Algebra und Zahlentheorie WS 13/14

Algebra und Zahlentheorie WS 13/14 FU Berlin David Müßig http://page.mi.fu-berlin.de/def/auz14/ muessig@mi.fu-berlin.de 21.01.2014 1 Hintergrund: Basen & Vektorräume 1.1 Grundlegende Begriffe Da einige Begriffe der LinA I + II für das Thema Körpererweiterungen eine nicht unerhebliche Rolle spielen, wiederholen wir sie an dieser Stelle im Schnelldurchlauf. Definition 1. Es sei K ein Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung ( Addition ) und einer äußeren Verknüpfung + V V V, (v, w) v + w, K V V, (λ, v) λ v ( skalare Multiplikation ) heißt K-Vektorraum (oder auch Vektorraum über K), wenn gilt (V1) V ist zusammen mit der Addition + eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 und v als inversen Element zu v V (V2) (λ + µ) v = λ v + µ v, λ (µ v) = (λµ) v, (v + w) λ = v λ + w λ 1 v = v für alle v, w V und alle λ, µ K. Beispiel 1. Der Vektorraum Q 2 = {( a ) a, b Q} ist ein Vektorraum über Q. b Definition 2. Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Eine Menge B = {v 1,..., v n } V heißt linear unabhängig, falls aus λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ n v n = 0 (mit λ i K) stets folgt, dass λ i = 0 für alle i gelten muss. Definition 3. Es seien K und V wie oben. Eine Menge B = {v 1,..., v n } V heißt Erzeugendensystem von V, falls gilt V = span K (B) = { λ i v i λ i K} Eine Menge B = {v 1,..., v n } V heißt Basis von V, falls sie ein Erzeugendensystem und zusätzlich linear unabhängig ist. Bemerkung. Die Mengen B in obiger Definition müssen nicht zwangsläufig endlich sein, es gibt auch unendlich gröse Erzeugendensysteme und Basen. Lediglich die Summen müssen jeweils endlich sein (d.h. λ i = 0 für fast alle i). n i

Ein Erzeugendensystem ist also eine Menge von Vektoren, mit denen alle Elemente des Vektorraums V dargestellt werden können. Eine Basis ist sozusagen ein Erzeugendensystem mit minimaler Anzahl an Elementen. Satz 1. Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und B = {v 1,..., v n }, C = {w 1,..., w m } seien Basen von V. Dann gilt m = n = dim V. 1.2 Basen über verschiedenen Körpern Wie im vorhergehenden Abschnitt angesprochen, hängt die Erscheinung der Basis eines Vektorraums vom zugrundeliegenden Körper ab. Das liegt daran, dass wir die Basiselemente mit Skalaren aus dem Körper multiplizieren dürfen, innerhalb der Elemente des Vektorraums allerdings nicht multiplizieren dürfen. Beispiel 2. Es sei V = R 2. Zunächst betrachten wir V als R-Vektorraum, es ist R 2 = span R (( 1 0 ), ( 0 1 )) und daher ist dim R (R 2 ) = 2. Über K = Q sieht das Ganze allerdings anders aus, da wir z.b. das Element ( π 0 ) nicht durch λ 1 ( 1 0 ) + λ 2 ( 0 1 ) mit λ i Q darstellen können. Gleiches gilt für ( 0 π ) und etliche andere irrationale Zahlen. 2 Körpererweiterungen Es seien im Folgenden K, L und M Körper, welche in eine Kette K L M bilden. Unser Interesse gilt nun Basen von K über L (bzw. Basen von L über M) und deren Größe. Die Frage ist im Prinzip diese: Wie viele Elemente muss ich zu L mindestens hinzufügen, damit ich den größeren Körper K erhalte? Mathematisch gesehen suchen wir eine L-Basis von K, denn diese ist ein minimales Erzeugendensystem von K über L. Zum Beispiel ist eine R-Basis von C die Menge {1, i}, da sich jede komplexe Zahl als z = a + b i mit a.b R schreiben lässt. 2.1 Basen in Körpererweiterungen K(α) Ein oft betrachteter Spezialfall von Körpererweiterungen ist der, dass wir dem Grundkörper L (meistens einfach Q) ein einziges (oder manchmal auch zwei) neues Element α hinzufügen wir schreiben dann K = L(α). Dieses neue Element ist dann die Nullstelle eines Polynoms in L[x], wie es z.b. in der Erweiterung von R nach C der Fall ist (denn i ist die Nullstelle von x 2 + 1, welche in R nicht existiert). Wenn wir nun eine Körpererweiterung dieser Form haben, dann stellt sich wieder die Frage nach der L-Basis von K. Intuitiv möchte man vielleicht sagen, dass {1, α} stets eine solche Basis ist. Das ist i.a. aber falsch, wie das folgende Beispiel zeigt: Beispiel 1. Es sei L = Q und α = 3 2. Wir suchen nun eine Q-Basis B von Q( 3 2). Da Q Q( 3 2), muss auf jeden Fall die 1 in einer solchen Basis enthalten sein, außerdem natürlich 3 2. Aber reicht das auch? Frage: Können wir jedes Element in Q( 3 2) in der Form a + b 3 2 mit a, b Q darstellen? 2

Die Antwort lautet nein. Denn wenn Q( 3 2) ein Körper sein soll, dann muss es (unter anderem) abgeschlossen bezüglich der Multiplikation sein. D.h., dass z.b. das Element 3 2 2 = 3 2 3 2 Q( 3 2) enthalten sein muss. Es ist allerdings offensichtlich nicht möglich, dieses Element in der Form a + b 3 2 zu schreiben, daher müssen wir es wohl oder übel in die Basis B mit aufnehmen, d.h. B {1, 3 2, 3 2 2 }. Was müssen noch für Elemente enthalten sein? Z.B. muss für jedes Element ( 0) sein Inverses enthalten sein. Aber was ist das Inverse von 3 2 Q( 3 2)? Es gilt 3 2 3 2 2 = 3 2 3 = 2 und daher ist 3 2 1 = 3 1 2 2 2 und umgekehrt. Dieses Element können wir aber in der Form a + b 3 2 + c 3 2 2 schreiben, daher müssen wir hier nichts Neues in die Basis aufnehmen. Damit ist im Übrigen auch das Produkt 3 2 3 2 2 Q( 3 2) enthalten und auch hier müssen wir nichts weiter tun. Da alles, was wir mit + verbinden durch die Basis dargestellt werden kann, sind wir hier fertig und haben eine Basis B = {1, 3 2, 3 2 2 } gefunden. Allgemein können wir sagen: Satz 2. Es sei K(α) eine Körpererweiterung vom Grad n. Dann ist {1, α, α 2,..., α n 1 } eine K-Basis von K(α). 2.2 Körpergrad und Minimalpolynom Definition 4. Es sei K L eine Körpererweiterung. Der Erweiterungsgrad [K L] ist definiert als die Mächtigkeit einer L-Basis von K (als Vektorraum). Ist [K L] N, so nennen wir die Körpererweiterung endlich. Satz 3 (Körpergrad-Formel). Es seien K L M endliche Körpererweiterungen. Dann gilt [K M] = [K L] [L M]. Satz 4. Es sei K ein Körper und α K. Es existiere außerdem ein Polynom f(x) K[x] mit f(α) = 0. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom kleinsten Grades p(x) K[x] (p 0), mit p(α) = 0. Dieses Polynom ist dann irreduzibel in K[x] und wird mit min K,α (x) bezeichnet. Bemerkung 5. Für Körpererweiterungen der Form K(α) haben wir sofern min K,α (x) existiert folgende Äquivalenz: K(α) K[x]/(min K,α (x)). Hierbei liefert α x den gewünschten Isomorphismus. Satz 5. Es sei K(α) K eine Körpererweiterung und min K,α (x) K[x] sei das Minimalpolynom von α über K. Dann gilt [K(α) K] = deg (min K,α (x)). Beispiel 2. Es sei K = Q und α = 2. Dann ist f(x) = x 2 2. Um dies zu beweisen, müssen wir die Eigenschaften des Minimalpolynoms zeigen: 1. : f(α) = 2 2 2 = 2 2 = 0 2. : f(x) ist normiert 3

3. ; f(x) ist irreduzibel in Q[x] (nach Eisenstein mit p = 2 o.k.) und damit kann es kein Polynom kleineren Grade in Q[x] mit 2 als Nullstelle geben (sonst könnten wir dieses Polynom von f(x) abspalten) Damit ist f(x) = min Q, 2 (x), der Erweiterungsgrad ist [Q( 2) Q] = 2 und eine Q-Basis von Q( 2) ist z.b. B = {1, 2}. Beispiel 3. Es sei K = Q und α = 5 + 6. Wie sieht das Minimalpolynom min Q, 5+ 6 (x) aus? Wir betrachten zunächst ( 5 + 6) 2 = 5 + 2 5 6 + 6 = 2 30 + 11. Damit ist und wegen (α 2 11) 2 = α 4 (( 5 + 6) 2 11) 2 = 120 22α 2 + 121 ist damit ( 5 + 6) 4 22( 5 + 6) 2 + 1 = 0. Bleibt zu zeigen, dass es kein Polynom dritten Grades mit 5 + 6 als Nullstelle geben kann. dazu betrachten wir die Körpergradformel. Es gilt sicherlich Q( 5, 6) Q( 5 + 6). Daher können wir eine Kette Q( 5, 6) Q( 5 + 6) Q bilden, welche sich nach der Körpergrad-Formel zu 4 = [Q( 5, 6) Q] = [Q( 5, 6) Q( 5 + 6)] [Q( 5 + 6) Q] erweitern lässt. Daher muss [Q( 5+ 6) Q] ein Teiler von 4 = [Q( 5, 6) Q] sein, wodurch 3 als Erweiterungsgrad ausgeschlossen ist (Erweiterungsgrad 2 ist wegen ( 5+ 6) 2 / Q ausgeschlossen). Es gilt also min Q, 5+ 6 (x) = x 4 22x 2 + 1. 2.3 Inverse Elemente in Körpererweiterungen Wenn wir eine Körpererweiterung K(α) mit einer K-Basis B = {1, α,..., α n 1 } gegeben haben, dann interessiert uns natürlich, wie die Elemente in K(α) in dieser Basis aussehen. Für die meisten Elemente ist das ganz klar (nämlich für alle Elemente aus K und für α, α 2,..., α n 1 ). Aber wie sieht es z.b. mit (1+α) 1 aus? Wir wissen, dass dieses Element in K(α) enthalten sein muss (sonst wäre es kein Körper), aber wie sieht es aus? Dazu machen wir folgende Überlegung: Wir wissen, dass gilt K(α) K[x]/(min K,α (x)), wobei min K,α (x) das Minimalpolynom von α über K ist. Dieses hat diverse Eigenschaften. Unter anderem: 1. min K,α (α) = 0, 2. min K,α (x) ist irreduzibel über K. D.h. insbesondere gilt für f(x) K[x] entweder f(x) = 0 in K[x]/(min K,α (x)) oder ggt(f(x), min K,α (x)) = 1. Da (1+α) 1 0 in K(α) gilt, tritt der zweite Fall ein und wir können den ggt in K[x] berechnen (ersetze dazu jedes α durch ein x). Mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus erhalten wir dann eine Darstellung des ggt in der Form 1 = f(x) (1 + x) + g(x) min K,α (x), (1) 4

mit f(x), g(x) K[x]. Betrachten wir (1) jetzt in K[x]/(min K,α (x)), so verschwindet der zweite Summand und es bleibt die Gleichung 1 = f(x) (1 + x) (2) in K[x]/(min K,α (x)). Damit ist f(x) = (1 + x) 1 in K[x]/(min K,α (x)). Um nun zu K(α) zurückzukehren, ersetzen wir jedes x durch α und erhalten f(α) = (1 + α) 1 in K(α). Beispiel 4. Es sei K = Q und α sei Nullstelle des Polynoms x 4 20 (also α = 4 20). Da x 4 20 irreduzibel über Q (Eisenstein mit p = 5) und α 4 20 = 0 ist, ist x 4 20 = min Q,α (x) und B = {1, α, α 2, α 3 } eine Q-Basis von Q(α). Wie sieht nun das Inverse von α 3 2α 2 +4α 8 in Q(α) aus? Wir berechnen den ggt von min Q,α (x) = x 4 20 und x 3 2x 2 + 4x 8: und somit x 4 20 = (x + 2) (x 3 2x 2 + 4x 8) 4 (x 4 20)+4 = (x+2) (x 3 2x 2 +4x 8) in Q[x], bzw. 4 = (x+2) (x 3 2x 2 +4x 8) in Q[x]/(x 4 20). Daher ist (x 3 2x 2 + 4x 8) 1 = 1 4 (x + 2) bzw. (α3 2α 2 + 4α 8) 1 = 1 4 α + 1 2. Beispiel 5. Es sei K = Q und α = 4 2. Was ist das Inverse zu 1 + ( 4 2) 2, dargestellt in der Basis B = {1, 4 2, 4 2 2, 4 2 3 }? Rechnung: Das Minimalpolynom zu 4 2 ist x 4 2 Q[x]. Daher berechnen wir (x 4 2) (x 2 + 1) = x 2 1 Rest 1 Damit erhalten wir die Gleichung 1 = (x 2 1)(x 2 + 1) (x 4 2) und das Inverse zu ( 4 2) 2 + 1 ist demnach ( 4 2) 2 1. Ergebnis: (1 + ( 4 2) 2 ) 1 = 1 + 4 2 2. 5