Einleitung Am 17. Februar 2013 meldet AFP dpa: Höchstleistungen Deutschland hat den schnellsten Supercomputer in Europa Europas schnellster Supercomputer Juqueen schafft nach Angaben des Forschungszentrums Jülich 5,9 Petaflops (Rechenschritte pro Sekunde). Die von IBM gebaute Anlage sei rund 100000 Mal schneller als ein moderner PC. Das neue System wird unter anderem von Jülicher Hirnforschern genutzt, um die Aktivität in Hirnstrukturen zu simulieren. (Quelle: Kernforschungszentrum Jülich) In Technik und Wissenschaft treffen wir immer entweder sehr große Zahlen oder aber sehr kleine Zahlen an. So finden wir z. B. in o.a. Artikel die Angabe 5,9 Petaflops. Was verbirgt sich nun hinter dieser Bezeichnung? Nun, Peta ist eine Abkürzung für die Zehnerpotenz 10. Die Bezeichnung 5,9 Petaflops entspricht also der Zahl 5,9 10 Flops (Flops steht für Rechenschritte pro Sekunde). Wollten wir dieser Zahl ausschreiben, so müssten wir die Zahl 5.900.000.000.000.000 schreiben, was ausgesprochen fünf Billiarden und 900 Billionen bedeutet. Wir können also Zahlen mit sehr vielen Nullen kürzer aufschreiben, indem wir uns den Zehnerpotenzen bedienen. Beispiel 1: Die Zahl 5000000000 soll als Zehnerpotenz geschrieben werden. Unsere Zahl hat ja neun Nullen. Diese Anzahl von Nullen wird dann zum Exponenten (zur Hochzahl) der Basis 10, also 10. Damit ist: 50000000005 10 Nun gibt es aber auch sehr kleine Zahlen wie z. B. die Zahl 0,000000005, die fünf Milliardstel auszusprechen wäre. Beispiel 2: Die Zahl 0,000000005 soll als Zehnerpotenz geschrieben werden. Diese Zahl hat insgesamt neun Nachkommastellen. Die Anzahl der Nachkommastellen wird zum Exponenten (zur Hochzahl) der Basis 10, allerdings mit negativem Vorzeichen, also 10. Damit ist: 0,000000005 5 10 Seite 1
Syntax, wissenschaftliche Schreibweise Die allgemeine Syntax einer Zehnerpotenz lautet: 10 ; ; (Hinweis: ist die Menge der reellen Zahlen, ist die Menge der natürlichen Zahlen, also aller negativen und positiven ganzen Zahlen einschließlich der Null) Steht 10 alleine, so ist 1 und ist gleichbedeutend mit 1 10. Für 0 gilt: 10 1 Für 0 gilt: Die Kommastelle von wird um Stellen nach rechts verschoben. Für 0 gilt: Die Kommastelle von wird um Stellen nach links verschoben. Beispiel 3: Umwandlung von Zehnerpotenzen in Dezimalzahlen: Dezimalzahlen mit der Zehnerpotenz Null: Wandle um 5 10 0,1 10 3,4 10 10 Wegen 10 1 gilt: 5 0,1 3,4 1 Dezimalzahlen mit der Zehnerpotenz größer Null: Die Kommastelle (auch eine eventuell gedachte Kommastelle) der Vorzahl der Zehnerpotenz wird umso viele Stellen nach rechts verschoben, wie die Hochzahl angibt. Wandle um 3 10 41 10 0,013 10 10 Komma nach rechts: 300 4100000 130000 10000 Dezimalzahlen mit der Zehnerpotenz kleiner Null: Die Kommastelle (auch eine eventuell gedachte Kommastelle) der Vorzahl der Zehnerpotenz wird umso viele Stellen nach links verschoben, wie die Hochzahl angibt. Wandle um 2 10 36 10 0,1 10 10 Komma nach links: 0,02 0,00036 0,0001 0,0000001 Beispiel 4: Umwandlung von Dezimalzahlen in eine beliebige Zehnerpotenz In der Umkehrung können wir aber auch Dezimalzahlen in 10 er Potenzen umwandeln. Sei!0 eine positive reelle Zahl, so gilt: Für 1 und verkleinern: Wir verschieben das Komma von nach links und schreiben Für 1 und vergrößern: Wir verschieben das Komma von nach rechts und schreiben Für 1 und verkleinern: Wir verschieben das Komma von nach links und schreiben Für 1 und vergrößern: Wir verschieben das Komma von nach rechts und schreiben Seite 2
Vergrößern der Vorzahl : Die Vorzahl wird vergrößert, indem man das Komma nach rechts schiebt und die Anzahl der verschobenen Kommastellen als negative Hochzahl von 10 schreibt. Wandle um 5 50 10 500 10 5000 10 50000 10 40 400 10 4000 10 40000 10 400000 10 0,0005 0,005 10 0,05 10 0,5 10 5 10 17,025 170,25 10 1702,5 10 17025 10 170250 10 27,16 271,6 10 2716 10 27160 10 271600 10 0,0002805 0,002805 10 0,02805 10 0,2805 10 2,805 10 1000 10000 10 100000 10 1000000 10 10000000 10 Verkleinern der Vorzahl : Die Vorzahl wird verkleinert, indem man das Komma nach links schiebt und die Anzahl der verschobenen Kommastellen als positive Hochzahl von 10 schreibt. Wandle um 5 0,5 10 0,05 10 0,005 10 0,0005 10 40 4 10 0,4 10 0,04 10 0,004 10 0,05 0,005 10 0,0005 10 0,00005 10 0,000005 10 17,025 1,7025 10 0,17025 10 0,017025 10 27,16 2,716 10 0,2716 10 0,027160 10 2,805 0,2805 10 0,02805 10 0,002805 10 0,0002805 10 10000000 1000000 10 100000 10 10000 10 1000 10 Beispiel 5: Umwandlung von Dezimalzahlen in wissenschaftliche Schreibweise Wir wir in Beispiel 4 nun gesehen haben, lässt sich eine reelle Zahl auf vielfältige Weise in eine 10 er Potenz umwandeln. Da dies zu den unterschiedlichsten Darstellungen führt, hat man sich auf eine einheitliche Darstellung geeinigt - die sogenannte Wissenschaftliche Schreibweise. Die wissenschaftliche Schreibweise besagt, dass die dargestellte reelle Zahl immer eine und nur eine Ziffer ungleich Null vor dem Komma und alle anderen Ziffern nach dem Komma stehen müssen. Somit gilt für diese Darstellung: 10 ; &1;10&;,!0 Umwandlung von Dezimalzahlen größer als Null: Wandle um von 50,25 800 2225,88 17025 nach 5,025 10 8 10 2,22588 10 1,7025 10 Wandle um von 2007,16 2,2805 20000000 nach 2,00716 10 2,2805 2 10 Seite 3
Umwandlung von Dezimalzahlen kleiner als Null: Wandle um von 0,05025 0,801 0,0222588 0,00017025 nach 5,025 10 8,01 10 2,22588 10 1,7025 10 Wandle um von 0,002716 0,22805 0,000000003 nach 2,76 10 2,2805 10 3 10 Umwandlung Zehnerpotenzen allgemein in Zehnerpotenzen wissenschaftlich: Wandle um von 0,5 10 10,801 10 0,022 10 17,1234 10 nach 5 10 1,0801 10 2,2 10 1,71234 10 ' Wandle um von 27,16 10 0,00228 10 0,003 10 nach 2,716 10 2,28 10 3 10 Addition / Subtraktion von ()*)+,otenzen ()*)+,otenzen lassen sich nach den Regeln der Addition bzw. Subtraktion umformen. Dabei müssen wir allerdings beachten, dass die Hochzahlen der einzelnen ()*)+,otenzen übereinstimmen in Vorzeichen und Zahl. Es gilt: 10 -./ 10 0 1./2 10 - falls. Ist!, so muss zuvor / 10 0 so umgewandelt werden, dass ist, bzw. 10 - so umgewandelt werden, dass ist. Führe die nachfolgenden Additionen / Subtraktionen aus: 3,77 10 311,88 10 13,77311,882 10 15,65 10 46,8 10 34,8 10 146,834,82 10 42 10 42 10 43 10 142432 10 45 10 0,005 10 ' 412,005 10 ' 10,005412,0052 10 ' 412 10 ' 8,08 10 31,92 10 18,0831,922 10 2 10 0,5 10 30,5 10 0,5 10 30,05 10 0,55 10 410 ' 310 40,1 10 31 10 0,9 10 18,91 10 416,5 10 18,91 10 40,00165 10 18,91165 10 8,8 10 38,8 10 8,8 10 30,088 10 8,888 10 41,1 10 32,2 10 41,1 10 322 10 20,9 10 0,00132 10 10 30,2 10 1,2 10 Wird bei der Addition / Subtraktion wissenschaftliche Schreibweise im Ergebnis gefordert, so muss das Ergebnis nach Ausführung der Berechnung gegebenenfalls in die wissenschaftliche Schreibweise umgewandelt werden. Führe die nachfolgenden Additionen / Subtraktionen aus und gebe das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an: 3,77 10 311,88 10 13,77311,882 10 1,565 10 0,005 10 ' 412,005 10 ' 10,005412,0052 10 ' 41,2 10 0,5 10 30,5 10 10,530,052 10 5,5 10 41,1 10 32,2 10 141,130,222 10 48,8 10 Seite 4
Multiplikation / Division von ()*)+,otenzen ()*)+,otenzen lassen sich nach den Regeln der Multiplikation bzw. Division umformen, wobei für die ()*)+,otenzen die Regel des 1. und 2. Potenzgesetzes zu beachten sind. Es gilt: 10 - / 10 0 / 10-5 0 bzw. 10 - / 10 0 / 10-0 Führe die nachfolgenden Multiplikationen / Divisionen aus: 3,77 10 11,88 10 3,77 11,88 10 5 44,7876 10 ' 46,8 10 4,8 10 46,8 4,8 10 423,64 10 42 10 3 10 42 3 10 5 46 10 12,005 10 ' :10,5 10 ' 2,, 10'1'2 6,0025 8,08 10 :11,92 10 2 7,7, 10 4,208333 10 :10 10 10 10 0,5 10 0,5 10 0,5 0,5 10 51 2 0,25 10 10 ' 10 10 '512 10 18,91 10 16,05 10 18,91 16,05 10 303,5055 8,8 10 :18,8 10 2 1 10 10 41,1 10 :12,2 10 2 4 101 2 45 0,001:12 10 2 10 12 0,5 10 Auch hier gilt, dass bei Anforderung des Ergebnisses in wissenschaftlicher Schreibweise dieses nach Ausführung der Berechnung gegebenenfalls in die wissenschaftliche Schreibweise umgewandelt werden muss. Führe die nachfolgenden Multiplikationen / Divisionen aus und gebe das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an: 3,77 10 11,88 10 44,7876 10 ' 4,47876 10 46,8 10 4,8 10 432,64 10 43,264 10 0,5 10 0,5 10 0,25 10 2,5 10 ' 18,91 10 16,05 10 303,50553,035055 10 41,1 10 :12,2 10 2 40,5 1045 0,001:12 10 2 0,0005 10 5 10 Seite 5
Vorsätze von Maßeinheiten Im Alltag, in der Wissenschaft und Technik sowie in der Physik treffen wir häufig Vorsätze zu Maßeinheiten an, so z. B. den Meter, den Zentimeter, den Kilometer, den Mikrometer usw., oder das Gramm, das Kilogramm, das Milligramm usw. In der Physik finden wir Maßeinheiten wie z. B. Joule, Kilojoule, Petajoule usw. Wiederstände werden in Ohm, Kiloohm usw., Kapazitäten in Farad, Nanofarad, Picofarad usw. angegeben. Hinter diesen Vorsätzen zu den Maßeinheiten verbirgt sich nichts Anderes als bestimmte 10)+ Potenzen. Die nachfolgende Tabelle gibt Aufschluss darüber, welcher Vorsatz zu welcher 10)+ Potenz gehört. Große Zahlen Faktor, mit dem die Einheit multipliziert Vorsatz Bedeutung Zeichen wird Exa Trillion 8 10 7 Peta Billiarde 9 10 Terra Billion : 10 1.000.000.000.000 Giga Milliarde ; 10 1.000.000.000 Mega Million < 10 ' 1.000.000 Kilo Tausend = 10 1.000 Hekto Hundert * 10 100 Deka Zehn > 10 10 Kleine Zahlen Faktor, mit dem die Einheit multipliziert Vorsatz Bedeutung Zeichen wird Dezi Zehntel > 0,110 Zenti Hundertstel? 0,0110 Milli Tausendstel @ 0,00110 Mikro Millionstel A 0,00000110 ' Nano Milliardstel 0,00000000110 Pico Billionstel, 0,00000000000110 Femto Billiardstel B 10 Atto Trillionstel 10 7 Seite 6
Zusammenfassung der Regeln Merksatz Zehnerpotenzen Allgemeine Syntax: 10 ; ; Für 0 gilt: 10 1 Für 0 gilt: Die Kommastelle von wird um so viele Stellen nach rechts verschoben, wie die Zahl angibt. Wenn das nicht reicht, wird rechts von mit Nullen aufgefüllt. Für 0 gilt: Die Kommastelle von wird um so viele Stellen nach links verschoben, wie die Zahl angibt. Wenn das nicht reicht, wird links von mit Nullen aufgefüllt. Wissenschaftliche Schreibweise: 10 ; C &1;9D;,!0 Addition / Subtraktion 10 -./ 10 0 1./2 10 - falls Ist!, so muss zuvor / 10 0 so umgewandelt werden, dass ist, bzw. 10 - so umgewandelt werden, dass ist. Multiplikation / Division 10 - / 10 0 / 10-5 0 ; 10 - / 10 0 / 10-0 Seite 7