Eichtheorien und das Standardmodell der Elementarteilchenphysik

Eichtheorien und das Standardmodell der Elementarteilchenphysik Mark Hamilton 21. Juli 2014 1 / 35

Inhaltsverzeichnis 1 Das Standardmodell 2 3 2 / 35

Das Standardmodell Das Standardmodell ist die erfolgreichste Theorie der Elementarteilchenphysik. Die Vorhersagen wurden in zahlreichen Experimenten an Teilchenbeschleunigern bestätigt. Es beschreibt alle bekannten elementaren Wechselwirkungen zwischen Elementarteilchen, bis auf die Gravitation. Die mathematische Grundlage des Standardmodells ist eine Eichtheorie, die auf der Symmetriegruppe U(1) SU(2) SU(3) basiert. Die Teilchen des Standardmodells bestehen aus drei Generationen von Fermionen (Elektron, Neutrino, Quarks, etc.), den Eichbosonen (Photon, Gluonen, etc.), welche die Wechselwirkung unter den Fermionen vermitteln und dem Higgs-Boson, das ein Teil des Higgs-Feldes ist, welches den Fermionen und einigen der Eichbosonen eine Masse verleiht. 3 / 35

Die Teilchen des Standardmodells Abbildung: Die Elementarteilchen des Standardmodells (aus: en.wikipedia.org) 4 / 35

Geschichte 1940er Jahre: Entwicklung der Quantenelektrodynamik. 1954: Yang und Mills entwickeln nicht-abelsche Eichtheorie. 1956: Lee, Wu und Yang entdecken Chiralität der schwachen Wechselwirkung. 1961: Glashow vereinigt elektromagnetische und schwache Wechselwirkung. 1964: Gell-Mann und Zweig postulieren Existenz von Quarks. 1964: Higgs und andere entwickeln den Higgs-Mechanismus. 1967: Salam und Weinberg kombinieren Glashows Modell mit dem Higgs-Mechanismus. 1972: t Hooft und Veltman beweisen Renormierbarkeit der elektroschwachen Wechselwirkung. 1973-74: Entwicklung der Quantenchromodynamik. Mehrere Nobelpreise für Entwicklung des Standardmodells (unter anderem 1979 für Glashow, Salam und Weinberg, 1999 für t Hooft und Veltman sowie 2013 für Higgs und Englert). 5 / 35

Eichtheorien als Feldtheorien Eichtheorien sind Feldtheorien, die zwei Arten von Symmetrien haben: Lorentzinvarianz Eichinvarianz Wir werden im Folgenden zwei Modelle für Eichtheorien beschreiben: Geometrisches Modell, in dem die Symmetrien implizit sind Physikalisches Modell, in dem die Symmetrien explizit sind. Außerdem beschreiben wir den Übergang vom geometrischen zum physikalischen Modell. Wir werden nur die klassische Feldtheorie beschreiben, insbesondere die Lagrangedichte. In der Physik wird die Feldtheorie quantisiert (Quantenfeldtheorie), wobei von der Lagrangedichte ausgehend die Feynman-Regeln abgeleitet werden. Die Elementarteilchen entsprechen Quanten, d.h. minimalen Anregungen der Felder. 6 / 35

Bündel Eichtheorien werden geometrisch in der Sprache der Bündel über Mannigfaltigkeiten formuliert, insbesondere mit Prinzipalbündeln und Vektorbündeln (Spinorbündel, assoziierte Bündel). Es gilt dabei folgende fundamentale Tatsache: Bemerkung Alle Bündel über M = R 4 sind trivial, d.h. ein Produkt M Σ aus der Basis M und der Faser Σ, da R 4 zusammenziehbar ist. Sie sind aber nicht kanonisch trivial. Mit anderen Worten: Es gibt Trivialisierungen, aber im allgemeinen ist keine von ihnen ausgezeichnet. Damit ähneln Bündel anderen mathematischen Objekten. Zum Beispiel hat jeder Vektorraum eine Basis, aber im allgemeinen keine ausgezeichnete. In der Physik wählt man in der Formulierung oft Trivialisierungen und die (geometrische) Unabhängigkeit von der Wahl einer solchen zeigt sich dann in Invarianzen und Symmetrien. 7 / 35

Das geometrische Modell Das geometrische Modell einer Eichtheorie besteht aus folgenden Daten: 1 Die Raumzeit (M, η), eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Metrik der Signatur (+,,..., ), und das Spinorbündel S über M. 2 Die Eichgruppe G, eine kompakte, halbeinfache Liegruppe. 3 Das Eichbündel P M, ein G-Prinzipalbündel. 4 Eine unitäre Darstellung G V V auf einem komplexen Vektorraum V. 5 Das assoziierte Bündel E = P G V. 6 Das Fermionenbündel oder Multiplettbündel F = S E. 7 Das Eichbosonenfeld, ein Zusammenhang A auf dem Prinzipalbündel P mit Krümmung F A. 8 / 35

Spinorbündel Das Spinorbündel ist ein gewisses komplexes Vektorbündel über der Mannigfaltigkeit M (es existiert, falls M spin ist). Auf dem Spinorbündel existiert eine Clifford-Multiplikation so dass TM S S, (v, ψ) v ψ, v (v ψ) = 2η(v, v)ψ. Ist (M, η) = (R 4, η Mink ), dann ist S = M C 4 nach Wahl eines Inertialsystems. In diesem Fall ist die Clifford-Multiplikation mit einem Basisvektor e µ in einem Inertialsystem gegeben durch Multiplikation eines Spinors in C 4 mit iγ µ, wobei γ µ gewisse 4 4-Dirac-Matrizen sind, die erfüllen. {γ µ, γ ν } = γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2η µν Id 9 / 35

Prinzipalbündel Ein G-Prinzipalbündel ist eine Mannigfaltigkeit P mit einer Projektion π : P M und einer Wirkung P G P, so dass gilt: 1 Jede Faser von P ist diffeomorph zu G und die Wirkung von G erhält die Fasern und ist auf ihnen einfach transitiv. 2 P ist über kleinen offenen Mengen U in M von der Form U G. Mit anderen Worten, P ist lokal trivial. Ist (M, η) = (R 4, η Mink ), dann ist P global trivial. In diesem Fall gilt P = M G, zusammen mit der Standardwirkung von G. Es ist wichtig, dass diese Trivialisierung nicht kanonisch ist: Eine Trivialisierung ist gegeben durch einen globalen Schnitt s : M P. Jedes Element von P erhält man dann durch s(x) g, für x M. 10 / 35

Eichung Definition (Eichung) Wir nennen einen globalen Schnitt s des Prinzipalbündels P eine Eichung. Jede Eichung definiert eine Trivialisierung von P. Der Begriff der Eichung ist von zentraler Bedeutung in der Eichtheorie (Standardbegriff?). Er spielt dieselbe Rolle wie der Begriff des Inertialsystems für die Relativitätstheorie. In beiden Fällen gibt es eine Mannigfaltigkeit, die in gewissem Sinne trivial ist, für die es aber keine bevorzugte Trivialisierung gibt. Der Wechsel zwischen zwei Trivialisierungen wird durch Lorentz bzw. Eichtransformationen beschrieben. Die Wahl einer Eichung ist die Wahl eines Koordinatensystems. Eichinvarianz wird später bedeuten: Unabhängigkeit von der Wahl einer Eichung. 11 / 35

Assoziierte Bündel Sei G V V eine Darstellung. Dann operiert G auf P V von rechts durch (p, v) g = (p g, g 1 v). Das assoziierte Bündel ist der Quotient E = (P V )/G = P G V. Es ist ein Vektorbündel über M mit Faser isomorph zu V. Ist (M, η) = (R 4, η Mink ), dann ist E trivial, E = M V. Eine Trivialisierung ist nicht kanonisch, sondern durch eine Eichung gegeben: Ist s : M P eine Eichung, dann entsprechen Schnitte Φ: M E gerade Abbildungen φ: M V, durch Φ = [s, φ]. 12 / 35

Fermionenbündel Das Fermionenbündel F ist gegeben durch F = S E. Sei (M, η) = (R 4, η Mink ). Wir wählen ein Inertialsystem und eine Eichung s : M P. Sei r die komplexe Dimension des Darstellungsraumes V. Dann ist ein Schnitt Ψ in F gegeben durch ψ 1 Ψ =., ψ r wobei jede Komponente ψ i : M C 4 ein Spinor ist. Ein Fermion, d.h. ein Schnitt in F, wird also durch einen Vektor beschrieben, der r Komponenten hat, von denen jede ein Spinor ist (Multiplett). Die Darstellung von G mischt diese Komponenten. 13 / 35

Zusammenhang und Krümmung I Ein Zusammenhang A auf dem Prinzipalbündel P ist eine gewisse invariante 1-Form auf P mit Werten in der Liealgebra g. Die Krümmung von A ist definiert durch F A = da + 1 [A, A]. 2 Hier ist der Kommutator in g zu nehmen. Die Krümmung F A ist eine 2-Form auf P mit Werten in g. Man kann die Krümmung als 2-Form auf der Basis M mit Werten in dem assoziierten Bündel Ad(P) = P G g, das durch die adjungierte Wirkung definiert wird, auffassen. Die Differenz zweier Zusammenhänge ist eine 1-Form auf M mit Werten in diesem Bündel. Man sagt deshalb, dass Eichbosonen in der adjungierten Darstellung der Eichgruppe G transformieren. 14 / 35

Zusammenhang und Krümmung II Sei (M, η) = (R 4, η Mink ) und s : M P eine Eichung. Dann definiert das Differential von s die folgenden Formen auf M mit Werten in der Liealgebra g: Mit A = A ds gilt die fundamentale Gleichung Krümmung F A = F(ds( ), ds( )). A µ = A(e µ ), F A µν = F A (e µ, e ν ) F A µν = µ A ν ν A µ + [A µ, A ν ]. 15 / 35

Kovariante Ableitung Jeder Zusammenhang A auf P definiert eine kovariante Ableitung A auf dem assoziierten Bündel E: Sei (M, η) = (R 4, η Mink ) und s : M P eine Eichung. Dann wird jeder Schnitt Φ in E durch eine Abbildung φ: M V beschrieben, so dass Φ = [s, φ]. In einem Inertialsystem ist die entsprechende kovariante Ableitung Kovariante Ableitung A µφ = µ φ + A µ φ. Auf der rechten Seite wirkt die g-wertige Funktion A µ auf der V -wertigen Funktion φ durch die Darstellung der Gruppe G. 16 / 35

Eichfelder Sei n die Dimension von G. Wählt man eine Basis T a von g, mit a = 1,..., n, dann kann man schreiben A µ = A a µt a (Einstein Summenkonvention). Der Zusammenhang A µ entspricht dadurch über die Lorentzmetrik n Vektorfeldern A 1µ, A 2µ,..., A nµ auf M. Diese Vektorfelder beschreiben die Eichbosonen. Es gibt also genau dim(g)-viele Eichbosonen in der Eichtheorie. Die analoge kovariante Ableitung auf F = S E beschreibt die Kopplung der Eichbosonen an die Fermionen (Fermionen wechselwirken mit dem Eichfeld und dadurch indirekt miteinander, Emission/Absorption von Eichbosonen). Der Term [A µ, A ν ] beschreibt die Wechselwirkung der Eichbosonen untereinander in nicht-abelschen Eichtheorien. 17 / 35

Dirac-Operator Die kovariante Ableitung A auf E definiert mit dem Spinorzusammenhang S auf dem Spinorbündel S eine kovariante Ableitung F auf dem Fermionenbündel F = S E. Diese definiert mit der Clifford-Multiplikation einen getwisteten Dirac-Operator D A : C (S E) C (S E). Wir brauchen nur die Formel für (M, η) = (R 4, η Mink ): Sei s : M P eine Eichung. Dann gilt in einem Inertialsystem Dirac-Operator D A Ψ = iγ µ A µψ = iγ µ ( µ + A µ )Ψ, für Ψ = ψ 1. ψ r. Die Dirac-Matrizen γ µ wirken hier auf jeder 4-Spinor Komponente ψ i, die Eichfelder A µ auf den r Komponenten von Ψ. 18 / 35

Lagrangedichte I Wir können jetzt die Lagrangedichte L der Eichtheorie aufstellen. Die Lagrangedichte ist eine reellwertige Funktion auf M. Sie ist gegeben durch L = L Fermion + L YM mit L Fermion = Ψ, (D A m)ψ L YM = c 4g 2 FA F A. Hier ist, ein hermitesches Skalarprodukt auf F = S E, m die Masse des Fermions, c eine von der Gruppe G abhängige Konstante, g die Kopplungskonstante und ein Skalarprodukt auf den Ad(P)-wertigen 2-Formen auf M. 19 / 35

Lagrangedichte II Wir können die Lagrangedichte auch für (M, η) = (R 4, η Mink ) formulieren. Wir wählen eine Eichung s : M P und ein Inertialsystem. Dann gilt L Fermion = Ψ(iγ µ A µ m)ψ L YM = 1 4g 2 F Aaµν F Aa µν = 1 2g 2 tr(f Aµν F A µν). Hier ist Ψ = Ψ γ 0, damit Terme wie ΨΨ und Ψγ µ A µψ als Skalar transformieren. Außerdem wählen wir eine Basis T a der Matrixalgebra g, so dass tr(t a T b ) = 1 2 δab ist. Dann schreiben wir F A µν = F Aa µν T a. 20 / 35

Das physikalische Modell Das physikalische Modell ist gerade durch diese zweite Lagrangedichte gegeben. Es soll folgende Symmetrien haben: Definition (Lorentzinvarianz) Die Lagrangedichte ist unabhängig von der Wahl des Inertialsystems. Definition (Eichinvarianz) Die Lagrangedichte ist unabhängig von der Wahl der Eichung. Es ist klar, dass die Lagrangedichte lorentzinvariant ist. Wir müssen nur die Eichinvarianz überprüfen. 21 / 35

Eichinvarianz I Seien s, s : M P zwei Eichungen. Dann gibt es eine Eichtransformation U : M G, so dass s = s U. Ist Φ ein Schnitt in E, dann wird Φ beschrieben durch φ, φ : M V mit Φ = [s, φ] = [s, φ ]. Es gilt daher φ = U φ. Der Zusammenhang A wird in den Eichungen durch 1-Formen A, A auf M beschrieben mit A = A ds, A = A ds. Man rechnet nach (für eine Matrixgruppe G): A µ = U A µ U 1 + U µ (U 1 ). 22 / 35

Eichinvarianz II Es folgt A µ φ = U A µ(u 1 φ ) F A µν = U F A µν U 1. Aus diesen Gleichungen folgt die Eichinvarianz der Lagrangedichten L Fermion und L YM (für L Fermion geht ein, dass die Darstellung von G auf V unitär ist). Satz Die Lagrangedichte L = L Fermion + L YM ist eichinvariant. Das war aus der geometrischen Formulierung implizit klar. 23 / 35

Normierte Eichfelder Oft verwendet man in der Physik die normierten Eichfelder Dann gilt W µ = 1 ig A µ F W µν = 1 ig F A µν. F W µν = µ W ν ν W µ + ig[w µ, W ν ] W µ φ = µ φ + igw µ φ W µ = UW µ U 1 i g U µ(u 1 ) L YM = 1 2 tr(f W µν F W µν ). 24 / 35

In diesem Abschnitt beschreiben wir einige für Eichtheorien sowie das Standardmodell der Elementarteilchenphysik. In jedem Beispiel geben wir insbesondere die Liegruppe G und den Vektorraum V an. Die Darstellung von G auf V hängt von gewissen (rationalen) Zahlen ab, die Ladungen heißen. Beispiel (Ladungen) Die Quantenelektrodynamik hat Eichgruppe U(1). Die Ladung Q heißt elektrische Ladung. Die elektroschwache Wechselwirkung hat Eichgruppe U(1) Y SU(2) L. Die Ladungen heißen schwache Hyperladung Y und schwacher Isospin T 3. Es gilt Q = T 3 + Y 2. 25 / 35

QED Das Standardmodell Das einfachste Beispiel ist die Quantenelektrodynamik (QED). Es ist G = U(1) (abelsch). Die 1-Form W µ hat Werte in u(1) = R, ist also nach Wahl einer Basis von R eine gewöhnliche 1-Form. Das Eichfeld W µ heißt Photon. Die Krümmung F µν wird als Feldstärke aufgefaßt. V = C. Daher ist F = S E = S, d.h. Fermionen werden durch 4-Komponenten-Spinoren Ψ beschrieben. Es gilt g = e (Elementarladung). Häufig schreibt man A µ statt W µ. Es gilt L = L Fermion + L YM = Ψ(iγ µ µ m)ψ 1 4 F µν F µν mit µ = µ + iqa µ (Ladung q) und F µν = µ A ν ν A µ. 26 / 35

QCD I Das nächste Beispiel ist die Quantenchromodynamik (QCD). Sie beschreibt die starke Wechselwirkung der Quarks. Es ist G = SU(3). Das Eichfeld W µ hat dim(su(3)) = 8 Komponenten (Gluonen). Da die Gruppe nicht-abelsch ist, gibt es eine Wechselwirkung der Gluonen untereinander. V = C 3 mit der Standarddarstellung. Ein Quark (Schnitt in F = S E) ist von der Form q f = q r f q g f q b f, wobei f = u, d, c, s, t, b eines von sechs Flavours, r, g, b eine der drei Farben (rot, grün, blau) und q i f ein 4-Komponenten-Spinor ist. Die Gruppe SU(3) mischt die Farben. 27 / 35

QCD II Die Bezeichungen Farbe und damit Quantenchromodynamik kommen von der Dreiheit der Grundfarben und dass man immer nur weiße Kombinationen in der Natur beobachtet (color confinement). Man schreibt häufig G µ statt W µ. Es gilt L = L Fermion + L YM = f q f (iγ µ µ m f )q f 1 2 tr(f µν F µν ) mit µ = µ + igg µ F µν = µ G ν ν G µ + ig[g µ, G ν ]. Die Emission eines Gluons kann die Farbe eines Quarks ändern, anders als die Emission eines Photons die elektrische Ladung. 28 / 35

Chiralität Jeder 4-Komponenten-Spinor Ψ (Dirac-Spinor) über einer 4-Mannigfaltigkeit M mit einer Lorentzmetrik zerfällt in die direkte Summe von zwei 2-Komponenten-Spinoren (Weyl-Spinoren) Ψ R und Ψ L, ) Ψ = ( ΨR die Eigenvektoren unter dem Chiralitätsoperator γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 (Orientierung) zu den Eigenwerten ±1 sind (rechts- und linkshändige Spinoren). In den bisherigen n transformieren rechts- und linkshändige Spinoren in derselben Darstellung der Eichgruppe, weswegen man sie zu einem 4-Komponenten-Spinor zusammenfassen kann. Die elektroschwache Wechselwirkung dagegen ist eine chirale Eichtheorie rechts- und linkshändige Spinoren transformieren in verschiedenen Darstellungen der Eichgruppe. Ψ L, 29 / 35

Elektroschwache Wechselwirkung I G = U(1) Y SU(2) L. Man schreibt B µ für das Eichboson, das zu U(1) Y gehört (mit Kopplungskonstante g ) und W µ für die Eichbosonen, die zu SU(2) L gehören (Kopplungskonstante g). Die Darstellungen von G unterscheiden zwischen rechts- und linkshändigen Spinoren. Für linkshändige Spinoren ist V = C 2 mit der Standarddarstellung von SU(2). Die Fermionen sind von der Form ) ) ( νel e L, ( ul Hier ist ν e das Elektron-Neutrino, e das Elektron, u das Up-Quark und d das Down-Quark. Analoge Doublets gibt es für die anderen Generationen. Jede Komponente ist ein linkshändiger 2-Komponenten-Spinor. Der Isospin ist T 3 = ± 1 2. Die Hyperladung ist Y = 1 (Leptonen) bzw. Y = 1 3 (Quarks). 30 / 35 d L.

Elektroschwache Wechselwirkung II Für die linkshändigen Quarks gilt d L s L = V b L d L s L b L mit der sogenannten CKM-Matrix V. Ein Quark von Typ u L kann so über die schwache Wechselwirkung zu verschiedenen Quarks von Typ d L werden und umgekehrt (Änderung des Flavours, β-zerfall d u + e + ν e ). Für rechtshändige Spinoren ist V = C mit der trivialen Darstellung von SU(2). Die Fermionen sind rechtshändige 2-Komponenten-Spinoren von der Form e R, u R, d R (mit T 3 = 0 und Y = 2, 4 3, 2 3 ). Es wurde kein rechtshändiges Neutrino beobachtet (steril). Analoge Singlets gibt es für die anderen Generationen. 31 / 35

Das Higgs-Feld I Es gibt zwei Probleme: In chiralen Theorien sind nur Massenterme mit m = 0 in der Lagrangedichte eichinvariant. Alle Fermionen bis auf die Neutrinos haben aber eine Masse ungleich Null. In Eichtheorien haben die Eichbosonen Masse Null. Man beobachtet aber, dass die Eichbosonen W ±, Z 0 der schwachen Wechselwirkung eine Masse ungleich Null haben. Lösung: Die Fermionen und Eichbosonen haben an sich Masse Null und bekommen eine Masse erst durch Wechselwirkung mit einem skalaren Feld (Higgs-Feld). Dieses Feld hat als einziges einen Vakuum-Erwartungswert ungleich Null (das Vakuum mit Higgs-Feld gleich Null ist instabil). Da das Feld im Vakuum einen Wert ungleich Null hat, ist das Vakuum nur noch unter einer Untergruppe U(1) em von U(1) Y SU(2) L invariant (spontane Symmetriebrechung). Außerdem entsteht ein weiteres Teilchen, das Higgs-Boson, mit Masse ungleich Null. 32 / 35

Das Higgs-Feld II Die Lagrangedichte des Higgs-Feldes φ = ( φ1 φ 2 ) ist: L = 1 2 ( µ φ) ( µ φ) V (φ), mit V (φ) = 1 2 µφ φ + 1 2 λ(φ φ) 2. Das Minimum des Potentials (Vakuum) liegt bei v = φ = µ 2λ. Die Masse der Fermionen und schwachen Eichbosonen sind proportional zu v. Die Masse des Higgs-Bosons ist µ. Abbildung: Das Potential V (φ) des Higgs-Feldes (aus: en.wikipedia.org) 33 / 35

Weitere Themen Feldquantisierung, Störungstheorie: freie Felder wechselwirkende Felder (Pfadintegrale, Feynman-Diagramme, Renormierung). Grand Unified Theories (SU(5) U(1) SU(2) SU(3), Protonzerfall p e + + 2γ). Supersymmetrie, Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM, Superpartner: Squark, Slepton, Gluino, etc.), Kandidaten für Dunkle Materie (WIMPs, Weakly Interacting Massive Particles) neben sterilen Neutrinos. Quantentheorie der Gravitation, Superstrings. 34 / 35

Literatur Helga Baum, Eichfeldtheorie, Springer-Verlag 2014. Ulrich Mosel, Fields, Symmetries, and Quarks, Springer-Verlag 1999. Vielen Dank! Stehempfang in ca. einer Stunde in 7.530 (Seminarraum IGT). 35 / 35