A. Monjallon Einführung in die moderne Mathematik

A. Monjallon Einführung in die moderne Mathematik

Logik und Grundlagen der Mathematik Herausgegeben von Prof. Dr. Dieter Rödding, Münster Band 5 Band 1 L. Felix, Elementarmathematik in moderner Darstellung Band 2 A. A. Sinowjew, Über mehrwertige Logik Band 3 J. E. Whitesitt, Boolesche Algebra und ihre Anwendungen Band 4 G. Choquet, Neue Elementargeometrie Band 5 A. Monjallon, Einführung in die moderne Mathematik Band 6 S. W. Jablonski / G. P. Gawrilow / W. B. Kudrjawzew, Boolesche Funktionen und Postsehe Klassen Band 7 A. A. Sinowjew, Komplexe Logik Band 8 J. Dieudonne, Grundzüge der modernen Analysis Band 9 N. Gastinei, Lineare numerische Analysis

Albert Monjallon Einführung in die modeme Mathematik Mit 83 Bildern 2., durchgesehene Auflage SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH

Übersetzung: Prof. Dr. Ferdinand Cap, Innsbruck VerJagsredaktion : AI/red Schubert Titel der französischen Ori&inalauspbe Introduction aux matbematiques modemes Copyright 1963 by Librairie Vuibert, Paris ISBN 978-3-528-18280-9 ISBN 978-3-663-16043 (ebook) DOI 10.1007/978-3-663-16043-4 1971 Alle Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten Copyright 1970/1971 Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg + Sohn GmbH, Verlag Braunschweig 1971

Vorwort Die ständige Entwicklung der Wissenschaft, deren Ergebnisse die Welt immer schneller verändern, hat wahrscheinlich bei Dmen Verwunderung hervorgerufen, die nicht ohne Angst geblieben ist. Sicher haben Sie an die bedeutende Rolle gedacht, die die Mathematik dabei spielt. In keinem Bereich ist sie unentbehrlich: Flugwesen und Schiffahrt, Eisenbahn- und Kraftverkehr, Bergwerke und Bohrwesen, hydraulische und nukleare Energiegewinnung stehen ständig unter ihrem Einfluß. Die Wissenschaftler sind nicht damit zufrieden, von der Entwicklung der Sterne bis zum Verhalten der Elektronen nur alles zu verstehen und zu erklären, sondern sie bemühen sich mit der Hilfe der Mathematik, immer größere Kraftquellen zu entdecken, zu untersuchen und nutzbar zu machen. So öffnet sich den jungen Wissenschaftlern unserer Tage wie früher den jungen Abenteurern der Zeit der großen Entdeckungen ein Bereich mit fesselnden Arbeiten und fruchtbaren Forschungen. In der Schule sind Sie mit der Arithmetik, der Algebra, der Elementargeometrie bekannt geworden. Wenn Sie ein gewisses Interesse für Abstraktion haben, bewundern Sie wahrscheinlich die Eleganz dieser Wissenschaft und hoffen, den magischen "Sesam" zu fmden, der alle Türen des Wissens für Sie öffnen wird. Aber vielleicht haben Sie auch im Laufe Ihres Studiums - das haben wir alle durchgemacht - eine gewisse Entmutigung erlebt, als die Mathematik Du Aufnahmevermögen zu übersteigen und Ihre Anstrengungen zu Fall zu bringen schien. Schon nahe daran, an sich selbst zu verzweifeln, haben Sie sich gefragt: "Warum entzieht sie sich meinen Bemühungen? Was fehlt mir, um die Mathematik ganz zu beherrschen?" Zwei große Männer - von denen einer den Nobel-Preis erhielt - haben sich diese Fragen gestellt und haben sie auf sehr ähnliche Weise beantwortet, indem sie die Art, Mathematik zu lehren, als schlecht bezeichneten. Nach ihren Meinungen wird das Wesentliche, d.h. der grundsätzliche Aufbau, der das Verständnis erleichtern soll, nicht genug herausgearbeitet. Ist das auch der Grund, warum Sie daran zweifeln, den notwendigen Fortschritt machen zu kömen? Sollte nicht der hergebrachte Unterricht in der Flementarmathematik gründlich verändert werden? Ich glaube es nicht, aber man müßte auf die Grundlagen zurückgehen, um mit den Kenntnissen, die zum Verständnis der höheren Mathematik notwendig sind, umgehen zu kömen. Dies war der Grund, dieses Buch für die, die zweifeln, zu schreiben. Die Mengen, deren vorherrschende Rolle in der modernen Mathematik bekannt ist, bilden unseren Ausgangspunkt. Das Studium der Mengenalgebra und der Operationen auf Mengen zeigt uns die Notwendigkeit, einige Begriffe von Logik und Axiomatik genau zu defmieren. Nach einem kurzen Überblick über kommutative Gruppen wird

gezeigt, wie man durch Kenntnis der Konstruktion einer Gruppe verschiedene mathematische Systeme bilden kann. So hoffen wir, durch das Studium dieser Grundlagen dem Leser Vertrauen und Hoffnung ftir seine zukünftigen Arbeiten gegeben zu haben. Die verschiedenen Abschnitte enthalten abgestufte Übungen, durch die der Leser seine Kenntnisse überprüfen kann. Seine Fortschritte kann er kontrollieren, indem er die Problemaufgaben am Ende jedes Abschnittes löst. Ich wäre den Lesern dankbar, wenn sie mich auf Irrtümer - ich hoffe, es sind nur wenige - die sie in diesem Buch fmden, aufmerksam machten. Albert Monjallon

I nhaluverzeichnis 1. Mengen 1.1. Finleitung und elementare Begriffe 1 1.2. Eigenschaften der Elemente und der Mengen 2 1.3. Variable und Variablenbereiche 3 1.4. Die Konstruktion von Mengen 4 1.5. Die Namen flir Objekte und Mengen 8 1.6. Die allgemeine Gleichheitsrelation 9 1.7. Die Gleichheit 10 1.8. Übungen 12 1. Weiteres über Mengen 15 2.1. Untermengen und Obermengen. Die Inklusion 15 2.2. Betrachtungen über die Gleichheit und die Inklusion 17 2.3. Der Gebrauch gewisser Mengen 19 2.4. Die leere Menge und die Einermenge 20 2.5. Disjunkte Mengen. Strikte Inklusion 23 2.6. Geordnete Paare. Diskrete Mengen und kontinuierliche Mengen 25 2.7. Cartesische Produkte 27 2.8. Übungen 28 3. Operationen auf Mengen 31 3.1. Allgemeines über die Mengenalgebra 31 3.2. Der Durchschnitt von Mengen 31 3.3. Vereinigung von Mengen 35 3.4. Vermischte Operationen 38 3.5. Das Komplement einer Menge 41 3.6. Dualität 44 3.7. Zusammengesetzte Mengen und ihre Komplemente 45 3.8. Übungen 48 4. Relationen 52 4.1. Gewöhnliche Relationen 52 4.2. Mathematische Relationen 54 4.3. Darstellung von Relationen in endlichen Mengen 56 4.4. Darstellung von Relationen in unendlichen Mengen 59 4.5. Komplementäre und inverse Relationen 64 4.6. Mathematische Nomenklatur 66 4.7. Spezielle Arten von Relationen 68 4.8. Erweiterung des Begriffes der Relation 72 4.9. Übungen 76 5. Funktionen 80 5.1. Die Grundlagen des Funktionsbegriffes 80 5.2. Verschiedene Betrachtungsweisen von Funktionen 86 5.3. Spezielle Typen von Funktionen 87 5.4. Übungen 91

6. Über die mathematische Sprache 94 6.1. Das Gespräch und der Satz 94 6.2. Modifikatoren und Bindewörter 98 6.3. Allgemeingültige Aussagen 101 6.4. Quantoren 105 6.5. Quantorenregeln 110 6.6. Absolute Variable und Substitution 112 6.7. Übungen 116 7. Ein wenig Axiomatik 119 7.l. Die Ausdrücke eines mathematischen Systems 119 7.2. Primitive Ausdrücke 120 7.3. Definitionen 120 7.4. Postulate und Theoreme 122 7.5. Modelle eines mathematischen Systems 124 7.6. Die Beweisregeln 125 7.7. Direkte und indirekte Beweise 128 7.8. Deduktive Systeme 130 7.9. Übungen 131 8. Die kommutative Gruppe 133 8.1. Allgemeines über die Methode der Abstraktion 133 8.2. Anwendung auf die Konstruktion einer Gruppe. Das Abschlußpostulat 136 8.3. Die Postulate der Assoziativität, Kommutativität und Identität 137 8.4. Das Postulat des Inversen 139 8.5. Die Postulate und Theoreme der kommutativen Gruppe 140 8.6. Erweiterung der Theorie. Binäre Operationen. Die Operation "Kreis". 146 8.7. Verschiedene Modelle der kommutativen Gruppe. Symmetrische Differenz und direkte Summe 149 8.8. Übungen 158 Sachwortverzeichnis 162