Praktische Finanzmathematik

Die wichtigsten Lehrbücher bei HD Praktische Finanzmathematik Mit Futures, Optionen, Swaps und anderen Derivaten von Andreas Pfeifer überarbeitet Praktische Finanzmathematik Pfeifer schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Harri Deutsch 2009 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 8171 1838 0 Inhaltsverzeichnis: Praktische Finanzmathematik Pfeifer

Andreas Pfeifer Praktische Finanzmathematik Mit Futures, Optionen, Swaps und anderen Derivaten CD-ROM für Excel

Prof. Dr. Andreas Pfeifer ist Professor für Finanz- und Wirtschaftsmathematik an der Hochschule Darmstadt (University of Applied Sciences). E-Mail: andreas.pfeifer@h-da.de Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH Gräfstraße 47 60486 Frankfurt am Main E-Mail: verlag@harri-deutsch.de www.harri-deutsch.de Bibliographische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliographische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. ISBN 978-3-8171-1838-0 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder von Teilen daraus, sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet werden. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Informationen in diesem Werk wurden sorgfältig unter Verwendung von Quellen, die wir für zuverlässig halten, erstellt. Trotzdem können Fehler nicht ausgeschlossen werden. Für fehlerhafte Angaben, Hinweise, Ratschläge und deren Folgen werden weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernommen. Die Modelle und Berechnungen in diesem Buch dienen ausschließlich zur Darstellung allgemeiner Konzepte. Um diese Konzepte anzuwenden, müssen sie eventuell angepasst und stark verändert werden. Die dargestellten Informationen dienen nicht als Anlageberatung oder Empfehlung für irgendwelche finanziellen Geschäfte. Die zur Verfügung gestellten Excel-Arbeitsblätter und Programme/Makros sind veränderbar. Die Verantwortung für die korrekte Anwendung und Funktionssicherheit liegt vollständig beim Leser. Weder der Autor noch der Verlag übernehmen eine Gewähr dafür, dass die Programme frei von Fehlern sind. Für Schäden, die durch solche Fehler entstehen, insbesondere für Folgeschäden, wird keine Haftung übernommen. Eingetragene Warenzeichen sind nicht besonders gekennzeichnet. Deshalb ist den Bezeichnungen nicht zu entnehmen, ob sie freie Warennamen sind bzw. ob Patente oder Gebrauchsmuster vorliegen. 5., überarbeitete Auflage 2009 Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2009 Druck: fgb freiburger graphische betriebe <www.fgb.de> Printed in Germany

24 2 Zinsrechnung 2.2 Einfache Zinsen Def. 2.2.1: Der Zins oder Zinsbetrag ist der Preis (das Entgelt) für die Überlassung von Geld oder Kapital zur Nutzung. Legen Sie Geld oder Kapital auf Zeit an, so erhalten Sie Zinsen. Bei einfachen Zinsen (oder linearen Zinsen) werden diese Zinsen proportional zum angelegten Betrag und proportional zur Zeit gezahlt. Der Proportionalitätsfaktor wird mit Zinssatz (oder Zinsrate, engl.: interest rate) bezeichnet und mit i abgekürzt. Das heißt, die Zinsen Z t (auch Zins oder Zinsbetrag genannt) betragen: Z t = K 0 t i, wobei K 0 der angelegte Betrag ist, der auch Anfangswert, Anfangskapital, kurz Kapital (lat.: caput = Haupt, engl.: capital), Gegenwartswert oder Barwert genannt wird. t, genannt Laufzeit, ist die Anzahl der Zeiteinheiten oder Zeitperioden, in der das Kapital angelegt ist. Am Ende der Laufzeit wird das Anfangskapital plus Zinsen fällig; diese Summe K t = K 0 + Z t wird Endwert, Endkapital, Zeitwert oder Wert nach der Laufzeit t genannt. Die Angabe des Zinssatzes wird dabei auf eine Zeiteinheit, meist auf ein Jahr, bezogen. Bei der Bedeutung des Zinssatzes ist deshalb immer auf die Zeiteinheit zu achten, auf die er sich bezieht. Beispiele: p.a. (lat.: per annum) steht für pro Jahr (selten: p. J.). Wenn sich der Zinssatz auf ein Jahr bezieht, wird die Angabe p.a. bzw. pro Jahr in der Regel weggelassen. p.q. steht für pro Quartal (3 Monate). p.m. steht für pro Monat. Wichtig: Die Laufzeit t und der Zinssatz i müssen sich auf dieselbe Zeiteinheit beziehen. Statt der Angabe des Zinssatzes i wird oft auch der Zinsfuß p angegeben. Er ist definiert als: p = 100 i. (In manchen Büchern wird p auch als Zinssatz bezeichnet.) Beispiel 2.2.1: Sei i = 3% der Zinssatz. Da die Angabe der Zeitperiode fehlt, bezieht sich der Zinssatz auf ein Jahr, i = 3% p.a. Es gilt i = 3% = 0,03 = 3/100. Der Zinsfuß p ist 3.

2.2 Einfache Zinsen 25 Legen Sie 1.000 für ein Jahr an, sind K 0 = 1.000 das Anfangskapital und t = 1 die Laufzeit. Die Zinsen für ein Jahr betragen: Z 1 = 1.000 1 0,03 = 30. Legen Sie das Kapital nur einen Monat an, ist t = 1/12. Die Zinsen betragen dann Z 1 12 = 1000. 1 12 003, = 2,50. Legen Sie das Kapital zwei Jahre an, betragen die Zinsen Z 2 = 1.000 2 0,03 = 60. Deutlicher wäre es, wenn hinter der Angabe 2 noch die Zeiteinheit Jahr mit aufgeführt und hinter dem Zinssatz 0,03 noch pro Jahr stehen würde. In finanzmathematischen Formeln werden jedoch oft bei i und t keine Zeiteinheiten angegeben, d. h., i = 0,03 und t = 2. t ist die Anzahl der Zeitperioden, auf die sich der Zinssatz i bezieht. Da nach Def. 2.2.1 davon ausgegangen wird, dass sich die Laufzeit und der Zinssatz auf die gleiche Zeiteinheit bezieht, ist dies korrekt. Ist i = 0,25% der Zinssatz pro Monat, wobei i = 3% = 0,25% = 0,0025, dann betragen die 12 Zinsen nach einem Monat Z 1 = 1.000 1 0,0025 = 2,50. Die Zinsen bei einer Laufzeit von zwölf Monaten sind: Z 12 = 1.000 12 0,0025 = 30. D. h., ob Sie den Zinssatz pro Monat oder pro Jahr verwenden, führt zu keinem anderen Zinsbetrag, wenn der Anlagezeitraum der Gleiche ist. Sie müssen nur beachten, dass sich bei Z 12 die 12 auf Monate und nicht auf Jahre bezieht. Bemerkungen: Die Höhe des Zinssatzes bildet sich am Markt nach Angebot und Nachfrage und hängt von der Länge der Leihfrist sowie von geldpolitischen und gesetzgeberischen Regelungen ab. In den meisten Fällen wird der Zinssatz pro Jahr angegeben. Deshalb beziehen sich alle Zinssätze, wenn nichts anderes angegeben ist, auf ein Jahr. Bei einfachen Zinsen ergibt der Zinssatz i p.a. den gleichen Zinsbetrag, wie die Zinssätze i 12 p.m. und i p.q. Dabei muss sich die Laufzeit jeweils auf die gleiche Zeiteinheit wie der Zinssatz beziehen. Sie dürfen also in die Formel für die Zinsen beispiels- 4 weise nicht den Zinssatz pro Monat und für die Laufzeit die Zahl der Jahre einsetzen. Die in Def. 2.2.1 angegebenen Zinsen heißen, genau genommen, einfache nachschüssige Zinsen. Nachschüssig heißt, dass die Zinsen am Laufzeitende fällig werden und aus dem Anfangskapital ermittelt werden. Bei einfachen Zinsen werden die Zinsen proportional zur Zeit gezahlt und nicht mitverzinst. Der Zinsbetrag ist somit pro Jahr über alle Jahre immer gleich groß. Von Zinseszinsen (engl.: compound interest) wird gesprochen, wenn Zinsen berechnet und dem Kapital hinzugefügt (= kapitalisiert) und dann mit diesem verzinst werden. Diese Art der Verzinsung wird in Abschnitt 2.3 ausführlich erklärt.

26 2 Zinsrechnung Satz 2.2.1 (einfache Verzinsung): Sei K 0 das Anfangskapital, t die Laufzeit, K t das Endkapital am Ende der Laufzeit und i der Zinssatz. i und t beziehen sich auf die gleiche Zeiteinheit. Dann gilt bei einfachen (nachschüssigen) Zinsen: Zinsen: Z t = t i. (I) K 0 Endkapital: K t = K 0 (1 + t i). (II) K Anfangskapital: K 0 = t. (III) 1 + t i Laufzeit: t K t K 0 =. K0 i (IV) Zinssatz: i = K t K 0. K0 t (V) Das Multiplikationszeichen zwischen K 0, t und i wird oft weggelassen. Beispiel 2.2.2: Ein Kapital von 200 wird mit einem Zinssatz von 3% p.a. verzinst. Das Kapital ist dann nach zwei Jahren bei einfachen Zinsen auf 212 angewachsen, denn mit: K 0 = 200 ; i = 0,03 und t = 2 ergibt sich K 2 = 200 (1 + 2 0,03) = 212. Beispiel 2.2.3: Wenn Sie nach fünf Jahren bei 3% p.a. einfachen Zinsen ein Kapital von 400 besitzen, wie hoch ist das Kapital zu Beginn, d. h., wie hoch ist also der Barwert? 400 Mit K 5 = 400 ; i = 0,03 und t = 5 folgt K 0 = = 347,83. ( 1+ 5 003, ) Bemerkungen: 1. Das Kapital bei einfacher Verzinsung K 0, K 1, K 2, K 3,... bildet eine so genannte arithmetische Folge mit der Differenz d = K 0 i, vgl. Def. 1.3.1. 2. Aus dem Anfangskapital das Endkapital zu berechnen, wird Aufzinsen genannt. Der Vorgang, zu einem gegebenen Endkapital das Anfangskapital zu berechnen, heißt Abzinsen oder Diskontieren. Ursprünglich ist die Diskontierung der Ankauf eines Wechsels vor dessen Fälligkeit durch eine Bank unter Abzug von Zinsen (Diskont) von der Wechselsumme (vgl. Beispiel 2.4.2). 3. Um aus dem Endwert den Barwert zu ermitteln (Diskontierung), ist Formel (III) aus Satz 2.2.1 zu verwenden, die auch bürgerliche (amtliche) Diskontierung genannt wird. Diese Diskontierung ist finanzmathematisch korrekt. Manchmal wird noch die kaufmännische Diskontierung verwendet: K 0 = K t (1 t i), t 0. Diese Methode

2.2 Einfache Zinsen 27 ergibt nur bei kleinen Laufzeiten (d.h. t klein) einigermaßen das gleiche Ergebnis. Sie ist finanzmathematisch falsch, entspricht jedoch der Diskontierung bei vorschüssiger Verzinsung. Die vorschüssige Verzinsung wird in Abschnitt 2.4 behandelt. 4. Bei Erträgen (Zinsen, Dividenden und Veräußerungsgewinnen) aus Wertpapiergeschäften ziehen die Banken in Deutschland grundsätzlich Steuern ab und überweisen sie dem Finanzamt. Seit 2009 werden von den Erträgen 25% Abgeltungsteuer und weitere 5,5% Solidaritätszuschlag (von den 25%) abgezogen, also insgesamt 25% + 5,5% 25% = 26,375%. Gegebenenfalls kommen noch 8% bzw. 9% Kirchensteuer (berechnet aus der Abgeltungsteuer) dazu. Weitere Angaben finden Sie im Anhang D.3. 1 Erträge bis zum Sparer-Pauschbetrag von M = 801 für Alleinstehende bzw. M = 1.602 für Verheiratete (Stand 2009) können pro Jahr vom Abschlag befreit werden, wenn Sie der Bank einen Freistellungsauftrag vorlegen. Den Sparer-Pauschbetrag können Sie auch auf verschiedene Banken aufteilen. Die Summe darf aber den Höchstbetrag nicht überschreiten. In der folgenden Tabelle ist in Abhängigkeit des Zinssatzes angegeben, wie viel Euro Sie maximal ohne Steuerabzug anlegen können. Die Werte sind nach folgender Formel ermittelt worden: K 0 = i M. So viel Euro können Sie ohne Abzüge anlegen, abgerundet auf ganze Euro Zinssatz p.a. Alleinstehende Verheiratete 2% 40.050 80.100 3% 26.700 53.400 4% 20.025 40.050 5% 16.020 32.040 6% 13.350 26.700 7% 11.442 22.885 8% 10.012 20.025 5. 246 des Bürgerlichen Gesetzbuches (BGB) besagt: Ist eine Schuld nach Gesetz oder Rechtsgeschäft zu verzinsen, so sind vier vom Hundert für das Jahr zu entrichten, sofern nicht ein anderes bestimmt ist. 6. Eine Geldschuld ist während des Verzugs zu verzinsen. Im 288 des BGB wird der Zinssatz für Verzugszinsen beschrieben. Er liegt bei Rechtsgeschäften, an denen Verbraucher beteiligt sind, 5 Prozentpunkte über dem so genannten Basiszinssatz, falls nicht anderes vereinbart wurde. Der Basiszinssatz wird zum 1.1 und 1.7 eines jeden Jahres nach bestimmten Regeln (gemäß 247 BGB) an einen Zinssatz der Europäischen Zentralbank angepasst. Er ist u.a. im Internet unter www.bundesbank.de zu finden. Zum 1.1.2009 wurde der Basiszinssatz mit 1,62% festgestellt. Der Verzugszinssatz betrug somit 6,62%. 1 Sparer können ihre Kapitalerträge auch wie bisher in der Steuererklärung angeben und dafür Einkommensteuer zahlen. Die gezahlte Abgeltungsteuer wird dabei angerechnet. Dies lohnt sich für Steuerzahler mit einem Spitzensteuersatz von unter 25%.

28 2 Zinsrechnung Def. 2.2.2 (Zinstage-Methoden): In der Praxis wird die Laufzeit folgendermaßen berechnet: Zinstage t = years(t1, t 2 ) =, Jahreslänge in Tagen wobei t 1 = T1.M1.J1 der Tag, der Monat und das Jahr des ersten Datums (Anfangsdatum) und t 2 = T2.M2.J2 der Tag, der Monat und das Jahr des zweiten Datums (Enddatum). Die Anzahl der Zinstage und die Jahreslänge in Tagen hängt von der gewählten Zinstage- Methode (day count convention) ab. Gebräuchliche Zinstage-Methoden (Usancen) sind: Zinstage- Methode Berechnungsweise caldays(t 1, t 2 ) ist die exakte Anzahl der Kalendertage vom Anfangsdatum t 1 bis zum Enddatum t 2. min{x, y} gibt den kleinsten Wert von x und y an. 30E/ Die Anzahl der Zinstage basiert unabhängig von der tatsächlichen Länge des Monats auf der Voraussetzung, dass jeder Monat 30 Tage und das Jahr Tage hat. Bei Monaten mit 31 Tagen ist der 31. kein Zinstag. ( J2 J1) + (M2 M1) 30+ min{t2,30} min{t1,30} Formel: t =. 30/ Ähnlich wie Methode 30E/, nur wenn der Endtag der 31. ist, wird anders gerechnet. Sei T2* = 30, falls T2 = 31 und (T1 = 30 oder T1 = 31), andernfalls T2* = T2. ( J2 J1) + (M2 M1) 30+ T2 * min{t1,30} Formel: t =. actual/ (taggenau/ Euro-Zinsmethode) actual/365 (taggenau/ 365) actual/ actual nach ICMA (taggenau) ICMA früher ISMA, vgl. S. 90. Die Methode basiert auf der exakten, kalender-genauen (im Englischen actual) Auszählung der Zinstage. Die Jahreslänge beträgt immer Tage. caldays(t 1, t 2 ) Formel: t =. Wie Methode actual/, nur im Nenner immer mit 365. caldays(t 1, t 2 ) Formel: t =. 365 Bei dieser Methode werden sowohl die Zinstage als auch Jahreslänge mit kalendergenauen Werten berücksichtigt. Sie wird nur bei regelmäßigen Zinszahlungen angewandt, z. B. bei festverzinslichen Wertpapieren (Stückzinsen) mit 1, 2, 3, 4, 6 oder 12 Zinszahlungen (Kuponzahlungen) pro Jahr: caldays(t t = 1,t2). Anzahl der Kuponzahlungen pro Jahr Tage der Kuponperiode

2.2 Einfache Zinsen 29 actual/ actual (kalenderjährlich) (taggenaukalenderjährlich) Weitere Methoden Bei dieser Methode werden sowohl die Zinstage als auch die zu Grunde gelegte Jahreslänge mit kalendergenauen Werten berücksichtigt. Sei B k der Beginn des Jahres k, also der 1.1. des Jahres k, wobei B J1 t 1 t 2 < B J2+1 t = Bruchteil des Startjahres + Anzahl der vollen Jahre + Anteil des Schlussjahres caldays(t1, BJ1+ 1) caldays(bj2, t 2 ) = + J2 J1 1+. exaktetageimjahrj1 exaktetageimjahr J2 Bei der Berechnung des Effektivzinssatzes (vgl. Abschnitt 3.3) gibt es weitere Methoden: Das Jahr kann mit 365,25 Tagen angesetzt werden. Auch kann ein Monat 30,41666 (= 365/12) Tage haben. Beispiel 2.2.4: a) Sie legen 2.000 am 15.5.2004 auf einem Sparbuch an, das mit 2% nach der 30E/- Tagemethode verzinst wird. Wie hoch ist das Endkapital bei Abhebung am 20.6.2004? K.6. 2004 35 20 = 2.000 (1 + 0,02) = 2003,89. b) In der folgenden Tabelle sind die Laufzeiten für einige Zinstage-Methoden angegeben: Zinstage-Methode 30/ actual/ actual/365 z.b. z.b. Geld- Floating- markt- Rate-Notes papiere Zeitraum 15.5.2004-20.6.2004 15.5.2004-1.8.2004 14.1.2005-20.3.2005 15.1.2004-31.3.2005 30E/ z.b. Sparbücher (innerhalb eines Jahres), Festgelder 35/ 35/ 36/ 36/365 36/366 76/ 76/ 78/ 78/365 78/366 66/ 66/ 65/ 65/365 65/365 435/ 436/36 0 441/ 441/365 actual/actual kalenderjährl. 352 89 +0 +365 366 Beispiel 2.2.5 (actual/actual nach ICMA): Für die Methode actual/actual nach ICMA, die bei festverzinslichen Wertpapieren häufig angewandt wird, ist neben der Zinslaufzeit noch die Lage der Zinsperiode notwendig, um den Zinsbetrag ausrechnen zu können. Genauere Einzelheiten finden Sie z.b. in Heinzel/Knobloch/Lorenz (2002). a) Die Zinsen sollen jährlich am 15.5. eines jeden Jahres gezahlt werden, d.h., die Anzahl der Kuponzahlungen pro Jahr ist Eins. Dann ergeben sich für die Kuponperiode vom 15.5.2004 bis 15.5.2005 365 Tage. Vom 15.5.2004 bis 20.6.2004 folgt bei actual/ 36 actual nach ICMA : t = years(15.5.2004, 20.6.2004) = = 36 1 365 365.

30 2 Zinsrechnung b) Wenn die Zinsen halbjährlich am 15.5. und 15.11. eines jeden Jahres gezahlt werden, ist die Anzahl der Kuponzahlungen pro Jahr 2. Für die Kuponperiode vom 15.5.2004 bis 15.11.2004 ergeben sich 184 Tage. Vom 15.5.2004 bis 20.6.2004 ergibt: t = years(15.5.2004, 20.6.2004) = 36 2 184 Tagen, kann allgemein zwischen 336 und 372 Tagen liegen.) Beispiel 2.2.6: = 9. (Der Nenner, also die Jahreslänge in 92 In Abbildung 2.2.1a sind die Daten einer variabel verzinslichen Anleihe (genannt Floater, siehe auch Abschnitt 10.2) angegeben, bei der die Zinsen halbjährlich jeweils am 10. März und am 10. September gezahlt werden. Bei variabel verzinslichen Anleihen werden die Zinsen regelmäßig angepasst. An zwei Stellen sind (von mir) Schwärzungen angebracht. Floater werden in der Regel nach der Methode actual/ verzinst. Wie viel Zinstage werden verzinst? Wie hoch ist der Zinsbetrag? Vom 10.9.2003 (t 1 ) bis zum 10.3.2004 (t 2 ) sind es caldays(t 1, t 2 ) = 182 Tage, denn es sind 6 Monate à 30 Tage = 180 Tage, plus 31.10. + 31.12. + 31.1. minus einem Tag im Februar (Schaltjahr). Der Zinsbetrag ist somit: 1.000 182 0, 02793 = 14,12. Die Verzinsung bei der Anleihe aus Abb. 2.2.1b erfolgt ebenfalls nach der Methode actual/. caldays(8.9.2005, 8.12.2005) = 91. Damit ergibt sich pro 0,01 Nennwert ein Zinsbetrag von 0,01 91 0, 0215638 = 0,00005450849. DABAU AG Zinssatzbekanntmachung 10.000.000,00 Anleihe der Dabau AG mit variablem Zins Der Zinssatz wurde gemäß Anleihebedingungen für die nächste Periode festgelegt und beträgt 2,793% p.a. für die Zeit vom 10.9.2003 bis zum 9.3.2004 einschließlich ( Zinstage). Zahlbar am 10.3.2004. Pro Nennwert von 1.000 wird ein Zinsbetrag in Höhe von fällig. Im September 2003 Dabau - Bank Der Vorstand Abb. 2.2.1a: Daten einer variabel verzinslichen Anleihe (Floater) für Beispiel 2.2.6 Fix AG EUR 50.000.000,00 Hypothekenpfandbriefe mit variablem Zinssatz von 2004/2014, R. 567 ISIN DE0008150815 Gemäß 3 der Anleihebedingungen wurde der Zinssatz wie folgt festgesetzt: Zinsperiode: 8.9.2005 bis 8.12.2005 (exkl., 91 Tage) Zinssatz: Zinsbetrag: Zinstermin: 8. 12.2005 2,15638% p.a. EUR 0,00005450849 je nominal EUR 0,01 Darmstadt, im September 2005 GROSS-Bank AG, Darmstadt Abb. 2.2.1b: Daten einer variabel verzinslichen Anleihe

2.2 Einfache Zinsen 31 Bemerkungen zu Def. 2.2.2: 1. Manchmal liegen für t 1 und t 2 keine Datumsangaben vor. Beispielsweise wenn es heißt: Sie legen Geld für ein halbes Jahr an., wählen Sie einfach t 1 = 0 und t 2 = ½. Es gilt dann years(t 1, t 2 ) = t 2 t 1 = ½ 0 = ½. Eine Berechnung mit genauen Zinstagen ist allerdings nicht möglich. Damit die Formeln nicht zu kompliziert werden, wird oft für die Laufzeit, insbesondere im Kapitel 10, statt allgemein years(t 1,t 2 ) vereinfachend t 2 t 1 angegeben. 2. In vielen Büchern wird vereinfachend davon ausgegangen, dass bei der Ermittlung der Zinstage immer der erste Tag (also t 1 ) nicht und der letzte Tag (also t 2 ) mitgezählt wird. Diese Annahme ist in manchen Fällen jedoch nicht richtig. Es gibt Banken, die bei Sparbüchern den Einzahlungstag mitverzinsen, den Auszahlungstag aber nicht. Werden die Zinstage nach der Methode actual berechnet, ist dies immer unerheblich: Sie erhalten bei beiden Wegen die gleiche Anzahl von Zinstagen. 3. Für monatliche, vierteljährliche, halbjährliche oder jährliche Zahlungen sind Datumsangaben oft auch folgendermaßen zu interpretieren: Mit 31.1., 28.2. (bzw. 29.2.), 31.3.,..., 31.12. ist jeweils das Monatsende 24.00 Uhr, mit 1.1., 1.2., 1.3.,..., 1.12. ist jeweils der Monatsanfang 0.00 Uhr gemeint, d.h. beispielsweise, dass der 31.12.2000 und der 1.1.2001 denselben Zeitpunkt bezeichnen. 4. Bei der Methode mit Zinstagen pro Jahr ergibt Def. 2.2.2: K 0 Zinstage K 0 Zinstage Endkapital = K K 100 0 + = 0 +. i p Der Zähler des Doppelbruchs, also heißt Zinsdivisor oder Zinsteiler. K 0 Zinstage 100, heißt Zinszahl, der Nenner, p, Def. 2.2.3 (Geschäftstage-Methoden, business day count convention): Geschäftstage-Methode Nächster Tag (following, f) Modifizierter nächster Tag (modified following, mf) Vorhergehender Tag (preceding,p) Modifizierter vorhergehender Tag (modified preceding, mp) Bedeutung Nächster Bankarbeitstag Nächster Bankarbeitstag, wenn dieser innerhalb des gleichen Kalendermonats ist. Sonst: vorhergehender Bankarbeitstag Vorhergehender Bankarbeitstag Vorhergehender Bankarbeitstag, wenn dieser im gleichen Kalendermonat liegt. Sonst: nächster Bankarbeitstag Bei manchen festverzinslichen Wertpapieren ist es üblich, dass nur der Zahlungstermin adjustiert wird; die Zahlungshöhe wird mit dem ursprünglichen Zahlungstermin berechnet. Diese Vorgehensweise wird durch die Angabe unadjusted, unverändert oder fix gekennzeichnet. Beispiel: unadjusted following.

32 2 Zinsrechnung 5. In der Praxis ist die Angabe 1 Monat nicht immer genau einen Monat lang. Beispielsweise wird meist vom 1.5 bis zum 2.6. gerechnet, wenn der 1.6. ein Bankfeiertag ist. Der Feiertagskalender ist bei Geschäftsabschluss festzulegen. Benutzt wird oft der TARGET-Kalender; TARGET steht für Trans-European Automated Real-Time Grosssettlement Express Transfer. Bei diesem Kalender gelten als Bankfeiertage neben Samstag und Sonntag nur wenige weitere Feiertage. Der Zahlungstag wird dann angepasst, wenn der Zahlungstag auf einen Feiertag fällt, wobei es die in Def. 2.2.3 angegebenen Möglichkeiten gibt. Anwendungen finden Sie in Beisp. 2.2.7 und Kap. 10.2. 6. Wird an einem bestimmten Tag (Handelstag) ein Finanzgeschäft abgeschlossen, beginnt der Zinslauf oftmals nicht am gleichen Tag, sondern ein, zwei oder drei Tage später. An diesem Tag, genannt Valutatag oder Wertstellungstag, ist dann auch erst der Anlagebetrag oder Kaufpreis fällig. Unter Banken gibt es am Geldmarkt darunter werden Anlagen mit einer Laufzeit bis zu einem Jahr verstanden u.a. folgende Standardprodukte: Tagesgeld: Der Laufzeitbeginn ist der Handelstag, das Laufzeitende ist ein Bankarbeitstag (BAT) nach dem Laufzeitbeginn. Tom/Next: Der Laufzeitbeginn ist der nächste Bankarbeitstag nach dem Handelstag; das Laufzeitende ist ein Bankarbeitstag danach. Spot/Next: Der Laufzeitbeginn ist zwei Bankarbeitstage nach dem Handelstag. Das Laufzeitende ist der nächste Bankarbeitstag nach dem Laufzeitbeginn. k Monate, k = 1,..., 12: Der Laufzeitbeginn ist zwei Bankarbeitstage nach dem Handelstag. Der Fälligkeitstag ist k Monate nach Laufzeitbeginn. Ist der so erhaltene Tag kein Bankarbeitstag, wird der darauf folgende Bankarbeitstag verwendet. Die Stückzinsen von Anleihen werden nach Def. 2.2.2 ermittelt. Um den Begriff Stückzinsen zu verstehen, müssen Sie wissen, was eine Anleihe ist. Dies wird im Folgenden (und auch im Kapitel 7) erklärt. Wenn Sie das Thema Anleihen übergehen wollen, lesen Sie bitte bei Beispiel 2.2.8 auf Seite 36 weiter. Anleihe (engl.: bond) ist ein Sammelbegriff für meist langfristige Schuldverschreibungen, die sowohl von der öffentlichen Hand als auch von privaten Unternehmen zur Finanzierung von Investitionsvorhaben ausgegeben werden. Der Aussteller (auch Emittent genannt) verpflichtet sich gegenüber dem Käufer bzw. Inhaber der Anleihe zu einer laufenden Verzinsung 1 und bei Laufzeitende zur Rückzahlung der geliehenen Geldsumme 2. Der Emittent erhält dafür vom Käufer einen Geldbetrag (= Kaufpreis der Anleihe). Wenn Sie eine Anleihe erwerben wollen, kaufen Sie keine bestimmte Stückzahl der Anleihe, sondern einen bestimmten Nennwert. Auf jeder Anleihe ist der Nennwert (oder Nominalwert, engl.: par value oder face value) angegeben. Der kleinste Nennwert einer einzelnen Anleihe beträgt häufig 100 oder 1.000. Auf diesen Nennwert bezieht sich die Zinszahlung (auch Kuponzahlung genannt). Es heißt deshalb der Zinssatz, mit dem die Anleihe verzinst wird, auch Nominalzinssatz oder Nominalverzinsung (engl.: coupon 1 Der Zinsschein oder Kupon ist dem Wertpapier beigegeben. Er berechtigt zum Erhalt der fällig werdenden Zinserträge. 2 Viele Anleihen werden an der Börse gehandelt. Das bedeutet, dass Sie diese Anleihen nicht bis zum Laufzeitende behalten müssen, sondern auch vorzeitig über die Börse verkaufen können.

2.2 Einfache Zinsen 33 rate). Am Ende der Laufzeit erhält der Inhaber der Anleihe den Nennwert und eventuell noch ein Aufgeld (Agio), was bei der Ausgabe der Anleihe schon genau festgelegt wird. Preisangaben beim Kauf oder Verkauf von Anleihen beziehen sich üblicherweise auf einen Nennwert von 100 Einheiten (z.b. Euro oder Dollar) und werden Kurse genannt. Kurse wichtiger Anleihen können Sie beispielsweise in Wirtschaftszeitungen nachlesen oder aktueller dem Internet entnehmen. Der größte Teil der Anleihen besitzt eine im Voraus zahlenmäßig festgelegte Verzinsung. Diese festverzinslichen Wertpapiere werden deshalb auch Rentenpapiere oder Renten genannt. Die Zinszahlungen erfolgen in der Regel jährlich oder halbjährlich nachschüssig. Eine Nullkupon-Anleihe (engl.: zero bond) ist eine Anleihe, deren Kuponhöhe null ist, d. h., Sie erhalten keine Zinszahlungen. Dafür werden Nullkupon-Anleihen weit unter dem Nennwert (weit unter pari 1 ) herausgegeben und bei Fälligkeit zum Nennwert (oder einem höheren Wert) eingelöst. Der Ertrag einer Nullkupon-Anleihe liegt also in der Differenz zwischen dem Kaufpreis und der Rückzahlung am Ende der Laufzeit bzw. beim vorzeitigen Verkauf in der Differenz zwischen dem Kauf- und dem Verkaufspreis. Beispiel 2.2.7: Eine festverzinsliche Anleihe im Nennwert von 500 habe eine Nominalverzinsung von 8% bei einer Laufzeit von 5 Jahren und einer Rückzahlung zu 100% des Nennwerts. Bei jährlichen Zinszahlungen ergibt dies jeweils eine Zinszahlung (Kuponzahlung) in Höhe von 500 0,08 = 40. Für die Anleihe zahlen Sie einen Preis und erhalten dann folgende Leistungen: Nach jedem Jahr die Zinsen und am Ende der Laufzeit den Nennwert, vgl. Abb. 2.2.2a. (Manchmal wird am Laufzeitende neben dem Nennwert noch ein Aufgeld gezahlt. Bei 2% Aufgeldsatz beträgt die Rückzahlung dann 510 statt 500.) Die Daten der Anleihe sind also: Nennwert: N 0 500 Nominalverzinsung: i 0 8% (immer bezogen auf den Nennwert) Zinszahlung: Z = N 0 i 0 40, jährlich nachschüssig Laufzeit in Jahren: n 5 Jahre Aufgeldsatz: a 0% Rückzahlung: RZ = N 0 (1+a) 500 (1 + 0,00) = 500. Zahlungen: 475 Leistungen: 40 40 40 40 40+500 > 0 1 2 3 4 5 Zeit in Jahren Abb. 2.2.2a: Zahlungen bei der Anleihe aus Beispiel 2.2.7 bei jährlicher Zinszahlung 1 Pari (ital.: gleich) bedeutet, dass der Preis des Wertpapiers dem Nennwert entspricht. Unter pari bedeutet somit, dass der Preis niedriger, über pari, dass der Preis höher als der Nennwert ist.

34 2 Zinsrechnung 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20+500 > 0 1 2 3 4 5 Jahre Abb. 2.2.3: Leistungen bei der Anleihe bei halbjährlicher Zinszahlung Werden die Zinsen halbjährlich gezahlt, sind die Zahlungen in Abb. 2.2.3 dargestellt. Die Zinsen betragen dann jeweils 1.000 ½ 0,08 = 20. Wann die Zinszahlungen erfolgen, ist in den Anleihebedingungen genau festgelegt. In Deutschland gibt es bei festverzinslichen Wertpapieren überwiegend die jährliche Zinszahlung. Streng gesehen ist Abb. 2.2.2a eine Vereinfachung. Warum? Nehmen wir an, dass das Wertpapier eine Anleihe ist, die am 4.1.2000 ausgegeben wurde. Dann erhalten Sie jeweils am 4.1. der Jahre 2001 und 2002 40 Zinsen. Der 4.1. und der 5.1.2003 sind Samstag und Sonntag. Sie erhalten die Zinsen meist erst am 6.1.2003. In Abb. 2.2.2b ist der Zahlungsstrom angegeben. In Abb. 2.2.2c ist eine weitere Möglichkeit dargestellt. Kommen wir zurück zur Anleihe mit jährlichen Zinszahlungen. Um diese Anleihe zu kaufen, müssen Sie einen bestimmten Betrag (Kaufpreis) zahlen, beispielsweise bei einem Kurs 95 Kurs von 95 haben Sie: Nennwert = 500 = 475 100 100 Zahlungen: 475 Leistungen: 40 40 40 40 40+500 > 4.1. 4.1. 4.1. 6.1. 5.1. 4.1. Zeit 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Abb. 2.2.2b: Zahlungen bei der Anleihe aus Beispiel 2.2.7 bei jährlicher Zinszahlung, Zinstage-Methode: actual/actual, Geschäftstage-Methode: Following, fix. Wegen fix ergibt sich der gleiche Zahlungsstrom auch bei den Zinstage-Methoden 30E/ oder 30/. Zahlungen: 475 Leistungen: 40 40 40,22 39,89 39,89+500 > 4.1. 4.1. 4.1. 6.1. 5.1. 4.1. Zeit 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Abb. 2.2.2c: Zahlungen bei der Anleihe aus Beispiel 2.2.7 bei jährlicher Zinszahlung, Zinstage-Methode: 30E/, Geschäftstage-Methode: Following

2.2 Einfache Zinsen 35 zu zahlen, da sich der Kurs 1 eines verzinslichen Wertpapiers auf 100 bezieht. 475 wird auch Kurswert genannt. In Abb. 2.2.2a-c ist die Zahlung und die Leistung aus dem Wertpapier angegeben. Der Kaufpreis eines Wertpapiers ist nur in Ausnahmefällen gleich dem Kurswert. Der Kaufpreis ergibt sich im Allgemeinen aus dem Kurswert plus den Stückzinsen. Was sind Stückzinsen? An der Börse werden viele Anleihen gehandelt. Sie können Anleihen dort kaufen und verkaufen lassen. Wenn Sie diese obige Anleihe mit jährlichen Zinszahlungen zu Beginn gekauft haben, hatte diese Anleihe eine Laufzeit von 5 Jahren. Nach einem Vierteljahr möchten Sie diese Anleihe an der Börse aber wieder verkaufen. Dann erhalten Sie vom Käufer dieser Anleihe Zinsen für das Vierteljahr (also 10 ), denn der Käufer der Anleihe bekommt schon nach einem Dreivierteljahr die vollen 40 Zinsen, obwohl er die Anleihe dann kein ganzes Jahr besitzt. Die 10 heißen Stückzinsen. Def. 2.2.4: Stückzinsen (aufgelaufene Zinsen, Marchzinsen, engl.: accrued interest) sind die Zinsen bei verzinslichen Wertpapieren, die vom letzten Zinszahlungstermin bis zum Tag vor der Bezahlung des Kaufpreises (also bis zu dem Tag vor dem so genannten Valutatag oder Wertstellungstag) anfallen; sie werden dem Kaufpreis zugeschlagen, weil der Käufer den Zinsanspruch für diese Zeit erlangt. Stückzinsen werden mit einfachen Zinsen nach Def. 2.2.2 ermittelt. Sie erhält der Verkäufer des Wertpapiers. Dies sind die (positiven) Stückzinsen. Kurz bevor die Kuponzahlung, also die Zinszahlung, fällig ist, wird oft mit negativen Stückzinsen gerechnet. Im Fall negativer Stückzinsen wird der Kaufpreis um die bis zum nächsten Kupontermin auflaufenden Stückzinsen ermäßigt. Der Käufer einer Anleihe erhält erst zum übernächsten Kupontermin wieder eine Zinszahlung. Beispiel 2.2.7 (Fortsetzung): Die Anleihe im Beispiel 2.2.7 wurde am 4.1.2000 ausgegeben mit einer Laufzeit von genau fünf Jahren, also bis zum 4.1.2005. Der Zinslauf begann auch am 4.1.2000 einschließlich. Die Zinsen werden jährlich gezahlt. Wie hoch ist nun der Kaufpreis der Anleihe, wenn Sie diese Anleihe am 8.2.2000 an der Börse kaufen? Nehmen wir an, dass der Kurs 2 der Anleihe am 8.2.2000 auch 95 wäre. Da sich der Kurs auf 100 bezieht, bezahlen Sie zunächst einmal 500 95/100 = 475. Hinzu kommen die Stückzinsen. 1 Zu erwähnen ist, dass der Kurs in der Literatur auch mit Prozentzeichen angegeben wird: C = 95%. Da aber 95% = 0,95 gilt, besteht zwischen der Darstellung mit % der gleiche Unterschied wie zwischen Prozentsatz und Prozentfuß, vgl. Abschnitt 2.1.1. In diesem Buch ist der Kurs der Wert ohne Prozentzeichen. C = 96 ist verkehrt, da C kein Geldbetrag ist. 2 Kurse festverzinslicher Wertpapiere werden in Deutschland ohne Stückzinsen notiert.

36 2 Zinsrechnung Stückzinsen 4.1.2000 8.2.00 10.2.00 4.1.2001 Zeit Zinslauf- Handels- Valuta- nächste beginn tag tag Zinszahlung Abb. 2.2.4: Berechnung der Stückzinsen aus Beispiel 2.2.7; Zahlungsstrom Abb. 2.2.2b Wenn Sie diese Anleihe am Dienstag, dem 8.2.2000 (= Handelstag), an einer deutschen Börse kaufen, müssen Sie in der Regel erst zwei 1 Bankarbeitstage später (= Valutatag), also am 10.2.2000, die Anleihe bezahlen. Der Preis der Anleihe berechnet sich nicht nur aus dem aktuellen Kurs für die Anleihe, sondern es müssen auch noch die Stückzinsen für die Dauer vom Tag der letzten Zinszahlung (einschließlich) bis einschließlich einen Zinstag vor Valutatag bezahlt werden. Bei festverzinslichen Wertpapieren werden die Stückzinsen meist nach der Zinstage-Methode actual/actual nach ICMA berechnet. Vom 4.1.2000 bis 10.2.2000 sind es 37 Kalendertage. Die gesamte Zinsperiode geht vom 4.1.2000 bis zum 4.1.2001, enthält also 366 Kalendertage, da es einen 29.2.2000 gibt. Mit Def. 2.2.2 ist der Preis dieser Anleihe einschl. Stückzinsen (auch Dirty-Price genannt): 95 Kaufpreis = 500 100 + 500 0,08 37 = 475,00 + 4,04 = 479,04. 1 366 Würden Sie die Anleihe an der Börse am Freitag, dem 11.2.2000, kaufen, müssen Sie Stückzinsen für 42 Tage zahlen. Obwohl Sie nur drei Bankarbeitstage später kaufen, erhalten Sie um fünf Tage erhöhte Stückzinsen, denn der Valutatag (= 2 Bankarbeitstage nach Handelstag) ist der Dienstag, da Samstage und Sonntage keine Börsentage sind. Die Zinsen erhalten Sie bis einen Kalendertag vorher, also bis einschließlich Montag. Wäre die Anleihe eine Floating-Rate-Note (Floater), berechnen sich die Stückzinsen meist nach der Methode actual/. Dann gilt beim Kauf am 8.2.2000: 37 Stückzinsen = 500 0,08 = 4,11. Beispiel 2.2.8: Eine international tätige Bank bot am 26.7. die in Abb. 2.2.5 angegebenen Konditionen für Festgeld. Berechnet werden soll mit der 30E/-Tage-Methode das Endkapital in Euro bei einer Anlage vom 26.7. bis 26.8. jeweils mit und ohne Wechselkursveränderung bei einer Anlage von 100.000 a) in Euro b) in Schweizer Franken c) in US-Dollar. Um den zur Verfügung stehenden Euro-Betrag in einer anderen Währung anlegen zu können, ist er umzutauschen. Dazu müssen Sie den Devisenkurs kennen. Die am Devisenhandel teilnehmenden Banken geben zwei Kurse an: Den höheren Briefkurs, bei dem Sie Euro kaufen, bzw. den niedrigeren Geldkurs, bei dem Sie Euro verkaufen können. 2 1 Unterschiedlich, je nach Land und Börse. 2 Die Spanne zwischen Geld- und Briefkurs wird auch als Spread bezeichnet.

2.2 Einfache Zinsen 37 In Abb. 2.2.6 sind Kurse vom 26.7. und vom 26.8. angegeben. Welcher Kurs am 26.8. gilt, können Sie am 26.7. natürlich nicht wissen. Dagegen werden Münzen und Banknoten in fremden Währungen nicht als Devisen, sondern als Sorten bezeichnet und zum Sortenkurs abgerechnet. Für die Kreditinstitute ist die Abwicklung des Sortenhandels viel aufwändiger als der Handel mit Devisen, somit sind die Spannen beim Sortenkurs erheblich größer als beim Devisenhandel. Bei Devisenund insbesondere bei Sortengeschäften sollten Sie die Preise zwischen verschiedenen Banken vergleichen. Zurück zum Zahlenbeispiel: Die Verzinsungszeit beträgt 30 Tage nach der Methode 30E/. Damit ergibt sich bei einer Euro-Anlage ein Endkapital von 100.000 1+ 0025, 30 = 100.208,33. Für 100.000 erhalten Sie am 26.7. 100.000 1,6037 Schweizer Franken. Da dieser Betrag mit 0,9% verzinst wird, ergibt sich ein Endkapital von 100. 000 1, 6037 1+ 0, 009 30 Schweizer Franken. Die Franken müssen am 26.8. in Euro umgerechnet werden. Dazu ist mit dem Briefkurs 1,6025, vgl. Abb. 2.2.6 zu dividieren. Das Endkapital beträgt somit: 100 000 1 6037 1 0 009 30 1., +, = 100.149,94. 16025, Entsprechend kann bei einer Geldanlage in US-Dollar das Endkapital ausgerechnet werden. Es ergibt sich ein Endkapital von 97.630,48, d.h. das Kapital in Euro hat sich verringert. A n l a g e d a u e r Währung 1 MONAT 2 MONATE US-Dollar (USD) 5,10% 5,20% Euro (EUR) 2,50% 2,52% Schweizer Franken (CHF) 0,90% 1,00% Kanadische Dollar (CAD) 4,70% 4,80% Abb. 2.2.5: Zinssätze p.a. für verschiedene Laufzeiten und Währungen Land Währungs- 26.7. 26.7. 26.8. 26.08. kürzel Geld-Kurs Brief-Kurs Geld-Kurs Brief-Kurs USA USD 1,2620 1,2680 1,2932 1,2992 Kanada CAD 1,1761 1,1881 1,1842 1,1962 Schweiz CHF 1,6037 1,6077 1,5985 1,6025 Abb. 2.2.6: Devisenkurse, jeweils für 1 Euro; z.b. 1 EUR entspricht 1,2620 USD (Geldkurs am 26.7.).