John Hull Optionen, Futures und andere Derivate

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1 1. Einführung Beispiele für Derivate sind Futures, Forwards, Swaps oder Optionen. Diese werden entweder über die Börse oder über OTC-Märkte gehandelt. Forward- und Futures-Kontrakte Bei einem Forward-Kontrakt handelt es sich um die Vereinbarung, ein Gut zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt zu einem bestimmten Kurs zu kaufen bzw. zu verkaufen. Forwards werden außerbörslich gehandelt. Die Long-Position verpflichtet sich, das Underlying zu einem festgelegten Zeitpunkt in der Zukunft zu einem festgelegten Preis zu kaufen. Die andere Partei nimmt die Verkaufsposition (Short-Position) ein. Daher ist die Auszahlung einer Long-Position gleich S T -K, aus einer Short-Position hingegen K-S T. Im Gegensatz zu den Forward-Kontrakten werden Futures im Regelfall an einer Börse gehandelt. Optionen Eine Kaufoption (Call) gibt ihrem Besitzer das Recht, das Underlying an oder bis zu einembestimmten Zeitpunkt zu einem festgelegten Kurs zu kaufen. Eine Verkaufsoption (Put) gibt ihrem Besitzer das Recht, das Underlying an oder bis zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einem festgelegten Kurs (Ausübungspreis oder Basispreis) zu verkaufen. Eine amerikanische Option kann bis zum Verfallsdatum jederzeit ausgeübt werden, eine europäische Option nur am Verfalltag selbst. Die Käufer bezeichnet man als Inhaber der Long-Position, die Verkäufer als Inhaber der Short-Position. Der Verkauf der Option wird auch als writing bezeichnet. Händlertypen Drei Hauptkategorien von Händlern lassen sich unterscheiden: Absicherer (Hedger), Spekulanten (Scalper, Day Trader und Position Trader) und Arbitrageure. Absicherer benutzen Futures, Forwards und Optionen, um das Risiko, das ihnen aus der möglichen zukünftigen Veränderung einer Marktvariable erwächst, abzufedern. Spekulanten benutzen Derivate, um auf die zukünftige Entwicklung einer Marktvariablen zu wetten. Arbitrageure nehmen sich ausgleichende Positionen in zwei oder mehr Papieren ein, um einen Gewinn festzuschreiben. 2. Futures-Märkte Die breite Mehrheit von Futures-Kontrakten führt nicht zur Lieferung. Der Grund dafür ist, dass die meisten Händler ihre Positionen vor dem im Kontrakt festgelegten Liefertermin schließen. Wenn eine Börse einen neuen Kontrakt entwickelt, muss sie den Vermögensgegenstand, die Kontraktgröße, den Lieferort und den Liefertermin festlegen. Für viele Kontrakte legt die Börse Grenzen der täglichen Preisschwankung (Preislimits) fest (Kontrakt am unteren bzw. oberen Limit), um große Preisschwankungen infolge spekulativer Übertreibungen zu verhindern. Wenn der Liefermonat eines Futures-Kontrakts heranrückt, konvergiert der Futures-Kurs gegen den Spot-Kurs des Underlyings. Margins Um Zahlungsausfälle zu vermeiden, werden Margins eingehoben. Der Betrag, der zu Kontraktbeginn eingezahlt werden muss, heißt Initial Margin. In der Folge wird das Margin-Konto zu Marktpreisen bewertet (marking to market). Liegt der Kontostand über der Initial Margin, so darf die Differenz abgehoben werden. Es gibt einen Mindestsaldo, wenn nötig, wird eine Nachschussforderung eingehoben (Margin Call). Das zusätzlich eingezahlte Kapital heißt Variation Margin (Nachschusszahlung). Anstatt auf einmal bei seiner Martin Gächter 1

2 Fälligkeit wird ein Futures-Kontrakt durch die tägliche Bewertung zu Marktpreisen jeden Tag glattgestellt. Clearing Die Clearingstelle fungiert als Schnittstelle bei Futures-Transaktionen. Sie zeichnet alle an einem Tag ablaufenden Transaktionen auf, um die Nettoposition jedes Mitglieds ermitteln zu können. Zur Bestimmung der Clearing Margin ermittelt die Clearingstelle die anzahl der noch im Umlauf befindlichen Kontrakte entweder auf Brutto- (Aufsummierung aller Long- und Short-Positionen) oder Nettobasis (Verrechnung der Positionen gegeneinander). Dieses System wird mittlerweile auch von OTC-Märkten imitiert, um das Kreditrisiko zu reduzieren ( Collateralization ). Muster von Futures-Kursen Steigt der Futures-Kurs mit späterem Fälligkeitsdatum, so wird dies als normaler Markt bezeichnet (z.b. Gold). Fällt der Futures-Kurs mit zunehmender Laufzeit, so spricht man von einem inversen Markt (z.b. Rohöl). Die Entscheidung über die Lieferung fällt der Inhaber der Short-Position. Dessen Broker übermittelt dann eine verbindliche Absichtserklärung zur Lieferung an die Clearingstelle. Andere Kontrakte (z.b. Aktienindizes) werden in bar abgewickelt. Orders Market-Order / unlimitierter Auftrag Limitorder Stop-Order / Stop-Loss-Order Stop-Limit-Order Market-If-Touched-Order Forward Privater Vertrag zweier Parteien Nicht standardisiert Gewöhnlich ein spezifizierter Liefertag Abrechnung bei Kontraktende Gewöhnlich Lieferung oder bare Abrechnung Geringes Kreditrisiko Futures Handel an der Börse Standardisiert Lieferzeitraum von mehreren Tagen Tägliche Abrechnung Gewöhnlich Schließung des Kontrakts vor Fälligkeit Im Prinzip kein Kreditrisiko 3. Absicherungsstrategien mit Futures Ein Short Hedge (Verkaufsabsicherung) ist sinnvoll, wenn der Absicherer bereits ein Asset besitzt, das er zu einem zukünftigen Zeitpunkt verkaufen wird. Ein Long Hedge (Kaufabsicherung) bietet sich an, wenn ein Unternehmen eine bestimmte Ware in der Zukunft kaufen will und bereits jetzt den Preis fixieren möchte. Oft wird das Argument vorgebracht, dass die Aktionäre selbst die Absicherung vornehmen könnten, ohne dafür auf das Unternehmen angewiesen zu sein. Tatsächlich macht aber das Volumen von Futures-Kontrakten die Absicherung durch Einzelaktionäre oftmals unmöglich. Jedoch kann sich ein Aktionär mit einem gut diversifizierten Aktienbestand gut gegen sein Exposure absichern. Unter dem Exposure wird die Abhängigkeit gegenüber einem bestimmten Risikofaktor verstanden. Wenn Absicherung in einem bestimmten Wirtschaftszweig nicht üblich ist, kann es sogar sein, dass es für ein Unternehmen keinen Sinn hat, sich anders als die Mitbewerber verhalten zu wollen (wenn die Preise dementsprechend schwanken). Martin Gächter 2

3 Basisrisiko In der Praxis ist eine Absicherung allerdings nicht immer so einfach: Das Asset, dessen Preisrisiko man absichern will, ist eventuell nicht das gleiche, das dem Futures-Kontrakt zugrunde liegt. Zudem weiß der Absicherer vielleicht noch nicht das genaue Datum, an welchem Tag die Ware gekauft bzw. verkauft wird und die Absicherung kann erfordern, dass die Futures-Position lange vor dem Verfalltag geschlossen wird. Diese Probleme führen zum sogenannten Basisrisiko: Basis = Spotkurs Futures-Kurs Falls das abzusichernde Asset und das dem Futures-Kontrakt unterliegende Asset identisch sind, sollte die Basis bei Verfall des Futures-Kontrakt null sein. Das Basisrisiko kann sowohl zu einer Verbesserung als auch zu einer Verschlechterung der Lage eines Absicherers beitragen. Ein Schlüsselfaktor für das Basisrisiko ist die Wahl des zur Absicherung benutzten Futures-Kontrakts (Underlying und Liefermonat). Steht kein Futures- Kontrakt für das abzusichernde Asset zur Verfügung, muss ein Underlying gewählt werden, dessen Preis eng mit dem Preis des abzusichernden Assets korreliert ist (Cross Hedging). Im Allgemeinen steigt das Basisrisiko mit wachsendem Abstand zwischen Absicherungsende und Liefermonat. Cross Hedging Die Hedge Ratio ist das Verhältnis der Höhe der in den Futures-Kontrakten eingenommenen Positionen zur Höhe des ursprünglichen Exposures. Der optimale Absicherungsquotient (Minimum-Varianz-Hedge-Ratio) ist das Produkt aus dem Korrelationskoeffizienten von σs und σf und dem Quotienten der Standardabweichungen von σs und σf: Hedge Effectiveness: Die optimale Anzahl an Kontrakten ergibt sich, indem man die Hedge-Ratio mit der Größe der abzusichernden Position multipliziert und durch die Größe eines Futures-Kontrakts dividiert: Hedging eines Aktienportfolios Futures auf Aktienindizes können dazu verwendet werden, ein Aktienportfolio abzusichern. Wenn das Portfolio ein Spiegelbild des Index darstellt, ist klarerweise eine Hedge Ratio von 1,0 angemessen. Bildet das Portfolio den Index nicht exakt ab, so können wir den Parameter Beta aus dem CAPM zur Bestimmung der passenden Hedge Ratio benutzen. Allgemein gilt h*=β und daher!", wobei P den aktuellen Wert des Portfolios und A den Wert der Aktien, die einem Futures-Kontrakt zugrunde liegen, angibt. Eine Absicherung durch Index-Futures beseitigt das aus den Bewegungen des Marktes resultierende Risiko und setzt den Absicherer nur der relativen Performance seines Portfolios gegenüber dem Markt aus. Die Absicherung einer einzelnen Aktie erfolgt auf ähnliche Art und Weise. Manchmal liegt das Enddatum einer Absicherung hinter den Lieferterminen aller verfügbaren Futures-Kontrakte. Dann muss die Absicherung prolongiert werden, indem man in eine Folge von Futures-Kontrakten eintritt (Rollover). 4. Zinssätze Treasury Rates (Notenbankzinssätze) sind die Zinssätze, die ein Anleger in Trasury Bills und Treasury Bonds erzielt. Diese sind Instrumente, die eine Regierung benutzt, um in ihrer eigenen Währung Kredit aufzunehmen. Martin Gächter 3

4 LIBOR (London Interbank Offered Rate): Zinssatz, zu dem eine Bank bei einer anderen eine Einlage tätigt (meist AA-Rating nötig). LIBID (London Interbank Bid Rate): Dieser Satz gibt an, zu welchem Zinssatz Einlagen von anderen Banken akzeptiert werden. LIBID < LIBOR Repo-Zinssatz: #$%&'()*+,-./ :; Ein Wertpapierhändler vereinbart, Papiere aus seinem Besitz an ein anderes Unternehmen jetzt zu verkaufen und später zu einem geringfügig höheren Preis zurückzukaufen. Mit der Rückkaufvereinbarung gewährt das Unternehmen dem Wertpapierhändler also ein Darlehen. Stetige Verzinsung Stetig: Äquivalenter Zinssatz m-mal/jahr: Zerobond-Zinssätze und Anleihen-Bewertung Der n-jahres-zerobond-zinssatz (Spot-Rate) ist der Zinssatz, den man mit einer Anlage erwirtschaftet, die heute beginnt und n Jahre dauert. Der theoretische Preis einer Anleihe kann berechnet werden als Barwert aller zukünftigen Zahlungen, die dem Halter zufließen werden. Die Effektivverzinsung oder Bond Yield (Rendite) einer Anleihe ist der Diskontierungszinssatz, der bei Anwendung auf alle Cash Flows einen Anleihewert ergibt, der dem Marktpreis der Anleihe entspricht. Die Par Yield für eine bestimmte Laufzeit ist jener Kupon-Zinssatz, der den Anleihewert dem Nennwert gleichsetzt. Treasury Spot Rates und Forward Rates Treasury Spot Rates können mit Hilfe der Bootstrap-Methode aus den Kursen gehandelter Papiere <=>?@ABCDEFG bestimmt werden. Ein Diagramm, welches den Zerobond-Zinssatz als Funktion der Laufzeit HIJKL darstellt, heißt Zinsstrukturkurve. Terminzinssätze oder Forward Rates sind die Zinssätze, die aus den gegenwärtigen Spot Rates für zukünftige Zeiträume abgeleitet werden. Wenn Zinssätze aufeinander folgender Zeiträume bei stetiger Verzinsung kombiniert werden, ist der äquivalente Gesamtzinssatz einfach das arithmetische Mittel der Zinssätze über den gesamten Zeitraum. Wenn R 1 und R 2 die Spot Rates für die Laufzeiten T 1 und T 2 bezeichnen, dann gilt: Ein Forward Rate Agreement (FRA) ist eine außerbörsliche Vereinbarung, dass für Aufnahme oder Anlage eines bestimmten Nominalkapitals während eines festgelegten zukünftigen MNOPQRSTUVWXYZ[\ Zeitraums ein bestimmter Zinssatz gilt. fghijklm nopqrst uvwxy Duration Die Duration einer Anleihe ist ein Maß dafür, wie lange ein Anleiheinhaber im Durchschnitt auf Zahlungen warten muss. Ein Zerobond mit einer Laufzeit von n Jahren hat eine Duration von n Jahren. ]^ _`abcde Die Macaulay-Duration kann als Elastizität zwischen der Veränderung des PV und dem Zinssatz r interpretiert werden. Die Dollar-Duration gibt die absolute Veränderung im Kurs der Anleihe an, wenn r um einen Prozentpunkt zunimmt, die Modified Duration hingegen die relative Veränderung des PV der Anleihe bei einer Zunahme von r um ein Prozent. Martin Gächter 4

5 Die Duration eines Anleihe-Portfolios kann man als gewichtetes Mittel der Durationen der einzelnen Anleihen im Portfolio definieren, wobei die Gewichte proportional zu den Anleihekursen sind. Dabei wird die implizite Annahme getroffen, dass sich die Renditen aller Anleihen um denselben Betrag ändern. Zinsstrukturtheorien Erwartungstheorie Marktsegmentierungstheorie Liquiditätspräferenztheorie 5. Bestimmung von Forward- und Futures-Preisen Investitionsgüter werden von einer wesentlichen Anzahl von Investoren zu Anlagezwecken gehalten, während ein Konsumgut vorrangig für den Verrauch gehalten wird. Arbitrageargumente können genutzt werden, um Forward- oder Futures-Preise eines Investitionsguts zu bestimmen, für Konsumgüter ist dies jedoch nicht möglich. ¼½¾ ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉ ª«z{ }~ ƒ Ž Wert: Bei Leerverkäufen (Shorting) wird ein Asset verkauft, das man nicht besitzt. Ein Anleger in der Short-Position muss dem Broker jeden Ertrag, der normalerweise auf die leerverkauften Wertpapiere gezahlt werden würde (z.b. Dividenden) erstatten. Zur Absicherung muss der Anleger ein Margin-Konto unterhalten. Forward-Preise und Bewertung von Forward-Kontrakten š œ žÿ ±²³ µ ¹º» ˆ Š Œ Investitionsgut ohne Erträge Bekannter Ertrag Bekannte Rendite Forward-Preis Stimmen Forward- und Futures-Kurs überein? Der Kurs von Futures und Forwards mit gleicher Laufzeit stimmt überein, falls der risikolose Zinssatz konstant und für alle Laufzeiten gleich ist. Ist aber beispielsweise der Kurs des Underlyings stark positiv mit den Zinssätzen korreliert, so ist die Long-Position in einem Futures-Kontrakt attraktiver als in einem Forward-Kontrakt. Der Futures-Kurs ist daher höher. Diese Effekte sind in der Praxis aber meist recht klein. Forward- und Futures-Kontrakte auf Währungen Eine Fremdwährung kann als Investitionsgut mit bekannter Rendite aufgefasst werden. Die Rendite ist der risikolose Zinssatz in der Fremdwährung. Die Zinsparitätsbedingung lautet: ÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖ Futures auf Rohstoffe Lagerhaltungskosten können als negative Erträge behandelt werden. Bezeichnet U den Barwert aller Lagerhaltungskosten, die während der Laufzeit eines Forward-Kontrakts anfallen, so gilt: ØÙÚÛÜÝÞßàáâ. Sind die anfallenden Lagerkosten proportional zum Kurs des Rohstoffs, können sie als negative Rendite aufgefasst werden: ãäåæçèéêëìíî. Convenience Yield und Cost of Carry Der Nutzen aus der Lagerhaltung einer Ware wird auch als dessen Convenience Yield (y) bezeichnet: ïðñòóôõö øùúûü. Für Investitionsgüter muss die Convenience Yield null sein, da es sonst Arbitragemöglichkeiten gibt. Die Convenience Yield gibt die Markterwartung über die zukünftige Verfügbarkeit des Rohstoffs an. Martin Gächter 5

6 Die Beziehung zwischen Futures- und Spotkurs lässt sich durch die Cost of Carry (Nettofinanzierungskosten) ýþÿ zusammenfassen. Diese beinhalten die Lagerhaltungskosten und die Zinsen zur Finanzierung des Assets abzüglich der auf das Asset erzielten Erträge. Futures-Kurse und der erwartete zukünftige Spotkurs Ein Anleger fordert im Allgemeinen für die Übernahme von systematischen Risiken eine höhere erwartete Rendite als den risikolosen Zinssatz ( CAPM). Sind die Renditen aus dem Asset unkorreliert mit dem Aktienmarkt, ist der korrekte Zinssatz der risikolose Zinssatz und es gilt Korreliert die Rendite des Assets positiv mit den Renditen des Aktienmarktes, so gilt daher:. Das systematische Risiko ist also positiv. Wenn der Futures-Kurs unter dem erwarteten zukünftigen Spotkurs liegt, wird dies als Normal Backwardation bezeichnet, im gegenteiligen Fall Contango. 6. Zins-Futures Die Tagzählung bestimmt die Art und Weise, in der die Zinsen im Verlauf der Zeit berücksichtigt werden. Es gibt verschiedene gebräuchliche Konventionen: Actual/Actual (in period): US Treasury-Bonds 30/360: Bei US-Unternehmensanleihen 30 Tage/Monat und 360 Tage/Jahr Actual/360: Geldmarktinstrumente Kurse von Treasury Bonds werden in den USA in Dollar und zweiunddreißigstel Dollar angegeben. Kurse von Treasury-Bond-Futures werden genau gleich angegeben. Der angegebene Kurs ist nicht dasselbe wie der Preis, den der Käufer zahlt: Dirty Price = Clean Price + aufgelaufene Zinsen seit der letzten Kuponzahlung Konversionsfaktoren Der Treasury-Bond-Futures-Kontrakt erlaubt der Partei mit der Short-Position die Wahl, eine beliebige Anleihe mit über 15 Jahren Restlaufzeit, welche während der nächsten 15 Jahre nicht kündbar ist, zu liefern. Wird dann eine bestimmte Anleihe geliefert, so bestimmt der Konversionsfaktor den Preis, den die Partei mit der Short-Position erzielt. Der für die Lieferung zu entrichtende Preis ist das Produkt aus Konversionsfaktor und Kurs: Erzielter Betrag = (Abrechnungpreis * Konversionsfaktor) + aufgelaufene Zinsen Der Konversionsfaktor einer Anleihe ist gleich dem Wert der Anleihe je Dollar Nominalkapital am ersten Tag des Liefermonats unter der Annahme, dass der Zinssatz für alle Laufzeiten 6% p.a. (bei halbjährlicher Verzinsung) beträgt. Die Anleihelaufzeit und die Zeiten bis zu den Zinsausschüttungsterminen werden für die Berechnung auf Jahresbruchteile mit 0, 3, 6 und 9 Monaten abgerundet. Cheapest-to-Deliver-Anleihe Die Partei in der Short-Position kann sich aussuchen, welche der verfügbaren Anleihen die günstigste für die Lieferung ist. Um die CtD-Anleihe zu ermitteln, minimieren wir: Clean Price der Anleihe (Abrechnungspreis * Konversionsfaktor) Zusätzlich zum Recht der Wahl der CtD-Anleihe hat die Partei mit der Short-Position noch die so genannte Wild-Card-Option. Ein exakter theoretischer Futures-Kurs für einen Treasury-Bond-Kontrakt ist schwierig zu bestimmen (Zeitpunkt und gelieferte Anleihe offen). Martin Gächter 6

7 Eurodollar-Futures 3-Monats-Eurodollar-Futures sind Futures-Kontrakte auf den 3-Monats-Zinssatz für Eurodollar. Dabei kann ein Anleger einen Zinssatz auf eine Million Dollar für einen zukünftigen 3-Monats-Zeitraum festschreiben. Bei Kontraktende wird der Abrechnungspreis auf 100-R gesetzt (R ist der tatsächliche 3-Monats-Eurodollar-Zinssatz an diesem Tag bei vierteljährlicher Verzinsung auf Basis der Actual/360-Tagzählung). Der Kontrakt ist so ausgestaltet, dass eine Veränderung um einen Basispunkt in der Futures-Notierung (=0,01) einem Gewinn oder Verlust von 25$ je Kontrakt entspricht. Inhaber der Long-Position machen Gewinn, wenn die Zinssätze fallen, während Inhaber der Short-Position von einem Anstieg der Zinssätze profitieren. Der Wert eines Kontraktes (Q=Notierung) beträgt: V = [100-0,25(100-Q)] Der Eurodollar-Futures-Kontrakt entspricht einem Forward Rate Agreement (FRA), das FRA wird jedoch nicht täglich abgerechnet und die Schlussabrechnung erfolgt erst zu T 2. Durationsbasierte Hedging-Strategien Die Anzahl der zur Absicherung gegen ein unbekanntes y benötigten Kontrakte ist, wobei F C den Futures-Kurs, D F und D P die Duration des Futures bzw. Portfolios und P den Wert des Portfolios angibt. N* ist die durationsbasierte Hedge Ratio (Preissensitivitäts-Hedge-Ratio). Ihre Verwendung führt dazu, dass die Duration der gesamten Position null gesetzt wird. Um sich gegen das Zinsrisiko abzusichern, verwenden Finanzinstitute oft das sogenannte Duration Matching, indem sie sicherstellen, dass die Duration ihrer Aktiva gleich der Duration ihrer Passiva (Short-Positionen in Anleihen) ist. Das Duration Matching immunisiert ein Portfolio allerdings nur gegen parallele Verschiebungen in der Zinsstrukturkurve. 7. Swaps Ein Swap ist eine Vereinbarung zwischen zwei Unternehmen, in der Zukunft Cash Flows auszutauschen. Der gebräuchlichste Swap ist ein Plain Vanilla -Zinsswap. Darin verpflichtet sich ein Unternehmen, Cash Flows in Höhe des Zinses zu einem vorher festgelegten Zinssatz auf einen fiktiven Nominalbetrag für eine bestimmte Anzahl von Jahren zu leisten. Im Gegenzug erhält es Zinsen zu einem variablen Satz auf das gleiche fiktive Nominalkapital für den gleichen Zeitraum ( Fixed-for-Floating -Zinsswaps). Ein Zinsswap ist im Allgemeinen so aufgebaut, dass eine Seite die Differenz der beiden zu leistenden Zahlungen an die andere Seite überweist. Das Nominalkapital wird selbst nicht ausgetauscht. Bei einer variabel verzinslichen Anleihe wird der Zins gewöhnlich zu Beginn des Zeitraums, für den er gelten soll, festgelegt und am Ende dieses Zeitraums gezahlt. Meist tritt zwischen die zwei Unternehmen ein Finanzintermediär. Das Finanzinstitut schließt zwei separate Kontrakte ab. Viele große Finanzinstitute agieren als Market Maker für Swaps, die Geld-Brief-Spanne beträgt etwa drei bis vier Basispunkte, den Mittelwert bezeichnet man häufig als Swap Rate. Komparative Vorteile und Swap Rates Komparative Vorteile spielen beim Abschluss von Swaps eine wichtige Rolle. Es wird argumentiert, dass einige Unternehmen einen komparativen Vorteil bei der Kreditaufnahme auf Märkten für festverzinsliche Wertpapiere haben, während andere einen komparativen Vorteil auf Märkten für variabel verzinsliche Geschäfte haben (größere Differenz zwischen den festen Zinssätzen). Dieses Argument ist allerdings umstritten. Die unterschiedlichen Differenzen liegen in der Art der Kontrakte begründet. Wenn sich die Kreditwürdigkeit eines Unternehmens, das Martin Gächter 7

8 einen variablen Zinsswap abgeschlossen hat, verschlechtert, so kann der Kreditgeber die über den LIBOR hinausgehende Zinsspanne (Spread) erhöhen oder den Rollover des Kredits gänzlich ablehnen. Der Anbieter festverzinslicher Finanzierungsformen kann die Bedingungen des Kredits nicht auf diese Weise anpassen. Das Unternehmen macht mit einem Swap womöglich ein gutes Geschäft, trägt aber gleichzeitig das Risiko eines Zahlungsausfalls des Finanzinstituts. Die Swap Rate ist der Mittelwert aus dem festen Zinssatz, den ein Swap Market Maker im Austausch für LIBOR zu zahlen ist (Ankaufssatz) und dem festen Zinssatz, den er im Austausch für LIBOR erhalten möchte (Verkaufssatz). Beispielsweise enthält die 5-Jahres- Swap-Rate ein Kreditrisiko, welches der Situation von zehn aufeinander folgenden 6- Monats-Darlehen an Unternehmen mit AA-Rating entspricht. Daher sind Swap Rates niedriger als AA-Kreditzinssätze. Swap Rates werden häufig dazu verwendet, um die LI- BOR-Spot-Rate-Strukturkurve auf über zwei Jahre hinaus zu erweitern. Bewertung von Zinsswaps!"#$% Bei Abschluss hat ein Zinsswap den Wert null. Es gibt zwei Ansätze für die Bewertung, nämlich als die Differenz zweier Anleihen oder als ein Portfolio von FRA s. Bei einem Zinsswap werden die Nominalbeträge nicht ausgetauscht. &'()*+,-./ Der Swap kann aus der Sicht des variablen Zinszahlers als Long-Position in einer festverzinslichen Anleihe und Short-Position in einer variabel verzinslichen Anleihe aufgefasst werden: Der Wert der variabel verzinslichen Anleihe entspricht nach einer Zinszahlung ihrem (fiktiven) Nominalbetrag, weil die Anleihe zu diesem Zeitpunkt ein faires Geschäft darstellt. Der Wert der variabel verzinslichen Anleihe beträgt daher: Währungsswaps In seiner einfachsten Form beinhaltet ein Währungsswap den Austausch von Nominalbetrag und Zinszahlungen in einer Währung gegen Nominalbetrag und Zinszahlungen in einer anderen Währung. Die Nominalbeträge in der jeweiligen Währung werden gewöhnlich zu Beginn und am Ende der Laufzeit des Swaps ausgetauscht. Meist spricht man von Fixed-for-Fixed-Währungsswaps, da der Zinssatz für beide Währungen fest ist. Auch Währungsswaps können durch komparative Vorteile motiviert sein. Im Gegensatz zum Plain-Vanilla-Zinsswap werden hier Zinssätze in zwei verschiedenen Währungen verglichen und es ist daher wahrscheinlicher, dass die komparativen Vorteile wirklich bestehen. Der Wert eines Swaps, bei dem Eurobeträge eingenommen und Fremdwährungsbeträge gezahlt werden, beträgt: Kreditrisiko Kontrakte, die wie Swaps Verträge zwischen zwei Unternehmen darstellen, bringen ein Kreditrisiko mit sich. Wenn die Gegenpartei in Konkurs geht, ergibt sich ein Verlust, falls der Wert des Swaps für das Finanzinstitut positiv ist, und es ändert sich nichts an der Position der Finanzinstitution, falls der Wert des Swaps für das Finanzinstitut negativ ist. Die möglichen Verluste durch Zahlungsausfall sind bei einem Swap viel geringer als bei einem Darlehen mit demselben Nominalkapital, weil der Wert des Swaps gewöhnlich nur einen kleinen Bruchteil des Wertes des Darlehens darstellt. Bei einem Währungsswap sind die potentiellen Verluste daher natürlich dementsprechend größer. Marktrisiken kön- Martin Gächter 8

9 nen durch den Eintritt in ausgleichende Kontrakte abgesichert werden, Kreditrisiken sind nicht so leicht abzusichern. 8. Optionsmärkte Die Auszahlung einer Long-Position in einem europäischen Call beträgt max(s T -K,0), die Auszahlung eines europäischen Puts hingegen max(k-s T,0). Aktienoptionen werden meist an Börsen gehandelt, während Währungsoptionen häufig über den OTC-Markt getätigt werden. Bei einer Index-Option umfasst ein Kontrakt den Kauf oder Verkauf des hundertfachen Wertes des Index zum festgelegten Basispreis. Die Abrechnung erfolgt immer in bar. Wenn eine Börse einen bestimmten Futures-Kontrakt handelt, dann handelt sie häufig auch Optionen auf diesen Kontrakt, die meist kurz vor dem Lieferzeitraum des Futures verfallen. Zur Spezifikation von Aktienoptionen zählen insbesondere der Verfalltermin und der Basispreis. Alle Optionen desselben Typs (Kauf- bzw. Verkaufsoptionen) auf ein Underlying werden als Optionsklasse bezeichnet. Eine Optionsserie besteht aus allen Optionen einer gegebenen Klasse mit gleichem Verfalltag und gleichem Basispreis. Optionen können sich im Geld, am Geld oder aus dem Geld befinden. Der innere Wert einer Option ist definiert als das Maximum von null und dem Wert, den die Option hätte, wenn sie unmittelbar ausgeübt werden würde. Eine amerikanische In-the-money-Option muss daher mindestens so viel Wert sein wie ihr innerer Wert. Der Gesamtwert einer Option ist die Summe aus innerem Wert und dem Zeitwert. Dividenden und Aktiensplits Die Optionen auf den früheren OTC-Märkten waren dividendengeschützt. Börsengehandelte Optionen werden normalerweise nicht um die Dividendenzahlungen bereinigt, jedoch bei Aktiensplits oder Kapitalerhöhungen aus Gesellschaftsmitteln dementsprechend angepasst. Nach einem n-zu-m-aktiensplit wird der Basispreis auf m/n seines vorherigen Wertes reduziert, die Anzahl der von einem Kontrakt abgedeckten Aktienanteile vergrößert sich auf das n/m des vorherigen Wertes. Häufig gibt es Positionsobergrenzen für Optionskontrakte, damit kein einzelner Anleger den Markt zu stark beeinflussen kann. Die meisten Optionsbörsen ermöglichen den Handel mit Market Makers, um die Liquidität am Markt zu steigern. Ein Anleger, der eine Option erworben hat, kann die Position schließen, indem er eine Glattstellungsorder zum Verkauf derselben Option stellt. Margins In den USA kann ein Anleger beim Aktienkauf entweder bar bezahlen oder über ein Margin-Konto Kredit aufnehmen. Anleger dürfen Optionen nicht mittels eines Margin-Kontos erwerben, da Optionen bereits einen beträchtlichen Leverage (implizite Fremdkapitalaufnahme) haben. Ein Anleger, der Optionen verkauft, muss Kapital auf seinem Margin- Konto halten. Eine ungedeckte Option (Naked Option) ist eine Option, die nicht mit einer (ausgleichenden) Position in der zugrunde liegenden Aktie kombiniert ist. Die Options Clearing Corporation garantiert, dass Optionsverkäufer ihren Verpflichtungen aus den Optionskontrakten nachkommen (Margin-Konto). Optionsscheine, Mitarbeiteroptionen und Wandelanleihen Optionsscheine und Optionsprogramme für Mitarbeiter sind Kaufoptionen, die vom Unternehmen in der Regel mit der eigenen Aktie als Underying ausgegeben werden. Werden diese ausgeübt, dann emittiert das Unternehmen weitere Aktien zum Basispreis der Option. Optionsscheine (Warrants) sind Kaufoptionen, die oft als Ergebnis einer Anleihe- Emission entstehen. Mitarbeiteroptionen sind Kaufoptionen, die an Mitarbeiter ausgege- Martin Gächter 9

10 ben werden, um sie zu motivieren, im besten Interesse der Aktionäre zu handeln. Eine Wandelanleihe ist eine von einem Unternehmen emittierte Anleihe, die zu bestimmten Zeitpunkten zu einem vorher festgelegten Wechselverhältnis in Aktien umgewandelt werden kann (Anleihe mit integrierter Kaufoption auf die Aktien des Unternehmens). Nicht alle Optionsgeschäfte werden an Börsen getätigt, viele davon werden auch telefonisch auf dem OTC-Markt gehandelt. Ein Vorteil von OTC-Optionen besteht darin, dass diese genau auf die Kundenwünsche zugeschnitten werden können und sich teilweise von Standard-Calls und Puts unterscheiden (exotische Optionen). 9. Eigenschaften von Aktienoptionen Europäischer Call Europäischer Put Amerikanischer Call Amerikanischer Put Aktueller Aktienkurs Basispreis Restlaufzeit?? + + Volatilität Risikoloser Zinssatz Dividenden Tabelle 1: Einflussfaktoren auf Optionspreise Die Auswirkungen des Aktienkurses und des Basispreises bei Call- und Put-Optionen sind aufgrund der Überlegungen zu den jeweiligen Auszahlungsprofilen relativ intuitiv verständlich. Ebenso ist klar, dass die Preise amerikanischer Optionen mit zunehmender Laufzeit steigen, was bei europäischen Optionen zwar auch meistens der Fall ist, aber nicht immer angenommen werden kann (z.b. Dividendenausschüttung etc.). Da der Besitzer einer Kaufoption stark von Kursanstiegen profitiert, jedoch im Falle eines Kursrückgangs ein begrenztes Risiko hat, steigen die Optionspreise mit zunehmender Volatilität des Underlyings. Nicht ganz so eindeutig ist der Einfluss des risikolosen Zinssatzes. Wenn die Zinssätze steigen, steigt tendenziell die Renditeforderung der Anleger für die Aktie. Außerdem sinkt der Barwert jeder zukünftigen Einzahlung für den Optionsinhaber. Die kombinierte Wirkung dieser beiden Effekte führt dazu, dass der Wert von Verkaufsoptionen sinkt und der Wert von Kaufoptionen steigt (ceteris paribus, insbesondere der Aktienkurs bleibt unverändert). Dividenden bewirken eine Reduktion des Aktienpreises am Ausschüttungstag. Das ist schlecht für den Wert von Kaufoptionen und gut für den Wert von Verkaufsoptionen. Wertober- und Wertuntergrenzen von Optionen Call: c S 0 und C S 0 Put: p Ke -rt und P K Wertuntergrenze für Call auf dividendenlose Aktie: c max(s 0 Ke -rt,0) Wertuntergrenze für europäischen Put auf dividendenlose Aktie: p max(ke -rt S 0,0) Put-Call-Parität c + Ke -rt = p + S 0 S 0 K C - P S 0 Ke -rt Vorzeitige Ausübung Eine vorzeitige Ausübung eines amerikanischen Calls auf eine dividendenlose Aktie ist niemals optimal. Dafür gibt es zwei Gründe: Einerseits die Versicherungsleistung, da der Martin Gächter 10

11 Call den Inhaber gegen das Sinken des Aktienkurses unter den Basispreis versichert und andererseits der Zeitwert des Geldes (Basispreis muss erst später bezahlt werden). Hingegen kann es optimal sein, einen amerikanischen Put auf eine dividendenlose Aktie vorzeitig auszuüben. Ein Put sollte zu einem beliebigen Zeitpunkt ausgeübt werden, wenn er sich ausreichend tief im Geld befindet. Daher hat eine amerikanische Verkaufsoption immer einen höheren Wert als die entsprechende europäische Verkaufsoption. Da der Wert eines amerikanischen Puts manchmal seinem inneren Wert entspricht, kann der Wert eines europäischen Puts sogar unter seinem inneren Wert liegen. Dividenden Wertuntergrenzen: c S 0 D Ke -rt p D + Ke -rt S 0 Es kann optimal sein, eine amerikanische Kaufoption direkt vor dem Ausschüttungstag auszuüben, zu anderen Zeitpunkten ist die Ausübung eines Calls jedoch nie optimal. Put-Call-Parität mit Dividenden c + D + Ke -rt = p + S 0 S 0 D K C P S 0 Ke -rt 10. Handelsstrategien mit Optionen Eine Long-Position in einer Aktie und einer Short-Position in einer Kaufoption wird als Schreiben eines Covered Call bezeichnet (ähnelt dem Verkauf eines Puts). Die Strategie Protective Put beinhaltet den Erwerb einer Verkaufsoption und einer Aktie (ähnelt dem Erwerb eines Calls). 1 Spreads 2 Eine Spread-Handelsstrategie beinhaltet die Einnahme einer Position in zwei oder mehr Optionen desselben Typs. Bull Spread: Erwerb eines Calls auf eine Aktie mit einem bestimmten Basispreis und Verkauf eines Calls auf dieselbe Aktie mit einem höheren Basispreis. Dies erfordert eine Anfangsinvestition. Ein analoges Gewinnprofil kann durch den Erwerb eines Puts mit einem niedrigen Basispreis und den Verkauf eines Puts mit einem hohen Basispreis gebildet werden. Bear Spread: Im Gegensatz zum Bull Spread ist der Anleger hier daran interessiert, dass der Aktienkurs fallen wird. Box Spread: Kombination aus einem Bull Call Spread mit den Basispreisen K 1 und K 2 und einem Bear Put Spread mit denselben Basispreisen. Die Auszahlung beträgt immer K 2 -K 1. Butterfly Spread: Dieser enthält Optionen mit drei verschiedenen Basispreisen. Er besteht aus dem Erwerb eines Calls mit einem relativ geringen Basispreis K 1, dem Erwerb eines Calls mit einem relativ hohen Basispeis K 3 und dem Verkauf zweier Calls mit dem Basispreis K 2, welcher genau zwischen K 1 und K 3 liegt. Der Anleger hält hier große Bewegungen des Aktienkurses für unwahrscheinlich. Der Butterfly Spread erfordert eine geringe Anfangsinvestition. Calendar Spread: Hier weisen die Optionen zwar den gleichen Basispreis, aber unterschiedliche Fälligkeitstermine auf. 3 1 Abbildungen S Abbildungen S. 280 f. 3 Abbildung S. 288 Martin Gächter 11

12 Diagonal Spread: Hier unterscheiden sich sowohl die Fälligkeitstermine als auch die Basispreise der beiden Kaufoptionen. Kombinationen aus Calls und Puts Straddles: Erwerb eines Calls und eines Puts mit demselben Basispreis und Fälligkeitsdatum (Bottom Straddle). Ein Top Straddle ist genau entgegengesetzt (Verkauf eines Calls und Puts mit demselben Basispreis und Fälligkeitsdatum). Dies ist sinnvoll, wenn der Anleger eine große Bewegung des Aktienkurses erwartet, ohne zu wissen, in welche Richtung die Bewegung gehen wird. Strips und Straps: Ein Strip besteht aus einer Long-Position in einem Call und zwei Puts mit demselben Basispreis und Fälligkeitsdatum. Ein Strap besteht aus einer Long- Position in zwei Calls und einem Put mit demselben Basispreis und Fälligkeitsdatum. Strangles: Erwerb eines Puts und Calls mit demselben Fälligkeitsdatum und unterschiedlichen Basispreisen (Bottom Vertical Combination). Der Verkauf eines Strangles wird als Top Vertical Combination bezeichnet. Über die Kombination von Calls und Puts mit unterschiedlichem Basispreis und Fälligkeitsdatum lässt sich ein beliebiges Gewinnprofil konstruieren. 11. Binomialbäume Wir betrachten eine Aktie mit dem Preis S 0 und eine Option auf diese Aktie, deren gegenwärtiger Preis f beträgt. Die Option läuft über die Zeit T und der Aktienkurs kann entweder auf S 0 u steigen (Optionspreis f u JKLMNOP ) oder auf S 0 d fallen (Optionspreis f d ). Wir betrachten ein Portfolio, das aus der Long-Position in Aktienanteilen und der Short- Position in einer Option besteht. Wir berechnen nun den Wert für, der das Portfolio risikolos werden lässt: In diesem Fall ist das Portfolio risikolos und muss eine Rendite in Höhe des risikolosen Zinssatzes erzielen. gibt das Verhältnis der Änderung des Optionspreises zur Änderung des Aktienkurses an. Der Wert der Portfolios beträgt also abgezinst (S 0 u f u )e -rt. CDEFGHI S 0 u f u = S 0 d f d bzw. QRSTUVWXYZ[\]^_`abc defghij klm mit Daraus ergibt sich der Wert der Option: Die Formel für die Optionsbewertung enthält keine Wahrscheinlichkeiten für das Steigen oder Fallen des Aktienkurses, da wir ihren Wert in Hinblick auf den Kurs der zugrunde liegenden Aktie berechnen. Die erwartete Rendite der Aktie, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Kursanstiegs mit p angenommen wird, ist genau der risikolose Zins: E(S T )=S 0 e rt. In einer risikolosen Welt sind alle Individuen indifferent gegenüber Risiken und fordern daher keine Kompensation für die Übernahme von Risiken. Dieses Prinzip der Optionsbewertung ist als risikoneutrale Bewertung bekannt. Den Preis, den wir auf diesem Weg erhalten, ist auch in der realen Welt korrekt. Auch in mehrperiodigen Binomialbäumen ist der Optionspreis gleich der erwarteten Auszahlung in einer risikoneutralen Welt, diskontiert mit dem risikolosen Zinssatz. Bei amerikanischen Optionen besteht das Verfahren darin, sich vom Ende bis zum Anfang des Baumes zurückzuarbeiten und an jedem Knoten zu überprüfen, ob eine vorzeitige Ausübung sinnvoll ist. Martin Gächter 12

13 Der Options-Delta Das Delta einer Aktienoption ist das Verhältnis der Änderung des Optionspreises zur Änderung des zugrunde liegenden Aktienkurses. Dieser entspricht der Anzahl an Aktien, die wir nopqrstuv für jede Short-Position in einer Option halten sollten, um ein risikoloses Portfolio zu bilden wxy (Delta-Hedging). z{ }~ Der Delta-Faktor einer Kaufoption ist positiv, das Delta einer Verkaufsoption dagegen negativ. Der Delta-Faktor variiert im Zeitablauf. Die Parameter u und d können so gewählt werden, dass sie zur Volatilität des Aktienkurses passen. Die Wahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung (in der realen Welt) wird als p* angenommen. mit Die erwartete Rendite der Aktie beim Übergang von der realen zur risikoneutralen Welt ändert sich, aber die Volatilität bleibt gleich (Girsanov-Theorem). ƒ ˆ Š Œ Ž š œ žÿ Optionen auf andere Assets Aktien mit stetiger Dividendenrendite: Damit können auch Optionen auf Währungen bewertet werden, da die Fremdwährung als ein Asset angesehen werden kann, das eine Rendite in Höhe des ausländischen Zinssatzes r f bietet. Die Einnahme einer Long- oder Short-Position in einem Futures-Kontrakt verursacht keine Kosten. Daraus folgt, dass ein Futures-Kurs in einer risikoneutralen Welt eine erwartete Wachstumsrate von null aufweist und daher gilt: ª 12. Wiener Prozesse und Itôs Lemma In diesem Kapitel wird für den Aktienpreis ein stochastischer Prozess mit stetigen Variablen in stetiger Zeit entwickelt. Ein Markov-Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess, bei welchem nur der aktuelle Wert einer Variablen für die Prognose der zukünftigen Entwicklung relevant ist. Die vergangenen bzw. historischen Werte der Variablen sowie die Art und Weise, wie der aktuelle Wert entstanden ist, sind nicht von Bedeutung. Die Markov-Eigenschaft von Aktienkursen steht im Einklang mit der schwachen Form der Kapitalmarkteffizienz. Wir betrachten nun eine Variable, die einem Markov-Prozess folgt. Angenommen, ihr derzeitiger Wert liegt bei 10 und die Wertänderung in einem Jahr wird durch Φ(0,1) beschrieben. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Änderung in einem Zeitraum T ist daher Φ(0,«). Die Varianzen von Änderungen sind in aufeinander folgenden Zeitabschnitten für Markov-Prozesse additiv, was für die Standardabweichungen nicht gilt. z= ±²³ µ Wiener Prozesse ¹º»¼½¾ ÀÁÂà Ein solcher Prozess wird auch Wiener-Prozess genannt. Dies ist ein spezieller Markov- Prozess mit einer erwarteten Änderung von null und einer Varianz der Änderungen von 1,0 pro Jahr (Physik: Brownsche Bewegung). Formal folgt die Variable z einem Wiener Prozess, wenn gilt: Die Änderung z in einem kleinen Zeitraum t beträgt mit Für zwei beliebige kleine Zeitintervalle t sind die Werte z unabhängig: Martin Gächter 13

14 ÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕ Ö ØÙ ÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéê (ÄÅ John Hull Optionen, Futures und andere Derivate Wir betrachten den Anstieg des Wertes von z über einen vergleichsweise langen Zeitraum T. Dieser kann mit z(t)-z(0) bezeichnet werden. Daher gilt unabhängig voneinander): und daher Allgemeiner Wiener-Prozess Die mittlere Änderung eines stochastischen Prozesses pro Zeiteinheit wird Drift genannt. Die Varianz pro Zeiteinheit wird als Varianzrate bezeichnet. Ein allgemeiner Wiener- Prozess für eine Variable x kann mithilfe von dz wie folgt definiert werden: dx = a dt + b dz Der Termn a dt impliziert, dass x eine erwartete Änderung in Höhe von a pro Zeiteinheit aufweist. In einem Zeitraum der Länge T wächst der Wert von x um den Betrag at. Der Term b dz kann als zusätzliche Interferenz oder Streuung auf dem von x zurückgelegten Weg angesehen werden. Die Höhe der Interferenz oder Streuung ist das b-fache eines Wiener-Prozesses (Standardabweichung b). Für die Änderung des Wertes von x in einem beliebigen Zeitintervall T ergibt sich schließlich die Normalverteilung mit xë(at,bìí). Der verallgemeinerte Wiener-Prozess hat somit eine erwartete Driftrate von a und eine Varianzrate von b². Itô-Prozess Der Itô-Prozess ist ein allgemeiner Wiener-Prozess, bei dem die Parameter a und b Funktionen der zugrunde liegenden Variablen x und der Zeit t sind: dx = a(x,t) dt + b(x,t) dz Der Prozess für Aktienkurse Das Modell des allgemeinen Wiener-Prozesses îï ðñòóôõö ø berücksichtigt nicht, dass die von Anlegern geforderte prozentuale Rendite aus einer Aktie unabhängig vom Preis der Aktie ist. Die Annahme einer konstanten Drift ist daher ungeeignet. Ist S der Aktienkurs zum Zeitpunkt t, dann sollte die erwartete Drift von S als µs mit einem konstanten Parameter µ angenommen werden. Eine vernünftige Annahme ist, dass die Variabilität der Rendite in einem kleinen Zeitintervall t unabhängig vom Aktienkurs stets identisch ist, d.h. die Standardabweichung ùú der Veränderung sollte proportional zum Aktienkurs sein: ûüýþÿ ds = µsdt + σsdz bzw.!" Dieses Modell kann man als Grenzfall des Random Walk im Rahmen des Binomialbaums für immer kleinere Zeitschritte auffassen. Das hier entwickelte Modell wird als geometrische Brownsche Bewegung bezeichnet. Das Modell für diskrete Zeitpunkt lautet: bzw. Es gilt daher: #$%&'( Itôs Lemma )*+,-./ :;<=>?@ABCD EFGHIJ Der Preis einer Aktienoption ist eine Funktion des Preises der zugrunde liegenden Aktie und der Zeit. Angenommen, der Wert einer Variablen x folgt dem Itô-Prozess, hat die Variable x die Drift a und die Varianz b². Aus dem Lemma von Itô folgt, dass der Prozess, den eine Funktion G von S und t befolgt, wie folgt beschrieben wird: Martin Gächter 14

15 Dies kann man auf einen Forward-Kontrakt anwenden: Der Forward-Preis F folgt ebenso wie S einer geometrischen Brownschen Bewegung. Er hat allerdings eine erwartete Wachstumsrate von µ-r statt µ. Die Wachstumsrate von F ist die Überschussrendite von S über [\]^_`abcdefghijk lmnopqrs KLMNOPQR ˆ Š Œ den risikolosen Zinssatz. Lognormalverteilte Aktienkurse Wir setzen nun G=ln S und setzen ein: STUVWXYZ. Diese Gleichung folgt einem allgemeinen Wiener-Prozess. Dies bedeutet, dass und Dies zeigt, dass ln S T normalverteilt ist. Eine Variable hat eine Lognormalverteilung, wenn ihr natürlicher Logarithmus normalverteilt ist. Der Preis einer Aktie zum Zeitpunkt T ist bei gegebenem gegenwärtigen Preis also lognormalverteilt ist. Die Standardabweichung des Ÿ ª«Logarithmus des ±²³ µ š œ ž Aktienpreises beträgt Ž. 13. Das Black-Scholes-Merton-Modell Das hier verwendete Modell für das Verhalten von Aktienkursen ist genau jenes, das zuvor behandelt wurde: ¹º»¼½¾ ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎ Eine lognormalverteilte Variable kann jeden Wert zwischen null und unendlichen annehmen. Im Gegensatz zur Normalverteilung ist sie schief, Mittelwert, Median und Modus sind nicht identisch. E(S T ) = S 0 ÏÐÑÒÓÔÕÖ Ø ÙÚÛÜÝÞßà áâã e µt Die Lognormalverteilung kann zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer bei stetiger Verzinsung zwischen dem Zeitpunkt null und dem Zeitpunkt T erzielten Rendite herangezogen werden: S T = S 0 e xt und daher çèéêëìíî ïð mit äåæ. Mit wachsender Zeit T verringert sich die Standardabweichung von x. Die erwartete Rendite Die erwartete relative Änderung des Aktienkurses in einem sehr kurzen Zeitabschnitt t beträgt µ t. µ entspricht allerdings nicht der erwarteten stetigen Rendite für die Aktie! Die tatsächlich realisierte Rendite ist nämlich und der E(x)=ñòóô õö Der Grund dafür liegt darin, dass das geometrische Mittel einer (nichtkonstanten) Zahlenfolge immer kleiner ist als das arithmetische Mittel. øùúûüùüûýþÿ!"#$%&'()*+,-'.*/ Volatilität Die Unsicherheit hinsichtlich des zukünftigen Aktienkurses (Standardabweichung) nimmt näherungsweise mit der Quadratwurzel des Zeitraums, den wir in die Zukunft blicken, zu. Diese wird meist aus historischen Daten geschätzt. Meist werden handelsfreie Tage ignoriert, wenn die Volatilität aus historischen Daten geschätzt wird: tuvwxyz{ }~ ƒ Martin Gächter 15

16 Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung Die Argumente ähneln den No-Arbitrage-Argumenten beim Binomialmodell (Bildung eines risikolosen 67 Portfolios, KLMNOP das je eine Position im Derivat und in einer Aktie beinhaltet). Ohne Arbitragemöglichkeiten muss die Rendite aus dem Portfolio dem risikolosen Zinssatz r entsprechen. In jedem sehr kurzen Zeitabschnitt ist der Preis eines Derivates perfekt mit dem Kurs der zugrunde liegenden Aktie korreliert, womit der Gesamtwert des Portfolios am Ende des kurzen Zeitabschnitts mit Sicherheit bekannt ist. Im Rahmen des Black- Scholes-Modells ist die Position in der Aktie und dem Derivat nur für einen sehr kurzen Zeitabschnitt risikolos und muss daher regelmäßig angepasst werden. Eine beliebige Funktion f(s,t), die diese Differentialgleichung erfüllt, ist der theoretische Preis eines gehandelten Derivates. Die risikoneutrale Bewertung ergibt sich daraus, dass in der Gleichung keine Variable vorkommt, die von den Risikopräferenzen des Anlegers abhängt. QRSTUVWXYZ[\]^_`abcd Die erhaltenen Lösungen sind auch in der realen Welt gültig. Wenn wir uns von einer risikoneutralen Welt zu einer risikoaversen Welt bewegen, so ändern sich die erwarteten { }~ Zuwachsraten ƒ ˆ Š der Aktienkurse sowie der Diskontierungssatz, der für beliebige Auszahlungen Ž Œ efghijklmnopqrstuvwxyz des Derivates verwendet wird. Diese beiden Änderungen heben sich stets gegenseitig auf. Bewertungsformeln nach Black-Scholes Die Funktion N(x) ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung. Der Ausdruck N(d 2 ) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass die Option in einer risikoneutralen Welt ausgeübt wird. Somit ist KN(d 2 ) das Produkt aus dem Basispreis und der Wahrscheinlichkeit, dass der Basispreis ausgezahlt wird. Der Ausdruck S 0 N(d 1 )e rt ist der Erwartungswert einer Variablen, die in der risikoneutralen Welt gleich S T ist, wenn S T >K gilt, und anderenfalls den Wert null hat. Wenn die Black-Scholes-Formel in der Praxis angewendet wird, wird der Zinssatz r dem risikolosen Zerobond-Zinssatz für eine Laufzeit von T gleichgesetzt. In der Praxis arbeitet man häufig mit impliziten Volatilitäten, die in den am Markt beobachteten Optionspreisen enthalten sind. Die Berechnung erfolgt durch Einsetzen in die Bewertungsformel, wobei σ die einzige unbekannte Variable ist. Dividenden Bei europäischen Optionen kann die Black-Scholes-Formel angewendet werden, wenn der Aktienpreis um den Barwert aller Dividenden während der Optionslaufzeit reduziert wird. Bei amerikanischen Optionen ist in den meisten Fällen der letzte Ex-Dividende-Tag der einzige Zeitpunkt, den man für eine vorzeitige Ausübung in Betracht ziehen muss. Fischer Black hat für die Bewertung eine Approximation vorgeschlagen: Danach ist der Preis gleich dem Maximum der Preise für zwei europäische Kaufoptionen, die erste verfällt am gleichen Tag, die andere unmittelbar vor dem letzten Ex-Dividende-Tag. 14. Optionen auf Aktienindizes, Währungen und Futures Aktien mit bekannter Dividendenrendite Die Bezahlung einer Dividendenrendite q bewirkt, dass die Wachstumsrate des Aktienkurses um den Betrag q kleiner ist, als sie sonst wäre. Wenn wir daher eine europäische Aktienoption mit Laufzeit T bewerten und die Aktie eine Dividendenrendite von q aufweist, dann vermindern wir den aktuellen Aktienkurs von S 0 auf S 0 e -qt und bewerten an- Martin Gächter 16

17 ª«± ²³ µ ¹º»¼½¾ ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊË š œ žÿ schließend die Option so, als wenn es sich um eine dividendenlose Aktie handeln würde. Die Dividende definiert ÌÍÎÏÐÑÒÓ sich ÔÕÖ ØÙÚÛÜÝ als die Verminderung des Kurses am Ausschüttungstag. áâã Wertuntergrenzen: c max(s 0 Þßà e -qt Ke -rt,0) p max(ke -rt S 0 e -qt,0) Put-Call-Parität: c + Ke -rt = p + S 0 äåæçèéêëì e -qt Optionen: Optionen auf Aktienindizes Ein Indexoptions-Kontrakt wird über das Hundertfache des Indexstands abgeschlossen und meist in bar abgerechnet. Solche Optionen lassen sich genauso behandeln wie Optionen auf Aktien mit bekannter Dividendenrendite. Portfolio-Manager können Indexoptionen verwenden, um ihr Downside-Risiko zu begrenzen. Jeder Kontrakt auf den Index bezieht sich auf das Hundertfache des Index. Daher kann der Portfoliowert gegen eine Situation, in der der Index unter K fällt, abgesichert werden, indem der Portfolio-Manger für jeweils 100S 0 Dollar in dem Portfolio einen Verkaufsoptionskontrakt mit dem Basispreis K erwirbt (bei β=1). Ist das Beta des Portfolios nicht 1, so sollte man für jeweils 100S 0 Dollar des Portfolios Beta-Put-Kontrakte erwerben. Mit steigendem Beta eines Portfolios steigen also auch die Absicherungskosten, da mehr Puts benötigt werden und diese zudem einen höheren Basispreis haben. Währungsoptionen Währungsoptionen werden hauptsächlich am OTC-Markt gehandelt. Während ein Forward-Kontrakt den Wechselkurs für eine zukünftige Transaktion festschreibt, ermöglicht eine Option eine Art von Versicherung. Eine Fremdwährung verhält sich wie eine Aktie mit bekannter Dividendenrendite, der Inhaber der Fremdwährung erhält eine Rendite in Höhe des ausländischen risikolosen Zinssatzes r f in der Fremdwährung. Die oben definierten Formeln bleiben daher gültig, es wird nur q durch r f ersetzt. Bei amerikanischen Währungsoptionen werden am wahrscheinlichsten Kaufoptionen auf hochverzinsliche Währungen und Verkaufsoptionen auf niedrigverzinsliche Währungen vorzeitig ausgeübt. Futures-Optionen Wenn eine Futures-Kaufoption ausgeübt wird, erhält der Inhaber der Option eine Long- Position im zugrunde liegenden Futures-Kontrakt sowie einen Geldbetrag, der dem letzten Abrechnungspreis des Futures abzüglich des Basispreises entspricht. Wenn eine Futures-Verkaufsoption ausgeübt wird, erhält der Inhaber eine Short-Position im zugrunde liegenden Futures-Kontrakt sowie einen Geldbetrag, der dem Basispreis minus dem letzten Abrechnungspreis des Futures entspricht. Die meisten Futures-Optionen sind amerikanischen Typs und werden mit dem Fälligkeitsmonat des zugrunde liegenden Futures- Kontrakts bezeichnet. Die am häufigsten gehandelten Zins-Optionen an US-amerikanischen Börsen sind jene auf Treasury-Bond-Futures, Treasury-Note-Futures und Eurodollar-Futures. Die Preise von Zinsfutures steigen, wenn die Preise der Anleihen ansteigen (d.h. wenn die Zinssätze fallen) und sie fallen, wenn die Preise der Anleihen fallen (d.h. wenn Zinssätze steigen). Martin Gächter 17

18 Put-Call-Parität bei europäischen Futures-Optionen ûüýþÿ c + Ke -rt = p + F 0 e -rt F 0 e -rt K C P F 0 íîïðñòó ôõö øùú Ke -rt Bewertung von Futures-Optionen mit Hilfe von Binomialbäumen Das risikolose Portfolio bestht in diesem Fall aus einer Short-Position in einer Option, die mit einer Long-Position in Futures-Kontrakten kombiniert ist, sodass gilt. Drift von Futures-Preisen in einer risikoneutralen Welt Ein Futures-Preis in einer risikoneutralen Welt verhält sich genau wie eine Aktie, die eine Dividendenrendite in Höhe des inländischen risikolosen Zinssatzes r ausbezahlt. Der Drift des Futures-Preises in einer risikoneutralen Welt ist somit null. Bewertung von Futures-Optionen mithilfe des Modells von Black Die zugrunde liegende Annahme ist, dass Futures-Preise dieselbe Lognormalverteilung aufweisen wie Aktienkurse. Somit können die bereits bekannten Formeln verwendet werden, indem S 0 durch F 0 ersetzt und q=r gesetzt wird. 15. Sensitivitäten von Optionspreisen Das Ziel eines Händlers besteht darin, die Sensitivitätskennzahlen so zu steuern, dass alle Risiken akzeptabel bleiben. Jeder dieser Greeks misst eine andere Dimension des Risikos in einer Optionsposition. Eine Strategie ist der Verzicht auf eine Absicherung (ungedeckte Position). Eine Alternative stellt die gedeckte Position dar, wo nach Verkauf einer Kaufoption Aktien gekauft werden. Keine der beiden Strategien ist zufriedenstellend, da beide zu hohen Verlusten führen können. Eine Stop-Loss-Strategie Die Absicherungsstrategie besteht aus dem Kauf eines Aktienanteils, sobald der Aktienpreis höher ist als K und dem Verkauf der Aktie, sobald der Preis unter K fällt. Durch diese Strategie ist sichergestellt, dass das Unternehmen zum Zeitpunkt T die Aktie hält, wenn die Option am Ende der Laufzeit im Geld liegt und die Aktie nicht besitzt, wenn die Option aus dem Geld ist. Dabei gibt es allerdings zwei Probleme: Erstens treten die Cash Flows für den Absicherer zu verschiedenen Zeitpunkten auf und müssen daher diskontiert werden. Zweitens können Käufe und Verkäufe nicht exakt zum Preis K durchgeführt werden. Daher ist eine Stop-Loss-Strategie nur schlecht geeignet. Delta: Das Delta einer Option ist die Sensitivität des Optionspreises gegenüber dem Preis des Underlyings. Das Delta ist die Steigung der Kurve, welche die Beziehung zwischen Optionspreis und Preis des Underlyings angibt. Eine Position mit =0 wird als deltaneutral bezeichnet. Die Absicherung muss regelmäßig angepasst werden (Rebalancing), man spricht von einer dynamischen Absicherungsstrategie. Demgegenüber stehen die statischen Absicherungsstrategien (Hedge-and-Forget-Strategien). Black und Scholes bewerteten Optionen, indem sie eine deltaneutrale Position bildeten. Martin Gächter 18

19 Delta von europäischen Aktienoptionen (Call) = N(d 1 ) (Put) = N(d 1 ) 1 Die Delta-Absicherung einer Short-Position in einer europäischen Kaufoption bedeutet die Einnahme der Long-Position in N(d 1 ) Anteilen zu jedem Zeitpunkt. Bei einem europäischen Put ist das negativ, d.h. eine Long-Position in einem Put sollte mit einer Long- Position in der zugrunde liegenden Aktie abgesichert werden. Wirft das Underlying eine Rendite q ab, so gilt: (Call) = e -qt N(d 1 ) (Put) = e -qt [N(d 1 ) 1] Das Delta eines Forward-Kontraktes auf eine Aktie ist natürlich immer 1,0. Man kann also die Short-Position in einem Forward-Kontrakt durch den Erwerb einer Aktie absichern und die Long-Position in einem Forward-Kontrakt durch den (Leer-)Verkauf einer Aktie. Aufgrund der Marking-to-Market Eigenschaft von Futures-Kontrakten ist das Delta eines Futures-Kontraktes e rt bzw. bei einem Asset mit Dividendenrendite e (r-q)t und unterscheidet sich geringfügig vom Delta eines Forward-Kontraktes. Futures-Kontrakte können auch dazu benutzt werden, um eine deltaneutrale Position zu erreichen. Die erforderliche Position im Futures-Kontrakt ist dann H F =e -rt H A bzw. H F =e -(r-q)t H A. Wird offensichtlich, dass eine Option ausgeübt wird, so nähert sich Delta 1,0. Wenn klar ist, dass die Option nicht ausgeübt wird, geht das Delta gegen null. Im Gegensatz zu einer Stop-Loss-Strategie wird die Performance einer Delta-Absicherungsstrategie zusehends besser, wenn die Absicherung häufiger angepasst wird. Die Strategie beinhaltet gewöhnlich einen Aktienverkauf unmittelbar nach einem Kursrückgang und einen Aktienkauf unmittelbar -./0 12 "#$%&'( )*+, nach einem Kursanstieg (Buy-High-, Sell-Low-Strategie). Das Delta eines Portfolios aus Optionen oder aus anderen Derivaten, die von einem einzigen Asset mit dem Preis S abhängen, beträgt!. Das kann aus den Deltas der einzelnen Optionen des Portfolios berechnet werden. Besteht ein Portfolio aus n Optionen mit der jeweiligen Stückzahl w i, dann ist das des Portfolios gegeben durch. Theta: Das Theta eines Options-Portfolios misst die Sensitivität des Portfoliowertes gegenüber der Restlaufzeit, wobei alle anderen Faktoren konstant gehalten werden (Zeitwertverfall). In den Formeln wird die Zeit in Jahren angegeben. Um Theta pro Kalendertag zu erhalten, muss man die Formel für Theta durch 365 dividieren : Das Theta einer Option ist gewöhnlich negativ. Ist der Aktienkurs bei einem Call sehr niedrig, dann ist Theta nahe null. Für eine Kaufoption am Geld hat Theta einen hohen negativen Wert. Delta und Theta unterscheiden sich grundlegend. Es besteht Unsicherheit hinsichtlich des zukünftigen Aktienkurses, aber nicht hinsichtlich des Ablaufs der Zeit. Gamma: Das Gamma eines Portfolios von Optionen gibt die Sensitivität des Portfolio-Deltas gegenüber dem Asset-Preis an. Wenn Gamma klein ist, ändert sich das Delta langsam, und es müssen nur relativ selten Anpassungen vorgenommen werden, um die Deltaneutralität des Portfolios zu gewährleisten. Die Krümmung der Kurve zwischen Aktien- und Options- Martin Gächter 19

20 preis wird durch Gamma gemessen. Ist Gamma positiv, so ist das Theta tendenziell negativ. Ist Gamma negativ, so ist Theta tendenziell positiv. Um ein Portfolio gammaneutral zu machen, wird eine Position in einem Wertpapier (z.b. > eine Option) benötigt, welche nicht linear abhängig ist vom ABCDEFG HIJKLMNOPQRS TUVWXY Underlying (Underlying oder Forward-Kontrakt ist daher nicht geeignet, da ;<=). Werden Optionen hinzugefügt, um ein Portfolio gammaneutral zu machen, so sind Anpassungen im Underlying notwendig, damit auch die Deltaneutralität erhalten bleibt. Beziehung zwischen Delta, Theta und Gamma Der Wert eines Portfolios muss die Differentialgleichung erfüllen. Setzt man die Greeks in diese Gleichung ein, so gilt und für ein deltaneutrales Portfolio jklmnopqrstu. Dies erklärt, warum Theta in einem deltaneutralen Portfolio als Stellvertreter von Gamma aufgefasst werden kann. :vwx yz Vega: Der Wert eines Derivats kann sich aufgrund von Volatilitätsbewegungen ändern. Das Vega eines Portfolios aus Derivaten ist die Sensitivität des Portfoliowertes gegenüber der { }~ Volatilität des Underlyings. Weist Vega einen hohen Absolutbetrag auf, reagiert der Wert des Portfolios sehr empfindlich auf kleine Änderungen der Volatilität. Eine Position im Underlying besitzt natürlich ein Vega von null. Leider ist ein gammaneutrales Portfolio im Allgemeinen nicht veganeutral und umgekehrt. Das Vega einer normalen europäischen oder amerikanischen Option ist immer positiv. Rho = Das Rho eines Options-Portfolios gibt die Sensitivität des Portfoliowertes gegenüber dem Zinssatz an. Bei Währungsoptionen gibt es je ein Rho für beide Zinssätze. Portfolio-Insurance Eine Verkaufsoption bietet eine Absicherung gegen den Rückgang des Marktes bei gleichzeitiger Wahrung des Gewinnpotentials. Alternativ kann die Option auch synthetisch nachgebildet werden, indem eine Position im Underlying (bzw. Future auf das Underlying) eingenommen wird, deren Delta gleich dem Delta der geforderten Option ist. Die Verwendung dieser Strategie bedeutet, dass die Mittel zu jedem beliebigen Zeitpunkt auf ein riskantes und daher abzusicherndes Aktienportfolio und auf risikolose Assets aufgeteilt werden. Eine synthetische Nachbildung ist auch mit Index-Futures möglich. Portfolio- Insurance-Strategien haben das Potential, die Volatilität zu erhöhen (Indexarbitrage). 16. Volatility Smiles Die Black-Scholes Formel für die Bewertung von Optionen wird zwar in der Praxis verwendet, allerdings wird die verwendete Volatilität vom Basispreis der Option und von der Restlaufzeit abhängig gemacht. Die grafische Darstellung der impliziten Volatilität einer Option als Funktion ihres Basispreises ist als Volatility Smile bekannt. Bei der Verwendung des Black-Scholes-Modells zur Bewertung einer europäischen Verkaufsoption ist der Bewertungsfehler der gleiche wie bei der Bewertung einer europäischen Kaufoption mit demselben Basispreis und derselben Restlaufzeit. Daher sind die impliziten Volatilitäten auch immer ident, wenn Basispreis und Verfalltermin gleich sind. Währungsoptionen Martin Gächter 20