Dieser Text ist noch in Arbeit. Jetzt also nur zur Vorinformation! Schaubilderanalyse Arbeiten mit Schaubildern von Funktionen Abitur-Vorbereitung Funktionsgleichungen aufstellen - identifizieren uva. Trainingskurse für das Neue Abitur Auch Aufgaben mit Verwendung von CAS-Rechnern! Hier nur einige Demo-Seiten aus der CD! Datei Nr. 96 Friedrich W. Buckel Strand:. Dezember 006 Analysis INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de
Vorwort Neue Aufgabenformen im Abitur bringen vermehrt Aufgabenstellungen, in denen es darum geht, Schaubilder zu analysieren und daraus andere Schaubilder zu erstellen oder Funktionsgleichungen zu ermitteln. Da aber auch GRT und zunehmend CAS-Rechner zugelassen bzw. vorausgesetzt werden, tauchen jetzt auch Funktionen auf, die früher wegen zu hohem Rechenaufwand nicht üblich waren, ich sprechen von ganzrationalen Funktionen 5. und höheren Grades. Daher enthält dieser Text auch Funktionen 5. und 6. Grades, die zur Schaubildanalyse ohne Rechnung problemlos, wenn auch anspruchsvoller sind. Soll damit eine Funktionsgleichung aufgestellt bzw. ausgewertet werden, werden CAS-Rechner dazu verwendet. Man beachte, dass parallel zu diesem Text auch die Datei 990 Funktionen mit ClassPad00 geschrieben wird. Dort tauchen einige der hier besprochenen Aufgaben nochmals auf und werden weiterführend behandelt! Ich trenne dies bewusst um hier keine Mammutaufgaben zu haben und mich besser auf gestellte Themenbereiche konzentrieren zu können, Außerdem werden im Anschluss neue Sammlungen groß großen abiturablen Musteraufgaben zusammengestellt, die dann im. Teil ganzrationale Funktionen als Hintergrund haben. (geplante Nummer: 90 gara CAS)
Ganzrationale Funktionen. Parabelfunktionen Grundwissen Schaubilderanalysen 5 Aufgaben bis 6 8. Ganzrationale Funktionen vom Grad 0 Grundwissen 0. Typische Schaubilder 0. Bedeutung der Funktionen f, f' und f''. 5 Musteraufgaben Aufgaben 7, 8 und 9 7. Ganzrationale Funktionen vom Grad 8 Grundwissen 8. Typische Schaubilder 8 Aufgabe 0 9. Zusammenhänge zwischen f, f' und f'' Kurvengleich aus dem Schaubild erstellen Aufgabe Funktionsgleichung aus Ableitungskurve bestimmen 5 Musteraufgaben 5. Grafisches Differenzieren 9. Ganzrationale Funktionen vom Grad 5 Grundwissen Beispielfunktionen.5 Ganzrationale Funktionen vom Grad 6 7 Grundwissen 7 Beispielfunktionen 7 Große Trainingsaufgabe 8 Betragsfunktionen und zusammengesetzte Funktionen 5. Einfache lineare Betragsfunktionen 5 Aufgabe 5 Funktionsgleichung zum Schaubild erstellen 5 Aufgabe 5
. Zusammengesetzte lineare Betragsfunktionen 55 Aufgabe 56 Aufgabe 5 58. Zusammengesetzte Funktionen - Abschnittsweise definierte Funktionen 59 Aufgabe 6 6 Lösungen aller Aufgaben 6 bis 00
96 Schaubilderanalyse Ganzrationale Funktionen. Ganzrationale Funktionen vom Grad GRUNDWISSEN Eine ganzrationale Funktion -ten Grades hat allgemein diese Gleichung ( ) o f x = ax + ax + ax+ a.. Typische Schaubilder für Funktionen. Grades (a) (d) f(x) x x f(x) = (b) = x (e) 8 f(x) = x + x (c) 8 f(x) = x x x (f) f(x) = x + x 0 f(x) = x x + x 9 In diesen 6 Schaubildern kommt alles vor, was diese Funktionen zu bieten haben: In (a) und (b) liegt eine Welle vor, d.h. die Kurve hat einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt. Ein wichtiger Unterschied in den beiden Schaubildern bzw. Funktionen ist das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten. Bei (a) beginnt die Funktion so: f(x) = x +... und bei (b) f(x) = x +... 8. Das bedeutet, dass die Kurve nach rechts oben entschwindet. Ist dieser höchste Koeffizient negativ, dann gilt: Für x folgt f( x). Das bedeutet, dass die Kurve nach rechts unten entschwindet. Alle Funktionen haben jedoch die Wertmenge R. Ist dieser höchste Koeffizient positiv, dann gilt: Für x folgt f( x)
96 Schaubilderanalyse Übrigens ist jedes Schaubild. Grades punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt, den jedes solche Schaubild hat. In gibt es keine Hoch- und Tiefpunkte mehr, in (d) (e) und (f) hat der Wendepunkt eine waagrechte Tangente, weshalb er Terrassenpunkt heißt.. Zusammenhang zwischen den Schaubildern von f, f und f'' Wissen: f dient zur Berechnung der Funktionswerte. Beispiele: (a) f' f'' f(x) = x x f'(x) = x f ''(x) = x dient zur Berechnung der Tangentensteigungswerte und damit zur Berechnung der Monotonie: Ist f' ( a) 0 Ist f' ( x) 0 monoton, ist aber ( ) =, dann hat das Schaubild bei a eine waagrechte Tangente. > in einem bestimmten Intervall, dann steigt dort f streng f' x > 0, dann fällt f streng monoton. macht eine Aussage über die Krümmung der zu f gehörenden Kurve. Ist in einem Intervall f'' ( x) > 0, dann nimmt dort die Steigung zu, also krümmt sich die Kurve nach oben (Linkskrümmung). Ist dagegen f'' ( x) < 0, dann nehmen die Steigungswerte ab, also liegt Rechtskrümmung vor. An einem Wendpunkt liegt Krümmungswechsel vor. Dies ist dann der Fall, wenn f'' ( x) = 0 ist (also an einer Nullstelle von f ) und dabei f'' links und rechts davon verschiedene Vorzeichen hat (Krümmungswechsel! ). Auch wenn nichts weiter angegeben ist, sollte man einen Zusammenhang zwischen den Kurven herstellen können: K O ist offensichtlich das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades, K hat Parabelform, könnte also das Schaubild von f sein, und K ist eine Gerade, gehört also zu einer linearen Funktion, welche f darstellen kann. Überprüfen wir das genauer: Die Nullstelle von K ist x = 0. Dort hat K O seinen Wendepunkt. Für x > 0 hat K O Linkskrümmung, was dazu passt, dass die Gerade oberhalb der x-achse verläuft, > entspricht. was f'' ( x) 0 Für x < 0 entdeckt man Rechtskrümmung, und das passt zu f'' ( x) < 0! Die Parabel gehört zu f, dann dort wo die Parabel Nullstellen hat, liegen die Extrempunkte von K O! Bei x = der Tiefpunkt ( f' ( ) = 0 und f'' ( ) > 0!) und bei x = - der Hochpunkt (denn es ist f' ( ) = 0 und f'' ( ) < 0). f' K f'' K f K 0
96 Schaubilderanalyse (b) f(x) = x + x (K O ) 8 f'(x) x 8 x = + (K ) f ''(x) = x + (K ) H Wir beobachten: Die Extrempunkte von K O liegen bei etwa,7 und bei 0, also genau dort, wo f' seine Nullstellen hat. Zwischen den Nullstellen von f' ist f' ( x) > 0, dies bedeutet monotones Wachstum für die Funktion f, was man direkt sehen kann, denn vom Tiefpunkt ( im Ursprung) bis zum Hochpunkt steigt K O an. Rechts davon fällt die Kurve, f' ( x) < 0, genauso für x < 0. Schließlich die Krümmung: Die fallende Gerade hat links von f'' x > 0. Wir erkennen dort auch Linkskrümmung von K O. Die Krümmung wechselt am Schnittpunkt der Geraden mit der x-achse, also der Nullstelle von f'', von links nach rechts, was zu den negativen Werten von f'' passt. Der Wendepunkt von K O liegt also bei 8 6 Zur Information: Die genauen Werte sind: H ( 7 ) und ( 7 ) (c) f(x) = x + x 0 x 0 x 5 f'(x) = + f''(x) = Eine Besonderheit fällt bei dieser Konstellation auf: Die Parabel K liegt ganz über der x-achse. f' hat also nur positive Werte, d.h. es gilt für alle x R: f' ( x) > 0. Folgerung: K O steigt streng monoton im ganzen Definitionsbereich! (Ausführliche Kurvenuntersuchung siehe 0 Aufgabe 0) (d) f(x) = x x + x 9 f'(x) = x x+ f''(x) = x Die Kurve K O besitzt bei x = einen Terrassenpunkt, also einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. K x = positive Werte: ( ). W (Siehe 0 Aufgabe 0). K K K 0 K T W W K 0 K 0 Denn dort hat die f'' Gerade ihre Nullstelle mit Zeichenwechsel, was den Wendepunkt beweist. Und man beachte: Der Scheitel der f ' Parabel liegt auf der x-achse, ist also eine doppelte Nullstelle! ( f' ( ) = 0 bedeutet waagrechte Tangente bei!). Für alle x R ist f' ( x) 0 im gesamten Definitionsbereich monoton., d.h. f wächst K K (Ausführliche Kurvenuntersuchung siehe 0 Aufgabe )
96 Schaubilderanalyse. Musteraufgaben Stelle Zusammenhänge zwischen den drei Kurven her und versuche am Ende die Kurvengleichung von K aufzustellen. K Lösung K scheint das Schaubild einer ganz rationalen Funktion f. Grades zu sein. K gehört als Parabel vermutlich zur Ableitungsfunktion f und K zu f''. Diese Vermutung werden durch die folgenden Beobachtungen gestützt: (a) (b) (c) Krümmung von K : Für x < liegt Rechtskrümmung vor. Dazu passt, dass K in diesem Bereich negative Werte hat: f'' ( x) < 0. Für x > haben wir dann Linkskrümmung entsprechend f'' ( x) > 0. Und der Wendepunkt liegt an der Übergangsstelle ( ) W 0. Monotonie von f: Die Parabelfunktion f hat für 0 < x < negative Werte, d.h. f fällt in T. diesem Intervall streng monoton (vom Hochpunkt H( 0 ) zum Tiefpunkt ( ) In den Außenbereichen ] ;0[ und ] ; [ ist f' ( x) 0 > und f wächst streng monoton. Aufstellung der Kurvengleichung: Allgemein gilt: f( x) = ax + ax + ax + ao oder f ( x) = ax + bx + cx + d. Wir benötigen also Bedingungen um die Koeffizienten zu berechnen. Dazu die Ableitungen: f' ( x) = ax + bx+ c und ( ) f'' x = 6ax+ b Aus der Abbildung liest man den Hochpunkt H( 0 ) ab, dies ergibt zwei Bedingungen: f( 0) = und f' ( 0) = 0, ferner den Wendepunkt W( 0 ), was zu f( ) = 0und ( ) führt. Daraus gewinnt man durch Einsetzen dieses Gleichungssystem: f( 0) = d = () f' ( 0) = 0 c = 0 () f( ) = 0 8a + b + c + d = 0 8a+ b+ = 0 () f'' ( ) = 0 a + b = 0 (). Man multipliziert () mit und erhält a + b = 0 (5) Nun eliminieren wir b, indem wir (5) () rechnen: 6a = 0. Dies ergibt Eingesetzt in (): + b = 0 b = b =. 6 8 f x = x x +. Jetzt kennen wir die Funktionsgleichung: ( ) 6 8 (Aufgaben zum Aufstellen von Funktionsgleichungen, z. B. in 0 und usw.) K a =. 6 f'' = 0 Bemerkung: Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen benötigt man das Horner- Schema oder Polynomdivision (Siehe 0 Aufgabe 09 u.v.a.) K
96 Schaubilderanalyse 5 (d) Behandlung dieser Aufgabe (d) mit dem CAS-Rechner Classpad 00 von CASIO: Und zwar geht es um das Aufstellen der Funktionsgleichung aus den vier Bedingungen f( 0) = () f' ( 0) = 0 () f( ) = 0 () f'' ( ) = 0 (). Wir fügen dazu über das Keyboard-Menü cat und die Form Cmd den Befehl Define ein. Zuvor beachte man, dass wir eine Funktion f definieren wollen, dazu sollte diese noch nicht als Variable gespeichert sein. Also schaut man im Variablenmanager nach, klickt auf das Icon mit der Aufschrift a= und b=. Dann tastet man sich in den Hauptspeicher main voran und löscht ggf. eine Variable f. Jetzt wird also f(x) definiert: f ( x) = ax + bx + cx + d Man achte darauf, dass man das kursive x von der D-Tastatur verwendet. Würde man das x von der abc-tastatur verwenden, würde ClassPad ax als eine aus Buchstaben bestehende Variable ansehen. Man müsste dann dazuwischen das Mal-Kreuz setzen! Als nächstes gibt man die vier Bedingungen ein. In der unteren Hälfte des D-Menüs findet man die Klammerdarstellung für Zeilen. Klickt man dies dreimal nacheinander an, wird die Darstellung auf vier Zeilen erweitert. Daraufhin gibt man die Bedingungen ein: (Ich zeige hier eine breitere Darstellung als im Handheld zu sehen ist, damit man auch alles erkennt, was außerhalb des rechten Bildrandes sonst verborgen wäre) Man erhält die Koeffizienten wie auf der Seite zuvor. Nachdem a, b, c und d bekannt sind, muss man f nochmals definieren und zwar unter der Bedingung, dass diese Koeffizienten nun Werte haben. Dies geht schnell durch Markieren und Kopieren. Zuerst markiert man die Define f(x) - Zeile. befiehlt Kopieren (in Edit), setzt den Cursor in die neue Zeile und befiehlt Einfügen (in Edit). Dann muss man den Bedingungsstrich setzen. Man findet ihn in der Tastatur math unter OPTN. Dann markiert man die Ausgabezeile der Koeffizienten inklusive der Mengenklammer und zieht sie hinter den Strich. Nach EXE haben wir endlich die richtige Funktion definiert. Die Eingabe f(x) EXE beweist dies durch die Anzeige! Ergebnis: f( x) = x x + 6 8 Die Schreibweise diff(f(x),x,,0) bedeutet f'(0) diff(f(x),x,,) bedeutet f ''(). Die bzw. nach dem x gibt die Stufe der Ableitung an, die Zahl dahinter den Wert für x.
96 Schaubilderanalyse 6 Nun folgt noch die Darstellung der drei Funktionen f, f und f''. Die Eingabe in die y-liste sieht so aus wie unten gezeigt: Dann klickt man das Kurvensymbol oben links an und erhält das, was die rechte Abbildung zeigt! Man achte darauf, dass nun plötzlich die. und. Ableitungsfunktion als Gleichung anders dargestellt wird. Diese Darstellung bedeutet. Ableitung nach x und. Ableitung nach x. Die schwer berechenbare Nullstelle wird auch ganz schnell geliefert: Über das Menü: Analysis. Graphische Lösung - Nullstelle erhält man x = -,60. (Mehr dazu in 9 Funktionen mit ClassPad).
96 Schaubilderanalyse 7 Die Funktion f hat nebenstehendes Schaubild. a) Skizziere in ein neues Koordinatensystem die Schaubilder der Ableitungsfunktionen f' und f''. b) Welche der folgenden Eigenschaften trifft zu:. f' ( 0) = 0. f' ( ) < 0. f' ( ) > 0. f'' (,) 0 5. f'' ( ) > 0 6. f'' ( ) > 0 c) Die Funktionsgleichung von f kann in dieser Form angegeben werden: f( x) = a x ( x x ). Begründe dies und gib x an. Bestimme dann a mit Hilfe des Kurvenpunktes A ( ). Wie lautet daher die Gleichung von f? a) Skizziere in ein neues Koordinatensystem die Schaubilder der Ableitungsfunktionen f' und f''. b) Welche der folgenden Eigenschaften trifft zu:. f' ( 0) = 5. f' ( ) > 0. f' ( ) > 0. f'' (,) 0 5. f'' () > 0 6. f'' ( ) > 0 7. f'' ( 5) = 0 c) Die Funktionsgleichung von f kann in dieser Form angegeben werden: f( x) = a ( x x)( x x)( x x). Gib x, x und x an. Bestimme dann a mit Hilfe des Kurvenpunktes Q( 0 5) d) Es gilt f'(x) = x x+ 7. Bestimme daraus und mit Hilfe von Q die Gleichung von f. 5 5
96 Schaubilderanalyse 8 Lösung : a) Anleitung zur Zeichnung, die als Skizze verlangt war: Man erkennt, dass K bei x = 0 und x,7 waagrechte Tangenten hat. Es gilt also f' ( 0) = 0 und f' (,7) 0. Damit hat man die Nullstellen der Parabel (f hat eine Gleichung. Grades!). Weil die Kurve K links vom Tiefpunkt fällt und rechts von Hochpunkt fällt, hat f in diesen Bereichen negative Werte, also geht die f -Parabel außen nach unten, die Parabel ist nach unten geöffnet. Ihr Scheitel liegt zwischen den Nullstellen, also etwa bei,. An dieser Stelle skizziert man eine Tangente an K ein nun ermittelt durch ein Steigungsdreieck (gestrichelt) die ungefähre Steigung der Tangente. Man erhält Δ x = und Δ y =. Dies ergibt ( ). Damit hat man die y-koordinate des Parabelscheitels: S' (, 0,7 ) f', 0,7 Bleibt noch die f -Gerade: Der Wendepunkt von K liegt bei,, es ist also f (,)=0. Nun muss man wissen, dass bei Linkskrümmung f'' ( x) > 0 ist, d.h. links von, (wo K tatsächlich Linkskrümmung hat), sind die f'' Werte positiv, rechts davon negativ. Wir haben also eine fallende Gerade durch P(, 0 ). Mehr findet man nur schwer heraus. Dazu muss man tief in die Trickkiste greifen und f als Ableitung von f verstehen. Im Ursprung hat f eine Nullstelle und die Parabel etwa die Steigung. Das heißt, dass f'' 0. Verwenden wir also die Ableitung von f', alsof'' bei 0 den Wert hat: ( ) R( 0 ) als zweiten Punkt für die f -Gerade, dann liegt diese im Achsenkreuz fest! b) Nun zu den angegebenen Eigenschaften:. f' ( 0) = 0 ist richtig, denn im Ursprung, also bei x = 0 hat K eine waagrechte Tangente. Die Tangentsteigung ist der Funktionswert von f', also haben wir tatsächlich f' ( 0) = 0.. f' ( ) < 0 Diese Ungleichung besagt, dass die Tangentsteigung bei x = negativ ist, d.h. die Kurve fällt in einer Umgebung von x = -. Auch das kann man an der Zeichnung verifizieren.. f' ( ) > 0 Diese Ungleichung besagt, dass die Tangentsteigung bei x = positiv ist, d.h. die Kurve steigt in einer Umgebung von x =. Das stimmt nicht mit der Abbildung überein, aus der man entnimmt, dass die Kurve in einer Umgebung von x = fällt. Also müsste es < richtig heißen: f' ( ) 0. f'' (,) 0 Wir erinnern und, dass die Nullstellen der Funktion f'' den Wendestellen der Kurve K entsprechen. Wir beobachten, dass der Wendepunkt von K etwa bei x =, liegt. Wahre Aussage! 5. f'' ( ) > 0 Diese Aussage heißt, dass die Kurve in einer Umgebung von x = - Linkskrümmung hat, was zutrifft. S' Δ y =
96 Schaubilderanalyse 9 6. f'' ( ) > 0 Diese Aussage heißt, dass die Kurve in einer Umgebung von x = Linkskrümmung hat, was nicht zutrifft. Dort liegt Rechtskrümmung vor, also müsste die Aussage so lauten: f'' ( ) < 0. c) Die Funktionsgleichung von f kann in dieser Form angegeben werden: f( x) = a x ( x x ). Begründe dies und gib x an. Bestimme dann a mit Hilfe des Kurvenpunktes A ( ) Begründung: Hat eine Funktion. Grades die drei Nullstellen x, x und x, dann kann man f x = a x- x x- x x- x. ihre Gleichung so darstellen: ( ) ( )( )( ) f hat eine Nullstelle bei x = und bei x = 0 eine doppelte Nullstelle, also ist x = x = 0. f x = a x x Daraus folgt: ( ) ( ) Hieraus folgt für x = : ( ) ( ) ( ) Andererseits ist wegen A ( ) ( ) f = a = a = 8a. f =. Daher erhält man Somit lautet die Gleichung: ( ) ( ) f x = x x = x + x. 8 8 8 8a = a =.
96 Schaubilderanalyse 0 Lösung a) Anleitung zur Zeichnung, die als Skizze verlangt war: Man erkennt, dass K bei x = 5 und x, waagrechte Tangenten hat. Es gilt also f' ( 5) = 0 und f' (,) 0. Damit hat man die Nullstellen der f -Parabel (f hat eine Gleichung. Grades!). Weil die Kurve K links vom Hochpunkt und rechts von Tiefpunkt steigt, hat f in diesen Bereichen positive Werte, also geht die f -Parabel außen nach oben, die Parabel ist nach oben geöffnet. Ihr Scheitel liegt zwischen den Nullstellen, also etwa bei,7. An dieser Stelle skizziert man eine Tangente an K ein nun ermittelt durch ein Steigungsdreieck (gestrichelt) die ungefähre Steigung der Tangente. Man erhält z. B. Δ x = und Δ y =. Dies ergibt f' (,7). Damit hat man die y-koordinate des Parabelscheitels: S' (,7 ) Bleibt noch die f -Gerade: Der Wendepunkt von K liegt bei,7, es ist also f (,7)=0. Nun muss man wissen, dass bei Rechtskrümmung f'' ( x) < 0 ist, d.h. links von,7 (wo K tatsächlich Linkskrümmung hat), sind die f'' Werte negativ, rechts davon positiv. Wir haben also eine fallende Gerade durch P(,7 0 ). Einen zweiten Punkt für diese Gerade erhält man beispielsweise so: Bei x = hat die Parabel etwa die Steigung - (Die Tangente ist mit Strichpunkten eingezeichnet). Das heißt, dass die Ableitung von f', alsof'' bei den Wert - hat: f'' ( ). Verwenden wir also R( ) Achsenkreuz fest! b) Nun zu den angegebenen Eigenschaften: als zweiten Punkt für die f -Gerade, dann liegt diese im. f' ( 0) = 5 ist richtig, denn in A ( 0 5) schneidet K die y-achse,. f' ( ) > 0 bedeutet, dass die Tangente im Punkt ( ) B. f' ( ) > 0 ist falsch, denn die Tangente hat bei x = eine negative Steigung, denn sie fällt.. f'' (,) 0 ist richtig. Dort liegt der Wendpunkt von K. 5. f'' () 0 B y steigt: Richtig! > bedeutet, dass K in einer Umgebung von x = Linkskrümmung hat, was falsch ist. 6. f'' ( ) > 0 bedeutet, dass K in einer Umgebung von x = Rechtskrümmung hat, 7. f'' ( 5) 0 was wahr ist. = würde auf einen Wendepunkt bei x = 6 hinweisen: Unsinn. Richtig wäre f ( 5) = 0 oder f '( 5) = 0, aber f ''( 5) > 0 R
96 Schaubilderanalyse c) Die Funktionsgleichung von f kann in dieser Form angegeben werden: f( x) = a ( x x)( x x)( x x), wobei x, x und x die Nullstellen sind. Man erkennt: x = und x = x = 5 (Ein Berührpunkt ist eine doppelte Lösung! ). Also folgt: f( x) = a ( x )( x 5)( x 5) = a ( x )( x 5) Mit Hilfe des Kurvenpunktes Q( 0 5) kann man a so bestimmen: f( 0) = a ( )( 5) = 5a. Andererseits folgt aus Q( 0 5) ( ) Durch Vergleichen erhält man 5a = 5 a = 5 f 0 = 5. Damit haben wir folgende Gleichung von f: ( ) ( )( ) d) Es gilt 5 5 f x = x x 5. f'(x) = x x+ 7. Bestimme daraus und mit Hilfe von Q die Gleichung von f. Durch Aufleiten erhält man x x f( x) = + 7x+ C 5 5 ( ) f x = x x + 7x+ C 5 5 Einerseits ist nun f( 0) = C Mittels Q( 0 5) erhält man andererseits: f( 0) = 5 Also ist C = - 5. Ergebnis: f(x) = x x + 7x 5 5 5 5
96 Schaubilderanalyse Musteraufgabe a) Das Schaubild von f ist punktsymmetrisch zu Z( 0 ). Diesen Sachverhalt kann man in einer Gleichung mit f ausdrücken. Schreibe diese Gleichung auf. b) Lies Extrem- und Wendepunkte des Schaubilds ab. c) Gib Zahlen x j oder Intervalle an, so dass die folgenden Aussagen richtig sind: f x < 0, f( x ) f' ( x ) 0 f'' ( x ) 0 6 =, ( ) = f' ( x ) =, ( ) 5 =, f'' ( x ) > 0, ( ) 7 f' x, f'' x < 0. 8 d) Gib eine Vorzeichentabelle für f und für f an. Interpretiere diese Tabellen als Aussagen über den Verlauf des Schaubildes K von f. e) Warum kann f'' ( x) = x+ nicht die zweite Ableitungsfunktion von f sein? Musteraufgabe 5 Gegeben ist eine Parabel. Ordnung (siehe Abbildung) als Schaubild einer Funktion f. a) Zeichne die Schaubilder von f' und f'' in dasselbe Koordinatensystem ein. b) Was bedeutet, wenn gilt: =, f' ( ) =, f( ) f'' ( ) = 0 und ( ) f''' =? c) Begründe oder widerlege die folgenden Aussagen:. f hat im Intervall [ 0;6 ] genau zwei Nullstellen.. Im Intervall ] 0; [ gilt f' ( x) < 0.. f hat Wendepunkte bei 0 und. f'' x < 0. Für < x < 5 ist ( ) d) Stelle die Gleichung von f auf (Ergebnis: ( ) f x = x x + ) 8 e) Zusatz: Löse d) mit einem CAS-Rechner. Berechne dann die Nullstellen der Funktion mit diesem CAS-Rechner f) Zusatz: Verschiebe das Schaubild von K so, dass ihr Wendepunkt in den Ursprung fällt. Berechne dazu die Funktionsgleichung (Lösung auch mit CAS-Rechner möglich) und lasse das Schaubild mittels Rechner darstellen.
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96 Schaubilderanalyse. Ganzrationale Funktionen vom Grad GRUNDWISSEN Eine ganzrationale Funktion -ten Grades hat allgemein diese Gleichung ( ) f x = ax + ax + ax + ax+ a. o. Typische Schaubilder für Funktionen. Grades f(x) = x x + 9 f(x) = x x x 6 f(x) = x + x 6 f(x) = x + x f(x) = x x + x 5 8 f(x) 6 = x x
96 Schaubilderanalyse 5 Diese Schaubilder zeigen die Eigenschaften der Parabeln. Grades, die so vorkommen können. Ich will sie nicht nur aufzählen, sondern erstelle daraus kleine Aufgaben, denen man auch in Abituraufgaben begegnen kann: Aufgabe 7 Beantworte die folgenden Fragen durch Rechnungen und erklärenden Text. a) Wie viele Nullstellen kann eine ganz rationale Funktion. Grades besitzen? b) Welche Symmetrie kann eine Parabel. Grades haben? An welchem Merkmal kann man eine solche Symmetrie erkennen? c) Wie verhält sich eine ganz rationale Funktion. Grades für x. Was folgt daraus für die Wertmenge der Funktion? d) Woran erkennt man, dass eine Parabel. Grades nach unten geöffnet ist? e) Wann hat eine Parabel. Grades im Ursprung einen Extrempunkt? f) Wie viele Extrempunkte kann eine Parabel. Grades besitzen? Und wie viele Wendepunkte? g) Was ist ein Terrassenpunkt? Kann eine Parabel. Grades einen solchen besitzen, oder auch zwei? () () Die Antworten stehen im Anhang! Wir beschreiben noch einige Eigenschaften der gezeigten Funktionen: 9 f(x) = x x + hat offenbar die deutlich erkennbaren Wendepunkte W ( ), also gilt: f'' ( ± ) = 0. Zwischen den Wendepunkten hat K Rechtskrümmung, also gilt dort f'' ( x) < 0. Für x > und x < - haben wir Linkskrümmung mit f'' ( x) > 0. ±, Das Schaubild ist symmetrisch zur y-achse, denn es treten die x-potenzen x und x nicht auf. Zur Berechnung der Nullstellen muss man diese Gleichung lösen: x x + = Dies ist eine biquadratische Gleichung, also eine doppelt 9 0 quadratische Gleichung: Es ist eine quadratische Gleichung für x. Wir vereinfachen zuerst durch Multiplikation mit 6 (ist günstiger als!): ± 7 x x + 7 = 0 x = =. Also liegen die Nullstellen bei ±. Weil der Radikand 0 wird, liegen doppelte Nullstellen vor, dies sind dann die beiden Tiefpunkte! f(x) = x + x ist nach unten geöffnet, denn der Koeffizient von x ist negativ! 6 K ist symmetrisch zur y-achse und weil man x ausklammern kann ist 0 eine doppelte Nullstelle, d.h. der Ursprung kommt als Extrempunkt vor!
96 Schaubilderanalyse 6 () f(x) = x x x hat 0 also doppelte Nullstelle, zeigt aber keine Symmetrie. () 6 Die Nullstellen berechnet man durch Ausklammern von x : x x x = 0 x x = 0 6 ( ) 6 6 ± + x x = 0 x,65, = = ± 7, 65 f(x) = x + x hat x = 0 als dreifache Nullstelle, das ergibt einen Terrassenpunkt (also einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente). Die zweite Nullstelle folgt durch Ausklammern von x : x ( x+ ) = 0 x = (5) f(x) 5 = x 8 x + x hat wie () den Ursprung als doppelte Nullstelle. Durch Multiplikation mit und Ausklammern von x folgt: ( ) x x + 6x = 0 x x x+ 6 = 0 Die Klammer liefert keine weitere Nullstelle mehr: x, = ± 9 6 = ± R. Das Schaubild hat zwei Wendepunkte, dazwischen aber keinen Extrempunkt. (6) f(x) 6 x x = hat eine große Besonderheit. Die Berechnung von Wendepunkten nimmt diesen seltsamen Verlauf: 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) Die Wendepunktsbedingung f ''( x) 0 x 0 6 sofort, dass die Funktion f ''( x) x 6 { f ' x = x ; f '' x = x und f ''' x = 6x = = führt zu x = 0. Man erkennt aber = keine negativen Werte annehmen kann, d.h. die Kurve kann nie Rechtskrümmung haben. Es gibt also keinen Wendepunkt. Der Ursprung ist hier also kein Wendepunkt. Man bezeichnet ihn als Flachpunkt. Die hier gezeigten Funktionen sind wenige Beispiele aus der großen Sammlung in der Datei 0. Dort werden diese Funktionen ausführlich analysiert!
96 Schaubilderanalyse 7. Zusammenhänge zwischen den Schaubildern von f, f und f. Wir betrachten einige Funktionen und die Schaubilder ihrer ersten beiden Ableitungen: () = +, f' ( x) = x x, f'' ( x) f(x) x x 9 8 = x 8 Man erkennt deutlich die typische Form der Kurve. Grades für f'. Die Nullstellen von f' (kleine Quadrate) liegen dort, wo das Schaubild von f Tiefpunkte bzw. den Hochpunkt hat. Und die Nullstellen von f'' liegen dort, wo das Schaubild von f seine beiden Wendepunkte hat! Außerdem hat die f '' Parabel zwischen ihren Nullstellen negative Werte, was der Rechtskrümmung von K entspricht usw. Und dort wo f' ( x) > 0 ist (also zwischen -,6 und 0 und rechts von,6, da wächst f. Diese Grundlagen sind auf Seite zusammengestellt! () f( x) = x + x + 9 '( x) = x + x,, ( ) 8 6 f a) f' hat eine Nullstelle bi x = -8. Dort hat K auch einen Extrempunkt. f' hat eine doppelte Nullstelle bei 0. Dort hat K keinen Extrempunkt sondern einen Terrassenpunkt, also einen WP. mit waagrechter Tangente. b) Die Wendepunkte findet man dort, wo die f '' Parabel ihre Nullstellen hat, bei - und bei 0. Dazwischen ist f'' ( x) < 0, d.h. K hat Rechtskrümmung, usw. f' x 0, also steigt f für x > 6 monoton. c) Für x > -6 ist ( ) (Nicht streng monoton, denn bei x = 0 ist ja f' ( 0) = 0!) W W f f'' f' f'' x = x + x W f W f' f''
96 Schaubilderanalyse 8 Umkehrung der Aufgabe: Erstelle die Kurve(ngleichung) aus dem Schaubild Gegeben sind 9 Kurven in 6 Abbildungen. Darunter sind die Schaubilder von Funktionen f, f, f uns den beiden Ableitungsfunktionen davon. Abbd. K Abbd. K 9 K Abbd. K 5 K 6 K Abbd. 5 K 8 K 7 K Abbd. Auf der nächsten Seite stehen dazu einige wichtige Aufgaben! Abbd. 6
96 Schaubilderanalyse 9 Ende der Demo-Seiten