Ruinwahrscheinlichkeiten im Glücksspiel

Ruinwahrscheinlichkeiten im Glücksspiel Wilhelm Stannat Fachbereich Mathematik TU Darmstadt February 24, 2007

Stochastik = Wahrscheinlichkeitstheorie + Statistik Wahrscheinlichkeitstheorie = Mathematische Theorie des Zufalls Statistik = Beschreibung und Auswertung von Daten Begründet wurde die Stochastik durch das Interesse an Glücksspielen von Blaise Pascal (1623/1662)

Das klassische Ruinproblem Stellen Sie sich folgende Situation vor Sie benötigen sofort 80 - haben aber nur 10 zur Verfügung Um zu 80 zu kommen, beschließen Sie, eine Spielbank aufzusuchen, und Ihr Glück am Roulettetisch zu versuchen

Am Roulettetisch verfolgen Sie folgende Strategie: Sie setzen stets 1 auf Rot und beenden das Spiel sobald 80 zusammengekommen sind Frage Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alles zu verlieren ohne überhaupt die 80 zusammenzubekommen? Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnet man als Ruinwahrscheinlichkeit

Das Ruinproblem in der Schadensversicherungsmathematik a = Prämieneinnahmen pro Jahr S n = Schadenssumme im Jahr n i = Anfangskapital Z n (i) = i + n a n k=1 S k = Risikoreserveprozess zugehörige Ruinwahrscheinlichkeit P [ Z n (i) 0 für ein n 1 ]

Die mathematische Beschreibung des Ruinproblems Wahrscheinlichkeit für Verdoppelung des Einsatzes von 1 Anzahl der roten Felder = = 0.4864865 < 0.5 37 Anzahl aller Felder Bezogen auf Ihr Gesamtkapital bedeutet das 11 37 10 19 37 9

Nach dem zweiten Spiel 12 37 11 37 10 19 37 10 19 37 9 37 19 37 8

Vier Spielverläufe

Der Spielgewinn als zufällige Irrfahrt 19 37 37 0 9 10 11 80 Kapital Im folgenden R(i) = P ( Spieler geht mit Anfangskapital i bankrott) = Ruinwahrscheinlichkeit bei Anfangskapital i Offensichtlich R(0) = 1 R(80) = 0

Was gilt für i zwischen 1 und 79? i+1 37 i 19 37 i-1 { Bankrott mit Anfangskapital i } = { Spieler gewinnt 1. Spiel und Bankrott mit i+1 } { Spieler verliert 1. Spiel und Bankrott mit i-1 }

Also R(i) = P ( Bankrott mit Anfangskapital i ) = P ( Spieler gewinnt 1. Spiel und Bankrott mit i+1 ) + P ( Spieler verliert 1. Spiel und Bankrott mit i-1 ) = P ( Spieler gewinnt 1. Spiel ) P ( Bankrott mit i+1 ) + P ( Spieler verliert 1. Spiel ) P ( Bankrott mit i-1 ) = 19 R(i + 1) + R(i 1) 37 37 Zum Beispiel R(1) = 37 R(2) + 19 37 19 R(0) = R(2) + 37 37

Zusammengefasst erhalten wir ein Gleichungssystem R(0) = 1 und R(80) = 0 ( Randbedingungen ) R(i) = 19 R(i + 1) + R(i 1) für i = 1,..., 79 (1) 37 37

Lösung des Gleichungssystems Es gilt also (1) äquivalent zu R(i) = 19 R(i) + 37 37 R(i) 19 (R(i) R(i + 1)) = (R(i 1) R(i)) 38 38 R(i) R(i + 1) = 19 (R(i 1) R(i))

Insbesondere i = 1 R(1) R(2) = 19 (R(0) R(1)) i = 2 R(2) R(3) = 19 (R(1) R(2)) = ( 19 ) 2 (R(0) R(1))... i = 79 R(79) R(80) = ( 19 ) 79 (R(0) R(1)) Andererseits R(0) R(80) = } {{ } =1 79 i=0 79 R(i) R(i + 1) = ) 80 = 1 ( 19 1 19 (1 R(1)) i=0 ( ) 19 i (R(0) R(1))

Auflösen nach R(1) ergibt R(1) = 1 1 19 1 ( ) 19 80 = 19 ( 19 1 ( 19 ) 80 ) 80 Für R(2) folgt R(2) = R(2) R(1) + R(1) ) 80 = 19 19 1 19 1 ( ) 19 80 + ( 19 1 ( ) 19 80 = } {{ } } {{ } =R(2) R(1) =R(1) ( 19 ) 2 ( 19 1 ( 19 ) 80 ) 80

Allgemeine Formel R(i) = ( 19 ) i ( 19 ) 80 1 ( ) 19 80 für i = 0, 1,..., 80 Funktionsgraph von R(i) Insbesondere ist R(10) = 0.9903858 Erfolgswahrscheinlichkeit dieser Strategie 1 R(10) = 0.0096142 Zum Vergleich Erfolgswahrscheinlichkeit bei Setzen von 2 auf eine Zahl 1 37 = 0.02702703

Allgemeine Formel für die Ruinwahrscheinlichkeit p = Erfolgswahrscheinlichkeit pro Spiel (vorhin p = 37 ) K = der zu erzielende Betrag (vorhin K = 80) Dann gilt für die Ruinwahrscheinlichkeit R(i) bei Anfangskapital i R(i) = ( 1 p p 1 ) i ( 1 p ( 1 p p p ) K ) K für i = 0,..., K (2) Für faire Spiele (p = 0.5) gilt R(i) = 1 i K für i = 0,..., K (3)

Im Beispiel der Schadensversicherung a = 1 Mio { 2 Mio mit W.keit 1 p S n = 0 Mio mit W.keit p zugehörige Ruinwahrscheinlichkeit R(i) = ( 1 p p ) i ( ) K 1 p p 1 für p < 0.5 ) K K ( ) i 1 p 1 p für p > 0.5 ( 1 p p Fazit Nur für a E [ S n ] > 0 gibt es eine positive W.keit, dass die Versicherung nicht bankrott geht

Variante - Höhere Einsätze Wie ändert sich die Ruinwahrscheinlichkeit bei Verdoppelung des Einsatzes auf 2? Tausche 10 in 5 Jetons zu je 2 i bezeichne nun die Anzahl der Jetons i Jetons i+1 Jetons 37 19 37 i-1 Jetons Das Ziel ist erreicht, wenn 40 Jetons gewonnen sind

In der Formel für die Ruinwahrscheinlichkeit ist also lediglich K = 40 zu setzen R = ( 19 ) 5 ( 19 ) 40 1 ( ) 19 40 = 0.9596588 Durch die Verdoppelung des Spieleinsatzes hat sich die Ruinwahrscheinlichkeit verringert zugehörige Erfolgswahrscheinlichkeit 0.0403412

Bei Einsatz von 10 pro Spiel ergibt sich R = 19 ) 8 ( 19 1 ( ) 19 8 = 0.8973406 Erneut verringert sich die Ruinwahrscheinlichkeit zugehörige Erfolgswahrscheinlichkeit 0.1026594

Vier Spielverläufe - Einsatz 10

Die Ruinwahrscheinlichkeit abhängig vom Kapitaleinsatz Erklärung Bei unfairem Spiel, dh Gewinnwahrscheinlichkeit p < 0.5 ist es günstiger, die Anzahl der benötigten Spiele möglichst gering zu halten Begründung Nach dem Gesetz der Großen Zahlen wird der Spieler auf Dauer mehr Spiele verlieren als gewinnen

Minimale Ruinwahrscheinlichkeit Fragen Ist es möglich, die Ruinwahrscheinlichkeit durch immer ausgeklügeltere Strategien beliebig zu drücken? Gibt es eine untere Schranke und wenn ja, wie sieht eine zugehörige optimale Strategie aus?

Untere Schranke für die Ruinwahrscheinlichkeit Faire Spiele (p = 0.5) Für die Ruinwahrscheinlichkeit R(i) bei Anfangskapital i gilt R(i) = 1 i K Also bei konstanten Einsätzen 1 (i = 10, K = 80) R = 1 10 80 = 0.875 2 (i = 5, K= 40) R = 1 5 40 = 0.875 10 (i = 1, K = 8) R = 1 1 8 = 0.875

p = 37 (rot) p = 1 2 (blau) p = 19 37 (grün) Sogar bei Verwendung beliebiger Strategien R(i) = 1 i K Fazit Bei fairen Spielen ist jede Strategie gleich gut/gleich schlecht

Unfaire Spiele (p < 0.5) Mit sinkender Erfolgswahrscheinlichkeit p wächst R(i), also R(i) 1 i K Im Beispiel also R(10) 1 10 80 = 0.875

Optimale Strategie - Alles oder Nichts Setze bei jedem Spiel stets das gesamte Kapital 80 40 37 20 37 19 37 0 37 10 19 37 0 19 37 0 Bei dieser Strategie beträgt die Ruinwahrscheinlichkeit also R(10) = 19 37 + ( ) 19 2 ( ) 37 37 + 19 3 37 37 = 1 = 0.8848637 37 zugehörige Erfolgswahrscheinlichkeit 0.1151363

Optimale Strategien - beliebiges Anfangskapital die optimale Strategie verwendet bei jedem Spiel dieselbe Funktion zur Ermittlung des Spieleinsatzes e(i) = { i K i für i K 2 für i > K 2 optimal da Anzahl der benötigten Spiele zur Erreichung des Spielzieles minimal

Ruinwahrscheinlichkeiten - optimale Strategie p = 37 (rot) p = 0.5 (blau)

Klassisches Ruinproblem Math. Beschreibung Lo sung Der ultimative Ratgeber Optimale Strategien

Moderne Anwendungen der Stochastik in den Naturwissenschaften, der Medizin und Pharmazie statistische Auswertung von Versuchsergebnissen, medizinische Tests statistische Verfahren in der Physik (Atomphysik), der physikalischen Chemie (kinetische Gastheorie) in den Wirtschaftswissenschaften in der Finanzmathematik (Modellierung & Preisbestimmung von Optionen u.a. Derivaten,...) in der Unternehmensforschung (Operations Research) (Qualitätskontrollen, Zuverlässigkeitstheorie, Spieltheorie, Optimierung,...) Auswertung statistischer Erhebungen (Umfragen, Marktbefragungen,...) in den Ingenieurwissenschaften Signalverarbeitung (Bild-, Sprach- und Mustererkennung) Steuer- und Regelungstechnik