Grundlagen der Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 8

Transkript

1 Grundlagen der Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 8 Christian Scheideler + Helmut Seidl SS Kapitel 8 1

2 Graphen Graph G=(V,E) besteht aus Knotenmenge V Kantenmenge E ungerichteter Graph gerichteter Graph Kapitel 8 2

3 Graphen Ungerichteter Graph: Kante repräsentiert durch Teilmenge {v,w} ½ V Gerichteter Graph: Kante repräsentiert duch Paar (v,w) 2 V V (bedeutet v w ) ungerichteter Graph gerichteter Graph Kapitel 8 3

4 Graphen Anwendungen: Ungerichtete Graphen: Symmetrische Beziehungen jeglicher Art (z.b. {v,w} 2 E genau dann, wenn Distanz zwischen v und w maximal 1 km) Gerichtete Graphen: asymmetrische Beziehungen (z.b. (v,w) 2 E genau dann, wenn Person v Person w mag) Kapitel 8 4

5 Graphen Im folgenden: nur gerichtete Graphen. Modellierung eines ungerichteten Graphen als gerichteter Graph: Ungerichtete Kante ersetzt durch zwei gerichtete Kanten. n: aktuelle Anzahl Knoten m: aktuelle Anzahl Kanten Kapitel 8 5

6 Operationen auf Graphen G=(V,E): Graph-Variable Node: DS für Knoten, Edge: DS für Kanten Operationen: G.insert(Edge e): E=E [ {e}; G.remove(Key i, Key j): E=En{e}; für die Kante e=(v,w) mit Key(v)=i und Key(w)=j G.insert(Node v): V=V [ {v}; G.remove(Key i): sei v2v der Knoten mit Key(v)=i. V:=Vn{v}, E:=En{(x,y) x=v _ y=v} G.find(Key i): gib Knoten v aus mit Key(v)=i G.find(Key i, Key j): gib Kante (v,w) aus mit Key(v)=i und Key(w)=j Kapitel 8 6

7 Operationen auf Graphen Anzahl der Knoten oft fest. In diesem Fall: V={0,,n-1} (Knoten hintereinander nummeriert, identifiziert durch ihre Keys) Relevante Operationen: G.insert(Edge e): E=E [ {e}; G.remove(Key i, Key j): E=En{e}; für die Kante e=(i,j) G.find(Key i, Key j): gib Kante e=(i,j) aus Kapitel 8 7

8 Operationen auf Graphen Anzahl der Knoten variabel: Hashing kann verwendet werden, um Keys von n Knoten in den Bereich {0,,O(n)} zu hashen. Damit kann variabler Fall auf den Fall einer statischen Knotenmenge reduziert werden. (Nur O(1)-Vergrößerung gegenüber statischer Datenstruktur) Kapitel 8 8

9 Operationen auf Graphen Im folgenden: Konzentration auf statische Anzahl an Knoten. Parameter für Laufzeitanalyse: n: Anzahl Knoten m: Anzahl Kanten d: maximaler Knotengrad (maximale Anzahl ausgehender Kanten von Knoten) Kapitel 8 9

10 Graphrepräsentationen Kapitel 8.1: Sequenz von Kanten (0,1) (1,2) (2,3) (3,0) null Kapitel 8 10

11 Sequenz von Kanten (0,1) (1,2) (2,3) (3,0) null Zeitaufwand: G.find(Key i, Key j): Θ (m) im worst case G.insert(Edge e): O(1) G.remove(Key i, Key j): Θ (m) im worst case Kapitel 8 11

12 Graphrepräsentationen Kapitel 8.2: Adjazenzfeld 0 n V offsets in E 3 2 E m-1 (0,1),(0,2) (2,3) Hier: nur Zielkeys in echter DS Edge [] E; Kapitel 8 12

13 Adjazenzfeld 0 1 V offsets in E 3 2 E Zeitaufwand: G.find(Key i, Key j): Zeit O(d) G.insert(Edge e): Zeit O(m) (worst case) G.remove(Key i, Key j): Zeit O(m) (worst case) Kapitel 8 13

14 Graphrepräsentationen Kapitel 8.3: Adjazenzliste 0 1 V 0 n Hier: nur Zielkeys In echter DS: DList<Edge> [] V; Kapitel 8 14

15 Adjazenzliste 0 1 V Zeitaufwand: G.find(Key i, Key j): Zeit O(d) G.insert(Edge e): Zeit O(d) G.remove(Key i, Key j): Zeit O(d) Problem: d kann groß sein! Kapitel 8 15

16 Graphrepräsentationen Kapitel 8.4: Adjazenzmatrix A = A[i][j] 2 {0,1} (bzw. Zeiger auf Edge) A[i][j]=1 genau dann, wenn (i,j) 2 E Kapitel 8 16

17 Adjazenzmatrix A = Zeitaufwand: G.find(Key i, Key j): Zeit O(1) G.insert(Edge e): Zeit O(1) G.remove(Key i, Key j): Zeit O(1) Aber: Speicheraufwand O(n 2 ) Kapitel 8 17

18 Graphrepräsentationen Besser: Adjazenzliste + Hashtabelle V e e 6 e 2 e 4 e 3 e 1 e 3 e 5 e e 2 e 4 e 5 0,1 0,2 1,2 1,3 2,3 3,0 Hashtabelle Kapitel 8 18

19 Adjazenzliste+Hashtabelle Zeitaufwand: G.find(Key i, Key j): O(1) (worst case) G.insert(Edge e): O(1) (im Mittel) G.remove(Key i, Key j): O(1) (im Mittel) Speicher: O(n+m) V e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 0,1 0,2 1,2 1,3 2,3 3, Kapitel 8 19

20 Graphrepräsentationen Kapitel 8.5: Implizite Repräsentationen (k,l)-gitter G=(V,E): V=[k] [l] ([a]={0,,a-1} für a2in) E={((v,w),(x,y)) (v=x ^ w-y =1) _ (w=y ^ v-x =1)} Beispiel: (5,4)-Gitter Kapitel 8 20

21 Graphrepräsentationen Kapitel 8.5: Implizite Repräsentationen (k,l)-gitter G=(V,E): V=[k] [l] ([a]={0,,a-1} für a2in) E={((v,w),(x,y)) (v=x ^ w-y =1) _ (w=y) ^ v-x =1)} Speicheraufwand: O(log k + log l) (speichere Kantenregel sowie k und l) Find-Operation: O(1) Zeit (reine Rechnung) Kapitel 8 21

22 Zusammenfassung Verschiedene Graphrepräsentationen: Kantenliste Adjazenzfeld Adjazenzliste Adjazenzmatrix Adjazenzliste + Hashtabelle Implizite Graphrepräsentation Weiter mit Graphdurchlauf (Kapitel 9) Kapitel 8 22