Stochastische Finanzmärkte

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1 Stochastische Finanzmärkte Thorsten Schmidt 22. Januar 215 Chemnitz University of Technology, Reichenhainer Str. 41, 9126 Chemnitz, Germany. Web: Dieses Skript basiert teilweise auf dem gemeinsam mit Prof. Dr. Rüdiger Frey Universität Wien entwickelten Vorlesungsskriptum Finanzmathematik I

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3 Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen Einführung in die moderne Finanzmathematik Derivative Finanzinstrumente Zinsen und Anleihen Terminverträge Devisen Optionen Wertgrenzen für Optionen ohne Dividenden Wertgrenzen für Optionen mit bekannten Dividenden Optionsstrategien Einperiodenmodell Das Modell mit endlichen Zustandsraum Arbitragefreiheit Arbitragefreiheit und Martingalmaße Vollständigkeit Unvollständige Märkte Preisschranken Superreplikation Kostenminimale Superreplikationsportfolios Mehrperiodenmodelle Modell und grundlegende Begriffe Diskontierte Größen Der erste Hauptsatz Die risikoneutrale Bewertungsformel Der zweite Hauptsatz Das Cox-Ross-Rubinstein Modell Arbitragefreiheit Hedging

4 Inhaltsverzeichnis Europäische Optionen Das Spiegelungsprinzip Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel Konvergenz unter dem historischen Maß Konvergenz unter dem Martingalmaß Die Black-Scholes Formel Eigenschaften von Call- und Putpreisen Das minimale Martingalmaß Das Ein-Perioden Modell Das Mehr-Periodenmodell Amerikanische Optionen Optimales Stoppen Amerikanische Optionen Stochastische Integration Die Doobschen Ungleichungen Die Brownsche Bewegung Einführung Die Definition des Itô-Integrals Die Erweiterung des Itô-Integrals auf Hloc Lokale Martingale Die Itô -Formel Weitere Itô -Formeln Ein erster Blick auf das Black-Scholes Modell Das Girsanov-Theorem Repräsentation von Brownschen Martingalen Stochastische Differentialgleichungen Der Ornstein-Uhlenbeck Prozess Lösungsmethoden für SDEs Koeffizientenvergleich Multiplikativer Ansatz Finanzmärkte in stetiger Zeit Der Finanzmarkt Ein kleiner Exkurs zur Arbitrage Das einfache Black-Scholes Modell Das äquivalente Martingalmaß Pricing von europäischen Optionen Delta-Gamma Hedging

5 Inhaltsverzeichnis 5.4 Die Greeks Schätzen der Volatilität, Implizite Volatilität Kalibrierung eines Modells Homogenität der Black-Scholes Formel Chooser Optionen Optionspreisbewertung mit PDEs Literaturverzeichnis 135 5

6 1. Grundlagen 1.1 Einführung in die moderne Finanzmathematik In der modernen Finanzmathematik, wie sie seit der grundlegenden Arbeit von Black and Scholes 1973 und Delbaen and Schachermayer 1994 verstanden wird, sind die folgenden Fragestellungen von zentraler Bedeutung: Bewertung und Absicherung von Derivaten. Derivate sind Wertpapiere, deren Wert bei Fälligkeit sich vom Preis eines Basisgutes ableitet. Ein gehandeltes Basisgut kann ein anderes Wertpapiere wie Aktien, Devisen, Anleihen oder ein Rohstoff Erdöl, Energiepreise, etc. sein. Es ist aber auch möglich, dass das Basisgut nicht gehandelt wird, wie im im Fall von Zinsen, Indizes oder von Wetter- oder Versicherungsderivaten. Portfoliooptimierung. In diesem Gebiet sucht man eine optimale Zusammenstellung von Portfolios. Es gibt verschiedene Kriterien für Optimalität, etwa ein Portfolio mit geringstem Risiko, oder maximalen Gewinn. Neben diesen zentralen Fragestellung gibt es eine Vielzahl von weiteren, wichtigen Aspekten. An der TU Chemnitz werden unter anderem noch folgende Punkte in unseren Vorlesungen behandelt: Risikomanagement. Im quantitativen Risikomanagement geht es um Messung und geeignete Steuerung von Finanzrisiken. Es gibt enge Bezüge zur Finanzmathematik, jedoch stehen im Risikomanagement vorrangig statistische Fragen und die Betrachtung von aggregierten Portfolios aus sehr vielen Finanzinstrumenten im Vordergrund. Statistik der Finanzmärkte. In dieser Vorlesung geht es um die Analyse von Finanzdaten und die Schätzung von Modellen zur Beschreibung von Finanzdaten. Dieser Aspekt ist zentral in der Anwendung der Finanzmathematischen Modellen und hat damit eine besonders hohe praktische Relevanz. Versicherungsmathematik. Es gibt zahlreiche Berührungspunkte zwischen der Finanzmathematik und der Verischerungsmathematik. So verwenden beide verwandte Methoden der Stochastik, und die Bewertung von Anlagerisiken ist in der Versicherungsbranche von hoher Bedeutung. 6

7 1.2 Derivative Finanzinstrumente Die in dieser Vorlesung verwendeten mathematischen Techniken entstammen der Stochastik Wahrscheinlichkeitstheorie, stochastische Prozesse, Statistik; daneben kommen auch Techniken aus Optimierung, Analysis etwa partielle Differentialgleichungen und Numerik zum Einsatz. Literatur Es gibt mittlerweile eine Vielzahl von guten Einführungen in das Fachgebiet Finanzmathematik, eine Vielzahl ist in Englisch. Das vorliegende Skript orientiert sich an Bingham and Kiesel 24, Shreve 24a, Shreve 24b und Pliska Eine hervorragende Einführung in deutscher Sprache ist Albrecher et al. 29. Ausgezeichnete weiterführende Text sind Föllmer and Schied 24, Delbaen and Schachermayer 26. Die benötigten Hilfsmittel aus der konvexen Analysis und linearen bzw. konvexen Optimierung findet man etwa in Bertsimas and Tsitsiklis 1997 und Bertsekas Derivative Finanzinstrumente Ein derivatives Finanzinstrument ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, dessen Zahlungsströme sich von gewissen Referenzgrößen ableitet. Die Referenzgröße wird Basisgut Underlying genannt und kann gehandelt Aktie oder nicht gehandelt Wetterdaten sein. Es gibt im wesentlichen drei Typen von derivativen Finanzinstrumenten: 1 i Terminverträge ii Swaps iii Optionen Im folgenden werden wir verschieden Beispiele kennenlernen. Wir beginnen mit dem Studium von Zins und Zinseszins Zinsen und Anleihen Wir betrachten zwei Zeitpunkte t und T mit t T. Eine Nullkuponanleihe ist ein Festgeschäft, welches an Maturität T die Auszahlung von einer Geldeinheit verspricht. Der Wert 1 Im September 213 wurden an der EUREX 61,8 Millionen Aktienindexderivate gehandelt allein der Future auf den EURO STOXX 5 wurde 28,1 Millionen mal gehandelt. Aktienbasierte Derivate Aktienoptionen und Single Stock Futures wurden 31,2 Mio. mal gehandelt, davon 18,9 Mio. Aktienoptionen. Auf dem Segment Zins- Derivate wurden 45,8 Mio. Kontrakte gehandelt. Quelle: deutsche-boerse.com. 7

8 1. Grundlagen der Nullkuponanleihe Zero-Cupon Bond an t T wird mit Bt,T, t T bezeichnet. Der Preis Bt,T hat die folgende Eigenschaft: positive Zinsen Bt,T 1 kein Konkursrisiko default risk BT,T = 1. Im folgenden werden wir Bt, T als eine allgemeine Form nutzen, eine Diskontierung von zukünftigen Zahlungen durchzuführen. Nullkuponanleihen werden an Finanzmärkten gehandelt, speziell für relativ kleine Restlaufzeiten T t. Darüber hinaus sind Nullkuponanleihen aber auch ein wichtiges Gedankenkonstrukt etwa bei der Analyse von Zinsmärkten; so lassen sich die Preise der meisten gehandelten Anleihen als Linearkombination der Preise von Nullkuponanleihen darstellen. Die Annahme dass kein Konkursrisiko besteht ist hingegen theoretischer Natur und vereinfacht uns zunächst die Rechnung. Es gibt durchaus negative Zinsen 2. Auf Zins- und Anleihemärkten werden Preise von Nullkuponanleihen häufig nicht direkt angegeben sondern es werden Zinssätze quotiert und dabei unterscheidet man verschiedene Arten von Zinssätzen. Diskrete Verzinsung. Jährliche Verzinsung: Das an t = eingesetzte Kapitel N wird mit dem Zinssatz r verzinst und hat an T N den Wert N 1 + r T. Der zur Nullkuponanleihe Bt,T mit T t N gehörige Zinssatz r = rt,t erfüllt Bt,T = r T t Unterjährige Verzinsung. Die n-fache Verzinsung pro Jahr n N, etwa halb- oder vierteljährlich, wird wieder auf Jahresbasis skaliert. Das an t = eingesetzte Kapital hat an T N bei n-facher unterjähriger Verzinsung mit dem annualisierten Zins r n den Wert N 1 + r n n nt. Der zur Nullkuponanleihe Bt,T mit T t N zugehörige Zinssatz r n = r n t,t erfüllt Bt,T = 1 + r n nt t. 1.2 n 2 Deutschland leiht sich Geld zu negativen Zinsen, FAZ

9 1.2 Derivative Finanzinstrumente Example LIBOR-rates. Ein Spezialfall ist die London Interbank Offered Rate oder der EURIBOR Euro Interbank Offered Rate mit Laufzeit τ = 1 n etwa τ = 1/2 oder τ = 1/4. Eine solche Rate Lt,t + τ erfüllt Bt,t + τ = τ Lt,t + τ. 1.3 In Abbildung wird der Verlauf des EURIBOR für verschiedene Laufzeiten seit 1999 dargestellt. Kontinuierliche Verzinsung. Die stetige Verzinsung ergibt sich als Grenzfall immer feiner werdender Verzinsungen und erleichtert die Zinsrechnung zu beliebigen Zeiten erheblich. Da gilt, 1 + n r n n er, erfüllt die stetige Zinsrate y = yt,t die Gleichung Das bedeutet umgekehrt yt,t = T 1 t lnbt,t. Die Kurve heißt Zinsstrukturkurve im Zeitpunkt t Terminverträge Bt,T = exp y T t. 1.4 T yt,t, T t So genannte Terminverträge Forward Contracts sind die einfachsten Beispiele für derivative Finanzinstrumente. Definition Ein an t geschlossener Terminvertrag verpflichtet den Käufer das Basisgut am Fälligkeitszeitpunkt T > t zum Basispreis K zu kaufen zu verkaufen. Eine Kaufverpflichtung heißt eine Long Position und eine Verkaufverpflichtung eine Short Position. Der Basispreis wird bei Vertragslegung, also bereits an t, festgelegt. Typischerweise wird er so festgelegt, dass das Eingehen der Kaufverpflichtung im Zeitpunkt t kostenlos ist; in diesem Fall nennt man den Basispreis auch Terminpreis. Den Terminpreis für ein Basisgut G im Zeitpunkt t bezeichnen wir mit F G t,t, t T. Der Preis zur Zeit t des Basisguts heißt auch Spot Preis und wir bezeichnen ihn mit Gt, t. 9

10 1. Grundlagen 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% Abbildung 1.1: Tägliche 1 Wochen- grün, 3-Monats- blau, 1 Jahres- rot Euribor-Kurse von Einführung am 1. Januar 1999 bis April 212. Quelle: Wikipedia Der Wert bei Fälligkeit eines Terminvertrages Long Position ist GT K, bei einer Short Position GT K = K GT. Ist der Basispreis als K = F G t,t festgelegt, so macht man bei einem Kaufvertrag einen Gewinn, falls GT > F G t,t. In der Praxis werden Terminverträge auf Wertpapiere und Devisen, aber auch auf Rohstoffe wie Edelmetalle, Rohöl oder Strom abgeschlossen. Terminverträge dienen meist der Risikokontrolle, etwa indem sie Unternehmen helfen, Wechselkursrisiken auszuschließen oder zukünftige Preisschwankungen fixieren. Die Bewertung von Terminverträgen. Ist das Basisgut ein gehandeltes Wertpapier, so lässt sich der Terminpreis wie folgt ermitteln. Man sucht hierbei eine Bewertung welche keine Arbitragemöglichkeiten zulässt. Eine Arbitrage ist ein risikofreier Gewinn welche von Investoren ausgenutzt werden können und sollten sinnvollerweise nicht in einer Bewertung vorhanden sein. Lemma Sei t T und St der Preis eines gehandelten Wertpapiers an t welches in [t, T ] keine Dividenden oder Zinsen auszahlt. Der arbitragefreie Wert des Terminvertrages an t auf das Basisgut S mit Fälligkeit T und Basispreis K ist St Bt,T K. 1

11 1.2 Derivative Finanzinstrumente Der Terminpreis errechnet sich demnach zu F S t,t = St Bt,T. Haben wir nicht-negative Zinsen, ist also Bt,T 1, so gilt F S t,t St. Beweis. Zum Beweis bilden wir die Auszahlung des Terminvertrages durch ein Portfolio aus Wertpapieren und Nullkuponanleihen ab. Den zunächst unbekannten Wert einer long Position im Terminvertrag sei mit x bezeichnet. Portfolio Wert in t Wert in T Kaufe eine Einheit von S St ST Verkaufe K Nullkuponanleihen B, T KBt, T K Short Position in Terminvertrag x ST K St KBt,T x Das betrachtete Portfolio hat in T den Wert, und hat, da wir Zins- und Dividendenzahlungen ausgeschlossen haben, auch keine Zahlungen zu anderen zukünftigen Zeitpunkten oder zumindest nicht in [t,t. In einem arbitragefreien Markt muss also auch der heutige Wert des Portfolios gleich Null sein. Es folgt x = St KBt,T. Das im Beweis von Lemma verwendete Portfolioargument wird auch als Cash-and- Carry Arbitrage bezeichnet: Ist der Terminpreis zu hoch, so verkauft der Arbitrageur den Terminvertrag und erhält Cash und kauft gleichzeitig das Basisgut, welches er bis zum Laufzeitende hält Carry. In der Praxis ist diese Strategie nicht ganz risikofrei: Es könnte sein dass die Gegenseite des Vertrages seinen Verpflichtungen nicht nachkommen kann. Wird der Terminvertrag an der Börse gehandelt, so entfällt dieses Risiko, der Käufer muss allerdings täglich Verluste in seinen Positionen ausgleichen und es entsteht ein Liquiditätsrisiko. Ganz genau werden diese Blickpunkte in unserer späteren Diskussion über Arbitrage und Handelsstrategien erläutert Devisen Betrachtet man einen Markt mit unterschiedlichen Währungen, so kann man Anleihen in verschiedenen Devisen handeln und es gibt einen Wechselkurs. Als Beispiel betrachten wir Euro und Dollarmärkte. Mit Et bezeichnen wir den Wechselkurs an t Betrag in Euro für einen 11

12 1. Grundlagen Dollar. Weiterhin sei B d t,t der Preis einer Nullkuponanleihe im inländischen Markt Domestic, also in EUR und B f t,t sei der Preis einer Nullkuponanleihe im ausländischen Markt Foreign, also in Dollar. Erwartet man an T ein Zahlung N in Dollar und möchte diesen in EUR tauschen, so erhält man N ET. Da ET noch nicht bekannt ist, hat man ein Wechselkursrisiko, welches man mit einem Terminvertrag absichern kann: Wir suchen den Terminpreis eines Terminvertrages, der ET auszahlt, welcher in folgendem Lemma berechnet wird. Lemma Für jedes t T ist der arbitragefreie Terminpreis auf das Basisgut E Wechselkurs F E t,t = Et B f t,t B d t,t. 1.5 Beweis. Zunächst einmal ist B d t,t >, da ansonsten eine Arbitragemöglichkeit existierte Kaufe B d t,t für und erhalte einen Dollar an T. Wir verwenden wieder ein Portfolioargument 3 : Portfolio Wert in t in e Wert in T in e Kaufe B f t,t EtB f t,t ET Verkaufe Et B f t,t B d t,t Nullkuponanleihen EtB f t,t EtB f t,t B d t,t Short Position im Terminvertrag ET F E t,t F E t,t Et B f t,t B d t,t Der Wert des Portfolios an t ist Null, und muss also auch an T Null sein, um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen. Die Behauptung folgt. Darüber hinaus ist F E t,t auch der einzige Preis, der Arbitragemöglichkeiten ausschließt: Ist etwa F E t,t ω Etω B f t,t ω B d t,t ω größer Null, so ist dies zum Zeitpunkt t bereits bekannt. Der Arbitrageur kauft das obige Portfolio und erhält an T einen positiven Gewinn. Ist der Wert kleiner Null, so verkauft der Arbitrageur das Portfolio und erhält ebenso einen positiven Gewinn. 3 Das Short-Selling von Anleihen bedeutet, dass man sich EtB f t,t Geldeinheiten Inland leiht. Diese verzinsen sich zu EtB f t,t. B d t,t 12

13 1.3 Optionen 1.3 Optionen In diesem Abschnitt betrachten wir ein Finanzgut etwa eine Aktie, einen Zinssatz oder einen Wechselkurs und lernen Calls und Puts kennen. Definition Eine europäische Call Put Option ist das Recht, das Basisgut an T t zum Preis K zu kaufen zu verkaufen. Eine amerikanische Call Put Option ist das Recht, das Basisgut an jedem Zeitpunkt bis T zum Preis K zu kaufen zu verkaufen. Wir nennen K den Ausübungspreis Strike und T t Restlaufzeit. Man beachte, dass im Gegensatz zu einem Termingeschäft nicht Verpflichtung besteht, das Basisgut zu kaufen oder zu verkaufen. Den Preisprozess des Basisgutes bezeichnen wir mit St, t. Wir betrachten zunächst die Call Option. Ein rationaler Investor wird das Optionsrecht nur ausüben, falls ST > K anderenfalls kann er die Aktie billiger am Markt kaufen; in diesem Fall erzielt er einen Gewinn in Höhe von ST K. So ergibt sich der Wert der Call Option an T als CT = max{st K,} =: ST K Ganz analog ergibt sich für den Endwert der Put Option PT = max{k ST,} =: K ST +. Beide Funktionen werden in Abbildung 1.2 illustriert. B 1.1 Absichern eines Aktiendepots mit Put Optionen: Eine Anlegerin hält an t = 1 Akien im Depot mit Kurs S. Sie möchte vermeiden, dass der Wert der Aktienposition an T = 1 unter den Ausganswert A := 1S fällt. Hierzu geht sie wie folgt vor: Sie kauft 1 europäische Put Optionen auf die Aktie mit Ausübungspreis K = S. Dies ergibt an T = 1 den Wert 1S1 + 1S1 + S S1 = 1S falls S1 > S falls S1 < S. Somit hat das Portfolio mindestens den Wert A. Allerdings ist zu Beginn die Zahlung der Optionsprämie erforderlich. B 1.2 Absichern eines Wechselkursrisikos: Eine Firma erhält auf ihre Lieferung in einem Monat eine Zahlung von 1 Mio USD. Wie kann sie das Wechselkursrisiko absichern. Sei dazu E =.75 der heutige Wechselkurs USD/EUR und ET derjenige in einem Monat. Zur Vereinfachung seien die USD und EUR-Zinsen gleich Null dann ist der Terminpreis F E,T = E =.75 nach Lemma Betrachte nun die folgenden Strategien: Str. : Mache gar nichts, Str. 1: Kaufe 1 Mio. USD auf Termin mit Basispreis E =.75, 13

14 1. Grundlagen C T P T K K S T K S T Abbildung 1.2: Auszahlungsschemata von Call links und Put rechts. Str. 2: Kaufe 1 Mio. Puts zum Preis P auf USD mit Fälligkeit T und Basispeis K =.75. Werte der Strategien in EUR in einem Monat: E1 =.8 USD steigt E1 =.7 USD fällt Str..8 Mio..7 Mio. Str Mio..75 Mio. Str. 2.8 P 1 Mio P 1 Mio. Das Termingeschäft bietet Schutz bei fallendem Dollar, ist aber riskant bei steigendem Dollarkurs. Die Option bietet immer Schutz gegen Verluste, dafür ist aber heute eine Prämienzahlung fällig. Eine Antwort darauf, welches die beste Absicherungsstrategie ist, hängt ganz stark von der Situation der Firma ab Wertgrenzen für Optionen ohne Dividenden Zunächst kann man lediglich unter der Annahme der Arbitragefreiheit 4 ganz allgemein obere und untere Grenzen für den Wert von Optionen auf Aktien bestimmen. In diesem Abschnitt 4 In diesem Abschnitt verwenden wir einfache Portfolioargumente um die praktische Anwendbarkeit zu unterstreichen und Intuition aufzubauen. Genaue Definitionen und mathematisch exakte Beweise folgen. 14

15 1.3 Optionen Abbildung 1.3: EUR-USD Wechselkurs. Quelle: machen wir zunächst die Annahme, dass die Aktie im beobachteten Zeitraum keine Dividenden zahlt, was wir im nächsten Abschnitt verallgemeinern werden. Die Auszahlung eines europäischen Calls auf eine Aktie mit Preisprozess St, t am Fälligkeitszeitpunkt T ist ST K +, und für die eines europäischen Puts K ST +, was den exakten Wert der Option unter Arbitragefreiheit festlegt. Folgendes Resultat bestimmt allgemeine Schranken für den Preis des Calls. Die Grenzen sind in Abbildung 1.4 illustriert. Lemma Sei t T. Für den Wert des europäischen Calls Ct mit Ausübungspreis K auf eine Aktie S, welche in [t,t ] keine Dividende zahlt, gilt St KBt,T + Ct St. 1.7 Beweis. Wir zeigen zunächst Ct St und danach Ct St KBt, T. i Ct St. Wir nehmen an, dass Ct > St und erhalten eine Arbitrage: 15

16 1. Grundlagen Portfolio Wert in t Wert in T, falls: ST K ST > K Verkaufe Call Ct ST K Kaufe Aktie St ST ST St Ct < ST > K > Investiert man in diese Strategie, so erhält man also zu Beginn den positiven Betrag Ct St und an T ebenfalls einen positiven Betrag, so dass dies eine Arbitragestrategie ist. Es folgt, dass Ct > St nicht gelten kann. ii Ct St KBt,T. Zunächst ist Ct. Wir nehmen an, dass Ct < St KBt,T und erhalten wieder eine Arbitrage: Portfolio Wert in t Wert in T, falls: ST K ST > K Kaufe Call Ct ST K Kaufe K Nullkuponanleihen KBt, T K K Verkaufe Aktie St ST ST < K ST Diese Strategie offeriert also zur Zeit t einen positiven Betrag und zur Zeit T keine Ausgabe, ist also eine Arbitrage. Es folgt die Behauptung. Es ist interessant, sich die untere Grenze genauer anzusehen. heißt, dass man den Call- Preis in zwei Teile zerlegen kann: Ct = St KBt,T + x, x. Das folgende Lemma zeigt, dass x gerade durch die Prämie für einen Put gegeben ist. Lemma Put-Call Parität. Für den Preis eines europäischen Calls und eines europäischen Puts mit gleichen Merkmalen auf eine Aktie ohne Dividendenzahlung gilt unter Arbitragefreiheit, dass Ct = St KBt,T + Pt, t T

17 1.3 Optionen S Ke rt t S Ke rt t t t Abbildung 1.4: Die Wertgrenzen S und S Ke rt t für S = 5 links und S = 1 rechts mit festem T = 1, K = 1 und r =.2. Beweis. Die Idee ist, zwei Portfolios zu bestimmen, die in T den gleichen Wert haben und im Zeitintervall t, T keine Auszahlungen haben. Unter Arbitragefreiheit müssen sie dann auch zu jedem anderen Zeitpunkt den gleichen Wert haben. Portfolio 1 Wert in t Wert in T ST K ST > K Kaufe Call Ct CT = CT = ST K Kaufe K Nullkuponanleihen KBt, T K K Ct + KBt,T max{st,k} Portfolio 2 Kaufe Put Pt P T = K ST P T = Kaufe Aktie St ST ST Pt + St max{st,k} Da beide Portfolios den gleichen Endwert haben, müssen auch ihre Anfangswerte übereinstim- 17

18 1. Grundlagen men und die Behauptung folgt. Es ist überraschend, welche weitreichende Konsequenzen Lemma hat: Wir erhalten eine direkte Bewertung für den amerikanischen Call. Mit C A t, P A t bezeichnen wir den Wert eines amerikanischen Calls bzw. Puts. Satz Satz von Merton. Die Zinsen seien nicht negativ, d.h. Bt,T 1 für alle t T. Zahlt eine Aktie in [t,t ] keine Dividenden, so ist es nie optimal, einen amerikanischen Call vorzeitig auszuüben und es gilt C A t = Ct, t T. 1.9 Beweis. Zunächst einmal ist klar, dass C A t Ct. Angenommen, der amerikanische Call wird vorzeitig ausgeübt, etwa zum Zeitpunkt τ < T. Der Inhaber erhält Sτ K +. Allerdings gilt für den Wert der europäischen Option Cτ Sτ KBτ,T und Cτ ist damit strikt größer als der Ausübungswert des amerikanischen Calls. Wir erhalten Cτ A Cτ Sτ KBτ,T Sτ K. Also hat der Ausübende weniger Geld erhalten, als sein Call zu dieser Zeit am Markt wert war. Demnach lohnt es sich nicht, ihn vorzeitig auszuüben. Im wesentlichen beruht der Satz von Merton darauf, dass der Ausübungswert K weiter verzinst wird, und man bei vorzeitigem Ausüben diesen unter unseren Annahmen positiven Zins verlieren würde. Bemerkenswerterweise ist das beim amerikanischen Put genau umgekehrt, so dass sich vorzeitiges Ausüben lohnen kann. Ebenso verhält es sich im Fall, wenn die Aktie eine Dividende zahlt. Zunächst leiten wir die Put-Call Relation für amerikanische Optionen her. Im Gegensatz zur Put-Call Parität für europäische Optionen erhalten wir nun eine Ungleichung. Für t = T erhalten wir eine Gleichung, und mit immer größer werdender Restlaufzeit werden die Ungleichungen unschärfer. Das ist zu erwarten, denn die Möglichkeit, vorzeitig auszuüben ergibt für kleine Restlaufzeiten wenig Gewinnpotential, während für große Restlaufzeiten ein großer Unterschied möglich ist. Bemerkenswert ist ebenso, dass man für verschwindende Zinsen, also Bt,T = 1, die Put-Call Parität 1.8 als Spezialfall erhält. Lemma Put-Call Relation. Die Zinsen seien nicht negativ, d.h. Bt,T 1 für alle t T. Für den Preis eines amerikanischen Calls und eines amerikanischen Puts mit gleichen Merkmalen auf eine Aktie ohne Dividendenzahlung gilt unter Arbitragefreiheit, dass St K C A t P A t St KBt,T, t T

19 1.3 Optionen Beweis. Offensichtlich ist P A t Pt. Aus der Put-Call Parität für europäische Optionen erhalten wir Ct Pt = St KBt, T und mit Satz C A t P A t = Ct P A t Ct Pt. Damit folgt die rechte Seite von 1.1 aus Gleichung 1.8. Für die linke Seite zeigen wir St+P A t C A t+k. Hierbei ist C A t = Ct. Wir wählen eine beliebigen, aber festen Zeitpunkt τ t,t ]. Für τ = T erhalten wir Ausübung an Maturität, also das Auszahlungsprofil eines europäischen Puts. In der Handelsstrategie von Portfolio 1 wird man den Betrag K auf ein Bankkonto einzahlen. Dieses Bankkonto wird mit einem risikolosen aber möglicherweise zufälligem Zinssatz verzinst. Unter unserer Annahme von nichtnegativen Zinsen hat der Betrag K hat an einem späteren Zeitpunkt τ > t einen gestiegenen Wert, den wir mit Kβ K bezeichnen. Wir betrachten die folgenden beiden Portfolios Portfolio 1 Wert in t Wert in τ t, T ] Kaufe am. Call C A t = Ct C A τ = Cτ Zahle K auf Bankkonto K Kβ Ct + K Cτ + Kβ Portfolio 2 Kaufe am. Put und P A t K Sτ + übe ihn in τ aus Kaufe Aktie St Sτ P A t + St Sτ + K Sτ + = max{sτ,k} Für den Wert von Portfolio 1 gilt im Zeitpunkt τ t,t ] Cτ + Kβ Cτ + K Sτ KBτ,T + + K Sτ K + + K = maxsτ,k. Somit ist der Wert von Portfolio 1 an jedem Ausübungszeitpunkt inklusive Maturität T größer oder gleich dem Wert von Portfolio 2 und somit aus Arbitragegründen auch an t Wertgrenzen für Optionen mit bekannten Dividenden Für eine kurze Laufzeit kann man die Dividenden recht präzise vorhersagen. Wir studieren in diesem Abschnitt den vereinfachten Fall, dass der Wert der zukünftig auszuzahlenden Dividen- 19

20 1. Grundlagen den bis Maturität bekannt ist. Eine Bewertung allgemeinerer Zahlungsströme ist Standard in der Literatur über Zinsmärkte und wir verweisen auf das tolle Buch Filipović 29. Die Zeitpunkte an welchen Dividenden gezahlt werden seien T 1,...,T n und die zu zahlenden Dividenden D 1,...,D n. Die Summe der auf t abdiskontierten Dividendenauszahlungen ist Man erhält unmittelbar Dt,T := n i=1 1 {t Ti T }D i Bt,T i. Ct St Dt,T KBt,T, 1.11 indem man die vorigen Ergebnisse auf St Dt,T anwendet. Für den amerikanischen Call wird es möglicherweise optimal sein, an Dividendenzeitpunkten auszuüben, vgl. Hull 1993, Kapitel 1. Betrachten wir eine mögliche Ausübung an einem Dividendenzeitpunkt T i. Ausüben wird man nur, falls ST i > K. Genau genommen, wird man direkt vor der Dividendenzahlung ausüben. Den Wert der Aktie bezeichnet man dann mit ST i, wobei diese Notation noch einmal explizit auf den linken Grenzwert hinweist, ST i := lim t Ti St. Die Auszahlung durch Ausüben ist dann gerade ST i K. Allerdings gilt ebenso für den Preis des Calls an T i, also nach Auszahlung der Dividende: C A T i CT i ST i D i KBT i,t. Ist der Preis höher als die Auszahlung durch Ausüben, so ist es natürlich nicht optimal auszuüben. D.h. es ist nicht optimal auszuüben, falls D i K 1 BT i,t. Es lässt sich zeigen, dass im Fall D i > K 1 BT i,t Ausüben immer optimal ist Optionsstrategien Aus Kombinationen von Optionen lassen sich reichhaltige Auszahlungsprofile erstellen, welche in Finanzprodukten vielfach zum Einsatz kommen. Wir stellen einige einfache Beispiele vor. Der Preis einer europäischen Option hängt von einer Reihe von Einflußgrößen ab, wie im späteren Teil der Vorlesung Black-Scholes Modell noch gezeigt wird. Die Abbildung 1.5 illustriert die Abhängigkeit von der Restlaufzeit und dem aktuellen Kurs der zugrunde liegenden Aktie. 2

21 1.3 Optionen C K 1 K 2 S Abbildung 1.5: Calls im Black-Scholes Modell mit unterschiedlichen Restlaufzeiten. Kombinationen Ein Portfolio aus europäischen Calls und Puts mit gleichen oder unterschiedlichen Merkmalen wird durch sein Auszahlungsprofil beschrieben. Es entstehen eine Vielzahl von möglichen Profilen und die Kombination aus jeweils ± Call ± Put ± Asset oder Vielfachen der genannten Positionen. Bull-Call-Spread + CallK 1 CallK 2 mit K 1 < K 2 Bear-Call-Spread vertausche K 1 und K 2. Straddle + Call und + Put mit gleichem K Strangle + CallK 2 + PutK 1 mit K 1 < K 2 Butterfly + CallK 1 2 CallK 2 + CallK 3. 21

22 1. Grundlagen C C K 1 K 2 K 1 S S C C K 1 K 2 K 1 K 2 K 3 S S Abbildung 1.6: Bull-Call-Spread, Straddle, Strangle und Butterfly. 22

23 2. Einperiodenmodelle zur Wertpapierbewertung Die Analyse von Finanzmärkten beginnen wir zunächst in einem Modell mit nur einer Zeitperiode. Durch rekursives Zusammensetzen erhält man im Folgenden die wichtigen Mehrperiodenmodelle. 2.1 Das Modell mit endlichen Zustandsraum Für unser Modell betrachten wir einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Wir gehen von zwei Zeitpunkten aus, welche wir mit und T bezeichnen. Der Handel von Wertpapieren findet zu Beginn der Periode, also an t = statt. Die Wertpapiere werden bis zum Zeipunkt T gehalten und dann verkauft. Die entstehenden Gewinne bzw. Verluste sind zufällig. Wir werden vektorwertige Zufallsvariablen an den Zeitpunkten und T betrachten und schreiben deswegen S = S 1,...,S N für einen Vektor S; S und S T sind die Werte eines stochastischen Prozesses an und T, so dass S = S 1,...,SN gilt. Für Vektoren, die nicht die Werte von stochastischen Prozessen sind schreiben klassisch x 1,...,x k. Wir nehmen an, dass es nur endliche viele Zustände gibt und Ω = {ω 1,...,ω K }. Obwohl dies eine starke Vereinfachung ist, werden wir in der Lage sein, alle wichtigen Resultate in ausreichender Tiefe, allerdings ohne hohen technischen Aufwand, zu diskutieren. Wir nehmen darüber hinaus an, dass P{ω k } > für alle k {1,...,K}. Wir können jede Zufallsvariable auf einem endlichen Grundraum mit dem Vektor der angenommenen Werte X k := Xω k, 1 k K identifizieren. Somit ist diese Zufallsvariable durch einen K-dimensionalen Vektor Xgegeben, was wir im Folgenden manchmal nutzen werden. Marktteilnehmer können zur Zeit Wertpapiere kaufen und an T verkaufen. Eine andere Möglichkeit, Geld zu transferieren gibt es nicht. Wir nehmen an, dass N Wertpapiere gehandelt werden. Die Auszahlung des n-ten Wertpapiers ist eine Zufallsvariable, welche wir mit S n T bezeichnen. Ihr Wert im Zustand ω k ist S n T ω k, 1 n N,1 k K. 23

24 2. Einperiodenmodell Die Auszahlungsmatrix fasst die Auszahlungen aller Wertpapiere in allen möglichen Zuständen zusammen und ist eine K N Matrix, welche wir mit D bezeichnen, gegeben durch ST 1 ω 1 ST Nω 1 D = ST 1 ω K ST Nω K Die Matrix D ist eindeutig durch die Zufallsvariable S T beschrieben und umgekehrt, so dass wir beide synonym verwenden. Zur Zeit entscheidet der Investor, welche Wertpapiere sie kaufen will. Auch negative Positionen sind erlaubt, sogenannte Leerverkäufe short-selling, d.h. ein Marktteilnehmer hat die Möglichkeit in Wertpapieren negative Positionen zu beziehen. Ebenso kann er beliebig stückeln und beispielsweise 1/3 Aktien kaufen. Formal beschreiben wir die Position eines Investors durch einen Vektor θ = θ 1,...,θ N R N. Dabei ist θ n die Anzahl der n-ten Wertpapiere im Portfolio. Ist θ n < spricht man von einer Short Position in Wertpapier n, im Fall θ n > entsprechend von einer Long Position. Erreichbare Auszahlungen und Marktvollständigkeit. Die Auszahlung oder der Wert des Portfolios θ ist wieder eine Zufallsvariable, welche wir mit V θ T bezeichnen. Der Wert des Portfolios an T ist gegeben durch die Summe der einzelnen Auszahlungen, also V θ N T = θ n ST n = θ, A. n=1 Definition Ein bedingter Anspruch ist eine Zufallsvariable X. Sie heißt erreichbar, falls ein Portfolio θ existiert, so dass X = V θ T. Das Portfolio θ heißt Replikationsportfolio von X. Im Englischen spricht man bei einer bedingten Auszahlung von einem Contingent Claim. Ein erreichbarer bedingter Anspruch lässt sich also exakt durch ein Portfolio von Wertpapieren nachbilden. Das ist zum Beispiel für jedes gehandelte Wertpapier selbst der Fall. B 2.1 Binomialmodell: Wir betrachten ein Modell mit zwei Wertpapieren, Nullkuponanleihe und Aktie. Es gebe zwei Möglichkeiten für den Aktienkurs in T, und zwar 12 und 18. Die Auszahlungsmatrix ist somit gegeben durch D = 1 18,

25 2.2 Arbitragefreiheit wobei die erste Spalte der Auszahlung der Nullkuponanleihe und die zweite Spalte der Auszahlung der Aktie entspricht. Es soll eine Call Option auf die Aktie mit Ausübungspreis K = 15 und Fälligkeit T bewertet werden. Der zugehörige Auszahlungsvektor ist C = 3,. Die Auszahlung des Calls ist erreichbar, falls das lineare Gleichungssystem Dθ = C eine Lösung hat, d.h. falls es θ 1,θ 2 gibt, die das Gleichungssystem θ θ 2 = 3 θ θ 2 = lösen. Dies ist der Fall für θ 1 = 6, θ 2 = 1/2. Wir erhalten in der Tat ein Replikationsportfolio durch eine Short Position von 6 Nullkuponanleihen und eine Long Position von.5 Aktien. B 2.2 Trinomialmodell: Nun betrachten wir drei Möglichkeiten für den Wert der Aktie an T : 12, 15 und 18. Die Auszahlungsmatrix hat in diesem Fall folgende Form: 1 18 D = und der Call hat in T die Auszahlung C = 3,,. Das Gleichungssystem Dθ = C hat in diesem Fall keine Lösung: θ θ 2 = θ θ 2 = 2.2 θ θ 2 =. 2.3 Aus dem vorigen Beispiel wissen wir, dass 2.1 und 2.3 auf θ 1 = 6,θ 2 = 1/2 führen. Setzen wir diese Werte in 2.2 ein, so erhalten wir 6 + 1/2 15 = Der Call ist also nicht erreichbar. Definition Ein Markt heißt vollständig, falls jede bedingte Auszahlung erreichbar ist. Remark Da der Rang einer Matrix gleich der Dimension des Bildraums ist, ist ein Modell mit Auszahlungsmatrix D genau dann vollständig, wenn der Rang von D gleich K ist. Insbesondere muss also N K gelten, d.h. es gibt mindestens so viele handelbare Wertpapiere wie Zustände Elementarereignisse. 2.2 Arbitragefreiheit In diesem Abschnitt wird der Begriff Arbitrage präzise definiert und Kriterien bestimmt, die einen arbitragefreien Markt charakterisieren. 25

26 2. Einperiodenmodell Arbitragefreiheit und Martingalmaße Für den Kauf von Wertpapieren zur Zeit ist ein jeweils ein Preis zu zahlen. Wir bezeichnen den Preis des n-ten Wertpapiers mit S n, 1 n N. Der Vekor S = S 1,...,SN fasst diese zusammen. Der Preis eines Portfolios θ bzw. sein Wert im Zeitpunkt ist gerade V θ N := S, θ = S n θ n. 2.4 n=1 In dieser Modellstruktur ist ein Markt vollständig durch das Paar S, S T oder durch den stochastischen Prozess S = S, S T beschrieben. Uns interessiert nun die Frage, welche Preisvektoren bei gegebener Auszahlungsmatrix keine Arbitrage zulassen. Mit, bezeichnen wir das Skalarprodukt im R N. Definition Eine Arbitragemöglichkeit ist ein Portfolio θ, so dass i V θ = S, θ, ii V θ T = S T, θ, iii entweder ist V θ <, oder es gibt ein k {1,...,K} mit V θ T ω k >. Ein Markt heißt arbitragefrei, wenn es keine Arbitragemöglichkeit gibt. Eine Arbitragemöglichkeit ist demnach ein Portfolio, für welches zunächst der Preis Null oder negativ und die Auszahlung Null oder positiv ist. Allerdings ist entweder der Kaufpreis echt verschieden von Null oder der Wert an T mit positiver Wahrscheinlichkeit echt positiv. Risikolose Portfolios. Gibt es auf dem Markt ein Portfolio θ welches die Auszahlung 1 erreicht, also V θ T = 1, so nennen wir das Portfolio risikolos und normiert Vielfache hiervon nennen wir einfach risikolos. Existiert ein derartiges Portfolio, so ist der Preis der Nullkuponanleihe in t = durch B,T = S, θ = e r T gegeben, so dass wir einen Einperiodenzinssatz r durch die Gleichung r = 1 T ln S, θ erhalten. Ein Markt mit risikolosen Wertpapier ist durch das Paar S, r beschrieben und wir betrachten in diesem Abschnitt stets einen solchen Markt. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q heißt äquivalent zu P falls QA = genau dann gilt, wenn PA = für alle A F. 26

27 2.2 Arbitragefreiheit Definition Ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q heißt risikoneutral für den Markt S,r, falls für jede erreichbare Auszahlung X = V θ T gilt, dass 1 V θ = e r T E Q [V θ T ]. 2.5 Die Bewertungsregel 2.5 heißt risikoneutrale Bewertungsregel. Das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß wird oft auch als Martingalmaß bezeichnet, da die abdiskontierten Auszahlungen der gehandelten Wertpapiere unter Q Martingale sind, was wir im Mehrperiodenmodell noch zeigen werden. Die Wahrscheinlichkeiten Q{ω k } sind durch die Marktstruktur S und S T festgelegt und sind typischerweise verschieden von den realen Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustände, P{ω k }. Der Name risikoneutral kommt daher, dass diese Wahrscheinlichkeiten gerade den Erwartungen eines risikoneutralen Investors entsprechen, die mit dem Preissystem S in Einklang stehen. Die risikoneutrale Bewertungsregel erlaubt es, Preise erreichbarer Auszahlungen analog zu aktuariellen versicherungsmathematischen Bewertungsregeln als Erwartungswert der abdiskontierten Endauszahlung zu berechnen. Im Unterschied zu einer aktuariellen Bewertung wird allerdings mit dem risikoneutralen Maß Q und nicht mit dem realen Maß P gearbeitet. Lemma Ein zu P äquivalentes Maß Q ist genau dann risikoneutral, falls Beweis. Zunächst folgt aus 2.6, dass V θ = S n = e r T E Q [S n T ], 1 n N. 2.6 N n=1θ n S n N = θ n e r T E Q [ST n ] = e r T E Q [ θ, S T ] = e r T E Q [V θ T ] n=1 und Q ist risikoneutrales Maß. Umgekehrt erhalten wir aus 2.5 direkt 2.6 wenn für θ die Einheitsvektoren auf dem R n gewählt werden. Das folgende Resultat ist der 1. Hauptsatz der Wertpapierbewertung. Wie zuvor betrachten wir einen Markt mit risikolosem Wertpapier S,r. Theorem Der Markt S,r ist genau dann arbitragefrei, falls ein risikoneutrales Maß Q existiert. Wir beweisen in dem Kapitel über Mehrperiodenmodelle einen deutlich allgemeineren Satz und verweisen an dieser Stelle darauf. 1 Mit E Q [ ] = dq bezeichen wir den Erwartungswert unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß Q. 27

28 2. Einperiodenmodell B 2.3 Arbitragefreiheit: Wir betrachten einen Wertpapiermarkt mit 3 Wertpapieren und 2 Zuständen auf dem 1 S = , D = gilt. Zunächst erhalten wir aus dem ersten Wertpapier r =. Wir wollen zeigen, dass der durch S,r gegebene Wertpapiermarkt arbitragefrei ist. Nach dem ersten Hauptsatz, Satz müssen wir zeigen, dass es ein äquivalentes risikoneutrales Maß gibt. Wir verwenden Gleichung 2.6 und erhalten 15 = 18q q 15 = 3q + 1 q mit den Wahrscheinlichkeiten q = Q{ω 1 } und 1 q = Q{ω 2 }. Mit q = 1/2 ist das Gleichungssystem gelöst und der Markt ist demnach frei von Arbitrage. Bemerkenswert ist, dass es nur genau ein risikoneutrales Maß gibt. Bewertung von erreichbaren Auszahlungen. Für eine erreichbare Auszahlung gibt es stets ein Replikationsportfolio θ. Der folgende Satz zeigt, dass in einem arbitragefreien Markt der Preis der erreichbaren Auszahlung eindeutig gegeben ist durch den Preis des Replikationsportfolios. Proposition Sei S,r ein arbitragefreier Markt mit N Wertpapieren und ST N+1 := V θ T eine erreichbare Auszahlung mit Replikationsportfolio θ. Wir definieren S T = S T,ST N+1 und S = S,S N+1. Der Markt S, S T,r ist arbitragefrei genau dann, wenn S N+1 = V θ = θ, S. Beweis. Ist S,r arbitragefrei, so existiert ein risikoneutrales Maß Q. Da S N+1 N = θ, S = θ n e r T E Q [ST n ] n=1 = e r T E Q[ θ, S T ] = e r T E Q [ST N+1 ], ist Q auch risikoneutrales Maß für den Markt S, S T,r. Ist umgekehrt S, S T,r arbitragefrei, so existiert ein risikoneutrales Maß Q, so dass nach Lemma S n = e r T E Q [S n T ], 1 n N + 1, also insbesondere gilt diese Gleichung für 1 n N und somit ist Q auch risikoneutrales Maß für S,S T,r und die Behauptung folgt. 28

29 2.3 Vollständigkeit Zeigen Sie als Übungsaufgabe, dass die Menge der äquivalenten risikoneutralen Maße konvex ist. 2.3 Vollständigkeit Gemäß Definition heißt ein Markt vollständig, wenn jede bedingte Auszahlung erreichbar ist. Wir werden sehen, dass dies gleichbedeutend mit der Eindeutigkeit des risikoneutralen Maßes ist. Dies ist der 2. Hauptsatz der Wertpapierbewertung. Theorem Sei S, r ein arbitragefreier Markt. Diseser Markt vollständig genau dann, wenn es nur ein risikoneutrales Maß gibt. Den Beweis des Theorems werden wir im nächsten Abschnitt führen. B 2.4 Trinomialmodell: Wir betrachten das Modell aus Beispiel 2.1, 1 18 S T = und S = Wie gezeigt, handelt es sich um einen unvollständigen Markt und im folgenden bestimmen wir alle Martingalmaße: 18q q q 1 q 2 = 15, q 1, q 2,1. Alle Lösungen erfüllen 2q 1 + q 2 = 1, und somit erhalten wir alle Martingalmaße durch Q{ω 2 } = 1 2Q{ω 1 } mit Q{ω 1 },.5 und Q{ω 3 } = 1 Q{ω 1 } Q{ω 2 }. Fügen wir einen Call hinzu, etwa mit Preis 15 und Auszahlung 3,, so ist der Markt vollständig! 2.4 Unvollständige Märkte In diesem Kapitel betrachten wir einen unvollständigen arbitragefreien Markt mit risikolosem Wertpapier. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass das erste Wertpapier eine Nullkuponanleihe ist, d. h. S 1 = e rt und ST 1 = 1. Für eine nicht erreichbare bedingte Auszahlung X etwa eine Option stellen sich zwei Fragen. 29

30 2. Einperiodenmodell Wie kann ein Verkäufer das mit dem Verkauf von X verbundene Risiko durch Wahl eines geeigneten Portfolios θ reduzieren oder ganz absichern? Man spricht von Absicherung eines Derivats Hedging. Für erreichbare Auszahlungen ist der Preis eindeutig. Können für nicht erreichbare Auszahlungen zumindest Preisschranken angegeben werden? Preisschranken Wir beginnen mit der zweiten Fragestellung. Hier haben wir folgendes, allgemeines Ergebnis. Mit M := {Q P : Q ist risikoneutral} bezeichnen wir die Menge aller risikoneutralen Maße. Für einen bedingten Anspruch X definieren wir X := sup E Q [X] und X := inf Q M Q M EQ [X] und die Menge der arbitragefreien Preise, ΠX := { e r T E Q [X] : Q M }. Wie in Satz folgt, dass jeder Preis in ΠX zu einem arbitragefreien Markt erweitert um das Wertpapier X führt. Proposition Sei S, r ein arbitragefreier Markt und X eine bedingte Auszahlung. Ist X nicht erreichbar, so gilt X < X und kein Preis in dem offenen Intervall X,X ermöglicht eine Arbitrage. Beweis. Zunächst einmal ist die Menge M der risikoneutralen Maße konvex und nicht leer. Damit ist ΠX ebenfalls konvex und nicht leer, also ein Intervall mit den Grenzen X und X. Das Intervall ist offen, falls die Randpunkt nicht in ihm enthalten sind, was wir nun zeigen. Der Markt besitzt ein risikoloses Wertpapier. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass S 1 T 1. Dann ist nach Definition S1 = e rt. Wir nutzen einfache Hilfsmittel aus der linearen Algebra und stellen eine Zufallsvariable jeweils als Vektor dar. Ist X nicht erreichbar, so gilt X Dθ für alle θ R N. Dann existiert aber die Projektion von X auf den von Dθ aufgespannten linearen Raum L = {Dθ : θ R N }, also ein θ, so dass Y := X Dθ L. Damit ist Y,Dθ = D Y, θ = für alle θ R N, also D Y =. 3

31 2.4 Unvollständige Märkte Ziel ist es ein neues risikoneutrales Maß zu konstruieren. Zunächst definieren wir q durch q k := Q{ω k } und wählen b > so klein, dass w k := q k + by k >, 1 k K; da Q{ω k } > für alle k {1,...,K} ist dies möglich. Dann gilt D w = D q + by = D q = S. Außerdem gilt, dass S 1 T ω k = 1 und S 1 = e rt, so dass K ST 1 ω k w k = w k = e rt. k=1 k=1 Wir erhalten, dass durch Q {ω k } := w k e rt ein von Q verschiedenes risikoneutrales Maß definiert ist. Der Preis von X unter Q ist verschieden vom Preis unter Q, wie man leicht nachrechnet. Nun können wir den Beweis des 2. Hauptsatzes direkt anschließen. von Theorem Wir zeigen zunächst, dass Vollständigkeit die Eindeutigkeit des risikoneutralen Maßes impliziert. Der Markt ist arbitragefrei, also existiert mindestens ein risikoneutrales Maß Q. Ist das Modell vollständig, so ist 1 F ein erreichbarer Anspruch für alle F F. Es existiert demnach ein θ, so dass 1 F = θ,s T. Nach Satz is der eindeutige Preis von 1 F gegeben durch e rt QF = θ, S. Die rechte Seite hängt aber gar nicht von Q ab, und somit muss für jedes risikoneutrales Maß Q gelten, dass QF = Q F, F F und wir erhalten Q = Q, also ist Q eindeutig. Um die Rückrichtung zu zeigen, nehmen wir an, dass es nur ein riskoneutrals Maß Q gibt. Angenommen, es gibt einen nicht erreichbaren bedingten Anspruch X. Nach dem ersten Hauptsatz ist der einzige arbitragefreie Preis von X gegeben durch e rt E Q [X]. Nach Satz kann X dann aber nicht erreichbar sein und wir sind fertig. Es gibt eine Reihe von sinnvollen und interessanten Ansätzen zur Bestimmung von Absicherungsstrategien, durch die das mit dem Verkauf einer bedingten Auszahlung verbundene Risiko vermindert werden kann. Im folgenden werden wir zwei derartige Ansätze diskutieren, Superreplikation und das sogenannte quadratische Hedging. 31

32 2. Einperiodenmodell Superreplikation In der folgenden Definition verallgemeinern wir den Begriff der Erreichbarkeit. Definition Gegeben sei eine bedingte Auszahlung X. Eine Superreplikation von X ist ein Portfolio θ, so dass V θ T X. Der Preis der Supperreplikationsstrategie ist S, θ. Bemerkenswert ist, dass für eine nicht erreichbare Option das mit dem Verkauf verbundene Risiko vollständig eliminieren werden kann, wenn man einer Superreplikationsstrategie θ folgt. Unter Umständen sind die Kosten hierfür allerdings sehr hoch, sie sind durch den Wert V θ gegeben. B 2.5 Superreplikation: Im Kontext von Beispiel 2.4 ist eine mögliche Superreplikation für die Auszahlung X = 3,, Call-Option auf die Aktie mit K = 15 durch θ = 12,1 mit Preis = 3 gegeben. Es gilt 6 3 Dθ = 3. Gibt es eine günstigere Superreplikation? Kostenminimale Superreplikationsportfolios. In diesem Abschnitt suchen wir ein Superreplikationsportfolio welches minimale Kosten hat. Die Bestimmung eines kostenminimierenden Superreplikationsportfolios für den bedingten Anspruch X ist gegeben durch die Lösung des folgenden linearen Optimierungsproblems: min S, θ für alle θ, so dass Dθ X PP Wir werden im folgenden die Dualitätstheorie der linearen Optimierung auf dieses Problem anwenden. Insbesondere wird sich zeigen, dass das duale Problem auf eine intuitive ökonomische Charakterisierung der Superreplikationskosten führt. Das duale Problem zu PP hat die Form max φ φ, X für alle φ, so dass D φ = S ; DP siehe etwa Kapitel 4 von Bertsimas and Tsitsiklis Die schwache Dualität bietet eine unmittelbare Abschätzung für Lösungen von DP und PP. Demnach gilt für zwei zulässige Lösungen θ und φ immer φ X S θ. Bei Gleichheit erhält man zwingend Optimalität - vorab könnte aber auch echte Ungleichheit gelten. 32

33 2.4 Unvollständige Märkte Lemma schwache Dualität. Sei θ zulässig in PP und φ zulässig in DP. Dann gilt φ, X S, θ. Beweis. Da φ und Dθ X folgt φ X φ Dθ = D φ θ = S θ. Tatsächlich gilt aber viel mehr. Satz Dualitätssatz. Falls für PP oder für DP eine Lösung existiert, so sind die beiden linearen Programme lösbar, und die Optimalwerte der Zielfunktion stimmen überein. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die zulässigen Bereiche von PP und von DP beide nicht leer sind. Überraschend ist, das unter No-Arbitrage immer gilt, dass eine Lösung der beiden Probleme existiert. Lemma In einem arbitragefreien Markt S, r haben DP und PP eine Lösung, und die Werte der Zielfunktion stimmen überein. Beweis. Der zulässige Bereich von DP ist nicht leer: Das Modell ist arbitragefrei und somit existiert ein risikoneutrales Maß Q. Setzen wir q k := Q{ω k } >, 1 k K, so gilt S = e rt Dq für den Vektor q = q 1,...,q K und somit ist e rt q zulässig für DP. Der zulässige Bereich von PP ist ebenfalls nicht leer, da D 1 = 1,...,1 und somit λ D 1 X für λ genügend groß. Also haben PP und DP eine Lösung, und die Zielfunktionswerte stimmen nach dem Dualitätssatz, Satz 2.4.3, überein. Der kostenminimale Superhedgingpreis ist gerade die obere Grenze des No-Arbitrage-Intervalls ΠX, wie folgender Satz zeigt. Satz Sei S,r ein arbitragefreier Markt. Dann gibt es zu jeder Auszahlung X eine kostenminimale Superreplikationsstrategie θ. Die Superreplikationskosten sind gegeben durch { } sup e rt E Q [X] : Q M. 2.7 Beweis. Zunächst einmal ist 2.7 kleiner oder gleich der Lösung des dualen Problems: Mit φ gegeben durch q k = Qω k e rt, 1 k K für ein risikoneutrales Maß Q M folgt, dass D φ = S, also ist φ zulässig für DP. Wir zeigen, dass das Supremum die optimale Lösung erreicht: Sei φ eine Lösung von DP, so dass S = e rt Dφ e rt. Gilt q := φe rt >, so erhält man durch Q {ω k } = q k ein risikoneutrales Maß und wir sind fertig. Sind eine oder mehrere Komponenten von q gleich Null, so ist Q nicht äquivalent zu P. Wir konstruieren 33

34 2. Einperiodenmodell ein risikoneutrales Maß wie folgt: Nach Lemma gibt es ein strikt positives φ >, welches zulässig ist, also D φ = S. Definiere φ ε := 1 εφ +ε φ. Dann ist φ ε >, und es gilt D φ ε = 1 εd φ + εd φ = S, d.h. φ ε ist zulässig für DP und wie oben gibt es ein zugehöriges Maß Q ε M. Die Behauptung folgt, da lim ε e rt E Q ε [X] = lim φ ε X = φ, S. ε Bemerkung Die minimalen Superreplikationskosten entsprechen also gerade der oberen Preisschranke aus Proposition Man kann analog zeigen, dass die untere Preisschranke aus Proposition gerade dem Negativen der Superreplikationskosten für die Auszahlung X entspricht. In Anwendungen ist das Optimierungsproblem DP oft leichter lösbar. Mit Hilfe des folgenden Resultats kann bei bekannter Lösung φ des DP ein kostenminimierendes Superreplikationsportfolio berechnet werden. Proposition Sei θ zulässig in PP und φ zulässig in DP. Dann sind äquivalent i Es gilt φ X Dθ =. ii φ ist eine Lösung von DP und θ eine Lösung von PP. Beweis. i ii. Gilt i so sieht man unmittelbar, dass in der schwachen Dualität Lemma Gleichheit gelten muss, woraus ii unmittelbar folgt. ii i. Ist φ eine Lösung von DP und θ eine Lösung von PP, so stimmen nach dem Dualitätssatz die Werte der Zielfunktion beider Optimierungsprobleme überein und wir erhalten wie in Lemma 2.4.2, dass S θ = φ X φ Dθ = D φ θ = S θ. Es folgt, dass φ X = φ Dθ und somit i. Sei nun φ eine nicht-degenerierte Lösung des DP, d.h. N Komponenten 1 k 1 < < k N K von φ seien echt positiv dies ist der typische Fall. Nach Proposition müssen also für ein kostenminimales Portfolio θ die N Gleichungen Dθ kn = W kn 1 n N, 2.8 erfüllt sein. Das lineare Gleichungssystem 2.8 besteht aus N Gleichungen und N Unbekannten; es kann zur Berechnung eines optimalen Portfolios verwendet werden wie wir in folgendem Beispiel illustrieren. 34

35 2.4 Unvollständige Märkte B 2.6 Fortsetzung: Wieder betrachten wir den Markt mit Auszahlungsmatrix D = 1 15, X = 1, S = Die Menge der Zustandspreise wurden bereits in Beispiel 2.4 bestimmt. Wir bestimmen deshalb unmittelbar eine Lösung des DP und erhalten { } sup{φ X, φ >, S = D φ} = sup α α +, α, 1/2 = 1 3 = Der zugehörige degenerierte Vektor von Zustandspreisen ist φ = 2 1,, 1 2. Zur Bestimmung des kostenminimalen Superreplikationsportfolios θ verwenden wir das Gleichungssystem 2.8; da φ2 =, besteht dieses System aus den 2 Gleichungen θ θ 2 = 3, und θ θ 2 = ; die Lösung ist durch θ 1 = 6,θ 2 = 2 1 gegeben. Die zugehörigen kostenminimalen Superreplikationskosten sind = 15 und stimmen - wie in Satz gezeigt - mit der oberen Preisschranke für X aus Proposition überein. 35

36 3. Mehrperiodenmodelle In diesem Kapitel verallgemeinern wir das bisher betrachtete Modell auf mehrere Perioden. 3.1 Modell und grundlegende Begriffe Wie zuvor betrachten wir einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P mit Ω <, und P{ω} > für alle ω Ω. Dazu betrachten wir die Handelszeitpunkte T = {,1,...,T } und eine Filtration F = F t t T. Die σ-algebra F t beschreibt die Information, die den Marktteilnehmern zum Zeitpunkt t zur Verfügung steht 1. Wir nehmen an, dass am Zeitpunkt noch keine Information vorhanden ist, also F = {/,Ω}. An T steht die volle Information zur Verfügung und es gilt F T = F. Wertpapiere und Handelsstrategien. Auf dem betrachteten Markt werden d + 1 Wertpapiere gehandelt, deren Preisprozesse wir mit S = S,...,S d bezeichnen, S i tω stellt also den Preis der i-ten Aktie zur Zeit t im Zustand ω dar. Wir nehmen an, dass S an F adaptiert ist. Das -te Wertpapier wird zum diskontieren verwendet und wir nehmen deswegen an, dass S > gilt St ω > für alle t T und ω Ω. Zur einfacheren Darstellung setzen wir noch S = 1 voraus. Dieses Wertpapier nennen wir Numéraire. Es spielt eine ausgezeichnete Rolle in den betrachteten Handelsstrategien: man nimmt an, dass das Numéraire eine beliebig hohe Liquidität besitzt. Zusammenfassend werden wir im Folgenden stets diesen Markt, beschrieben durch betrachten. FM T := {Ω,F,P,F,S} Eine Filtration ist eine Familie von wachsenden σ-algebren, so dass F F 1 F. Ein stochastischer Prozess X ist eine Familie von Zufallsvariablen X = X t t T. X heißt F-adaptiert, falls X t F t -messbar ist. Er heißt F-vorhersehbar, falls X t sogar F t 1 -messbar ist. Bei uns ist die Filtration meist aus dem Zusammenhang klar, und wir sagen einfach adaptiert oder vorhersehbar. 36

37 3.1 Modell und grundlegende Begriffe Definition Eine Handelsstrategie ist ein d + 1-dimensionaler stochastischer Prozess θ, der vorhersehbar ist. Der Wertprozess der Strategie θ ist W θ t = θ t, S t, t T. Die Interpretation einer Handelsstrategie ist subtil: Der Wert θ i t gibt die Anzahl der i-ten Wertpapiere an, die zur Zeit t 1 gekauft und über den Zeitraum t 1,t gehalten werden. Vorhersehbarkeit ist deswegen natürlich: zur Zeit t 1 dürfen nur Informationen aus F t 1 verwendet werden. An t können neue Käufe oder Verkäufe getätigt werden und so weiter. Definition Eine Handelsstrategie θ heißt selbstfinanzierend, falls θ t, S t = θ t+1, S t, t T Gleichung 3.2 bedeutet, dass dem Portfolio zu keinem Zeitpunkt Geldmittel zugeführt oder entnommen werden. Wir definieren das diskrete stochastische Integral θ S von θ bezüglich S durch folgenden stochastischen Prozess: θ S t := t u=1 θ u, S u S u 1 = t θ u S u, t T, u=1 mit der Bezeichnung S u := S u S u 1. Es gibt folgende Charakterisierung von selbstfinanzierenden Handelsstrategien. Lemma Eine Handelsstrategie θ ist selbstfinanzierend genau dann, wenn W θ t = W θ + θ S t, 1 t T. 3.3 Der Ausdruck Gt θ := θ S t wird als Handelsgewinn der selbstfinanzierenden Strategie θ bezeichnet. Das Lemma besagt, dass der Wert einer selbstfinanzierenden Strategie im Zeitpunkt t die Summe aus Anfangsinvestition und Handelsgewinne bis t ist. Beweis. Zunächst betrachten wir eine selbstfinanzierende Handelsstrategie θ. Nach Definition von V θ ist nach 3.2. Wir erhalten, dass W θ t+1 W θ t = θ t+1, S t+1 θ t, S t = θ t+1, S t+1 θ t+1, S t, 3.4 W θ t+1 = W θ t + θ t+1, S t+1, 3.5 also 3.3. Umgekehrt folgt aus 3.3 die Darstellung 3.5. Durch Gleichsetzen von 3.5 und 3.4 erhalten wir θ t+1, S t+1 θ t+1, S t = θ t+1, S t+1, also 3.2 und θ ist selbstfinanzierend. 37

38 3. Mehrperiodenmodelle Diskontierte Größen Der Übergang zu diskontierten Größen vereinfacht die Handhabung des Modells wesentlich. Wir diskontieren mit dem Numéraire S und definieren den d-dimensionalen diskontierten Preisprozess X durch seine Komponenten Xt i := Si t St, t T mit i = 1,...,d. Der diskontierte Wertprozess einer Strategie θ berechnet sich zu V θ t := W t θ St = θ t + θ t, X t, wobei wir die Konvention θ t, X t = d i=1 θ i t X i t nutzen. Analog zu Lemma erhält man Lemma Eine Strategie θ ist selbstfinanzierend genau dann, wenn V θ t = V θ + θ X t, 1 t T. Beweis. Wir erhalten für eine selbstfinanzierende Handelsstrategie, dass V θ t+1 V θ t = θ t+1 θ t + 1 S t+1 d i=1 θ i t+1 Si t+1 1 S t = 1 St+1 θ t+1, S t+1 1 St θ t, S t = 1 St+1 θ t+1, S t+1 1 St θ t+1, S t = = d i= d i=1 θ i t+1 X i t+1 X i t θ i t+1 X i t+1 X i t, und die Behauptung folgt wie in Lemma Bemerkung Da X 1, ist θ,x unabhängig von θ. Somit legt die Wahl von V und θ 1,...,θ d eindeutig die Position im Numéraire S fest, sobald θ selbstfinanzierend ist. Umgekehrt kann bei gegebenem V jede Strategie θ 1,...,θ d durch geeignete Wahl von θ auf eindeutige Weise zu einer selbstfinanzierenden Strategie ergänzt werden: Man wählt Man sieht leicht, dass θ vorhersehbar ist. θ t = V + θ X t θ t, X t. d i=1 θ i t S i t 38

39 3.2 Der erste Hauptsatz 3.2 Der erste Hauptsatz Ein stochastischer Prozess X für den E[ X t ] < für alle t T gilt und E[X t+1 F t ] = X t, t T 1, heißt Martingal, oder P-Martingal bzw. F-Martingal, falls der Bezug zu dem Maß P oder der Filtration F hervorgehoben werden soll. Der Begriff Martingal hat französische Wurzeln und wurde in der Provence für eine Spielstrategie verwendet, die stets verdoppelt 2. Definition Eine selbstfinanzierende Handelsstrategie θ heißt Arbitrage, falls V θ, V θ T und P V θ T > >. Die Definition mit diskontierten Wertprozessen ist äquivalent zu derjenigen mit undiskontierten Wertprozessen: Da S > ist, gilt VT θ genau dann, wenn W T θ. Ebenso gilt PVT θ > > genau dann, wenn PW T θ > >. Ein Markt heißt arbitragefrei, falls keine Arbitragemöglichkeiten existieren. Wir sagen dann auch, er erfüllt die No-Arbitrage-Bedingung NA. Für Q ist äquivalent zu P schreiben wir kurz: Q P. Für die Charakterisierung von Martingalen in unserem recht einfachen Fall gibt es folgendes Hilfsmittel. Lemma Der Prozess X ist genau dann ein Martingal, falls für jeden vorhersehbaren Prozess θ gilt, dass E [ θ X T ] =. Beweis. Da Ω <, ist θ X stets beschränkt und es gilt, dass E[θ X t F t 1 ] = θ X t 1 + θ t E[ X t F t 1 ]. Ist X ein Martingal, so verschwindet der letzte Summand und θ X ist ebenfalls ein Martingal. Umgekehrt betrachten wir ein festes t und F F t 1 und wählen θ t = 1 F und θ s = für s T\{t}. Dann ist θ ein vorhersehbarer Prozess und also X ein Martingal. E[1 F X t+1 ] = E[1 F X t ], Definition Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q heißt äquivalentes Martingalmaß, falls Q P und E Q[ X t+1 F t ] = Xt, 1 t T Eine hervorragende historische Aufarbeitung findet sich in Mansuy

40 3. Mehrperiodenmodelle Ein äquivalentes Martingalmaß Q nennt man oft auch risikoneutrales Maß. Unter Q sind die diskontierten Preisprozesse aller gehandelten Wertpapiere Martingale. Dies gilt auch für die diskontierten Wertprozesse selbstfinanzierender Handelsstrategien, wie das folgende Resultat zeigt. Lemma Sei Q ein äquivalentes Martingalmaß. Dann ist der diskontierte Wertprozess einer selbstfinanzierenden Handelsstrategie ein Q-Martingal. Beweis. Da θ selbstfinanzierend ist, folgt aus Lemma und somit gilt V θ t = V θ t 1 + θ t, X t E Q [V θ t F t 1 ] = V θ t 1 + θ t E Q [X t X t 1 F t 1 ] = V θ t 1, denn θ t ist vorhersehbar, also F t 1 -messbar, und E Q [ X t F t 1 ] =, da X ein Q-Martingal ist. Der 1. Hauptsatz der Wertpapierbewertung besagt dass Arbitragefreiheit äquivalent zur Existenz eines äquivalenten Martingalmaßes ist. Wir verwenden die Notation M = { Q P : Q ist Martingalmaß }. Theorem Ein Markt ist frei von Arbitrage genau dann, wenn ein äquivalentes Martingalmaß existiert: NA M /. Wir teilen den ersten Hauptsatz in den leichten, ersten Teil und den schwierigeren zweiten Teil. Satz Es gilt, dass M / NA. Beweis. Wir zeigen, dass für jede Strategie θ, für welche VT θ und PV T θ > > gilt, auch V θ > gelten muss. Für eine solche Strategie folgt aus Q P, dass QV T θ > >. Dann ist E Q [VT θ ] = VT θ ωq{ω} >, ω Ω da mindestens ein Summand echt größer Null ist. Schließlich ist nach Lemma V θ ein Q-Martingal, also gilt V θ = EQ [V θ T ] >, und die Behauptung folgt. 4

41 3.2 Der erste Hauptsatz Nun soll die Umkehrung bewiesen werden. Wir benötigen folgende, geometrische Version des Satzes von Hahn-Banach siehe Werner 2, Theorem III.2.4 und Theorem III Ein lineares Funktional ist eine Abbildung F : R d R für die Fx + y = Fx + Fy und Fax = afx für alle x,y R d und a R gilt. Satz Für einen linearen Unterraum M R d und eine konvexe, abgeschlossenen Menge C R d mit M C = / existiert ein lineares Funktional F, so dass FM = und FC >. Der Satz ist eine unmittelbare Folgerung aus Theorem III in Werner 2. Satz Es gilt, dass Beweis. Definiere M := C := NA M /. { } θ X T : θ ist selbstfinanzierende Handelsstrategie, { X : Ω R : X, und K } Xω k = 1. k=1 Wir können M und C mit Teilmengen von R K identifizieren, indem wir jede Zufallsvariable ξ : Ω R durch den Vektor ξ ω 1,...,ξ ω K darstellen. Zunächst folgt aus NA, dass M C = /; sonst existierte eine selbstfinanzierende Handelsstrategie, θ mit θ X T ω k > für mindestens ein k {1,...,K}. Dann ist C eine konvexe, abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von R K und M aufgrund der Linearität der Abbildung θ θ X T ein linearer Unterraum von R K. Satz nun die Existenz eines linearen Funktionals F, so dass Fm = für alle m M und Fc > für alle c C. Der letzte Schritt besteht nun in der Konstruktion des Maßes Q aus F. Mit {e 1,...,e K } seien die Einheitsvektoren auf R K bezeichnet. Dann ist e k C für jedes K, und somit Fe k >. Wir setzen q k := Fe k. Fe i K i=1 Die Wahrscheinlichkeiten Q{ω k } := q k definieren ein äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q. Für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie θ gilt E Q[ θ X T ] = K k=1q k θ X T ω k = 1 K F K e k θ X T ω k =, Fe i k=1 i=1 41

42 3. Mehrperiodenmodelle da das Argument, auf welches F angewendet wird, in M liegt. Nach Lemma ist X ein Martingal und somit Q ein äquivalentes Martingalmaß Die risikoneutrale Bewertungsformel. Dieser Abschnitt behandelt die Bewertung von allen möglichen gehandelten Produkten, in unserer Sprache bedingte Auszahlungen. Beispiele sind Calls, Puts und andere Derivate. Die folgenden Definition legt die allgemeine Grundlage. Definition Eine bedingte Auszahlung ist eine F T -messbare Zufallsvariable H. Sie heißt erreichbar, falls es eine selbstfinanzierende Handelsstrategie θ gibt, so dass W θ T = H; dieses θ nennt man Replikationsstrategie für H. Der Wert heißt fairer Preis von H an t {,...,T }. W θ t Satz Der bedingte Anspruch H sei erreichbar. Dann ist der faire Preis von H an t eindeutig und gegeben durch [ H H t := St E Q ST F t ], t T 3.7 für alle Q M. Ein erreichbarer bedingter Anspruch hat demnach einen eindeutigen fairen Preis, den man durch Gleichung 3.7 berechnen kann. Insbesondere ist der faire Preis von H wohl definiert. Gleichung 3.7 heißt risikoneutrale Bewertungsformel Risk-Neutral Pricing Rule. Ist das Numéraire gegeben durch S t = exp t s=1 r s mit Zinsprozess r, so gilt H t = E Q[ e T s=t+1 r s H F t ]. Ist r konstant, so erhält man H t = e rt t E Q[ H Ft ]. Beweis von Satz Sei θ eine Replikationsstrategie für H. Wir betrachten den diskontierten Wertprozess und zeigen, dass Vt θ = H t, t T. Es gilt WT θ = H und somit V T θ = H. Es folgt ST die Darstellung V θ T = V θ t + θ X T θ X t. 42

43 3.3 Der zweite Hauptsatz Wie in Lemma gezeigt wurde, ist θ X ein Q-Martingal und es folgt E Q [ H S T F t ] = V θ t + E Q[ θ X T θ X t Ft ] = V θ t. Die Multiplikation mit S t ergibt die Behauptung. 3.3 Der zweite Hauptsatz Definition Ein Finanzmarktmodell heißt vollständig, falls jeder bedingte Anspruch erreichbar ist. Das folgende Resultat ist der zweite Hauptsatz der Wertpapierbewertung. Er besagt, dass ein Markt genau dann volständig ist, wenn es ein eindeutiges äquivalentes Martingalmaß gibt. Theorem Ein arbitragefreier Markt ist genau dann vollständig, wenn M = {Q}. Beweis. Zunächst sei also der betrachtet Markt vollständig und Q und Q zwei verschiedene Martingalmaße. Da der Markt vollständig ist, sind alle Zufallsvariablen 1 F mit F F T erreichbare bedingte Ansprüche. Wir fixieren F und betrachten H := 1 F. Dann hat H nach Satz einen eindeutigen fairen Preis an, H. Es gilt E Q [1 F ] = H = E Q [1 F ], F F T = F, also Q = Q. : Wir zeigen die Negation: Ist das Modell nicht vollständig, so ist Q nicht eindeutig. Definiere die Menge von erreichbaren, diskontierten Ansprüchen durch M := { H : H = V + θ X T, V R, θ selbstfinanzierende Handelsstrategie }. Sei Q ein äquivalentes Martingalmaß und sei H ein nicht-erreichbarer bedingter Anspruch. Dann ist H S T 1 M. Somit ist M ist ein echter linearer Unterraum von L Ω,F,Q, der Menge aller Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, Q. Dann gibt es ein Z L Ω,F,Q, Z mit E Q [Z H] = für alle H M. Es folgt insbesondere E Q [Z] =. Da Ω = K <, ist Z := max ω Ω Zω <. Wir definieren ein neues Maß Q durch Q ω := 1 + Zω Qω. 2 Z 43

44 3. Mehrperiodenmodelle Q ist ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß, da Q ω > für alle ω Ω und Q Ω = 1 + EQ [Z] 2 Z = 1. Darüber hinaus ist Q verschieden von Q, da Z. Schließlich folgt für jede selbstfinanzierende Handelsstrategie θ, dass E Q [θ X T ] = E Q [θ X T ] Z E Q [Z θ X T ] =. Mit Hilfe von Lemma folgt nun, dass auch Q ein Martingalmaß ist und der Beweis ist abgeschlossen. 3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell Das Modell von Cox et al ist ein einfaches Mehrperiodenmodell für eine Aktie. Wesentliches Merkmal ist, dass beim Übergang von einem Zeitpunkt zum nächsten nur zwei Fälle auftreten können. Der risikolosen Zinssatz r ist konstant, d.h. S t = e rt. Neben dem Bankkonto gibt es noch eine Aktie S = S 1. Wir wählen u und d so dass u > e r > d >. 3.8 Die Entwicklung der Aktie im CRR Modell wird folgendermaßen angenommen: us u 2 S S ud S d S d 2 S Der betrachtete Baum ist rekombinierbar, was die numerische Handhabung wesentlich vereinfacht. Nun benötigen wir noch eine präzise Beschreibung des N-Perioden-CRR-Modells. Dazu wählen wir Ω = {u,d} T, so dass die Elemente von Ω die Gestalt ω = ω 1,...,ω T mit ω t {u,d} haben. Für ein festes ω definieren wir die Anzahl der Schritte nach oben bis zum Zeitpunkt t durch t U t ω := 1 {ωs =u}, t = 1,...,T, 3.9 s=1 44

45 3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell mit U =, und erhalten folgende Darstellung Die Filtration F t t=,...,t definieren wir durch S t = S u U t d t U t, t =,...,T. 3.1 F t := σ S 1,...,S t Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist beliebig: Wir fordern lediglich P{ω} > ω Ω. Insbesondere können die Sprünge abhängig sein Arbitragefreiheit Zunächst betrachten wir T = 1 und suchen ein äquivalentes Martingalmaß Q und setzen q := Q{ω 1 = u}. Das Maß Q ist ein Martingalmaß, falls was äquivalent ist zu S = E Q [ e r S 1 ] = e r S uq + S d1 q q = 1 + r d u d Dabei ist q,1 genau dann, wenn d < e r < u in diesem Fall ist Q P, was wir in 3.8 gefordert hatten. Die Zahl q ist dann auch eindeutig. Nun betrachten wir den Mehrperiodenfall. Wir bestimmen Q rekursiv: Setzen wir im Zeitpunkt t Qω t+1 = u F t := q und Qω t+1 = d F t = 1 q so erhalten wir rekursiv Dann gilt auch Q{ω} = q U tω 1 q t U tω E Q [ e r S t+1 F t ] = e r S t uq + S t d1 q, und Q ist somit ein äquivalentes Martingalmaß, falls nur 3.8 gilt. Weiterhin ist Q eindeutig, da es in jeder Periode eindeutig ist. Das betrachtete CRR-Modell ist also arbitragefrei erster Hauptsatz und vollständig zweiter Hauptsatz. Die Produktstruktur von Q in 3.13 bedeutet, dass aufeinanderfolgende Bewegungen unter Q unabhängig sind. Demnach gibt es ξ 1,...,ξ T welche i.i.d. unter Q sind, so dass S t = S ξ 1 ξ t = S t s=1 ξ s

46 3. Mehrperiodenmodelle Hedging In diesem Abschnitt diskutieren wir die nützlichste Konsequenzen der Vollständigkeit: Absicherungsstrategien Hedgingstrategien. Für jeden bedingten Anspruch gibt es in einem vollständigen Markt eine replizierende Handelsstrategie. Der zweite Hauptsatz liefert nur die Existenz und die Bestimmung der Absicherungsstrategie ist oft schwierig. In diesem Abschnitt bestimmen wir die Absicherungsstrategie in einem allgemeinen CRR-Modell. Eine F t -messbare Zufallsvariable hängt nur von den ersten t Komponenten von ω ab, und wir schreiben ξ t ω = ξ t ω 1,...,ω t. Ausgehen von ξ t = ξ t erhält man nur zwei Möglichkeiten für ξ t+1 welche mit ξ t,u und ξ t,t bezeichnet werden. Satz Sei H ein bedingter Anspruch. Der faire Preisprozess von H ist H t = e r qh t,u + 1 qh t,d, t T 1, und H T = H. Die Replikationsstrategie θ ist gegeben durch θ 1 t θ t = H,u H,d S t,u S t,d t uh,d d H,u = e u d In obiger Formel ist S t,u = S t u aufgrund der multiplikativen Struktur des Modells. B 3.1 Der Fall T = 2: In diesem Beispiel betrachten wir T = 2 und bedingen auf {ω 1 = u}. Der bedingte Anspruch H ist demnach eine F 2 -messbare Zufallsvariable. Für jede F t -messbare Zufallsvariable X gilt Xω 1,...,ω T = Xω 1,,ω t und wir schreiben vereinfacht Xω 1,,ω t. Wir fixieren t = 1 und bedingen auf {ω 1 = u}. Dann muss für die replizierende Handelsstrategie θ 2 u = θ2 u,θ1 2 u gelten, dass θ 2 u e2r + θ 1 2 u us 1 u = Hu,u θ 2 u e2r + θ 1 2 u d S 1 u = Hu,d. 46

47 3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell Das ist äquivalent zu θ2 1 Hu,u Hu,d Hu,u Hu,d u = = S 1 uu d S uu d [ ] θ2 u = Hu,d Hu,u e 2r Hu,u + u u d 2r uhu,d d Hu,u = e. u d Den Wert dieses Portfolios zum Zeitpunkt t = 1 liefert uns die risikoneutrale Bewertungsregel: Auf {ω 1 = u} ist H 1 u = E Q[ e r H F 1 ] = e r qhu,u + 1 qhu,d. Die Berechnungen auf {ω 1 = d} verlaufen analog. Beweis. Wir gehen analog zu Beispiel 3.1 vor. Sei t {,...,T } beliebig. Bedingt auf F t hat der faire Preisprozess an t + 1 die beiden möglichen Werte H t,u und H t,d. Für ein perfekt abgesichertes Portfolio muss gelten, dass θt e r + θt 1 us = H t,u θt e r + θt 1 d S = H t,d. θ 1 1 = H 1u H 1 d S u d und θ1 = uh 1d d H 1 u e r. u d Interessant ist die genauere Betrachtung von θ 1 1 = H 1u H 1 d S 1 u S 1 d. Nehmen wir an, dass H 1 ω 1 = f S 1 ω 1 z.b. der payoff eines Calls mit Fälligkeit T = 1 wäre, so wäre θ1 1 die diskrete Ableitung von f nach S. Dies scheint vernünftig, da man gerade so viele Aktien kauft, dass sich die Veränderung des Wertes des Portfolios genauso verhält, wie die Veränderung des Derivates, also H 1 u H 1 d S 1 u S 1 d S 1u S 1 d V 1 u V 1 d. Konkrete Aussagen zur Bewertung von Optionen im CRR-Modell im allgemeinen Fall werden im folgenden Abschnitt getroffen. 47

48 3. Mehrperiodenmodelle Europäische Optionen Von nun an setzen wir 3.8 voraus, so dass das CRR-Modell arbitragefrei ist. Satz Der faire Preisprozess einer europäischen Option mit Auszahlung HS T ist gegeben durch T t rt t T t H t = e q j 1 q T t j HS t u j d T t j, 3.17 j t =,...,T. j= Beweis. Nach der risikoneutralen Bewertungsregel gilt C t = E Q[ e rt t S T K + Ft ]. Wir verwenden die Darstellung 3.14 mit unter Q unabhängigen ξ 1,...,ξ T {u,d} und Qξ 1 = u = q. In Analogie zur Binomialverteilung folgt, dass x QS T = S t u j d x j = q j 1 q x j, j für j =,...,x. Für den Preis des Calls erhalten wir x C t = e rx q j 1 q x j S t u j d x j K +. j x j= Als Anwendung erhalten wir für den Preis eines europäischen Calls Ct,T,K,r,q = e T t rt t j= T t j q j 1 q T t j S t u j d T t j K +, Es gibt natürlich noch kompliziertere Optionen als einfache Calls. Ein Beispiel dafür sind sogenannte Barrier-Optionen. Man unterscheidet zwischen zwei Mechanismen beim Treffen einer Barriere: Knock-In und Knock-Out. Beim Knock-In wird der Kontrakt erst dann aktiviert, wenn die Barriere innerhalb der Laufzeit erreicht wurde. Wird die Barriere nicht erreicht, ist der Kontrakt wertlos. Beim Knock-Out ist es gerade umgekehrt: Beim ersten Erreichen der Barriere wird der Kontrakt wertlos. Des Weiteren unterscheidet man, ob die Barriere von oben up oder von unten down durchbrochen wird und summa summarum erhält man vier Typen von Barrier-Optionen: Downand-Out, Down-and-In, Up-and-Out und Up-and-In. Eine Beziehung ist sofort klar: Hält man eine Knock-Out und eine Knock-In Option vom gleichen Typ, so ist der Wert des Portfolios gleich dem Wert einer Standard-Option. 48

49 3.4.4 Das Spiegelungsprinzip 3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell Ein nützliches Hilfsmittel für die Bewertung einer Barrier-Option ist das Spiegelungsprinzip. Im CRR-Modell müssen wir zwei grundsätzliche Fälle unterscheiden: p = 1 p = 1 2 und p 1 2. Der erstere Fall ist der deutlich einfachere. Wir betrachten i.i.d. ξ 1,...,ξ T {u, u} und setzen X T = Satz Sei Pξ 1 = u = 1/2. Dann gilt für < a b = ku mit k N, dass T t=1 ξ t. PX T a, max 1 t T X t b = PX T 2b a Beweis. Die wesentliche Idee ist in aus Abbildung 3.1 ersichtlich. Die durchgezogene Linie stellt einen Beispielpfad für X dar, der maxx b erfüllt. Für einen jeden solchen Pfad gibt es einen ab τ := inf{1 t T : X t b} an b gespiegelten Pfad gestrichelte Linie Y t = und Y t = X t für t τ. Es folgt, dass τ s=1 ξ s i s=τ+1 {X T a} = {Y T 2b a}. ξ s, t > τ 3.19 Die Bedingung {maxx i b} ist für den gespiegelten Pfad immer erfüllt. Als letzten Schritt gilt es, die Wahrscheinlichkeit von {Y T 2b a} zu bestimmen. Da wir p = Pξ i = u = 1/2 vorausgesetzt haben, hat jeder Pfad die gleiche Wahrscheinlichkeit wie sein gespiegelter Pfad: Ein Pfad von X oder Y mit jeweils j Sprüngen nach oben hat stets die Wahrscheinlichkeit 1 n p j 1 p n j = 2 und die Behauptung folgt. Für den asymmetrischen Fall p 1 p muss man beachten, dass der gespiegelte Pfad eine andere Wahrscheinlichkeit hat und wir formulieren die Aussage nur für festes a und b. Satz Sei b = ku und a = lu mit k,l N. Dann gilt p k l PX T = a, max X t b = PX T = 2b a t T 1 p 49

50 3. Mehrperiodenmodelle 2b-a b a Abbildung 3.1: Das Spiegelungsprinzip. Beweis. Wir betrachten die Folgenden beiden Bilder. Im linken Bild sind wieder ein Beispielpfad und der zugehörige an b gespiegelte Pfad dargestellt. Da p 1 p gilt, haben diese beiden Pfade unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. Im rechten Bild erzeugen wir einen neuen Pfad gestrichelte Linie durch Ersetzen von zwei downs durch ups, alle anderen ups und downs werden vom ursprünglichen Pfad durchgezogene Linie übernommen. 2b-a 2b-a b b a a Die Schlüsselbeobachtung ist also, dass nur eine feste Anzahl von downs in ups getauscht werden muss, nämlich so viele, wie Knotenpunkte von b nach a führen im Beispiel 2 Knotenpunkte. Mit unserer Notation b = ku und a = lu besitzt der gespiegelte Pfad gerade k l ups mehr 5

51 3.4 Das Cox-Ross-Rubinstein Modell als der Originalpfad. Die Anzahl der Pfade bleibt gleich, aber die Wahrscheinlichkeit ändert sich, und zwar muss an k l Stellen 1 p durch p ersetzt werden, also p k l PX T = a, max X t b = PX T = 2b a. 1 t T 1 p B 3.2 Up-and-In Call: Nun soll das Spiegelungsprinzip für die Bewertung eines Up-and-In UI Calls verwendet werden. Dazu wandeln wir das betrachtete Modell S t = S t i=1 ξ i durch Logarithmieren von Produkt- auf Summengestalt um, und erhalten X t := ln S t S = Die Bedingung lnξ i {ũ, } ist nun gleichbedeutend mit ξ i {eũ,e ũ } := {u, u 1 } und wir wählen d = u 1. Mit der [ Barriere B > K erhalten wir ] C UI = e rt E Q S T K + 1 {max1 u T S u B} = e rt T E Q u [1 u {ST S t =S t t=1 u T t } = e rt u t:s t u T t =S u 2t T K t i=1 lnξ i. + u T t K 1 {max1 s T Ss B}] S u 2i T KQ S T = S u 2t T, max S s B. 1 s T Jetzt müssen wir noch die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Mit B = S u k und 2i T < k d.h. B > S T > K haben wir Q S T = S u 2t T, max S s B = Q ln S T = 2t T lnu, max 1 s T S ln S s k lnu. 1 s T S Hierauf lässt sich das asymmetrische Spiegelungsprinzip anwenden und wir erhalten q k+t 2t = Q ln S T = 2k lnu 2t T lnu 1 q S q k+t 2t = Q S T = S u 2k+T 2t. 1 q Auf dem Ereignis {S T = S u 2k+T 2t } hat der Pfad zunächst 2k +T 2t Schritte nach oben und danach ebenso viele Schritte nach oben wie nach unten. Demnach ist Q S T = S u 2k+T 2t T = q T +k i 1 q i k T + k i 51

52 3. Mehrperiodenmodelle und der Preis ist vollständig bestimmt: C UI = e rt u t:s t u T t =S u 2t T K q S u 2i T K 1 q k+t 2t T q T +k i 1 q i k. T + k i 3.21 Es gibt auch Optionen mit einer zeitabhängigen Barriere, z.b. Asian Barrier Options, wo das geometrische Mittel des Aktienkurses die Rolle des Indikators spielt, oder Forward Start, Early Ending, Window Barrier options, bei denen nur ein Teilbereich der Barriere eine Rolle spielt. Ein Lookback Call hat den Payoff S T min n [ t,t ] S n + für ein festes t < t < T. Die risikoneutrale Bewertungsformel liefert hier LC = r T E Q S T E Q min n [ t,t ] S n 3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel In diesem Kapitel werden wir das CRR-Modell für immer feinere Abstände betrachten und die Konvergenz von Optionspreisen analysieren. Für eine bestimmte Wahl der Konvergenz der Schritthöhen im CRR-Modell erhält man als Grenzwert das berühmte Black-Scholes-Modell. Dabei wird aus der im vorigen Kapitel abgeleiteten Call-Bewertungsformel Satz die berühmte Black-Scholes-Formel. Wir betrachten den festen Zeitraum [, T ] und unterteilen ihn in n äquidistante Intervalle der Länge n = T n. Der risikolose Return im sogenannten continuous compounding für ein Intervall ist gerade e nr. Die Wahl der Wertänderung pro Schritt ist das eigentlich Wichtige. Wir bezeichnen mit σ > die Volatilität und definieren die Zufallsgröße { ξi n exp r n + σ := n mit Wahrscheinlichkeit p exp r n σ n mit Wahrscheinlichkeit 1 p. Der Aktienkurs im Zeitpunkt T im Modell mit n Intervallen ist dann gegeben durch ST n = S n i=1 ξ i n ; die sogenannten log-returns, also die logarithmische Rendite ist. ln Sn i Si 1 n = lnξi n = r n ± σ n, 1 i n. Wir werden sehen, dass für p = 1 2 die Standardabweichung der returns über einer Periode gerade σ n ist, weshalb die Bezeichnung Volatilität für σ gerechtfertigt ist. 52

53 3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel Konvergenz unter dem historischen Maß Wir nehmen an, dass unter dem historischen Maß P gilt p = 1 p = 2 1. Dann haben wir für den Erwartungswert und die Varianz der log-returns Elnξ n i = 1 2 r n + σ n r n σ n = r n Varlnξ n i = E lnξ i r n 2 = 1 2 σ n σ n 2 = σ 2 n. Da lns n T = lns + n i=1 lnξ n i E lns n T = lns + gilt, haben wir n i=1 Elnξ i = lns + nr n = lns + rt Var lns n T = Var n n i = Var i=1lnξ lnξ i = nσ 2 n = σ 2 T, i=1 wobei die Unabhängigkeit der ξi n ausgenutzt wurde. Die Summe besteht aus unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen lnξi n, welche nach dem zentralen Grenzwertsatz für Dreieckssummen gegen eine normalverteilte Zufallsvariable konvergiert. Theorem erweiterte Version des zentralen Grenzwertsatzes. Sei für jedes n N eine Folge Y n = Y n 1,...,Y n n von Zufallsvariablen gegeben mit folgenden Eigenschaften. i Für jedes i = 1,...,n gilt Y n i Kn für eine Konstante K n mit K n n, ii Für jedes feste n sind die Zufallsvariablen Y n i 1 i n iid. iii Für Z n := n i=1 Y n i gilt EZ n n µ, VarZ n n σ 2. Dann konvergiert die Folge Z n n N in Verteilung gegen eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartung µ und Varianz σ 2. Anwenden von Lemma liefert also lns n T d N lns + rt,σ 2 T für n, 3.22 was bedeutet, dass für jede beschränkte und stetige Funktion f : R R gilt E f lns n T n 1 x f x 2σ 2 T exp lns rt 2 2σ 2 dx. T 53

54 3. Mehrperiodenmodelle Konvergenz unter dem Martingalmaß Zunächst betrachten wir die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten im Modell mit n Intervallen an. Diese sind gegeben durch Lemma Es gilt q n = er n d n u n d n = e r n e r n σ n e r n+σ n e r n σ n = 1 e σ n. e σ n e σ n q n = 1 2 σ 4 n + O n, 3.23 insbesondere also lim n q n = 1 2. Beweis. Für x gilt e x = 1 + x + x2 2 + Ox3 und wir erhalten q n = 1 e σ n e σ n e σ n 1 1 σ n + σ 2 n 2 + O 3/2 n = 1 + σ n + σ 2 n 2 + O 3/2 n 1 σ n + σ 2 n 2 + O 3/2 n = σ n σ 2 n 2 + O 3/2 n 2σ n + O n 3/2 = 1 2 σ n + O n. 4 Wir wollen wieder den zentralen Grenzwertsatz für Dreiecksschemata anwenden und berechnen nun den Erwartungswert und die Varianz der log-returns unter dem Martingalmaß Q. Lemma Unter dem risikoneutralen Maß Q gilt: E Q lnξ n i = r σ 2 2 n + O 3/2 n Var Q lnξ n i = σ 2 n + O 3/2 n. 54

55 3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel Beweis. Wir erhalten mit Hilfe von Lemma E Q lnξ n i = q n r n + σ n + 1 q n r n σ n = r n + σ n 2q n 1 = r n + σ n 1 σ 2 n + O n 1 = r n σ 2 2 n + O n 3/2, Var Q lnξ n i = q n σ n + σ 2 2 n + O 3/2 = q n σ 2 n + O 3/2 n = σ 2 n + O 3/2 n. 2 n + 1 q n σ n + σ q n σ 2 n + O 3/2 n 2 n + O 3/2 n 2 Satz Für n konvergiert die Verteilung von Z n T = lns n T unter Q gegen eine Normalverteilung mit Mittelwert µ = r σ 2 2 T + lns und Varianz σ 2 T. Beweis. Nach Lemma ist E Q Z n T = lns + n r σ 2 n + T O 3/2 n n µ, 2 n Var Q Z n T = nσ 2 n + T n O 2 n n σ 2 T. Lemma liefert die Behauptung. Die Lognormalverteilung Nach Satz bzw. Gleichung 3.22 konvergiert die Verteilung von lns n T für n gegen eine Normalverteilung. Es folgt, dass ST n asymptotisch lognormal verteilt ist. Dabei hat eine Zufallsvariable S auf, eine Lognormalverteilung mit Parametern µ, σ 2, S L N µ,σ 2, falls Z := lns gemäß N µ,σ 2 verteilt ist. Die Verteilung hat folgende Eigenschaften. Dichte. Da PS x = PZ lnx, folgt für die Verteilungsfunktion F S x = F Z lnx, x >. Damit gilt für die Dichtefunktionen F S x = F Zlnx 1 x = 1 2πσ 2 x exp lnx µ2 2 2σ

56 3. Mehrperiodenmodelle Die folgenden beiden Bilder zeigen die Dichtefunktion für verschiedene Parameter von µ und σ 2. Dichte der Lognormal Verteilung für sigma=1 Dichte der Lognormal Verteilung für mu= mu= 1 mu=.5.8 sigma^2=.25 sigma^2= mu= mu=.5.7 sigma^2=1 sigma^2= mu=1.6 sigma^2= Erwartungswert und Varianz. Es gilt ES = exp µ + σ 2 2 σ 2 e σ 2 1. und VarS = exp 2µ Die Black-Scholes Formel Lemma Für n konvergiert der Preis einer europäischen Call-Option gegen e rt E K +, wobei Z T N lns + r σ 2 2 T, σ 2 T. Beweis. Idee: Der Call-Preis im Modell mit n Diskretisierungen ist als Erwartungswert der diskontierten Endauszahlung unter dem Martingalmaß gegeben, C n = e rt E e Zn T K +, ZT n = lnst n. Die Behauptung folgt also aus der Definition der schwachen Konvergenz. Ein Problem stellt sich jedoch, da die Auszahlung eines Calls zwar stetig, aber unbeschränkt ist, so dass der zentrale Grenzwertsatz nicht direkt angewendet werden kann. Via Put-Call-Parität kann dieses Problem gelöst werden. Technische Details: Für einen Put gilt wegen der Beschränktheit der Auszahlungsfunktion P n = e rt E K e Zn T + n e rt E K e Z T + =: P. Da e Z T L N lns +r σ 2 2 T, σ 2 T, erhalten wir für den Aktienkurs e rt E e Z T = S =. Aus der Put-Call-Parität für das Modell mit n Diskretisierungen folgt S n C n = S Ke rt + P n n S Ke rt + P. e Z T 56

57 3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel Weiterhin ist [ P + S e rt K = e rt E K e Z T + ] + e rt S K = e rt E K e Z T + + e Z T K = e rt E e Z T K +, und die Behauptung folgt. Nun sind wir in der Lage, unser Hauptergebnis zu formulieren. Satz Gegeben sei eine Folge von Binomialmodellen mit u n = exp r n + σ n, d n = exp r n σ n, n = T n und stetiger Verzinsung mit Zinssatz r. Dann konvergiert der Preis einer Europäischen Call- Option mit Ausübungspreis K und Fälligkeit T für n gegen C := S Φd 1 Ke rt Φd 2, 3.25 wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist und d 1 := ln S K + σ T d 2 := d 1 σ T = r + σ 2 2 T ln S K +, 3.26 r σ 2 2 T σ T Bemerkung. Der Ausdruck 3.25 ist die Black-Scholes Formel für eine europäische Call- Option. Beweis. Nach Lemma ist zu zeigen, dass 3.25 gleich e rt E e Z T K + ist. Wir definieren α := e rt 2πσ 2 T, µ := lns + r σ 2 2 T, σ := σ T, 57

58 3. Mehrperiodenmodelle und erhalten e rt E e Z T K + = α = α e x K + x µ2 exp 2 σ 2 e x x µ2 exp dx } lnk {{ 2 σ 2 } =:I 1 dx x µ2 K α exp lnk 2 σ 2 dx. } {{ } =:I 2 Wir berechnen im folgenden das Integral I 1. Durch eine quadratische Ergänzung stellt man den Integranden als Produkt einer Normalverteilungsdichte und eines variablenfreien Korrekturterms dar. Der Integrand von I 1 hat die Form exp λx mit x µ2 λx = x 2 σ 2 = 2 σ 2 x + x 2 2µx + µ 2 2 σ 2 2 x µ + σ 2 + µ 2 µ + σ 2 2 = 2 σ 2 x lns + r + σ T = 2σ 2 + lns + rt, T wobei man die letzte Gleichheit durch einsetzen von µ + σ 2 = lns +r+ σ 2 2 T und µ+ σ 2 2 µ 2 = 2 σ 2 µ + σ 2 2 = lns + rt erhält. Unter Beachtung von αe lns+rt 1 = S 2πσ 2 folgt T S x lns + r + σ T I 1 = exp 2πσ 2 T lnk 2σ 2 dx T Betrachten wir nun eine normalverteilte Zufallsvariable Z mit Z N lns + r + σ 2 2 T, σ 2 T, dann ist Z lns r+σ 2 /2T σ N,1 und Gleichung 3.28 T lässt sich schreiben als I 1 = S P Z > lnk Z lns r + σ 2 /2T = S P σ > lnk lns r + σ 2 /2T T σ T Z lns r + σ 2 /2T = S P σ > d 1 T = S 1 Φ d 1 = S Φd 1, 58

59 3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel wobei man die Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung ausnutzt. Die Berechnung von Integral I 2 geht analog, hier kann sogar auf die quadratische Ergänzung verzichtet werden Eigenschaften von Call- und Putpreisen Neben der Black-Scholes Formel für eine Europäischen Call C = S Φd 1 Ke rt Φd 2 lässt sich mittels der Put-Call-Parität auch eine Formel zur Berechnung des Putpreises angeben, P = S Φ d 1 + Ke rt Φ d 2, wobei d 1 und d 2 in 3.26 bzw definiert sind. Die folgenden beiden Bilder zeigen den Call- bzw. Putpreis in Abhängigkeit des Aktienwertes. Preis einer Call Option in t im Black Scholes Modell K=1, r=.3, sigma=.2 Preis einer Put Option in t im Black Scholes Modell K=1, r=.3, sigma=.2 T= T= T=.25 T=.25 2 T=.5 2 T=.5 T=.75 T=.75 T=1 T= S_ S_ Die hedge ratio. Wir erinnern uns an das Hedging im Binomialmodell. In 3.15 und 3.16 haben wir gezeigt, dass wir im Zeitpunkt t das replizierendes Portfolio zu einem Anteil von θ t,1 aus der Aktie bestehen muss mit θ t+1,1 = C t+1u C t+1 d. S t u d Schaut man sich θ t+1,1 genauer an, so sieht man, dass θ t+1,1 die diskrete Ableitung von C bezüglich S ist, θ t+1,1 = C t+1 C S t+1 S Im Black-Scholes Modell erhält man für θ 1 also die Ableitung bezüglich des Aktienpreises. Für eine mathematisch korrekte Herleitung werden allerdings Hilfsmittel der stetigen Finanzmathematik benötigt. Die Ableitung des Optionspreises bzgl. des Aktienkurses wird auch als Delta 59

60 3. Mehrperiodenmodelle oder hedge ratio bezeichnet. Eine durchaus nicht ganz triviale Rechnung zeigt! C = C S = Φd 1 P = P S = Φ d 1 Bemerkung. Es ist P = C 1. Nun kann man sich auch für die Sensitivität von Delta interessieren, d.h. wie sensitiv ist unser Hedge bezüglich Änderungen des Aktienpreises. Diese Sensitivität wird duch Gamma ausgedrückt. Sei ϕ die Dichte der Standardnormalverteilung. Wir erhalten Bemerkung. Γ C = = C S = 2 C S 2 = ϕd 1 S σ T Γ P = P S = Γ C. Es gilt C 1. Liegt ein Call weit im Geld S > K, so steigt die Wahrscheinlichkeit in-the-money zu enden, deshalb geht sein Delta gegen 1. Umgekehrt profitieren Calls, die weit aus dem Geld liegen, wenig von einem Aktienwachstum, deshalb geht ihr Delta gegen. Es gilt immer Γ C >. Mit wachsendem Aktienpreis steigt die Wahrscheinlichkeit in-themoney zu enden, d. h. wir benötigen einen größeren Anteil der Aktie im replizierenden Portfolio, also muss Delta wachsen. Die folgenden Bilder verdeutlichen den Verlauf von Delta und Gamma für eine Call-Option. Delta einer Call Option im Black Scholes Modell K=1, r=.3, sigma=.2 Gamma einer Call Option im Black Scholes Modell K=1, r=.3, sigma= T=.25 T=.5 T=.75 T= T=.25.2 T=.5 T=.75.1 T= S S 6

61 3.5 Konvergenz der Optionspreise im Binomialmodell und Black-Scholes-Formel Weitere Greeks. Zur Bewertung einer Europäischen Option mit festem Ausübungspreis K und festem Ausübungzeitpunkt im Black-Scholes Modell benötigen wir neben dem Aktienpreis noch weitere Parameter, die Restlaufzeit T, die Volatilität σ und den Zinssatz r. Man betrachtet auch bezüglich dieser Parameter die partiellen Ableitungen des Optionspreises und erhält die folgenden Sensitivitäten. Bemerkung. Vega C = C σ = S T ϕd1 Vega P = P σ = Vega C Theta C = C t = S σϕd 1 2 rke rt Φd 2 T Theta P = P t = S σϕd rke rt Φ d 2 T Rho C = C r = KTe rt Φd 2 Rho P = P r = KTe rt Φ d 2 Vega ist kein griechischer Buchstabe. Vega ist immer positiv. Eine wachsende Volatilität führt zu einer breiteren Verteilung des Aktienkursendwertes und damit zu einer höheren Wahrscheinlichkeit, dass ein Call im Geld ist. Theta ist die Ableitung bezüglich des aktuellen Zeitpunkts bei festem Ausübungszeitpunkt. Das Theta eines Calls ist immer negativ, weil ein Call mit wachsender Restlaufzeit immer wertvoller wird. Das Theta eines Puts hat in der Regel einen Vorzeichenwechsel. Die beiden folgenden Bilder zeigen Theta für eine Call- und Put-Option. Theta einer Call Option im Black Scholes Modell K=1, r=.3, sigma=.2 Theta einer Put Option im Black Scholes Modell K=1, r=.3, sigma= S=8 S=9 6 S=8 S=9 7 S=11 S=12 7 S=11 S=12 S= T S= T 61

62 3. Mehrperiodenmodelle Volatilitätsschätzungen. Das Black-Scholes Modell benötigt fünf Input-Variable, den Ausübungspreis und den Ausübungszeitpunkt, die festgelegt sind, den Aktienpreis und den Zinssatz, die am Markt abgelesen werden können und die Volatilität, welche nicht direkt beobachtbar ist. Man kann aber z. B. die historische Volatilität als Schätzwert nutzen. Man beobachtet an den letzten n Handelstagen den Aktienkurs {S ti, i = 1,...,n} und bildet den Erwartungswert und die Varianz der Log-Returns dieser Daten, ˆµ := 1 n n i=1 ln Sti+1 S ti, ˆσ 2 := 1 n 1 n i=1 [ ln Sti+1 S ti ˆµ] 2. Mit σ = ˆσ t i+1 t i annualisieren wir noch die tägliche historische Volatilität auf eine Jahresbasis. Man kann aber auch versuchen, die implizierte Volatilität implied volatility zu schätzen, in dem man am Markt die Preise von Optionen auf dieselbe Aktie beobachtet. Invertieren der Black-Scholes Formel liefert dann die Volatilität. Hier zeigt sich aber das Problem, das verschiedene Optionen verschiedene Volatilitäten liefern, man beobachtet den sogenannten volatility smile. Ursachen dafür sind, dass im Black-Scholes Modell keine Transaktionskosten berücksichtigt sind, das Black-Scholes Modell stetiges Handeln annimmt, während am Markt nur diskrete Werte beobachtet werden oder dass die beobachteten Optionspreise und die zugehörigen Aktienpreise zu unterschiedlichen Zeitpunkten beobachtet wurden. 62

63 3.6 Das minimale Martingalmaß 3.6 Das minimale Martingalmaß In einem unvollständigen Markt gibt es unter Arbitragefreiheit ein Kontinuum an Martingalmaßen. Es gibt einige Vorschläge in der Literatur, nach welchen Kriterien eines dieser Maße ausgewählt werden könnte und in diesem Abschnitt soll das von Martin Schweizer eingeführte Minimale Martingalmaß vorgestellt und analysiert werden. Dabei betrachten wir stets den Wahrscheinlichkeitsraum Ω,F. Ist Q äquivalent zu P, so kann man die Dichte oder Radon-Nikodym Ableitung L := dq Q{ω} ω := dp P{ω} definieren. Dabei ist L eine Zufallsvariable, die wohl-definiert ist da P{ω} > für alle ω Ω angenommen wurde. Definition Zwei adaptierte und quadratintegrierbare Prozesse U und V heißen streng orthogonal, falls CovU t+1 U t V t+1 V t F t =, t =,...,T, P fast sicher. Hierfür schreiben wir U V. Ist einer der beiden Prozesses ein Martingal, so folgt U V bereits aus E[U t+1 U t V t+1 V t F t ] =. Definition Ein Maß Q M heißt minimales Martingalmaß, falls i E[ dq/dp 2] < und ii jedes quadrat-integrierbare P-Martingal M mit M X n, 1 n N, ist ein Q-Martingal. In unserem Fall mit Ω < sind die Integrierbarkeitsbedinungen stets erfüllt. Zum Beispiel gilt für jede Zufallsvariable U, dass E[U 2 ] <. Wie bisher werden wir eine Zufallsvariable U mit einem Vektor auf R K identifizieren. Wir definieren das komponentenweise Produkt auch Hadamard- oder Schur-Produkt, siehe Kapitel 5 und 6.3 in Horn and Johnson 1991 durch U V := u 1 v 1. u K v K Wie Zufallsvariablen, so identifizieren wir Wahrscheinlichkeitsmaße mit Vektoren auf dem R K durch die Darstellung P = P{ω 1 },...,P{ω K }.. 63

64 3. Mehrperiodenmodelle Das Ein-Perioden Modell Betrachten wir zunächst T = 1. Wir definieren die Renditen durch Y n = X n 1 X n, 1 n N. Lemma Ein minimales Martingalmaß Q ist eine Linearkombination aus P,P Y 1,...P Y N. Beweis. Sei M ein P-Martingal, welches streng orthogonal zu X 1,...,X N ist. Dabei ist M ein P-Martingal, genau dann wenn, = E[M 1 M ] = K P{ω k }M 1 ω k M ω k = P,M 1 M, k=1 also wenn P M 1 M. Da M auch ein Q-Martingal ist, gilt ebenso, dass Q M 1 M. Darüber hinaus ist strenge Orthogonalität von M und X n äquivalent zu = E[M 1 M X1 n X n ] = E[M 1 M Y n K ] = P{ω k }M 1 ω k M ω k Y n ω k k=1 = P Y n M 1 M. 3.3 Betrachten wir einen Vektor N 1 welcher orthogonal auf S := Span{P,P Y 1,...,P Y N }, der Menge der Linearkombinationen von P,P Y 1,...,P Y N, steht, so folgen zwei Dinge: Erstens ist der stochastische Prozess N =,N 1 ein P-Martingal und zweitens ist N auch streng orthogonal zu X 1,...,X N nach 3.3. Da Q ein minimales Martingalmaß ist, muss N auch ein Q-Martingal sein, so dass Q N 1 N = N 1. Demnach ist Q orthogonal zu S, also und die Behauptung folgt. Wir erhalten, dass Q = Q S = S N α n P Y n βp n=1 Andererseits gilt auch Q,Y n =, für n = 1,...,N. Wir nehmen O.B.d.A. an, dass Y 1,...,Y N linear unabhängig sind und erhalten das System von N Gleichungen α 1 P Y 1,Y α N P Y N,Y 1 = β P,Y 1 α 1 P Y 1,Y N + + α N P Y N,Y N = β P,Y N

65 3.6 Das minimale Martingalmaß Da die Vektoren Y 1,...,Y n unabhängig sind, hat dieses Gleichungssystem für jedes feste β genau eine Lösung. Darüber hinaus sind alle Lösungen proportional zueinander. Demnach kann nur höchstens eine Lösung die Bedingung K k=1 q k = 1 erfüllen und wir erhalten folgenden wichtigen Satz. Satz In einem Einperiodenmodell gibt es höchstens ein minimales Martingalmaß. Es wird sich zeigen, dass es gut möglich sein kann, das kein minimales Martingalmaß existiert. Wir benötigen also hinreichende und notwendige Kriterien für die Existenz. Wir bestimmen noch eine elegantere Darstellung von 3.32: Dazu ist P Y m,y n = E[Y m,y n ] und P,Y n = E[Y n ]. Wir setzen E[Y 1 Y 1 ]... E[Y 1 Y N ] = A =: E[Y N Y 1 ]... E[Y N Y N ] Für n ersetzen in A wir die n-te Spalte durch E[Y 1 ],...,E[Y N ] was wir mit A n E[Y ] bezeichnen, so dass E[Y 1 Y 1 ]... E[Y 1 ]... E[Y 1 Y N ] n := A E[Y ] =. n E[Y N Y 1 ]... E[Y N ]... E[Y N Y N ] Theorem Sei T = 1. Ein minimales Martingalmaß Q existiert genau dann, wenn alle Zahlen n γ k := 1 Y n ω k, 1 k K N n=1 das gleiche Vorzeichen haben. In diesem Fall ist Qω k = γ k Pω k K l=1 γ lpω l, 1 k K. Beweis. Da Y 1,...,Y m linear unabhängig sind, ist das Gleichungssystem 3.32 eindeutig lösbar. Die Lösung kann man mit der Cramer schen Regel bzw. der Determinantemethode 3 lösen und erhält Aα = βe[y ] 3 Siehe etwa Abschnitt.8.3 in Horn and Johnson

66 3. Mehrperiodenmodelle wobei E[Y ] = E[Y 1 ],...,E[Y N ] ist. Nach der Determinantenmethode erhalten wir α n = β n/. Es folgt aus 3.31, dass Q = β N n=1 = β n P Y n βp N n=1 n P Y n + P = βγ P. Da p k > ist Q genau dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß wenn alle Komponenten von γ das gleiche Vorzeichen haben, denn in diesem Fall kann man β so wählen dass q k >, 1 k K und K k=1 q k = 1 und die Behauptung folgt. Corollary Ist N = 1 so existiert ein minimales Martingalmaß genau dann wenn Y ω k E[Y ] < E[Y 2 ], k = 1,...,K. Beweis. Mit N = 1 ist Y = Y 1 eine R 1 -wertige Zufallsvariable. Wir rechnen aus, dass Gilt die Voraussetzung, so folgt, dass und die Behauptung folgt aus Theorem = P Y,Y = E[Y 2 ], 1 = E[Y ]. γ k = 1 E[Y ] E[Y 2 ] Y 1 ω k > Das Mehr-Periodenmodell Betrachten wir eine σ-algebra F F mit Ω = B F B so kann das Wahrscheinlichkeitsmaß P auch auf dem Maßraum Ω,F betrachten. Das Maß P wird hierzu auf F eingeschränkt und wir schreiben P F. In unserem Fall ergibt sich natürlicherweise die Einschränkung auf einen Zeitpunkt, also F = F t, und wir schreiben Q t = Q Ft bzw. P t = P Ft. Betrachten wir den Finanzmarkt eingeschränkt auf das Zeitintervall {,...,t}, so können wir die zugehörigen Prozesse auf dieses Intervall einschränken und den W-Raum Ω,F t,p t betrachten. Das so eingeschränkte Finanzmarktmodell bezeichnen wir mit FM t. Die zugehörige Menge der äquivalenten Martingalmaße bezeichnen wir mit M t. Definition Ein Atom einer σ-algebra G ist eine Menge A G, so dass für alle B G mit B A folgt, dass PB = oder PB = PA. 66

67 3.6 Das minimale Martingalmaß Für ein Atom A von F t definieren wir die σ-algebra F t+1 A = {B F t+1 : B A}. Lemma Wir erhalten folgende Aussagen: i Q M Q t M t, 1 t T. ii Q ist minimales Martingalmaß genau dann, wenn Q t minimales Martingalmaß für FM t für alle 1 t T. Beweis. Teil i folgt direkt. Für den zweiten Teil zeigen wir zunächst : Dies folgt sofort mit der Wahl t = T. Für sei Q ein minimales Martingalmaß, t {1,...,T } fest und wir zeigen, dass Q t dann minimales Martingalmaß für FM t ist. Sei M = M,...,M t ein P-Martingal auf {,...,T } welches streng orthogonal zu Y 1,...,Y N eingeschränkt auf {,...,T } ist. W ir erweitern M auf den ganzen Zeitbereich indem wir M s = M t für t < t T setzen. Dann ist M = M s s T ein P-Martingal. Darüber hinaus ist M auch orthogonal zu X 1,...,X N, denn { E[M s+1 M s Xs+1 n X s n für s < t, da M X n, F s ] = 3.33 für s t, da M s+1 M s =. Da Q ein minimales Martingalmaß ist M ein Q-Martingal. Dann ist M s s t ein Q t -Martingal und wir erhalten, dass Q t minimales Martingalmaß für FM t ist. Im Folgenden suchen wir eine einfache, rekursive Charakterisierung des minimalen Martingalmaßes. Hierzu werden wir geeignete, einfache Märkte auf der Basis von Atomen konstruieren. Wir fixieren ein t{1,...,t } und betrachten ein Atom A von F t. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum A,F t+1 A,P A mit dem auf A bedingten Wahrscheinlichkeitsmaß P A, definiert durch P A B = PB A = PA B PA = PB PA für jedes B F t+1 A. Die Zufallsvariable Y t = X t+1 X t können wir auch direkt auf diesem kleineren Wahrscheinlichkeitsraum betrachten. Wir definieren den Ein-Perioden Finanzmarkt FMt A durch die N Wertpapiere X t,x t+1 welche wir auf dem Wahrscheinlichkeitsraum A,F t+1 A,P A betrachten. Lemma Sei t {,...,T 1}. Dann ist Q t+1 M t+1 genau dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: i Q t M t, 67

68 3. Mehrperiodenmodelle ii Q t+1 A ist äquivalentes Martingalmaß für FM A t für jedes Atom A F t. Beweis. Sei Q t+1 M t+1 und A ein Atom von F t. Wir setzen Q A := Q t+1 A. Für 1 n N ist E QA [Xt+1 n ] = EQ [Xt+1 n 1 A] Q t+1 A = = X n t da X t auf allen Atomen von F t konstant ist. Da Q t M t ist, gilt E Q[ E Q [X n t+1 F t]1 A ] Q t A Q t A Q t A, 3.34 E Q t+1 [X s+1 F s ] = X s, s t 1. Wir betrachten ein Atom A F t und schreiben Q A = Q t+1 A. Dann folgt E Q t+1 [X n t+1 X n t 1 A ] = E Q t+1 [Y n t+1 1 A] = = K k=1 1 {ωk A}Y n t+1 ω kqω k K 1 {ωk A}Yt+1 n ω kq t+1 ω k AQ t+1 A k=1 da Q A Martingalmaß für FM A t ist und es folgt, dass Q t+1 M t+1. = E QA [Y n t+1 ]Q t+1a =, 3.35 Nun sind wir in der Lage, ein analoges Resultat für minimale Martingalmaße zu beweisen. Lemma Sei t {,...,T 1}. Dann ist Q t+1 ein minimales Martingalmaß für FM t+1 genau dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: i Q t ist minimmales Martingalmaß für FM t, ii Q t+1 A ist minimales Martingalmaß für FM A t für jedes Atom A F t. Beweis. Sei also Q t+1 ein minimales Martingalmaß für FM t+1. Dann ist Q t M t und Q t+1 A ein äquivalentes Martingalmaß für FM A t nach Lemma

69 3.6 Das minimale Martingalmaß Wir betrachten ein P-Martingal M s s t, welches streng orthogonal zu X ist und erweitern es durch M t+1 = M t. Dann ist M = M s s t+1 wieder ein P-Martingal. Wie in Gleichung 3.33 gezeigt, ist es ebenfalls orthogonal zu X. Dann ist M auch ein Q t+1 -Martingal. Es folgt, dass M s s t ein Q t -Martingal ist dieser Prozess ist F t -messbar und somit ist Q t minimales Martingalmaß für FM t. Sei nun M = M,M 1 in P t+1 A-Martingal, orthognal zu X bezüglich P t+1 A. Wir betrachten den Prozess N, definiert durch N = = N t = und N t+1 = M 1 M. Dann ist N ein P-Martingal. Außerdem ist N orthogonal zu X, wie man leicht nachrechnet. Dann ist aber N auch Q t+1 -Martingal, da Q t+1 minimales Martingalmaß ist. Wie für 3.35 folgt, dass N auch Q t+1 A-Martingal ist, und somit ist Q t+1 A minimales Martingalmaß für FM A t. Nach Lemma ist Q t+1 M t+1. Sei M = M s s t+1 ein P-Martingal, streng orthogonal zu X s s t+1 und N = M s s t. Dann ist N auch Q t -Martingal. Es gilt, dass = E Q t [M s+t M s F s ] = E Q t+1 [M s+1 M s F s ], s t 1. Sei A ein Atom von F t. Dann ist N A := M t,m t+1 A ein P t A-Martingal, streng orthogonal zu X bezüglich P t A. Nach der Voraussetzung ist N A dann auch ein Q t A-Martingal, also E Q t+1 [M t+1 M t 1 A ] = EQ t+1 A [M t+1 M t ] Q t A Somit ist M ein Q t+1 -Martingal und es folgt, dass Q t+1 minimales Martingalmaß für FM t ist. =. Zusammenfassend erhalten wir folgendes Resultat zu minimalen Martingalmaßen. Theorem Auf einem Finanzmarkt gibt es höchstens ein minimales Martingalmaß. Darüber hinaus existiert ein minimales Martingalmaß genau dann, wenn für alle t {,...,T 1} und für alle Atome A von F t ein minimales Martingalmaß für den Finanzmarkt FMt A existiert. B 3.3 Das Ein-Perioden Trinomialmodell: Betrachten wir K = 3 und N = 1. Sei r =, S = 1 und S 1 = 12,1,9. Das reale Maß sei gegeben durch Pω = 1/3 für ω Ω = {ω 1,...,ω 3 }. Wir erhalten Y = 2,, 1 und E P [Y ] = 1 3, EP [Y 2 ] = 5 3. Damit sind = E P [Y 2 ] und 1 = E P [Y ] bestimmt. Der Koeffizient γ berechnet sich zu γ = 1 1 Y = Y =

70 3. Mehrperiodenmodelle Darüber hinaus erhalten wir nach Theorem 3.6.3, das minimale Martingalmaß Q = β = 1 3 5, wobei wir β = errechnet haben. Wir überprüfen noch, dass Q M : E Q [Y ] = =. 14 Bemerkung Dieser Abschnitt folgt im Wesentlichen Doroshenko 212. Für weitere Details zum minimalen Martingalmaß siehe Föllmer and Schied Amerikanische Optionen Bevor wir uns dem Studium der amerikanischen Optionen zuwenden, studieren wir in einem kleinen Exkurs Optimale Stopp-Probleme. Diese wichtigen Fragestellungen können auch in der Portfolio-Optimierung zur Bestimmung des optimalen Kaufs- und Verkaufszeitpunktes benutzt werden Optimales Stoppen Wir betrachten einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P, einen Zeithorizont T = {, 1,..., T } mit T > und eine Filtration F t t T. Gegeben sei ein adaptierter, nicht-negativer Prozess H = H t t T. Eine Zufallsvariable τ mit Werten in {,1,...,T, } nennt man zufällige Zeit. Sie heißt Stoppzeit, falls für alle t T gilt, dass {τ = t} F t. Man zeigt leicht, dass dies äquivalent ist zu der Forderung {τ t} F t. Wir definieren die Menge aller endlichen Stoppzeiten durch T := { τ : τ ist Stoppzeit und τ T } In diesem Abschnitt interessieren wir uns für das Optimalitätsproblem Definition Eine Stoppzeit τ T heißt optimal, falls max E[H τ] τ T E[H τ ] E[H τ ] für alle τ T. 7

71 3.7 Amerikanische Optionen Die σ-algebra der Information vor τ definieren wir wie folgt: F τ := { A A : A {τ t} F t für alle t }. Satz Für zwei Stoppzeiten τ,σ und einen adaptierten Prozess Xgilt: i Die Stoppzeit τ ist F τ -messbar, ii die Zufallsvariable X τ 1 {τ< } ist F τ -messbar, iii für τ σ P f.s. gilt F τ F σ, iv τ σ,τ σ,τ + σ sind Stoppzeiten. Die folgende Aussage ist Doob s berühmtes Optional Sampling Theorem OST. Theorem Ist M ein Martingal, und sind τ und σ zwei Stoppzeiten, für die σ τ T gilt, so ist E[M τ F σ ] = M σ P-f.s. Für ein Submartingal kann man in der obigen Gleichung das Gleichheitszeichen durch ein kleiner oder gleich ersetzen. Beweis. Es reicht zu zeigen, dass auf {τ n,σ = n} gerade EM τ F n = M n gilt. Dazu sei F F n. Dann ist E[M τ F n ]dp = M τ dp 3.38 F {τ n,σ=n} = = = = = F {τ n,σ=n} F {σ=n} T k=n T k=n T k=n T 1 {τ=k} M k dp k=n F {τ=k,σ=n} F {τ=k,σ=n} F {τ=k,σ=n} F {τ n,σ=n} M k dp E[M T F k ]dp M T dp E[M T F n ]dp 71

72 3. Mehrperiodenmodelle Und wir erhalten, dass 3.38 = F {τ n,σ=n} M n dp. B 3.4 H ist ein Martingal: Nach dem OST gilt in diesem Fall für jede endliche Stoppzeit τ, dass E[H τ ] = H, so dass jede Stoppzeit optimal ist. Es ist also egal, wann man stoppt und somit ist eine kleinste, optimale Stoppzeit τ min =, und eine größte optimale Stoppzeit durch τ max = T gegeben. Definition Die Snellsche Einhüllende von H ist der stochastische Prozess U gegeben durch { U T = H T 3.39 U t = max{h t, E[U t+1 F t ]} für t {,...,T 1}. Satz Die Snellsche Einhüllende U von H ist das kleinste Supermartingal mit U t H t für alle t T. Beweis. Nach Defintion von U gilt U t H t und U t E[U n+1 F t ], also ist U ein Supermartingal. Sei nun ein weiteres Supermartingal V mit V t H t gegeben. In T gilt U T = H T V T. Gilt für ein < t T, dass U t V t, so folgt U t 1 = max { H t 1, E[U t F t 1 ] } max { H t 1, E[V t F t 1 ]} V t 1, wobei die letzte Ungleichheit folgt, da V ein Supermartingal mit V t H t ist. Der folgende Satz gibt eine wichtige Charakterisierung von optimalen Stoppzeiten. Satz Eine endliche Stoppzeit τ T ist optimal genau dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen gelten: i H τ = U τ ii Der gestoppte Prozess U τ mit U τ t := U τ t, t T ist ein Martingal. Eine optimale Stoppzeit ist durch τ min := inf{t T : U t = H t } gegeben. Beweis. Da U ein Supermartingal mit U H ist, gilt E[H σ ] E[U σ ] U, σ T, 3.4 wobei die letzte Ungleichheit aus dem OST, Satz 3.7.2, folgt. Erfüllt nun τ die Bedingungen i und ii, so gilt E[H τ ] = E[U τ ] = E[U τ T ] = U,

73 3.7 Amerikanische Optionen also ist τ optimal. Betrachten wir nun τ min. Nach Definition gilt U τmin = H τmin. Da U und H adaptiert sind, ist τ min eine Stoppzeit, es ist also {τ min > t} F t. Damit folgt E[U τ min t+1 F t] = 1 {τmin >n}e[u t+1 F t ] + 1 {τmin t}u τmin = 1 {τmin >t}u t + 1 {τmin t}u τmin = U τ min t, also ist U τ min ein Martingal. τ min erfüllt die Bedingungen i und ii und ist somit optimal. Umgekehrt folgt aus der Optimalität von τ min Gleichheit in 3.4. Dies impliziert die Gültigkeit der Bedingungen i und ii für jede optimale Stoppzeit. Obiges Resultat gibt auch eine optimale Stoppzeit, τ min an, es existiert also immer mindestens eine optimale Stoppzeit. Damit folgt auch sup { E[H τ ] : τ T } = E[U τmin ] = E[U τ min τ min ] = E[U τ min ] = U Die Doob-Zerlegung besagt, dass man jedes Supermartinal U zerlegen kann in ein Martingal M und einen fallenden, vorhersehbaren Prozess A so dass U t = M t + A t, t {,...,T }. Ist A = so ist die Zerlegung eindeutig. Der Beweis ist Gegenstand der Aufgabe??.! Wir definieren eine zweite optimale Stoppzeit mit Hilfe der Doob-Zerlegung von U. Definiere wobei wir min / := setzen. τ max := min { t {,...,T 1} : A t+1 } T, 3.43 Proposition Die Stoppzeit τ max ist optimal. Für jede optimale Stoppzeit τ gilt τ τ max. Beweis. Der Prozess A ist vorhersehbar. Für t {,...,T 1} folgt {τ max = t} = {A t =, A t+1 < } F t. Für t = T gilt {τ max = T } = {A T = } F T und somit ist τ max eine Stoppzeit. Für den gestoppten Prozess gilt U τ max t = M τ max t + A τ max t = M τ max t, d.h. U τ max ist ein Martingal und Bedingung ii von Proposition ist erfüllt. Bleibt noch Bedingung i U τmax = H τmax zu zeigen. Auf {τ max = T } gilt dies per Definition von U. Betrachten wir {τ max = t < T }. Auf dieser Menge gilt E[U n+1 U t F t ] = A t+1 A t = A t+1 <. Es gilt also U t > E[U t+1 F t ] und somit U t = H t. Nach Proposition ist τ max optimal. Die letzte Behauptung ist leicht zu sehen. 73

74 3. Mehrperiodenmodelle B 3.5 Call-Spread: Betrachte eine Zustandgröße X in einem 2-Periodenmodell, die sich gemäß des folgenden Baumes verhält. q = 1 2 X 2 = 14 q = 1 2 X 1 = 12 q = 1 2 X = 1 q = 1 2 q = 1 2 X 2 = 1 X 1 = 8 q = 1 2 X 2 = 6 Wir betrachten einen Call-Spread mit K 1 = 1 und K 2 = 12 und haben den Auszahlungsprozess H t = X t 1 + X t Die folgende Tabelle gibt die Werte des Auszahlungsprozesses und die Snellsche Einhüllende für jeden Pfad an. Pfad n = n = 1 n = 2 ω 1 X = 1 H = U = 1 X 1 = 12 H 1 = 2 U 1 = 2 X 2 = 14 H 2 = 2 U 2 = 2 ω 2 X = 1 H = U = 1 X 1 = 12 H 1 = 2 U 1 = 2 X 2 = 1 H 2 = U 2 = ω 3 X = 1 H = U = 1 X 1 = 8 H 1 = U 1 = X 2 = 1 H 2 = U 2 = ω 4 X = 1 H = U = 1 X 1 = 8 H 1 = U 1 = X 2 = 6 H 2 = U 2 = Die Snellsche Einhüllende wurde dabei rekursiv definiert: { 2, falls X2 = 14 U 2 = H 2 =, sonst Wir erhalten und damit folgt Und somit E[U 2 F 1 ] = U 1 = max{h 1,E[U 2 F 1 ]} = { = 1, falls X 1 = =, sonst. E[U 1 F ] = = 1 Man erhält als eine Lösung des Stoppproblems { max{2,1} = 2, falls X 1 = 12, sonst. U = max{h,e[u 1 F ]} = max{,1} = 1. τ min ω = inf { n {,1,2} : U n ω = H n ω } = inf{1,2} = 1. 74

75 3.7 Amerikanische Optionen Amerikanische Optionen Von nun an betrachten wir wieder das Mehrperiodenmodell aus Definition 3.1 mit dem d + 1- dimensionalen Preisprozess S = S,...,S d und Numéraire S >. Eine amerikanische Option ist eine Option, die zu jeder Zeit ausgeübt werden kann. Sie ist charakterisiert durch die Auszahlung, die man bei Ausübung bekommt und wir beginnen mit einer ganz allgemeinen Definition. Definition Eine amerikanische Option ist ein nicht-negativer, adaptierten Prozess H. Bei Ausübung an t {,...,T } erhält die Inhaberin der Option den Betrag H t. Wir stellen drei Optionstypen vor: i Für einen amerikanischen Put auf das Wertpapier S i ist die Auszahlung bei Ausübung an t K S i t +, bzw. S i t K + im Falle eines Calls. ii Auch eine europäische Option mit Auszahlung A T an T lässt sich als amerikanische Option darstellen. Dafür setzt man H t = für t < T und H T = A T. iii Eine Bermuda-Option ist ein Mischung zwischen amerikanischer und europäischer Option. Bei ihr darf nur an Zeitpunkten in einer echten Teilmenge von {,...,T } ausgeübt werden. Dies kann man ebenfalls als amerikanische Option nach unserer Definition betrachten, indem man an allen anderen Zeitpunkten H gleich Null setzt. Im Folgenden betrachten wir amerikanische Optionen zunächst aus Verkäufersicht und dann aus Käufersicht. Absicherungsstrategien aus Sicht des Verkäufers Aus Sicht des Verkäufers einer amerikanischen Option muss das getragenen Risiko abgesichert werden. In vollständigen Märkten gelingt es uns dieses Problem vollständig zu lösen. Aus diesem Grund machen wir in diesem Abschnitt die Annahme, dass der Markt vollständig ist. Das eindeutige Martingalmaß bezeichnen wir mit Q. Die Absicherung der amerikanischen Option sollte zwei Bedingungen erfüllen: erstens sollte sie unabhängig von der Ausübungsstrategie der Käuferin erfolgreich sein. Zweitens suchen wir die Strategie mit minimalen Kosten. Definition Wir nennen θ eine Absicherungsstrategie für die amerikanische Option H, falls W θ t H t, t {,...,T } gilt. Sie heißt kostenminimal, falls für jeden Wertprozess W einer Absicherungsstrategie gilt, dass W W. 75

76 3. Mehrperiodenmodelle Als nächstes soll ein möglicher Wertprozess bestimmt werden. Die Vorgehensweise ist durch die Resultate aus dem vorigen Kapitel inspiriert. Wesentlich wird allerdings ein Absicherungsargument eingehen, wozu die Vollständigkeit des Marktes maßgeblich genutzt wird. Satz Der Markt sei frei von Arbitrage und vollständig, d.h. M = {Q}. Der diskontierte Wertprozess V einer kostenminimalen Absicherungsstrategie für die amerikanische Option H ist gegeben durch die Snellsche Einhüllende bezüglich Q von H t St, t {,...,T }. Beweis. Wir gehen in umgekehrter zeitlicher Reihenfolge vor. An T muss für den Preisprozess W einer Absicherungsstrategie gelten, dass W T = H T. Weiterhin gilt an T 1 für eine Absicherungsstrategie, dass W T 1 H T 1. Übt die Käuferin allerdings nicht aus, so hat sie an T einen Anspruch auf den Betrag H T. Da der Markt vollständig ist, kann man diesen Betrag replizieren und zwar zu dem Preis Die kostenminimale Strategie erfüllt, dass da W T = H T. Mit S > erhalten wir E Q[ ST 1 ST H T F T 1 ]. { W T 1 = max H T 1 ;E Q[ ST ]} 1 H T F T 1 S T { = max H T 1 ;E Q[ ST 1 ST W T F T 1 ]}, W T 1 S T 1 = max { HT 1 S T 1 ;E Q[ W ]} T ST F T 1 und eine Iteration obiger Argumente liefert diese Aussage auch für jedes t {,...,T 1} und die Behauptung folgt. Etwas überraschend liefert also das Absicherungsargument für den diskontierten Absicherungsprozess gerade die Snellsche Einhüllende des diskontierten Auszahlungsprozesses bezüglich des Martingalmaßes Q. Im Folgenden konstruieren wir nun noch eine Absicherungsstrategie. 76

77 3.7 Amerikanische Optionen Wir bezeichnen mit V den diskontierten Wertprozess einer Absicherungsstrategie von H. Dann ist V nach Satz und Satz ein Supermartingal. Mit Hilfe der Doob-Zerlegung erhält man V = M + A mit einem Martingal M und einem fallenden, vorhersehbaren Prozess A mit A =. Ist der Markt vollständig, so existiert eine Handelsstrategie θ, so dass V T = V θ T = M T. Satz Sei M = {Q}. Dann ist θ eine kostenminimale Absicherungsstrategie der amerikanischen Option H. Beweis. Zunächst gilt V = M, da M t = E Q [M T F t ] = E Q [V T F t] = V t. Weiterhin ist V die Snellsche Einhüllende der diskontierten Auszahlung, also gilt H t St V t = M t + A t M t = V t. Demnach ist θ eine Absicherungsstrategie. Der diskontierte Wertprozess V einer anderen Absicherungsstrategie ist ein Martingal mit V T H T, folgt V t E Q [H T F t ] = Vt, also θ auch kostenminimal. Bemerkung Suboptimale Ausübung der Käuferin. Wir betrachten die optimale Stoppzeit τ max definiert in 3.43 und setzen G t := H t. Nach Proposition gilt für die Snellsche St Einhüllende V von G, dass V τ max ein Q-Martingal ist und V τmax = G τmax. Für den diskontierten Wertprozess V = V θ der Strategie θ folgt, dass V t = V t für t τ max, V t > V t für t > τ max weil A τmax +1 <. Insbesondere kann an den Zeitpunkten t > τ max Geld aus dem Portfolio entnommen werden, falls die Option bis dahin noch nicht ausgeübt wurde, aus der Sicht des Verkäufers verhält sich die Käuferin suboptimal. Aus Sicht des Verkäufers ist Wt θ der kleinste Betrag, für welchen er sich gegen die Auszahlung der amerikanischen Option absichern kann: Für jedes F t -messbare V t mit V u := V u t + k=t+1 θ k S k G u, u t ist V ein Q-Martingal, und somit ein Q-Supermartingal. Die Snellsche Einhüllende V ist das kleinste Supermartingal, welches G dominiert. Da das Submartingal V ebenfalls den Prozess G dominiert, folgt V V. 77

78 3. Mehrperiodenmodelle Optimale Ausübung aus Sicht der Käuferin Die Käuferin der amerikanischen Option ist interessiert an einer optimalen Ausübungsstrategie. Ein gerne verwendetes Kriterium für die Qualität einer Strategie ist der zu erwartende Nutzen der diskontierten Auszahlung. Dabei geht die Verwendung des erwarteten Nutzens bereits auf Bernoulli 1738 zurück, die axiomatische Formulierung der Theorie findet man bereits in von Neumann and Morgenstern Eine Nutzenfunktion ist eine streng wachsende Funktion U : R R. Ist der Käufer risikoavers, so wird dies durch eine strikt konkave Nutzenfunktion abgebildet. Die Käuferin wird also versuchen die optimale, diskontierte Auszahlung max E[UH τ] τ T unter allen möglichen Strategien T zu erzielen. Dies ist eine durchaus komplexe Fragestellung und wir betrachten das einfachere Kriterium max τ T EQ [H τ ], 3.44 was sich exakt in unsere Formulierung des optimalen Stoppens von Abschnitt einfügt. Bemerkung Die allgemeinere Formulierung kann man ebenfalls wie in 3.44 darstellen: E[UH τ] = E Q [ZUH τ] mit Dichte dp = ZdQ und man erhält 3.44 durch die Wahl von H t := ZUH t. Wir gehen von einem vollständigen Markt mit eindeutigem risikoneutralen Maß Q aus und bezeichnen wie zuvor mit V die Q-Snellsche Einhüllende des diskontierten Auszahlungsprozesses G t = H t S t einer amerikanischen Option H. Satz Sei M = {Q}. Der faire Preis der amerikanischen Option H zur Zeit ist V. Auf {t τ min } ist der faire Preis der amerikanischen Option gerade V t. Beweis. Wir gehen von dem Optimalen Stopp-Problem 3.44 aus. Dieses Problem hat immer eine optimale Lösung, etwa τ max oder τ min. Mit τ bezeichnen wir eine solche Lösung. Nach Satz gilt, dass Wir betrachten folgende Strategie: E Q [G τ F t ] = E Q [V τ F t ] = V t τ

79 3.7 Amerikanische Optionen Übe die amerikanische Option an t aus, falls t = τ und investiere den erhaltenen Betrag H t in das Numéraire S. Dies führt zu folgendem Vermögen am Endzeipunkt T es gilt immer τ T V := T t= 1 {τ =t}h t S T S t Nach der risikoneutralen Bewertungsformel ist der faire Preis von V gegeben durch den Q- Erwartungswert der diskontierten Auszahlung, also E Q[ V ] ST = E Q[ T t= H t 1 {τ =t} St. ] = E Q [G τ ] = V. Dies liefert also eine untere Schranke für den Wert der amerikanischen Option. Jede nicht optimale Stoppstrategie führt zu einem geringeren Preis. Da der Markt vollständig ist, führt ein geringerer Preis aber zu Arbitragemöglichkeiten und V ist der eindeutige Preis der amerikanischen Option. Mit 3.45 folgt auch die bedingte Version. Vergleich von amerikanischen und europäischen Optionen In diesem Abschnitt vergleichen wir amerikanische Optionen mit europäischen Optionen. Wir betrachten dazu eine Option mit Auszahlung H t = HS t, t T und einer festen messbaren Funktion H : R R. Die europäischen Option offeriert die Auszahlung HS T an T. Wir bezeichen mit E t := E Q[ St ] ST HS T F t den Preis der europäischen Option an T. Wie bisher bezeichne V die Snellsche Einhüllende zu G und W := S V. Lemma Der Preis der europäischen Option ist nicht größer als der faire Preis der amerikanischen Option, E t W t, t T 79

80 3. Mehrperiodenmodelle Beweis. Für t = erhalten wir direkt Hingegen ist für beliebiges t Damit folgt, dass S t V θ t E t. V E Q [V T ] = E Q [G T ] = E. V t E Q [V T F t ] = E Q [G T F t ] = E t St. B 3.6 Amerikanischer Call: Für einen amerikanischen Call ist H t = S t K +. Wir nehmen an, dass S monoton wachsend ist. Dann gilt für den Wert des europäischen Calls, dass er wachsend in T ist, denn E Q[ H ] t+1 St+1 F t = E Q[ S t+1 St+1 K + Ft ] St+1 H t S t unter Verwendung der Jensenschen Ungleichung und der Tatsache, dass der diskontierte Preisprozess ein Martingal unter Q ist. Somit ist H/S ein Submartingal, was bedeutet, dass eine optimale Strategie ist, bis T zu warten bevor man ausübt, denn V t = E Q [H T F t ]. Schließlich ist V = E, der Wert des europäischen Calls ist gleich dem Wert des amerikanischen Calls. B 3.7 Amerikanischer Put: Im Falle eines amerikanischen Puts ist es im Gegenzug dazu möglich, dass der Zeitwert Z t := St E Q[ K S T + ] F t K S t + negativ wird, so dass vorzeitiges Ausüben den positiven Wert Z t liefert. S T 8

81 4. Stochastische Integration 4.1 Die Doobschen Ungleichungen In diesem Abschnitt stellen wir kurz die Doobschen Ungleichungen vor. Die Beweise führen wir in diskreter Zeit. Satz Maximal Ungleichung Sei S t t [,T ] ein stetiges Submartingal, so gilt P sup t [,T ] S t > ε E[S+ T ]. 4.1 ε Bemerkung Ebenso gibt es natürlich eine Minimalungleichung. Für die beiden Ungleichungen dieses Kapitels führen wir nur die Beweise in diskreter Zeit. Mittels eines Konvergenzsatzes übertragen sich die Resultate aber direkt in stetige Zeit, siehe Steele, 21, S Die Stetigkeit als Voraussetzung fällt in diskreter Zeit natürlich weg. In diskreter Zeit haben wir in Ungleichung 4.1 auch ein anstelle des >. Beweis. In diskreter Zeit Setze τ = inf{n N : S n ε}, und τ = N falls {...} = /. Als Ersteintritt ist τ eine Stoppzeit. Weiterhin ist E[S N ] E[S τ ] ε dp + dp Dies ist gleichbedeutend mit ε P max n N S n ε {max n N S n ε} = ε P max S n ε + n N {max n N S n ε} S N {max n N S n <ε} S N {max n N S n <ε} S N d P dp. S + N dp, 4.2 wobei der mittlere Teil für den Beweis der Doobschen Ungleichung verwendet werden wird. Satz Doobsche Ungleichung Sei S t t [,T ] ein nichtnegatives, stetiges Submartingal mit E[St p ] < für t [,T ] und ein p > 1. Dann gilt ] p p p E[ sup S t E [ S p ] T <. t [,T ] p 1 81

82 4. Stochastische Integration Beweis. In diskreter Zeit Setze M := max n N S n. Ein einfaches Fubini-Argument zeigt, dass für eine positive Zufallsvariable ξ folgt, dass E[ξ ] = Pη > xdx. Wir erhalten E[M p ] = y=x p = p PM p > xdx py p 1 PM > ydy {M>y} y p 2 S N dpdy, wobei letzte Ungleichung aus Gleichung 4.2 folgt. Dies ist aber E[M p ] = p = p p 1 S N y p 2 1 {S >y} dydp S N S p 1 dp. Mit der Hölder-Ungleichung splitten wir das Integral und erhalten E[M p ] p E[S p N p 1 ] 1/p E[S p N ] p 1 p, was äquivalent ist zu E [M p ] 1/p p E[S p N p 1 ] 1/p, und die Aussage des Satzes folgt. 4.2 Die Brownsche Bewegung Der Botanist Robert Brown beobachtete 1828 das irreguläre Verhalten eines Pollenkorns auf Wasser. Diese Bewegung wird durch einzelne Wassermoleküle hervorgerufen, die das Pollenkorn immer wieder in eine andere Richtung stoßen. Einzug in die Finanzmathematik hielt die Brownsche Bewegung 19 mit der Doktorarbeit von Louis Bachelier. Die Brownsche Bewegung ist der wichtigste Prozess in der Finanzmathematik. Wir betrachten einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω,F,P und eine Filtration F = F t t. Definition Eine Brownsche Bewegung ist ein stetiger, F-adaptierter Prozess B = B t t mit den folgenden Eigenschaften: i B = mit Wahrscheinlichkeit 1, 82

83 4.2 Die Brownsche Bewegung ii B besitzt unabhängige Zuwächse: für s < t ist B t B s unabhängig von F s, und iii B t B s N,t s ist normalverteilt. Bemerkung Zu der Definition gibt es folgende Bemerkungen: i Bedingung iii kann man durch die Forderung von stationären Zuwächsen ersetzen: für jedes h > ist die Verteilung von B t+h B t gleich der Verteilung von B h. Ein Prozess mit unabhängigen, stationären Zuwächsen nennt man Lévy-Prozess. Die Brownsche Bewegung ist ein Lévy-Prozess mit stetigen Pfaden. ii Aus der Annahme der unabhängigen Zuwächse und des zentralen Grenzwertsatzes ZGWS erhält man die Normalität aus der Stationarität der Zuwächse. iii Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Existenz der Brownsche Bewegung zu zeigen. Eine davon ist die Approximation mit Hilfe des nun standardisierten Partialsummenprozesses S n t := 1 [nt] n X i i=1 für X i i.i.d. mit E[X i ] = und VarX i = 1. Mit der Hilfe des Satzes von Donsker erhält man S n L B. Satz Die Brownsche Bewegung ist ein Martingal, und ebenso B 2 t t t. Beweis. Zunächst folgt aus B t N,t, dass E[ B t ] < für alle t. Da die Brownsche Bewegung unabhängige Zuwächse hat, folgt für s < t E[B t F s ] =E[B t B s F s ] + B s =E[B t B s ] + B s = B s. Für die zweite Aussage folgt wieder aus B t N,t, dass E[ B t 4 ] <. Mit den unabhängigen Zuwächsen der Brownschen Bewegung folgt wieder, dass E[B 2 t t F s ] = E [ B t B s + B s 2 F s ] t = E [B t B s ] + 2E [B t B s F s ] + B 2 s t = t s + B 2 s t = B 2 s s. Definition Sei B eine Brownsche Bewegung. Der Prozess X heißt Brownsche Bewegung mit Drift µ R und Volatilität σ R, falls für alle t X t = µt + σb t. 83

84 4. Stochastische Integration Eine Brownsche Bewegung mit Drift und Volatilität 1 nennt man auch standard Brownsche Bewegung. Definition Sei B eine Brownsche Bewegung mit Drift µ und Volatilität σ >. Der stochastische Prozess X, gegeben durch X t := x exp B t 1 2 σ 2 t mit x > heißt geometrische Brownsche Bewegung. Lemma Eine geometrische Brownsche Bewegung mit µ = ist ein Martingal. Beweis. Die Laplace-Transformierte einer N µ,σ 2 ZV ξ ist Für s < t ist [ E exp σb t σ 2 t Einführung E [ e λξ ] = e λµ+σx 1 2π e x2 2 dx = e λ µ+ λ2 σ 2 2 Fs ] 1 2π e x 2λσ2 2 dx = e λ µ+ λ2 σ 2 2. ] = E [e σb t B s F s exp σb s σ 2 t σ 2 t s = exp σb s σ 2 t = exp 2 σb s σ 2 s 2 In einem Finanzmarkt wird ein Investor versuchen, seine Handelsstrategie zu optimieren. Wie sieht so eine Strategie aus? Zu einem Zeitpunkt t k kann der Investor entscheiden, wie viel Geld er beispielsweise in eine Aktie S investieren will. Sagen wir, er kaufe a k Aktien. Zum Zeitpunkt t k+1 sind diese 1 a k S k+1 wert. Er hat einen Gewinn/Verlust von a k S k+1 S k gemacht. Natürlich kann er auch an t k+1 investieren, sagen wir in a k+1 Aktien, was ihm einen Betrag a k+1 S k+2 S k+1 bescheren wird. Summieren wir seine Gewinne bzw. Verluste, so erhalten wir N N a k S k+1 S k =: a k S k k= k= Natürlich muss a k zum Zeitpunkt t k bekannt sein, also a k F k -messbar. 1 Wir schreiben kurz S k für S tk.. 84

85 4.4 Die Definition des Itô-Integrals B 4.1 : Die klassische buy-and-hold Strategie wird dargestellt durch a = = a N = 1, und der Investor hätte demzufolge an t N einen Betrag von S N S zur Verfügung das kann natürlich negativ sein. Will man nun einen kontinuierlichen Handelsprozess zulassen, so ist man natürlicherweise an einem Grenzwert von 4.3 für eine immer feiner werdende Partition interessiert. Dies wird das stochastische Integral sein. 4.4 Die Definition des Itô-Integrals Bei unserer Suche nach einer präzisen Definition des stochastischen Integrals werden wir uns stets auf ein endliches Zeitintervall [, T ] beschränken. Als Integrand betrachten wir einen stochastischen Prozess f s s bezeichnen wir das Integral zunächst mit I t f ω und denken dabei insgeheim an t f sdb s. In diesem Abschnitt werden wir uns auf Integranden aus H 2 = H 2 [,T ] konzentrieren, d.h. messbare, adaptierte Prozesse f, für die [ T ] E f 2 sds < gilt. Bei genauerem Hinsehen entpuppt sich dieses Integral als Doppelintegral und so ist H 2 ein abgeschlossener, linearer Unterraum von L 2 dp dt. Zunächst eine Warnung: Eine Definition im Sinne des Riemann-Integrals ist nicht möglich, da die Pfade der Brownschen Bewegung von unbeschränkter Variation sind. Der Prozess in 4.3 soll natürlicherweise durch den Integranden f ω,s = N a k ω1 tk,t k+1 ]s 4.4 k= beschrieben werden. Falls t < t 1 < < t N+1, a k F tk und E[a 2 k ] < gilt, nennen f einen einfachen Prozess. Die Menge der einfachen Prozesse bezeichnen wir mit H 2. Das Integral bezüglich der Brownschen Bewegung B t t definieren wir für f H 2 mit Darstellung 4.4 durch I t f := = N k= a k B t tk+1 B t tk p 1 a k B tk+1 B tk + a p B t B tp, k= 85

86 4. Stochastische Integration wobei in letzter Gleichung p so gewählt ist, dass t p < t t p+1. Offensichtlich handelt es sich nicht um das Integral von f, sondern um einen ganzen Prozess I t f t [,T ]. Natürlich werden wir uns nicht mit einfachen Integranden zufrieden geben. Nehmen wir einmal an, man könnte eine kompliziertere Funktion f durch eine Folge von einfachen Integranden f n n 1 approximieren. Das Integral von f sollte dann der Limes der I t f n sein. Für die Erweiterung von I t : H 2 L2 dp auf H 2 benötigen wir die Stetigkeit von I, welche durch folgendes Lemma gegeben wird Lemma Itô Isometrie auf H 2 Für f H 2 und t [,T ] gilt [ t ] E[I t f 2 ] = E f 2 ω,sds. 4.5 Die Aussage des Lemmas kann man auch schreiben als hier für t = T I T f L 2 dp = f L 2 dp dt, wobei dt hier das Lebesgue-Maß auf [,T ] bezeichnet. Hierbei wird die Isometrie sichtbar. Beweis. Wir berechnen einfach die beiden Normen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass t auf einem Gitterpunkt, sagen wir t p, liegt. Der andere Fall hat nur eine kompliziertere Notation. Zunächst ist E[I t f 2 ] = E [ p Die zweite Norm ergibt [ t E i,k= N ] 2ds a k 1 tk,t k+1 ] s = k= a k a l B ti+1 B ti B tk+1 B tk ] = p tk+1 Ea 2 k 1ds = k= t k p Ea 2 k t k+1 t k. k= p Ea 2 k t k+1 t k. k= Da I also eine Abbildung ist, die die Abstände in H 2 und L2 dp erhält, bildet I Cauchyfolgen in H 2 auf Cauchyfolgen in L2 dp ab. Zunächst weisen wir noch einige Eigenschaften des stochastischen Integrals nach. Lemma Für f H 2 ist I t f t [,T ] ein stetiges Martingal und es gilt [ E sup t [,T ] 2 ] [ t ] I t f 4E f 2 sds. 86

87 4.4 Die Definition des Itô-Integrals Beweis. Die Stetigkeit folgt direkt aus der Stetigkeit der Brownschen Bewegung und der Definition von I. Zum Nachweis der Martingaleigenschaft betrachten wir s t T und bezeichnen mit t p den größten Index in der Darstellung 4.4, der gerade noch kleiner als s ist. Zunächst ist wegen f H 2 auch E[I t f 2 ] < wie man leicht überprüft. Darüber hinaus gilt E [I t f ] p 1 Fs = = k= a k B k+1 B k + a p E [ B tp+1 B tp Fs ] + E [ p 1 a k B k+1 B k + a p B s B tp = I s f. k= N k=p+1 Die Ungleichung folgt nun direkt aus der Doobschen Ungleichung mit p = 2. a k B k+1 B k Fs ] Das folgende Lemma sagt nun aus, dass H 2 dicht in H 2 ist. Damit wird es ein Leichtes sein, das Itô-Integral auf H 2 zu erweitern. Lemma Für alle f H 2 existiert eine Folge f n n 1 mit f n H 2, s.d. f f n L 2 dp dt für n. Für einen Beweis sei auf Steele, 21, Kap. 6.6 verwiesen. Dennoch geben wir an dieser Stelle die benutzte Approximation, A n f ω,t := 2 n 1 i=1 t t i t i 1 ti t i 1 f ω,sds 1 ti,t i+1 ]s, an. Hierbei ist t i = it 2 n. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass f über einen anderen Bereich integriert wird als t i,t i+1 ]. Dadurch wird jedoch die Adaptiertheit sichergestellt. Man könnte nun meinen, für f wähle man eine approximierende Folge f n und definierte I t f := lim n I t f n für jedes t. Als Element in L 2 dp sind diese aber jeweils nur bis auf eine Nullmenge Z t,t [,T ] definiert. Das Problem entsteht nun, dass eine überabzählbare Vereinigung von Nullmengen keine Nullmenge mehr sein muss. Man muss also etwas mehr Vorsicht walten lassen, und aus den I t den richtigen Kandidaten auswählen. Das wird in folgendem Satz geschehen. Satz Sei B t t eine Brownsche Bewegung bezüglich der Filtration {F }. Dann existiert eine eindeutige lineare Abbildung J, die f H auf einen stochastischen Prozess abbildet, so dass 1. J f t t [,T ] ist ein stetiges Martingal bezüglich {F }, 2. für f H 2 gilt P J f t = I t f = 1, für alle t [,T ], 87

88 4. Stochastische Integration 3. für t [,T ] ist E J f t 2 = E t f 2 ω,sds. Hierbei ist J eindeutig in dem Sinne, dass, falls J ebenfalls diese Bedingungen erfüllt, gilt P J f t = J f t = 1, für alle t [,T ] und f H 2. Damit definieren wir das Itô-Integral für f H 2 und t [,T ] als t f sdb s := J f t. Beweis. Nach Lemma existiert eine Folge f n n 1 von einfachen Prozessen, so dass t 2 E f s f n s ds. n Der Grenzprozess soll wieder stetig sein, wir benötigen also gleichmäßige Konvergenz. Das ist übrigens für alle stetigen quadratintegrierbaren Martingale der Fall, siehe Karatzas and Shreve, 1988, Satz Wir nutzen die Maximal-Ungleichung und erhalten, dass [ P sup t [,T ] I t f n I t f m ] ε 1 [ 2 ] ε 2 E I T f n I T f m = 1 ε 2 E T 2 f n s f m s ds. Man kann demnach eine geeignete Teilfoge {n k } auswählen, so dass für alle k 1 [ P sup t [,T ] I t f nk+1 I t f nk 1 ] 2 k 1 2 k. Mit Hilfe des Borel-Cantelli Lemmas schließt man nun, dass für k groß genug sup I t f nk+1 I t f nk 1 t [,T ] 2 k 4.6 auf einer Menge mit Wahrscheinlichkeit 1. Damit folgt nun, dass {I t f nk } k N eine Cauchyfolge bildet und da es sich um eine gleichmäßige Konvergenz handelt, ist der Grenzwert eine stetige Funktion, die wir gerade mit t J f t bezeichnen. 88

89 4.5 Die Erweiterung des Itô-Integrals auf H 2 loc Wenden wir wie zur Gleichung 4.6 die Doobsche Ungleichung an, so erhalten wir 2 T E I t f n+p I t f n 4E [ f n+p s f n s] 2 ds. 4.7 sup t [,T ] Lassen wir p entlang der {n k } gegen unendlich gehen, so erhalten wir 2 T E J f t I t f n 4E sup t [,T ] 2 f s f n s ds, 4.8 d.h. der Grenzwert J f t t [,T ] hängt nicht von der ausgewählten Teilfolge ab. Nun zur Martingaleigenschaft. Zunächst ist jedes I t f n ein Martingal nach Lemma und quadratintegrierbar. Dann konvergieren auch die Erwartungswerte, siehe Bauer, 199, Satz 15.1, und so ist für s t E J f Fs t = E lim k I t f nk Fs = lim E I t f nk Fs = lim I s f nk = J f s. k k Ebenso erhalten wir E J f t 2 = lim E I t f nk 2 t = E k f 2 sds und, aus Gleichung 4.8, E sup J f t 2 t [,T ] 4E T f 2 sds. Für die Eindeutigkeit betrachten wir eine Abbildung J, die Bedingungen 1. bis 3. erfüllt. Dann erhalten wir aus Gleichung T 2 E J f t J f n t 4E f s f n s ds. sup t [,T ] Da die rechte Seite gegen Null konvergiert, folgt die entsprechende Eindeutigkeit. 4.5 Die Erweiterung des Itô-Integrals auf H 2 loc Unsere bisherige Definition des Itô-Integrals basiert wesentlich auf der Annahme, dass f H 2, d.h. E T f s 2 ds <. Leider ist dies schon für einfache Funktionale der Brownschen 89

90 4. Stochastische Integration Bewegung nicht mehr erfüllt, z. B. für f s = expb 4 s. Es ist also nützlich, die Integrabilitätsbedingung merklich abzuschwächen, was wir mit Hilfe einer Lokalisierung tun werden. Der Preis dafür wird sein, dass das Itô-Integral nur noch ein lokales Martingal ist. Zunächst betrachten wir das Itô-Integral bis zu einer Stoppzeit. Satz Für ein f s s [,T ] H 2 und eine Stoppzeit τ mit Pτ T = 1 ist τ f sdb s = T 1 {s τ} f sdb s P-f.s. Beweis. Auch hier wird sich wieder eine Approximation durch einen geeigneten einfachen Prozess als hilfreich erweisen. Zunächst betrachten wir nur Stoppzeiten der Form τ n = n i=1 t i 1 Ai, wobei < t 1 < < t n = T gelte und die A i jeweils Elemente von F ti und paarweise disjunkt seien. Außerdem sei P A i = 1. Für eine solche Stoppzeit gilt T 1 {s τn } f sdb s = = = n T 1 Ai i=1 n ti 1 Ai i=1 τn 1 {s ti } f sdb s f s db s f sdb s. 4.9 Nun kann man τ durch solche einfachen Stoppzeiten approximieren, indem man τ n := 2 n k + 1T 1 i= 2 { } kt 2 n τ< k+1t 2 n setzt. Die τ n bilden eine monoton fallende Folge, die mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen τ konvergiert. Wir lassen nun in 4.9 auf beiden Seiten n gegen unendlich gehen. Für dir rechte Seite nutzen wir, dass die Abbildung t t f sdb s stetig ist, und so τn f sdb s τ f sdb s P-f.s. Für die linke Seite gilt, dass [ T T ] 2 T E 1 {s τn } f sdb s 1 {s τ} f sdb s E 1 {τ<s τn } f s 2 db s, was gegen Null konvergiert mit Hilfe des Satzes von Lebesque. Wir erhalten also L 2 Konvergenz, woraus folgt, dass eine Teilfolge P-f.s. konvergiert. 9

91 4.5 Die Erweiterung des Itô-Integrals auf H 2 loc Unser Ziel ist es, die Integranden auf eine möglichst große Klasse auszuweiten. Es wird sich zeigen, dass wir mit 2 T Hloc { 2 := f s st[,t ] adaptiert und f s 2 ds < } P-f.s. für alle Anwendungen ausreichend gerüstet sind. Das Konzept der Lokalisierung zeigt sich erstmals in folgender Definition Definition Eine monoton wachsende Folge von Stoppzeiten τ n n 1 heißt lokalisierende Folge von f, falls f n ω,t := f ω,t1 {t τn ω} H 2, n 1 und P {τ n = T } = 1. n 1 Dieses Konzept wird die Brücke zwischen Hloc 2 und H schlagen. Satz Für jedes f Hloc 2 ist die Folge τ n n 1 gegeben durch { t } τ n := inf t [,T ] : f 2 sds n, 4.1 wobei wir inf / := T setzen, eine lokalisierende Folge. Beweis. Durch die Definition von τ n ist f n H 2. Außerdem ist { T } {τ n = T } = f 2 sds < n 1 und da f Hloc 2 hat die rechte Seite die Wahrscheinlichkeit 1. Für die Erweiterung des Integrals auf Hloc 2 werden wir folgendermaßen vorgehen: Zunächst wählen wir zu einem f Hloc 2 eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten und erhalten die entsprechenden f n. Das Itô-Integral definieren wir als Limes der Integrale von f n. Genauer gesagt, werden wir wieder zeigen, dass ein eindeutiger, stetiger Prozess J f t t [,T ] existiert, so dass P J f t = lim n t 2 In der Literatur wird dieser Raum auch oft als L 2 loc bezeichnet. f n sdb s = 1 für alle t [,T ]. 91

92 4. Stochastische Integration Satz Sei B t t eine Brownsche Bewegung. Dann exisitiert eine eindeutige lineare Abbildung J von Hloc 2 in den Vektor-Raum der stetigen Prozesse auf [,T ], so dass 1. Für f H 2 gilt P J f t = t f sdb s = 1 für alle t [,T ], 2. für eine Folge f n n 1 von Prozessen in Hloc 2 T gegen konvergiert, gilt sup J f t P. t [,T ] Mit Hilfe des obigen Satzes können wir nun für jedes f H 2 und zwar durch t f sdb s := J f t. f n s 2 ds in Wahrscheinlichkeit loc das Itô-Integral definieren, Bemerkung Man beachte, dass nun das stochastische Integral kein Martingal mehr sein muss. Aber dazu später mehr. Beweis. Wir definieren J und zeigen dann die Eindeutigkeit. Für f H 2 definieren wir natürlich J f durch das bereits bekannte Itô-Integral, so dass 1. per Definition gilt. { } Für f Hloc 2, dass wie in Satz lokalisiert wird, gilt auf A n := T f 2 sds < n, dass f n = f n+1. Da die Vereinigung dieser Mengen die Wahrscheinlichkeit 1 hat, definieren wir, auf A n \ A n 1, J f t := t f n sdb s Damit ist J P-f.s. definiert. Da die einzelnen Integrale stetig sind, ist auch J P-f.s. stetig. Für die Linearität betrachtet man zwei Prozesse f,g aus Hloc 2 mit lokalisierenden Folgen τ n n 1 bzw. ν n n 1 und a,b R. Dann ist τ n ν n n 1 eine lokalisierende Folge von a f + bg und die Linearität von J folgt aus 4.11, eben der Definition. Nun zeigen wir Eigenschaft 2. Zunächst gilt T P sup J f t ε P f 2 sds 1 T + P sup J f t ε, f 2 sds < 1. t [,T ] n t [,T ] n Schauen wir uns den zweiten Summanden genauer an. Wir möchten gerne die Maximal-Ungleichung anwenden. Auf { T f 2 sds < n 1} ist natürlich f = f 1 { T f 2 sds< 1 n }. Damit erhält man T P sup J f t ε P f 2 sds T t [,T ] n ε 2 E f 2 u 1 { T f 2 sds< n 1 } du T < P f 2 sds n nε 2. 92

93 4.6 Lokale Martingale P Konvergiert nun f n n 1 stochastisch gegen, so folgt also sup t [,T ] J f t. Eigenschaft 2. sichert nun die Wohldefiniertheit unserer Definition. In der Tat, für eine zweite Lokalisierung von f, sagen wir durch τ n n 1, ist J f n t = J f n t auf {t τ n τ n }. Darüberhinaus gilt auf dieser Menge auch J f t = J f n t = J f n. Da die Menge n τ n = T } = n 1{τ {τ n = T und τ n = T } n 1 die Wahrscheinlichkeit 1 hat, folgt die Wohldefiniertheit. Für die Eindeutigkeit nehmen wir an, es existierte eine zweite solche Abbildung, J. Zunächst sei bemerkt, dass für f Hloc 2 mit Lokalisierung f n gerade T f f n 2 ds in Wahrscheinlichkeit gegen konvergiert. Die Eindeutigkeit des Itô-Integrals auf H 2 und Eigenschaft 1. liefert J t f J t f = J t f J t f n J t f J t f n, mit Wahrscheinlichkeit 1 für jedes t [,T ]. Mit Eigenschaft 2. folgt, dass sup J f J f in Wahrscheinlichkeit gegen konvergiert, also die geforderte Eindeutigkeit. 4.6 Lokale Martingale Das Itô-Integral für Integranden aus Hloc 2 wird im Allgemeinen kein Martingal, sondern nur ein lokales Martingal sein. Wie bisher, sei {F } die im Hintergrund stets präsente Filtration. Definition Ist E eine Eigenschaft eines stochastischen Prozesses, so erfüllt der stochastische Prozess X Eigenschaft E lokal, falls es eine wachsende Folge von Stoppzeiten τ n n 1 mit der Eigenschaft τ n P-f.s. gibt und X τ n := X t τn t die Eigenschaft E besitzt, für alle n. Mit dieser allgemeinen Formulierung definieren wir nun lokale Martingale. Unser primäres Interesse an lokalen Martingalen ist begründet in der folgenden Aussage. Satz Für jedes f Hloc 2 ist das Itô -Integral ein lokales Martingal. Beweis. Zu dem stochastischen Prozess X t := t f sdb s definieren wir die lokalisierende Folge wie in 4.1. Dann ist nach Definition X t τn ein Martingal und somit X ein lokales Martingal. Natürlich fragt man sich an dieser Stelle, wann ein lokales Martingal auch ein echtes Martingal ist. Dazu der folgende Satz 93

94 4. Stochastische Integration Satz Ein nichtnegatives lokales Martingal X t t [,T ] mit E X < ist ein Supermartingal und falls außerdem EX T = EX 4.12 gilt, ist es ein Martingal. Beweis. Wir werden Fatou s Lemma anwenden. Sei dazu τ n n 1 die lokalisierende Folge, dann gilt EX t τn F s = X s τn, für alle s T. Mit dem Lemma von Fatou folgt direkt, dass EX t F s X s, für alle s T, 4.13 also die Supermartingal-Eigenschaft. Bilden wir den Erwartungswert der letzten Gleichung, so folgt EX EX s EX t EX t, und unter EX = EX T muss gerade Gleichheit in allen Fällen gelten. Daraus folgt auch die Gleichheit für die bedingten Erwartungen in Denn, wäre im gegenteiligen Fall X s > EX t F s auf einer Menge mit positiver Wahrscheinlichkeit, so wäre auch EX s > EX. Das letzte Argument gilt natürlich für alle Submartingale, die 4.12 erfüllten. Diese Bedingung ist ein essentielles Hilfsmittel, um von lokalen auf echte Martingale zu schließen. 4.7 Die Itô -Formel In diesem Abschnitt lernen wir nun das wesentliche Hilfsmittel der stochastischen Integration kennen, die Itô -Formel. Diese Formel bildet die Erweiterung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung auf stochastische Integral. In der einfachsten Form lautet die Itô -formel: Theorem Sei B t t [,T ] eine Brownsche Bewegung. Dann gilt für eine Abbildung f : R R mit stetiger zweiter Ableitung und t [, T ] t f B t = f + f B s db + 1 t f B s ds Besonders interessant ist der zweite Ausdruck, der bei der klassischen Differential- und Integralrechnung nicht auftaucht. Bemerkenswert ist außerdem, dass gerade diese Darstellung eine Zerlegung von f B t in zwei vollkommen unterschiedliche Teile mit sich bringt. Während das db-integral Erwartungswert hat, kann man den zweiten Teil sozusagen als Drift interpretieren. Es ist also eine Zerlegung in Fehler und Drift. 94

95 4.7 Die Itô -Formel Wir werden noch allgemeinere Versionen der Itô -Formel kennenlernen. Die unterschiedlichen Beweise verfahren im wesentlichen analog zum Beweis dieser einfachen Version. Zentrales Hilfsmittel wird die Taylor-Formel sein. Aber - die Terme zweiter Ordnung werden einen wesentlichen Beitrag leisten eben den Drift. Beweis. Der Beweis wird in vier Schritten erfolgen. Schritt 1: Lokalisierung Wie nicht anders zu erwarten, müssen wir bei geringen Voraussetzungen an f eine gewisse Vorsicht walten lassen. Dazu definieren wir für k 1 τ k := inf{t [,T ] : B t k}, und inf / := T. Die τ k bilden eine monoton wachsende Folge, die f.s. gegen strebt. Zeigen wir die Aussage, 4.14, für B t τk, so erhalten wir aus der Stetigkeit von B und f die Behauptung für k. Damit können wir also annehmen, dass f und seine Ableitungen beschränkt durch eine Konstante K sind. Schritt 2: Taylor und der erste Term Wir betrachten eine Zerlegung von [,t], definiert durch t i = it/n, i n. Durch Teleskopieren erhalten wir f B t f = n i=1 f Bti f B ti 1. Wie bereits erwähnt, werden wir die Taylor-Formel bis zur zweiten Ordnung anwenden: f B t f = n i=1 [ f B ti 1 B ti B ti f B ti 1 B ti B ti f ξ i f B ti 1 ] 2 B ti B ti 1 2 =: C n + D n + E n, wobei ξ i zwischen B ti und B ti 1 liegt. Nehmen wir uns zunächst C n vor. C n ist ein stochastisches Integral bezgl. des einfachen Integranden f n s := n f B ti 1 1 ti 1,t i ]s. i=1 Dabei ist natürlich f n H 2, da f nach Schritt 1 als beschränkt angenommen werden kann. Weiterhin gilt mit majorisierter Konvergenz [ t ] 2 t [ ] 2 E f n s f B s db s = E f n s f B s ds, n 95

96 4. Stochastische Integration also C n f B s db s in L 2. Schritt 3: der quadratische Term Wir wissen bereits, dass der Erwartungswert von B ti B ti 1 2 gerade t i t i 1 ist. Wenn wir also D n zentrieren, erhalten wir D n = 1 2 n [ ] f B ti 1 B ti B ti 1 2 t i t i n i=1 2 f B ti 1 t i t i 1. i=1 Die zweite Summe konvergiert als normales Riemann-Integral für alle ω gegen t f B s ds. Schreiben wir für die erste Summe D n, so gilt wegen der Unabhängigkeit der Summanden E D 2 n 1 4 f 2 n [ ] 2 E B B ti t 2 i 1 t i t i 1 = 1 4 f 2 n = t2 2n f 2, i=1 3 t2 n 2 2 t2 n 2 + t2 n 2 d.h. D n in L 2. Schritt 4: der Restterm Da die zweite Ableitung von f stetig ist, können wir den Restterm schreiben als n i=1 E n n i=1 hb ti 1,B ti B ti B ti 1 2, wobei h stetig und beschränkt ist s. Schritt 1, mit hx,x =. Ganz analog zu Schritt 3 erhalten wir damit hb ti 1,B ti 2 L 2 t B ti B ti 1 hb s,b s ds =. Zusammenfassend haben wir bisher stets die L 2 -Konvergenz gezeigt. Damit konvergiert eine Teilfolge fast sicher, für jedes t [,T ]. Nun wählen wir eine abzählbare, dichte Teilmenge T [,T ], auf der demnach mit Wahrscheinlichkeit 1 die Gleichung 4.14 gilt. Da beide Seiten stetig sind, erhalten wir Gleichheit auf ganz [,T ]. Mit der Itô -Formel zur Hand sind wir bereits in der Lage, eine große Zahl von Beispielen durchzurechnen, die uns bereits ein gutes Gefühl für die Anwendungen der stochastischen Integration vermitteln werden. A 4.1 : Zeigen Sie, dass t B s db s = 1 2 B2 t 1 2 t. Wie wir bereits wissen, ist die rechte Seite ein Martingal. Zeigen Sie mit Satz 4.4.4, dass auch die linke Seite ein Martingal ist. 96

97 4.8 Weitere Itô -Formeln A 4.2 : Bestimmen Sie mt := EexpλB t mit Hilfe der Itô -Formel. Bestimmen Sie dazu die Darstellung als stochastisches Integral von Z t = expλb t. Sie erhalten für mt eine Integralgleichung, mt = t 2 λ 2 ms ds. Leitet man nach t ab, so erhält man eine einfache nicht-stochastische Differentialgleichung. Mit obiger Aufgabe gelangt man zu einem interessanten Ergebnis Satz Für eine deterministische, auf [, T ] integrierbare Funktion f t ist der Prozess X t t [,T ], definiert durch X t := t f sdb s ein Gaußscher Prozess mit Erwartungswert und Varianz t f s 2 ds. Für den Beweis betrachtet man die Laplace-Transformierte von X und geht vor wie in obiger Aufgabe. A 4.3 : Berechnen Sie EB 4 t. 4.8 Weitere Itô -Formeln In der Finanzmathematik wird die Funktion f der Preis eines Derivats sein. Da der Preis des Derivats vom underlying abhängt, bietet sich eine Darstellung der Form f t,x t an. Dazu benötigen wir also eine Itô -Formel für Funktionen mehrerer Veränderlicher. Außerdem müssen wir bezglich komplizierterer Prozesse als nur der Brownschen Bewegung differenzieren können. Dies ist das Ziel dieses Abschnitts. Zunächst betrachten wir kompliziertere Prozesse, die aus stochastischen Integralen gewonnen werden. Definition Der Prozess X t t [,T ] heißt Itô-Prozess, falls X F -meßbar und t t X t = X + µsds + σsdb s, t [,T ] Hierbei sind µs s [,T ] und σs s [,T ] adaptierte, stochastische Prozesse mit T T P µs ds < = 1 und P σs 2 ds < = 1. 97

98 4. Stochastische Integration Falls µ, ist dieser Prozess ein alter Bekannter, eben gerade das stochastische Integral was wir in Abschnitt 4.5 kennengelernt haben. X ist dann ein lokales Martingal. Ein Itô-Prozeß ist also ein lokales Martingal mit Drift. Für den Drift benötigen wir nur eine sehr schwache Integrabilitätsbedingung, nämlich dass er lokal von beschränkter Variation ist. Das Itô -Integral lässt sich auch in Bezug auf Itô-Prozeße formulieren, und für f Hloc 2 t t t f sdx s = f sµsds + f sσsdb s, also ist das Integral wieder ein Itô-Prozeß. Betrachten wir zunächst nur Integranden, die von X und t abhängen. Die entsprechende Itô -Formel findet sich in folgendem Theorem. Theorem Sei f C 1,2 R + R und X t [,T ] ein Itô-Prozeß mit Darstellung Dann gilt t f t,x t = f, + f t s,x sds t f + x s,x sdx s t 2 f x 2 s,x sσ 2 sds Natürlich gibt es auch eine mehrdimensionale Itô -Formel, in der korrelierte Brownsche Bewegungen vorkommen, siehe z.b. Karatzas and Shreve, 1988, Kapitel 3.3 oder auch Björk, 1998, Th und Bemerkung Für eine Erweiterung auf Prozesse mit Sprüngen sei auf Protter 24 verwiesen. Bemerkenswerterweise ist die Itô -Formel für Prozesse nur mit Sprüngen wesentlich einfacher aber deswegen auch nicht so weitreichend. Anstelle einer allgemeinen mehrdimensionalen Itô -Formel stellen wir einen Spezialfall vor, der üblicherweise mit partieller Integration bezeichnet wird. Satz Für zwei Itô-Prozesse X,Y mit der Darstellung dxt = µ t dt + σ t db t und dy t = µ t dt + σ t db t gilt t t X t Y t = X Y + X s dy s + Y s dx s + < X,Y > t, 4.16 wobei die quadratische Kovariation wie folgt definiert ist: < X,Y > t = t σ s σ s ds. Bemerkung Neben der quadratischen Kovariation gibt es natürlich auch die quadratische Variation, und es gilt < X > t = t σ 2 s ds. 98

99 4.9 Ein erster Blick auf das Black-Scholes Modell Damit lässt sich auch der quadratische Term in der Itô -Formel jeweils als Integral bezüglich der quadratischen Variation formulieren. Quadratische Variationen werden genauer z.b. in Karatzas and Shreve 1988 behandelt. Der Beweis erfolgt als Übungsaufgabe. A 4.4 : Nutzen Sie X t +Y t 2 Xt 2 Yt 2 = X t Y t, um obigen Satz zu beweisen. 4.9 Ein erster Blick auf das Black-Scholes Modell Bereits in Beispiel?? haben wir die geometrische Brownsche Bewegung kennengelernt. An dieser Stelle betrachten wir diesen Prozess aus einer anderen Perspektive; wir werden diesen Prozess als Lösung einer stochastischen Differentialgleichung sehen. Dazu suchen wir die Lösung von t t S t = x + S s µ ds + S s σ db s Hierbei sind x, µ,σ R. Üblicherweise schreibt man für obige Gleichung kurz ds t = S t µ dt + σ dbt, S = x Was verstehen wir genau unter einer Lösung von 4.17? Das ist ein stochastischer Prozess S t t [,T ], für den die Integrale t S s ds und t S s dw s für jedes t [,T ] existieren und der Gleichung 4.17 mit Wahrscheinlichkeit 1 erfüllt. Zunächst suchen wir eine Idee, wie die Lösung aussehen könnte. Dazu wenden wir eine Transformation, Y t = lns t an und erhalten mit der Itô -Formel und, wenn man 4.18 einsetzt, t lns t = lns + Y t = Y + t 1 ds s + 1 t S s 2 µ σ Ss 2 σ 2 Ss 2 ds, t ds + σ db s. Die Lösung obiger Gleichung ist sozusagen klar, Y t = Y + µ σ 2 /2t + σb t. Deswegen vermuten wir als Lösung von 4.17 S t = x exp µ σ 2 t + σb t. 2 99

100 4. Stochastische Integration Warum diese Vorsicht? Wir waren nicht in allen Schritten präzise. Zunächst ist Y nur definiert unter S >, und außerdem ist ln keine C 2 [,T ]-Funktion. Aber da wir nun eine Vorstellung von der Lösung haben, können wir diese überprüfen: Sei dazu S t = f t,b t mit f t,x = x exp µ σ 2 t + σx. 2 Dann können wir Itô s Formel anwenden und erhalten t S t = x + S s µ σ 2 2 t ds + S s σ db s + 1 t S s σ 2 ds, 2 also gerade An dieser Stelle bleibt natürlich noch die Frage nach der Eindeutigkeit? Ist diese Lösung die einzige, oder gibt es noch andere? Mit der Formel der partiellen Integration kann man das zeigen. Sei dazu x. Wir nehmen an, dass X t t [,T ] ebenso eine Lösung von 4.17 ist. Wir wissen bereits, dass S t, und untersuchen X t St 1. Definiere dazu Z t := S = exp µ + σ 2 t σb t S t 2 = exp µ + σ 2 σ 2 t σb t. 2 Demnach ist Z also Lösung von 4.17 mit den Parametern µ = µ + σ 2 und σ = σ. Mit der Formel für die partielle Integration, 4.16, erhalten wir dx t Z t = X t dz t + Z t dx t + d < X,Z > t = X t Z t µ + σ 2 dt σ dw t + Z t X t µ dt + σ dw t X t Z t σ 2 dt =. Daher ist X t Z t = X Z, also für alle t [,T ] X t = x Z t = S t, P f.s. Da X und Z stetig sind erhalten wir P X t = S t, t [,T ] = 1. In diesem Abschnitt haben wir die Eindeutigkeit der Lösung zu Fuß gezeigt. Dass man das auch allgemeiner formulieren kann, wird Gegenstand des nächsten Abschnitts sein. 1

101 4.1 Das Girsanov-Theorem 4.1 Das Girsanov-Theorem Der oft im Hintergrund verbliebene Wahrscheinlichkeitsraum Ω, A, P wird nun unseren Ausgangspunkt bilden. Wir sind auf der Suche nach einem weiteren Maß Q, welches von P abgeleitet wird. Ein Maß Q auf Ω,A heißt absolut stetig bezüglich P, falls A A : PA = QA =. Mit Hilfe des Radon-Nikodym-Theorems zeigt man folgende Aussage: Theorem Q ist absolut stetig bezüglich P genau dann, wenn eine nicht-negative Zufallsvariable Z existiert, so dass A A QA = ZωdPω. Z nennt man auch Dichte von Q bezüglich P und schreibt Z = dq dp. A Wenn Q und P jeweils absolut stetig bezüglich einander sind, so nennt man sie äquivalent. Hat man nun ein Maß P und ein Maß Q mit der Beziehung dq = Z dp, so fragt man sich zuerst, wie sich Erwartungswerte unter Q berechnen lassen. Die folgende Bayes-Regel stellt den fundamentalen Zusammenhang sogar für bedingte Erwartungswerte her. Theorem Ist Q absolutstetig bezüglich P, hat also die P-Dichte Z, und definiert man L T := E P Z F T bezüglich einer Filtration F, so gilt für eine F T -messbare Zufallsvariable S T E Q S T L t Ft = E P S T L T Ft. Beweis. Sei A F t. Dann ist E Q Ft S T L t dp = A A = = = = A A A A E Q Ft S T E P Z F t dp E Q Ft S T Z dp = E Q Ft S T dq S T dq S T Z dp = A E P S T L T Ft dp. A S T E P Z F T dp Damit ist die Gleichheit der bedingten Erwartungswerte gezeigt. Die zugrundeliegende Beobachtung ist eigentlich, dass die Ausdrücke gleich A S T dq sind. 11

102 4. Stochastische Integration Ist L t t [,T ] sogar ein positiver Prozess, so stellt man die Aussage der Bayes-Regel meist dar als E Q Ft S T = E P L T Ft S T L t Sind P und Q äquivalent wir schreiben dann Q P, so ist die Dichte Z mit Wahrscheinlichkeit 1 positiv. Ist {F } die natürliche Filtration einer Brownschen Bewegung B t [,T ] auf Ω,A,P, so gilt folgende Aussage Theorem Girsanov Für einen F -adaptierten Prozess θ t [,T ], für den das Integral T θ 2 s ds < P-f.s. und der Prozess L t t [,T ], definiert durch t L t = exp θ s db s 1 t θs 2 ds 2 ein Martingal bezgl. P ist, definieren wir ein Maß Q durch QA = L T dp. Dann ist der Prozess A B t + t θ s ds eine Brownsche Bewegung unter Q. t [,T ] Bemerkung Die Bedingung 1 T E exp θs ds 2 < ist hinreichend dafür, dass L ein Martingal ist. Ist F die natürliche Filtration der Brownschen Bewegung und sind P und Q äquivalent, so folgt sogar, dass die Dichte zwingend die Gestalt 4.2 haben muss, wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden. Den Beweis werden wir zu einem späteren Zeitpunkt führen. A 4.5 : Sei B t t eine Brownsche Bewegung auf Ω,A,P. Dann definiert L T := exp θb T 1 2 θ 2 T eine Dichte und wir setzen dq := L T dp. Zeigen Sie mit der Bayes-Regel, dass für t > s und B t := B t + θt E Q expλ B t B s = exp λ B s λ 2 t s. Der Prozess B ist also unter Q ein Martingal, ein Gaußprozess und hat die Kovarianzfunktion s t. Damit ist B eine Brownsche Bewegung. 12

103 4.11 Repräsentation von Brownschen Martingalen Repräsentation von Brownschen Martingalen. Sei wieder F die natürliche Filtration einer Brownschen Bewegung B t t [,T ]. Für f H 2 ist t f s db s t [,T ] ein quadrat-integrierbares Martingal. Das folgende Theorem zeigt, dass sich alle quadrat-integrierbare Martingale in dieser Form darstellen lassen natürlich nur, wenn F die natürliche Filtration von B ist. Theorem Sei M t [,T ] ein quadrat-integrierbares Martingal bezüglich F. Dann existiert ein adaptierter Prozess f t t [,T ], so dass f H 2 gilt und t [,T ] ist t M t = M + f s db s P f.s. Bemerkung Ist M t nicht quadrat-integrierbar, so gilt trotzdem obige Darstellung, allerdings mit f H 2 loc. Auch diesen Beweis werden wir zu einem späteren Zeitpunkt führen. Satz Sei Ω, A, P ein Wahrscheinlichkeitsraum und Q äquivalent zu P. Weiterhin sei B t t [,T ] eine Brownsche Bewegung und A die von B erzeugte σ-algebra. Dann hat die Dichte Z := dq/dp notwendigerweise die Gestalt 4.2. Beweis. Die Dichte Z ist mit Wahrscheinlichkeit 1 eine positive Zufallsvariable, da sonst die beiden Maße nicht äquivalent wären. Weiterhin ist L t := E P Z F t ein Martingal bezgl. der natürlichen Filtration von B, {F } mit EL t = 1 für alle t [,T ]. Wir erhalten aus Theorem die Darstellung t L t = 1 + f s db s mit f Hloc 2. Setzen wir f t := f t /L t, so folgt L t = 1 + t L s f s db s, selbstverständlich mit L t f t t [,T ] Hloc 2. Weiterhin folgt aus 4.2 mit der Itô -Formel dl t = L t θ t db t 1 2 θ t 2 dt L t θt 2 dt = L t θ t db t, mit L = 1. Damit sind ist die Darstellung durch f mit dieser gleichwertig und die Behauptung folgt. 13

104 4. Stochastische Integration 4.12 Stochastische Differentialgleichungen In diesem Abschnitt betrachten wir die stochastische Differentialgleichung t t X t = Z + µs,x s ds + σs,x s db s Was verstehen wir unter einer Lösung von 4.21? Definition Sei {F } eine Filtration. Weiterhin seien µ,σ : R + R R Funktionen, Z eine F -messbare Zufallsvariable und B t t eine Brownsche Bewegung bezgl. F. Eine Lösung von 4.21 ist ein adaptierter stochastischer Prozess X t t, so dass 1. Für alle t existieren die Integrale t µs,x s ds und t σs,x s db s und es gelte t µs,x s ds < und t σ 2 s,x s ds <, P f.s. 2. X t t erfüllt 4.21, d.h. für alle t ist t t X t = Z + µs,x s ds + σs,x s db s, P f.s. Bemerkung Üblicherweise kürzt man Gleichung 4.21 wie folgt ab: dx t = µt,x t dt + σt,x t db t, X = Z. Die Lösung einer Differentialgleichung hängt offensichtlich von der vorgegebenen Filtration {F } und von dem betrachteten Wahrscheinlichkeitsraum Ω,P ab. Deswegen nennt man eine solche Lösung auch starke Lösung. Wie wir später noch sehen werden, sind die Bedingungen an µ relativ einschränkend, und man kann dies umgehen, indem man schwache Lösungen betrachtet. Eine ausführliche Diskussion findet man z.b. in Karatzas and Shreve In folgendem Theorem werden wir hinreichende Bedingungen an µ und σ kennenlernen, welche die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen von 4.21 garantieren. Theorem Sind µ und σ wie in Definition und darüberhinaus stetig, und existiert eine Konstante K <, so dass 1. µt,x µt,y + σt,x σt,y K x y 2. µt,x + σt,x K1 + x 3. EZ 2 < 14

105 4.12 Stochastische Differentialgleichungen dann hat 4.21 für jedes T eine eindeutige Lösung in dem Intervall [,T ]. Darüberhinaus gilt für diese Lösung X t t [,T ], dass E sup Xt 2 t [,T ] <. Die Lösung ist eindeutig in dem Sinn, dass für eine zweite Lösung Y t t [,T ] gerade gilt, dass P X t = Y t, t [,T ] = 1. Beweis. Ganz analog zum Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen wenden wir den Banachschen Fixpunktsatz an. Dahinter steckt die sogenannte Picard-Lindelöf Iteration, die eine Lösung sogar explizit konstruiert. Wir definieren eine Menge M := { X t t [,T ],F adapt. stetige Prozesse mit E sup t [,T ] X t 2 } <. Mit der Norm X = [Esup t [,T ] X t 2 ] 1/2 ist M ein vollständiger metrischer Raum. Für die Anwendung des Fixpunktsatzes benötigen wir nun eine kontrahierende Abbildung. Wir definieren die Abbildung A durch t t AX t = Z + µs,x s ds + σs,x s db s. Für X M garantiert Bedingung 2. dass AX wohldefiniert ist. Wir müssen noch zeigen, dass AX M. Dazu nutzen wir die folgende Lipschitz-Eigenschaft von A, die uns auch für die Kontraktion-Eigenschaft nützlich sein wird. Für zwei Prozesse X,Y M nutzen wir a+b 2 2a 2 + b 2 und erhalten t AXt AY t 2 2 [bs,x s bs,y s ] 2 ds 2 + t [σs,x s σs,y s ]db s 2. Wir wenden die Norm auf M an und nutzen für den zweiten Term die Doobsche Ungleichung Satz und erhalten E sup AX t AY t 2 t [,T ] t 2E sup [µs,x s s,y s ] 2 ds 2 T + 8E [σs,x s σs,x s ] 2 ds t [,T ] 2 K 2 T 2 + 4K 2 T E sup X t Y t 2 t [,T ] 15

106 4. Stochastische Integration mit Bedingung 1. Demnach ist AX AY 2K 2 T 2 + 4K 2 T 1/2 X Y. Will man das für den Schluss AX M ausnutzen, muss man auch A kennen. Mit a + b + c 2 3a 2 + b 2 + c 2 ist A t 2 3 Z 2 t 2 t 2 + bs,ds + σs,dw s, also folgt, indem wir Bedingung 2. anwenden, E sup A t 2 3 EZ 2 + K 2 T 2 + 4K 2 T <. t [,T ] Wir schließen, dass A : M M eine Abbildung ist, die einer Lipschitz-Bedingung mit Lipschitz Konstanten kt := 2K 2 T 2 +4K 2 T 1/2 genügt. Wählen wir T so klein, dass kt < 1 gilt, so ist die Abbildung A sogar eine Kontraktion, hat also nach dem Banachschen Fixpunktsatz genau einen Fixpunkt X in M. Nach der Definition von A ist ein Fixpunkt von A eine Lösung der stochastischen Differentialgleichung, Demnach existiert eine Lösung, falls T ausreichend klein ist. Andererseits ist jede weitere Lösung von 4.21, die in M liegt, ein Fixpunkt von A. Da es aber genau einen Fixpunkt von A in M gibt, ist die Lösung also für kleine T eindeutig. Nun könnte es ja noch sein, dass es eine Lösung gibt, die nicht in M liegt. Wir zeigen, dass das nicht der Fall ist. Sei dazu X ein Itô-Prozeß, dass 4.21 löst. Wir werden eine geeignete Lokalisierung verwenden. Dazu setzen wir τ n := inf{t : X t > n} und definieren f n t := Esup s [,t] X s τn 2. Dann ist f n beschränkt und stetig. Außerdem gilt wie oben [ f n t 3 EZ 2 + E sup s [,t] s τn 3 EZ 2 + 2K 2 T + 4K 2 t 2 ] [ K1 + X u du + 4E [ 1 + E sup u [,s] sup s [,t] X u τn 2] ds. s τn Damit erhalten wir eine Integralungleichung für f n, denn es gilt für positive a,b R f n t a + b t f n sds. Das folgende Lemma wird uns eine Schranke liefern, die für alle n gültig ist. Lemma Gronwall Für a,b > und eine stetige Funktion f, für die für alle t [,T ] gilt, folgt f t a + b f T a t f sds 1 + e bt. ] K X u 2 du 16

107 4.13 Der Ornstein-Uhlenbeck Prozess Beweis. Wir schreiben ut = e bt t f sds. Dann gilt t u t = e bt f s b f sds ae bt. Integrieren liefert ut a/b, und einsetzen liefert die Behauptung. Das Gronwall Lemma liefert demnach f n T CT <, wobei CT nur von T und nicht von n abhängt. Mit dem Lemma von Fatou schließen wir, dass für jedes T E sup X t 2 < CT <. t [,T ] Somit ist X ein Element von M und wir haben den Beweis für ausreichend kleine T abgeschlossen, sozusagen eine lokale Lösung gefunden. Für eine beliebiges T unterteilen wir das Intervall [,T ] in n Teile, wobei wir n so groß wählen, dass T /n ausreichend klein in obigen Sinne gilt. Sukzessive erhalten wir eine eindeutige Lösung auf jedem Teilintervall, die man zu einer Lösung auf [,T ] zusammensetzt Der Ornstein-Uhlenbeck Prozess In diesem Abschnitt werden wir einen vor allem im Zinsbereich äußerst wichtigen Prozess kennenlernen. Wie nicht anders zu vermuten, wird er über eine stochastische Differentialgleichung definiert, dx t = κθ X t dt + σ db t, X = x. Diese SDE kann man explizit lösen. Allerdings gestattet die obige Darstellung einen tiefen Einblick in das Verhalten des Prozesses. Betrachten wir ein κ,1]. Ist nun X t unter θ, so tendiert der Prozess nach oben und zwar um κθ X t plus Rauschen. Ist umgekehrt X t über θ, so tendiert der Prozess nach unten. Er wird sozusagen immer zu θ zurückgezogen. Man nennt diese Eigenschaft treffend mean reversion. Sie kann natürlich durch das Rauschen σdb t mehr oder weniger deutlich überlagert werden. Zur Lösung der SDE werden wir zwei Transformationen nutzen. Zunächst verschieben wir den Prozess um θ nach unten, indem wir Y t = X t θ setzen. Dann gilt dy t = κy t dt + σ db t, Y = x θ. Als zweite Transformation setzen wir Z t = expκty t und erhalten dz t = κe κt Y t dt e κt κy t dt + e κt σ db t = e κt σ db t 17

108 4. Stochastische Integration mit Z = x θ. Die Lösung dieser SDE ist und wir erhalten Z t = x θ + σ t e κs db s, X t = θ + e κt t x θ + σe κt e κs db s. Nach Satz ist der letzte Term ein Gaußscher Prozess, insgesamt ist also X ebenso ein Gaußscher Prozess. Gaußsche Prozesse sind durch ihre Erwartungswert- und Kovarianzfunktion eindeutig bestimmt. Setzen wir G t := t expκsdb s, so hat G für alle t den Erwartungswert und die Kovarianzfunktion CovG s,g t = s t e 2κu du. Interessanterweise ist das auch die Kovarianzfunktion von B τt = B t exp2κudu, also einer Brownschen Bewegung mit Zeittransformation τt := t exp2κudu. Natürlich ist auch Bτt ein Gaußprozess, und somit sind beide Prozesse gleich in Verteilung haben die gleichen fidi s. A 4.6 : Die allgemeine, lineare SDE bezgl. einer Brownschen Bewegung ist Zeigen Sie, dass mit dx t = [ t Z t := exp MtXt + mt dt + StXt + st db t t Mudu + SudW u 1 t ] Su 2 du 2 die eindeutige Lösung von 4.22 gerade durch den folgenden Prozess gegeben ist: t 1 t ] su X t = Z t [X + mu Susu du + dw u. Z u Z u 4.14 Lösungsmethoden für SDEs Im Verlauf der Vorlesung werden wir noch einigen stochastischen Differentialgleichungen begegnen, es ist also nützlich ein paar Lösungsmethoden zur Hand zu haben. 18

109 4.14 Lösungsmethoden für SDEs Koeffizientenvergleich Natürlich wird die Itô -Formel der Wegweiser zur Lösung sein. Für eine Gleichung wie dx t = µx t dt + σx t db t 4.23 nutzen wir den Ansatz X t = f t,b t und erhalten also mit der Itô -Formel dx t = f f x db t + t f 2 x 2 dt Vergleichen wir die dt- und db t -Koeffizienten in 4.23 und 4.24 miteinander, so erhalten wir zwei gewöhnliche partielle Differentialgleichungen, f t f 2 x 2 = µ f f x = σ f. Die zweite Gleichung können wir leicht lösen und erhalten f t,x = exp σx + gt mit einer beliebigen Funktion g. Nutzen wir dies als Ansatz für die linke Differentialgleichung, so erhalten wir g = µ σ 2 2, und insgesamt also die explizite Lösung der geometrischen Brownschen Bewegung, wie bereits bekannt. Leider wird dieser Ansatz nicht immer zur Lösung führen, da sich nicht alle Lösungen in der Form X t = f t,b t darstellen lassen. In vorigem Abschnitt haben wir gesehen, dass ein geschickte Transformation auch zum Ziel führen kann. Hat man keine Idee von einer Transformation, so gelangt man vielleicht mit einem geschickten Ansatz zum Ziel, wie in folgender Methode Multiplikativer Ansatz Bei SDEs der Form dx t = ctx t dt + dtdb t bietet sich ein multiplikativer Ansatz an: [ t X t = at x + bsdb s ]. 19

110 4. Stochastische Integration Damit erhält man [ t dx t = a t x bsdb s ]dt + atbtdb t = a t at X t dt + atbtdb t. Man muss also die Gleichungen lösen. a a = c und ab = d A 4.7 : Lösen Sie die SDE dx t = X t 1 t dt + db t, X =. Zeigen Sie, dass die Lösung ein zentrierter Gaußprozess mit Kovarianzfunktion s t st. Bemerkung Die ist auch die Kovarianzfunktion der Brownsche Brücke, definiert durch B t := B t tb 1, t [,1], ein Prozess, der in der Statistik stochastischer Prozesse eine herausragende Rolle spielt. Wir haben auf diese Weise zwei Darstellungen der Brownschen Brücke erhalten, die unterschiedlicher nicht sein könnten z.b. ist B nicht adaptiert an die natürliche Filtration von B, der obige Prozess X aber schon. 11

111 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit In diesem Abschnitt werden wir eine Methode zur Optionspreisbewertung im Modell von? kennenlernen. Dabei bestehen enge Zusammenhänge mit der Vorgehensweise in Abschnitt?? Cox-Ross-Rubinstein Modell, allerdings werden wir die Methodik etwas verfeinern. Bemerkenswert ist, dass es eine Reihe von Methoden gibt, um die berühmte Formel von Black und Scholes herzuleiten. Der in diesem Abschnitt gewählte Zugang wird üblicherweise als Martingalmethode bezeichnet. Später werden wir diese Formel noch einmal mit partiellen Differentialgleichungen herleiten. 5.1 Der Finanzmarkt Wir beginnen mit einem allgemeinen Modell für einen Finanzmarkt gegeben durch einen d + 1-dimensionalen Itô-Prozess S = S t t [,T ] = S t,...,s d t t [,T ]. S bezeichnet das Bankkonto und S 1,...,S d die risikobehafteten Wertpapiere, etwa Aktien. Ist das Bankkonto durch einen Zinssatz r gegeben, so ist S t = exprt. Eine Annahme wie etwa r konstant wird oft gemacht um die Notation zu erleichtern ist aber in keiner Weise notwendig. Alle wesentlichen Argumente lassen sich im Allgemeinen für progressive messbares r durchführen. Wir nehmen an, dass S als Itô-Prozess gegeben ist ds t = µ t dt + σ t db t, wobei T µ s ds < und T σ s 2 ds < P-f.s. Durchweg betrachten wir eine Filtration F welche die natürliche Filtration von B ist. Definition Eine Handelsstrategie ist durch einen d+1-dimensionalen Prozess φ = H,H gegeben, wobei H reellwertig und adaptiert ist, und H i vorhersehbare Prozesse mit T H s ds < und T H i s 2 ds <,i = 1,...,d jeweils P-f.s. Für H i sind jeweils positive als auch negative Werte zulässig short selling. Der Wert der Handelsstrategie zur Zeit t ist gegeben durch V t φ := d i= H i t S i t. 111

112 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit So genannte selbstfinanzierende Handelsstrategien bilden das Herzstück der Finanzmathematik. Sie sind inspiriert durch eine Vorgehensweise in diskreter Zeit. Eine selbst finanzierte Handelsstrategie in diskreter Zeit genügt der Bedingung Für die Wertveränderung der Handelsstrategie bedeutet dies H t 1 S t + H t 1 S t = H t S t + H t S t. 5.1 V t H = Ht St + H t S t Ht 1 t 1 H t 1S t = Ht 1 t St 1 + H t 1S t S t 1 = H t 1 S t + H t 1 S t. Für eine selbst-finanzierende Handelsstrategie φ in stetiger Zeit fordern wir analog Dies fassen wir in der folgenden Definition zusammen: dv t φ = H t ds t + H t ds t. 5.2 Definition Eine Handelsstrategie H t,h t t T heißt selbst-finanzierend, falls V t φ = V φ + d i= t H i u ds i u, P-f.s. für alle t [,T ]. Für einen Prozess V definieren wir den diskontierten Prozess Ṽ durch Ṽ t := V t St. Folgender Satz wird sich als zentraler Dreh- und Angelpunkt erweisen. Satz Eine Handelsstrategie φ, ist selbst-finanzierend genau dann, wenn für alle t [,T ]. Ṽ t φ = V φ + d i=1 t t Hu i d S u i = V φ + H u d S u P f.s

113 5.1 Der Finanzmarkt Beweis. Für eine selbst-finanzierende Strategie φ erhalten wir mit der Itô -Formel Damit ist dṽ t φ = r t Ṽ t φdt + S t 1 dv t φ. dṽ t φ = r t S t 1 H t S t + H t S t dt + S t 1 H t d S t + S t 1 H t ds t = H t rt S t 1 S t dt + S t 1 ds t = H t d S t, also Gleichung 5.3. Umgekehrt erhält man ähnlich aus 5.3, dass die Strategie selbst-finanzierend ist. Aufgabe: Zeigen Sie die Rück-Richtung im Satz Die interessante Beobachtung des obigen Satzes ist, dass sich die diskontierte Handelsstrategie als stochastisches Integral bezüglich dem diskontierten Aktienprozess ausdrücken lässt. Wäre also S ein lokales Martingal, so auch Ṽ Ein kleiner Exkurs zur Arbitrage Die Beziehung zwischen Arbitragefreiheit und Existenz von äquivalenten Martingalmaßen wird sich in stetiger Zeit als wesentlich heikler als in diskreter Zeit herausstellen. Für eine ausführliche Behandlung sei auf das Buch Delbaen/Schachermayer 27 verwiesen. Zunächst beleuchten wir einige Spezialfälle. Definition Eine Arbitragestrategie ist eine selbstfinanzierende Handelsstrategie φ, für welche gilt, dass 1. PV φ = = 1 2. PV T φ = 1 und 3. PV T φ > >. Bemerkung: Bedingungen 2 und 3 sind äquivalent zu V T φ und EV T φ >. Wir interessieren uns für die Beziehung zwischen den folgenden beiden Bedingungen NAO Es existieren keine Arbitragestrategien im Markt EMM Es existiert ein Maß Q P, so dass S ein Q-Martingal ist. Ein Maß Q, welches EMM erfüllt nennen wir auch risikoneutrales Maß. 113

114 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit B 5.1 : 1. EMM NAO. Wir betrachten einen Fall, in dem diese Beziehung unter zusätzlichen Annahmen an die Handelsstrategien folgt. Sei S 1, d = 1 und gelte under dem äquivalenten Martingalmaß Q, dass ds t = S t σtdb t, B eine Brownsche Bewegung. Dann gibt es keine Arbitragestrategie φ, welche E Q T H s σss s 2 ds < erfüllt. Denn, zunächst ist für eine selbstfinanzierende Handelsstrategie E Q H T S T = H S + E Q T H s ds s. 5.4 Das stochastische Integral ist aber unter den gemachten Annahmen ein Martingal, und somit ist der Erwartungswert. Für eine Arbitragestrategie gilt aber H T S T und somit E Q H T S T >. Mit H S = erhält man einen Widerspruch zu Im Allgemeinen Fall gilt EMM NAO nicht. Durch weitere Einschränkungen an die Handelsstrategien ist es möglich, die Arbitragefreiheit zu garantieren, etwa wenn man nur einfache Handelsstragien betrachtet oder solche die nach unten beschränkt sind. Allgemeiner hat man folgende Aussage von Delbaen/Schachermayer 1994: Eine einfache, vorhersehbare Handelsstrategie ist gegeben durch einen Prozess φ, welcher die Darstellung φt = n i=1 h i 1 τi 1,τ i ]t besitzt. = τ < τ 1 < < τ n T sind hierbei Stoppzeiten und h i ist jeweils F τi 1 -messbar. Eine solche Strategie heißt δ-zulässig, falls V t φ δ für alle t [,T ]. Dann können wir folgende no-arbitrage Bedingung formulieren: no free lunch with vanishing risk NFLVR Ein Preisprozess erfüllt NFLVR, falls für jede Folge, einfacher, vorhersehbarer, δ n - zulässiger selbstfinanzierender Handelsstrategien φ n mit δ n gilt, dass V T φ n P. Theorem Delbaen and Schachermayer In einem Finanzmarkt mit lokal beschränkten Preisprozessen ist EMM äquivalent zu NFLVR. 114

115 5.2 Das einfache Black-Scholes Modell 5.2 Das einfache Black-Scholes Modell Das folgende Modell geht eigentlich auf Samuelson zurück, wurde aber im wesentlichen durch die Arbeit von Black und Scholes 1973 berühmt. Auch Robert Merton hat wesentliche Ideen dazu beigetragen, wie im Artikel von Black und Scholes erwähnt. Wir betrachten einen konstanten Zins r und einen Markt mit einer einzigen Aktie S t, die durch eine geometrische Brownsche Bewegung modelliert werde: ds t = S t µdt + σdb t. Wie wir bereits wissen, hat diese SDE eine eindeutige explizite Lösung S t = S exp µ σ 2 t + σdb t, 2 wobei wir annehmen, dass S eine positive Konstante ist. Daran lässt sich ablesen, dass S t lognormalverteilt ist, was gerade bedeutet, dass lns t normal verteilt ist. Des weiteren hat S die folgenden drei Eigenschaften 1. stetige Pfade 2. unabhängige Renditen, d.h. die Rendite S t S u S u ist unabhängig von σs v : v u 3. stationäre Renditen, d.h. die Verteilungen von S t S u S u und S t u S S sind gleich Man beachte, dass im Vergleich dazu die Brownsche Bewegung unabhängige und stationäre Zuwächse hat. Wichtig ist hier, dass man dieses Konzept auf die Renditen überträgt. Bemerkung S := exp µts t ist ein echtes Martingal, aber kein reguläres Martingal. So gilt für µ =, dass S falls t, und zwar P f.s Das äquivalente Martingalmaß Wir möchten die Bedingung EMM zeigen. Dazu suchen wir ein Maß Q unter dem S ein lokales Martingal ist. Dazu nutzen wir d S t = r S t dt + e rt ds t = S t µ rdt + σdb t µ r = S t σ σ dt + db t. 115

116 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit Setzen wir also B t := B t + µ r σ t, so ist d S t = S t σd B t. Mit dem Girsanov Theorem und θ t = µ r σ erhalten wir also, dass unter dem Maß Q, definiert durch T dq = exp θ s db s 1 T θs 2 ds dp 2 der Prozess B eine Brownsche Bewegung ist, und folglich ist S ein Martingal. Damit haben wir ein großes Teilziel erreicht, denn Q ist äquivalent zu P und alle diskontierten Preisprozesse sind unter Q Martingale. Im Black-Scholes Modell ist Q wegen Bemerkung Q sogar eindeutig! Bemerkung Eine SDE ändert sich unter dem Maßwechsel nicht, allerdings ändern die Prozesse ihre Eigenschaften! Die folgende Aussage werden wir in kurzer Zeit nutzen. A 5.1 : Sei f t t [,T ] ein adaptierter stochastischer Prozess, so dass f H 2 M t := t f u db u. loc und Zeigen Sie, dass aus Esup t [,T ] Mt 2 < folgt, dass E t fu 2 du <, also f H 2. Hinweis: Betrachten Sie die übliche Lokalisierung und zeigen Sie, dass T τn EMT 2 τ n = E fu 2 du Pricing von europäischen Optionen Eine europäische Option ist das Recht, zu einem zukünftigen Zeitpunkt T ein Finanzprodukt zu einem fixen Preis K zu kaufen Call oder zu verkaufen Put. Der Ausübungspreis K ist natürlich bei Kauf der Option festgelegt. In unserem Fall ist das Finanzprodukt eine Aktie mit Kurs S t t. Zur Zeit T hat dieses Recht einen Wert h, der sogenannte Payoff, und es gilt h = S T K + für einen Call, bzw. h = K S T + für einen Put. Wir suchen zu einer Option eine Handelsstrategie, die den Payoff der Option repliziert, d.h. V T φ = h. Für den Beweis werden wir Theorem nutzen, also nur eine gewisse Klasse von Handelsstrategien zulassen können. Definition Eine Handelsstrategie φ = H t,h t t [,T ] heißt zulässig, falls sie selbstfinanzierend ist, Ṽ t φ für alle t [,T ] und [ ] 2 E Q sup Ṽ t <. t [,T ] 116

117 5.2 Das einfache Black-Scholes Modell Wir erhalten das fundemantale Theorem Im Black-Scholes Modell kann man jede Option mit F T -messbaren und quadratintegrierbarem Payoff h replizieren und der Wert des replizierenden Portfolios ist gerade V t φ = E e Q rt t h F t. 5.5 Aus Arbitragegründen muss der Wert der Option zur Zeit t gerade gleich dem Wert der replizierenden Handelsstrategie sein. Für einen Call erhalten wir Ct,T = E e Q rt t + Ft S T K. Den Wert des Erwartungswertes werden wir in Kürze explizit berechnen. Beweis. Für den Beweis nutzen wir das Theorem über die Repräsentation von Brownschen Martingalen. Leider liefert dieses Theorem nur die Existenz einer replizierenden Strategie, nicht aber ihre genaue Form oder ihren Wert. Da wir aber wissen, dass selbstfinanzierende Handelsstrategien Martingale unter Q bilden, werden wir den Wert trotzdem als Erwartungswert ausdrücken können. Wir nehmen zunächst an, dass eine zulässige Handelsstrategie φ = H,H existiert, die die Option repliziert. Deswegen soll natürlich V T φ = h gelten. Für den diskontierten Wert gilt Gleichung 5.3, also t Ṽ t φ = V φ + = V φ + t H u d S u H u σ S u d B u. 5.6 Da φ eine zulässige Handelsstrategie ist gilt, schließen wir mit der Aussage aus Aufgabe 5.1, dass das stochastische Integral sogar ein Martingal ist, und erhalten Ṽ t = E Q Ṽ T Ft. Das ist natürlich gleichbedeutend mit Gleichung 5.5. Jede zulässige Handelsstrategie muss also diese Form haben. Nun zur Existenz. Wir suchen demnach zwei Prozesse H und H, die eine zulässige Handelsstrategie definieren und Ht St + H t S t = V t φ = E Q e rt t h F t. 117

118 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit Wir setzen M t := E Q e rt h F t. Dann ist M unter Q ein quadrat-integrierbares Martingal bezüglich der Filtration F. F ist aber auch die natürliche Filtration von B. Theorem liefert die Existenz eines Prozesses f t t [,T ] mit f H 2 und t M t = M + f s d B s t [,T ] P f.s. Vergleichen wir mit 5.6, so sehen wir leicht, dass mit H t := f t σ S t, t [,T ] und konsequenterweise Ht := M t H t S t eine geeignete Handelsstrategie gefunden ist. In der Tat, Ṽ t ist ein Martingal, und V t φ = e rt M t = E e Q rt t h F t. Das zeigt direkt, dass V t φ, V T φ = h und schließlich E Q [ sup t [,T ] Ṽ t 2 ] <. Nun ist es an der Zeit, konkrete Produkte zu betrachten. Zuerst berechnen wir den Preis eines europäischen Calls, d.h. Ct,T := E Q e rt t S T K + Ft. 5.7 Wir nutzen wieder die unabhängigen Zuwächse der Brownschen Bewegung, indem wir die explizite Darstellung der geometrischen Brownschen Bewegung anwenden, E Q[ e rt t S T K ] + [ ] Ft = e rt t E Q S T K 1{ST F >K} t [ = e rt t E Q[ ] ] S T 1 {ST >K} F t K Q S T > K F t =: e rt t [1 2]. Wenden wir uns zunächst dem zweiten Ausdruck zu. r σ 2 2 = Q S t exp T t + σ BT B t > K F t 2 = Q σ 2 2 T t + σb T B t > ln Ke rt t Ft. S t 118

119 5.2 Das einfache Black-Scholes Modell Der Ausdruck auf der linken Seite von mit B t B t ist unabhängig von F t, während die rechte Seite messbar ist, was uns zu einem unbedingten Erwartungswert führt. Für eine standardnormalverteilte ZV ξ ist Pa + b ξ > x = P ξ > x a b = Φ x a b = P ξ x a b Damit erhalten wir 2 = Φ ln Ke rt t S t + σ 2 2 T t σ T t =: Φ d 2 Nun zum ersten Ausdruck. Wieder ist für ξ N,1 E e a+bξ 1 {a+bξ >x} = x a b = x a b = e b2 2 +a P e a+bz Für den ersten Ausdruck erhalten wir damit mit Wir fassen zusammen: 1 2π e z2 2 dz 1 2π e z2 2bz+b b2 2 +a dz 1 = S t E Q σ2 r e 2 T t+σb T B t 1 S {ln T σ 2 T t = S t exp + 2 ξ + b > x a = e b2 2 +a Φ x a b b + b. r σ 2 2 S t >ln St K } F t Φd 1 T t d 1 = lnk/s t r σ 2 2 T t σ + σ T t = d 2 + σ T t. T t 119

120 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit Theorem Black-Scholes Formel Der Preis eines europäischen Calls zur Zeit t mit Ausübungspreis K und Maturity T ist im Black-Scholes Modell gegeben durch Ct,T = S t Φd 1 Ke rt t Φd 2, 5.8 S t rt t d 1 = ln Ke σ T t d 2 = d 1 σ T t σ T t Den Preis des Call haben wir etwas abgekürzt als Ct,T dargestellt. Eigentlich ist er aber eine Funktion von fünf Argumenten, denn nicht t,t sondern einzig die Restlaufzeit T t geht in die Formel ein, so dass Ct,T = CT t,σ,k,r,s t. Je nach Situation werden wir die gerade günstige Notation verwenden. A 5.2 : Berechnen Sie den Preis einer Digital-Option, d.h. einer Option, die 1 an T zahlt, falls S T > K und Null sonst. A 5.3 : Berechnen Sie den Black-Scholes Preis unter Verwendung folgender Gleichung Eξ = Pξ > xdx, für eine positive ZV ξ. aus Gleichung 5.7. Im Prinzip bedeutet das, dass man den Call auf Digital-Optionen zurückführt. In Abbildung 5.1 sieht man Call-Preise, die nach obiger Formel berechnet wurden. Der Call ist immer teurer, als sein innerer Wert S t K +. Wie machen sich wohl verschiedene Änderungen der Parameter bemerkbar? Ein Händler muss sich natürlich auf eine Veränderung, sei es im Aktienkurs oder etwa in einem der anderen Parameter, reagieren und seine Hedgestrategie anpassen. Wie sieht diese Strategie aus? Aus dem Repräsentations-Theorem erhalten wir leider nur die Existenz. Hier ist also noch etwas Arbeit gefragt. Zur Berechnung der Hedgestrategie stützen wir uns auf Gleichung 5.6, t V t φ = V + H t d S t. Es wird sich als nützlich erweisen, den Call in Abhängigkeit zum Aktienkurs zu schreiben, also als Ct,S t. Wir wissen bereits, dass diese Handelsstrategie replizierend ist, zu jeder Zeit gilt also V t φ = Ct,S t. Wir müssen den Call-Preis in Beziehung zu S t bringen und setzen e rt Ct,S t = Ft, S t mit Ft,x = e rt Ct,e rt x. 12

121 5.2 Das einfache Black-Scholes Modell Preis d.calls T t 1 T t.5 T t Aktienkurs Abbildung 5.1: Preise eines Calls im Black-Scholes Modell. Dabei ist S = 1,σ =.2,r =.1. Mit der Itô -Formel folgt, dass dv t = d Ct,S t = t Ft, S t dt + x Ft, S t d S t x 2 Ft, S t σ 2 S t 2 dt. 5.9 Hierbei ist V t unter Q ein Martingal. Ebenso S t. Damit müssen sich alle Terme mit dt in obiger Gleichung zu addieren, also dv t = x Ft, S t d S t. Nun ist 1 x Ft,x = e rt e rt S Ct,ert x was gleichbedeutend ist mit x Ft, S t = S Ct,S t. Diese partielle Ableitung des Call-Preises wird Delta genannt, 1 Wir kürzen die partielle Ableitung nach S t durch / S ab. 2 t := S Ct,S t = Φd

122 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit In der gewählten selbstfinanzierenden Handelsstrategie ist demnach der Aktienanteil H t gleich t ; zu jedem Zeitpunkt hält die Händlerin t Aktien. Der verbleibende Betrag ist natürlich in das Bankkonto investiert, und errechnet sich zu H t S t = V t H t S t = C t t S t = Ke rt t Φd 2. Unsere Argumentation bis zur Gleichung 5.1 hing gar nicht vom entsprechenden Produkt ab. Dies kann man analog für jede europäische Option mit Payoff f S T zeigen und erhält Theorem Für ein europäische Option mit Payoff f S T an T mit Preis Ft,x = E Q e rt t f S T S t = x ist die replizierende Handelsstrategie gegeben durch A 5.4 : Beweisen Sie Gleichung 5.1, H t = x Ft,x Doch Vorsicht: d 1 ist eine Funktion von S t! H t = e rt[ Ft,S t H t S t ]. S Ct,S t = Φd 1. A 5.5 : Stellen Sie in Abhängigkeit von S t und σ dar Plot. Wie muss eine Händlerin reagieren, wenn der Aktienkurs fällt/steigt bzw. die Volatilität sich ändert. A 5.6 : Die Käuferin eines Calls spekuliert auf steigende Aktienkurse, die Käuferin eines Puts auf fallende. Wie muss eine Option gestaltet sein, damit die Käuferin von einer steigenden Volatilität profitiert? Mit der Put-Call Parität aus Aufgabe?? rt t C t P t = S t Ke erhalten wir sofort für den Preis eines europäischen Puts Pt,T = Ke rt t Φ d 2 S t Φ d 1. Da ein Optionspreis immer positiv sein muss, kann man aus der Put-Call Parität eine untere Schranke für den Call-Preis ableiten C t S t Ke rt t

123 5.2 Das einfache Black-Scholes Modell Preis d.calls T t 1 unt. Schr. T t Aktienkurs Abbildung 5.2: Preise eines Calls im Black-Scholes Modell. Die gestrichelte Linie ist gerade S Ke rt t. Dies wirft ein interessantes Licht auf Grafik 5.1. Die Call-Preise zu unterschiedlichen Restlaufzeiten haben eine unterschiedliche Asymptote. In Grafik 5.2 ist diese mit eingezeichnet. Eine obere Schranke zu finden, ist nicht gerade schwer: C t S t. Allerdings hat diese nicht die gleiche Güte. Für den Put erhalten wir P t und P t Ke rt t. A 5.7 : Bestimmen Sie die Übergangsdichte von S t nach S T, d.h. die Funktion φs t,s T mit der sich der Call-Preis schreiben lässt als +φst Ct,T = x K,xdx In der Einführung hatten wir Optionen bereits unterteilt in in-the-money, at-the-money und out-of-the-money. Betrachten wir einen out-of-the-money Call. Dieser ist zum einen günstiger, zum anderen reagiert er stärker auf Änderungen im underlying. Natürlich hängt das noch von der Restlaufzeit ab. Ist der Ausübungszeitpunkt noch in weiter Ferne, so sind die Bewegungen in der Option nicht so stark wie ganz kurz vor dem Ausübungszeitpunkt. Deutlich wird das in Grafik 5.3. Für eine kurze Restlaufzeit ist das Delta stark unterschiedlich, während für eine lange Restlaufzeit das Delta relativ unabhängig vom Verhältnis strike zu Aktienkurs ist. Man kann noch weitere Eigenschaften des Deltas ablesen. Für große Restlaufzeiten geht Delta gegen 1. Dies liegt am positiven, mittleren Trend der Aktie unter Q ist der Drift gerade r. Damit steigt die Wahrscheinlichkeit, dass die Aktie ins Geld kommt, je länger die Restlaufzeit 123

124 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit Delta ITM ATM OTM T t Abbildung 5.3: Das Delta in Abhängigkeit von der Restlaufzeit für out-of-the-money OTM, at-the-money ATM und in-the-money ITM Optionen S = 1,σ =.2,r =.1. der Option ist. Bemerkenswert ist auch das Verhalten des Deltas für τ gegen. Je nachdem, ob die Option im / am / aus dem Geld ist, konvergiert das Delta gegen 1,.5,. Der ökonomische Hintergrund liegt auf der Hand. Um die Abhängigkeit vom underlying zu quantifizieren, führt man eine neue Kenngröße, den Hebel, ein: C S S C. Eine Aktie hat natürlich den Hebel 1, aber ein Option hat einen größeren Hebel, siehe Bild 5.4. Möchte man ein möglichst risikoreiches Engagement eingehen, so nutzt man demnach Optionen, die weit aus dem Geld sind. Der Hebel, im Unterschied zur partiellen Ableitung, das Verhältnis zwischen prozentualer Änderung des Calls und prozentualer Änderung des underlyings an. 5.3 Delta-Gamma Hedging Halten wir uns die bisherige Vorgehensweise noch einmal vor Augen: Mit Hilfe des Itô -Kalküls haben wir eine replizierende Handelsstrategie gefunden, die uns zu einem eindeutigen Optionspreis geführt hat. Bei der Umsetzung in die Praxis erweisen sich einige Annahmen als nicht 124

125 5.3 Delta-Gamma Hedging T t Hebel Aktienkurs Abbildung 5.4: Der Hebel für einen Black-Scholes Call. Die Abflachung am linken Rand entsteht durch numerische Rundungsfehler S = 1,σ =.2,r =

126 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit durchführbar. Eine davon ist die Maxime, in stetiger Zeit zu handeln. In der Tat, damit der Call- Preis exakt repliziert werden kann muss zu jeder Zeit der hedge angepasst werden. Geschieht das nicht, muss die Vorgehensweise etwas revidiert werden. Wie sind wir zur Itô -Formel gelangt? Die Taylor-Formel war der Dreh- und Angelpunkt. Wendet man die Taylor Formel in diskreter Zeit an, so erhält man Ct,S t+h = Ct,S t + x Ct,S t S t+h S t x 2Ct,S t S t+h S t Schließlich ist C eine stetige Funktion von S. Der Itô -Kalkül sagt nun, dass für h der Faktor am zweiten Summanden gegen ds t konvergiert, und der Faktor am dritten Summanden gegen d < S > t = σ 2 S 2 t dt. In der Realität ist aber h nicht realisierbar. Man kann aber eine bessere Approximation auch dadurch erreichen, dass man in der Taylorentwicklung höhere Terme mit einbezieht. Das ist genau der Ansatz des Delta-Gamma hedgings. Das Gamma für einen Call ist definiert durch Γ t = ΓT t,s t,r,σ,k := d 2 x Ct,S 1 t = φd 1 S t σ T t = e 1 2 S t σ T t. Im Gegensatz zum Black-Scholes hedging, in dem nur das Delta zählt, wählt man im Delta- Gamma hedging das Portfolio so, dass Delta und Gamma gleich Null sind. Zur Erinnerung: In dem hedge-portfolio befinden sich zur Zeit t ein Call short und t Aktien long. Da das Portfolio ja den Call replizieren soll, kann man nur an drehen, und das ist ja bereits festgelegt. Man muss ein weiteres Produkt hinzufügen, um auch das Gamma zu kontrollieren. Hierzu betrachtet man eine weitere Option etwa einen Call mit anderem strike oder maturity, welche am Markt gehandelt wird mit Delta O und Gamma Γ O und kauft zusätzlich b Teile. Dadurch ändert sich natürlich das Delta des Portfolios. Um das Portfolio dennoch Delta-Neutral zu halten, muss man noch Aktien kaufen oder verkaufen. Das hedge-portfolio hat bekanntlich ein Delta von Null und ein Gamma von Γ t Γ. Für das Portfolio mit a Aktien, einem Call short und b der zusätzlichen Option erhalten wir P = a + b O Γ P = Γ + bγ O. Damit dieses Portfolio Delta- und Gamma-neutral ist, wählt man 2 b = Γ Γ O a = Γ Γ O O. 126

127 5.4 Die Greeks Natürlich gilt diese Argumentation für ein allgemeineres Portfolio. Ist es Delta-Neutral und hat ein Gamma Γ, so kauft man b Optionen verkauft Γ O /Γ O Aktien, so ist es auch Gammaneutral. A 5.8 : Führen Sie eine Simulation im Black-Scholes Modell durch. Simulieren Sie den Verlauf der Aktie mit S = 1, r =.2, µ =.1 und σ =.3 über 2 Handelstage. Betrachten Sie dazu einen Call mit maturity T = 1[y] und strike von 8 1,12. Simulieren Sie einen Deltahedge, der jede Woche also alle fünf Tage angepasst wird, einen Delta-hedge, der täglich angepasst wird und die entsprechenden Delta-Gamma hedges. Berechnen Sie die für den hedge anfallenden Kosten. 5.4 Die Greeks Wie wir bereits gesehen haben, spielen die partiellen Ableitungen des Optionspreises eine tragende Rolle. Man nennt sie einfach die Greeks. Dabei gibt es Ableitung bezgl. jedes Parameters, und auch die zweite Ableitung nach dem underlying. Mit τ = T t ist 2 und weiterhin noch Rho und Theta: t = S t Ct,S t = Φd 1 Γ t = 2 St 2 Ct,S t = φd 1 S σ τ κ t = K Ct,S t = e rτ Φd 2 V t = σ Ct,S t = S τφd1 ρ t = r Ct,S t = τke rτ Φd 2 Θ t = τ Ct,S t = S σ 2 τ φd 1 + Kre rτ Φd 2. In Grafik 5.5 sieht man das Delta eines Calls für unterschiedliche strikes und Restlaufzeiten. Zur Erinnerung: Das Delta gibt gerade die Anzahl der Aktien für den hedge des Calls an. Für längere Restlaufzeiten ist Delta nicht so sensitiv gegenüber Änderungen im underlying wie für kurze Restlaufzeiten. In einem solchen Fall entscheidet sich relativ kurzfristig, ob die Option mit einem positiven Payoff endet, oder verfällt. Dies ist für den hedge geradezu kritisch. Hier muss die Händlerin am meisten aufpassen, und unter Umständen in einem kurzen Zeitraum 2 Delta, Gamma, Kappa, Vega, Rho, Theta. Hierbei ist φ die Dichte einer Standardnormalverteilung. 127

128 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit T t Delta Aktienkurs Abbildung 5.5: Das Delta für einen Call im Black-Scholes Modell S = 1,σ =.2,r =.1. eine große Zahl von Aktien nachkaufen. Aus diesen Gründen nennt man Tage, an denen viele Optionen verfallen auch Hexensabbat. Natürlich kann man dies noch einmal sehr gut an der Darstellung des Gammas nachempfinden. Hierzu sei auf Grafik 5.6 verwiesen. 5.5 Schätzen der Volatilität, Implizite Volatilität Für die Anwendung der Black-Scholes Formel ist es notwendig, σ zu bestimmen. Alle anderen Parameter sind bekannt. Die Tatsache, dass die Volatilität in Märkten zufällig fluktuiert macht diese Aufgabe nicht einfacher. Wir stellen zwei gängige Vorgehensweisen vor. 1. Schätzen mit Hilfe von historischen Daten. In diesem Fall gehen wir davon aus, dass die beobachteten Daten S hi,i =,...,n einem Black-Scholes Modell genügen. h ist der Abstand der Daten, also z.b. 1 Tag, 1 Woche oder 1 Monat. Will man den Parameter σ schätzen, so bietet sich eine geeignete Transformation an. So sind X i := lns hi lns hi 1 128

129 5.5 Schätzen der Volatilität, Implizite Volatilität T t Gamma Aktienkurs Abbildung 5.6: Das Gamma für einen Call im Black-Scholes Modell S = 1,σ =.2,r =

130 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit unabhängige, identisch verteilte Daten. Darüberhinaus ist X i N Die Varianz der X i schätzt man mit der Stichprobenvarianz µ σ 2 /2h,σ 2 h. s 2 n := 1 n 1 n i=1 X i X 2, wobei X das arithmetische Mittel der X i bezeichnet. Die Volatilität erhält man demnach durch 1 n σ n = h s2 n = X i X h n 1 2. Implizite Voltilität. Dieses Konzept nutzt im Markt vorhandene Optionspreise und berechnet daraus sozusagen die Einschätzung des Marktes über zukünftige Volatilität. Dieses Konzept hat auch den Vorteil, dass nicht zwingend voraussgesetzt wird, dass das Black-Scholes Modell zutrifft. Allerdings haftet ihm eine Der Markt wirds schon richten - Mentalität an. Angenommen ein Call mit strike K und Restlaufzeit τ wird zum Preis C im Markt gehandelt. Wir schreiben C BS τ,σ,k,r,s t für die Black-Scholes Formel mit den entsprechenden Parametern. Die Implizite Volatilität σ ist die Lösung der Gleichung i=1 C BS T t,σ,k,r,s t = C. Da die Black-Scholes Formel monoton wachsend in σ ist, existiert eine eindeutige Lösung dieser Gleichung. Allerdings muss man für die Berechnung numerische Verfahren anwenden. Man beachte, dass die so bestimmte implizite Volatilität von Strike und Restlaufzeit abhängt! Aus den vorhandenen Optionspreisen für verschieden K und T entsteht eine so genannte Volatility Surface. Hierzu gibt es in jüngster Zeit einige interessante Arbeiten, die unter reinen no-arbitrage Gesichtspunkten analysieren, welche Call Preise mit dem no-arbitrage Prinzip übereinstimmen. Siehe Carmona 27, HJM: a unified approach to dynamic models for fixed income, credit and equity markets. In Paris-Princeton Lectures on Mathematical Finance, Lecture Notes in Mathematics, 1919, Springer. 5.6 Kalibrierung eines Modells... 13

131 5.7 Homogenität der Black-Scholes Formel 5.7 Homogenität der Black-Scholes Formel Ein bisschen wunderlich ist es schon, dass in der Black-Scholes Formel = Φd 1 gilt. Der Hintergrund dafür ist, dass diese Formel im folgenden Sinne homogen ist 3 Dies folgt übrigens direkt aus der Darstellung ClS,lK = lcs,k. CS t,k = E Q e rt t S t S T S t K + Ft, denn im Black-Scholes Modell ist S T /S t unabhängig von S t. Nun kann man Euler s Theorem anwenden: Theorem Für eine homogene Funktion f x,y gilt f x,y = x f x + y f y. Beweis. Der Beweis ist denkbar einfach. Wir setzen x = lx und ỹ = ly und differenzieren l f x,y = f lx,ly nach l: 5.8 Chooser Optionen f x,y = f x x l + f ỹ ỹ l = x f x + y f y. Natürlich gibt es neben Calls und Puts noch eine Reihe an weiteren, so genannten exotischen Option. Ein kleines Beispiel sei an dieser Stelle gestattet. Eine Chooser Option ist eine Option mit einem Ausübungszeitpunkt T 2 und Ausübungspreis K. Jedoch ist zu Beginn noch nicht klar, ob es ein Call oder ein Put ist. Zur Zeit T 1 < T 2 muss sich die Käuferin aber entscheiden, ob sie einen Call möchte oder einen Put. Natürlich wählt sie gerade das Produkt, was am meisten Wert ist, also kann man die Chooser Option als ein Derivat mit Payoff an T 1 V Ch T 1 = max C T1 S T1,T 2,P T2 S T1,T 2 betrachten, wobei Call und Put jeweils Maturity T 2 haben. C T1 S,T ist hierbei der Preis eines Calls an T 1 mit Maturity T > T 1, entsprechend für den Put. Mit der Put-Call Parität ist der Wert 3 Man bezeichnet eine Funktion f x,y als homogen von der Ordnung n, falls l n f x,y = f lx,ly. 131

132 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit an T 1 gerade V Ch T 1 = max C T1 S T1,T 2,C T1 S T1,T 2 S T1 + Ke rt 2 T 1 = C T1 S T1,T 2 + max Ke rt 2 T 1 S T1,. Demnach hat die Chooser Option den gleichen Wert wie ein Portfolio aus einem Call mit Maturity T 2 und Strike K und einem Put mit Maturity T 1 und Strike Ke rt 2 T 1. Beide Produkte können wir bereits bewerten und erhalten demnach für den Preis der Chooser-Option V Ch = S t Φd 1 Ke rt2 t Φd 2 + Ke rt 2 T 1 e rt1 t Φ d 2 S t Φ d 1 = S t Φd 1 Φ d 1 Ke rt 2 t Φd 2 Φ d 2 mit den entsprechenden d 1,d 2, d 1, d 2. A 5.9 : Vergleichen Sie eine Chooser-Option mit T 1 =.5,T 2 = 1 mit einem Call / Put mit Laufzeit T = 1. Fertigen Sie entsprechende Plots an. Wie wirken sich die einzelnen Parameter auf den Preis aus? Geben Sie, wenn möglich, eine ökonomische Erklärung. 5.9 Optionspreisbewertung mit PDEs Bisher wurde ein probabilistischer Zugang zur Herleitung der Black-Scholes Formel gewählt. In der Arbeit von Fisher Black und Myron Scholes wird die Formel allerdings über eine PDE abgeleitet. Insbesondere wenn die Erwartungswerte nicht geschlossen lösbar sind und die Aufgabenstellung niedrig dimensional ist, erweist sich der Zusammenhang mit PDEs als Weg zu einer effizienten Methode zur Bestimmung von Optionspreisen. Die Hedging Strategie wird ebenfalls gleich mitgeliefert. Theorem Sei V : [,T ] R + R Element von C 1,2 und Lösung von V t,s + rs t S V t,s σ 2 S 2 2 S 2V t,s = rv t,s, t,s [,T R und V T,S = hs. Dann repliziert die selbstfinanzierende HS φ = H,H gegeben durch H t = S V t,s t die europäische Option mit Auszahlung hs T and T. Der arbitrage-freie Preis der Option an t ist V t,s t. Beweis. Die Vorgehensweise ist ganz analog zu 5.9. V erfüllt die Voraussetzungen für die 132

133 5.9 Optionspreisbewertung mit PDEs Ito-Formel und somit ist dv t,s t = V t dt +V S ds t V SSd S t [ = V t + rs t V S + 1 ] 2 σ 2 St 2 V S S dt + σs t V S db t = rv t,s t dt + σs t V S db t = H t ds t + r V t,s t H t S t dt mit H t wie im Theorem angegeben. Diese Strategie φ = H,H ist selbstfinanzierend mit entsprechendem H. Darüber hinaus ist φ Replikationsstrategie, da V T,S T = hs T. 133

134 5. Finanzmärkte in stetiger Zeit 134

135 Literaturverzeichnis Albrecher, H., Binder, A. and Mayer, P. 29, Einführung in die Finanzmathematik, Mathematik Kompakt., Birkhäuser Verlag, Basel. Bauer, H. 199, Ma s- und Integrationstheorie, Walter de Gruyter, Berlin. Bernoulli, D. 1738, Specimen theoriae novae de mensura sortis, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, Translated by L. Sommer: Econometrica , Bertsekas, D. 1999, Nonlinear Programming, 2nd edn, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts. Bertsimas, D. and Tsitsiklis, J. N. 1997, Introduction to Linear Optimization, Athena Scientific. Bingham, N. and Kiesel, R. 24, Risk-neutral Valuation, 2nd edn, Springer. Björk, T. 1998, Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press. Black, F. and Scholes, M. 1973, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy 81, Cox, J. C., Ross, S. A. and Rubinstein, M. 1979, Option pricing: A simplified approach, Journal of Financial Econometrics 7, Delbaen, F. and Schachermayer, W. 1994, A general version of the fundamental theorem of asset pricing, Math. Ann. 33, Delbaen, F. and Schachermayer, W. 26, The Mathematics of Arbitrage, Springer Verlag. Berlin Heidelberg New York. Doroshenko, V. 212, The minimal martingale measure on a finite probability space, Theor. Probability and Math. Statist. 84, Filipović, D. 29, Term Structure Models: A Graduate Course, Springer Verlag. Berlin Heidelberg New York. 135

136 Literaturverzeichnis Föllmer, H. and Schied, A. 24, Stochastic Finance, Walter de Gruyter, Berlin. Horn, R. A. and Johnson, C. R. 1991, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press. Cambridge Books Online. Horn, R. and Johnson, C. 199, Matrix Analysis, Cambridge University Press. Hull, J. C. 1993, Options, Futures, and other Derivative Securities, Prentice Hall International, Inc. Karatzas, I. and Shreve, S. E. 1988, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer Verlag. Berlin Heidelberg New York. Mansuy, R. 29, The origins of the word martingale, J. Électron. Hist. Probab. Stat. 51, 1. Translated from the French [MR ] by Ronald Sverdlove. Pliska, S. 1997, Introduction to Mathematical Finance, Blackwell. Protter, P. 24, Stochastic Integration and Differential Equations, 2nd edn, Springer Verlag. Berlin Heidelberg New York. Shreve, S. E. 24a, Stochastic calculus for finance. I, Springer Finance, Springer-Verlag, New York. The binomial asset pricing model. Shreve, S. E. 24b, Stochastic calculus for finance. II, Springer Finance, Springer-Verlag, New York. Continuous-time models. Steele, M. 21, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer Verlag. Berlin Heidelberg New York. von Neumann, J. and Morgenstern, O. 1947, Theory of games and economic behavior, 2nd edn, Princeton University Press. Werner, D. 2, Funktionalanalysis, Springer. 136