Elektronik 1, Foliensatz 9: Leitungen

Elektronik, Foliensatz 9: Leitungen G. Kemnitz 29. September 26 Inhaltsverzeichnis Leitungen. Wellengleichung..................................... 2.2 Wellenwiderstand.................................... 4.3 Reexion........................................ 6.4 Sprungantwort..................................... 8.5 Messen von Leitungsparametern............................ 2.6 Aufgaben........................................ 3 Leitungen Elektrisch lange Leitungen Elektrische Signale breiten sich auf einer Leitung als elektromagnetische Wellen mit nahe Lichtgeschwindigkeit aus. t in ns 3 u(t, x) in V 2 2 x ϕ(x 2 ) ϕ(x ) 4 V x 2 - -2 2 4 6 x in cm -3 Eine Leitung mit messbaren Potenzialunterschieden zwischen unterschiedlichen Punkten wird als elektrisch lang bezeichnet. Ersatzschaltung

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 2 Sender i(x, t) Empfänger u(x, t) d u x u i L R G i i + i C u + u Kette elektrisch kurzer Leitungsstücke aus Hin- und Rückleitung der Länge mit: einem Widerstand R und einer Induktivität L über denen die Spannung abfällt, und u = R i + L i t einem Leitwert G und einer Kapazität C durch die der Strom ieÿt. i = G u + C u t Die Gröÿen R, L, G und C werden Leitungsbeläge genannt und sind die Ableitungen von R, L, C und G nach dem Weg.. Wellengleichung Die Wellengleichung Beide Dierentialgleichungen sind linear und können im Frequenzraum gelöst werden. Im Frequenzraum wird aus der Ableitungen nach der eit eine Multiplikation mit jω: U = (R + j ω L ) I (x) () I = (G + j ω C ) U (x) (2) Die Ableiten von Gl. nach dem Weg und Einsetzen von Gl. 2 ergibt eine lineare frequenzabhängige Dierentialgleichung 2. Ordnung für die Ausbreitung komplexer Spannungswellen auf der Leitung: U 2 2 x = γ2 U mit γ = (R + j ω L ) (G + j ω C ) (γ Fortpanzungskonstante).

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 3 Lösungen der Wellengleichung Die Wellengleichung U 2 2 x = γ2 U mit γ = (R + j ω L ) (G + j ω C ) hat zwei Lösungen, eine für die hinlaufende Welle: und eine für die rücklaufende Welle: U H (x) = U H e γ x = U H e } DL x {{} e } j ψ x {{} Dämpfung Phasenverschiebung U R (x) = U R e γ x = U R e } DL x {{} e } j ψ x {{} Dämpfung Phasenverschiebung Der Realteil der Ausbreitungskonstanten γ ist die Dämpfung D F und der Imaginärteil die Ortskreisfrequenz ψ. Die Ortsfunktionen der komplexen Wellen sind eiger, die sich in Wegrichtung auf einer Spiralbahn bewegen. Phase und Amplitude nehmen in Bewegungsrichtung ab: R Q...... U R U Q U H x λ x Die zugehörige eitsignale sind die komplexen Amplituden (eiger) multipliziert mit e jω t : u H (t, x, ω) = U H e γ(ω) x e jω t ; u R (t, x, ω) =... Praktisch lassen sich natürlich nur reelle Spannungs- und Stromverläufe, d.h. die Summe der paarweise konjugiert komplexen Wellen für ω und ω erzeugen und messen: u H (t, x, ω) + u H (t, x, ω) = 2 U H e DF x cos (ω t + Phase...) t in ns 4 3 rücklaufende Welle hinlaufende Welle 2-3 -2-2 3 Einspeispunkt x in cm des Signals

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 4 Phase und Amplitude nehmen in Bewegungsrichtung ab: rücklaufende Welle hinlaufende Welle Amplitude U R e D L x U H e D L x Phase Phase (U R ) + ψ x Phase (U H ) ψ x Ausbreitungsgeschwindigkeit Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist das Verhältnis aus der Wellenlänge und der Signalperiode: Mit v = λ T P λ = 2 π ψ, T P = 2 π ω ist sie das Verhältnis aus der Ortskreisfrequenz und der Kreisfrequenz: v = ω ψ t in ns 4 3 T P 2 2 3 λ x in cm Für verlustarme Leitungen: R ω L G ω C beträgt die Ortskreisfrequenz ( ) ψ = Im (R + j ω L ) (G + j ω C ) ω L C Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beträgt in diesem Fall: v = ω ψ = L C = ε µ Ohne Herleitung ist das die Lichtgeschwindigkeit in einem Material mit derselben Dielektrizitätskonstante ε (Verhältnis aus elektrischer Flussdichte zu elektrischer Feldstärke) und Permeabilität (Verhältnis aus magnetischer Flussdichte und magnetischer Feldstärke). (Licht-) Geschwindigkeit: im Vakuum: 3 cm/ns auf Leitungen: 5... 2 cm/ns..2 Wellenwiderstand Denition des Wellenwiderstands Denitions. Der Wellenwiderstand (x) ist das Verhältnis aus der komplexen Spannungswelle und der komplexen Stromwelle am Punkt x einer Leitung. Das ist weder der ohmsche Widerstand noch der komplexe Widerstand der Leitung, sondern eine ortsabhängige Gröÿe mit derselben Maÿeinheit, die auf eine andere, später dargelegte Weise gemessen wird.

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 5 Berechnung I(x) U L R U = U H e λ x G I C I (x) = (U H e γ x ) (R + j ω L ) = γ U H e γ x (R + j ω L ) = U I = U H e γ x = R + j ω L I γ mit γ = (R + j ω L ) (G + j ω C ) ergibt sich: = R + j ω L (R + j ω L ) (G + j ω C ) = R + j ω L G + j ω C Eigenschaften des Wellenwiderstands Der Wellenwiderstand ist eine Funktion der Leitungsbeläge L, R, C, G und damit der Geometrie der Hin- und der Rückleitung und des Isolators dazwischen. Die weiteren Betrachtungen beschränken sich auf homogene reellwertige Leitungen. homogen: Konstanter Wellenwiderstand über die gesamte Länge. reellwertig: Reeller Wellenwiderstand: R + j ω L R G + j ω C = L G = C = Für hohe Frequenzen sind die meisten Leitungen wegen R j ω L und G j ω C reellwertig. Der Wellenwiderstand beträgt dann: j ω L = L j ω C = C Wellenwiderstände standardisierter Datenkabel Für die Informationsübertragung (Messdaten, Telefon, Fernsehen, Rechnervernetzung) werden fast ausschlieÿlich homogene reellwertige Leitungen verwendet. Beispiele: Kabeltyp max. Frequenz Anwendung RG 58 (Koaxialkabel) 5 Ω MHz Datenübertragung RG 59 (Koaxialkabel) 75 Ω MHz Kabelfernsehen UTP-3 Ω 6 MHz Datenübertragung (Twisted-Pair-Kabel) UTP-5 (Twisted-Pair-Kabel) Ω MHz Datenübertragung

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 6.3 Reexion Änderung des Wellenwiderstands Änderungen des Wellenwiderstands treten auf beim Übergang zwischen unterschiedlichen Leitungen, an Anschlussstellen von Signalquellen und Empfängern, an Knicken und anderen geometrischen Änderungen. Bei einer Änderung des Wellenwiderstands teilen sich die ankommende Strom- und Spannungswelle in eine weiterlaufende und eine reektierte Strom- und Spannungswelle. I i I R.i K I W.i U i U R.i M U W.i W x Auch am Änderungspunkt des Wellenwiderstands gelten Maschen- und Knotensatz: Maschengleichung: U i + U R.i = U W.i (U i, U W.i, U R.i ankommende, weiterlaufende und reektierte Spannungswelle). Knotengleichung: I i = I W.i + I R.i (I i, I W.i, I R.i ankommende, weiterlaufende und reektierte Stromwelle). Lösen des Gleichungssystems I i I R.i K I W.i In der Knotengleichung Ströme durch Quotient aus Spannung und Widerstand ersetzen: U i U R.i M x U W.i W I i = I W.i + I R.i usammen mit der Maschengleichung: U i = U W.i W + U R.i U i + U R.i = U W.i 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Umformung in eine Gleichung für die weiterlaufende Welle: U W.i = ( + r) U i mit r = W W + (r Reexionsfaktor) und eine für die reektierte Welle: U R.i = r U i Bei Wellenlängen im entimeterbereich sind bereits Leitungen auf Leiterplatten elektrisch lang.

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 7 I i I R.i K I W.i U i U R.i M U W.i W x Wegen der geänderten ählrichtung ist für die weiterlaufende Stromwelle die rücklaufende von der ankommenden Stromwelle abzuziehen: I W.i = ( r) I i I R.i = r I i Beispiel wei unterschiedliche Koaxkabel werden miteinander verbunden: * RG58: Datenkabel = 5 Ω * RG59: Fernsehkabel = 75 Ω Wie groÿ ist der Reexionsfaktor? Für eine Welle, die im 5 Ω-Kabel ankommt ( W = 75 Ω und = 5 Ω): 75 Ω 5 Ω r = 75 Ω + 5 Ω =,2 Für eine Welle, die über das 75 Ω-Kabel zurückkommt ( W = 5 Ω und = 75 Ω): r = 5 Ω 75 Ω 75 Ω + 5 Ω =,2 Spannungswelle 2% 2% % Stromwelle % 8% 2% = 5 Ω = 75 Ω Spannungswelle 8% % -2% Stromwelle -2% 2% % Ankopplung eines Senders an eine Leitung Modell Ersatzschaltung I R I H I RQ U RQ IRQ K U R Q U H R I I H R H U RQ R Q U Q U Q M H U R = U H Eingespeiste Spannungswellen: U H = U R = H R Q + ( H ) U Q Eingespeiste Stromwellen: I H = U H H ; I R = U R

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 8 Ankopplung eines Empfängers an eine Leitung I i I R.i K I W.i U i U R.i M RA I RA U RA M2 U W.i W K : I i = I W.i + I R.i + I RA M : U R.i + U i = U RA M2 : U RA = U W.i U RA = U W.i = ( + r) U i U R.i = r U i mit dem geänderten Reexionsfaktor... (siehe nächste Folie) r = ( W R A ) ( W R A ) + (3) I i I R.i K I W.i U i U R.i M RA I RA U RA M2 U W.i W Der Reexionsfaktor am Ankopplungspunkt für einen Empfänger ist gleich dem Reexionsfaktor am Übergang zwischen zwei Leitungen, wenn der Wellenwiderstand für die weiterführende Leitung durch die Parallelschaltung aus dem Eingangswiderstand des Empfängers und dem Wellenwiderstand der weiterführenden Leitung ersetzt wird. Die reektierte Welle am Sender Nach dem Überlagerungssatz können die Wellen, die von der Signalquelle des Senders ausgestrahlt werden, und die Wellen, die eine ankommende Welle verursacht, unabhängig voneinander betrachtet und anschlieÿend addiert werden. Ein Sender verursacht für eine ankommende Welle dieselben Reexionen wie ein Empfänger, dessen Eingangswiderstand gleich dem Innenwiderstand des Senders ist..4 Sprungantwort Die Sprungantwort verzerrungsfreier Leitungen Die Sprungantwort ist die Systemreaktion auf den Einheitssprung { t < σ (t) = t multipliziert mit einer Spannung oder einem Strom am Systemeingang, hier als Sendesignal. Die bisher behandelten Leitungen waren linear. Bei der Übertragung von Impulsfolgen lässt sich das empfangene Signal aus der Sprungantwort konstruieren. Eine verzerrungsfreie Leitung ist eine reellwertige Leitung, deren Verzögerung, Dämpfung und Wellenwiderstand für alle Frequenzen gleich sind. Gilt insbesondere für reellwertige Leitungen ohne nennenswerte Dämpfung. Ein Sprung bewegt sich auf einer verzerrungsfreien Leitung mit derselben Geschwindigkeit wie jeder seiner Spektralanteile und wird genauso reektiert.

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 9 Punkt-zu-Punkt-Verbindung R Q u Q = U σ(t) u e ; t Ltg R A u a l x Eingespeiste Welle am Leitungsanfang: Reexion am Leitungsende: Reexion am Leitungsanfang:... Beispiel u H = u R = r E u H (t t Ltg ) = r E + R Q U σ (t) + R Q U σ (t t Ltg ) u Q = U σ(t) R Q u e u a Beispielwerte ; t Ltg R A U = 3 V R Q = 75 Ω = 5 Ω l x t Ltg = 2 ns R A = 5 Ω Eingespeiste Welle: 5 Ω u H = 3 V σ (t) =,2 V σ (t) 5 Ω + 75 Ω Reexionsfaktor am Leitungsende: Reexionsfaktor am Leitungsanfang: r E = R A R A + = 5 Ω 5 Ω 5 Ω + 5 Ω = 2 r A = R Q 75 Ω 5 Ω = + R Q 5 Ω + 75 Ω = 5 Welle Startzeit Richtung Amplitude t u e (t) u a (t) H,2 V,2 V R 2 ns 6 mv ns,2 V,8 V H 4 ns 2 mv 2 ns,92 V,8 V R2 6 ns 6 mv 3 ns,92 V,98 V H2 8 ns 2 mv 4 ns,99 V,98 V R3 ns 6 mv 5 ns 2, V,99 V

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) x l l 2 V,8 V,99 V,2 V,92 V 2 V 2 4 6 t in ns u a u ( ) l 2 u e 2 V 2 V 2 V 2 4 6 t in ns Stationärer ustand u Q = U σ(t) R Q u e u a Beispielwerte ; t Ltg R A U = 3 V R Q = 75 Ω = 5 Ω l x t Ltg = 2 ns R A = 5 Ω Stationär sind Hin- und Rückverbindung Knoten. Die Widerstände R Q und R A bilden einen Spannungsteiler: u a (t t Ltg ) = R A R Q + R A U = 5 Ω 5 Ω + 75 Ω 3 V = 2 V Bei einer Punkt-zu-Punkt-Verbindung lassen sich störende Reexionen auf zwei Arten unterbinden: Quellwiderstand R Q = oder Eingangswiderstand des Empfängers R A = Leitungen mit mehreren Sendern und Empfängern Beim Anschluss von Sendern an Leitungszwischenpunkte gilt für den Reexionsfaktor ankommender Wellen Gl. 3 mit W = = : r = ( R Q) ( R Q ) + Die Unterbindung von Reexionen verlangt an den Leitungsenden Abschlusswiderstände mit R A =. Die Eingangs- bzw. Ausgangswiderstände der Empfänger und Sender an Leitungszwischenpunkten müssen hochohmig sein R Q/E (Sender als Stromquellen): R A = R E rücklaufende Welle R Q u Q hinlaufende Welle R A =

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) Impulsfahrplan bei Signaleinspeisung in der Mitte: R A = R E rücklaufende Welle R Q u Q hinlaufende Welle R A = l r Ausbreitung von Rechtecksignalen x x l x h ( u(l h, t) = u E t l hv ) l h l r t u(, t) = u Q u( l r, t) = u E ( t l rv ) Ältere Rechnernetze mit Koax-Kabeln (Datenrate bis MBit/s) waren elektrisch so aufgebaut, heute ersetzt durch Punkt-zu-Punkt-Verbindungen und Switches. Heute ndet man diese Struktur noch bei Feldbussen, z.b. dem CAN-Bus. Funktioniert nur mit Abschlusswiderständen. PCI-Bus Beim PCI-Bus haben die Adress-, Daten- und Steuerleitungen (auÿer dem Takt) keine Abschlusswiderstände. Aktive Signalquelle R Q. Empfänger und inaktive Signalquellen R E. R E rücklaufende R Q = Welle u Q = U σ(t) hinlaufende Welle l r x l r 2 r x h 3 3 r = r r r 2 3 3 r = An den Leitungsenden beträgt der Reexionsfaktor und am Einspeispunkt für die reektierte Welle,33. Übertragung eines Rechtecksignals: u Q l h x l r t u(l h, t) u(+dx, t) u( dx, t) u( l r, t) t

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 2 Bei Übertragung eines Sprungs kommen am Empfänger an: das erste Drittel auf direktem Wege, das zweite Drittel als Reexion von dem Ende auf derselben Seite des Senders und 4/9 mit der Reexion vom anderen Leitungsende. (/3 reektiert das Leitungsende und davon kommen nur 2/3 am Sender vorbei.) x l h l r t u Q u a Der Sender muss nach jedem Signalwechsel warten, bis beide Reexionen wieder vorbei gekommen sind, d.h. Ausbreitungsgeschwindigkeit mal doppelte Länge der Busleitung. Die Längenbegrenzung der Busleitung begrenzt die maximale Anzahl von PCI-Slots, die eine Rechner haben kann. Der 66MHz-PCI-Bus ist nur halb so lang und hat nur halb so viele Slots wie der 33MHz- PCI-Bus. Neuere Bussysteme bevorzugen auch hier die schaltungstechnisch aufwändigere, aber wesentlich schnellere und elektrisch einfachere Punkt-zu-Punkt-Struktur..5 Messen von Leitungsparametern Messaufbau Messleitung M = 5 Ω Testleitung T, t TLtg Abschlusswiderstand R A R Q = M u Q = U σ(t) R E U U /2 Oszillogramm Signalgenerator Oszilloskop 2 t TLtg Der Generator speist 5% des Sprungs in die Messleitung. Die Höhe des ersten Sprungs auf dem Oszi ist +r 2 U. Die Reexion am Leitungsende verursacht nach der doppelten Leitungslaufzeit einen zweiten Sprung 2. ur Bestimmung von den Abschlusswiderstand R A so einstellen, dass keine Reexionen auftreten und messen. 2 Die Sprungwelle läuft dann weiter mit abnehmender Amplitude zwischen Oszi und R A hin und her und erzeugt weitere kleine Sprünge auf dem Oszi-Bild. Die Leitungslaufzeit ist die Hälfte zwischen den Sprüngen.

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 3.6 Aufgaben Elektrisch lang? Auf einer Leitung der Länge l = m mit einer Ausbreitungsgeschwindigkeit von v = cm ns ein Kosinussignal mit einer Frequenz von f = MHz übertragen. Wie groÿ ist die Wellenlänge? Muss die Leitung als elektrisch lang modelliert werden? wird Reexionsfaktor Wie groÿ ist der Reexionsfaktor, wenn das Ende eines 5Ω-Kabels oen gelassen (R A ) oder kurzgeschlossen wird (R A = )? Wie groÿ ist in beiden Fällen die reektierte Spannungswellen im Verhältnis zur ankommenden Spannungswelle? Sprungantwort A B C u Q = R { Q t < U t u A t Ltg u B 2 t Ltg2 R R 2 u C U = 4 V R Q = 3 Ω = Ω 2 = 5 Ω t Ltg = 2 ns t Ltg2 = ns R = Ω R 2 = 33,3 Ω An welchen der Punkte A bis C treten Reexionen auf und in welchen Richtungen? Was für Wellen löst der Sprung in den ersten 8 ns aus? Startort, Startzeitpunkt, Ausbreitungsrichtung und Amplitude. Spannungsverlauf an den Punkten A bis D. Spannungen im stationären ustand nach dem Sprung. Messen von Leitungsparametern A B C D E u Q = U σ(t) R Q t Ltg 2 u e R u B R 2 u C 3 R 3 u D t Ltg2 t Ltg3 t Ltg4 4 R 4 gegeben: U = 2 V; R Q = 2 Ω Ort E D C B A 2 V 4 V 8 V 3,2 5 7,3,7 t in ns 6 V

Prof. G. Kemnitz, TU Clausthal: Elektronik I (EH9.pdf) 4 Bestimmen Sie die Wellenwiderstände und Laufzeiten aller Leitungssegmente. Bestimmen Sie die Widerstände R bis R 4.