Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung: 1. Beispiel aus der Prüfungspraxis des Physikums:

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1 Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 1 Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung: 1. Beispiel aus der Prüfungspraxis des Physikums: Zum Staatsexamen teilt ein Prüfer in Pathologie das Wissensgebiet in 10 Körperregionen und je 5 pathologische Prozeßarten (Entzündungen, Tumore usw.) ein. Die insgesamt 50 Themen schreibt er auf einzelne Karten, von denen jeder Kandidat eine Karte zieht, ohne diese wieder in den Stapel zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Prüfungsgruppe alle 4 Kandidaten jeweils ein Tumorthema ziehen? Es liegt für jede der zehn Körperregionen ein Tumorthema vor. Der erste Kandidat zieht mit der Wahrscheinlichkeit 10 / 50 = 0,20 ein Tumorthema. Unter der Bedingung, daß sein Vorgänger bereits ein Tumorthema gezogen hat, zieht der zweite Kandidat mit der Wahrscheinlichkeit 9/49 = 0,184 eine der 9 verbliebenen Tumorkarten aus den restlichen 49 Prüfungskarten. Für den dritten Kandidaten lautet die Wahrscheinlichkeit für den Fall, daß beide Vorgänger bereits jeweils ein Tumorthema gezogen haben, 8 / 48 = 0,167. Für den vierten Kandidaten gilt: 7/47=0,149. Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten aller vier Ereignisse beträgt nach dem allgemeinen Multiplikationssatz: P(A B C D) P(A)P(B A)P(C A B)P(D A B C) ,0009 0,09%

2 Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 2 2. Beispiel aus der Diagnostik: Die Wahrscheinlichkeit, mit der bei einem Patienten aus einer durch eine Röntgenreihenuntersuchung erfaßten Grundgesamtheit eine TBC vorliegt, sei 0,02. Weiter sei 0,98 die Wahrscheinlichkeit, mit der bei dieser Untersuchung bei einem TBC-Kranken, und 0,02 die Wahrscheinlichkeit, mit der bei dieser Untersuchung bei einem Nicht-TBC-Kranken die Diagnose TBC gestellt wird. Berechnen Sie a) die Wahrscheinlichkeit, daß insgesamt eine positive TBC-Diagnose gestellt wird. Berechnen Sie b) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einer positiven Diagnose tatsächlich eine TBC -Erkrankung vorliegt. Bekannt sind folgende Wahrscheinlichkeiten: P(KRANK) = 0,02 P(GESUND) = 0,98 P(POSITIV KRANK) = 0,98 P(POSITIV GESUND) = 0,02 Gesucht werden die folgenden Wahrscheinlichkeiten: 1. P (POSITIV) =? 2. P (KRANK POSITIV) =? Entscheidungstabelle für die Lösung der Aufgabe: Testergebnis: POSITIV (P) Status: KRANK (K) 0,98 P(K P) =? GESUND (G) Randverteilung: Testergebnis 0,02 P (P) =? NEGATIV (N) 0,02 0,98 Randverteilung: TBC-Erkrankung 0,02 0,98

3 Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 3 a) Die Wahrscheinlichkeit, insgesamt eine positive TBC-Diagnose zu stellen läßt sich mit Hilfe des Bayeschen Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen. P (POSITIV) = P(KRANK)*P(POSITIV KRANK) + P (GESUND)* P (POSITIV GESUND) = 0,02 * 0,98 + 0,98 * 0,02 = 0,0392 Die Wahrscheinlichkeit, insgesamt eine positive Diagnose zu stellen, beträgt 3,92 % b) Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, unter der Bedingung eines positiven Testergebnisses tatsächlich krank zu sein, benötigen wir den Bayschen Satz der a posteriori Wahrscheinlichkeiten. P(KRANK POSITIV) P(KRANK) P(POSITIV KRANK) P(KRANK)P(POSITIV KRANK) P(GESUND)P(POSITIV GESUND) P(KRANK) P(POSITIV KRANK) P(POSITIV) 0,020,98 0,0392 0,50 Die Wahrscheinlichkeit, daß ein(e) PatientIn mit positivem Befund tatsächlich TBC krank ist, beträgt 50 %.

4 Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 4 3. Beispiel aus der Umfrageforschung 1988 ließ die EU-Kommission in der Bundesrepublik Deutschland (Alte Bundesländer) eine Untersuchung zur Fremdenfeindlichkeit durchführen: 35,1 % der befragten Männer gaben an, sich vorstellen zu können, mit einer Türkin ein sexuelles Verhältnis zu haben. Hingegen sprachen sich 84,8 % der befragten Frauen gegen ein Verhältnis mit einem Türken aus. Insgesamt stellten die Männer 48,2 % der befragten Personen. Aufgabe: Wie wahrscheinlich ist es, gegeben eine Zustimmung zum Item, daß es sich bei der befragten Person um eine Frau handelt? Was kennen wir? 1. P ( Zustimmung Mann ) = 0, P ( Zustimmung Frau ) = 0, P ( Mann ) = 0,482 Was suchen wir? 1. P ( Frau Zustimmung ) =? Was können wir uns direkt erschließen? 1. P ( Zustimmung Mann ) = 1 - P ( Zustimmung Mann ) = 1-0,351 = 0, P ( Zustimmung Frau ) = 1 - P ( Zustimmung Frau ) = 1-0,848 = 0, P ( Frau ) = 1 - P ( Mann ) = 1-0,482 = 0,518 Analytische Entscheidungstabelle: Mann () Frau ( ) Randverteilung: Ablehnung ( Z) P( Z ) = 0,649 P( Z ) = 0,848 Zustimmung (Z) P ( Z ) = 0,351 P ( Z ) = 0,152 P ( Z ) =? P ( Z ) =? Randverteilung: P ( ) = 0,482 P ( ) = 0,518

5 Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 5 Arbeitsschritte: (1) Definition der gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeit: P(Frau Zustimmung) P(Frau Zustimmung) P(Zustimmung) (2) Berechnung der "totalen Wahrscheinlichkeit der Zustimmung": Anwendung des Satzes der "totalen Wahrscheinlichkeit" von Bayes: P(Zustimmung) P(Zustimmung Mann)P(Mann) P(Zustimmung Frau)P(Frau) 0,3510,482 0,1520,518 0,248 (3) Berechnung der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens von Frau und Zustimmung: P(Frau Zustimmung) P(Zustimmung Frau) P(Zustimmung Frau) P(Frau) 0,152 0,518 0,079 (2 und 3) in (1) P(Frau Zustimmung) 0,079 0,248 0,318 Bei einer vorliegenden Zustimmung zum Item "Sexuelles Verhältnis mit einem Türken / einer Türkin denkbar" beträgt die Wahrscheinlichkeit, daß es sich bei der befragten Person um eine Frau handelt, 31,8 %.

6 Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 1 Anwendung des Bayeschen Satzes der a posteriori Wahrscheinlichkeiten": Marktanalyse eines Zeitungsverlages Ein Verlagshaus weiß aus Erfahrung, daß 40 % der männlichen und 30 % der weiblichen Bevölkerung seine Tageszeitung liest. Der Anteil der weiblichen Bevölkerung an der Gesamtbevölkerung beträgt 40 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine aus der Gesamtbevölkerung zufällig ausgewählte Person... a) diese Zeitung liest? b) männlich ist, wenn man weiß, daß die Person diese Zeitung liest? c) diese Zeitung liest und weiblich ist? Was ist uns bekannt? Was ist zu ermitteln? P (Z Mann) = 0,40 a) P ( Z ) =? P (Z Frau) = 0,30 b) P ( Mann Z) =? P (Frau) = 0,40 c) P (Z Frau) =? Mit Hilfe der folgenden Entscheidungstabelle können wir uns die Aufgabenstellung veranschaulichen: keine Zeitung ( Z) Mann 1 - P (Z Mann) = 0,60 Frau 1- P(Z Frau) = 0,70 Zeitung (Z) P ( Z Mann)= 0,40 P ( Mann Z ) =? 1 - P (Frau) = 0,60 P(Z Frau)= 0,30 P (Z) =? P (Frau) = 0,40 a) Mit Hilfe des von Bayes aufgestellten Satzes zur totalen Wahrscheinlichkeit können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, daß eine zufällig ausgewählte Person die Zeitung des Verlagshauses liest. Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit von Bayes: P(Z) P(Z Mann)P(Mann) P(Z Frau)P(Frau) 0,400,60 0,300,40 0,24 0,12 0,36 oder 36,0%

7 Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Institut für Soziologie Dr. Wolfgang Langer 2 b) Mit Hilfe des ebenfalls von Bayes formulierten Satzes zur a posteriori Wahrscheinlichkeit können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, daß es sich bei unserem Zeitungsleser um einen Mann handelt. Anwendung des Satzes der a posteriori Wahrscheinlichkeiten nach Bayes: 1. Arbeitsschritt: Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit P(Mann Zeitung) P(Mann Zeitung) P(Zeitung) 2.Arbeitsschritt: Berechnung von P(Zeitung) P( Zeitung) bereits in a) als totale Wahrscheinlichkeit berechnet: P(Zeitung) P(Z Mann)P(Mann) P(Z Frau)P(Frau) 0,36 3.Arbeitsschritt: P(Mann Zeitung) mit Hilfe des allgemeinen Multiplikationssatzes P(Mann Zeitung) P(Mann Zeitung)P(Zeitung) P(Zeitung Mann)P(Mann) 4.Arbeitsschritt: Einsetzen von (2) und (3) in (1): P(Mann Zeitung) P(Zeitung Mann)P(Mann) P(Zeitung) 0,40 0,60 0,36 0,24 0,36 0,667 Die Wahrscheinlichkeit, daß es sich bei dem Zeitungsleser um einen Mann handelt, beträgt 66,7 %. c) Bei dieser Aufgabe haben wir die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftreten der beiden Ereignisse die Zeitung zu lesen und weiblich zu sein zu berechnen. Da sich beide Ereignisse erstens nicht wechselseitig ausschließen und zweitens sie voneinander abhängig sind, müssen wir den allgemeinen Multiplikationssatz anwenden. Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes: P(Zeitung Frau) P(Zeitung Frau) P(Frau) 0,30 0,40 0,12 oder 12,0% Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für die beiden verbundenen Ereignisse beträgt 12 %.