Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration Vorüberlegung: Die Multipliation mit einer orthonormalen Matrix Q heißt Ähnlicheitstransformation. Die Eigenwerte einer Matrix A bleiben unter einer Ähnlicheitstransformation erhalten: Sei λ ein Eigenwert der Matrix A, dann folgt Ax = λx Q T AQQ T x = λq T x. Außerdem bleibt bei der Multipliation mit einer orthonormalen Matrix die Kondition erhalten, so dass eine numerischen Stabilitätsprobleme auftreten. Idee der QR-Iteration: Durch eine Multipliation mit einer orthonormalen Matrix ann die Matrix A auf eine Form gebracht werden, für welche die Berechnung der Eigenwerte leichter ist. Dies ist zum Beispiel bei einer oberen Dreiecsmatrix der Fall. Kapitel II.4 (linalg63) 1
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration: Algorithmus Algorithmus: QR-Iteration Voraussetzung: Die Matrix A besitzt nur reelle Eigenwerte. for = 0,1,...do A := Q R A +1 := R Q end for ( QR-Zerlegung) (lima +1 = obere Dreiecsmatrix) Satz: Die mit dem Algorithmus erzeugten Matrizen A +1 sind ähnlich zu A. Kapitel II.4 (linalg64) 2
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration - A symmetrisch 20 Diagonaleinträge von A () Betrag des größten Eintrages der unteren Dreiecsmatrix von A () 10 2 0 20 10 2 40 0 5 10 Step 10 4 0 5 10 15 20 Step Kapitel II.4 (linalg69) 3
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration - Beispiel: Berechnung aller EW, A symmetrisch = 0,1,... A () = Q () R () QR-Zerlegung A (+1) = R () Q () A (0) = Matrixmultipliation 7 13 16 13 10 13 16 13 7 24.4705 14.0115 11.2872 A (1) = 14.0115 4.5667 3.2256 11.2872 3.2256 9.9038 29.6119 10.9418 2.2539 A (2) = 10.9418 14.8061 2.9340 2.2539 2.9340 4.8058 32.1354 2.1182 0.0046 A (5) = 2.1182 18.1158 0.0384 0.0046 0.0384 4.0195 32.2242 0.1221 0.0000 A (10) = 0.1221 18.2048 0.0000 0.0000 0.0000 4.0194 32.2245 0.0004 0.0000 A (20) = 0.0004 18.2051 0.0000 0.0000 0.0000 4.0194 Kapitel II.4 (linalg70) 4
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration - A unsymmetrisch 14 12 10 8 6 4 Diagonaleinträge von A () Betrag des größten Eintrages der unteren Dreiecsmatrix von A () 2 0 0 2 4 6 8 10 Step 10 5 0 5 10 15 20 Step Kapitel II.4 (linalg52) 5
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration - Beispiel: Berechnung aller EW, A unsymmetrisch = 0,1,... A () = Q () R () QR-Zerlegung A (+1) = R () Q () A (0) = Matrixmultipliation 261 209 49 530 422 98 800 631 144 13.061 9.108 1281.2 A (1) = 0.039 3.935 2.934 0.024 0.017 0.005 10.719 9.005 1281.2 A (2) = 0.013 3.962 0.845 0.004 0.000 2.319 10.207 10.073 1281.2 A (3) = 0.006 3.975 2.423 0.001 0.002 2.818 10.012 12.106 1281.2 A (5) = 0.001 3.989 3.489 0.000 0.002 2.991 10.000 14.393 1281.1 A (10) = 0.000 3.998 3.739 0.000 0.000 3.002 Kapitel II.4 (linalg52b) 6
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration: Hessenberg-Matrix Aufwand der QR-Iteration: Bei vollbesetzten Matrizen beträgt der Aufwand der QR-Iteration pro Schritt O(n 3 ). Idee: Überführe A durch Ähnlicheitstransformationen in eine obere Hessenberg-Matrix H mit H =..........., 0 also ist H ij = 0 für i > j +1. Dann beträgt der Aufwand der QR-Iteration pro Schritt nur noch O(n 2 ). Für symmetrische Matrizen beträgt der Aufwand pro Schritt sogar nur noch O(n). Kapitel II.4 (linalg66) 7
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration: Konvergenz Problem: Langsame Konvergenz der QR-Iteration im Fall betragsmäßig nahe beieinander liegender Eigenwerte. Ausweg: Einfache Shift-Strategie zusammen mit Deflation. Bemerung: Wenn A omplexe Eigenwerte hat, so ist eine doppelte Shift-Strategie notwendig. Kapitel II.4 (linalg65) 8
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration: Algorithmus mit Shift und Deflation function QR(A) %input: A R n n in Hessenbergform, T 0 := A, l := 0, C, l max %output: Eigenwerte von A while{ T l (n,n 1) > Ceps ( T l (n,n) + T l (n 1,n 1) ),l l max } % noch eine Deflation, µ (l) := T l (n,n) T l µ (l) Id =: Q l+1 R l+1 T l+1 := R l+1 Q l+1 +µ (l) Id return(t l (n,n)) QR(T l [1 : n 1],[1 : n 1])) Kapitel II.4 (linalg76) 9
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration ohne Shift, A symmetrisch 10 2 Subdiagonaleinträge A = 2 4 0 0 0 4 4 3 0 0 0 3 6 2 0 0 0 2 8 1 0 0 0 1 10 Durch Anwendung des QR-Algorithmus erhält man lineare Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null. 10 2 10 4 a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5,4 10 6 0 5 10 15 20 10 5 10 5 Konvergenz im EW 10 10 10 15 10.74 9.59 7.40 3.91 1.64 0 5 10 15 20 Step Kapitel II.4 (linalg71) 10
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration mit Shift und Deflation, A symmetrisch Subdiagonaleinträge A = 2 4 0 0 0 4 4 3 0 0 0 3 6 2 0 0 0 2 8 1 0 0 0 1 10 Durch Anwendung des QR-Algorithmus mit Shift und Deflation erhält man ubische Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null. 10 10 10 20 10 5 a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5,4 2 4 6 8 10 12 Konvergenz der EW 10 10 10.74 9.59 7.40 3.91 1.64 10 15 0 2 4 6 Step 8 10 12 Kapitel II.4 (linalg74) 11
Lehrstuhl für Numerische Mathemati A = QR-Iteration ohne Shift, A unsymmetrisch 2 3 4 5 6 4 4 5 6 7 0 3 6 7 8 0 0 2 8 9 0 0 0 1 10 10 5 10 5 10 10 Subdiagonaleinträge a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5,4 Durch Anwendung des QR-Algorithmus erhält man lineare Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null. Dahmen/Reusen: Numeri für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2.orrigierte Auflage, Springer, Berlin 2008, Seite 257ff. 10 15 0 5 10 15 20 10 5 10 5 Konvergenz der EW 14.15 10 10 9.53 5.16 1.50 0.34 10 15 0 5 10 Step 15 20 Kapitel II.4 (linalg73) 12
Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration mit Shift µ und Deflation, A unsymmetrisch A = 2 3 4 5 6 4 4 5 6 7 0 3 6 7 8 0 0 2 8 9 0 0 0 1 10 Durch Anwendung des QR-Algorithmus mit Shift und Deflation erhält man quadratische Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null. Dahmen/Reusen: Numeri für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2.orrigierte Auflage, Springer, Berlin 2008, Seite 257ff. 10 10 10 20 10 5 10 5 10 10 Subdiagonaleinträge a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5,4 5 10 15 Konvergenz der EW 14.15 9.53 5.16 1.50 0.34 10 15 0 5 10 15 20 Step Kapitel II.4 (linalg75) 13