1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen 23 1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen Im folgenden sei (G, +) stets eine endlich erzeugte kommutative Gruppe. G ist direkte Summe der Untergruppen H 1,...,H r, wenn sich jedes x G eindeutig in der Form x = h 1 +...+ h r mit h i H i für i =1,...,r darstellen lässt. Man schreibt dann G = H 1... H r. Notiz 1.8.1 Es gilt G = H 1... H r genau dann, wenn H 1,...,H r Untergruppen von G sind, so dass gilt 1. G = H 1... H r 2. H 1... H i H i+1 = {0} für i =1,...,r 1. Eine endlich erzeugte kommutative Gruppe G heißt frei, wenn G = Z r ist. Die Zahl r ist dann eindeutig bestimmt und heißt der Rang von G ; das wird aus Satz 1.8.3 folgen. Lemma 1.8.2 Es sei ϕ : G Z r ein surjektiver Homomorphismus von Gruppen und weiterhin sei G := Ker(ϕ). Dann existiert eine Untergruppe G von G,so dass G = G G gilt und ϕ G : G Z r ein Isomorphismus ist. Beweis. Seien e 1,...,e r die Einheitsvektoren von Z r.da ϕ surjektiv ist, gibt es Elemente x 1,...,x r G mit ϕ(x i )=e i für i =1,...,r. Setze nun G := x 1,...,x r. Dann ist ϕ : G Z r mit ϕ(g) = 0, so folgt offenbar surjektiv und auch injektiv. Ist r n ix i =: g G 0=ϕ(g) = n i ϕ(x i )= n i e i. also folgt n 1 =... = n r = 0 und damit g = 0. Somit ist ϕ G ein Isomorphismus. Insbesondere ist G G = {0}. Ist g G,sohat ϕ(g) die Form ϕ(g) = r n ie i. Setzt man g := r n ix i,soist ϕ(g) =ϕ(g ) und damit ist g := g g in Ker(ϕ) =G enthalten, also ist G = G G und somit G = G G. Satz 1.8.3 Es sei G eine endlich erzeugte freie kommutative Gruppe mit r freien Erzeugern. Ist G <G eine Untergruppe, so ist G auch frei mit r freien Erzeugern und es gilt r r. Beweis. Ohne Einschränkung ist G = Z r mit der kanonischen Basis e 1,...,e r. Wir machen nun Induktion nach r. Der Induktionsanfang r = 1 gilt nach Satz 1.7.3. Sei also nun r 2 und G <G= Z r. Dann betrachte den Gruppenhomomorphismus ( ) ϕ : G Z, ϕ n i e i = n 1.
24 1. Elementare Gruppentheorie Setze dann G 1 := Ker(ϕ G ) Ze 2 Ze r. Nach Induktionsvoraussetzung ist G 1 frei vom Rang (r 1). Weiterhin ist ϕ(g )=Zm <Z nach Induktionsanfang. Mit dem Lemma 1.8.2 folgt dann G = G 1 ϕ(g ). Also ist G frei vom Rang r. Definition 1.8.4 Für eine kommutative Gruppe G bezeichnet T (G) :={g G ; es gibt n 1 mit ng =0} die Torsionsuntergruppe von G. Man nennt G torsionsfrei, wenn T (G) ={0} gilt. Man bezeichnet mit Ann Z (G) :={n Z ; n g =0 für alle g G } den Annullator von G. Ist x G ein Element, so heißt der Annullator von x. Ann Z (x) :=Ann Z (<x>) Satz 1.8.5 Es sei G eine endlich erzeugte kommutative Gruppe. Ist G torsionsfrei, so ist G frei. Beweis. Sei S ein endliches Erzeugendensystem von G.Essei {x 1,...,x r } eine maximal linear unabhängige Teilmenge von S ; d.h. 1. Ist n 1 x 1 +...+ n r x r = 0, so folgt n 1 =...= n r =0. 2. Für jedes s S ist (s, x 1,...,x r ) linear abhängig. Somit gibt es zu jedem s S eine nichttriviale Kombination Wegen 1. ist m(s) 0. Insbesondere gilt m(s) s + m 1 (s)x 1 +...+ m r (s)x r =0. m(s) s F := x 1,...,x r = Z r. Weil S endlich ist, ist m := s S m(s) Z wohldefiniert und m 0. Insbesondere ist m s F für alle s S und somit auch m g F für alle g G. Nach Satz 1.8.3 ist m G F als Untergruppe der freien Gruppe F auch frei. Wegen T (G) =0 ist die Abbildung ϑ m : G mg, g mg, ein Isomorphismus, also ist G frei.
1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen 25 Satz 1.8.6 Es sei G eine endlich erzeugte, freie, kommutative Gruppe und G <G eine Untergruppe. So existieren eine Basis x 1,...,x r von G und natürliche Zahlen m 1,...,m r N mit folgenden Eigenschaften 1. G = Zx 1... Zx r 2. G = Zm 1 x 1... Zm r x r 3. m 1 m 2,...,m r 1 m r Beweis. Nach Satz 1.8.3 gibt es ein Erzeugendensystem y 1,...,y r von G, so dass y 1,...,y r eine Basis von G und y r +1 =0,...,y r = 0 gilt. Dann hat man ganzzahlige Relationen y j = a ij x i, wobei x 1,...,x r eine Basis von G ist. Sei δ : Z {0} N, a δ(a) := a, die Betragsabbildung. Ohne Einschränkung sei A := (a ij ) M(n, Z) ungleich Null. Dann betrachte δ(a) := Min{δ(a ij ) ; a ij 0}. Ebenso betrachten wir für S, T GL(r, Z) die Matrix B := SAT und dazu die Zahl δ(sat). Dann existieren S, T, so dass δ(sat) das absolute Minimum für alle transformierten Matrizen B := SAT ist. Ohne Einschränkung gilt δ(b 11 )=δ(b). Dann teilt b 11 alle übrigen Einträge b ij von B, wie man mittels elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen und Division mit Rest sieht. Ebenso kann man dann annehmen, dass b ij = 0 für alle (i, j) = (1,j) oder (i, j) = (i, 1) gilt. Nun kann induktiv die Untermatrix B := (b ij ), die aus B durch streichen der ersten Zeile und Spalte entsteht, gebildet werden. Insgesamt erreicht man so, dass es also S, T GL(n, Z) gibt, so dass B = SAT Diagonalmatrix mit Einträgen m 1 m 2,...,m r 1 m r teilen. Über folgende Setzungen y j = t lj y l und x k = s ik x i, l=1 wobei T =(t lj ) und S =(s ik ) die obigen Matrizen sind, erhält man eine Basis (x 1,...,x r) von G und ein Erzeugendensystem (y 1,...,y r) von G. Weiterhin gilt y j = t lj y l = t lj a kl x k = = l=1 l=1 k=1 m i δ ij x i. l=1 k=1 s ik a kl t lj x i
26 1. Elementare Gruppentheorie Die Systeme x =(x 1,...,x r) und y =(y 1,...,y r) erfüllen also die Behauptungen. Korollar 1.8.7 Es sei T eine endlich erzeugte kommutative Torsionsgruppe; d.h. zu jedem x T gibt es n N mit n 0 und nx =0, und es sei T 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen m 1,...,m r N mit m i 2 und 1. T = Z/Zm 1... Z/Zm r. 2. m 1 m 2,...,m r 1 m r Beweis. Sei (x 1,...,x r ) ein endliches Erzeugendensystem von T. Dann ist die Abbildung ( ) ϕ : Z r T, ϕ n i e i = n i x i. ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Nach Satz 1.8.6 gibt es eine Basis (f 1,...,f r ) von Z r und Zahlen m i N wie in 2., so dass Ker(ϕ) =Zm 1 f 1... Zm r f r gilt. Indem man eventuell alle m i mit m i = 1 weglässt, erhält man die Existenz der Darstellung wie gefordert. Die Zahlen m i sind ungleich 0, weil T eine Torsionsgruppe ist. Nun zur Eindeutigkeitsaussage: Fixiere einen Isomorphismus μ : T Z/Zm 1... Z/Zm r. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung müssen wir nur zeigen, dass für jede vorgegebene Primzahl p die Primzahlpotenz p αi, die in der Zahl m i exakt aufgeht, durch die Gruppe T bestimmt wird. Wegen m i m i+1 gilt 0=α 1 =...= α t <α t+1 α t+2... α r. Setze s := α r.für 1 σ s bezeichne C i (p σ ) Z/Zm i die eindeutig bestimmte Untergruppe der Ordnung p min{αi,σ} ; diese ist auch zyklisch, vgl. 1.7.7. Dann setze Dann gilt C(p σ ):=C 1 (p σ )... C r (p σ ) C(p σ+1 ). (1) card C(p σ )= r p min{αi,σ}. Für x T gilt p σ x = 0, wenn μ(x) C(p σ ). Daher gilt ord(x) =p σ μ(x) C(p σ ) C(p σ 1 ).
1.8 Endlich erzeugte kommutative Gruppen 27 Folglich gilt (2) card{x T ; ord(x) =p σ } = card C(p σ ) card C(p σ 1 ). Die Gleichungen (1) und (2) für σ =1,...,s bestimmen nun die Exponenten 1 α t+1... α r eindeutig. Für σ 1 ist log p (card C(p σ )) log p (card C(p σ 1 )) die Anzahl der i {1,...,r} mit α i σ. Theorem 1.8.8 (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen) Es sei G eine endlich erzeugte, kommutative Gruppe und T (G) ihre Torsionsuntergruppe. Dann gilt 1. G = T (G) G/T (G) 2. G/T (G) = Z r 3. T (G) = Z/Zm 1... Z/Zm s mit m i Z, m i 2 und m i m i+1 für i =1,...,s 1. Der Rang r und die Zahlen m 1,...,m s sind eindeutig durch G bestimmt. Beweis. Betrachte den kanonischen Epimorphismus ϱ : G G/T (G). Nach Satz 1.8.5 ist G/T (G) = Z r frei und nach Lemma 1.8.2 gibt es die Isomorphie G = T (G) G/T (G). Die Behauptung 3. folgt aus Korollar 1.8.7. Den Beweis der Eindeutigkeitsaussage kann man auch durch den Nachweis der folgenden Behauptungen herleiten, die dem Leser als Übungsaufgabe überlassen seien. 1. Es sei N 2 eine natürliche Zahl mit der Primfaktorzerlegung N = p r1 1...prn n. Die kanonische Abbildung Z/ZN Z/Zp r1 1... Z/Zprn n, x (x mod p r1 1,...,xmod prn n ), ist ein Isomorphismus von Gruppen. Mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen 2.6.7 folgt die Injektivität der Abbildung und dann die Surjektivität durch Vergleich der Kardinalitäten der beiden Mengen. 2. Sei G eine endliche, kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. Für eine Primzahl p nennt man G eine p -Gruppe, falls die Anzahl der Elemente von G eine Potenz von p ist. Für n N mit n 1 sei G(n) :={x G ;esgibteinr N mit n r x =0}.
28 1. Elementare Gruppentheorie (a) G(n) ist eine Untergruppe von G. (b) Für jedes x G(n) teilt ord(x) eine Potenz von n. (c) Sind n 1,n 2 Z und teilerfremd, so gilt G(n 1 ) G(n 2 )={0}. ( ) (d) Für jedes x G(n) gilt G/ x (n) = G(n)/ x. (e) Es gilt card G(n) n r für ein r 1. (f) Ist p eine Primzahl, so ist G(p) eine p -Gruppe. 3. Sei G eine endliche, kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. Es seien p eine Primzahl und r 1,...,r n natürliche Zahlen mit r n... r 2 r 1 1. Dann heißt G vom Typ (p r1,...,p rn ), wenn gilt G = Z/Zp r1... Z/Zp rn (a) Setzt man G[p α ]:={x G; p α x =0},soist G[p α ] eine Untergruppe und es gilt n card(g[p α ]) = p min{α,ri} (b) Der Typ einer endlichen kommutativen p -Gruppe ist eindeutig bestimmt. 4. Es sei G eine endliche, kommutative Gruppe. Nach Teil 3. ist G isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen G = Z/Zm 1... Z/Zm s, wobei m 1,...,m s natürliche Zahlen 1 sind, die sich sukzessiv teilen; also m 1 m 2,...,m s 1 m s gilt. (a) Hat G die Kardinalität N und hat N die Zerlegung N = p r1 1,...,prn n in Primzahlpotenzen, so gilt nach 1. und 2. G = G(p 1 )... G(p n ) (b) Die Zahlen (m 1,...,m s ) stehen zu den Gruppen G(p 1 ),...,G(p n ) in eineindeutiger Beziehung. (c) Die Zahlen m 1,...,m s sind eindeutig bestimmt. 1.9 Auflösbare Gruppen Im folgenden sei G stets eine Gruppe. Ist N G ein Normalteiler, so ist G/N auf kanonische Weise eine Gruppe und der kanonische Epimorphismus ϱ : G G/N ist ein Gruppenmorphismus; vgl. 1.5.5.