so schreibt man x M. 1. Ist x kein Element der Menge M, so schreibt man x M. 2. Sind alle Elemente der Menge in ein Diagramm eingetragen, nennt man sie Sind a und b Zahlen, ist das geordnete Paar ein Zahlenpaar. 4. Wird die Produktmenge aus drei Zahlenmengen gebildet, so entstehen 5. Sind alle Elemente der Mengen A und B in einer Menge enthalten, nenn man sie... 62

63 6. Bilden Sie aus den Passivsätzen die Aktivsätze. Z.B. Alle Elemente der Menge werden in ein Diagramm eingetragen. Man trägt alle Elemente der Menge in ein Diagramm ein. 1. Alle Elemente der Menge werden angeben. 2. Solche Diagramme werden nach dem englischen Logiker J. Venn auch VENN-Diagramme genannt. 3. Der Grundbereich und die Mengen bildende Eigenschaft werden in Worten beschrieben. 4. Der Grundbereich und die Mengen bildende Eigenschaft werden als Zeichenreihe in einer geschweiften Klammer angegeben. 5. Geordnete Zahlenpaare werden zur Angabe der Position eines Punktes im ebenen kartesischen Koordinatensystem genutzt. IV. Aufgabe zur Texterschließung. Was passt zusammen? Verbinden Sie die Satzteile ) Die Menge ist eines der wichtigsten und 2) Man fasst im Rahmen der Mengenlehre A. welche Elemente in ihr enthalten sind. B. (diese Menge heißt die leere Menge ). 63

64 einzelne Elemente 3) Eine Menge muss kein Element enthalten 4) Bei der Beschreibung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, 5) Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist, 6) Der Begriff Menge geht auf Georg Cantor zurück, der eine Menge naiv als eine Zusammenfassung bestimmter, 7) Die Objekte der Menge 8) Weder der Begriff Menge noch der Begriff Element werden im mathematischen C. Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert. D. grundlegenden Konzepte der Mathematik. E. heißen Elemente der Menge. F. (beispielsweise Zahlen) zu einer Menge zusammen. G. oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt. H. wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen beschrieb. V. Aufgaben zum mündlichen Ausdruck. Besprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe die Bilder im Text. Begründen Sie, warum die Bilder oder Grafiken einen bestimmten Mengentyp darstellen. I. Lesen Sie den Text 8 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR aussichtslos beviltiškas herleiten, vt čia: kilti Assoziativgesetz, das, jungiamumo dėsnis herstellen, vt užmegzti (ryšį) beruhen, vi, auf+d. remtis kuo Nachfolger, der, - pasekėjas Bestrebung, die, en siekimas nachweisen, vt įrodyti 64

65 dekadisch dešimtainis plausibel pagrįstas Distributivgesetz, das, skirstomumo dėsnis Schluss, der, e išvada entsprechend atitinkamas schneiden, vt kirsti führen, vt, zu+d. vesti prie ko Schreibweise, die, n rašymo būdas Grundannahme, die, n esminė prielaida schwankend nepastovus Gültigkeit, die, pagrįstumas Verfahren, das, - metodas 8. Axiome Durch Axiomensysteme werden mathematische Begriffe mithilfe einer Reihe von einfachen Festlegungen, die man Axiome nennt, charakterisiert. Derartige mathematische Axiomensysteme genügen folgenden Bedingungen: Axiome sind Grundannahmen, die meist aus bereits vorhandenen Vorstellungen über den zu definierenden Begriff resultieren, von deren Gültigkeit man ausgeht und die deshalb auch nicht bewiesen werden müssen. Axiome sollen zu keinem Widerspruch führen. Weitere gewünschte Eigenschaften des zu definierenden Begriffs sowie alle übrigen Sätze der entsprechenden Theorie sollen aus diesen Festlegungen mit den Regeln der Logik bewiesen werden können. Keines der Axiome soll aus den anderen Festlegungen des Axiomensystems hergeleitet werden können. Im Folgenden werden drei Beispiele für mathematische Axiomensysteme angegeben: Beispiel 1: PEANOsches Axiomensystem Der italienische Mathematiker GIUSEPPE PEANO (1858 bis 1932) hat im Jahre 1891 nachgewiesen, dass sich die Eigenschaften der natürlichen Zahlen aus fünf Axiomen ableiten lassen (wobei die einzelnen Axiome in der Literatur in verschiedenen Fassungen bzw. Formulierungen angegeben werden): Axiom 1: 0 ist eine Zahl. Axiom 2: Jede Zahl hat genau einen Nachfolger. Axiom 3: 0 ist nicht Nachfolger einer Zahl. Axiom 4: Jede Zahl ist Nachfolger höchstens einer Zahl. 65

66 Axiom 5: Von allen Mengen, die die Zahl 0 und mit der Zahl n auch deren Nachfolger n enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste. Auf der Basis dieser Axiome wären die natürlichen Zahlen mit 0; 0 ; 0 zu bezeichnen. Diese Schreibweise ist aber sehr unübersichtlich und beansprucht viel Zeit und Raum. Deshalb verwendet man für die natürlichen Zahlen das dekadische Positionssystem und symbolisiert sie mit 0; 1; 2; ; 9; 10; 11; 12; Definiert man für die natürlichen Zahlen die uns bekannten Rechenoperationen, so müssen deren Rechenregeln nur mittels der PEANOschen Axiome und logischer Schlüsse bewiesen werden können. Definiert man etwa Addition (+) und Multiplikation ( ) für natürliche Zahlen m, n mittels m + 0 = 0 + m = m, m + n = (m + n), m 0 = 0 m = 0, m n = m n + m so lassen sich aus den PEANOschen Axiomen beispielsweise die Kommutativgesetze a + b = b + a und a b = b a, die Assoziativgesetze (a + b) + c = a + (b + c) und (a b) c = a (b c) sowie das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c herleiten. Das dabei benutzte Beweisverfahren der vollständigen Induktion wird durch das Axiom 5 gerechtfertigt. Beispiel 2: Axiomensystem der EUKLIDischen Geometrie Auch die EUKLIDische Geometrie beruht auf einfachen Grundannahmen, die so anschaulich und plausibel waren, dass man kein Bedürfnis verspürte, diese auf den griechischen Mathematiker EUKLID VON ALEXANDRIA (etwa 365 bis etwa 300 v. Chr.) zurückgehenden Axiome zu beweisen. Nur eine Ausnahme gab es, das fünfte Axiom, das Parallelenaxiom: In der Ebene gibt es zu einer gegebenen Geraden und einem gegebenen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, genau eine Gerade, die durch den gegebenen Punkt hindurchgeht, ohne die gegebene Gerade zu schneiden. Etwa 2000 Jahre lang hat man immer wieder, aber vergeblich versucht, dieses Parallelenpostulat aus den anderen Axiomen herzuleiten. Erst durch die Arbeiten von CARL FRIEDRICH GAUSS (nicht veröffentlicht) in Göttingen, NIKOLAI IWANOWITSCH LOBATSCHEWSKI (veröffentlicht um 1829) in Kasan, JANOS BOLYAI (veröffentlicht um 1832) in Budapest wurde bewiesen, dass 66

67 das Parallelenaxiom nicht aus den anderen EUKLIDischen Axiomen abzuleiten ist und die Negation des Parallelenaxioms (d.h. die Annahme, dass es mehrere derartige Parallelen gibt) nicht im Widerspruch zu den anderen EUKLIDischen Axiomen steht, sondern zu einer neuen Theorie, der nichteuklidischen Geometrie, führt. Beispiel 3: KOLMOGOROWsches Axiomensystem Die Wahrscheinlichkeitsrechnung axiomatisch zu begründen galt lange Zeit als ein aussichtsloses Unterfangen. Noch Anfang des 20. Jahrhunderts war unter Wissenschaftlern die Meinung verbreitet, dass keine weitere mathematische Disziplin auf so unklaren und schwankenden Grundlagen aufgebaut sei wie diese. Erst als es gelang, Zusammenhänge zwischen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der scheinbar weit von ihr entfernt liegenden Mengentheorie herzustellen, indem zufällige Ereignisse als Mengen definiert wurden, bekamen die Bestrebungen, die Wahrscheinlichkeitsrechnung axiomatisch zu begründen, eine feste Grundlage. Das von dem russischen Mathematiker ANDREJ NIKOLAJEWITSCH KOLMOGOROW (1903 bis 1987) im Jahre 1933 veröffentlichte Axiomensystem stellt einen gewissen Abschluss in diesem Prozess dar. II. Fragen zum Lesetext. 1. Was ist für ein Axiom charakteristisch? 2. Wodurch ist das Axiomensystem von G.Peano bekannt? 3. Worauf beruht das Axiomensystem der euklidischen Geometrie? 4. Was bezeichnet man als das Parallelenaxiom? 67

68 5. Was ist für das Axiomensystem von A. Kolmogorow typisch? 6. Wie sind die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Mengentheorie verbunden? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff Axiom? Ergänzen Sie das Assoziogramm. beweisen Axiom Begriff definieren 2. Ergänzen Sie zwei letzte Buchstaben bei jedem Wort. D klassisc Axiombegri wi a Eukl u Aristotel zurückgefüh. Axi bezeichn klassis e unmittelb einleuchtend Prinz. Die Bedeutu w b in d 19. Jahrhunde herrsche. A evident Prinz beda e Axi wed ein Beweis, no i es ein Bewe zugängli. In metaphysisch Interpretati i es dur Evide, Gewisshe u ontologisc Priorit gekennzeichn. Di i in d neuzeitlich Axiomat m ihr Formalisieru entfall. Axio unterscheid si v ander Aussag n dadur, da s nic abgeleit si.in d empirisch Wissenschaft bezeichn m a Axio au grundlegen Geset, d vielfa empiris bestäti word si. A Beispi werd d Newtonsch Axio d Mechan genan. 3. Übersetzen Sie ins Litauische. mithilfe einer Reihe von einfachen Festlegungen 68

69 die Vorstellungen über den zu definierenden Begriff aus den anderen Festlegungen hergeleitet werden die Menge der natürlichen Zahlen auf einfachen Grundannahmen beruhen die auf Euklid zurückgehenden Axiome... ohne die gegebene Gerade zu schneiden nicht im Widerspruch zu etwas stehen auf so schwankenden Grundlagen aufgebaut sein 4. Wie steht das im Text? 1. etwas mit mehreren Behauptungen bezeichnen 2. Die Hauptgedanken ergeben sich aus den schon existierenden Kenntnissen 3. Einige Axiome wurden von verschiedenen Mathematikern unterschiedlich dargestellt 4. Die Axiome, die von Euklid beschrieben wurden 5. Aufgrund dieser Axiome kann man solche Zahlen folgend definieren 6. Alle vorgenommenen Versuche hatten keine Resultate 7. Diese Axiome konfrontieren mit den anderen Axiomen nicht 8. Es gelang dauerhaft nicht 5. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche. 1. Norint apibrėžti aksiomą reikia atkreipti dėmesį į tam tikras sąlygas. 2. Aksiomai yra būdinga tai, kad ji neturi kelti prieštaravimų. 3. Pagal tam tikras savybes aksiomos sudaro aksiomų sistemas. 69

70 4. Dž. Peano, tyrinėdamas natūraliuosius skaičius, įvedė penkių aksiomų sistemą. 5. Euklido geometrijoje esama tokių teiginių, kurių dėl jų aiškumo nereikėjo įrodinėti vėliau. 6. Ilgai užtruko, kol matematikams pavyko pagrįsti tikimybių skaičiavimus kaip aksiomą. 6. Bilden Sie aus den Partizipialattributen die Relativsätze und umgekehrt. Präsens Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) Partizip II (būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma Z.B. Axiome sind Grundannahmen, die meist aus bereits vorhandenen Vorstellungen über den zu definierenden Begriff resultieren,... Axiome sind meist aus bereits vorhandenen Vorstellungen über den zu definierenden Begriff resultierende Grundannahmen, diese auf den griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria zurückgehenden Axiome 2. In der Ebene gibt es zu einem gegebenen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, Genau eine Gerade, die durch den gegebenen Punkt hindurchgeht, die scheinbar weit von ihr entfernt liegende Mengentheorie IV. Aufgabe zur Texterschließung. 70

71 Ordnen Sie die Sätze in der richtigen Reihenfolge im Text an. Richtige Reihenfolge: K A B C D E F G H I J K Auf jeden Fall ist sein Verständnis von Mathematik stark durch die platonische Lehre geprägt. Sein Geburtsort ist unklar. Der Autor der Elemente, Euklid (Euclid, Eukleides), wirkte um 300 v.chr. in Alexandria. Besonders dessen Kapitel über die Geometrie haben in der Mathematik beispielgebend gewirkt. Euklid gilt als Begründer der alexandrinischen Schule der Mathematik. Über verlässliche, genauere Lebensdaten verfügen wir leider nicht. Sie charakterisieren paradigmatisch das (danach und dadurch verbindlich gewordene) Leitbild der akademischen Mathematik. Dass Euklid von Ptolemaios I. nach Alexandria eingeladen wurde und dort am Aufbau des Museions beteiligt war ist wahrscheinlich, aber nicht wirklich gesichert. Vor seiner Tätigkeit in Alexandria hat Euklid vermutlich einige Jahre an der platonischen Akademie in Athen verbracht. Selbst zu Geburts- und Todesjahr kursieren stark unterschiedliche Zahlen. Die Elemente sind das mit Abstand einflussreichste Buch der Mathematik-Geschichte. V. Aufgaben zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck. 1. Füllen Sie die Tabelle aus. Wählen Sie aus dem Text die Stichwörter zum Thema: bekannteste Axiomensysteme. Axiomensysteme von... Merkmale G. Peano 71

72 Euklid A. Kolmogorow 2. Sprechen Sie zu zweit oder in der Gruppe über Sie die bekanntesten Axiomensysteme. Verwenden Sie dabei Ihre Gedanken aus der Tabelle. 3. Schreiben Sie eine Annotation zum Text, indem Sie die folgenden Sätze ergänzen. Der Text heißt Er besteht aus Teilen. Im ersten Teil handelt es sich um Im zweiten Teil werden behandelt. Der dritte Teil befasst sich mit Abschließend geht es um I. Lesen Sie den Text 9 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR beeiden, vt prisiekti Schnitt, der, e, susikirtimas ermitteln, vt išaiškinti (beim Schnitt mit+d.) čia: kertant ką Exhaustion, die, - išsėmimas Teiler, der, daliklis flächeninhaltsgleich vienodo ploto verknüpfen, vt sujungti 72

73 Hypothenuse, die, n įžambinė Verlängerung, die, - prailginimas Kathete, die, n statinis verpönt neleistinas Lehrsatz, der, e teorema vollkommen tobulas misslingen, vi nepavykti Voraussetzung, die, en sąlyga Pol, der, e polius Vorgänger, der, - pirmtakas rechtwinklig stačiakampis Vorgehen, das, - veikimo būdas reizen, vt, zu+d. skatinti ką daryti weglassen, vt išleisti scharf smailas Zeitgenosse, der, n amžininkas scharf getrennt griežtai atskirtas zurückführen, vt, auf + A. aiškinti kuo 9. Euklid und sein Axiomensystem Das euklidische Parallelenaxiom Das fünfte Postulat hat in der Geschichte der Mathematik eine besondere Rolle gespielt. Es lautet bei EUKLID: Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann treffen sich die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. Man bezeichnete dieses Postulat (die Begriffe Axiom und Postulat wurden nicht scharf getrennt) als Parallelenaxiom. Da angestrebt wurde, mit möglichst wenig Voraussetzungen auszukommen, versuchten in der Folge fast alle bedeutenden Mathematiker dieses (auch aus dem Rahmen fallende) Axiom auf andere Axiome zurückzuführen. Das misslang, und es wurden lediglich andere äquivalente Fassungen gefunden. Schließlich kam man auf den Gedanken, zu untersuchen, was denn folgen würde, wenn man dieses Axiom einfach wegließe. Es zeigte sich, dass in diesem Fall eine andere, aber in sich widerspruchsfreie Mathematik entstand. Ein Beispiel dafür ist die Geometrie auf der Kugeloberfläche. Zwei verschiedene Längenkreise schneiden den Äquator jeweils im rechten Winkel, und dennoch treffen sie sich in den Polen, und das so entstehende Dreieck hat eine Winkelsumme über 180. Auf diese Weise entstanden entwickelt vor allem von CARL FRIEDRICH GAUSS, JANOS BOLYAI 73

74 und NIKOLAI IWANOWITSCH LOBATSCHEWSKI so genannte nichteuklidische Geometrien. (Seither bezeichnet man die in der Schule gelehrte, in der Ebene gültige Geometrie als euklidische Geometrie). Zu EUKLIDs Elementen Die Elemente bestehen aus 13 Büchern, von denen der größte Teil erhalten geblieben ist. Einige Inhalte seien hier genannt: I. Vom Punkt zum pythagoreischen Lehrsatz II. Geometrische Algebra III. Kreislehre IV. Ein- und umschreibende regelmäßige Vielecke V. Proportionen (einschließlich Irrationalitäten) VII. Teilbarkeit, Primzahlen VIII. Quadrat- und Kubikzahlen IX. Geometrische Reihen XI. Elementare Stereometrie XII. Exhaustionsmethode: Pyramide, Kegel, Kugel XIII. Reguläre Polyeder Dank ihrer logischen Struktur wurden die Elemente zum grundlegenden Lehrbuch der Mathematik. Als eines der ersten mathematischen Bücher wurden sie 1482 in Venedig erstmals gedruckt und waren das am häufigsten gedruckte Buch neben der Bibel. Beispielsweise sollen noch im 16. Jahrhundert Kandidaten für den Grad des Magisters an der Pariser Universität verpflichtet gewesen sein, zu beeiden, dass sie Vorlesungen über die ersten sechs Bücher der Elemente gehört hätten. Es verdient Erwähnung, dass sich in den Elementen keinerlei Anwendungen der Erkenntnisse finden. Für EUKLID war jede Nutzung der Mathematik außer der Schulung des Geistes verpönt. Weitere wissenschaftliche Leistungen EUKLIDs Den größten Teil der in den Elementen dargelegten Erkenntnisse hat EUKLID von Vorgängern oder Zeitgenossen übernommen. Manches ist sicherlich auch von ihm gefunden, 74

75 und einiges ist bis heute mit seinem Namen verknüpft. Im Folgenden seien einige Beispiele dafür angeführt: Satz von EUKLID (auch Kathetensatz ): Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächeninhaltsgleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt: a 2 = c p; b 2 = c q Euklidischer Beweis zum Satz Es gibt keine größte Primzahl Angenommen, es gäbe eine größte Primzahl. Sie sei p. Dann bilde man das Produkt aller Primzahlen p und addiere dazu 1. Die so entstandene Zahl p ist durch keine der bis dahin bekannten Primzahlen teilbar, denn sie lässt bei Division stets den Rest 1. Also ist sie entweder selbst eine Primzahl (größer als p) oder sie hat Primteiler, die notwendig größer als p sind. Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, und diese muss demnach falsch sein. Euklidischer Algorithmus Das ist ein Verfahren, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu ermitteln. Das Vorgehen sei an einem Beispiel vorgestellt. Es soll der größte gemeinsame Teiler (ggt) von 903 und 645 gefunden werden. Man rechnet: = 258; = 387; = 129; = 129; = 0 Der größte gemeinsame Teiler von 903 und 645 ist 129. (Das Verfahren lässt sich bei einer Verbindung von Division und Subtraktion verkürzen.) Viele der von EUKLID angeschnittenen Fragen reizten über Jahrhunderte hinweg die Mathematiker zu weiteren Untersuchungen, so z. B. der vollkommenen Zahlen. Eine Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist. Eine solche Zahl ist beispielsweise die 6, denn ihre Teiler sind 1, 2 und 3, und es ist = 6. EUKLID gab bereits vor: Wenn p = 2 n - 1 eine Primzahl ist, dann ist p 2 n - 1 eine vollkommene Zahl. Für n = 3 erhält man dabei p = 7 und 28 als eine vollkommene Zahl. EULER z.b. bewies, dass alle geraden vollkommenen Zahlen diese von EUKLID angegebene Form haben. EUKLID war auch auf anderen Gebieten wirksam. So veröffentlichte er Werke über Musiktheorie (Sectio canonis), über Perspektive (Optica) und über Astronomie (Phainomena). 75

76 II. Fragen zum Lesetext. 1. Wo treffen sich zwei geraden Linien laut dem euklidischen Parallelenaxiom? 2. Wodurch unterscheiden sich Begrffe eines Axioms und Postulates? 3. Was versteht man unter der nicheuklidischen Geometrie? 4. Wann verbreiteten sich die euklidischen Theorien in Form eines Lehrbuches in Europa? 5. Welche Rolle spielte dieses Lehrbuch im Mittelalter? 6. Was nennt man als ein euklidischer Algorithmus? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 1. Wiederholen Sie die Wörter zum Thema Axiom und verwenden Sie dabei ABC Methode. Schreiben Sie zu jedem Buchstaben ein oder zwei Wörter. Axiom B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W Z 76

77 2. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter. Axiome - Axiome - beruhen - der - die - Folgerungen - insofern - meisten - sind - Systeme - sondern - Theorien - trotzdem - weiter - werden - Widerspruch Wissenschaftliche Theorien, insbesondere die Physik, (1) auf Axiomen. Aus diesen werden (2) geschlussfolgert, die im Experiment verifiziert (3). Stehen Aussagen der Theorie im (4) zur experimentellen Beobachtung, werden die (5) angepasst. Beispielsweise liefern die Newtonschen (6) nur für langsame und große (7) gute Vorhersagen und sind durch (8) Axiome der Speziellen Relativitätstheorie und (9) Quantenmechanik abgelöst bzw. ergänzt worden. (10) verwendet man die Newtonschen Axiome (11) für solche Systeme, da die (12) einfacher sind und für die (13) Anwendungen die Ergebnisse hinreichend genau (14). Ein Axiom ist unverstanden, nur (15) seine Wahrheit nicht formal bewiesen, (16) vorausgesetzt ist. 3. Übersetzen Sie ins Litauische. beim Schnitt mit zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche mit möglichst wenig Voraussetzungen auskommen auf andere Axiome zurückführen ein- und umschreibende regelmäßige Vielecke im rechtwinkligen Dreieck durch keine bekannten Primzahlen teilbar sein ein Widerspruch zu der Annahme bei einer Verbindung von Division und Subtraktion zu weiteren Untersuchungen reizen 4. Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Deutsche. 77

78 1. Remiantis Euklido lygiagrečių tiesių aksioma galima iliustruoti penktąjį aksiomų postulatą matematikoje. 2. Euklido pasekėjai bandė taikyti lygiagrečių tiesių postulatą kitų aksiomų tyrimui, bet tai baigėsi nesėkme. 3. Akivaizdu, kad dalį žinių Euklidas perėmė iš savo pirmtakų ir amžininkų. 4. Pastebėta, kad daugelis Euklido tyrinėtų klausimų skatino matematikus tęsti tyrimus tose srityse. 5. Euklido talentas atsiskleidė ne vien tik matematikos tyrimuose, bet ir muzikos teorijoje, astronomijoje ir kt. 5. Bilden Sie aus den Partizipialattributen die Relativsätze. Präsens Partizip I (esamojo laiko dalyvis) veiksmažodžio bendratis + priesaga d Imperfekt/Perfekt (Aktiv) oder Präsens/Imperfekt/Perfekt (Passiv) Partizip II (būtojo laiko dalyvis) trečia pagrindinė veiksmažodžio forma Z.B. Die innen auf derselben Seite entstehende Winkel werden zusammen kleiner als zwei Rechte. Die Winkel, die innen auf derselben Seite entstehen, werden zusammen kleiner als zwei Rechte. 1. dieses auch aus dem Rahmen fallende Axiom 2. die in der Schule gelehrte, in der Ebene gültige Geometrie 3. Sie waren das am häufigsten gedruckte Buch neben der Bibel. 78

79 4. In einer allerdings auch anderen Mathematikern zugeschriebenen Anekdote wird berichtet. 5. die in den Elementen dargelegten Erkenntnisse 6. Viele der von Euklid angeschnittenen Fragen 6. Bilden Sie aus den Nebensätzen die Präpositionalkonstruktionen und umgekehrt. Konjunktion wenn Präposition bei Nebensatz mit wenn Präposition bei Wenn eine gerade Linie bewirkt,... Bei der Bewirkung einer geraden Linie... wenn man dieses Axiom einfach wegließe beim Schnitt mit zwei geraden Linien... dann treffen sich die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche auf der Seite... denn sie lässt bei Division stets den Rest 1 Das Verfahren lässt sich bei einer Verbindung von Division und Subtraktion verkürzen IV. Aufgabe zur Texterschließung Was passt zusammen? Verbinden Sie die Satzteile

80 1. Die Elemente sind das mit Abstand 2. Besonders dessen Kapitel über die Geometrie 3. Sie charakterisieren paradigmatisch das (danach und 4. Der Autor der Elemente, Euklid (Euclid, Eukleides), 5. Über verlässliche, genauere 6. Selbst zu Geburts- und Todesjahr 7. Sein Geburtsort 8. Euklid gilt als Begründer der 9. Dass Euklid von Ptolemaios I. nach Alexandria eingeladen wurde und dort am Aufbau 10. Vor seiner Tätigkeit in Alexandria hat Euklid vermutlich 11. Auf jeden Fall ist sein Verständnis von Mathematik A. ist unklar. B. einige Jahre an der platonischen Akademie in Athen verbracht. C. haben in der Mathematik beispielgebend gewirkt. D. des Museions beteiligt war ist wahrscheinlich, aber nicht wirklich gesichert. E. stark durch die platonische Lehre geprägt. F. einflussreichste Buch der Mathematik- Geschichte. G. alexandrinischen Schule der Mathematik. H. wirkte um 300 v.chr. in Alexandria. I. Lebensdaten verfügen wir leider nicht. J. dadurch verbindlich gewordene) Leitbild der akademischen Mathematik. K. kursieren stark unterschiedliche Zahlen. V. Aufgabe zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck. Schreiben Sie Ihre Gedanken (etwa 5-6 Sätze) zu den folgenden Anekdoten, die mit dem Namen von Euklid verbunden sind. Besprechen Sie diese Anekdoten in der Gruppe. Anekdoten Ihre Gedanken EUKLID habe einem seiner Jünger, als dieser ihn nach dem Nutzen eines bestimmten Lehrsatzes fragte, Geld überreichen lassen, denn er müsse doch sehr arm sein, wenn er nach dem Nutzen solchen Wissens frage. 80

81 Als der ägyptische König EUKLID fragte, ob er für ihn nicht einen leichteren Zugang zur Mathematik wisse, antwortete EUKLID, es gäbe keinen Königsweg für die Wissenschaft. I. Lesen Sie den Text 10 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR abtragen, vt nugriauti Gegenteil, das, - priešingybė abtrennen, vt atskirti Grundmenge, die, n pagrindinė aibė angenommen priimtas Gültigkeit, die, - teisingumas Annahme, die, n prielaida Kette, die, n grandinė ausgeschlossen neįmanomas Nachweis, der, e įrodymas Behauptung, die, en tvirtinimas Tatsache, die, n faktas beliebig bet koks übereinstimmen, vt sutapti Eindeutigkeit, die, - aiškumas Umkehrung, die, en apgrąža ergeben, sich, paaiškėti Vervollkommnung, die, patobulinimas erzeugen, vt išleisti en Feststellung, die, en konstatavimas Voraussetzung, die, en sąlyga 81

82 10. Beweise in der Mathematik Betrachtet man die Mathematik als Gebäude, dann bilden Grundbegriffe und als wahr angenommene Grundaussagen (so genannte Axiome bzw. Postulate) das Fundament. Der Aufbau des Gebäudes vollzieht sich im Wesentlichen dadurch, dass ausgehend von den Grundbegriffen weitere Begriffe (so genannte abgeleitete Begriffe) gebildet (definiert) werden sowie Zusammenhänge zwischen ihnen erkannt und in Aussagen formuliert werden. Als wahr erkannte Aussagen werden als Sätze (Lehrsätze) in das Gebäude aufgenommen und bei dessen weiterer Vervollkommnung verwendet. Der Nachweis der Wahrheit einer Aussage, eines mathematischen Satzes, erfolgt durch einen Beweis. Man unterscheidet direkte und indirekte Beweise. Die Struktur mathematischer Sätze ist im Allgemeinen eine Implikation der Form, wobei das Vorderglied A die Voraussetzung und das Hinterglied B die Behauptung genannt wird. Von dorther ergibt sich beim Beweisen eine Dreiteilung: Der dritte Schritt (die eigentliche Beweisdurchführung) besteht aus einer Kette von Folgerungen, in denen nur die Voraussetzung(en), vorhandene Definitionen und bereits bewiesene Sätze verwendet werden dürfen. Am Ende dieser Kette, die durch logische Schlussregeln aufgebaut und begründet ist, muss sich die Behauptung ergeben. Im Folgenden seien Beispiele für wichtige im Mathematikunterricht vorkommende logische Schlussregeln aufgezählt: Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch Es ist nicht wahr, dass eine Aussage und ihr Gegenteil gleichzeitig gelten. Satz vom ausgeschlossenen Dritten Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch, etwas Drittes gibt es nicht. Abtrennungsregel (modus ponens) Beispiel: Wenn Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann ist. 82

83 Nach Konstruktion sind Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. Also gilt. Kettenregel oder Kettenschluss (modus barbara) Beispiel: Aus der Gültigkeit der Aussagen Wenn 12 a, dann auch 6 a und Wenn 6 a, dann auch 3 a folgt die Gültigkeit der Aussage Wenn 12 a, dann auch 3 a für alle a ℵ. Schluss auf eine Allaussage Wenn für ein beliebiges Element a einer Grundmenge die Aussage A(a) wahr ist, so ist die Aussage Für alle x gilt A(x) wahr. Beispiel: Wenn man gezeigt hat, dass der Lehrsatz des PYTHAGORAS für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck gilt, dann gilt er für alle rechtwinkligen Dreiecke. Regel der Kontraposition Wenn die Aussage Wenn A, dann B wahr ist, so ist auch Wenn nicht B, dann nicht A eine wahre Aussage. Beispiel: Aus der Gültigkeit von Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, dann sind sie zueinander ähnlich folgt die Gültigkeit von Wenn zwei Dreiecke nicht zueinander ähnlich sind, dann stimmen sie auch nicht in zwei Winkeln überein. Indirekte Beweise Beim indirekten Beweis eines Satzes der Form dass die Behauptung B falsch sei und deren Negation geht man von der Annahme aus, also wahr ist. Aus dieser Annahme versucht man, einen Widerspruch herzuleiten. Wenn das gelingt, dann wäre falsch und somit B wahr. Das Erzeugen des Widerspruchs kann in unterschiedlicher Weise geschehen. Im Allgemeinen unterscheidet man folgende Fälle: (1) Es ergibt sich, d.h. ein Widerspruch zur gültigen Voraussetzung A. Das ist in zweierlei Weise möglich: Aus dem Gegenteil der Behauptung folgt unmittelbar das Gegenteil der Voraussetzung, d. h.: (die so genannte Kontraposition eines Satzes). 83

84 Aus der Voraussetzung und dem Gegenteil der Behauptung ergibt sich das Gegenteil der Voraussetzung, d. h. (2) Aus der Voraussetzung und dem Gegenteil der Behauptung ergibt sich die Behauptung, d.h. ein Widerspruch zur negierten Behauptung: (3) Aus der Voraussetzung und dem Gegenteil der Behauptung ergibt sich eine neue Aussage der Form, wobei C eine bereits als wahr erkannte Aussage darstellt. Man spricht in diesem Fall von einer reductio ad absurdum, es handelt sich um einen Widerspruch zu einem bereits bewiesenen Satz: In jedem dieser drei (bzw. besser vier) Fälle ergibt sich eine Implikation, die zu äquivalent ist (durch Aufstellen der Wahrheitswertetabellen überzeugt man sich sehr schnell von der Gültigkeit der Äquivalenzen). Damit ergibt sich folgende Struktur für den indirekten Beweis: Aus der Voraussetzung, bereits bekannten Tatsachen (Definitionen und Lehrsätze) und dem Gegenteil der Behauptung wird mithilfe einer endlichen Anzahl gültiger Schlussregeln ein Widerspruch zur Voraussetzung zu bereits bekannten Tatsachen oder zum Gegenteil der Behauptung erzeugt. Gelingt die Widerspruchserzeugung, dann ist das Gegenteil der Behauptung falsch und somit nach dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch sowie dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten die Behauptung wahr. Die beiden genannten Schlussregeln bilden also gewissermaßen das Fundament für den indirekten Beweis. Im Folgenden betrachten wir zwei Beispiele. Wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl gerade ist, so ist auch die Zahl selbst gerade. Voraussetzung: Behauptung: Beweis (indirekt): Das Gegenteil der Behauptung ist (2 teilt nicht x). Feststellung Begründung bedeutet: Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade. 84

85 Anwenden der binomischen Formel Wenn, dann ist auch. Damit ist ein Widerspruch zur Voraussetzung erzeugt, d.h., das Gegenteil der Behauptung ist falsch, und somit ist die Behauptung bzw. der Satz wahr. Gilt für die Maßzahlen der Seiten eines Dreiecks ABC die Beziehung, dann ist das Dreieck rechtwinklig (Umkehrung des Satzes von PYTHAGORAS). Voraussetzung: beliebiges Dreieck ABC mit Behauptung: Beweis (indirekt): Annahme: Feststellung ist rechtwinklig. Begründung Senkrechte zu AC in C und von C aus a abtragen Satz des PYTHAGORAS für rechtwinkliges Dreieck AB'C nach Voraussetzung Wegen gleichzeitig gelten. können (1) und (2) nicht Damit ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung, die Annahme ist also falsch und somit die Behauptung war, d.h., es ist. Das letzte Beispiel macht zweierlei deutlich: Erstens der indirekte Beweis wird vorwiegend beim Beweis der Umkehrung von Sätzen angewendet. Zweitens wird dabei der ursprüngliche Beweis häufig als Beweismittel verwendet. Weitere Anwendungsbereiche des indirekten Beweises sind die folgenden: Nachweis von Eindeutigkeitsaussagen, etwa 85

86 Es gibt höchstens ein x mit der Eigenschaft zweiten Elements wird ad absurdum geführt.) Nachweis von negierten Existenzialaussagen, etwa. (Die Annahme der Existenz eines Es gibt kein x mit der Eigenschaft. (Man weist nach, dass doch ein Element existiert, indem man eines konstruiert.) II. Fragen zum Lesetext. 1. Wie charakterisiert man in diesem Text die Mathematik? 2. Wie kann man die abgeleiteten Begriffe in der Mathematik erklären? 3. Was versteht man unter einem Beweis? 4. Wie verläuft der Prozess des Beweises? 5. Was ist einem indirekten Beweis charakteristisch? 6. Was bildet die Grundlage für den indirekten Beweis? III. Aufgaben zu Wortschatz und Grammatik. 1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Begriff Beweis? Ergänzen Sie das Assoziogramm. 86

87 beweisen Beweis Begriff definieren 2. Finden Sie Synonyme für die folgenden Verben aus dem Text Verb im Text Synonym Verb im Text Synonym 1. ausgehen von+d. A. abbilden 8. feststellen H. folgen 2. begründen B. akzeptieren 9. gelingen I. funktionieren 3. bezeichnen C. argumentieren 10. gelten J. konstatieren 4. darstellen D. außer Zweifel stehen 11. übereinstimmen K. produzieren 5. durchführen E. benutzen 12. überzeugen L. protestieren 6. ergeben, sich F. beruhen auf+a. 13. verwenden M. realisieren 7. erzeugen G. definieren 14. widersprechen N. überreden 3. Ergänzen Sie die fehlenden Wörter. auf - Beweise - der - durchs - ein - entwickelt - Euler - heute - ist - kommt - konkreten - man - Menschen - sich - strenger - verstanden - zu Um nachzuprüfen, ob das im (1) Einzelfall stimmt, sind viele Methoden (2) worden: direkte und indirekte Beweise, (3) durch Kontraposition usw. Im Grunde (4) es aber ganz einfach. Wenn (5) die Axiome der Theorie mit (6) Logik des gesunden Menschenverstands behandelt, (7) man als Mathematiker ganz gut 87

88 (8) Leben. Beweise können sehr schwierig (9) verstehen sein. Vermutlich gibt es (10) der Welt nur eine Handvoll (11), die die besonders anspruchsvollen vollständig (12) haben. Alles wird auch dadurch (13) bisschen kompliziert, dass die Standards (14) immer wieder ändern. Was Newton, (15) und Cauchy bewiesen haben, würde (16) in einigen Fällen nicht als (17) Beweis durchgehen. 4. Bringen Sie die Wörter der einzelnen Sätze in die richtige Reihenfolge. Beginnen Sie mit dem fett gedruckten Wort und verwenden Sie alle Wörter. 1. Um - den - axiomatischen - vom - Schluss - man - gültigen - klar - unterscheiden, - spricht - Beweis - auch - zu - Beweis. - vom 2. Sätzen - Teilbeweise - werden - mehrere - mathematischen - Beweise - Umfangreichere - in - der - von - aufgeteilt. 3. Beweistheorie - Beweise - der - aufgefasst. - werden - Ableitungen - als - In - formal 4. von - Einige - Sätze - für - mathematische - eine - Beweisen - Vielzahl - einsetzen. - sich - lassen - 5. endliche - wird - betrachtet. - eine - Fällen - einer - Aussage - Beim - Anzahl - von - Beweis 6. entwickelt. - Beweis - Die - zweier - Aussagen - zum - Diagonalverfahren - wurden - spezieller - 88

89 5. Übersetzen Sie ins Litauische. als wahr angenommene Grundaussagen sich im Wesentlichen durch etwas vollziehen durch logische Schlussregeln aufgebaut werden Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen beim indirekten Beweis eines Satzes von der Annahme ausgehen aus dem Gegenteil der Behauptung etwas erzeugen die Umkehrung des Satzes von Pythagoras 6. Übersetzen Sie ins Deutsche. remiantis pagrindinėmis sąvokomis atpažinti ryšius tarp ko pripažinti teiginiai įrodymo procesą galima atskleisti trimis etapais esamos sąvokos pagrindinė aibė galioti visiems stačiakampiams trikampiams sutapti dviejuose kampuose prieštaravimas galiojančiai prielaidai jau žinomi faktai remiantis baigtiniu skaičiumi trikampis ABC yra status hipotezė yra teisinga kaip įrodymo priemonė 89

90 7. Bilden Sie aus den Nebensätzen die Präpositionalgruppen und umgekehrt. Präpositionen mit, bei Nebensatz mit wenn Z.B. Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, dann sind... Bei der Übereinstimmung zweier Dreiecke in zwei Winkeln sind Wenn man die Mathematik als Gebäude betrachtet, dann bilden Grundbegriffe... das Fundament. 2. Wenn zwei Dreiecke nicht zueinander ähnlich sind, dann stimmen Beim indirekten Beweis eines Satzes der Form geht man von der Annahme aus, Wenn das gelingt, dann wäre Beim Aufstellen der Wahrheitswertetabellen überzeugt man sich Wenn die Widerspruchserzeugung gelingt, dann ist das Gegenteil der Behauptung falsch... IV. Aufgaben zum schriftlichen und mündlichen Ausdruck. 1. Schreiben Sie die folgende Formel mit den Worten auf. 90

91 2. Erstellen Sie die folgende Grafik weiter. Sprechen Sie in der Gruppe über die logischen Schlussregeln im Mathemathikunterricht. logische Schlussregeln I. Lesen Sie den Text 11 und machen Sie dann die nach dem Text angeführten Aufgaben. GLOSSAR abheben, vt išskirti Innenwinkel, der, - vidinis kampas Angabe, die, n nurodymas, duomenys Nebenwinkel, der, - gretutinis kampas Beweisfindung, die, en įrodymo suradimas Primzahlzwillinge, Pl. pirminių skaičių dvyniai doppelt dvigubas Rückwärtsarbeiten, atgalinis darbas Einzeichnen, das, - pažymėjimas das, - entfallen, vt iškristi Sehnenviereck, das, - įbrėžtinis keturkampis entgegengesetzt priešingas Suchfeld, das, er paieškos laukas ergänzen, vt papildyti teilbar dalinamas Erschließung, die, en atskleidimas Umformen, das, - pertvarkymas gleichschenklig lygiašonis widerlegen, vt paneigti zusammengesetzt sudurtinis 91

92 11. Direkte Beweise Wir betrachten den Prozess der Beweisfindung an einem Beispiel und wählen dazu den folgenden Sachverhalt aus: Die Summe von Primzahlzwillingen ist stets durch 12 teilbar. (1) Aufbau eines Suchfeldes Analyse des Sachverhalts Die Wenn, dann -Form des Satzes lautet: Wenn z die Summe von Primzahlzwillingen ist, so gilt. Damit lassen sich die Voraussetzung ( ) und die Behauptung ( ) ablesen. Der Satz stellt eine Allaussage dar, von der noch nicht feststeht, ob sie wahr oder falsch ist. Eine Allaussage widerlegt man durch Angabe eines Gegenbeispiels; ihre Wahrheit zeigt man durch einen Beweis. Betrachten von Beispielen In jedem dieser Beispiele ist die Summe in der Tat durch 12 teilbar. Umstrukturierung des Wissensspeichers Was ist eine Primzahl? Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl (größer als 1), die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 0 und 1 sind weder Primzahlen noch zusammengesetzte Zahlen. Die kleinste (und einzige gerade) Primzahl ist die 2. Primzahlzwillinge sind Primzahlen, die sich um 2 unterscheiden. Wann ist eine Zahl durch 12 teilbar? Wenn eine Zahl durch 3 und durch 4 teilbar ist, so ist diese Zahl auch durch 12 teilbar. (2) Bearbeitung des Suchfeldes (Finden einer Beweisidee) Beim Suchen von Beweisideen können zwei Strategien helfen: das so genannte Vorwärtsarbeiten und das so genannte Rückwärtsarbeiten. 92

93 Beim Vorwärtsarbeiten geht man von den gegebenen Voraussetzungen aus und stellt sich eine Reihe typischer Fragen wie etwa die folgenden: Was ist bekannt? Was weiß man über die Figur? Wie kann man das Bekannte mathematisch erfassen und aufschreiben? Was folgt aus den Voraussetzungen? Welche Sätze mit gleichen oder ähnlichen Voraussetzungen sind bekannt? Beim Rückwärtsarbeiten geht man von der zu beweisenden Behauptung aus. Typische Fragen bei diesem Vorgehen sind: Wie heißt die Behauptung? Wie heißt die Behauptung? Kennt man Sätze mit gleicher oder ähnlicher Behauptung? Welche dieser Sätze haben die gleichen Voraussetzungen wie der behauptete Satz oder lassen sich solche Voraussetzungen schaffen? Für unser anstehendes Beweisproblem scheint das Vorwärtsarbeiten günstig zu sein: In Auswertung der Voraussetzungen ist zu zeigen, dass 3 Teiler der Summe ist und dass 4 Teiler der Summe ist. Daraus würde die Behauptung folgen. (3) Durchführung des Beweises Voraussetzung: Behauptung: Beweis: Feststellung Begründung Umformen der Voraussetzung ist eine gerade Zahl. Der Nachfolger einer ungeraden Zahl ist gerade. 4 teilt stets das Doppelte einer geraden Zahl. Von drei aufeinander folgenden Zahlen ist stets eine durch 3 teilbar. Da 4 und 3 Teiler von z sind.(w.z.b.w.) Ausgehend von dem betrachteten Beispiel lässt sich die Struktur des direkten Beweises abheben: 93

94 Aus der Voraussetzung des Satzes sowie bereits bekannten Tatsachen (Definitionen, Lehrsätze) wird mithilfe einer endlichen Anzahl gültiger Schlussregeln direkt die Wahrheit der Behauptung gezeigt. Im Folgenden soll auch das Rückwärtsarbeiten beim Beweisen demonstriert werden. Dazu betrachten wir den folgenden Satz: Wenn ABCD ein Sehnenviereck ist, so ist die Summe der Gegenwinkel 180. o o Voraussetzung: ABCD ist Sehnenviereck. Behauptung: α + β = 180 β + δ = 180 Das Rückwärtsarbeiten fragt nach Sätzen mit gleicher oder ähnlicher Behauptung (hier: Winkelsumme von 180 ). Welche Sätze sind also bekannt, die etwas über Winkel und Winkelsummen, die 180 betragen, aussagen? In Beantwortung der Frage entsteht etwa folgender umstrukturierter Wissensspeicher: Innenwinkelsatz für Dreiecke (α + β + γ = 180 ) Nebenwinkelsatz (α + β = 180 ) Innenwinkelsatz für Vierecke (α + β + γ + δ = 360 ) Entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Parallelen ergänzen sich zu 180. Bestimmte Nachbarwinkelpaare im Parallelogramm ergänzen sich zu 180. Bestimmte Nachbarwinkelpaare im Trapez ergänzen sich zu 180. Welche dieser Sätze lassen sich anwenden? Der zweite, vierte, fünfte und sechste Satz entfallen sofort, da deren Voraussetzungen mit denen unseres zu beweisenden Satzes nicht vereinbar sind. Bleiben also der erste und der dritte Satz, wobei der Innenwinkelsatz für Dreiecke den größten Bezug aufweist. In der Figur sind zwar keine Dreiecke vorhanden, doch durch Einzeichnen von Hilfslinien lassen sich welche erzeugen. Als Möglichkeiten bieten sich an: (1) Einzeichnen der Diagonalen, 94