Schaubilderanalyse. Arbeiten mit Schaubildern von Funktionen. Funktionsgleichungen aufstellen - identifizieren uva.

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1 Schaubilderanalyse Arbeiten mit Schaubildern von Funktionen Abitur-Vorbereitung Analysis Funktionsgleichungen aufstellen - identifizieren uva. Trainingskurse für das Neue Abitur Auch Aufgaben mit Verwendung von CAS-Rechnern! Alter Text, wird 07 völlig überarbeitet Stand:. Dezember 006 Datei Nr. 50 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 50 Schaubilderanalyse Vorwort Neue Aufgabenformen im Abitur bringen vermehrt Aufgabenstellungen, in denen es darum geht, Schaubilder zu analysieren und daraus andere Schaubilder zu erstellen oder Funktionsgleichungen zu ermitteln. Da aber auch GRT und zunehmend CAS-Rechner zugelassen bzw. vorausgesetzt werden, tauchen jetzt auch Funktionen auf, die früher wegen zu hohem Rechenaufwand nicht üblich waren, ich sprechen von ganzrationalen Funktionen 5. und höheren Grades. Daher enthält dieser Text auch Funktionen 5. und 6. Grades, die zur Schaubildanalyse ohne Rechnung problemlos, wenn auch anspruchsvoller sind. Soll damit eine Funktionsgleichung aufgestellt bzw. ausgewertet werden, werden CAS-Rechner dazu verwendet. Man beachte, dass parallel zu diesem Text auch die Datei 990 Funktionen mit ClassPad00 geschrieben wird. Dort tauchen einige der hier besprochenen Aufgaben nochmals auf und werden weiterführend behandelt! Ich trenne dies bewusst um hier keine Mammutaufgaben zu haben und mich besser auf gestellte Themenbereiche konzentrieren zu können, Außerdem werden im Anschluss neue Sammlungen groß großen abiturablen Musteraufgaben zusammengestellt, die dann im. Teil ganzrationale Funktionen als Hintergrund haben. (geplante Nummer: 90 gara CAS)

3 50 Schaubilderanalyse Ganzrationale Funktionen. Parabelfunktionen Grundwissen Schaubilderanalysen 5 Aufgaben bis 6 8. Ganzrationale Funktionen vom Grad 0 Grundwissen 0. Typische Schaubilder 0. Bedeutung der Funktionen f, f' und f''. 5 Musteraufgaben Aufgaben 7, 8 und 9 7. Ganzrationale Funktionen vom Grad 8 Grundwissen 8. Typische Schaubilder 8 Aufgabe 0 9. Zusammenhänge zwischen f, f' und f'' Kurvengleich aus dem Schaubild erstellen Aufgabe Funktionsgleichung aus Ableitungskurve bestimmen 5 Musteraufgaben 5. Grafisches Differenzieren 9. Ganzrationale Funktionen vom Grad 5 Grundwissen Beispielfunktionen.5 Ganzrationale Funktionen vom Grad 6 7 Grundwissen 7 Beispielfunktionen 7 Große Trainingsaufgabe 8 Betragsfunktionen und zusammengesetzte Funktionen 5. Einfache lineare Betragsfunktionen 5 Aufgabe 5 Funktionsgleichung zum Schaubild erstellen 5 Aufgabe 5

4 50 Schaubilderanalyse. Zusammengesetzte lineare Betragsfunktionen 55 Aufgabe 56 Aufgabe Zusammengesetzte Funktionen - Abschnittsweise definierte Funktionen 59 Aufgabe 6 6 Lösungen aller Aufgaben 6 bis 00

5 50 Schaubilderanalyse 5 Ganzrationale Funktionen. Parabelfunktionen GRUNDWISSEN Eine ganzrationale Funktion. Grades hat allgemein diese Gleichung f x ax bx c. Ihr Schaubild ist eine Parabel.. Betrachten wir zuerst Normalparabeln ohne Streckungsfaktor: Typ : x Normalparabel, Scheitel: S0 0 f x Typ : fxx a Normalparabel, Scheitel: Sa 0 Typ : Typ : Abbildungen dazu: Sie entsteht durch Verschiebung der Kurve y = x um a in x-richtung. Beispiele: fxx hat den Scheitel S 0 fxx hat den Scheitel S 0 Normalparabel, Scheitel: S0 a f x x a Beispiele: f x x bx c Dargestellt sind die Parabeln zu K : f x x K : fxx K : fxx K : fx X K 5 : fx X K 6 : X f x x 8. Sie entsteht durch Verschiebung der Kurve y = x um a in y-richtung. X hat den Scheitel S0 X hat den Scheitel S0 f x f x Normalparabel.. Den Scheitel kann man auf zwei Arten berechnen: Durch quadratische Ergänzung oder über die. Ableitungsfunktion (Siehe.) K K K K K 6 K 5

6 50 Schaubilderanalyse 6. Parabeln mit Streckungsfaktor Beispiele: Die Parabel mit der Gleichung y ax entsteht aus y x durch Streckung in y-richtung mit dem Faktor a. Ist a negativ, wird die Parabel zugleich an der y-achse gespiegelt. Ist a >, liegt eine echte Streckung vor, ist 0 < a <, dann sollte man besser von einer Stauchung sprechen. Die linke Abbildung zeigt in der Mitte die Normalparabel mit der Gleichung dazu die Parabel y x (K7) mit dem Streckfaktor und die Parabel mit dem Streckfaktor (K 8), die daher flacher verläuft. Die rechte Abbildung zeigt in der Mitte die nach unten gespiegelte Normalparabel y x (K9) dazu y x (K0) und y x (K). y x (K), Werden gestreckte Parabeln verschoben, dann erkennt man das daran, dass in der Grundform f x ax bx c a nicht mehr die Zahl (oder -) ist, sondern einen anderen Wert hat. Dann erhält man Gleichungen von der Form: K : K : y= x -x+ (Abbildung links) y x 5x K 7 K oder K : Die Bestimmung der Scheitel ist hier schwierig. K 8 y x 5x 5. K K 9 K 0 y K K x K

7 50 Schaubilderanalyse 7. Bestimmung des Parabelscheitels aus der Form fxax bx c:. Methode: Quadratische Ergänzung. (Viele Beispiele in 0) Beispiel () y x 6x 0. Schritt: Absolutglied nach links: y0 x 6x. Schritt: Rechts das Ziel ( x - ) = x - 6x + 9 erkennen. Die Zahl - entsteht durch Halbierung der Zahl -6, die im doppelten Produkt auftritt. Ihr Quadrat + 9 muß auf beiden Seiten ergänzt werden: y0 9 x 6x 9 y x. Schritt: Zusammenfassen: und den Scheitel ablesen: S ( I ). Beispiel () y x x. Schritt: y x x. Schritt: Ziel rechts erkennen : ( x - ) = x - x + und Quadrat + auf beiden Seiten ergänzen: y x x 7. Schritt: Zusammenfassen: yx Ergebnis: Scheitel S 7 Beispiel () y x x. Schritt: Absolutglied nach links: y x x Den nächsten Schritt macht man in meist mit dem ersten zusammen: Auf der rechten Seite muss der Streckfaktor ausgeklammert werden. Ausklammern durch heißt in der Klammer Division durch, also Multiplikation mit dem Kehrwert. Damit erhält man: y x 8x. Schritt: Rechts das Ziel ( x - ) = x - 8x + 6 erkennen. Die Quadratzahl + 6 wird rechts in der Klammer ergänzt. Da diese Klammer mit dem Faktor multipliziert wird, haben wir in Wirklichkeit nur 6 ergänzt. Dies muss auch auf der linken Seite geschehen: y6 x 8x6. Schritt: Zusammenfassen: y x 8x6 y x und den Scheitel ablesen: S ( I - ). Scheitelform einer Parabel: y y S k x xs!

8 50 Schaubilderanalyse 8. Methode: Mit der Ableitungsfunktion. (Viele Beispiele in 0) Beispiel () Gegeben ist eine Parabelfunktion durch fx x 6x 0 5. Berechnung der Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-achse) zu fx=ax+bx+c: Beispiele: In den Schnittpunkten mit der x-achse gilt y 0 Dies führt auf die Gleichung a) f x x x 5 x, b) Gesucht ist der Parabelscheitel S. Ableitungsfunktion: f' x x Im Scheitel besitzt die Parabel eine waagrechte Tangente, daher: Bedingung: Tangentensteigung in S: mt,s f' xs 0 d.h. x0 x x d.h. hat die Nullstellengleichung hat die Nullstellengleichung f x 0. x x 5 0 mit den Lösungen Also sind die Nullstellen N 5 0, N 0. f x x 6x 6 x 6x x , y-koordinate von S: y f A x, S a b b ac mit N 8 0, N 0. Es gibt Spezialfälle, die ein vereinfachteres Rechnen zulassen. Siehe 0 S

9 50 Schaubilderanalyse 9 Schaubilderanalysen Wir wollen nun aus gegebenen Schaubildern die Funktions- bzw. Kurvengleichung erstellen. Beispiel : Das Schaubild K f der Funktion f ist S 0. eine Parabel mit dem Scheitel Daher lautet ihre Gleichung y ax. Den Streckfaktor a bestimmt man etwa über Q 0 den Schnittpunkt mit der y-achse: Er liegt Längeneinheiten links vom K Scheitel. Bei einer Normalparabel y = x g wäre dies der Punkt P, der um 9 über der x-achse liegt. Erst wenn man mit dem Faktor streckt erhält man den Punkt P mit der y-koordinate. 9 Dasselbe Prinzip ist auch bei K f anzuwenden: 9 bzw. y x f x x Eine andere Methode ist es, einfach die Koordinaten von Q a 0 a9 a! einzusetzen: Beispiel : Das Schaubild K g der Funktion g ist eine nach unten S 0 5. geöffnete Parabel mit dem Scheitel Daher hat die Parabel diese Gleichung: y ax 5 wobei a eine negative Zahl sein muss. Man kann auch y a x 5 9 schreiben, dann ist a jedoch positiv. B und setzen ihn ein: Jetzt verwenden wir noch den Punkt a 5 a5 a. Auf diesen Streckfaktor kommt man auch, wenn man vom Scheitel aus um nach rechts geht, dann wäre das Quadrat ebenfalls, hier aber muss man um nach unten. Daher muss a = - sein. Ergebnis: y x 5. Beispiel : Nebenstehendes Schaubild lässt sich leicht analysieren. Der Scheitel hat gut erkennbare ganzzahlige Koordinaten: S 5 und der Streckfaktor ist, also liegt eine Normalparabel vor. Dies erkennt man daran, dass man vom Scheitel aus um nach links bzw. rechts gehen kann und dann um also um nach oben gehen muss um zu einem Kurvenpunkt zu kommen. Aus der Scheitelform erhält man dann: y 5 x bzw. y x x. Das Absolutglied - gibt zur Kontrolle auch noch den Schnittpunkt der Parabel mit der y-achse an! 9 B P P' K f

10 50 Schaubilderanalyse 0 Beispiel : Bei dieser Parabel kann man den Scheitel nicht mehr ablesen. Daher muss man Punkte erkennen und aus deren Koordinaten die Parabelgleichung bestimmen. Lösung Man liest ab: A 5, B, C Ansatz für die Parabelgleichung: y ax bx c. Durch Einsetzen der Punktkoordinaten erhält man ein System aus Gleichungen mit den Unbekannten a, b und c. A K: also 5 a b c () B K : also ab c () C K : also 9ab c () Die Elimination von c bewirkt man durch diese Operationen: () - (): 5a b () () - (): a b (5) Gleichung (5) vereinfacht man durch eine Division durch : Also Ergebnis: a b (6) () - (6): a a 7 in (6): b a 7 in (): c 5ab 5 Nachträglich soll noch der Scheitel berechnet werden: 7 x. Scheitelbedingung: f' x ergibt 5 f' x 0 ( d.h. waagrechte Tangente!) S x 0 x x S y f S S. 6 8 Eingesetzt: Ergebnis: y x x 7 5 Weitere Beispiele dazu findet man in 0. A B C

11 50 Schaubilderanalyse Die Ableitungsfunktion einer Parabelfunktion macht Aussagen über deren Tangentensteigung. Beispiel f x x x. 9 Wir untersuchen die Funktion Ihre Ableitungsfunktion ist f' x x. Deren Schaubild ist eine Gerade. Gerade und Parabel sind in dieser Abbildung zu sehen. Diese Zusammenhänge sollte man erkennen und verstehen: Im Scheitel hat die Parabel eine waagrechte Tangente, d.h. dort ist die Tangentensteigung 0: f' 0! Und die Gerade, welche die Tangentensteigungen darstellt, hat bei - den Wert 0! Rechts vom Scheitel steigt die Parabel an, d. h. die Tangentensteigungswerte, also die Werte von f (x) sind positiv für x > -. Das zeigt die Gerade: Sie verläuft rechts von - oberhalb der x-achse. Links vom Scheitel fällt die Parabel, wir erhalten negative Tangentensteigungswerte, und analog dazu verläuft die Gerade links von unterhalb der x-achse. Die Gerade liefert an der Stelle x = - den Wert, das ist der Tangentensteigungswert für die Parabel im Punkt mit der x-koordinate -! Umkehrung: Was kann man aus der zur Ableitungsfunktion gehörenden Geraden für die Parabel folgern? Man wird damit beginnen, dass die Gerade die Nullstelle - hat, d.h. für x = - erhält man eine waagrechte Tangente (d. h. mit der Steigung 0). Also liegt der Parabelscheitel bei x = -. Man hat ohne weitere Angabe jedoch keine Chance, die y-koordinate dieses Scheitels zu bestimmen. Das hat seinen einfachen Grund darin, dass bei der Ableitung das Absolutglied wegfällt. Also hat die Parabel mit der Gleichung gx x x (die obere Parabel in der Abbildung) diese Ableitung: g' x x, was mit f' x identisch ist. Wir haben somit an denselben Stellen x die gleichen Steigungen. Beide Parabeln haben den Scheitel bei aber mit verschiedenen y-koordinaten! Und man kann weiter sagen, dass die Parabel rechts vom Scheitel steigt und links davon fällt, denn rechts von liegt die Ableitungsgerade über der x-achse, also in den positiven Werten, links in den negativen Werten. (Siehe Abbildung oben). Also ist die Parabel nach oben geöffnet. Beispiel Gegeben ist die Funktion f (x) durch ihr Schaubild. Die zu f gehörende Parabel gehe durch den Punkt P. Bestimme ihre Gleichung. Zunächst stellt man die Geradengleichung auf: Die Steigung ist m, der y-achsenabschnitt -, also gilt f' x x. Die Stammfunktion dazu ist f x x x c (Probe durch Ableiten). c c. Dies führt zu fx x x. Setzte man P ein folgt: Man nennt diese Funktion f eine Stammfunktion von f. Sie ist nur dann eindeutig bestimmt, wenn man einen Kurvenpunkt kennt, mit dem man das Absolutglied c bestimmen kann. f'

12 50 Schaubilderanalyse Aufgabe Aufgabenblatt Bestimme die Gleichung der Funktionen deren Schaubilder die folgenden Parabeln sind: K Aufgabe 7 Gegeben ist die Funktion f durch f x x x. 8 Bestimme den Scheitel des Schaubildes K einmal durch quadratische Ergänzung und einmal durch die Ableitungsfunktion. Berechne auch die Nullstellen. Zeichne das Schaubild der Ableitungsfunktion. Stelle einen Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der zur Ableitungsfunktion gehörenden Geraden und der Parabel her ohne die Parabel zu zeichnen. Aufgabe K Gegeben ist die Funktion f durch f x x x. Bestimme den Scheitel des Schaubildes K einmal durch quadratische Ergänzung und einmal durch die Ableitungsfunktion. Berechne auch die Nullstellen. Zeichne die Parabel und das Schaubild ihrer Ableitungsfunktion ein. Stelle einen Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der zur Ableitungsfunktion gehörenden Geraden und der Parabel her. K K

13 50 Schaubilderanalyse Aufgabe Stelle die Gleichungen der drei Geraden auf. Sie stellen die Schaubilder der Ableitungen der drei Funktionenscharen f, f, f dar. Gib die Gleichungen dieser drei Funktionen an, soweit sie bestimmbar sind. Zeichne zu jeder Funktionenschar drei Parabeln in ein eigenes Achsenkreuz. Erstelle alternativ auch eine Lösung mit einem CAS-Rechner! Aufgabe 5 Eine Parabel geht durch die drei Punkte A, B und C. Stelle die Gleichung der Parabel auf! Bestimme auch den Parabelscheitel und die Nullstellen. (Lösung ohne und mit CAS) a) A ; B ; C b) A ; B ; C5 c) A ; B 6; C0 8 d) A 0 ; B 9; C Aufgabe 6 Lies drei Punkte ab und bestimme die Gleichung der Parabel: Verschiebe diese Parabel so dass ihr neuer Scheitel S' ist. Wie lautet dann die Gleichung der Parabel? g g g

14 50 Schaubilderanalyse. Ganzrationale Funktionen vom Grad GRUNDWISSEN Eine ganzrationale Funktion -ten Grades hat allgemein diese Gleichung o f x ax ax ax a.. Typische Schaubilder für Funktionen. Grades (a) (d) f(x) x x f(x) (b) x (e) 8 f(x) x x (c) 8 f(x) x x x (f) f(x) x x 0 f(x) x x x 9 In diesen 6 Schaubildern kommt alles vor, was diese Funktionen zu bieten haben: In (a) und (b) liegt eine Welle vor, d.h. die Kurve hat einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt. Ein wichtiger Unterschied in den beiden Schaubildern bzw. Funktionen ist das Vorzeichen des höchsten Koeffizienten. Bei (a) beginnt die Funktion so: f(x) x... und bei (b) f x f(x) x... 8 Ist dieser höchste Koeffizient positiv, dann gilt: Für x folgt. Das bedeutet, dass die Kurve nach rechts oben entschwindet. Ist dieser höchste Koeffizient negativ, dann gilt: Für x folgt f x. Das bedeutet, dass die Kurve nach rechts unten entschwindet. Alle Funktionen haben jedoch die Wertmenge R. Übrigens ist jedes Schaubild. Grades punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt, den jedes solche Schaubild hat. In gibt es keine Hoch- und Tiefpunkte mehr, in (d) (e) und (f) hat der Wendepunkt eine waagrechte Tangente, weshalb er Terrassenpunkt heißt.

15 50 Schaubilderanalyse 5. Zusammenhang zwischen den Schaubildern von f, f und f'' Wissen: f dient zur Berechnung der Funktionswerte. Beispiele: (a) f' f'' f(x) x x f'(x) x f ''(x) x dient zur Berechnung der Tangentensteigungswerte und damit zur Berechnung der Monotonie: Auch wenn nichts weiter angegeben ist, sollte man einen Zusammenhang zwischen den Kurven herstellen können: K O ist offensichtlich das Schaubild einer ganzrationalen Funktion. Grades, K hat Parabelform, könnte also das Schaubild von f sein, und K ist eine Gerade, gehört also zu einer linearen Funktion, welche f darstellen kann. Überprüfen wir das genauer: Ist f' a 0, dann hat das Schaubild bei a eine waagrechte Tangente. Ist f' x 0 in einem bestimmten Intervall, dann steigt dort f streng monoton, ist aber f' x 0, dann fällt f streng monoton. macht eine Aussage über die Krümmung der zu f gehörenden Kurve. Ist in einem Intervall f'' x 0, dann nimmt dort die Steigung zu, also krümmt sich die Kurve nach oben (Linkskrümmung). Ist dagegen f'' x 0, dann nehmen die Steigungswerte ab, also liegt Rechtskrümmung vor. An einem Wendpunkt liegt Krümmungswechsel vor. Dies ist dann der Fall, wenn f'' x 0 ist (also an einer Nullstelle von f ) und dabei f'' links und rechts davon verschiedene Vorzeichen hat (Krümmungswechsel! ). Die Nullstelle von K ist x = 0. Dort hat K O seinen Wendepunkt. Für x > 0 K hat K O Linkskrümmung, was dazu passt, dass die Gerade oberhalb der x-achse verläuft, was f'' x 0 entspricht. Für x < 0 entdeckt man Rechtskrümmung, und das passt zu f'' x 0! Die Parabel gehört zu f, dann dort wo die Parabel Nullstellen hat, liegen die Extrempunkte von K O! f' 0 und f'' 0!) und bei x = - der Hochpunkt (denn es ist Bei x = der Tiefpunkt ( f' 0 und f'' 0). f' K f'' f K 0

16 50 Schaubilderanalyse 6 (b) f(x) x x (K O ) 8 f'(x) x 8 x (K ) f ''(x) x (K ) Wir beobachten: Die Extrempunkte von K O liegen bei etwa,7 und bei 0, also genau dort, wo f' seine Nullstellen hat. Zwischen den Nullstellen von f' ist f' x 0, dies bedeutet monotones Wachstum für die Funktion f, was man direkt sehen kann, denn vom Tiefpunkt ( im Ursprung) bis zum Hochpunkt steigt K O an. Rechts davon fällt die Kurve, f' x 0, genauso für x < 0. Schließlich die Krümmung: Die fallende Gerade hat links von f'' x 0. x positive Werte: Wir erkennen dort auch Linkskrümmung von K O. Die Krümmung wechselt am Schnittpunkt der Geraden mit der x-achse, also der Nullstelle von f'', von links nach rechts, was zu den negativen Werten von f'' passt. Der Wendepunkt von K O liegt also bei. 8 6 Zur Information: Die genauen Werte sind: H 7 und 7 (c) f(x) x x 0 f'(x) x f''(x) 0 5 x Eine Besonderheit fällt bei dieser Konstellation auf: Die Parabel K liegt ganz über der x-achse. f' hat also nur positive Werte, d.h. es gilt für alle xr: f' x 0. Folgerung: K O steigt streng monoton im ganzen Definitionsbereich! (Ausführliche Kurvenuntersuchung siehe 0 Aufgabe 0) (d) f(x) x x x 9 f'(x) x x f''(x) x Die Kurve K O besitzt bei x = einen Terrassenpunkt, also einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Denn dort hat die f'' Gerade ihre Nullstelle mit Zeichenwechsel, was den Wendepunkt beweist. Und man beachte: Der Scheitel der f ' Parabel liegt auf der x-achse, ist also eine doppelte Nullstelle! ( f' 0 bedeutet waagrechte Tangente bei!). Für alle x R ist f' x 0, d.h. f wächst im gesamten Definitionsbereich monoton. (Ausführliche Kurvenuntersuchung siehe 0 Aufgabe ) W (Siehe 0 Aufgabe 0). K K K 0 K K K T W K H W K 0 K 0

17 50 Schaubilderanalyse 7. Musteraufgaben Stelle Zusammenhänge zwischen den drei Kurven her und versuche am Ende die Kurvengleichung von K aufzustellen. Lösung K scheint das Schaubild einer ganz rationalen Funktion f. Grades zu sein. K gehört als Parabel vermutlich zur Ableitungsfunktion f und K zu f''. Diese Vermutung werden durch die folgenden Beobachtungen gestützt: (a) (b) (c) Krümmung von K : Für x < liegt Rechtskrümmung vor. Dazu passt, dass K in diesem Bereich negative Werte hat: f'' x 0. Für x > haben wir dann Linkskrümmung entsprechend f'' x 0 W 0.. Und der Wendepunkt liegt an der Übergangsstelle Monotonie von f: Die Parabelfunktion f hat für 0 < x < negative Werte, d.h. f fällt in diesem Intervall streng monoton (vom Hochpunkt H0 zum Tiefpunkt T. In den Außenbereichen ;0 und ; ist f' x 0 und f wächst streng monoton. Aufstellung der Kurvengleichung: Allgemein gilt: fx ax ax ax ao oder f x ax bx cx d. Wir benötigen also Bedingungen um die Koeffizienten zu berechnen. Dazu die Ableitungen: und f' x ax bx c Aus der Abbildung liest man den Hochpunkt f0 und f' 0 0, ferner den Wendepunkt f'' 0 K f'' x 6ax b H 0 ab, dies ergibt zwei Bedingungen: W 0, was zu f 0und führt. Daraus gewinnt man durch Einsetzen dieses Gleichungssystem: f 0 d () f' 0 0 c 0 () f 0 8a b c d 0 8a b 0 () f'' 0 a b 0 (). Man multipliziert () mit und erhält a b 0 (5) Nun eliminieren wir b, indem wir (5) () rechnen: 6a 0. Dies ergibt Eingesetzt in (): b 0 b b. 6 8 Jetzt kennen wir die Funktionsgleichung: fx x x. K a. (Aufgaben zum Aufstellen von Funktionsgleichungen, z. B. in 0 und usw.) Bemerkung: Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen benötigt man das Horner- Schema oder Polynomdivision (Siehe 0 Aufgabe 09 u.v.a.) K

18 50 Schaubilderanalyse 8 (d) Behandlung dieser Aufgabe (d) mit dem CAS-Rechner Classpad 00 von CASIO: Und zwar geht es um das Aufstellen der Funktionsgleichung aus den vier Bedingungen f0 () f' 0 0 () f 0 () f'' 0 (). Wir fügen dazu über das Keyboard-Menü cat und die Form Cmd den Befehl Define ein. Zuvor beachte man, dass wir eine Funktion f definieren wollen, dazu sollte diese noch nicht als Variable gespeichert sein. Also schaut man im Variablenmanager nach, klickt auf das Icon mit der Aufschrift a= und b=. Dann tastet man sich in den Hauptspeicher main voran und löscht ggf. eine Variable f. Jetzt wird also f(x) definiert: f x ax bx cx d Man achte darauf, dass man das kursive x von der D-Tastatur verwendet. Würde man das x von der abc-tastatur verwenden, würde ClassPad ax als eine aus Buchstaben bestehende Variable ansehen. Man müsste dann dazwischen das Mal-Kreuz setzen! Als nächstes gibt man die vier Bedingungen ein. In der unteren Hälfte des D-Menüs findet man die Klammerdarstellung für Zeilen. Klickt man dies dreimal nacheinander an, wird die Darstellung auf vier Zeilen erweitert. Daraufhin gibt man die Bedingungen ein: (Ich zeige hier eine breitere Darstellung als im Handheld zu sehen ist, damit man auch alles erkennt, was außerhalb des rechten Bildrandes sonst verborgen wäre) Man erhält die Koeffizienten wie auf der Seite zuvor. Nachdem a, b, c und d bekannt sind, muss man f nochmals definieren und zwar unter der Bedingung, dass diese Koeffizienten nun Werte haben. Dies geht schnell durch Markieren und Kopieren. Zuerst markiert man die Define f(x) - Zeile. befiehlt Kopieren (in Edit), setzt den Cursor in die neue Zeile und befiehlt Einfügen (in Edit). Dann muss man den Bedingungsstrich setzen. Man findet ihn in der Tastatur math unter OPTN. Dann markiert man die Ausgabezeile der Koeffizienten inklusive der Mengenklammer und zieht sie hinter den Strich. Nach EXE haben wir endlich die richtige Funktion definiert. Die Eingabe f(x) EXE beweist dies durch die Anzeige! Ergebnis: fx x x 6 8 Die Schreibweise diff(f(x),x,,0) bedeutet f'(0) diff(f(x),x,,) bedeutet f ''(). Die bzw. nach dem x gibt die Stufe der Ableitung an, die Zahl dahinter den Wert für x.

19 50 Schaubilderanalyse 9 Nun folgt noch die Darstellung der drei Funktionen f, f und f''. Die Eingabe in die y-liste sieht so aus wie unten gezeigt: Dann klickt man das Kurvensymbol oben links an und erhält das, was die rechte Abbildung zeigt! Man achte darauf, dass nun plötzlich die. und. Ableitungsfunktion als Gleichung anders dargestellt wird. Diese Darstellung bedeutet. Ableitung nach x und. Ableitung nach x. Die schwer berechenbare Nullstelle wird auch ganz schnell geliefert: Über das Menü: Analysis. Graphische Lösung - Nullstelle erhält man x = -,60. (Mehr dazu in 9 Funktionen mit ClassPad).

20 50 Schaubilderanalyse 0 Die Funktion f hat nebenstehendes Schaubild. a) Skizziere in ein neues Koordinatensystem die Schaubilder der Ableitungsfunktionen f' und f''. b) Welche der folgenden Eigenschaften trifft zu: f' 0 0 f' 0 f' 0 f'', 0 f'' 0 f'' 0 c) Die Funktionsgleichung von f kann in dieser Form angegeben werden: fx ax x x. Begründe dies und gib x an. Bestimme dann a mit Hilfe des Kurvenpunktes A. Wie lautet daher die Gleichung von f? a) Skizziere in ein neues Koordinatensystem die Schaubilder der Ableitungsfunktionen f' und f''. b) Welche der folgenden Eigenschaften trifft zu:.... f' 0 5 f' 0 f' 0 f'', 0 5. f'' f'' 0 f'' 5 0 c) Die Funktionsgleichung von f kann in dieser Form angegeben werden: fx ax xx xx x. Gib x, x und x an. Bestimme dann a mit Hilfe des Kurvenpunktes Q0 5 d) Es gilt f'(x) x x 7. Bestimme daraus und mit Hilfe von Q die Gleichung von f. 5 5

21 50 Schaubilderanalyse Lösung : a) Anleitung zur Zeichnung, die als Skizze verlangt war: Man erkennt, dass K bei x = 0 und x,7 waagrechte Tangenten hat. Es gilt also f' 0 0 und f',7 0. Damit hat man die Nullstellen der Parabel (f hat eine Gleichung. Grades!). Weil die Kurve K links vom Tiefpunkt fällt und rechts von Hochpunkt fällt, hat f in diesen Bereichen negative Werte, also geht die f -Parabel außen nach unten, die Parabel ist nach unten geöffnet. Ihr Scheitel liegt zwischen den Nullstellen, also etwa bei,. An dieser Stelle skizziert man eine Tangente an K ein nun ermittelt durch ein Steigungsdreieck (gestrichelt) die ungefähre Steigung der Tangente. Man erhält x und y. Dies ergibt. Damit hat man die y-koordinate des Parabelscheitels: S', 0,7 f', 0,7 Bleibt noch die f -Gerade: Der Wendepunkt von K liegt bei,, es ist also f (,)=0. Nun muss man wissen, dass bei Linkskrümmung f'' x 0 ist, d.h. links von, (wo K tatsächlich Linkskrümmung hat), sind die f'' Werte positiv, rechts davon negativ. Wir haben also eine fallende Gerade durch P, 0. Mehr findet man nur schwer heraus. Dazu muss man tief in die Trickkiste greifen und f als Ableitung von f verstehen. Im Ursprung hat f eine Nullstelle und die Parabel etwa die Steigung. Das heißt, dass die Ableitung von f', alsof'' bei 0 den Wert hat: f'' 0. Verwenden wir also R 0 als zweiten Punkt für die f -Gerade, dann liegt diese im Achsenkreuz fest! b) Nun zu den angegebenen Eigenschaften:. f' 0 0 ist richtig, denn im Ursprung, also bei x = 0 hat K eine waagrechte Tangente. Die Tangentsteigung ist der Funktionswert von f', also haben wir tatsächlich f' 0 0. f' 0 Diese Ungleichung besagt, dass die Tangentsteigung bei x = negativ ist, d.h. die Kurve fällt in einer Umgebung von x = -. Auch das kann man an der Zeichnung verifizieren. f' 0 Diese Ungleichung besagt, dass die Tangentsteigung bei x = positiv ist, d.h. die Kurve steigt in einer Umgebung von x =. Das stimmt nicht mit der Abbildung überein, aus der man entnimmt, dass die Kurve in einer Umgebung von x = fällt. Also müsste es richtig heißen: f' 0 f'', 0 Wir erinnern und, dass die Nullstellen der Funktion f'' den Wendestellen der Kurve K entsprechen. Wir beobachten, dass der Wendepunkt von K etwa bei x =, liegt. Wahre Aussage! f'' 0 Diese Aussage heißt, dass die Kurve in einer Umgebung von x = - Linkskrümmung hat, was zutrifft. S' y

22 50 Schaubilderanalyse 6. f'' 0 Diese Aussage heißt, dass die Kurve in einer Umgebung von x = Linkskrümmung hat, was nicht zutrifft. Dort liegt Rechtskrümmung vor, also müsste die Aussage so lauten: f'' 0. c) Die Funktionsgleichung von f kann in dieser Form angegeben werden: fx ax x x. Begründe dies und gib x an. Bestimme dann a mit Hilfe des Kurvenpunktes A Begründung: Hat eine Funktion. Grades die drei Nullstellen x, x und x, dann kann man f x = a x- x x- x x- x. ihre Gleichung so darstellen: f hat eine Nullstelle bei x = und bei x = 0 eine doppelte Nullstelle, also ist x = x = 0. Daraus folgt: f x a x x Hieraus folgt für x = : Andererseits ist wegen A f a a 8a. f. Daher erhält man Somit lautet die Gleichung: f x x x x x a a.

23 50 Schaubilderanalyse Lösung a) Anleitung zur Zeichnung, die als Skizze verlangt war: Man erkennt, dass K bei x = 5 und x, waagrechte Tangenten hat. Es gilt also f' 5 0 und f', 0. Damit hat man die Nullstellen der f -Parabel (f hat eine Gleichung. Grades!). Weil die Kurve K links vom Hochpunkt und rechts von Tiefpunkt steigt, hat f in diesen Bereichen positive Werte, also geht die f -Parabel außen nach oben, die Parabel ist nach oben geöffnet. Ihr Scheitel liegt zwischen den Nullstellen, also etwa bei,7. An dieser Stelle skizziert man eine Tangente an K ein nun ermittelt durch ein Steigungsdreieck (gestrichelt) die ungefähre Steigung der Tangente. Man erhält z. B. x und y. f',7. Damit hat man die Dies ergibt y-koordinate des Parabelscheitels: S',7 Bleibt noch die f -Gerade: Der Wendepunkt von K liegt bei,7, es ist also f (,7)=0. Nun muss man wissen, dass bei Rechtskrümmung f'' x 0 ist, d.h. links von,7 (wo K tatsächlich Linkskrümmung hat), sind die f'' Werte negativ, rechts davon positiv. Wir haben also eine fallende Gerade durch P,7 0. Einen zweiten Punkt für diese Gerade erhält man beispielsweise so: Bei x = hat die Parabel etwa die Steigung - (Die Tangente ist mit Strichpunkten eingezeichnet). Das heißt, dass die Ableitung von f', alsof'' bei den Wert - hat: f''. Verwenden wir also R als zweiten Punkt für die f -Gerade, dann liegt diese im Achsenkreuz fest! b) Nun zu den angegebenen Eigenschaften:. f' 0 5 ist richtig, denn in A 0 5. f' 0 bedeutet, dass die Tangente im Punkt B. f' 0 schneidet K die y-achse, B y steigt: Richtig! ist falsch, denn die Tangente hat bei x = eine negative Steigung, denn sie fällt.. f'', 0 ist richtig. Dort liegt der Wendpunkt von K. 5. f'' 0 bedeutet, dass K in einer Umgebung von x = Linkskrümmung hat, was falsch ist. 6. f'' 0 bedeutet, dass K in einer Umgebung von x = Rechtskrümmung hat, was wahr ist. f'' 5 0 würde auf einen Wendepunkt bei x = 6 hinweisen: Unsinn. 7. Richtig wäre f 5 0 oder f ' 5 0, aber f '' 5 0 R

24 50 Schaubilderanalyse c) Die Funktionsgleichung von f kann in dieser Form angegeben werden: f x a x x x x x x, wobei x, x und x die Nullstellen sind. Man erkennt: x = und x = x = 5 (Ein Berührpunkt ist eine doppelte Lösung! ). Also folgt: fx ax x 5x 5 ax x 5 Mit Hilfe des Kurvenpunktes Q0 5 kann man a so bestimmen:. Andererseits folgt aus Q0 5 f 0 a 5 5a Durch Vergleichen erhält man 5a 5 a 5 f 0 5. Damit haben wir folgende Gleichung von f: d) Es gilt Ergebnis: 5 5 f x x x 5. f'(x) x x 7. Bestimme daraus und mit Hilfe von Q die Gleichung von f. Durch Aufleiten erhält man x x fx 7x C 5 5 f x x x 7x C 5 5 Einerseits ist nun Mittels Q0 5 Also ist C = - 5. f 0 C erhält man andererseits: f(x) x x 7x f 0 5

25 50 Schaubilderanalyse 5 Musteraufgabe a) Das Schaubild von f ist punktsymmetrisch zu Z 0. Diesen Sachverhalt kann man in einer Gleichung mit f ausdrücken. Schreibe diese Gleichung auf. b) Lies Extrem- und Wendepunkte des Schaubilds ab. c) Gib Zahlen x j oder Intervalle an, so dass die folgenden Aussagen richtig sind: fx, fx 0, f' x 0 f' x, f' x, 5 f'' x 0 f'' x 0 f'' x 0. 6,, 7 8 d) Gib eine Vorzeichentabelle für f und für f an. Interpretiere diese Tabellen als Aussagen über den Verlauf des Schaubildes K von f. e) Warum kann Musteraufgabe 5 Gegeben ist eine Parabel. Ordnung (siehe Abbildung) als Schaubild einer Funktion f. a) Zeichne die Schaubilder von f' und f'' in dasselbe Koordinatensystem ein. b) Was bedeutet, wenn gilt: f, f', f'' x x nicht die zweite Ableitungsfunktion von f sein? und f'' 0 f'''? c) Begründe oder widerlege die folgenden Aussagen:. f hat im Intervall. Im Intervall 0; gilt 0;6 genau zwei Nullstellen. f' x 0.. f hat Wendepunkte bei 0 und. f'' x 0. Für < x < 5 ist d) Stelle die Gleichung von f auf (Ergebnis: f x x x ) 8 e) Zusatz: Löse d) mit einem CAS-Rechner. Berechne dann die Nullstellen der Funktion mit diesem CAS-Rechner f) Zusatz: Verschiebe das Schaubild von K so, dass ihr Wendepunkt in den Ursprung fällt. Berechne dazu die Funktionsgleichung (Lösung auch mit CAS-Rechner möglich) und lasse das Schaubild mittels Rechner darstellen.

26 50 Schaubilderanalyse 6 Lösung P a) Spiegelt man P an Z, entsteht ein Kurvenpunkt P. Also ist Z der Mittelpunkt von P und P. Die x-koordinate von P wählt man als x h h 0, dann ist die von P : x' h. Für die y-koordinaten bzw. die Funktionswerte muss jetzt die Mittelwertsgleichung gelten: fx' f x x d.h. Z bzw. f h f h f h f h. b) Hochpunkt: H0, Tiefpunkt: T und Wendepunkt c) Die folgenden Aussagen sind richtig: für x = 0 oder x = 6. gar nie, denn nur im Intervall W 0. f x f x 0 für x < -,5 oder < x < 5,5 (Näherungswerte) f' x 0 für x = 0 und x = (waagerechte Tangenten!) f' x 0; fällt die Kurve, aber nie so steil, dass die Steigung sein könnte. f' x für x =,7 oder x = - 0,7. ( Steigungsdreiecke zeigen dies) 5 6 f'' x 0 für x = (Wendepunkt!) f'' x7 0 für x> (Linkskrümmung) f'' x 0 für x < (Rechtskrümmung). 8 d) Vorzeichentabelle für f und für f : f' x f'' x Interpretation: Für x < 0 und x > ist Für 0<x< ist f' x 0 Für x < ist f'' x 0 Für x > ist f'' x 0 e) Warum kann f' x 0, d. h. f steigt streng monoton., d. h. f fällt streng monoton., d. h. K hat Rechtskrümmung., d. h. K hat Linkskrümmung. f'' x x nicht die zweite Ableitungsfunktion von f sein? Die Nullstelle von f liegt bei und nicht bei! P' 0 Z x Hinweis: Diese Funktion wird ausführlich in 0 besprochen. Dort werden die Nullstellen mittels Hornerschema berechnet: N( 0) N 0 5, 0 N 0,6 0,,

27 50 Schaubilderanalyse 7 Lösung 5 a) Anleitung zur Zeichnung, die als Skizze verlangt war: Man erkennt, dass K bei x = 0 und bei x = waagrechte Tangenten hat. Es gilt also f' 0 0 und f' 0. Damit hat man die Nullstellen der f -Parabel (f hat eine Gleichung. Grades!). Weil die Kurve K links vom Hochpunkt und rechts von Tiefpunkt steigt, hat f in diesen Bereichen positive Werte, also geht die f -Parabel außen nach oben, die Parabel ist nach oben geöffnet. Ihr Scheitel liegt zwischen den Nullstellen, also bei x =. An dieser Stelle skizziert man eine Tangente an K ein nun ermittelt durch ein Steigungsdreieck (gestrichelt) die ungefähre Steigung der Tangente. Man erhält z. B. x und y. Dies ergibt f'. S' Damit hat man die y-koordinate des Parabelscheitels: Bleibt noch die f -Gerade: Der Wendepunkt von K liegt bei, es ist also f () = 0. Nun muss man wissen, dass bei Rechtskrümmung f'' x 0 ist, d.h. links von (wo K tatsächlich Linkskrümmung hat), sind die f'' Werte negativ, rechts davon positiv. Wir haben also eine fallende Gerade durch P 0. Einen zweiten Punkt für diese Gerade erhält man beispielsweise so: Bei x = 0 hat die Parabel die Steigung (Steigungsdreieck ist mit Strichpunkten eingezeichnet). Das heißt, dass die Ableitung von f', alsof'' bei 0 den Wert hat: f'' 0. Verwenden R 0 als zweiten Punkt für die f -Gerade, dann liegt diese im Achsenkreuz fest! wir also b) f bedeutet, dass das Schaubild durch den Punkt f' bedeutet, dass in P die Tangentensteigung f'' 0 bedeutet, dass P ein Wendepunkt sein kann, P geht beträgt. f''' bedeutet, dass P tatsächlich ein er ist, denn dies ist die Kontrollrechnung dazu und besagt, dass f bei tatsächlich Zeichenwechsel hat, dass also Krümmungswechsel vorliegt. c). f hat im Intervall 0;6 genau zwei Nullstellen. Richtig, sie liegen etwa bei,7 und 5,.. Im Intervall 0; gilt f' x 0 : Wahre Aussage! Das bedeutet, dass die Kurve zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt fällt.. f hat Wendepunkte bei 0 und. Das ist falsch. Dort liegen die Extrempunkte. Der einzige Wendepunkt liegt bei.. Für < x < 5 ist f'' x 0

28 50 Schaubilderanalyse 8 f'' x 0 bedeutet Rechtskrümmung. Im angegebenen Intervall hat K aber Linkskrümmung! d) Stelle die Gleichung von f auf. Dazu benötigen wir Eigenschaften. Man kann etwas der Abbildung entnehmen, dass sie den Hochpunkt Tiefpunkt T, ferner kennen wir den Wendepunkt W. Wie kann man diese Erkenntnisse auswerten?. Dem Hochpunkt entnehmen wir zwei Eigenschaften: f 0 () f' 0 0 (). Dem Tiefpunkt ebenso: f () f' 0 (). Dem Wendepunkt auch: f (5) f'' 0 (6) Nun haben wir bereits 6, wo doch genügen. Ich beschränke mich auf H und T. ANSATZ: Auswertung von () Auswertung von () Auswertung von () Auswertung von () mit f x ax bx cx d f 0 : d. f' 0 0: c 0. f' x ax bx c H 0 und den f : 6a 6b c 0 bzw. 6a 6b (7) f' 0: 8a 8b c 0 (8) 0 Aus (7) und (8) kann man leicht b eliminieren, indem man 6a 96a a a 8 6 Aus (8) folgt dann noch 8b 8a b 6a rechnet: Ergebnis f x x x 8

29 50 Schaubilderanalyse 9 e) Zusatz: Aufstellen der Funktionsgleichung mit einem CAS-Rechner. Und zwar geht es um das Aufstellen der Funktionsgleichung aus den vier Bedingungen f0 () f' 0 0 () f () f' 0 (). Wir fügen dazu über das Keyboard-Menü cat und die Form Cmd den Befehl Define ein. Zuvor beachte man, dass wir eine Funktion f definieren wollen, dazu sollte diese noch nicht als Variable gespeichert sein. Also schaut man im Variablenmanager nach, klickt auf das Icon mit der Aufschrift a= und b=. Dann tastet man sich in den Hauptspeicher main und löscht ggf. eine Variable f. Jetzt wird definiert: Als nächstes gibt man die vier Bedingungen ein. Im D-Menü findet man die Klammerdarstellung für Zeilen. Klickt man dies dreimal nacheinander an, wird die Darstellung auf vier Zeilen erweitert. Daraufhin gibt man die Bedingungen ein. Man erhält die Koeffizienten, definiert die Funktion unter dieser Bedingung mit nochmals neu und erhält das Ergebnis: f x x x 8 Auf Seite 8 wird dieses Vorgehen genauer beschrieben. Rechts unten noch die Darstellung der drei Funktion f. Funktionsterm markieren und ins Koordinatensystem ziehen! Die schwer berechenbaren Nullstellen werden auch ganz schnell geliefert: Über das Menü: Analysis. Graphische Lösung Nullstelle erhält man zuerst x = -,7587, das blinkende Cursorkreuz springt bei Betätigen der Cursortaste auf die mittlere Nullstelle und die Anzeige lautet dann x C =,60597 (=x!) Drücken der Cursortaste nach rechts liefert schließlich x = 5,06777.

30 50 Schaubilderanalyse 0 f) Verschiebung der Kurve, so dass der Wendepunkt in den Ursprung kommt. v Grundlagen: Die Abbildungsgleichungen einer Verschiebung durch den Vektor v v x' xv y' yv Abbildung der Kurve K: Bei uns soll der Punkt W in den Ursprung abgebildet werden. v WO und wir erhalten Damit lautet der Verschiebungsvektor: x' x diese Abbildungsgleichungen: y' y Will man eine Kurve abbilden, muss man diese Gleichungen nach x und y umstellen, so dass man sie in die Kurvengleichung einsetzen kann: 8 x x' y y' y x x : K : 8 y' x' x'. (*) Nach der Umrechnung darf man die Striche wieder weglassen: y x x. K : 8 x x x x x 6x x 8 Nebenrechnung: x x x y x 6x x8 x x Eingesetzt: 8 Zusammenfassen: y x x x 8 x x x 8 x y x x K : y x x. 8 x PROBLEM: Wie kann man diese Rechnung vom CAS-Rechner ausführen lassen? Ich schließe an die Rechnung der vorigen Seite an. Zuerst definiert man f(x) neu, indem man die berechneten Koeffizienten a, b, c und d eingibt. Dann definiert man die neue Funktion g(x+) als f(x+)- was der Verschiebung entspricht, siehe (*)! Dann lässt man sich g(x) expandiert anzeigen. Das Ergebnis: g x 0,5x,5x bzw. gx x x. 8

31 50 Schaubilderanalyse Diese Kurve kann man zeichnen oder von einem Rechner anzeigen lassen: Hier die Abfolge der Befehle bis zur Darstellung: Zuerst öffnet man über den Pfeil in der Menüleiste das Untermenü und klickt dort auf das Kurven-Icon (hier gelb markiert). Damit öffnet man in der unteren Displayhälfte ein Koordinatensystem. Dann markiert man mit einem Klick die letzte Zeile, welche den Funktionsterm von g enthält und zieht diesen in das Koordinatensystem. Das Ergebnis ist im. Bild angezeigt. Man erkennt eine zum Ursprung punktsymmetrische Kurve (nur ungerade Exponenten in der Gleichung!)

32 50 Schaubilderanalyse. Ganzrationale Funktionen vom Grad GRUNDWISSEN Eine ganzrationale Funktion -ten Grades hat allgemein diese Gleichung f x ax ax ax axa. o. Typische Schaubilder für Funktionen. Grades f(x) x x 9 f(x) x x x 6 f(x) x x 6 f(x) x x f(x) x x x 5 8 f(x) 6 x x

33 50 Schaubilderanalyse Diese Schaubilder zeigen die Eigenschaften der Parabeln. Grades, die so vorkommen können. Ich will sie nicht nur aufzählen, sondern erstelle daraus kleine Aufgaben, denen man auch in Abituraufgaben begegnen kann: Aufgabe 7 Beantworte die folgenden Fragen durch Rechnungen und erklärenden Text. a) Wie viele Nullstellen kann eine ganz rationale Funktion. Grades besitzen? b) Welche Symmetrie kann eine Parabel. Grades haben? An welchem Merkmal kann man eine solche Symmetrie erkennen? c) Wie verhält sich eine ganz rationale Funktion. Grades für x. Was folgt daraus für die Wertmenge der Funktion? d) Woran erkennt man, dass eine Parabel. Grades nach unten geöffnet ist? e) Wann hat eine Parabel. Grades im Ursprung einen Extrempunkt? f) Wie viele Extrempunkte kann eine Parabel. Grades besitzen? Und wie viele Wendepunkte? g) Was ist ein Terrassenpunkt? Kann eine Parabel. Grades einen solchen besitzen, oder auch zwei? () () Die Antworten stehen im Anhang! Wir beschreiben noch einige Eigenschaften der gezeigten Funktionen: 9 f(x) x x hat offenbar die deutlich erkennbaren Wendepunkte W, also gilt: f'' 0. Zwischen den Wendepunkten hat K Rechtskrümmung, also gilt dort f'' x 0. Für x > und x < - haben wir Linkskrümmung mit f'' x 0., Das Schaubild ist symmetrisch zur y-achse, denn es treten die x-potenzen x und x nicht auf. Zur Berechnung der Nullstellen muss man diese Gleichung lösen: x x Dies ist eine biquadratische Gleichung, also eine doppelt 9 0 quadratische Gleichung: Es ist eine quadratische Gleichung für x. Wir vereinfachen zuerst durch Multiplikation mit 6 (ist günstiger als!): 7 x x 7 0 x. Also liegen die Nullstellen bei. Weil der Radikand 0 wird, liegen doppelte Nullstellen vor, dies sind dann die beiden Tiefpunkte! f(x) x x ist nach unten geöffnet, denn der Koeffizient von x ist negativ! 6 K ist symmetrisch zur y-achse und weil man x ausklammern kann ist 0 eine doppelte Nullstelle, d.h. der Ursprung kommt als Extrempunkt vor!

34 50 Schaubilderanalyse () f(x) x x x hat 0 also doppelte Nullstelle, zeigt aber keine Symmetrie. () 6 Die Nullstellen berechnet man durch Ausklammern von x : x x x 0 x x x x 0 x,65, 7, 65 f(x) x x hat x = 0 als dreifache Nullstelle, das ergibt einen Terrassenpunkt (also einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente). Die zweite Nullstelle folgt durch Ausklammern von x : x x 0 x (5) f(x) 5 x x x hat wie () den Ursprung als doppelte Nullstelle. 8 Durch Multiplikation mit und Ausklammern von x folgt: x x 6x 0 x x x6 0 Die Klammer liefert keine weitere Nullstelle mehr: x, 9 6 Das Schaubild hat zwei Wendepunkte, dazwischen aber keinen Extrempunkt. (6) R. f(x) 6 x x hat eine große Besonderheit. Die Berechnung von Wendepunkten nimmt diesen seltsamen Verlauf: f 6 ' x x ; f 6 '' x x und f 6 ''' x 6x Die Wendepunktsbedingung f '' x 0 x 0 führt zu x = 0. Man erkennt aber 6 sofort, dass die Funktion f 6 '' x x keine negativen Werte annehmen kann, d.h. die Kurve kann nie Rechtskrümmung haben. Es gibt also keinen Wendepunkt. Der Ursprung ist hier also kein Wendepunkt. Man bezeichnet ihn als Flachpunkt. Die hier gezeigten Funktionen sind wenige Beispiele aus der großen Sammlung in der Datei 0. Dort werden diese Funktionen ausführlich analysiert!

35 50 Schaubilderanalyse 5. Zusammenhänge zwischen den Schaubildern von f, f und f. Wir betrachten einige Funktionen und die Schaubilder ihrer ersten beiden Ableitungen: (), f' x x x, f'' x f(x) x x 9 Man erkennt deutlich die typische Form der Kurve. Grades für f'. Die Nullstellen von f' (kleine Quadrate) liegen dort, wo das Schaubild von f Tiefpunkte bzw. den Hochpunkt hat. Und die Nullstellen von f'' liegen dort, wo das Schaubild von f seine beiden Wendepunkte hat! 8 Außerdem hat die f '' Parabel zwischen ihren Nullstellen negative Werte, was der Rechtskrümmung von K entspricht usw. Und dort wo x 8 f' x 0 ist (also zwischen -,6 und 0 und rechts von,6, da wächst f. Diese Grundlagen sind auf Seite 5 zusammengestellt! () fx x x 9 ' x x x,, 8 6 f a) f' hat eine Nullstelle bi x = -8. Dort hat K auch einen Extrempunkt. f' hat eine doppelte Nullstelle bei 0. Dort hat K keinen Extrempunkt sondern einen Terrassenpunkt, also einen WP. mit waagrechter Tangente. b) Die Wendepunkte findet man dort, wo die f '' Parabel ihre Nullstellen hat, bei - und bei 0. Dazwischen ist Rechtskrümmung, usw. c) Für x > -6 ist f für x > 6 monoton. f'' x 0, d.h. K hat f' x 0, also steigt f'' x x x (Nicht streng monoton, denn bei x = 0 ist ja f' 0 0!) W W f f'' f' W f W f' f''

36 50 Schaubilderanalyse 6 Umkehrung der Aufgabe: Erstelle die Kurve(ngleichung) aus dem Schaubild Gegeben sind 9 Kurven in 6 Abbildungen. Darunter sind die Schaubilder von Funktionen f, f, f uns den beiden Ableitungsfunktionen davon. Abbd. K 9 K K Abbd. K 5 K 8 Abbd. 6 K 6 K Abbd. 5 K 7 Abbd. K Abbd. Auf der nächsten Seite stehen dazu einige wichtige Aufgaben!

37 50 Schaubilderanalyse 7 8. Die drei Funktionen haben die Gleichungen Große Aufgabe 8 f(x) x x x x, 8 8 f(x) x x x x f x x 7x 8 9 Ordne sie den Kurven K bis K 9 zu. Begründe Deine Aussage. 8. Wir gehen nun von der Kurve K in Abbildung aus. Welche der Abbildungen, 5 oder 6 stellt die zugehörigen Ableitungsfunktionen (bzw. deren Schaubilder) dar? Begründe dies. Wie kann man damit beweisen, dass K bei x = keinen Wendepunkt hat? Wo etwa liegt er (keine Rechnung!)? Beschreibe mit f und f alles was in an K an Besonderheiten sichtbar ist. Stelle dabei einen Bezug zu der Abbildung her, welche die Ableitungen darstellt. 8. Nun betrachten wir K 5 in Abbd.. Welche Abbildung stellt die zugehörigen Ableitungsfunktionen dar? Beschreibe das Monotonieverhalten und das Krümmungsverhalten der Funktion von K 5. Bringe es in Zusammenhang mit den Schaubildern der Ábleitungsfunktionen. 8. Die Funktion zu K ist zu untersuchen. Wieso hilft gerade hier das Schaubild der. Ableitungsfunktion weiter? Schreibe alle besonderen Werte von f, f und f zu den besonderen Punkten (Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte) auf. Dazu sei angegeben, dass die Wendepunkte bei liegen. 8.5 Stelle die Funktionsgleichung zu K auf. Hier kann man alleine mit den Nullstellen und dem Schnittpunkt mit der x-achse rasch zum Ziel kommen. Zeige dies. 8.6 Stelle die Funktionsgleichung zu K 5 auf. Verwende die drei Nullstellen und den linken Tiefpunkt. Warum benötigen wir den rechten Tiefpunkt nicht in seiner Eigenschaft als Tiefpunkt? Löse diese Aufgabe auch mit einem CAS-Rechner Die Lösung steht am Ende der Datei im Lösungsteil.