IQPNNI Moving fast through tree space and stopping in time. Unicyclic Networks: Compatibility and Enumeration

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1 IQPNNI Moving fast through tree space and stopping in time. : and Enumeration Aktuelle Themen der Bioinformatik SoSe 2006 Bärbel Lasitschka

2 Motivation phylogenetic tree reconstruction basierend auf Sequenzdaten von DNA oder Aminosäuren z.b PHYLIP, MEGA, PAUP, Puzzle, PAML speziell für groÿe Datenmengen z.b fastdnaml, BIONJ, weighbor, MetaPIGA, PHYML

3 Motivation Eziente Tree Reconstruction gesucht!

4 Moving Fast Through Tree Space and Stopping in Time IQPNNI Le Sy Vinh und Arndt von Haeseler Heinrich-Heine Universität Düsseldorf und Forschungszentrum Jülich deniere Important Quartets (IQ) Kombiniere verschiedene Algorithmen: Tree Puzzling und Nearest Neighbor Interchange (NNI) optimiere den intermediären Baum delete einen zufällig ausgewählten Teil an Sequenzen füge die Sequenzen wieder ein mit Hilfe des IQP Algorithmus wähle den besten Baum anhand likelihood Wertes aus wende ein spezielles Stopkriterium an

5 Moving Fast Through Tree Space and Stopping in Time IQPNNI Le Sy Vinh und Arndt von Haeseler Heinrich-Heine Universität Düsseldorf und Forschungszentrum Jülich deniere Important Quartets (IQ) Kombiniere verschiedene Algorithmen: Tree Puzzling und Nearest Neighbor Interchange (NNI) optimiere den intermediären Baum delete einen zufällig ausgewählten Teil an Sequenzen füge die Sequenzen wieder ein mit Hilfe des IQP Algorithmus wähle den besten Baum anhand likelihood Wertes aus wende ein spezielles Stopkriterium an

6 Moving Fast Through Tree Space and Stopping in Time IQPNNI Le Sy Vinh und Arndt von Haeseler Heinrich-Heine Universität Düsseldorf und Forschungszentrum Jülich deniere Important Quartets (IQ) Kombiniere verschiedene Algorithmen: Tree Puzzling und Nearest Neighbor Interchange (NNI) optimiere den intermediären Baum delete einen zufällig ausgewählten Teil an Sequenzen füge die Sequenzen wieder ein mit Hilfe des IQP Algorithmus wähle den besten Baum anhand likelihood Wertes aus wende ein spezielles Stopkriterium an

7 Moving Fast Through Tree Space and Stopping in Time IQPNNI Le Sy Vinh und Arndt von Haeseler Heinrich-Heine Universität Düsseldorf und Forschungszentrum Jülich deniere Important Quartets (IQ) Kombiniere verschiedene Algorithmen: Tree Puzzling und Nearest Neighbor Interchange (NNI) optimiere den intermediären Baum delete einen zufällig ausgewählten Teil an Sequenzen füge die Sequenzen wieder ein mit Hilfe des IQP Algorithmus wähle den besten Baum anhand likelihood Wertes aus wende ein spezielles Stopkriterium an

8 Moving Fast Through Tree Space and Stopping in Time IQPNNI Le Sy Vinh und Arndt von Haeseler Heinrich-Heine Universität Düsseldorf und Forschungszentrum Jülich deniere Important Quartets (IQ) Kombiniere verschiedene Algorithmen: Tree Puzzling und Nearest Neighbor Interchange (NNI) optimiere den intermediären Baum delete einen zufällig ausgewählten Teil an Sequenzen füge die Sequenzen wieder ein mit Hilfe des IQP Algorithmus wähle den besten Baum anhand likelihood Wertes aus wende ein spezielles Stopkriterium an

9 IQPNNI - ein Überblick Build Inital tree BIONJ, NNI reorganize tree topology no better tree? yes update best tree stop? no yes IQP, NNI likelihood? nimm diesen Baum 95% der erwarteten Iterationen? Theory of Cook, Robert, Solow

10 Initial Tree Construction Multiple Sequence Alignment Distanzmatrix Berechnung des Baumes mittels Neighborjoining Optimierung durch NNI T best mit log likelihood best

11 Initial Tree Construction - BIONJ Neighbor Joining ist eine distanzbasierte Clustering Methode: bestimme iterativ ein Taxa Paar erzeuge neuen Knoten, der das Cluster dieser Taxa repräsentiert reduziere die Distanzmatrix, indem beide ursprünglichen Taxa durch den neuen Knoten ersetzt werden Stop bei 3 Taxas

12 Initial Tree Construction - BIONJ Distanzberechnung zwischen neuem Taxon u und jedem anderen Taxon i, 1 und 2 sind ursprüngliche Taxa: Neighbor Joining Algorithmus: Gewichtung von 1/2 δ ui = 1 2 δ 1i δ 2i 1 2 δ 1u 1 2 δ 2u BIONJ Algorithmus: Gewichtung über λ δ ui = λδ 1i + (1 λ)δ 2i λδ 1u (1 λ)δ 2u mit δ 1u = 1 2 (δ 12 + S 1 S 2 r 2 ) S 1 = i δ 1i

13 Initial Tree Construction - BIONJ BIONJ ist eine verbesserte Version von NJ Varianz: Abweichung vom Mittelwert Kovarianz: Maÿzahl für den Zusammenhang zweier statistischer Merkmale Annahme: Varianzen proportional Distanzen Kovarianzen proportional Länge der shared paths grosse evolutionäre Distanzen haben eine gröÿere Varianz als kleinere besser vor allem bei hohen Substitutionsraten

14 NNI - Nearest neighbor Interchange Um die initiale Schätzung des Baumes zu verbessern, kann Branch Swapping eingesetzt werden: A B Jeder interne Pfad hat 4 Subtrees es gibt 3 Möglichkeiten diese anzuordnen wähle die Beste large conditional likelihood C D A C A D B D C B

15 Optimiere den Baum Entferne Blätter zufällig von T best Einfügen der entfernten Blätter mittels IQP Optimiere diesen Baum T intermediate mittels NNI

16 Quartet Puzzling Maximum-Likelihood Methode zur Rekonstruktion von phylogenetischen Bäumen: wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der angenommene Prozess und die betrachtete Topologie zu den beobachteten Daten führen? alle Bäume auswerten Maximum nehmen aber zu viele Taxa, daher nicht alle möglichen Bäume berechenbar Lösung: Quartet puzzling

17 Quartet Puzzling Errechnung eines Gesamtbaumes aus vielen Teilbäumen mit 4 Blättern :

18 Quartet Puzzling: 1 Maximum Likelihood Step: für alle möglichen Quartette wird der wahrscheinlichste Baum gesucht, d.h. ML nur für jeweils 4 Sequenzen, insgesamt ML für ( n 4) Topologien 2 Puzzling Step: wähle random ein Quartett mit besten ML, wähle random die Blätter aus und puzzle sie an den Unterbaum Zwischenbaum stellt lokales Optimum dar 3 consensus : alle Zwischenbäume werden auf Übereinstimmung untersucht, globales Optimum über Bootstrapping

19 Quartet Puzzling: Topologien es gibt bei 4 Sequenzen drei verschiedene Topologien, man verwendet die Beste (ml-wert): a b T a,b c,y T a,c b,y T a,y b,c c y a c b y a y b c

20 Quartet Puzzling: Puzzling Step A 0 0 B Hinzufügen der restlichen Sequenzen an den besten Baum es entstehen viele intermediäre Bäume mehrmalige Wiederholung des Puzzling s 0 C 0 0 D A 0 1 B AE BC 1 C 1 0 D A 0 2 B AE BD 2 C 1 1 D

21 Quartet Puzzling: Komplexität Wenn alle verschiedenen Quartetts, die E enthalten berechnet sind, wird die Sequenz E in den Pfad mit kleinster penalty eingefügt: A A C C E 1 3 B 4 n k=4 2 2 D Komplexität: ( k 3) = n4 24 n3 12 n n 12 1 = O(n4 ) B D

22 Quartet Puzzling - Verbesserung? Komplexität O(n 4 ) : mehr als ca 100 Sequenzen können nicht bearbeitet werden gesucht: eine Möglichkeit die Zahl der Bäume einzuschränken Idee: tree eine Vorauswahl der möglichen optimalen Bäume Konzept: important quartets

23 Important Quartet - Wie nde ich sie? e t unrooted tree T jeder interne Knoten x teilt T in drei Subtrees mit Wurzel x auf b h a x g c d Kreise zeigen die Entfernung der Knoten zu X Subtree T x 1 Subtree T x 2 Subtree T x 3

24 Important Quartet - Wie nde ich sie? e t unrooted tree T jeder interne Knoten x teilt T in drei Subtrees mit Wurzel x auf b h a x g c d Kreise zeigen die Entfernung der Knoten zu X Subtree T x 1 Subtree T x 2 Subtree T x 3

25 Important Quartet - Wie nde ich sie? e t unrooted tree T jeder interne Knoten x teilt T in drei Subtrees mit Wurzel x auf b h a x g c d Kreise zeigen die Entfernung der Knoten zu X Subtree T x 1 Subtree T x 2 Subtree T x 3

26 Important Quartet - Wie nde ich sie? e t unrooted tree T jeder interne Knoten x teilt T in drei Subtrees mit Wurzel x auf b h a x g c d Kreise zeigen die Entfernung der Knoten zu X Subtree T x 1 Subtree T x 2 Subtree T x 3

27 Important Quartet Puzzle - Wie ndet man es? e t Denition: k-representative leaf set S k (T ) b enthält höchstens k Blätter mit kürzesten Abstand von der Wurzel h a x g c d S 2 (T x 1 ) = {a,e} S 2 (T x 2 ) = {b,g} S 2 (T x 3 ) = {c,d}

28 Important Quartet Puzzle - Wie ndet man es? e Denition: k-representative leaf set S k (T ) t enthält höchstens k Blätter mit kürzesten Abstand von der Wurzel b h a x g c d S 2 (T x 1 ) = {a,e} S 2 (T x 2 ) = {b,g} S 2 (T x 3 ) = {c,d}

29 Important Quartet Puzzle - Wie ndet man es? e t Denition: k-representative leaf set S k (T ) b enthält höchstens k Blätter mit kürzesten Abstand von der Wurzel h a x g c d S 2 (T x 1 ) = {a,e} S 2 (T x 2 ) = {b,g} S 2 (T x 3 ) = {c,d}

30 Important Quartet Puzzle - Wie ndet man es? e t Denition: k-representative leaf set S k (T ) b enthält höchstens k Blätter mit kürzesten Abstand von der Wurzel h a x g c d S 2 (T x 1 ) = {a,e} S 2 (T x 2 ) = {b,g} S 2 (T x 3 ) = {c,d}

31 Important Quartet Puzzle - Denition Ein Quartet q = {t 1, t 2, t 3, y} heiÿt ein important quartet eines internen Knoten x eines ungewurzelten Baumes T genau dann, wenn: y kein Blatt des Baumes T ist t 1, t 2, t 3 sind jeweils Elemente der k-representative leaf sets S k (T x 1 ), S k(t x 2 ) bzw S k(t x 3 )

32 Important Quartet Puzzle - Wozu brauchen wir das? Ein neuer Knoten y soll eingefügt werden die 3 anderen Knoten des Quartets t 1, t 2, t 3 sind je ein Element aus S k (T x 1 ), S k(t x 2 ) bzw S k(t x 3 ) durch die Konstruktion liegen die Knoten nahe zusammen und nah an der Wurzel x Quartets mit nahe verwandten Sequenzen sind weniger von parallel und back Substitutionen betroen die Ergebnisse sind akkurater

33 Important Quartet Puzzle - Beispiel e Für ein 2-representative leaf set: S 2 (T x 1 ) = {a,e}, S 2(T x 2 ) = {b,g}, S 2(T x 3 ) = {c,d} gibt es nach Einfügen einer neuen Sequenz y insgesamt acht important quartets: h g z.b wären vier davon: {y,a,b,c} {y,a,b,d} {y,a,g,c} {y,e,b,c} t b a x c d

34 Important Quartet Puzzle - Beispiel e Für ein 2-representative leaf set: S 2 (T x 1 ) = {a,e}, S 2(T x 2 ) = {b,g}, S 2(T x 3 ) = {c,d} gibt es nach Einfügen einer neuen Sequenz y insgesamt acht important quartets: h g z.b wären vier davon: {y,a,b,c} {y,a,b,d} {y,a,g,c} {y,e,b,c} t b a x c d

35 Important Quartet Puzzle - Beispiel e Für ein 2-representative leaf set: S 2 (T x 1 ) = {a,e}, S 2(T x 2 ) = {b,g}, S 2(T x 3 ) = {c,d} gibt es nach Einfügen einer neuen Sequenz y insgesamt acht important quartets: h g z.b wären vier davon: {y,a,b,c} {y,a,b,d} {y,a,g,c} {y,e,b,c} t b a x c d

36 Important Quartet Puzzle - Beispiel Für ein 2-representative leaf set: S 2 (T x 1 ) = {a,e}, S 2(T x 2 ) = {b,g}, S 2(T x 3 ) = {c,d} gibt es nach Einfügen einer neuen Sequenz y insgesamt acht important quartets: h g z.b wären vier davon: {y,a,b,c} {y,a,b,d} {y,a,g,c} {y,e,b,c} e t b a x c d

37 Important Quartet Puzzle - Beispiel Wo wird y eingefügt? am branch mit highest score! für das important quartet (a,b,c,y) wäre z.b. eine Möglichkeit den Baum T zu rekonstrieren T ay bc : e t b h a x g c d e 1 t 1 b 1 h 1 x a 1 g c d

38 Important Quartet Puzzle - Komplexität Komplexität: jeder interne Knoten teilt den Baum in drei Subtrees jeder von den Subtrees wird höchsten durch k Blätter repräsentiert (k ist Eingabeparameter) O(k 3 )important quartets O(n)internal nodes = O(nk 3 )

39 Optimization Step - Comparative Step Optimization Step Entferne mit einer Wahrscheinlichkeit 0 < p del < 1 jedes Blatt des Baumes T best füge jedes Blatt wieder ein, verwende dazu IQP Optimiere diesen Baum T intermediate mit NNI Comparative Step log-likelihood L intermediate > L best? setze: T best = T intermediate L best = L intermediate

40 IQPNNI - Wo sind wir? Build Inital tree BIONJ, NNI reorganize tree topology no better tree? yes update best tree stop? no yes IQP, NNI likelihood? nimm diesen Baum 95% der erwarteten Iterationen? Theory of Cook, Robert, Solow

41 Stop Kriterium Falls die Anzahl der Iterationen (Optimization Steps) ein vordeniertes Limit M überschreiten > STOP Funktioniert das? L 1, L 2,...L j log-likelihoods der ersten j Iterationen τ(k) Iterationsschritte bis ein besserer Baum gefunden wird dann gilt: τ(1) = 1, τ(k + 1) = min { j L j > L τ(k) } gesucht: der Wert τ stop bei dem es unwahrscheinlich ist, dass ein noch besserer Baum gefunden wird

42 When did the dodo extinct? Der dodo (Raphus cucullatus ) wurde 1662 das letzte Mal gesehen

43 When did the dodo extinct? David L.Roberts and Andrew R.Solow behaupten: der Dodo ist erst 1690 ausgestorben! Sie entwickelten 2003 eine optimale lineare Schätzmethode, basierend auf den Jahreszahlen, zu denen der Dodo noch gesichtet wurde: 1662, 1638, 1631, 1628, 1611, 1607, 1602, 1601 und 1598 unter Verwendung der Weibull Verteilung liegt nach ihrer Berechnung die extinction time des Dodo um 1690

44 Stop? τ(k) ist die Iterationszahl, bei der ein besserer Baum auftaucht Wir berechnen die optimale Stop-Zeit = upper condence limit τ 95% dh mit 95 % Wahrscheinlichkeit verbessert sich der Baum nicht mehr Berechnung der STOP Zeit: τ (1 α)100% = τ 1 + τ 1 τ k ( log(α) ) β 1 k

45 Test IQPNNI mit ssu-rrna Daten ribosomale RNA: gehört zur Grundausstattung jeder heute lebenden Zelle hat in allen Organismen die gleiche Funktion Gene der rrna unterliegen währscheinlich nur selten horizontalem Gentransfer ideale molekulare Chronometer

46 IQPNNI mit ssu-rrna

47 IQPNNI mit ssu-rrna

48 IQPNNI mit ssu-rrna

49 IQPNNI mit ssu-rrna

50 IQPNNI mit ssu-rrna

51 Vergleich mit PHYML, MetaPIGA Runtime mit ssu rrna Daten number of sequences PHYML MetaPIGA IQPNN τ 95% min 1.2 h 8.4 h ABER:

52 Zusammenfassung IQPNNI liefert Bäume mit höheren Likelihood Werten. Dies geht allerdings stark auf Kosten der Rechenzeit Stops können statistisch abgesichert vom Benutzer deniert werden IQPNNI arbeit mit DNA und Aminosäuren

53 : and Enumeration Aktuelle Themen der Bioinformatik SoSe 2006 Bärbel Lasitschka

54 Motivation This picture is a splendid representation of this debate. Scientists at the European Bioinformatics Institute created it by comparing 184 microbes.

55 Life ain't a tree! Warum? Rekombination der Gene Hybride und horizontal Gen Transfer Genom Fusion

56 Life ain't a tree! Warum? Rekombination der Gene Hybride und horizontal Gen Transfer Genom Fusion Reticulate Evolution!

57 Ring of Life M.C.Rivera, J.C.Lake 3 Groÿreiche: Eubakterien, Archebakterien und Eukaryonten ribosomale Gene: Eukaryonten enger mit Archebakterien verwandt Proteine: Eukaryonten enger mit Eubakterien verwandt conditioned reconstruction: M.C.Rivera, J.C.Lake (2004): Eukaryonten sind Fusionsprodukt

58 Ring of Life M.C.Rivera, J.C.Lake 3 Groÿreiche: Eubakterien, Archebakterien und Eukaryonten

59 Ring of Life - network The ve most probable trees from a set of three Bacteria, three Archaea and two eukaryotes: Eubacterial relationships within the ring of life:

60 network 1 Charakterisierung: Wann wird eine Menge von binären phylogenetischen Bäumen durch ein network dargestellt? 2 Algorithmus: um 1-cycle Kompatibilität festzustellen 3 Enumerate : Zählen von (spezierte, unspezizierte cycle length) 4 Enumerate multicyclic: Zählen von multicyclic einer bestimmten Klasse

61 Denitionen: X-Tree X-Tree: ein phylogenetischer X-tree ist ein Baum T=(V,E) mit einer Menge X von labeled Blättern, alle inneren Knoten sind ungelabeled und haben Grad 3 falls alle inneren Knoten vom Grad = 3, ist T ein binärer phylogenetischer X-tree e mit X={a,b,c,d,e,f,g} b a g f c d

62 Denitionen: Network Network: Ein Network on X ist ein Graph G der genau einen Cycle hat. dieser Graph hat mindestens die Länge 3 jeder innere Knoten ist vom Grad 3 die Menge der Knoten vom Grad 1 ist die Menge der Blätter wenn man eine Kante im Cycle entfernt, erhält man einen binären phylogenetischen X-Tree, man sagt: Graph G displays a X-Tree

63 Denitionen: Network Network: Ein Network on X ist ein Graph G der genau einen Cycle hat. dieser Graph hat mindestens die Länge 3 jeder innere Knoten ist vom Grad 3 die Menge der Knoten vom Grad 1 ist die Menge der Blätter wenn man eine Kante im Cycle entfernt, erhält man einen binären phylogenetischen X-Tree, man sagt: Graph G displays a X-Tree

64 Denitionen: Network Network: Ein Network on X ist ein Graph G der genau einen Cycle hat. dieser Graph hat mindestens die Länge 3 jeder innere Knoten ist vom Grad 3 die Menge der Knoten vom Grad 1 ist die Menge der Blätter wenn man eine Kante im Cycle entfernt, erhält man einen binären phylogenetischen X-Tree, man sagt: Graph G displays a X-Tree

65 Denitionen: Network Network: Ein Network on X ist ein Graph G der genau einen Cycle hat. dieser Graph hat mindestens die Länge 3 jeder innere Knoten ist vom Grad 3 die Menge der Knoten vom Grad 1 ist die Menge der Blätter wenn man eine Kante im Cycle entfernt, erhält man einen binären phylogenetischen X-Tree, man sagt: Graph G displays a X-Tree

66 Denitionen: Graph G displays a X-Tree e a g f c b d

67 Denitionen: Graph G displays a X-Tree e a g f b d c

68 Denitionen: Graph G displays a X-Tree e b a g d f c

69 Denitionen: Graph G displays a X-Tree e a g f c b d

70 Denitionen: Graph G displays a X-Tree g a e f b c d sei P eine Menge von X-Trees und G ein network: displays Graph G Collection of X-Trees P is 1-cycle compatible

71 Denitionen: Graph G displays P ( X Trees P) Anzahl X-Trees in G: G hat Cycle-length k 3 dann displayed G > k-2 X-Trees wie im Beispiel für k=3 > ein X-Tree Isomorphie: 2 G und G' sind isomorph > es gibt einen Graph Isomorphismus zwischen G und G' bezogen auf X-Trees -> eine identische Abbildung

72 Was machen wir mit den Denitionen? ok, wir haben deniert: network G X-Trees Menge von X-Trees P G display P P is 1-cycle compatible aber wie bestimmen wir, ob P 1-cycle compatible ist, also die Menge der X-Trees ein network bilden?

73 Was machen wir mit den Denitionen? wir suchen Eigenschaften wie : circular : hängt von X-Splits, cyclic permutation ab(kommt gleich) TBR,SPR -Distances: Tree rearrangement, Isomorphismus (kommt später)

74 Was machen wir mit den Denitionen? wir suchen Eigenschaften wie : circular : hängt von X-Splits, cyclic permutation ab(kommt gleich) TBR,SPR -Distances: Tree rearrangement, Isomorphismus (kommt später) wir zeigen: wenn eine Menge P von X-Trees circular ist und auÿerdem die TBR Distances =1, ist P 1-cycle compatibel

75 X-Splits X-split A B : die Kante e wird entfernt, es entstehen 2 nichtleere Teilbäume A und B: Set of X-splits des Baumes T ist deniert als (T ) 1 (2,3,4,5,6,7), 2 (1,3,4,5,6,7), 3 (1,2,4,5,6,7), 4 7 (1,2,3,4,5,6), (1,5) (2,3,4,6,7), (7,6) (1,2,3,4,5), (3,4) (1,2,5,6,7), (2,5,1) (3,4,6,7) 7 e (1,2,3,5,6,7), 5 (1,2,3,4,6,7), 6 (1,2,3,4,5,7),

76 X-Splits X-split A B : die Kante e wird entfernt, es entstehen 2 nichtleere Teilbäume A und B: Set of X-splits des Baumes T ist deniert als (T ) 1 (2,3,4,5,6,7), 2 (1,3,4,5,6,7), 3 (1,2,4,5,6,7), 4 7 (1,2,3,4,5,6), (1,5) (2,3,4,6,7), (7,6) (1,2,3,4,5), (3,4) (1,2,5,6,7), (2,5,1) (3,4,6,7) (1,2,3,5,6,7), 5 (1,2,3,4,6,7), 6 (1,2,3,4,5,7),

77 X-Splits X-split A B : die Kante e wird entfernt, es entstehen 2 nichtleere Teilbäume A und B: Set of X-splits des Baumes T ist deniert als (T ) 1 (2,3,4,5,6,7), 2 (1,3,4,5,6,7), 3 (1,2,4,5,6,7), 4 7 (1,2,3,4,5,6), (1,5) (2,3,4,6,7), (7,6) (1,2,3,4,5), (3,4) (1,2,5,6,7), (2,5,1) (3,4,6,7) 7 e (1,2,3,5,6,7), 5 (1,2,3,4,6,7), 6 (1,2,3,4,5,7),

78 X-Splits X-split A B : die Kante e wird entfernt, es entstehen 2 nichtleere Teilbäume A und B: Set of X-splits des Baumes T ist deniert als (T ) 1 (2,3,4,5,6,7), 2 (1,3,4,5,6,7), 3 (1,2,4,5,6,7), 4 7 (1,2,3,4,5,6), (1,5) (2,3,4,6,7), (7,6) (1,2,3,4,5), (3,4) (1,2,5,6,7), (2,5,1) (3,4,6,7) (1,2,3,5,6,7), 5 (1,2,3,4,6,7), 6 (1,2,3,4,5,7),

79 Was sind Circular Orderings for X-Trees? Jede Baum Topologie legt circular orderings der Taxa fest. circular order: einer Menge π = A, B, C, D, E ist die kürzeste Tour durch den Baum T(S), bei der jede Kante 2-mal besucht wird und jedes Blatt genau einmal - TSP Problem

80 Menge von X-Splits ist circular Set of X-splits des Baumes T ist deniert als (T ) Menge aller möglichen Splits für alle zyklische Permutationen π = {x 1, x 2, x 3,..x n } von X: 0 (π) = {A ij (X A ij ) : 1 i j n 1} wenn 0 (π) ist die Menge von X-Splits circular:

81 Distances: TBR - Tree Bisection and Reconnection TBR ist eine der 3 Tree Rearrangement Operationen, neben NNI (nearest neighbourhod interchange) und SPR (Subtree Pruning and regrafting) e b a g f c d

82 Distances: TBR - Tree Bisection and Reconnection TBR ist eine der 3 Tree Rearrangement Operationen, neben NNI (nearest neighbourhod interchange) und SPR (Subtree Pruning and regrafting) e b a g f c d

83 Distances: TBR - Tree Bisection and Reconnection TBR ist eine der 3 Tree Rearrangement Operationen, neben NNI (nearest neighbourhod interchange) und SPR (Subtree Pruning and regrafting) a g e f f b c d Split des Baumes T 1 neue Kante f wird hinzugefügt Endpunkte von f müssen nicht zur Knotenmenge T 1 gehören neuer Baum T 2

84 Distances: SPR - Subtree Pruning and regrafting SPR ist ein Spezialfall von TBR a g f e b c d

85 Distances: SPR - Subtree Pruning and regrafting SPR ist ein Spezialfall von TBR a g f e b c d

86 Distances: SPR - Subtree Pruning and regrafting SPR ist ein Spezialfall von TBR g f c a f d e b Split des Baumes T 1 neue Kante f wird hinzugefügt ein Endpunkte von f muss zur Knotenmenge T 1 gehören neuer Baum T 2

87 Denitionen: Distances d TBR (T 1, T 2 ) minimale Anzahl von Operationen um T 1 in T 2 mit Hilfe von TBR zu transformieren d SPR (T 1, T 2 ) minimale Anzahl von Operationen um T 1 in T 2 mit Hilfe von SPR zu transformieren d TBR (T 1, T 2 ) d SPR (T 1, T 2 ) 2d TBR (T 1, T 2 )

88 is there an network?: d TBR (T 1, T 2 ) = 1 Theorem 1 : Let T 1 and T 2 be two distinct X-Trees. Then there is an network G on X that displays {T 1, T 2 } if and only if d TBR (T 1, T 2 )= 1 Beweis: per Denition gilt: G\e 1 is isomorphic to T 1, G\e 2 is isomorphic to T 2 man kann für jedes i, T i aus G\{e 1, e 1 } erhalten, indem man e i hinzufügt. Daraus folgt: d TBR (T 1, T 2 )= 1

89 is there an network?: d TBR (T 1, T 2 ) = 1 Theorem 1 : Let T 1 and T 2 be two distinct X-Trees. Then there is an network G on X that displays {T 1, T 2 } if and only if d TBR (T 1, T 2 )= 1 sei d TBR (T 1, T 2 )= 1: Man erhält T 2 aus T 1 indem man e 1 aus T 1 entfernt und e 2 hinzufügt Sei G der Graph,den man erhält, wenn man zu T 1 e 2 hinzufügt. Dann erhält man genau einen Cycle >G ist network

90 Was sagt uns Theorem 1? d TBR (T 1, T 2 ) = 1 ist eine notwendige Bedingung für die 1-cycle compability einer Menge P von X-trees. Genomes: Y: Yeasts E: eocyte H: halobacterium M: methanococcus P: proteobacterium B: bacillus

91 Vereinigungsmengen von X-splits sind wieder circular Let T 1 and T 2 be two distinct X-Trees. If {T 1,T 2 } is 1-cycle compatible, then (T 1 ) (T 2 ) is circular. Beweis: Graph G displayed {T 1,T 2 }. Stellt man sich alle Blätter auÿen vor, so gibt es eine circular ordering in G, die aus der Vereinigungsmenge der circular orderings von {T 1,T 2 } bestehen muÿ, da (T1 ) (T 2 ) 0 (π).

92 Wann ist eine beliebige Menge von X-Trees 1-cycle compatible? 1 if d SPR (T 1, T 2 ) 1: there is exactly 1 network on X that displays T 1 and T 2 2 if d SPR (T 1, T 2 ) = 1 and the pruned subtree consists of a single leaf: there is exactly 1 network on X that displays T 1 and T 2 3 if d SPR (T 1, T 2 ) = 1 and the pruned subtree consists of at least two leaves: there are exactly 3 on X that displays T 1 and T 2

93 Wann ist eine beliebige Menge von X-Trees 1-cycle compatible? 1 if d SPR (T 1, T 2 ) 1: there is exactly 1 network on X that displays T 1 and T 2 2 if d SPR (T 1, T 2 ) = 1 and the pruned subtree consists of a single leaf: there is exactly 1 network on X that displays T 1 and T 2 3 if d SPR (T 1, T 2 ) = 1 and the pruned subtree consists of at least two leaves: there are exactly 3 on X that displays T 1 and T 2

94 Wann ist eine beliebige Menge von X-Trees 1-cycle compatible? 1 if d SPR (T 1, T 2 ) 1: there is exactly 1 network on X that displays T 1 and T 2 2 if d SPR (T 1, T 2 ) = 1 and the pruned subtree consists of a single leaf: there is exactly 1 network on X that displays T 1 and T 2 3 if d SPR (T 1, T 2 ) = 1 and the pruned subtree consists of at least two leaves: there are exactly 3 on X that displays T 1 and T 2

95 warum 1 network oder 3? T 1 mit Teilbäumen A-F A B C + Kante e Network 2 e 1 displays T 1 und F E D T 2? d.h um den Satz zu beweisen genügt es, alle Möglichkeiten zu zeigen, wie die Kante e 2 zu dem Baum T 1 hinzugefügt werden kann - Kante e 1 A B C e 2 F E D T 2

96 1 network if d SPR (T 1, T 2 ) 1: there is exactly 1 network on X that displays T 1 and T 2 nach Voraussetzung ist d TBR (T 1, T 2 ) = 1, d.h. ich darf eine neue Kante einfügen, die keinen Knoten von T 1 als Endpunkt hat. Wo kann ich die Kante hinzufügen? X-Trees die nur compatible X-Splits haben, können durch einen neuen Baum dargestellt werden, nur inkompatible X-Splits liefern Cycles compatible X-Splits: A 1 B 1, A 2 B 2, wenn mindestens eine Durchschnittsmenge leer ist

97 1 network ompatible X-Splits für T 1, T 2 sind: A (X-A), C (X-C), D (X-D), F (X-F) incompatible X-Splits sind: (A B) (X (A B)) und (B C) (X (B C)) (E F ) (X (E F )) und (E D) (X (E D)) T 1 mit Teilbäumen A-F A B C e 1 F E D ;

98 1-cycle compatible für P = 2 Das bedeutet, dass es nur genau einen Weg gibt, um die Kante e 2 an T 1 einzufügen. es gibt nur ein network das beide X-trees T 1 und T 2 displayed A F B i E 1 e 1 e 2 B 1 E i C D

99 X-Splits - diesmal von Daniel Huson jede Menge von kompatiblen X-Splits können durch einen phylogenetischen Tree dargestellt werden inkompatible Splits ergeben ein Netzwerk: = T1 + T 2

100 3 T 1 mit Teilbäumen A-F A B C e 1 F E D A F E 1 e 1 e 2 E i C D C F ; e 1 e 2 E 1 d SPR (T 1, T 2 ) = 1 und d TBR (T 1, T 2 ) = 1 ist z.b gegeben wenn Subtree B nicht vorhanden ist. Was passiert dann? E i A D F C e 1 e 2 E 1 A E i D

101 Was ist, wenn 3 oder mehr X-Trees vorliegen? Let P' be a collection of X-trees with P' 3 Then, P' is 1-cycle compatible if and only if, for all subsets P of size 3, P is 1-cycle compatible, in which case, there is a unique network on X that displays P'. Wir teilen die Menge der X-Trees P' in Untermengen P mit jeweils 3 X-trees. Dann sind diese natürlich 1-cycle compatible wenn P' 1-cycle compatible ist P'={T 1, T 2, T 3, T 4,...} P = {T i, T j, T k }. Da jeder Tree mit d trb = 1 in den anderen überführt werden kann, sind die Untermengen beliebig und decken somit die Gesamtmenge P' ab.

102 Compability(P,G) - Algorithmus Choose any trees T 1, T 2 construct 1 or 3 network that displays T1, T2 yes d TBR (T1, T2) = 1? no choose the network G which displays T3 yes another tree in P? no yes select another tree T i G displays T i? no return network G P is not 1-cycle compatible

103 Anzahl on X beliebiger Länge Wir haben jetzt eine Methode, um festzustellen, ob eine beliebige Menge von X-Trees 1-cycle compatible ist, d.h es läÿt sich ein network G bilden. Andere Frage: Wir haben keine Menge von X-trees, sondern nur eine Menge Blätter X, wieviel beliebiger Länge gibt es? Theorem 3: Let c(n) denote the number of on X. Then: c(n)=(n 1)!2 n 2 (2n 2)! (n 1)!2 2n 1

104 Anzahl X-Trees bei n Blättern Es gilt die Schröder-Formel für die Anzahl X-Trees bei n Blättern: r(n)= (2n 2)! (n 1)!2 n 1 = (2n 3) Wie erhält man diese Formel? über generating functions! A generating function is a clothesline on which we hang up a sequence of numbers for display Zu untersuchende Zahlenfolge wird verpackt und zwar als Koezienten einer Potenzreihe Beziehungen zwischen kombinatorischen Objekten werden dadurch in Beziehungen zwischen den zugehörigen Potenzreihen transformiert

105 Schröder Formel - Anzahl X-Trees Für die Berechnung Schröder Formel - Anzahl der X-trees ist die Multiplikation zweier exponential generating functions wichtig: an ( x n n! ) b n ( x n n! ) = c n ( x n n! ) mit : c(n) = ( n k )a kb n k Denieren wir eine exponential generating function für die Anzahl der X-trees r(n): R(x) = n 1 r(n) x n n!

106 Schröder Formel - Anzahl X-Trees Wie können wir r(n) noch denieren? Kombinationen von Subtrees: n 1 r(n) = 1 ( n )r(i)r(n i) 2 i i=1 Wendet man die Multiplikationsregel für exponential generating functions an, so gilt in diesem Fall: c(n) = ( n )r(i)r(n i) i daraus folgt: R(x) = 1 2 c(n) x n n! = 1 2 r(n) x n n! r(n) x n n! = 1 2 R(x)2 + x ( x falls nur ein einziger root-knoten) R(x) =1 1 2x

107 Schröder Formel - Anzahl X-Trees Wir haben nun die generating function: R(x) =1 1 2x und wollen die Koezienten bestimmen, d.h die Anzahl der X-Trees bei X =n Nach der verallgemeinerten Binomialformel: (x + y) n = ( n k )x k y n k k=0 ist: 1 2x = ( 2x) k ( 1/2 k ) = 1 + ( 2x) k ( 1/2 k ) k=0 k=1

108 Schröder Formel - Anzahl X-Trees Es folgt: 1 1 2x = ( 2x) k ( 1/2 k ) k=1 der Koezient von x n ist dann die Anzahl der X-Trees rn: rn = ( 2) n ( 1/2 ) und das entspricht genau : n r(n)= (2n 2)! (n 1)!2 n 1 = ( (2n 3))/n! n!

109 Anzahl Wie bekommen wir aber die Anzahl der? 1 Bisher haben wir die Blätter zwischen 2 binary X-Trees aufgeteilt, das ergab die Unterbäume mit r(i)und r(n-i) Blättern. Sei n 1 = i und n 2 = n i, so ist trivialerweise n 1 + n 2 = n: n 1 r(n) = 1 ( n )r(i)r(n i) 2 i i=1 2 Wir betrachten nun alle Tupel von Blättern der Menge r(n 1 ),..., r(n k ) mit n n k = n Man beachte, dass 1 ein Sonderfall von 2 ist

110 Anzahl - exponential generating functions Analog zur Berechnung der Anzahl X-Trees werden auch hier exponential generating functions verwendet: sei c(n) die Anzahl der on X: C(x) = c(n) x n n! sei c(n,k) die Anzahl der der Länge k on X: C k (x) = c(n, k) x n n!

111 Anzahl der Länge k für k 3 bilden diese Tupel jeweils der Länge k und wir können sie folgendermaÿen zählen: Anzahl der Möglichkeiten k X-Trees mit n i Blättern zu bilden zählt die Anzahl der k-tupel mit der Blattzahl n 1,...n k Summe aller, die so entstehen jeder cycle wird von beiden Seiten aus durchlaufen k r(n i ) i=1

112 Anzahl der Länge k für k 3 bilden diese Tupel jeweils der Länge k und wir können sie folgendermaÿen zählen: n! n 1!...n k! Anzahl der Möglichkeiten k X-Trees mit n i Blättern zu bilden zählt die Anzahl der k-tupel mit der Blattzahl n 1,...n k Summe aller, die so entstehen jeder cycle wird von beiden Seiten aus durchlaufen k r(n i ) i=1

113 Anzahl der Länge k für k 3 bilden diese Tupel jeweils der Länge k und wir können sie folgendermaÿen zählen: (n 1,...n k ) Anzahl der Möglichkeiten k X-Trees mit n i Blättern zu bilden zählt die Anzahl der k-tupel mit der Blattzahl n 1,...n k Summe aller, die so entstehen jeder cycle wird von beiden Seiten aus durchlaufen n! n 1!...n k! k r(n i ) i=1

114 Anzahl der Länge k für k 3 bilden diese Tupel jeweils der Länge k und wir können sie folgendermaÿen zählen: Anzahl der Möglichkeiten k X-Trees mit n i Blättern zu bilden zählt die Anzahl der k-tupel mit der Blattzahl n 1,...n k Summe aller, die so entstehen jeder cycle wird von beiden Seiten aus durchlaufen c(n,k)= 1 2k (n 1,...n k ) n! n 1!...n k! k r(n i ) i=1

115 Anzahl : Theorem 3 item 1 - fertig Diese Formel hilft ähnlich wie bei der Partitionierung der Trees, die generating function C(x) zu bestimmen C(x) = C k (x) mit 2C k (x) = 1 k R(x)k ergibt: C(x) = 1x R(x) 1 log(1 2x) 2 4 by routine manipulation folgt c(n)=(n 1)!2 n 2 (2n 2)! (n 1)!2 n 1

116 Anzahl mit Länge k Theorem 3: 2. Let c(n,k) denote the number of on X, whose length is k. Then: c(n,k)= (2n k 1)! (n k)!2 2n k+1 Was suchen wir? R(x) - exponential generating functions um rooted binary trees zu zählen R(x) k - exponential generating functions für k-tuples rooted binary trees (genau die am Ring!)

117 Lagrange Inversion: Theorem 3 item 2 Bisher haben wir die exponential generating function durch Multiplikation bestimmt, jetzt komponieren wir sie durch die Lagrange Inversion. wir haben bereits gezeigt: R(x) = 1 2 R(x)2 + x Wir bringen R(x) in die Form R(x) = xφr(x) mit φr(x) = (1 1 2 R(x)) 1 und können damit die Lagrange Inversion anwenden.

118 Wieviele galled trees gibt es? bisher... Wieviele on X mit der Länge k gibt es? jetzt: Wieviele galled trees on X, die k cycles und m Kanten enthalten gibt es?

119 Was ist ein galled tree on X? e b a g d 1 jeder Knoten ist in höchstens einem Kreis 2 jeder innere Knoten hat Grad 3 3 alle Blätter haben Grad 1, es gibt X Blätter f c m k h i l

120 galled-trees Theorem 4: For a xed nite set X of size n, let g(n,k,m) denote the number of galled-trees on X containing k cycles and having a total of m edges across all the cycles. Then we have g(n+2,k,m)= (2n m+3k)!(m 2k 1)2m n 3k (n m 2k)!(m 3k)!(k 1)!k!

121 generating function Beweis Theorem 4: Wir verfahren wie bei und verwenden eine exponential generating function: G=G(x,y,z)= (g(n + 1, k, m) x n y k z m n! berücksichtigt man :m 3k, m n + 2k, so ist: G=x + 1 2! x ! x 2 yz ! z ! x 3 yz ! x 3 yz ! x 3 y 2 z ! x 4...

122 rooted galled-tree network wenn wir im galled-tree irgendeine Kante teilen und einen Knoten auf dieser Kante als root denieren, gibt es 2 Möglichkeiten : root liegt im Kreis : e b a g d f c m k h i l

123 rooted galled-tree network wenn wir im galled-tree irgendeine Kante teilen und einen Knoten auf dieser Kante als root denieren, gibt es 2 Möglichkeiten : root liegt nicht im Kreis : e b a g d f c m k h i l

124 Welche Formel für G? 1 root liegt nicht im Kreis: diesen Fall kennen wir schon für rooted trees in : R(x) = 1 2 R(x)2 + x jetzt für galled-trees, d.h. rooted trees in multicyclic (mit unabhängigen cycles) G(x) = 1 2 G(x)2 + x 2 root liegt im Kreis: Umrechnung von G = x + 1 2! x ! x 2 yz ! z ! x 3 yz ! x 3 yz ! x 3 y 2 z ! x 4... = 1 2 G(x)2 + x G 2 yz 3 (1 + zg + (zg) 2 + zg) 3...) G = 1 2 G(x)2 + x G 2 yz zg

125 Lagrange Inversion für galled trees? jetzt müssen wir nur noch umformen, sodaÿ wir die Lagrange Inversion anwenden konnen. Analog wie bei bestimmen wir G = xφ(g, y, z) für war φ: φ(x) = (1 1 2 x) 1 jetzt ist φ : )) 1 φ(g, y, z) = (1 (1 12 G + yz3 (1 zg) nach mehrmaligem, aufwendigem Umformen können wir nachweisen: g(n+2,k,m)= (2n m+3k)!(m 2k 1)2m n 3k (n m 2k)!(m 3k)!(k 1)!k!

126 Zusammenfassung 1 Charakterisierung: Wann wird eine Menge von binären phylogenetischen Bäumen durch ein network dargestellt? 2 Algorithmus: um 1-cycle Kompatibilität festzustellen 3 Enumerate : Zählen von (spezierte, unspezizierte cycle length) 4 Enumerate multicyclic: Zählen von galled -trees