I.V. Methoden 2: Deskriptive Statistik WiSe 02/03

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1 I.V. Methoden 2: Deskriptive Statistik WiSe 02/03 Vorlesung am Life is the art of drawing sufficient conclusions from insufficient premises. Samuel Butler Dr. Wolfgang Langer Institut für Soziologie Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Dr. Wolfgang Langer 2002

2 Gliederung 1: Maßzahlen für Zusammenhänge von Variablen mit ordinalem Messniveau (Rangdaten) 3 Wiederholung: Was ist ordinales Messniveau? 3 Das Prinzip des Paarvergleichs als Grundlage für die Bestimmung der Richtung und Stärke der Rangkorrelation 3 Grundtypen gerichteter Paare: Gleichsinnig geordnete, konkordante Paare Gegensinnig geordnete, diskordante Paare In X verknüpfte Paare (Ties X) In Y verknüpfte Paare (Ties Y) In X und Y verknüpfte Paare (Ties XY)

3 Gliederung 2: 3 Das Summentheorem der Paarzerlegung 3 Anwendungsbeispiel aus der Eurobarometer 30: Alte Bundesländer 1988 Forschungsfrage: Hängt die subjektive Einschätzung der Größe der Ausländerpopulation von der Anzahl ausländischer Freunde ab? Empirische Tabelle Wie ermitteln wir die Anzahl der fünf Paartypen?

4 Gliederung 3: 3 Rangkorrelationsmaße für ordinale Indikatoren Goodman und Kruskals Gamma ()-Koeffizient Die Maße von Maurice Kendall: Tau a (- a ) - Koeffizient Tau b (- b ) - Koeffizient Tau c (- c ) - Koeffizient Die Maße von Somers D YX (Y als abhängige Variable) D XY (X als abhängige Variable) D S (Symetrische Version) Berechnung der, - a, - b, - c, D YX für die EB30- Tabelle

5 Wiederholung: Ordinales Messniveau? Darf s ein bißchen mehr sein? Ordnung der Objekte in separate Kategorien, wobei diese ihrer Größe nach in unscharfen Relationen geordnet sind, ohne dass deren Größenunterschiede exakt bestimmt sind. Die Kategorien bilden eine Rangordnung, wobei ihre Relationen nur einem kleiner als oder größer als -Verhältnis entsprechen. 3 Anforderung: Vollständigkeit der Rangordnung Wechselseitiger Ausschluß der Kategorien Zahlenkodes der Kategorien müssen die Rangordnung widerspiegeln

6 Ordinales Messniveau II: 3 Beispiel: Anzahl ausländischer Freunde Kategorien: keine < einige < viele Zahlencodes: 1 < 2 < 3 3 Subjektive Einschätzung der Ausländerpopulation (EB 30 ff) Kategorien: wenige < viele < Zu viele Zahlencodes: 1 < 2 < 3

7 Das Prinzip des Paarvergleichs bei der Bestimmung der Rangkorrelationen zweier ordinaler Variablen X und Y 3 Jede Untersuchungseinheit weist jeweils einen Rangplatz für die Variable X und die Variable Y auf. 3 Für jeweils zwei Untersuchungseinheiten / Befragte vergleichen wir ihre jeweiligen Rangplätze auf X und Y und prüfen, ob sie gleich- oder entgegengesetzt ausgerichtet sind.

8 Untersuchungsziele bei Paarvergleich: Bestimmung der Richtung und Stärke des Zusammenhangs der ordinalen Variablen X und Y 3 Überprüfung der statistischen Hypothen: Existenz eines positiven Zusammenhangs: (+) Je höher der Rangplatz in X, desto höher der Rangplatz in Y Existenz eines negativen Zusammenhangs: (-) Je höher der Rangplatz in X, desto niedriger der Rangplatz in Y oder Je niedriger der Rangplatz in X, desto höher der Rangplatz in Y. 3 Funktion der Rangkorrelationsmaße : Numerische Angabe des Stärke des Zusammenhangs

9 Welche Arten von Paaren gibt es? (Benninghaus 2002,S ) 1. Gleichsinnig geordnete, konkordante Paare 3 Definition: Die Untersuchungseinheiten können im Hinblick auf X und Y dieselbe Rangordnung haben. Diese konkordanten Paare werden mit dem Symbol N c bezeichnet. (S.144) 3 Beispiel: Wir betrachten die Schulnoten zweier Schüler in den Fächern Mathematik und Physik: X Y Schüler Mathematik Physik a 5 5 b 4 4

10 Gleichsinnig geordnete, konkordante Paare II: 3 Schüler b ist mit der Notenkombination 4-4 in beiden Fächern eine Note besser als Schüler a mit der Notenkombination 5-5 3Das heißt, daß die Schüler a und b in Mathematik (X) und Physik (Y) dieselbe Rangordnung aufweisen 3 Ein solches Paar wird als konkordant, konsistent, positiv oder gleichsinnig im Deutschen bezeichnet. Die englische Bezeichnung lautet: condordant, same ordered

11 2. Gegensinnige oder diskordante Paare: 3 Defintion: Die Untersuchungseinheiten können im Hinblick auf X und Y eine unterschiedliche Rangordnung haben. Diese diskordanten Paare werden mit dem Symbol N d bezeichnet.(s.144) 3 Beispiel: Wir betrachten die Noten in Mathematik und Physik zweier weiterer Schüler c und d. X Y Schüler Mathematik Physik c 1 3 d 2 2

12 2. Gegensinnige oder diskordante Paare II: 3 Schüler c ist zwar mit seiner Notenkombination (1-3) in Mathematik (X) besser als Schüler d (2-2), aber er tauscht mit Schüler d in Physik (Y) den Rangplatz, da dieser dort eine 2 und er aber nur eine 3 hat. 3 D.h.: In beiden Fächern besteht eine Umkehrung der Rangordnung. Ein solches Paar wird als diskordant, inkonsistent, negativ oder gegensinnig bezeichnet. Im Englischen nennt man es discordant oder differently-ordered.

13 3. In X verknüpfte Paare (Tied on X): 3 Die Untersuchungseinheiten können im Hinblick auf X verknüpft sein (engl. tied on X), jedoch im Hinblick auf Y verschieden sein. Diese Paare werden mit dem Symbol T x bezeichnet (S. 144) 3 Beispiel: Wir betrachten die Noten in Mathematik und Physik zweier weiterer Schüler e und f: X Y Schüler Mathematik Physik e 3 2 f 3 4

14 3. In X verknüpfte Paare (Tied on X) II: 3 Beide Schüler e und f haben in Mathematik (X) die Note 3 und somit nehmen sie denselben Rangplatz ein. Lediglich in Physik (Y) nimmt der Schüler f mit der Note 2 einen höheren Rang ein als der Schüler e mit seiner Note 4. 3 Da beide Schüler in Mathematik (X) denselben Rang einnehmen, sich aber in Physik (Y) unterscheiden, bezeichnet man dieses Paar als in X verknüpft oder im Englischen als tied on X.

15 4. In Y verknüpfte Paare (Tied on Y) I: 3 Die Untersuchungseinheiten können im Hinblick auf X verschieden, jedoch im Hinblick auf Y verknüpft sein (engl. tied on Y). Diese Paare werden mit dem Symbol T y bezeichnet (S. 144) 3 Beispiel: Wir betrachten die Noten in Mathematik und Physik zweier weiterer Schüler g und h: X Y Schüler Mathematik Physik g 2 3 h 4 3

16 4. In Y verknüpfte Paare (Tied on Y) II: 3 Beide Schüler g und h haben in Physik (Y) die Note 3 und nehmen somit denselben Rangplatz ein. Lediglich in Mathematik (Y) nimmt der Schüler g mit der Note 2 einen höheren Rang ein als der Schüler h mit seiner Note 4. 3Da beide Schüler in Physik (Y) denselben Rang einnehmen, sich aber in Mathematik (X) unterscheiden, bezeichnet man dieses Paar als in Y verknüpft oder im Englischen als tied on Y.

17 5. In X und Y verknüpfte Paare (Tied on X andy) I: 3 Die Untersuchungseinheiten können im Hinblick auf X und Y verknüpft sein. Diese Paare werden mit dem Symbol T xy bezeichnet (S. 144) 3 Beispiel: Wir betrachten die Noten in Mathematik und Physik zweier weiterer Schüler i und j: X Y Schüler Mathematik Physik i 1 2 j 1 2

18 5. In X und Y verknüpfte Paare (Tied on Y) II: 3 Beide Schüler i und j haben teilen sich jeweils mit einer Note 2 in Physik und der Note 2 in Mathematik den jeweiligen Rangplatz in X und Y. 3Da beide Schüler in Mathetmatik (X) und Physik (Y) denselben Rang jeweils einnehmen bezeichnet man dieses Paar als in X und Y verknüpft oder im Englischen als tied on X and Y.

19 Das Summentheorem der Paarzerlegung: 3Die Summe aller möglichen Paargleiche einer Tabelle ist gleich der Summen der konkordanten, diskordanten, in X-, in Y-sowie der in X-und-Yverknüpften Paare von Untersuchungseinheiten. N 2 Legende: N(N 1) 2 N c N d T x T y T xy N: Stichprobenumfang der Tabelle N c : Anzahl konkordanter Paare N d : Anzahl diskordanter Paare T x : Anzahl der in X verknüpften Paare T y : Anzahl der in Y verknüpften Paare T xy : Anzahl der in X und Y verknüpften Paare

20 Anwendungsbeispiel aus Eurobarometer 30: Alte Bundesländer Forschungsfrage: Hängt die Furcht vor Überfremdung von der Anzahl der sozialen Kontakte zu Ausländern ab? 3 Theoretischer Ansatz: Die Kontakttheorie von G.F.Allport Je mehr freiwillig gewählte Kontakte zur Fremdgruppe vorliegen, desto geringer sind die Vorurteile des Befragten gegenüber der Fremdgruppe 3 Operationalisierungen: Kontakte: Anzahl ausländischer Freunde. Antwortvorgaben: Keine, wenige, viele Furcht vor Überfremdung: Subjektive Einschätzung der Größe der Ausländerpopulation Anwortvorgaben: Wenige, Viele, Zu viele Ausländer in Deutschland

21 Kreuztabelle: Subjektive Bewertung der Ausländerpopulation auf ausländische Freunde Subj.Bewertung der Ausländerpopulation Gesamt wenige (1) Anzahl % von Anzahl von Ausländern im Freundeskreis viele (2) Anzahl % von Anzahl von Ausländern im Freundeskreis zu viele(3) Anzahl % von Anzahl von Ausländern im Freundeskreis Anzahl % von Anzahl von Ausländern im Freundeskreis Anzahl von Ausländern im Freundeskreis keine (1) einige (2) viele (3) Gesamt ,1% 6,3% 16,7% 5,8% ,3% 62,5% 58,3% 45,6% ,6% 31,1% 25,0% 48,7% ,0% 100,0% 100,0% 100,0%

22 Berechnung der Anzahl aller möglichen Paarvergleich: Anzahl der möglichen Paarvergleiche N 2 N(N 1) (1040 1)

23 Berechnung der Anzahl konkordanten Paare I: Wieviel Paare haben einen höheren Rangplaz in X und Y als die betrachtete Rangkombination in X und Y(blau)? Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=1;Y=1) N C(1;1) = 34 * ( ) = Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=2;Y=1) N C(2;1) = 22 * (14+6) = 440

24 Berechnung der Anzahl konkordanten Paare II: Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=1;Y=2) N C(1;2) = 243 * (108+6) = Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=2;Y=2) N C(2;2) = 217 * (6) = Gesamtsumme der konkordanten Paare = =

25 Berechnung der Anzahl diskordanter Paare I: Wieviele Paare haben entgegengesetzte Rangplätze X und Y im Vergleich zur betrachteten Rangkombination (blau)? Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=3;Y=1) N d(3;1) = 4 * ( ) = Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=2;Y=1) N d(2;1) = 22 * ( ) =

26 Berechnung der Anzahl diskordanter Paare II: Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=3;Y=2) N d(3;2) = 14 * ( ) = Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) Vergleichsrang: (X=2;Y=2) N d(2;2) = 217 * (392) = zu viele (3) Gesamtsumme der diskordanten Paare = =

27 Berechnung der Anzahl in X verknüpfter Paare I: Wieviele Paare weisen im Vergleich zur betrachten X-Y- Kombination identische X-Werte aber unter unterschiedliche Y-Werte auf? Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=1;Y=1) N Tx(1;1) = 34 * ( ) = Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=1;Y=2) N Tx(1;2) = 243 * (392) =

28 Berechnung der Anzahl in X verknüpfter Paare II: Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=2;Y=1) N Tx(2;1) = 22 * ( ) = Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=2;Y=2) N Tx(2;2) = 217 * (108) =

29 Berechnung der Anzahl in X verknüpfter Paare III: Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=3;Y=1) N Tx(3;1) = 4 * (14 + 6) = 80 Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=3;Y=2) N Tx(3;2) = 14 * (6) = 84 Gesamtsumme der in X verknüpften Paare = =

30 Berechnung der Anzahl in Y verknüpfter Paare I: Wieviele Paare weisen im Vergleich zur betrachten X-Y- Kombination identische Y-Werte aber unter unterschiedliche X- Werte auf? Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=1;Y=1) N Ty(1;1) = 34 * (22 + 4) = 884 Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=2;Y=1) N Ty(2;1) = 22 * (4) = 88

31 Berechnung der Anzahl in Y verknüpfter Paare II: Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=1;Y=2) N Ty(1;2) = 243 * ( ) = Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=2;Y=2) N Ty(2;2) = 217 * (14) = 3.038

32 Berechnung der Anzahl in Y verknüpfter Paare III: Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=1;Y=3) N Ty(1;3) = 392 * ( ) = Y \ X keine (1) einige (2) viele(3) wenige (1) viele (2) zu viele (3) Vergleichsrang: (X=2;Y=3) N Ty(2;3) = 108 * (6) = 648 Gesamtsumme der in Y verknüpften Paare = =

33 Berechnung der in X und Y verknüpften Paare I: Wie viele Paarvergleiche müssen wir bei identischen Rängen in X und Y durchführen oder wie viele Paarvergleiche ergeben sich aus der Besetzung jeder einzelnen Tabellenzelle? Ties in X und Y I i1 J j1 n i,j (n i,j 1) 2 n i,j Anzahl der Fälle in Zelle mit den Ausprägungen i in y und j in x

34 Berechnung der in X und Y verknüpften Paare II: Berechnung der in den Werten ihrer X und Y Variablen verknüpften Paare: QUANTPAN: FREUNDAN: N = Anzahl T xy = wenige (1) keine (1) 34 (34*33) / 2 = 561 wenige (1) einige (2) 22 (22*21) / 2 = 231 wenige (1) viele (3) 4 (4*3) / 2 = 6 viele (2) keine (1) 243 (243*242) / 2 = viele (2) einige (2) 217 (217*216) / 2 = viele (2) viele (3) 14 (14*13) / 2 = 91 zu viele (3) keine (1) 392 (392*391) / 2 = zu viele (3) einige (2) 108 (108*107) / 2 = zu viele (3) viele (3) 6 (6*5) / 2 =

35 Übersicht der Paarzerlegungsmengen: EB 30 Tabelle, ABL (1988) 3 Summe aller möglichen Paare = Konkordante Paare: N c = Diskordante Paare: N d = In Y verknüpfte Paare: T y = In X verknüpfte Paare: T x = In X und Y verknüpfte Paare: T xy = (Anteil der T x,t y,t xy an allen Paaren = 72,0%!) 3 Anzahl der Fälle/Beobachtungen = 1.040

36 Rangkorrelationsmaße für ordinale Indikatoren? Konstruktionsprinzip: Überwiegen die konkordanten oder die diskordanten Paare in der Kreuztabelle? 3 Goodman und Kruskals Gamma-()-Koeffizient: Differenz von konkordanten und diskordanten Paaren Summe von konkordaten und diskordanten Paaren (N c N d ) (N c N d ) [ 1 ;1 ] +1 : Perfekt positiver Zusammenhang: Wenn X um einen Rangplatz ansteigt, nimmt Y ebenfalls um einen Rangplatz zu. 0 : Kein Zusammenhang zwischen X und Y. - 1 : Perfekt negativer Zusammenhang: Wenn X um einen Rangplatz ansteigt, sinkt Y um einen Rangplatz oder umgekehrt.

37 Berechnung des Gamma-Koeffizienten für EB 30-Datentabelle: Erforderliche Paarmengen: N c und N d Goodman& Kruskals ,4548 Zuvor berechnete Paarmengen: N c N d Interpretation: Vorliegen einer relativen starken negativen Rangkorrelation zwischen den Anzahl ausländischer Freunde und der Furcht vor Überfremdung

38 Die Rangkorrelationsmaße von Maurice Kendall I: Benötigen neben N c und N d, N..,die T x, T y sowie das Minimum der Zeilen- oder Spaltenanzahl 3Kendalls Tau a (- a )- Koeffizient 2 a Differenz von konkordanten und diskordanten Paaren Summe der möglichen Paarvergleiche (N c N d ) N (N 1) 2 [ 1 ;1 ]

39 Berechnung des tau a (- a )-Koeffizienten für die EB30-Tabelle: N c, N d, N.. werden benötigt Kendalls 2 a ( ) 2 68, ,1271 Zuvor berechnetepaarmengen: N c N d N Anzahl der möglichen Paarvergleiche: Interpretation: Schwache negative Rangkorrelation zwischen deranzahl ausländischer Freunde und der Furcht vor Überfremdung.

40 Die Rangkorrelationsmaße von M. Kendall II: 3Kendalls Tau b (- b )-Koeffizient: 2 b N c N d (N c N d T x )(N c N d T y ) [ 1 ;1 ] Legende: N c : Anzahl konkordanter Paare N d : Anzahl diskordanter Paare T x : Anzahl in X verknüpfter Paare T y : Anzahl in Y verknüpfter Paare

41 Berechnung des Tau b (- b )-Koeffizienten für die EB 30 Tabelle: N c, N d, T X und T Y benötigt Zwischenschritt: Berechnung der Summe der geordneten Paare: N cd N c N d Kendalls 2 b ( ) ( ) ,2482 Legende: N c T x N d T y

42 Die Rangkorrelationsmaße von M. Kendall III: 3 Der Kendalls Tau c (- c )-Koeffizient: 2 c N c N d 1 2 N 2 m 1 m 2 (N c N d ) N 2 m 1 m 2 m (N c N d ) N 2 (m 1) [ 1 ;1 ] Legende: N c : Anzahl konkordanter Paare N d : Anzahl diskordanter Paare N: Stichprobenumfang (Randverteilungssumme N..) m: Minimum der Zeilen oder Spaltenanzahl

43 Berechnung des Kendalls tau c (- c )-Koeffizienten für die EB 30 Tabelle: Benötigt werden N c, N d, N,m Kendalls 2 c 2 ( ) Legende: ,1906 N c N N d m 3

44 Die Rangkorrelationsmaße von Somers Sie korrigieren nur den Gamma-()-Koeffizienten im Hinblick auf die Verknüpfungen in X oder Y (ties) je nach angenommener Richtung der Kausalität 3 Somers d yx -Koeffizient: (Asymetrisches Maß) Differenz von konkordanten und diskordanten Paaren d yx Summe von konkordaten und diskordanten Paaren Ties Y (N c N d ) (N c N d T y ) [ 1;1]

45 Berechnung des Somers d yx -Koeffizienten für die EB 30-Daten: Benötigt werden N c,n d,t y Somers D yx ( ) ,2678 Legende: N c T y N d